北京市朝阳区中考数学一模试卷解析版

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北京市朝阳区中考数学一模试卷解析版

‎2019年北京市朝阳区中考数学一模试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.(3分)实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最小的是(  )‎ A.a B.b C.c D.d ‎2.(3分)京津冀一体化是由京津唐工业基地的概念发展而来,涉及到的人口总数约为90 000 000人.将90 000 000用科学记数法表示应为(  )‎ A.0.9×108 B.9×107 C.90×106 D.9×106‎ ‎3.(3分)如图是某个几何体的三视图,该几何体是(  )‎ A.棱柱 B.圆锥 C.球 D.圆柱 ‎4.(3分)如图,直线l1∥l2,若∠1=70°,∠2=60°,则∠3的度数为(  )‎ A.40° B.50° C.60° D.70°‎ ‎5.(3分)一个试验室在0:00﹣4:00的温度T(单位:℃)与时间t (单位:h)的函数关系的图象如图所示,在0:00﹣2:00保持恒温,在2:00﹣4:00匀速升温,则开始升温后试验室每小时升高的温度为(  )‎ A.5℃ B.10℃ C.20℃ D.40℃‎ ‎6.(3分)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断后离地面的高度为x尺,则可列方程为(  )‎ A.x2﹣3=(10﹣x)2 B.x2﹣32=(10﹣x)2 C.x2+3=(10﹣x)2 D.x2+32=(10﹣x)2‎ ‎7.(3分)小军为了解同学们的课余生活,设计了如下的调查问卷(不完整):‎ 他准备在“①看课外书,②体育活动,③看电视,④踢足球,⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案,选取合理的是(  )‎ A.①②③ B.①④⑤ C.②③④ D.②④⑤‎ ‎8.(3分)如图,广场中心的菱形花坛ABCD的周长是40米,∠A=60°,则A,C两点之间的距离为(  )‎ A.5米 B.5米 C.10米 D.10米 ‎9.(3分)某班25名同学在一周内做家务劳动时间如图所示,则做家务劳动时间的众数和中位数分别是(  )‎ A.2和1.5 B.1.5和1.5 C.2和2.5 D.1.75和2‎ ‎10.(3分)如图1,在△ABC中,AB=BC,AC=m,D,E分别是AB,BC边的中点,点P为AC边上的一个动点,连接PD,PB,PE.设AP=x,图1中某条线段长为y,若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是(  )‎ A.PD B.PB C.PE D.PC 二、填空题(本题共18分,每小题3分)‎ ‎11.(3分)分解因式:3m2﹣6m+3=   .‎ ‎12.(3分)某水果公司购进10 000kg苹果,公司想知道苹果的损坏率,从所有苹果中随机抽取若干进行统计,部分结果如下表:‎ 苹果总质量n(kg)‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎1000‎ 损坏苹果质量m(kg)‎ ‎10.50‎ ‎19.42‎ ‎30.63[来源:1]‎ ‎39.24‎ ‎49.54‎ ‎101.10‎ 苹果损坏的频率(结果保留小数点后三位)‎ ‎0.105‎ ‎0.097‎ ‎0.102‎ ‎0.098‎ ‎0.099‎ ‎0.101‎ 估计这批苹果损坏的概率为   (结果保留小数点后一位),损坏的苹果约有   kg.‎ ‎13.(3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,则∠B的度数为   .‎ ‎14.(3分)某同学看了下面的统计图说:“这幅图显示,从2019年到2019年A市常住人口大幅增加.”你认为这位同学的说法是否合理?答:    (填“合理”或“不合理”),你的理由是   .‎ ‎15.(3分)如图,图中的四边形都是矩形,根据图形,写出一个正确的等式:   .‎ ‎16.(3分)阅读下面材料:‎ 在数学课上,老师提出如下问题:‎ 尺规作图:作一条线段的垂直平分线.