中考复习专题数与式

中考复习专题数与式

中考复习专题（一）‎ 数与式 一、实数运算 知识梳理 ‎（1），，，‎ ‎ ，，，‎ （2） ‎，‎ （3） （4） ‎（5）特殊角的三角函数值：30°：sin30°= ， cos30°= ，tan30°= ,‎ ‎45°：sin45°= ， cos45°= ，tan45°= ，‎ ‎ 60°：sin60°= ， cos60°= ，tan60°= ，‎ （6） （7） 大数的科学记数法：例如：98000000000=9.8‎ ‎ 小数的科学记数法：例如：0.00000098=9.8‎ 基础过关 ‎1．下列计算正确的是( )‎ A．=3 B．-2-2=‎0 C．=0 D．= -10‎ ‎2．计算的结果为（ ）‎ A． B．‎1 ‎ C．2 D． ‎ ‎3.在这四个实数中，最大的是（ ）‎ ‎ A. B.-（-3） C.-|-3| D.‎ ‎4．2010年春节黄金周节前、节后，成都交通部门7天累计发送旅客约412.02万人次。数“412.02万”用科学计数法可记为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ．‎ ‎6.的个位数字是 ． ‎ ‎7.若x,y为实数，且，则的值为 。‎ 例题解析 例1：8的立方根为（ ）‎ ‎ A.2 B.±‎2 C.4 D.±4‎ 变式练习：‎ ‎1.如图，数轴上点P所表示的实数可能是（ ）‎ A． B. ‎ C. D.‎ ‎2.如图，数轴上两点分别对应实数，则下列结论正确的是（ ）‎ B A ‎1‎ ‎0‎ a b ‎(第2题图)‎ ‎ A． B． C．； D．．‎ 例2：一生物老师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为‎0.000000195米，将该数据用科学计数法表示为_______________米。‎ 变式练习：‎ ‎1.温家宝总理强调，“十二五”期间将新建保障性住房36 000 000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36 000 000用科学记数法表示应是（ ）‎ A．3.6×106 B．36×‎106 ‎C．3.6×107 D．0.36×108‎ ‎2. 对于四舍五入得到的近似数3.20×105，下列说法正确的是（ ）‎ A、有3个有效数字，精确到百分位 B、有6个有效数字，精确到个位 C、有2个有效数字，精确到万位 D、有3个有效数字，精确到千位 例3：在函数中，自变量x的取值范围是 。‎ 变式练习：‎ ‎1.在x=________时无意义。‎ ‎2. 要使代数式有意义，则x应满足____ _____．‎ 例4：‎ 变式练习：‎ ‎（1）3(–π)0– + (–1)2011 （2）(+1)0+(– )–1 – –2sin45°‎ ‎（3） （4）‎ 二、分式化简求值 知识梳理 ‎（1）分式的概念——若A，B表示两个整式，且B中含有 那么式子 就叫做公式 ‎（注意：①若 则分式无意义；②若分式=0，则应 且 ）‎ ‎（2）分式的基本性质——分式的分子分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变。‎ ‎①= = （m≠0）‎ ‎②分式的变号法则= ‎ ‎③约分：根据 把一个分式分子和分母的 约去叫做分式的约分。‎ 约分的关键是确保分式的分子和分母中的 ‎ 约分的结果必须是 分式 ‎④通分：根据 把几个异分母的分式化为 分母分式的过程叫做分式的通分；通分的关键是确定各分母的 ‎ ‎（注意：①最简分式是指 ；② 约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的 应用字母的 当分母、分母是多项式时应先 再进行约分；③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的 相同字母 分母中有多项式时仍然要先 通分中有整式的应将整式看成是分母为 的式子；④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项）‎ 例题解析 例5. ①先化简，再求值：，其中a=﹣1．‎ ‎②先化简，再求值，其中x满足x2﹣x﹣1=0．‎ ‎③（2011保山）先化简，再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．‎ 变式练习：‎ ‎1．（2011泸州）先化简，再求值：，其中．‎ ‎2．先化简，再求值：，其中．‎ ‎3．当时，代数式的值为多少？‎ ‎4.（2012绥化）先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．‎ ‎5．（2012资阳）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x=6的根．‎ ‎6．（2011雅安）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．．‎ ‎7．（2011牡丹江）先化简，再求值：，其中x所取的值是在﹣2＜x≤3内的一个整数．‎ ‎8.有这样一道题“计算的值，其中”。甲同学把条件 "x=‎2005”‎错抄成”x=2050"，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？试一试，你就会有收获。‎ 三、分式方程 知识梳理 ‎(1)分式方程的概念 ‎ 分母中含有 的方程叫做分式方程 ‎（注意：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据）‎ ‎(2)分式方程的解法：‎ 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程；‎ ‎(3)解分式方程的一般步骤：‎ ‎1、 2、 3、 ‎ ‎◆ 关于分式方程的增根：使最简公分母为零的未知数的取值。‎ ‎◆ 分式方程有解、无解的判定方法 ‎1、分式方程有解：（1）去分母后的整式方程有解；‎ ‎（2）整式方程的解使最简公分母不为零；‎ ‎2、分式方程无解：‎ ‎（1）去分母后的整式方程无解，则分式方程一定无解；‎ ‎（2）整式方程有解，但此解恰好是最简公分母为零（增根），原分式方程无解。‎ 例题解析 例6．①解方程：．‎ ‎② (2010·上海)解方程：－－1＝0.‎ 变式练习：解下列方程 ‎1． 2. ‎ ‎3. ‎ ‎4.(2010·眉山)解方程：＋1＝； ‎ ‎5．（2012上海）解方程：．‎ 例7.①关于x 的方程 的解是x = 1, 则a = ____________‎ ‎②关于x 的方程会产生增根，则m为____________‎ ‎③若方程无解，则的值为____________‎ 变式练习：‎ ‎1．取何值时，方程会产生增根？‎ ‎2．若分式方程有增根，则的值为____________；‎ ‎3．当a为何值时，关于x的方程无解？‎ ‎4、若关于的方程的解为正数,求的取值范围；‎ ‎5、如果关于的方程的解也是不等式组的一个解,‎ 求的取值范围；‎ 四、一元二次方程 知识梳理 ‎（1）一元二次方程 ‎ ‎1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。‎ ‎2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。‎ ‎（2）一元二次方程的解法 ‎ ‎1、直接开平方法:‎ 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。‎ ‎2、配方法:‎ 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。‎ 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 ‎3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。