中考攻略专题函数自变量取值范围的探讨含答案

中考攻略专题函数自变量取值范围的探讨含答案

‎【2013年中考攻略】专题16：函数自变量取值范围的探讨 函数是初中数学中一个十分重要的内容，为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题。 ‎ 初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型，结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从这三方面进行函数自变量取值范围的探讨：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。‎ 一、函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。‎ 典型例题：‎ 例1： （2012浙江衢州3分）函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】‎ A．　　B．　　‎ C．　　D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。‎ 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ‎。故在数轴上表示为：。故选D。‎ 例2：（2012湖南郴州3分）函数y= 中自变量x的取值范围是【 】‎ A．x=2 B．x≠‎2 C．x＞2 D．x＜2‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。‎ ‎【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选B。‎ 例3：（2012湖南衡阳3分）函数中自变量x的取值范围是【 】‎ A．x＞﹣2 B．x≥‎2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。‎ ‎【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选A。　‎ 例5：（2012四川内江3分）函数的图像在【 】‎ ‎ A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。‎ ‎【分析】∵函数的定义域为，∴，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012湖南怀化3分）在函数中，自变量的取值范围是【 】‎ ‎ A． B. C. D.‎ ‎2. （2012山东威海3分）函数的自变量x的取值范围是【 】‎ A. x＞3 B. x≥‎3 C. x≠3 D. x＜－3‎ ‎3. （2012四川德阳3分）使代数式有意义的x的取值范围是【 】‎ A. B. C.且 D.一切实数 ‎4. （2012江苏无锡2分）函数中自变量x的取值范围是　 ▲ 　．‎ ‎5. （2012四川自贡4分）函数中，自变量x的取值范围是 ▲ ．‎ 二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。‎ 典型例题：‎ 例1： （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．‎ ‎（注：总成本=每吨的成本×生产数量）‎ ‎【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，‎ 将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。‎ ‎∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）。‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，‎ x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。‎ ‎∴该产品的生产数量为40吨。‎ ‎【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。‎ ‎（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可。‎ 例2：（2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表：‎ 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件 收入（百元）/件 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。‎ （1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。‎ （2） 求y与x之间的函数关系式。‎ （3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？‎ ‎【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y， ‎ 从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。‎ ‎（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。‎ ‎（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720‎ 由题意得，解得30≤x≤120。‎ 由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30‎ 件，休闲服 ‎270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。‎ ‎【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。‎ ‎【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。‎ ‎（2）由（1）整理得：y=360－3x。‎ ‎（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，‎ 解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。‎ 例3：（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．‎ ‎(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?‎ ‎(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．‎ ‎(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)‎ ‎【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。‎ 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。‎ ‎（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；‎ 当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；‎ 当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。‎ ‎∴。‎ ‎（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，‎ 此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，‎ 答：公司应将最低销售单价调整为2750元。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000－10（x－10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。‎ ‎（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。‎ ‎（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。‎ 例4：（2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；‎ ‎（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？‎ ‎【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，‎ 总销量为：（200－10x）件，‎ 商品利润为：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000。‎ ‎∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12。‎ ‎（2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，‎ ‎∴当x=5时，最大月利润y=2250。‎ 答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。‎ ‎【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式。‎ ‎（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的最大值。‎ 例5：（2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1‎ 元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.‎ ‎ （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.‎ ‎ （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？‎ ‎ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？‎ ‎【答案】解：（1）依题意得 自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数。‎ ‎（2）当y=2520时，得，‎ 解得x1=2,x2=11（不合题意，舍去）。‎ ‎ 当x=2时，30+x=32。‎ ‎ ∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。‎ ‎ （3） ‎ ‎ ∵a=－10＜0 ∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5 。 ‎ ‎∵0＜x≤10且x为正整数，‎ ‎∴当x=6时，30+x=36,y=2720， 当x=7时，30+x=37,y=2720。‎ ‎∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润。‎ 最大的月利润是2720元。‎ ‎【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）根据销售利润=销售量×销售单价即可得y与x的函数关系式。因为x为正整数，所以x＞0；‎ 因为每件玩具售价不能高于40元，所以x≤40－30=10。故自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数。‎ ‎ （2）求出函数值等于2520时自变量x的值即可。‎ ‎（3）将函数式化为顶点式即可求。‎ 例6：（2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝‎2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：‎ ‎ 运往地 甲 地（元/辆）‎ 乙 地（元/辆）‎ 车 型 大货车 ‎720‎ ‎800‎ 小货车 ‎500‎ ‎650‎ ‎（1）求这两种货车各用多少辆？‎ ‎（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费。‎ ‎【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得 ‎16x＋10（18－x）=228 ，解得x=8，‎ ‎∴18－x=18－8=10。‎ 答：大货车用8辆，小货车用10辆。‎ ‎（2）w=‎720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=‎70a＋11550，‎ ‎∴w=‎70a＋11550（0≤a≤8且为整数）。‎ ‎（3）由‎16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。‎ 又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。‎ ‎∵w=‎70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，‎ ‎∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。‎ 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。‎ ‎【考点】一元一次方程和一次函数的应用 ‎【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。‎ ‎ （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。‎ ‎（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。‎ 例7：（2012广西南宁10分）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．‎ ‎（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？‎ ‎【答案】解：（1）由题意知：xy=36，∴（）。‎ ‎（2）根据题意得：，解得：x=0.3。‎ 经检验：x=0.3是原方程的根。1.5x=0.45。‎ 答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤。‎ ‎【考点】反比例函数和分式方程的应用 ‎【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。‎ ‎（2）根据题意列出后求解即可。‎ 例8：（2012四川攀枝花8分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A．B两厂，通过了解获得A．B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t•km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：‎ 厂别 运费（元/t•km）‎ 路程（km）‎ 需求量（t）‎ A ‎0.45‎ ‎200‎ 不超过600‎ B a（a为常数）‎ ‎150‎ 不超过800‎ ‎（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）‎ 例9：（2012湖北恩施8分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；‎ ‎（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？‎ ‎【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。‎ ‎（2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得x≥。‎ ‎∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元。‎ ‎【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。‎ ‎【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数。‎ ‎（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。‎ 练习题：‎ ‎1. （2011福建龙岩12分） 周六上午8：O0小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以‎4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函致图象如图所示，‎ ‎(1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时；‎ ‎(2)求线段CD所表示的函敛关系式；‎ ‎(3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程，‎ ‎2. （2011宁夏自治区10分）甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地逆流而上前往B地，甲所乘冲锋舟在静水中的速度为km/min，甲到达B地立即返回；‎ 乙所乘冲锋舟在静水中的速度为km/min．已知A、B两地的距离为‎20km，水流速度为km/min，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离y(km)与所用时间x(min)之间的函数图象如图所示．‎ (1) 求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y与x(min)之间的函数关系式；‎ ‎(2)甲、乙两人同时出发后，经过多长时间相遇？‎ ‎3. （2011山东日照9分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：‎ 空调机 电冰箱 甲连锁店 ‎200‎ ‎170‎ 乙连锁店 ‎160‎ ‎150‎ 设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）．‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并求出的取值范围；‎ ‎（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？‎ ‎4. （2011黑龙江龙东五市8分）汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县。我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县。甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修。剑阁县总部在接到通知后第12分钟时，立即派出乙车前往接应。经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇。为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县。下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题：‎ ‎（1）请直接在坐标系中的( )内填上数据。‎ ‎（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围。‎ ‎（3）求乙车的行驶速度。‎ ‎5. （2011山东菏泽9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．‎ ‎（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？‎ ‎（2）写出该专卖店当一次销售时，所获利润（元）与（只）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？‎ ‎6. （2011云南昆明9分）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．‎ ‎（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？‎ 三、几何问题中函数自变量的取值范围：几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围，如在三角形中“两边之和大于第三边”。‎ 典型例题：‎ 例1： （2012黑龙江大庆6分）将一根长为‎16厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为和. ‎ ‎ （1）求与的关系式，并写出的取值范围；‎ ‎ （2）将两圆的面积和S表示成的函数关系式，求S的最小值．‎ ‎【答案】解：（1）由题意，有2πr1+2πr2=16π，则r1+r2=8。‎ ‎∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8。‎ ‎∴r1与r2的关系式为r1+r2=8，r1的取值范围是0＜r1＜8厘米。‎ ‎（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。‎ 又∵，‎ ‎∴当r1=4厘米时，S有最小值32π平方厘米。‎ ‎【考点】二次函数的应用。119281‎ ‎【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于16π厘米列出关系式即可。‎ ‎ （2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出S的最小值。