‎ 已知:线段AB.‎ 求作:线段AB的垂直平分线.‎ 小红的作法如下:‎ 如图,①分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C;‎ ‎②再分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径(不同于①中的半径)作弧,两弧相交于点D,使点D与点C在直线AB的同侧;‎ ‎③作直线CD.‎ 所以直线CD就是所求作的垂直平分线.‎ 老师说:“小红的作法正确.”‎ 请回答:小红的作图依据是   .‎ 三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)‎ ‎17.(5分)计算:()﹣1﹣(π﹣2)0+|﹣2|+2sin60°.‎ ‎18.(5分)已知x2﹣2x﹣1=0.求代数式(x﹣1)2+x(x﹣4)+(x﹣2)(x+2)的值.‎ ‎19.(5分)解不等式组.‎ ‎20.(5分)如图,四边形ABCD中,AB∥DC,AE,DF分别是∠BAD,∠ADC的平分线,AE,DF交于点O.‎ 求证:AE⊥DF.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎21.(5分)“五•一”假期的某天,小明、小东两人同时分别从家出发骑共享单车到奥林匹克公园,已知小明家到公园的路程为15km,小东家到公园的路程为12km,小明骑车的平均速度比小东快3.5km/h,结果两人同时到达公园.求小东从家骑车到公园的平均速度.‎ ‎22.(5分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A(m,2),与y轴分别交于点B.‎ ‎(1)求m和b的值;‎ ‎(2)若点C在y轴上,且△ABC的面积是2,请直接写出点C的坐标.[来源:1ZXXK]‎ ‎23.(5分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两线交于点E.‎ ‎(1)求证:四边形ADBE是矩形;‎ ‎(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,AO=,求cos∠AED的值.‎ ‎24.(5分)阅读下列材料:‎ ‎2019年3月29日,习主席来到了北京市朝阳区将台乡参加首都义务植树活动,他指出爱绿护绿是每个公民的职责,造林绿化是功在当代、利在千秋的事业.首都北京一直致力于创造绿色低碳的良好生态环境,着力加大城区规划建绿.2019年,城市绿化覆盖率达到46.8%,森林覆盖率为40%,园林绿地面积67048公顷.2019年,城市绿化覆盖率比上年提高0.6个百分点,森林覆盖率为41%.2019年,城市绿化覆盖率达到48.4%,森林覆盖率为41.6%,生态环境进一步提升,园林绿地面积达到81305公顷.2019年,城市绿化覆盖率达到48.1%,森林覆盖率为42.3%,园林绿地面积比上年增加408公顷.‎ 根据以上材料解答下列问题:‎ ‎(1)2019年首都北京园林绿地面积为   公顷;‎ ‎(2)用统计表将2019﹣2019年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率表示出来.‎ ‎25.(5分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D在AB上,以BD为直径的⊙O切AC于点E,连接DE并延长,交BC的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:△BDF是等边三角形;‎ ‎(2)连接AF、DC,若BC=3,写出求四边形AFCD面积的思路.‎ ‎26.(5分)有这样一个问题:探究函数y=的图象与性质.‎ 小华根据学习函数的经验,对函数y=的图象与性质进行了探究.‎ 下面是小华的探究过程,请补充完整:‎ ‎(1)函数y=的自变量x的取值范围是   ;‎ ‎(2)下表是y与x的几组对应值.‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎6‎ ‎6‎ m ‎…‎ 求m的值;‎ ‎(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;‎ ‎(4)结合函数的图象,写出该函数的一条性质:   .