中考数学试卷分类汇编规律探索型问题

中考数学试卷分类汇编规律探索型问题

中考数学试卷分类汇编 规律探索型问题 一 选择题 ‎1. （2013浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）‎ ‎ A.28 B‎.56 C.60 D. 124‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎3. （2013广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎4. （2013内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）‎ 第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形 第 18题图 ‎【答案】或 ‎5. （2013湖南益阳，16，8分）观察下列算式：‎ ‎① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ‎ ‎② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1‎ ‎③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ‎ ‎④ ‎ ‎……‎ ‎（1）请你按以上规律写出第4个算式；‎ ‎（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；‎ ‎（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．‎ ‎【答案】解：⑴； ‎ ‎⑵答案不唯一.如； ‎ ‎ ⑶ ‎ ‎.‎ ‎6．（2013广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.‎ ‎（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；‎ ‎（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；‎ ‎（3）求第n行各数之和．‎ ‎【解】（1）64，8，15；‎ ‎ （2），，；‎ ‎ （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.‎ 二 填空题 ‎1. （2013四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。‎ ‎【答案】15‎ ‎2. （2013广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A‎1F1B1D‎1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B‎1C1和△1D1E‎1F1各边中点，连接成正六角星形A‎2F2B2D‎2C2E ‎2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎3. （2013湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：‎ ‎【答案】‎ ‎4. （2013广东湛江20,4分）已知：,‎ ‎,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算 （直接写出计算结果），并比较 （填“”或“”或“=”）‎ ‎【答案】‎ 三 解答题 ‎1. （2013山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：‎ ‎ ＝1－； ＝－；＝－；……‎ 解答下面的问题：‎ ‎（1）若n为正整数，请你猜想＝ ；‎ ‎（2）证明你猜想的结论；‎ ‎（3）求和：＋＋＋…＋ .‎ ‎【答案】（1） 1分 ‎（2）证明：－＝－＝＝. 3分 ‎（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－‎ ‎ ＝. ………………5分 ‎2. （2013湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：‎ 如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。‎ ‎（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。‎ 证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。‎ ‎∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°，‎ ‎∴∠1=∠2.‎ 又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。‎ ‎∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①‎ 又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。‎ ‎∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。‎ ‎∴∠5=10°-∠6=120°。………………②‎ 由①②得∠MCN=∠5.‎ 在△AEM和△MCN中，‎ ‎∵__________,____________,___________,‎ ‎∴△AEM≌△MCN（ASA）。‎ ‎∴AM=MN.‎ ‎(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B‎1C1D‎1”‎(如图)，N1是∠D‎1C1P1的平分线上一点，则当∠A‎1M1N1=90°时，结论A‎1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）‎ ‎（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）‎ ‎【答案】解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；‎ ‎（2）结论成立；‎ ‎（3）。‎ ‎3. （2013四川成都，23,4分）设,,,…, ‎ 设，则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．‎ ‎【答案】．‎ ‎==‎ ‎=‎ ‎∴S=+++…+.‎ 接下去利用拆项法即可求和．‎ ‎4. （2013四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：‎ ‎(1)观察并猜想：‎ ‎12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)‎ ‎12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3‎ ‎=1+0×1+2+1×2+3+2×3‎ ‎=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)‎ ‎12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+ ‎ ‎=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ‎ ‎=(1+2+3+4)+( )‎ ‎……‎ ‎(2)归纳结论：‎ ‎12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+[1+(n—1)]n ‎=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n ‎=( ) +[ ]‎ ‎= + ‎ ‎=× ‎ ‎(3)实践应用：‎ 通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 ．