中考数学压轴题专项训练

中考数学压轴题专项训练

‎2018年中考数学压轴题专项训练 类型一：与线段长度有关的二次函数问题 ‎1.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数的图象交x轴于另一点B。‎ ‎（1）求二次函数的表达式。‎ ‎（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作DN⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值。‎ ‎（3）若点为二次函数图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标。‎ ‎2.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）求AD的长；‎ ‎（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．‎ ‎3.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2ax+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．‎ 类型二：与面积有关的二次函数问题 ‎1.如图,抛物线与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标; (3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;‎ ‎2.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式．‎ ‎（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．‎ ‎（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．‎ ‎（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．‎ ‎3.如图，抛物线与轴交于A、B两点，且B（1 , 0）。‎ （1） 求抛物线的解析式和点A的坐标；‎ ‎（2）如图1，点P是直线上的动点，当直线平分∠APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线 分别与轴 轴 交于C、F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作 轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE。问以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。‎ 类型三：与特殊四边形有关的二次函数问题 ‎1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．‎ ‎（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．‎ ‎（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．‎ ‎（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎3.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．‎ ‎4.如图,已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,C是线段AB的中点.抛物线过O、A两点,且其顶点的纵坐标为. (1)分别写出A、B、C三点的坐标; (2)求抛物线的函数解析式; (3)在抛物线上是否存在点P,使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形?若存在,求所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎5.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．‎ ‎（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．‎ 类型四：特殊三角形有关的二次函数问题 ‎1.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎2.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.‎ ‎⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；‎ ‎⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；‎ ‎⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．‎ 类型五：与角度有关的二次函数问题 ‎1.已知在平面直角坐标系xoy（如图）中，已知抛物线经过点，对称轴是直线x=1，顶点为B。‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标。‎ ‎（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值。‎ ‎（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在轴上，原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标。‎ ‎2.如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ 类型六：与相似有关的二次函数问题 ‎1.如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3,1），点C（0,4），顶点为点M，过点A作AB//X轴，交轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC。‎ ‎（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标。‎ ‎（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求的取值范围。‎ ‎（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）‎ ‎2.如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；‎ ‎（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎3.如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．‎ ‎（1）求该抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；‎ ‎（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．若∠APE=∠CPE，求证：；‎ 类型七：与图形变换有关的二次函数问题 ‎1.如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B．‎ ‎(1)求该地物线的函数表达式；‎ ‎(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM．设点M的横坐标为，△ABM的面积为S．求S与的函数表达式，并求出S的最大值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点. ‎ ‎①写出点的坐标；‎ ‎②将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与线段交于点C．设点B、到直线的距离分别为 ‎、，当最大时，求直线旋转的角度（即∠BAC的度数）．‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．‎ 类型八：与阅读理解有关的二次函数问题 ‎1.若抛物线L：y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L与顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”.‎ ‎ (1) 若直线y=mx+1与抛物线y=x2－2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；‎ ‎(2) 若某“路线”L的顶点在反比例函数的图像上，它的“带线” l的解析式为y=2x－4，求此“路线”L的解析式；‎ ‎2.如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．‎ ‎（1）求绳子最低点离地面的距离；‎ ‎（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；‎ ‎（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．‎