‎ ‎27.(7分)在平面直角坐标系中xOy中,抛物线y=x2﹣mx+m2+m﹣2的顶点在x轴上.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)点Q是x轴上一点,‎ ‎①若在抛物线上存在点P,使得∠POQ=45°,求点P的坐标;‎ ‎②抛物线与直线y=2交于点E,F(点E在点F的左侧),将此抛物线在点E,F(包含点E和点F)之间的部分沿x轴平移n个单位后得到的图象记为G,若在图象G上存在点P,使得∠POQ=45°,求n的取值范围.‎ ‎28.(7分)在△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC,点D在AC的延长线上,点E在BC边上,且BE=AD,‎ ‎(1)如图1,连接AE,DE,当∠AEB=110°时,求∠DAE的度数;‎ ‎(2)在图2中,点D是AC延长线上的一个动点,点E在BC边上(不与点C重合),且BE=AD,连接AE,DE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接BF,DE.‎ ‎①依题意补全图形;‎ ‎②求证:BF=DE.‎ ‎29.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),且m≠0,点B的坐标为(n,0),将线段AB绕点B旋转90°,分别得到线段B P1,B P2,称点P1,P2为点A关于点B的“伴随点”,图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图.‎ ‎(1)已知点A(0,4),‎ ‎①当点B的坐标分别为(1,0),(﹣2,0)时,点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为   ;‎ ‎②点(x,y)是点A关于点B的“伴随点”,直接写出y与x之间的关系式;‎ ‎(2)如图2,点C的坐标为(﹣3,0),以C为圆心,为半径作圆,若在⊙‎ C上存在点A关于点B的“伴随点”,直接写出点A的纵坐标m的取值范围.‎ ‎2019年北京市朝阳区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.‎ ‎【解答】解:由图可知:c到原点O的距离最短,‎ 所以在这四个数中,绝对值最小的数是c.‎ 故选:C.‎ ‎2.‎ ‎【解答】解:90 000 000=9×107,‎ 故选:B.‎ ‎3.‎ ‎【解答】解:根据俯视图和左视图为矩形是柱体,根据主视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱.‎ 故选:D.‎ ‎4.‎ ‎【解答】解:∵直线l1∥l2,‎ ‎∴∠4=∠1=70°,‎ ‎∴∠3=180°﹣∠2﹣∠4=50°,‎ 故选:B.‎ ‎5.‎ ‎【解答】解:由函数图象知t=2时,温度T=20℃,当t=4时,温度T=40℃,‎ ‎∴开始升温后试验室每小时升高的温度为=10(℃),‎ 故选:B.‎ ‎6.‎ ‎【解答】解:设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10﹣x)尺,‎ 根据勾股定理得:x2+32=(10﹣x)2.‎ 故选:D.‎ ‎7.‎ ‎【解答】解:∵看课外书包含看小说,体育活动包含踢足球,‎ ‎∴④⑤的选项重复,‎ 故选取合理的是①②③.‎ 故选:A.‎ ‎8.‎ ‎【解答】解:如图,连接AC、BD,AC与BD交于点O,‎ ‎∵菱形花坛ABCD的周长是40米,∠BAD=60°,‎ ‎∴AC⊥BD,AC=2OA,∠CAD=∠BAD=30°,AD=10米,‎ ‎∴OA=AD•cos30°=10×=5(米),‎ ‎∴AC=2OA=10米.‎ 故选:D.‎ ‎9.‎ ‎【解答】解:2小时出现了8次,出现的次数最多,则众数为2;‎ 因为共有25个人,按大小顺序排列在中间的这个同学的做家务时间是1.5小时,则中位数为1.5.‎ 故选:A.‎ ‎10.‎ ‎【解答】解:A错误,观察图2可知PD在x=取得最小值.‎ B、错误.观察图2可知PB在x=取得最小值.‎ C、正确.观察图2可知PE在x=取得最小值.‎ D、错误.观察图2可知PC在x=m取得最小值为0.‎ 故选:C.‎ 二、填空题(本题共18分,每小题3分)‎ ‎11.