‎ ‎【答案】（1+3）×4‎ ‎4+3×4‎ ‎0×1+1×2+2×3+3×4‎ ‎1+2+3+…+n ‎0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n n(n+1)(n—1)‎ n(n+1)(2n+1)‎ ‎5. （2013广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.‎ ‎（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；‎ ‎（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；‎ ‎（3）求第n行各数之和．‎ ‎【解】（1）64，8，15；‎ ‎ （2），，；‎ ‎ （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.‎ ‎6. （2013四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎…………………………（a+b）1‎ ‎…………………………（a+b）2‎ ‎…………………………（a+b）3‎ ‎……………………‎ ‎（1）根据上面的规律，写出的展开式。‎ ‎（2）利用上面的规律计算：‎ ‎【答案】解：⑴ ‎ ‎ ⑵原式=‎ ‎ =‎ ‎ =1 ‎ ‎ 注：不用以上规律计算不给分.‎ ‎7. （2013四川凉山州，20，7分）如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。‎ B C D E F A ‎20题图 ‎【答案】猜想：。‎ ‎ 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ‎ ∴，∥ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 在和 ‎ ‎ ‎ ∴≌ ‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴∥‎ 即 。‎ ‎2012年全国各地中考数学试卷分类汇编 ‎ 规律探索型问题 ‎12．（2012山东省滨州，12，3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（　　）‎ ‎　　A．52012﹣1　　B．52013﹣1　　C．　　D．‎ ‎【解析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，‎ 因此，5S﹣S=52013﹣1，‎ S=．‎ ‎【答案】选C．‎ ‎【点评】本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力．两式同时乘以底数，再相减可得ｓ的值．‎ ‎（2012广东肇庆，15，3）观察下列一组数：，，，，，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ▲ ． ‎ ‎【解析】通过观察不难发现，各分数的分子与分母均相差1，分子为连续偶数，分母为连续奇数．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【点评】本题是一道规律探索题目，考查了用代数式表示一般规律，难度较小． ‎ ‎18. ( 2012年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是___________‎ ‎【解析】观察知: 下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2012个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012.‎ ‎【答案】-2012‎ ‎【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.‎ ‎20.（2012贵州省毕节市，20，5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。‎ 解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解．‎ 答案：解：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）==n2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形．故答案为：100．‎ 点评：本题是对图形变化规律的考查，根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，得到第n个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键．‎ ‎18．(2012贵州六盘水，18，4分)图7是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数.例如展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再入，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出的展开式. ▲ .‎ 分析：该题属规律型，通过观察可发现第五行的系数是：1、4、6、4、1，再根据例子中字母的排列规律即得到答案．‎ 解答：解：由题意，，‎ 故填．‎ 点评：本题考查了数字的变化规律，从整体观察还要考虑字母及字母指数的变化规律，从而得到答案．‎ ‎17. （2012山东莱芜， 17，4分） 将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点….,按此规律，则点A2012在射线 上.‎ ‎【解析】‎ 射线名称 点 点 点 点 点 点 点 点 点 A1‎ A3‎ A10‎ A12‎ A17‎ A19‎ A26‎ A28‎ ‎…‎ CD A2‎ A4‎ A9‎ A11‎ A18‎ A20‎ A25‎ A27‎ ‎…‎ BC A5‎ A7‎ A14‎ A16‎ A21‎ A23‎ A30‎ A32‎ ‎…‎ DA A6‎ A8‎ A13‎ A15‎ A22‎ A24‎ A29‎ A31‎ ‎…‎ 根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，‎ ‎2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点所在的直线一样。‎ 因为点所在的射线是射线AB，所以点点A2012在射线AB上.