‎ 一元二次方程的求根公式：‎ 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c ‎4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。‎ 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 ‎（3）一元二次方程根的判别式 ‎ 根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；‎ II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；‎ III 当△<0时，一元二次方程没有实数根 ‎（4）一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理） ‎ 如果方程的两个实数根是，那么，‎ ‎。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。‎ 例题解析 例8．用适当的方法解下列一元二次方程 ‎（1） （配方法） （2）‎ ‎（3） （公式法） （4）‎ ‎（5） （6）（因式分解法）‎ 变式训练 ‎1.用适当的方法解下列方程：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ 例9．1、已知,为方程x2+px+q=0的两根，且+=6, 2+2=20，求p和q的值.‎ ‎2、已知关于x的一元二次方程有实数根．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设方程的两实根分别为x与x，求代数式的最大值.‎ 变式训练：‎ ‎1、已知关于的方程，是否存在正数，使方程的两个实根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。‎ ‎2、已知方程．（1）若方程两根之差为5，求的值；（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积．‎ 提高拓展 ‎ ‎1、若关于的一元二次方程有实数根．‎ （1） 求实数k的取值范围；‎ （2） 设，求t的最小值．‎ ‎2、阅读下列解题过程：已知：方程+3x+1=0的两个根为α、β，求的值。‎ 解：∵△＝32-4×1×1＝5>0‎ ‎∴α≠β （1）‎ 由一元二次方程的根与系数的关系，得 α+β＝-3， αβ＝1 （2）‎ ‎∴ （3）‎ ‎ 阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不 正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程：‎ 五、一元一次不等式（组）‎ 题型1 一元一次不等式（组）的求解 一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1． ‎ 例10．① ②‎ ‎③ ④‎ 变式练习：‎ ‎1．（2012安顺）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎．‎ ‎2．（2012苏州）解不等式组．‎ ‎3．（2012•梅州）解不等式组：，并判断﹣1、这两个数是否为该不等式组的解．‎ 题型2 整数解问题 例11．不等式3(x－2)≤x+4的非负整数解有哪些？‎ 练习：不等式4x－的最大的整数解是多少？‎ 例12．如果关于x的不等式－k－x＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k应取怎样的值？‎ 练习 ‎1、若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是多少？‎ ‎2、若不等式组有解，则k的取值范围是多少？‎ 题型3 含参不等式 例13．已知不等式－1＞x与ax－6＞5x同解，试求a的值.‎ 练习 ‎1、不等式a(x－1)>x+1－‎2a的解集是x<－1,请确定a是怎样的值.‎ ‎2、设不等式的解集为x<-,求关于x的不等式的解集。‎ 题型4 与方程相关 例14． 关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是多少？‎ 练习 已知关于x的方程的解是非负数，求m的范围。‎ 例15．已知关于 x，y 的方程组的解满足x＞y，求p的取值．‎ 练习 1、关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y>0，求出k的解集，并在数轴上表示出来。‎ ‎2、如果关于x的不等式组：，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 个。‎ 中考动态前瞻：‎ ‎1．（2013绵阳）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（45，77）‎ B．‎ ‎（45，39）‎ C．‎ ‎（32，46）‎ D．‎ ‎（32，23）‎ ‎2.（2013绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是　 　．‎ ‎3.若x1，x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）= 1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）．‎ A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b ‎ C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2‎ ‎4.(2012荆州)新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a、b为实数)的“关联数”，若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为_______．‎ ‎5.（2012菏泽）将a、b、c、d4个数排成两行、两列，两边各加一条竖线记成 ，定义 ＝ad－bc，上述等式就叫做二阶行列式，若　＝8，则x＝_______．‎ 6. 对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，-9））=_____________‎ ‎7.如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（　　）‎ ‎8.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）。求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数 ‎，满足对任意的一个正整数m，在中至少有一个为m的魔术数。‎ ‎9.对于任意实数，定义“*”为：，且，则2013*2012*…*3*2的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 中考提高训练：‎ ‎1. （2010•荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．‎ ‎（1）求证：AC•CD=PC•BC；‎ ‎（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．‎ ‎2．（2012•广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；‎ ‎（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