‎ ‎【解答】解:3m2﹣6m+3‎ ‎=3(m2﹣2m+1)‎ ‎=3(m﹣1)2.‎ 故答案为:3(m﹣1)2.‎ ‎12.‎ ‎【解答】解:根据表中的损坏的频率,当实验次数的增多时,苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右,所以可估计苹果损坏率大约是0.1;‎ 根据题意得:‎ ‎10000×0.1=1000(kg)‎ 答:损坏的苹果约有1000kg.‎ 故答案为:0.1,1000.‎ ‎13.‎ ‎【解答】解:连接OA,如图,‎ ‎∵∠ACO=45°,OA=OC,‎ ‎∴∠ACO=∠CAO=45°,‎ ‎∴∠AOC=90°,‎ ‎∴∠B=45°.‎ 故答案为:45°‎ ‎14.‎ ‎【解答】解:这位同学的说法合理,‎ 理由:由函数图象可知函数图象上升的比较陡,从而可知从2019年到2019年A市常住人口大幅增加,‎ 故答案为:由函数图象可知函数图象上升的比较陡,从而可知从2019年到2019年A市常住人口大幅增加.‎ ‎15.‎ ‎【解答】解:(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab;‎ 故答案:(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab(答案不唯一).‎ ‎16.‎ ‎【解答】解:如图,∵由作图可知,AC=BC=AD=BD,‎ ‎∴直线CD就是线段AB的垂直平分线.‎ 故答案为:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.‎ 三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)‎ ‎17.‎ ‎【解答】解:原式=2﹣1+2﹣+=3.‎ ‎18.‎ ‎【解答】解:原式=x2﹣2x﹣1+x2﹣4x+x2﹣4‎ ‎=3x2﹣6x﹣3‎ ‎∵x2﹣2x﹣1=0‎ ‎∴原式=3(x2﹣2x﹣1)‎ ‎=0‎ ‎19.‎ ‎【解答】解:‎ 解不等式①,得x≤3. 解不等式②,得x>﹣1;‎ ‎∴原不等式组的解集为﹣1<x≤3.‎ ‎20.‎ ‎【解答】证明:∵AB∥DC,‎ ‎∴∠BAD+∠ADC=180°.‎ ‎∵AE,DF分别是∠BAD,∠ADC的角平分线,‎ ‎∴∠EAD=∠BAD,∠FDA=∠ADC.‎ ‎∴∠EAD+∠FDA=90°.‎ ‎∴∠AOD=90°.‎ ‎∴AE⊥DF.‎ ‎21.‎ ‎【解答】解:设小东从家骑车到公园的平均速度为xkm/h,‎ 解得,x=14,‎ 经检验x=14是原分式方程的解,‎ 答:小东从家骑车到公园的平均速度14km/h.‎ ‎22.‎ ‎【解答】解:(1)∵点A(m,2)在双曲线y=上,‎ ‎∴2=,得m=2,‎ ‎∵点A(2,2)直线y=x+b上,‎ ‎∴2=,得b=1,‎ 由上可得,m的值是2,b的值是1;‎ ‎(2)∵直线y=x+1与y轴交于点B,‎ ‎∴当x=0时,y=1,‎ 即点B的坐标为(0,1),‎ 又∵点C在y轴上,且△ABC的面积是2,点A(2,2),‎ ‎∴,得BC=2,‎ ‎∴点C的纵坐标为:1+2=3或1﹣2=﹣1,‎ ‎∴点C的坐标为(0,3)或(0,﹣1).‎ ‎23.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AE∥BC,BE∥AD,‎ ‎∴四边形ADBE是平行四边形.‎ ‎∵AB=AC,AD是BC边的中线,‎ ‎∴AD⊥BC.‎ 即∠ADB=90°.‎ ‎∴四边形ADCE为矩形.‎ ‎(2)∵在矩形ADCE中,AO=,‎ ‎∴DE=AB=5.‎ ‎∵D是BC的中点,‎ ‎∴AE=DB=4‎ ‎∴在Rt△ADE中,cos∠AED==.‎ ‎24.‎ ‎【解答】解:(1)2019年首都北京园林绿地面积为81305+408=81713公顷,‎ 故答案为:81713;‎ ‎(2)统计表如下:‎ ‎2019﹣2019年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率统计表 年份 项目 ‎2019‎ ‎2019‎ ‎2019‎ ‎2019‎ 城市绿化覆盖率 ‎46.8%‎ ‎47.4%‎ ‎48.4%‎ ‎48.1%‎ 森林覆盖率 ‎40%‎ ‎41%‎ ‎41.6%‎ ‎42.3%‎ ‎25.