‎ ‎【答案】AB ‎【点评】本题是一个规律探索题，可以列出点的排列规律从中得到规律，在变化的点中找到其排列直线的不变的规律，此类问题的排列通常是具有周期性，按照周期循环，本题难度适中.‎ ‎16、（2012，黔东南州，16）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，……，按此规律，那么第（）个图有 个相同的小正方形。‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎（1） （2） （3） （4）‎ ‎ 解析：因为 ‎，故第（）个图有个小正方形 .‎ 答案：或n（n+1）‎ 点评：本题是探索规律题，解题的关键是从已知图形中找规律，难度中等.‎ ‎15．（2012，湖北孝感，15，3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：‎ 年份 ‎1896‎ ‎1900‎ ‎1904‎ ‎…‎ ‎2012‎ 届数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ n 表中n等于__________．‎ ‎【解析】有表格可知，每四年举办一次奥运会，由此可得(2012-1896)÷4+1=30‎ ‎【答案】30‎ ‎【点评】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．‎ ‎16. （2012·湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表：‎ 根据表中数的排列规律，B+D=_________.‎ ‎【解析】B所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和，所以A=3，B=8；D所在行的规律是关于数字20左右对称，即D=15，所以B+D=23.‎ ‎【答案】23‎ ‎【点评】本题主要考查了学生观察和归纳能力，会从所给的数据和表格中寻求规律进行解题．找规律的问题，首先要从最基本的几个数字或图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律．‎ ‎ 此类问题“横看成岭侧成峰”，随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径，但最总结果应“殊途同归”。‎ ‎（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20‎ 位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报，第2位同学报，…这样得到的20个数的积为_________________.‎ ‎【解析】化简各位同学的报数，可得第1一位同学报2，第2位同学报，第3位同学报，…第20个同学报，根据观察得到的规律，便可求出它们的乘机。‎ ‎【答案】21‎ ‎【点评】本题是一道找规律的题型，在教学中，要让学生了解解题的过程，知道来龙去脉，才能增加自己的能力。难度中等。‎ ‎20. （2012珠海，20，9分）观察下列等式：‎ ‎12×231=132×21，‎ ‎13×341=143×31，‎ ‎23×352=253×32，‎ ‎34×473=374×43，‎ ‎62×286=682×26，‎ ‎……‎ 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.‎ ‎（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：‎ ‎①52× ＝ ×25；‎ ‎② ×396＝693× .‎ ‎（2）设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且2≤≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含、），并证明.‎ ‎【解析】观察上面的等式,发现“数字对称等式”基本特征,猜想并证明表示“数字对称等式”一般规律的式子.‎ ‎【答案】（1）①275,572; ②63,36; ‎ ‎（2）(10a+b)[100b+10(a+b)+a]＝[100a+10(a+b)+b](10b+a)‎ 证明:∵左边＝(10a+b)[100b+10(a+b)+a]＝11(10a+b)(10b+a)‎ 右边＝[100a+10(a+b)+b](10b+a)＝11(10a+b)(10b+a)‎ ‎∴左边＝右边,原等式成立.‎ ‎【点评】本是规律探索题.考查学生阅读理解,观察发现,推理证明的学习能力.‎ ‎14（2012云南省，14 ，3分）观察下列图形的排列规律（其中 分别表示三角形、正方形、五角星）.若第一个图形是三角形，则第18个图形是 （填图形名称）‎ ‎ ‎ ‎【解析】主要的是要看清只有三个基本的图形来组成一个规律，三个一组，而且五角星都在最后，前边两个相邻组之间它两的位置互换，三个一组，恰好18个是6组，第18‎ 个刚好是第6组最后一个，五角星。‎ ‎【答案】五角星 ‎【点评】主要考查考生的观察能力和细心程度，要素简单，但要很快找出规律，也要细心揣摩。此题不难。‎ ‎16．（2012山西，16，3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．‎ ‎【解析】解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形2+4=6个．第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个，‎ 故答案为：4n﹣2（或2+4（n﹣1））‎ ‎【答案】4n﹣2（或2+4（n﹣1））‎ ‎【点评】本题主要考查了图形有规律的变化，再由图形的规律变化挖掘出规律，解决此种类型的关键是分别数清每一个图形中的三角形个数，再由此猜想发现规律，从而写出最终结果.难度中等．‎ y x y=kx+b O B ‎3‎ B ‎2‎ B ‎1‎ A ‎3‎ A ‎2‎ A ‎1‎ ‎（第17题图）‎ ‎17．（2012山东东营，17，4分）在平面直角坐标系中，点，，‎ ‎，…和，，，…分别在直线 和轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…‎ 都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），‎ A2（），那么点的纵坐标是_ 　_____．‎ ‎【解析】把A1（1，1），A2（）分别代入，可求得k=,b=,,所以，与x轴交点代坐标为（-4，0），设A3的纵坐标为m,则，解得m=,同理可得A4的纵坐标为，……，的纵坐标是。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】抓住坐标间的变化规律是解题的关键，解此类规律探索题一般可采用从特殊一般的归纳法。‎ ‎21．(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式：‎ 第1个等式：a1==×（1﹣）；‎ 第2个等式：a2==×（﹣）；‎ 第3个等式：a3==×（﹣）；‎ 第4个等式：a4==×（﹣）；‎ ‎…‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　；‎ ‎（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　　=　　（n为正整数）；‎ ‎（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．