天津市中考数学试题和答案解析

天津市中考数学试题和答案解析

‎2011年天津市初中毕业生学业考试试卷 一、选择题耳(本大题共l0小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选顶中．‎ ‎ 只有一项是符合题目要求的)‎ ‎（1）sin45°的值等于 B ‎（A) (B) (C) (D) 1‎ ‎(2)下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 A ‎（3）根据第六次全国人口普查的统计，截止到‎2010年11月1日零时，我国总人口约为1 370 000 000人，将1 370 000 000用科学记数法表示应为 B ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(4) 估计的值在 C ‎ (A) 1到2之问 (B) 2到3之间 (C) 3到4之问 (D) 4刊5之问 ‎(5) 如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为 C ‎ (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°‎ 考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：利用翻折变换的不变量，可以得到∠EBF为直角的一半．‎ 解答：解：∵将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，∴∠ABE=∠DBD=∠DBF=∠FBC，∴∠EBF= 12∠ABC=45°，故选C．‎ 点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键 ‎(6) 已知⊙与⊙的半径分别为‎3 cm和‎4 cm，若=‎7 cm，则⊙与⊙的位置关系是 D ‎ (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 ‎(7) 右图是一支架(一种小零件)，支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度．则它的三视图是 A ‎（8）下图是甲、乙两人l0次射击成绩（环数）的条形统计图．则下列说法正确的是 B ‎ (A) 甲比乙的成绩稔定 (B) 乙比甲的成绩稳定 ‎(C) 甲、乙两人的成绩一样稳定 (D) 无法确定谁的成绩更稳定 方差；条形统计图．‎ 专题：计算题；数形结合．‎ 分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 解答：解：通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，故选B．‎ 点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎（9）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为x分．计费为y元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论：‎ ‎① 图象甲描述的是方式A：② 图象乙描述的是方式B；‎ ‎③ 当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱．‎ 其中，正确结论的个数是 A ‎(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0‎ 考点：函数的图象．专题：应用题；数形结合．‎ 分析：根据函数图象的特点依次进行判断即可得出答案．‎ 解答：解：根据一次函数图象特点：①图象甲描述的是方式A，正确，②图象乙描述的是方式B，正确， ③当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱，正确，故选A．‎ 点评：本题主要考查了一次函数图象的特点，需要学生根据实际问题进行分析，难度适中．‎ ‎（10）若实数x、y、z满足．则下列式子一定成立的是 D ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 考点：完全平方公式．专题：计算题．‎ 分析：首先将原式变形，可得x2+z2+2xz-4xy+4y2-4yz=0，则可得（x+z-2y）2=0，则问题得解．‎ 解答：解：∵（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0，∴x2+z2-2xz-4xy+4xz+4y2-4yz=0，∴x2+z2+2xz-4xy+4y2-4yz=0， ∴（x+z-2y）2=0，∴z+x-2y=0．故选D．‎ 点评：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz-4xy+4y2-4yz=（x+z-2y）2．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共8小题．每小题3分，共24分)‎ ‎ (11) 的相反教是______6____．‎ ‎ (12) 若分式的值为0，则x的值等于____1 ______。‎ ‎ (13) 已知一次函数的图象经过点(0．1)．且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为___（答案不唯一，形如都可以）_______ (写出一一个即可)．‎ ‎ (14) 如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB，BC、CA的中点，连接DE、EF、FD．则图中平行四边形的个数为___3_______。‎ ‎ ‎ ‎ (IS) 如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于____5 _____。‎ 考点：圆周角定理；解直角三角形．专题：计算题．