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OE,如图,‎ ‎∵AC切⊙O于点E,‎ ‎∴OE⊥AC,‎ ‎∴∠OEA=90°,‎ ‎∵∠A=30°,‎ ‎∴∠AOE=60°,∠B=60°,‎ ‎∵OD=OE,‎ ‎∴△ODE为等边三角形,‎ ‎∴∠ODE=60°,‎ ‎∴△BDF是等边三角形;‎ ‎(2)解:如图,作DH⊥AC于点H,如图,‎ ‎①由∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,可求AB,AC的长;‎ ‎②由∠AEO=90°,∠OAE=30°,可知AO=2OE,可求AD,DB,DH的长;‎ ‎③由(1)可知BF=BD,可求CF的长;‎ ‎④由AC,DH,CF的长可求四边形AFCD的面积.‎ ‎26.‎ ‎【解答】解:(1)函数y=的自变量x的取值范围是x≠2,‎ 故答案为:x≠2;‎ ‎(2)当x=7时,y===;‎ ‎∴m=;‎ ‎(3)该函数的图象如下图所示:‎ ‎(4)答案不唯一,函数图象关于直线x=2对称.‎ 故答案为:函数图象关于直线x=2对称.‎ ‎27.‎ ‎【解答】解:(1)y=x2﹣mx+m2+m﹣2=(x﹣m)2+m﹣2,‎ 由题意,可得m﹣2=0.‎ ‎∴m=2,‎ ‎∴y=(x﹣2)2.‎ ‎(2)①由题意得,点P是直线y=x与抛物线的交点.‎ ‎∴x=(x﹣2)2,‎ 解得x1=3+,x2=3﹣.‎ ‎∴P点坐标为(3+,3+)或(3﹣,3﹣).‎ ‎②∵∠POQ=45°,‎ ‎∴E点或F点的横、纵坐标的绝对值相等,‎ ‎∴当E点移动到点(2,2)时,n=2.‎ 当F点移动到点(﹣2,2)时,n=﹣6.[来源:Z#xx#k.Com]‎ 由图象可知,符合题意的n的取值范围是﹣6≤n≤2.‎ ‎28.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠AEB=110°,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠DAE=∠AEB﹣∠ACB=20°;‎ ‎(2)①补全图形,如图所示.‎ ‎②证明:由题意可知∠AEF=90°,EF=AE.‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠DAE=90°.‎ ‎∴∠BEF=∠DAE.‎ ‎∵在△EBF和△ADE中,‎ ‎∴△EBF≌△ADE(SAS).‎ ‎∴DE=BF.‎ ‎29.‎ ‎【解答】解:(1)①如图1中,作P1M⊥x轴于M.‎ ‎∵AB=BP1,∠AOB=∠P1MB=90°,易证∠ABO=∠P1,‎ ‎∴△ABO≌△BP1M,‎ ‎∴OA=BM,OB=P1M,‎ 当A(0,4),B(1,0)时,BM=4,P1M=1,OM=5,‎ ‎∴P1(5,1),‎ ‎∵P2与P1关于B对称,‎ ‎∴P2(﹣3,﹣1),‎ 当A(0,4),B(﹣2,0)时,同法可得P1(2,﹣2),P2(﹣6,2),‎ 故答案为(5,1),(﹣3,﹣1)和(2,﹣2),(﹣6,2)‎ ‎②如图2中,取N(4,0),则OA=ON,作P1M⊥x轴于M.‎ ‎∵△ABO≌△BP1M,‎ ‎∴OA=BM=ON,OB=P1M,‎ ‎∴OB=MN=P1M,‎ ‎∴△P1MN是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠P1NM=45°,‎ ‎∴点P1在经过点N,与x轴的夹角为45°的直线上,‎ 易知这条直线的解析式为y=x﹣4,‎ ‎∴P1(x,y)是点A关于点B的“伴随点”,y与x之间的关系式为y=x﹣4,‎ 同法可得P2(x,y),在直线y=﹣x﹣4,‎ ‎∴y与x之间的关系式:y=x﹣4或y=﹣x﹣4.‎ ‎(2)如图3中,‎ 由(1)可知,A(0,m)关于B的“伴随点”P(x,y),‎ y与x之间的关系式:y=x﹣m或y=﹣x﹣m,‎ 由题意可知,当直线y=x﹣m或y=﹣x﹣m与⊙C有交点时,在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”,‎ 易知相切时m=±1或±5,‎ 观察图象可知,满足条件的m的范围为:﹣5≤m≤﹣1或1≤m≤5.‎
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