‎ 分析：‎ ‎（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1．‎ ‎（3）运用变化规律计算．‎ 解答：‎ 解：根据观察知答案分别为：‎ ‎（1）； ； ‎ ‎（2）； ；‎ ‎（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的 ‎=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×‎ ‎=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=（1﹣）‎ ‎=×‎ ‎=．‎ 点评：‎ 此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．‎ 专项二 规律探索型问题 ‎（2013山东省潍坊市，题号17，分值3）17、右图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：‎ ‎ = .‎ 考点：数学归纳法，规律探索题 解答：当时：‎ 当时：‎ 当时：‎ 猜想：=‎ 点评：在求解规律探索问题时，常常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结一般的结论。‎ ‎16．（湖南株洲市3,16）一组数据为：观察其规律，推断第n个数据应为 .‎ ‎【解析】从一组数据第一个数据的系数是正数，第二个数据的系数是负数，字母的次数从1，2，3依次排列，所以 ‎【答案】‎ ‎【点评】根据题目的条件列出算式，找出算式中的规律得出乘积。‎ ‎10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，···成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）‎ A.2010 B‎.2012 C.2014 D.2016‎ ‎【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=168×4能被4整除.‎ ‎【答案】：D ‎【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.‎ ‎9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )‎ 解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.‎ 答案：D 点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。‎ ‎14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.‎ ‎【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.‎ ‎【答案】41‎ ‎【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.‎ ‎16.（2012广州市，16， 3分）如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 。（结果保留π）‎ ‎【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n－1。‎ ‎【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=π（×8）2：π（×8）2=4. ‎ 第n个半圆的面积为π（×2n－1）2=π22n－5。‎ ‎【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。‎ 专项二 规律探索型问题 ‎8.（2012江苏盐城，8，3分）已知整数a1,，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-,a3=-,a4=-,…依次类推，则a2012的值为 A．-1005　B．‎-1006　‎　C．-1007　D． -2012‎ ‎【解析】本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出a1,，a2，a3，a4…的值，再寻找规律 ‎【答案】由于a1=0，a2=-=-1，a3=-=-1，a4=-=-2，a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6, ……,所以a2012=-=-1006,故选B．‎ ‎【点评】题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想．‎ ‎10. （2012浙江省绍兴，10，3分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）‎ 第10题图 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，又D是BC的中点，所以AD=，因为点A、D是一组对称点，所以AP1=×，因为是D1是D P1的中点，所以A D1=××，即AP2=×××，同理AP3=××（×）2，…APn=××（×）n-1，所以AP6=××（×）5=，故应选A ．‎ ‎【答案】A ‎【点评】找规律的问题，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律．‎ ‎10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，···成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）‎ A.2010 B‎.2012 C.2014 D.2016‎ ‎【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=168×4能被4整除.‎ ‎【答案】：D ‎【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.‎ ‎14．（2012江苏泰州市，14,3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3， ，9x5，…．‎ ‎【解析】看系数是1,3,5,7，…，第四项应是7，看指数第第四项是x4第四项是7x4‎ ‎【答案】7x4‎ ‎【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次写下去 ‎10．（2012贵州铜仁，10，4分如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ）‎ ‎10题图 ‎ ‎ A.54 　　 　　 B‎.110 ‎ 　　　　　 C.19 D.109‎ ‎【解析】仔细观察图形可得，图形①中1=1×1+0，图形②中5=2×2+1，图形③中 11=3×3+2，……，依次类推，∴第⑩个图形中平行四边形的个数是10×10+9=109‎ ‎【解答】D.‎ ‎【点评】本题考查了图形的变化规律，较难.