‎ 分析：在Rt△AOB中，已知了OB的长和∠A的度数，根据直角三角形的性质可求得OA的长，也就得到了直径AD的值，连接CD，同理可在Rt△ACD中求出AC的长，由BC=AC-AB即可得解． ‎ 解答：解：连接CD；Rt△AOB中，∠A=30°，OB=5，则AB=10，OA=5 ；在Rt△ACD中，∠A=30°，AD=2OA=10 ，则AC=15；∴BC=AC-AB=15-10=5．故答案为5．‎ 点评：此题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理的应用，难度不大．‎ ‎(16) 同时掷两个质地均匀的骰子．观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为____ _____。‎ ‎(17)如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于____15_____。‎ 解：15‎ 分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．‎ 因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，‎ 所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．‎ 所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形．‎ 所以GC=BC=3，DH=DE=2．‎ 所以GH=3+3+2=8，FA=PA=PG-AB-BG=‎8-1-3‎=4，EF=PH-PF-EH=8-4-2=2．‎ 所以六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．‎ 故答案为15． ‎ ‎(18) 如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．‎ ‎(Ⅰ) 该正方形的边长为_________。(结果保留根号)‎ ‎(Ⅱ) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，‎ ‎ 并简要说明剪拼的过程：_如图．①作出BN= (BM=4，MN=1， ∠MNB=90°)：‎ ‎ ②画出两条裁剪线AK，BE (AK=BE=．BE⊥AK)：‎ ‎ ③平移△ABE和△ADK．‎ 此时，得到的四边形BEF'G即为所求．________。‎ 作图—应用与设计作图．专题：作图题．‎ 分析：（I）设正方形的边长为a，则a2=3×5，可解得正方形的边长； （II）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，则∠MNB=90°，由勾股定理，得BN= 42-12= ，由此构造正方形的边长，利用平移法画正方形．‎ 解答：解：（I）设正方形的边长为a，则a2=3×5，解得a= ； （II）如图， （1）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，由勾股定理，得BN= ； （2）以A为圆心，BN长为半径画弧，交CD于K点，连接AK， （3）过B点作BE⊥AK，垂足为E， （4）平移△ABE，△ADK，得到四边形BEFG即为所求．‎ 点评：本题考查了应用与设计作图．关键是理解题意，根据已知图形设计分割方案 三、解答题(本大题共8小题，共68分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)‎ ‎(19)(本小题6分)‎ 解不等式组 ∴不等式组的解集为：-6＜x≤2．‎ ‎(20)(本小题8分)‎ ‎ 已知一次函数(b为常数)的图象与反比例函数（k为常数．且）‎ 的图象相交于点P(3．1)．‎ ‎(I) 求这两个函数的解析式；(II) 当x>3时，试判断与的大小．井说明理由。‎ 解 (I)一次函数的解析式为． 反比例函数的解析式为．‎ ‎ (Ⅱ)．理由如下： 当时，．‎ ‎ 又当时．一次函数随x的增大而增大．反比例函数随x的增大而减碡小，‎ ‎ ∴当时。‎ ‎(21)(本小题8分)‎ ‎ 在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数．统计数据如下表所示：‎ 册数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人数 ‎3‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎1‎ ‎ (I) 求这50个样本数据的平均救，众数和中位数：‎ ‎(Ⅱ) 根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数。‎ 解：(I) 观察表格．可知这组样本救据的平均数是 ‎ ‎ ∴这组样本数据的平均数为2．‎ ‎ ∵在这组样本数据中．3出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为3．‎ ‎ ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列．其中处于中间的两个数都是2，‎ ‎ ∴这组数据的中位数为2．‎ ‎ (Ⅱ) 在50名学生中，读书多于2本的学生有I 8名．有．‎ ‎ ∴根据样本数据，可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名．‎ ‎(22)(本小题8分)‎ ‎ 已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E.‎ ‎ (I) 如图①，若⊙O的直径为8AB=10，求OA的长(结果保留根号)；‎ ‎ (Ⅱ)如图②，连接CD、CE，-若四边形dODCE为菱形．求的值．‎ 考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．‎ 专题：几何图形问题．‎ 分析：（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥AB，再由勾股定理求得OA即可； （2）根据菱形的性质，求得OD=CD，则△ODC为等边三角形，可得出∠A=30°，即可求得 ODOA的值．