‎ 例2：（2012江苏无锡8分）如图，在边长为‎24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．‎ ‎（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；‎ ‎（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？‎ ‎【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，‎ ‎∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6，‎ ‎∴V=a3=（6）3=432（cm3）；‎ ‎（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= x，，‎ ‎∴S=4ah+a2=。‎ ‎∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值‎384cm2。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=‎24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。‎ ‎（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。‎ 例3：（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．‎ ‎（1）当BC=1时，求线段OD的长；‎ ‎（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．‎ ‎【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，‎ ‎∴BD=BC=。‎ ‎ 又∵OB=2，∴。‎ ‎（2）存在，DE是不变的。‎ 如图，连接AB，则。‎ ‎∵D和E是中点，∴DE=。‎ ‎（3）∵BD=x，∴。‎ ‎∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。‎ ‎∴∠2+∠3=45°。‎ 过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。‎ 由△BOD∽△EDF，得，即 ‎，解得EF=x。‎ ‎∴OE=。‎ ‎∴。‎ 例4：（2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．‎ ‎（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）‎ ‎（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。‎ ‎（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。‎ ‎ （3）当0≤x≤3时，‎ 如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；‎ 由题意可知直线l∥BC∥OA，‎ 可得，∴EF=（3+x），‎ 此时重叠部分是梯形，其面积为：‎ 当3＜x≤5时，如图2，‎ 当5＜x≤9时，如图3，‎ 当x＞9时，如图4，‎ ‎。‎ 综上所述，S与x的函数关系式为：‎ ‎ 。‎ ‎【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：‎ ‎∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，‎ ‎∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。‎ ‎②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：‎ ‎∵，∴∠CAO=30°。‎ ‎③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，‎ ‎∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。‎ ‎∴。‎ ‎∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。‎ ‎（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：‎ 情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，‎ ‎∴∠MNO=60°。‎ ‎∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。‎ ‎∴点P与D重合。∴此时m=0。‎ 情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。‎ MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600‎ 又，‎ ‎∴，解得：m=3﹣。‎ 情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，‎ 过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，‎ ‎∴MG=。‎ ‎∴。‎ ‎∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。‎ 综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。‎ ‎（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。‎ 例5：（2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ ‎【答案】解：（1）在中，‎ 令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；‎ 令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。‎ ‎∴AB=9，OC=9。‎ ‎（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。‎ ‎∴s=m2（0＜m＜9）。‎ ‎（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，‎ ‎∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED ‎=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。‎ ‎∴△CDE的最大面积为，‎ 此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。‎ 又，‎ 过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。‎ ‎∴。‎ ‎∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。‎ ‎【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。‎ ‎（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。‎ ‎ （3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。‎ ‎②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。‎ 例6：（2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=‎4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以‎1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以‎1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x 的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）自变量x的取值范围是 ▲ ；‎ ‎（2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ；‎ ‎（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为‎16cm2？‎ ‎【答案】解：（1）0≤x≤4。‎ ‎ （2）3，2，25．‎ ‎ （3）过点E作EI⊥BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。‎ ‎ ∴EI=DC=3，CI=DE=x。‎ ‎ ∵BF=x，∴IF=4－2x。‎ ‎ 在Rt△EFI中，。‎ ‎ ∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，‎ ‎ ∴。‎ ‎ 当y=16时，，‎ 解得，。‎ ‎∴F出发或秒时，正方形EFGH的面积为‎16cm2。‎ ‎【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间，由时间=距离÷速度，即可求。‎ ‎ （2）由图2知，正方形EFGH的面积的最小值是9，而正方形EFGH的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3。‎ ‎ 当正方形EFGH的面积最小时，由BF=DE和EF∥AB得，E、F分别为AD、BC的中点，即m=2。‎ ‎ 当正方形EFGH的面积最大时，EF等于矩形ABCD的对角线，根据勾股定理，它为5，即n=25。‎ ‎ （3）求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式，即可求得F出发或秒时，正方形EFGH的面积为‎16cm2。‎ 例7：（2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=‎4cm．OA=‎8cm．动点P从点O出发，以‎1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．‎ ‎ (1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；‎ ‎(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? ‎ ‎ (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）C(2，2)，OB=‎4‎cm。 ‎ ‎ （2）①当0

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