探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.解决这类问题的基本思路是：通过观察、分析若干特殊情形，归纳总结出一般性结论，然后验证其结论的正确性.‎ ‎15．（2012湖北随州，15,4分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线。若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为______________。6‎ 解析：设有n个点时，，解得n=6或n=-5（舍去）．‎ 答案：6‎ 点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定条直线，再代入15可求出解．‎ x y O ‎16．(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△的顶点坐标分别为 (2，0)， (1，-1)，‎ ‎ (0，0)，则依图中所示规律，的坐标为 ．‎ ‎16．【解析】画出图像可找到规律，下标为4n(n为非负整数)的A点横坐标为2，纵坐标为2n,则的坐标为（2，1006）．‎ ‎【答案】（2，1006）‎ ‎【点评】这类问题要善于总结，正确分析出题中所隐含的规律．‎ ‎24．（2012四川内江，24，6分）设ai≠0（i＝1，2，……2012），且满足＋＋…＋‎ ‎ ＝1968，则直线y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）的图象经过第一、二、四象限的概率为　　　　　　.‎ ‎【解析】因为可能等于1，也可能等于－1，类似的，…，都具有这种现象，而＋＋…＋ ＝1968，从到又有2012个比值，2012－1968＝44，所以，，…，中一定有22个1和22个－1之间相加产生22个0，那么，，…，这些比值中会有22个－1，所以ai（i＝1，2，…2012）中会有22个负数，则直线y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）的图象经过第一、二、四象限的概率为＝．‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】直线y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）经过第一、二、四象限要求ai＜0，i＞0，只要判断出ai（i＝1，2，…2012）中有多少个负数，然后利用简易概率求法公式：P（A）＝，求解即可．另外，解答此题需要良好的逻辑推理能力，对学生的思维能力要求较高，启示平时学习中要注意将数学思考变成习惯．‎ ‎9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )‎ 解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.‎ 答案：D 点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。‎ ‎23．（2012四川内江，23，6分）如图12，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1‎ ‎＝A‎1A2＝A‎2A3＝…＝An-1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点B1，B2，B3，…Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2……，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝　　　　　.‎ y x O A1‎ A2‎ A3‎ B1‎ B2‎ B3‎ P1‎ P2‎ 图12‎ ‎【解析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，可得P1B2＝P2B3＝P3B4＝…＝PnBn+1＝1，以及B1（1，1），B2（2，），B3（3，），…，Bn（n，），Bn+1（n＋1，），所以S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝B1P1·P1B2＋B2P2·P2B3＋…BnPn·PnBn+1＝( B1P1＋B2P2＋…BnPn)＝( 1－＋－＋…＋－)＝( 1－)＝．‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】各地中考经常将反比例函数与三角形、矩形的面积结合在一起考查，本题属于这类问题中的较难问题．解答时需注意：1.耐心、认真阅读题意，抓住各三角形的水平直角边都等于1这一特征，从而将面积和转化为竖直直角边和的一半；2.能用解析思想表达出B1，B2，B3，…，Bn的坐标，进而表达出所有直角三角形竖直直角边的长；3.具有一定的数式规律探究能力．‎ ‎14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.‎ ‎【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.‎ ‎【答案】41‎ ‎【点评】‎ 根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.‎ ‎16.（2012广州市，16， 3分）如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 。（结果保留π）‎ ‎【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n－1。‎ ‎【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=π（×8）2：π（×8）2=4. ‎ 第n个半圆的面积为π（×2n－1）2=π22n－5。‎ ‎【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。‎ ‎20. ( 2012年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：‎ 第4个 第3个 第2个 第1个 ① 第5个图形有多少颗黑色棋子？‎ ② 第几个图形有2013颗棋子？说明理由。‎ ‎【解析】（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；‎ ‎（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案．：（1）第一个图需棋子6，‎ 第二个图需棋子9，‎ 第三个图需棋子12，‎ 第四个图需棋子15，‎ 第五个图需棋子18，‎ ‎…‎ 第n个图需棋子3（n+1）枚．‎ 答：第5个图形有18颗黑色棋子． ‎ ‎（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，‎ 根据（1）得3（n+1）=2013 ‎ 解得n=670，‎ 所以第670个图形有2013颗黑色棋子．‎ ‎【答案】(1)18；(2)第670个图形 ‎【点评】‎ 此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．‎ ‎19．