‎ 解答：解：（1）如图①，连接OC，则OC=4， ∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，∴在△OAB中，由AO=OB，AB=‎10m，得AC= AB=5． 在Rt△AOC中，由勾股定理得OA= OC2+AC2= 42+52= ； （2）如图②，连接OC，则OC=OD，∵四边形ODCE为菱形，∴OD=CD，∴△ODC为等边三角形，有∠AOC=60°． 由（1）知，∠OCA=90°，∴∠A=30°，∴OC= OA，∴ ODOA= ．‎ 点评：本题考查了切线的性质和勾股定理以及直角三角形、菱形的性质，是一道综合题，要熟练掌握．‎ ‎(23)(本小题8分)‎ ‎ 某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为‎300 m．在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C．在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向．求此时游轮与望梅楼之间的距离BC (取l.73．结果保留整数)．‎ 解：延长AC，做BH⊥AC延长线于点H ‎ ∵∠CAB=30° ∴sin∠A=BH/AB=BH/‎300m=1/2 ∴BH=‎‎150m ‎ 又∵∠HCB=60° ∴sin∠HCB=BH/CB=‎150m/CB=根号三/2‎ ‎ ∴CB=300/根号三=100×根号三≈100×1.73≈‎173m ‎ ‎ (24)(本小题8分)‎ 注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一班要求进行解答即可．‎ ‎ 某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?‎ 设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．‎ ‎(I) 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：‎ ‎ (Ⅱ) (由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解) ‎ 解：Ⅰ）‎ ‎ （Ⅱ）根据题意，每天的销售额 配方，得，∴当x=5时，y取得最大值1800．‎ 答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元。‎ ‎(25) (本小题10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中．已知O坐标原点．点A(3．0)，B(0，4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α．∠ABO为β．‎ ‎ (I) 如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时．求点D的坐标；‎ ‎ (Ⅱ) 如图②，当旋转后满足BC∥x轴时．求α与β之闻的数量关系；‎ ‎(Ⅲ) 当旋转后满足∠AOD=β时．求直线CD的解析式(直接写出即如果即可)，‎ 解：(I)∵点A(3，0)．B(0，4)．得‎0A=3，OB=4． ∴在Rt△ABO中．由勾股定理．得AB=5， 根据题意，有DA=OA=3‎ 如图①．过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB．‎ ‎∴△ADM∽△ABO。有，得 ‎ ‎ 又OM=OA-AM，得OM=．∴点D的坐标为（）‎ ‎(Ⅱ)如图②．由己知，得∠CAB=α，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB．‎ ‎∴在△ABC中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，得α=180°—2∠ABC，．‎ 又∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，有∠ABC=90°—∠ABO=90°—β ‎∴α=2β．‎ ‎（Ⅲ） 直线CD的解析式为，或．‎ ‎(26)(本小题10分)‎ ‎ 已知抛物线：．点F(1，1)．‎ ‎ (Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；‎ ‎ (Ⅱ) ①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：‎ ‎ ②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；‎ ‎ (Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．‎ 解 (I)∵，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为()．‎ ‎(II)①根据题意，可得点A(0，1)，∵F(1，1)．∴AB∥x轴．得AF=BF=1，‎ ‎②成立．‎ 理由如下：如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则FM=，PM=（）‎ ‎∴Rt△PMF中，有勾股定理，得 又点P（）在抛物线上，得，即 ‎∴即．‎ 过点Q（）作QN⊥B，与AB的延长线交于点N，同理可得．‎ 图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，∴△PMF∽△QNF有 这里，∴即 ‎ (Ⅲ) 令，‎ 设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<，‎ ‎∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，‎ 观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，‎ ‎∴当满足，．恒成立时，m的最大值在处取得。‎ 可得当时．所对应的即为m的最大值．‎ 于是，将带入，有 解得或（舍）∴‎ 此时，，得 解得，‎ ‎∴m的最大值为8.‎