（2012湖南益阳，19，10分）观察图形，解答问题：‎ y x ‎（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 三个角上三个数的积 ‎1×(－1)×2=－2‎ ‎(－3)×(－4)×(－5)=－60‎ 三个角上三个数的和 ‎1＋(－1)＋2=2‎ ‎(－3)＋(－4)＋(－5)=－12‎ 积与和的商 ‎－2÷2=－1,‎ ‎（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x． ‎ ‎【解析】⑴模仿图①中的第三格（三个角上三个数的积与三个角上三个数的和的商）图②的第三格：(－60)÷(－12)=5图③的第三格170÷10=17，模仿前面的得到图③的第一格（三个角上三个数的积）(－2)×(―5)×17=170第二格（三个角上三个数的和）(－2)＋(―5)＋17=10；‎ ‎（2）发现的规律是：中间的数 所以图④‎ 图⑤中： 解之得：‎ ‎【答案】解: ⑴图②：(－60)÷(－12)=5 ……………………………………………1分 图③：(－2)×(―5)×17=170，………………………………………2分 ‎(－2)＋(―5)＋17=10， ………………………………………3分 ‎170÷10=17 . ………………………………………4分 ‎⑵图④：5×(―8)×(―9)=360……………………………………………5分 ‎5＋(―8)＋(―9)=－17……………………………………………6分 ‎ y=360÷(－12)=－30.……………………………………………7分 图⑤：， ……………………………………………9分 解得 ……………………………………………10分 ‎【点评】本题主要考查考生对所给图形的观察、理解和模仿能力，同时也考查了有理数的加减乘除运算能力。难度中等。‎ ‎2012年全国各地中考数学模拟试卷分类汇编 ‎ 规律探索型问题 一、选择题 第1题图 ‎1、（2012年浙江一模）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上 （ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．5 ‎ 答案：D ‎2、（2012年浙江金华模拟）将1、、、按右侧方式排列．若规定 ‎（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则 ‎（4，2）与（21，2）表示的两数之积是（ ▲ )．‎ ‎ A．1 B．‎2 C．2 D．6‎ 答案：D ‎3、（2012年重庆外国语学校九年级第二学期期中）下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个正方形，第②个图形中一共有5个正方形，第③个图形中一共有14个正方形，……则第⑦个图形中正方形的个数为 ‎……‎ A、49 B、 ‎100 C、140 D、91 ‎ 答案：C ‎4、(2012年荆州模拟)如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（　　）‎ ‎ ‎ A、（0，64） B、（0，128）‎ ‎ C、（0，256） D、（0，512）‎ 答案： C ‎5、（2012江苏江阴华士片九年级下期中检测，10,3分）如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行 下去，点的横坐标为（ ）‎ A． B．‎第10题图 C． D． ‎ 答案：A ‎6、（2012浙江温岭三中一模）如图，电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2 跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点B与P2012之间的距离 为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ （第1题）‎ ‎ A．3 B．‎4 ‎ C．5 D．6‎ 答案：C C A D E B E1‎ D1‎ F F1‎ 第7题图 ‎7. (2012年浙江新昌县毕业考试)如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E‎1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，S2012=‎ A． B． ‎ ‎ C． D. ‎ 答案：D ‎8. （2012重庆市渝北区二中检测）观察下列图形：若图形（1）中阴影部分的面积为1，图形（2）中阴影部分的面积为，图形（3）中阴影部分的面积为，图形（4）中阴影部分的面积为，…，则第个图形中阴影部分的面积用字母表示为（ 　　）‎ ‎（第3题）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎9、．下列图形都是由同样大小的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有根小棒，第②个图形中一共有根小棒，第③个图形中一共有根小棒，……，则第⑥个图形中小棒的根数为 ‎ ‎ ‎……‎ ‎ ① ② ③‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案B ‎10、．下列图形都是由同样大小的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有根小棒，第②个图形中一共有根小棒，第③个图形中一共有根小棒，……，则第⑥个图形中小棒的根数为 ‎ ‎ ‎…… ‎ ‎ ① ② ③‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案B 二、填空题 ‎1、（2012年浙江五模）已知a≠0，，，，…，，‎ 则　 (用含a的代数式表示)．‎ 答案：‎ ‎2、（保沙中学2012二模）如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设 四边形P‎1M1N1N2面积为S1，四边形P‎2M2‎N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，则Sn= ▲ ‎ 答案：‎ x y O A1‎ A2‎ A3‎ l2‎ l1‎ l3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3、（保沙中学2012二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；……按照这样的规律进行下去，点An的坐标为_________ ． ‎ 答案：(√2n+1,n)‎ ‎4、（广州海珠区2012毕业班综合调研）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则= ．‎ 答案：‎ ‎5、（2012 年 福 州 市 初 中 毕 业 班 质 量 检 查）如图，∠AOB＝30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3、…、半圆Cn的半径分别是r1、r2、r3、、rn，则＝___________．‎ 答案：3‎ ‎6、（2012年周口二模）图11－1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图11－2的新几何体，则该新几何体的体积为 ____cm3．（计算结果保留）‎ 第13题图 ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎ ‎ 答案： 60 ‎ ‎7、（2012年周口二模）如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P‎1M1N1N2面积为S1，四边形P‎2M2‎N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，则Sn= ▲ ‎ 答案： ‎ ‎8、（2012年孝感模拟）设,,,…, ，若，则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．‎ 答案： ‎ ‎9、（2012年北京门头沟一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：‎ 第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，‎ 使得A1B=2AB，B1C=2BC，C‎1A=2CA，顺次连接A1、‎ B1、C1，得到△A1B‎1C1，记其面积为S1；第二次操作，‎ 分别延长A1B1，B‎1C1，C‎1A1至A2，B2，C2，使得 A2B1=‎2A1B1，B‎2C1=2B‎1C1，C‎2A1=‎2C1A1，顺次连接 A2，B2，C2，得到△A2B‎2C2，记其面积为S2……，‎ 按此规律继续下去，可得到△A5B‎5C5，则其面积为 S5=_________. 第n次操作得到△AnBnCn，‎ 则△AnBnCn的面积Sn= .‎ 答案：195 19n ‎10、（2012北京市密云初三一模）在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC上，如图所示，从点A1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A‎1A2为第1条线段．‎ 设AA1=A‎1A2=A‎2A3=1，则∠A = ；若记线段A2n‎-1A2n的长度为an（n为正整数），如A‎1A2=a1,A‎3A4=a2，则此时a2= ，an= （用含n的式子表示）．‎ 答案：22．5；，‎ ‎11、（2012北京市延庆县初三一模）将1、、、按右侧方式排列．若规定（m,n）表示第m排从左向右第n个数，则（7,3）所表示的数是 ；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是 ‎ 答案：；‎ ‎12、（2012南京江宁区九年级调研卷）已知 依据上述规律，则 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎13、（2012北京市石景山区初三一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：‎ 第1行 ‎1‎ 第2行 ‎3　5‎ 第3行 ‎7　9　11　13‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ 则第4行中的最后一个数是 ，第行中共有 个数，‎ ‎ 第行的第个数是 ．‎ 答案：29；；‎ ‎14、（2012双柏县一模）有一组数列：2，，2，，2，，2，，…… ，根据这个规律，那么第2012个数是__________．‎ 答案：-3‎ ‎15. （2012年犍为县五校联考）若，，，，……，，则___.‎ 答案：3‎ ‎16. (2012湛江调研测试)下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，若按此规律继续下去，则第5个五角形数是 ． ‎ ‎（第3题）‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎22‎ 答案：35‎ ‎17. (2012浙江绍兴县3阶段)信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ▲ .‎ 答案：6,4，1,7‎ ‎18、（2012江苏省无锡市期中）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作 D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC ‎（第1题）‎ 于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，‎ 如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、En，分别记△BCE1、‎ ‎△BCE2、△BCE3···△BCEn的面积为S1、S2、S3、…Sn. ‎ 则Sn＝ S△ABC（用含n的代数式表示）．‎ 答案：‎ ‎19、（2012北京市大兴区）如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第 行，… ，第次全行的数都为1的是第 行．‎ ‎ 第1行 ‎ 第2行 ‎ ‎ ‎ 第3行 ‎ 第4行 ‎ ‎ ‎ 第5行 ‎ ……………………………………‎ 答案：7, ‎ ‎20. （2012北京市怀柔区）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，‎ 其中第7个数是 ，第个数是 .‎ ‎（用含字母的代数式表示，为正整数）． ‎ 答案：8，‎ ‎22．（2012北京市通州区）已知如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是 .‎ 四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，则△FAC的面积是 .‎ ‎……‎ 如果两个正多边形ABCDE…和BPKGY…是正n(n≥3)边形，正多边形ABCDE …的边长是‎2a，则△KCA的面积是 .（结果用含有a、n的代数式表示） ‎ 答案：，8，或（）‎ 三、解答题 ‎1、（广东省2012初中学业水平模拟六）亲爱的同学，你能比较20132012和20122013的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是自然数）然后，我们分析n=1,n=2,n=3…‎ 这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想，得出结论。‎ ‎(1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格中选填 ﹤﹥﹦ 号）‎ ‎12 ﹤ 21 23 ﹤ 32 34 ﹤ 43 45 ﹤ 54 56 ﹤ 65…‎ ‎(2)从第（1）小题的结果，经过归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是 ‎ ‎（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20132012 20122013。‎ 答案：(1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格中选填 ﹤﹥﹦ 号）‎ ‎12 ﹤ 21 23 ﹤ 32 34 ﹤ 43 45 ﹤ 54 56 ﹤ 65 ‎ ‎（1分）‎ ‎(2)从第(1)小题的结果经过归纳,可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是 nn+1﹤（n+1）n……（2分）‎ ‎（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：‎ ‎20132012 ﹤ 20122013………………… （2分） ‎ ‎2、（2012年广东省深圳市实验中学一模）人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17…，它们有下面的规律：‎ ‎1+3=22；‎ ‎1+3+5=32；‎ ‎1+3+5+7=42；‎ ‎1+3+5+7+9=52；…‎ ‎ 第1题 ‎（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形；‎ ‎（2）请你按照上述规律，计算第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积；‎ ‎（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形 ‎1+8=32；‎ ‎1+8+16=52；‎ ‎1+8+16+24=72；‎ ‎1+8+16+24+32=92．‎ 解答：解：（1）1+3+5+7+9+11+13=72．（1分）‎ 算式表示的意义如图（1）．（2分）‎ ‎（2）第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积为2n﹣1．（3分）‎ ‎（3）算式表示的意义如图（2），（3）等．（5分）‎ ‎3、(2012年杭州一模)（本小题满分12分）‎ 如图，以OA1＝2为底边做等腰三角形，使得第三个顶点C1恰好在直线上，并以此向左、右依次类推，作一系列底边为2，第三个顶点在直线上的等腰三角形．‎ ‎（1）底边为2，顶点在直线上且面积为21的等腰三角形位于图中什么位置？‎ ‎（2）求证：y轴右侧的每一个等腰三角形的面积都等于前后两个以腰为一边的三角形面积之和的一半（ 如：S右1＝，S右2 ）．‎ ‎（3）过D1、A1、C2三点画抛物线．问在抛物线上是否存在点P，使得△PD‎1C2的面积是△C1OD1与△C‎1A1C2面积和的．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 答案：（1），，或 ‎，或，解得 或 ‎∴在y轴的右边从左到右第10个或y轴的左边从右到左第12个． ‎ ‎（2）y轴右侧第n个等腰三角形An-1AnCn的底边两端点坐标为An-1，An，‎ ‎∴面积为， ‎ 前后两个非等腰三角形的面积和为． ‎ ‎∴y轴右侧的每一个等腰三角形的面积都等于前后两个以腰为一边的三角形面积之和的一半．‎ ‎（3）过D1, A1, C2三点的抛物线解析式为：，‎ ‎△C1OD1与△C‎1A1C2面积和等于2×2×3＝6，当点P在直线下方时：‎ 解得：，；∴，‎ ‎∴ 当点P在直线上方时：‎ 得：，即，，，‎ ‎∴（注：第（3）题另解：用点到直线距离公式，可4个点同时求得，解法如下：‎ 设点P（x, ）,则P到的距离d ‎∴S△PD‎1C2＝D‎1C2·d＝＝8，解得4个点P坐标.)‎ ‎4、（2012江苏江阴青阳九年级下期中检测，26,8分）如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．‎ ‎⑴探索线段ME 与线段MF的数量关系，直接写出结论。‎ ‎⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．‎ ‎⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．‎ 图1 图2‎ 图3 图4‎ E F ‎⑷根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由． ‎ 答案： 图1 图2‎ 图3 图4‎ E F 26．（本题满分8分）‎‎ （3）ME=mMF．‎ 过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，‎ 在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，‎ ‎∴∠EMF=∠B=90°，‎ 又∵∠MGA=∠MGA=90°，‎ 在四边形GMHA中，∴∠GMH=90°，‎ ‎∴∠EMF=∠GMH，‎ ‎∴∠EMG=∠FMH． (5分)‎ ‎∵∠MGE=∠MHF，‎ ‎∴△MGE∽△MHF，‎ ‎∴， (6分)‎ 又∵M是矩形ABCD的对称中心，‎ ‎∴M是矩形ABCD对角线的中点 ‎∴MH∥BC，‎ ‎∴MH=BC．同理MG=AB，‎ ‎∵AB=mBC，‎ ‎∴mME=MF． （7分）‎ ‎（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠GMF=∠B，AB=mBC，‎ M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AD于F，AB交QM于E．则mME=MF．（8分） ‎ ‎（1）ME=MF (1分)‎ ‎（2）ME=MF．‎ 证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM， ‎ ‎∵M是菱形ABCD的对称中心，‎ ‎∴M是菱形ABCD对角线的交点，∴AM平分∠BAD，‎ ‎∴MH=MG， （2分）‎ ‎∵BC∥AD，‎ ‎∴∠B+∠BAD=180°，‎ ‎∵∠M=∠B，‎ ‎∴∠M+∠BAD=180°‎ 又∠MHA=∠MGF=90°，‎ 在四边形HMGA中，‎ ‎∠HMG+∠BAD=180°，‎ ‎∴∠EMF=∠HMG．（3分）‎ ‎∴∠EMH=∠FMG，‎ ‎∵∠MHE=∠MGF，‎ ‎∴△MHE≌△MGF，‎ ‎∴ME=MF． （4分） ‎ ‎5、已知矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E为CD边上的一个动点，连结AE、BE，以AE为直径作圆，交AB于点F，过点F作FH⊥BE于H，直线FH交⊙O于点G．‎ ‎(1)求证：⊙O必经过点D；‎ ‎(2)若点E运动到CD的中点，试证明：此时FH为⊙O的切线；‎ A F B C H E D O G ‎(3)当点E运动到某处时，AE∥FH，求此时GF的长．‎ A F B C H E D O 答案：（1）证明：∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O为AE中点，‎ ‎∴OD=AE，……2’‎ ‎∴点D在⊙O上．‎ ‎（2）证明：如图，连结OF、EF．‎ 易证AFED为矩形，‎ ‎∴AF=DE．‎ ‎∵E为CD的中点，‎ ‎∴F为AB的中点． ‎‎3’‎ ‎∴OF为△ABE的中位线，‎ ‎∴OF∥EB． ‎‎4’‎ ‎∵FH⊥EB，∴OF⊥FH． ‎‎5’‎ A F B C H E D O G M ‎∴FH为⊙O的切线．‎ ‎（3）解：作OM⊥FG，连结OF．‎ ‎∵AE∥FH，∴∠AEB=90°．‎ 易证△ADE∽△ECB，‎ 由相似得：DE=2或8．‎ ‎①当DE=2时，‎ 如图，AF=2，FB=8，EB=4，AE=2． ‎‎6’‎ 由△BFH∽△BAE得，HB=，∴OM=EH=．‎ A F B C H E D O G M ‎∴FG=2FM=． ‎‎7’‎ ‎②当DE=8时，‎ 如图，同上解法，可得OG=AE=2． ‎‎8’‎ OM=EH=．‎ ‎∴FG=‎2GM=． ‎