山西中考数学试卷及答案
2016年山西省中考数学试卷
一、 选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.(2016·山西)的相反数是 ( )
A. B.-6 C.6 D.
2.(2016·山西)不等式组的解集是 ( )
A.x>5 B.x<3 C.-5
”或“=”或“<”)
13. (2016·山西)如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成,其中部分小正方形涂
有阴影,依此规律,第n个图案中有 个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示).
14. (2016·山西)如图是一个能自由转动的正六边形转盘,这个转盘被三条分割线分成形状相同,面积
相等的三部分,且分别标有“1”“2”“3”三个数字,指针的位置固定不动.让转盘自动转动两次,
当指针指向的数都是奇数的概率为__________
15. (2016·山西)如图,已知点C为线段AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连接AD,BE⊥AB,AE是
的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD于点H,则HG的长为____________
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(2016·山西)(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
(1)计算:
(2)先化简,在求值:,其中x=-2.
17.(2016·山西)(本题7分)解方程:
18. (2016·山西)(本题8分)每年5月的第二周为:“职业教育活动周”,今年我省展开了以“弘扬
工匠精神,打造技能强国”为主题的系列活动,活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长
和社区居民参加“职教体验观摩”活动,相关职业技术人员进行了现场演示,活动后该校随机抽取
了部分学生进行调查:
“你最感兴趣的一种职业技能是什么?”并对此进行了统计,绘制了统计图(均不完整).
(1)补全条形统计图和扇形统计图;
(2)若该校共有1800名学生,请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?
(3)要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈,那么正好抽到对“机电维修”最
感兴趣的学生的概率是
19.(2016·山西)(本题7分)请阅读下列材料,并完成相应的任务:
阿基米德折弦定理
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.
阿拉伯Al-Biruni(973年~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德的折弦定理.
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.
∵M是的中点,
∴MA=MC
...
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)填空:如图(3),已知等边△ABC内接于,AB=2,D为
上 一点, ,AE⊥BD与点E,则△BDC的长是 .
20. (2016·山西)(本题7分)我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg
(含2000kg和5000kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):
方案A:每千克5.8元,由基地免费送货.
方案B:每千克5元,客户需支付运费2000元.
(1) 请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达
式;
(2)求购买量x在什么范围时,选用方案A比方案B付款少;
(3)某水果批发商计划用20000元,选用这两种方案中的一种,购买尽可能多的这种苹果,请直接
写出他应选择哪种方案.
21. (2016·山西)(本题10分)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各
国普遍关注和重点发展的新兴产业,如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,
太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300cm,AB的倾斜角为,BE=CA=50cm,支撑角钢
CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,于点E.两个底座地基高度相
同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,求支撑角钢CD
和EF的长度各是多少cm(结果保留根号)
22.(2016·山西)(本题12分)综合与实践
问题情境
在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动,如图1,将一张菱形纸片ABCD()沿对角线AC剪开,得到和.
操作发现
(1)将图1中的以A为旋转中心,
逆时针方向旋转角,使 ,
得到如图2所示的,分别延长BC
和交于点E,则四边形的
状是 ;……………(2分)
(2)创新小组将图1中的以A为
旋转中心,按逆时针方向旋转角
,使,得到如图3所
示的,连接DB,,得到四边形,发现它是矩形.请你证明这个论;
实践探究
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13cm,AC=10cm,然后提出一个问题:将沿着射线DB方向平移acm,得到,连接,,使四边形恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题;
(4)请你参照以上操作,将图1中的在同一平面内进行一次平移,得到,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.
23. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线
l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐
标分别为(-2,0),(6,-8).
(1) 求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
(2) 试探究抛物线上是否存在点F,使≌,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,是等腰三角形.
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1. A 2. C 3.C 4. A 5.B
6.D 7.B 8.D 9.C 10.D
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11. (3,0) .
12. >
13.(4n+1)
14.
15.
16.(1)解答:原=9-5-4+1 ……………………………(4分)
=1. ……………………………(5分)
(2)解答:原式= ……………………………(2分)
= ……………………………(3分)
= ……………………………(4分)
当x=-2时,原式= ……………………(5分)
17. 解答:解法一:
原方程可化为 ……………………………(1分)
. ……………………………(2分)
. ……………………………(3分)
. ……………………………(4分)
∴ x-3=0或x-9=0. ……………………………(5分)
∴ ,. ……………………………(7分)
解法二:
原方程可化为
……………………………(3分)
这里a=1,b=-12,c=27. ∵
∴. ……………………………(5分)
因此原方程的根为 ,. ……………………………(7分)
18.解答:(1)补全的扇形统计图和条形统计图如图所示
(2)1800×30%=540(人)
∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人
(3)要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈,那么正好抽到对“机电维修”
最感兴趣的学生的概率是 0.13(或13%或)
19. 解答:(1)证明:又∵, …………………(1分)
∴ △MBA≌△MGC. …………………(2分)
∴MB=MG. …………………(3分)
又∵MD⊥BC,∵BD=GD. …………………(4分)
∴CD=CG+GD=AB+BD. …………………(5分)
(2)填空:如图(3),已知等边△ABC内接于,AB=2,
D为 上 一点, ,AE⊥BD与点E,则△BDC
的长是 .
20.解答:(1)方案A:函数表达式为. ………………………(1分)
方案B:函数表达式为 ………………………(2分)
(2)由题意,得. ………………………(3分)
解不等式,得x<2500 ………………………(4分)
∴当购买量x的取值范围为时,选用方案A
比方案B付款少. ………………………(5分)
(3)他应选择方案B. ………………………(7分)
21.解答:过点A作,垂足为G.…………(1分)
则,在Rt中,
.…………(2分)
由题意,得.…………(3分)
(cm).…(4分)
连接FD并延长与BA的延长线交于点H.…(5分)
由题意,得.在Rt中,
.……………………(6分)
.………(7分)
在Rt中,(cm).……………(9分)
答:支撑角钢CD的长为45cm,EF的长为cm.……………………(10分)
22.解答:(1)菱形
(2)证明:作于点E.…………………………………………(3分)
由旋转得,.
四边形ABCD是菱形,,,,,同理,,又, 四边形是平行四边形,…………………(4分)
又,,,
∴四边形是矩形…………………………………………(5分)
(3)过点B作,垂足为F,,
.
在Rt 中,,
在和中,, .
∽,,即,解得,
,,.…………………(7分)
当四边形恰好为正方形时,分两种情况:
①点在边上..…………………(8分)
②点在边的延长线上,.……………(9分)
综上所述,a的值为或.
(4):答案不唯一.
例:画出正确图形.……………………………………(10分)
平移及构图方法:将沿着射线CA方向平移,平移距离为的长度,得到,
连接.………………………(11分)
结论:四边形是平行四边形……(12分)
23.解答:(1)抛物线经过点A(-2,0),D(6,-8),
解得…………………………………(1分)
抛物线的函数表达式为……………………………(2分)
,抛物线的对称轴为直线.又抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0).点B的坐标为(8,0)…………………(4分)
设直线l的函数表达式为.点D(6,-8)在直线l上,6k=-8,解得.
直线l的函数表达式为………………………………………………………(5分)
点E为直线l和抛物线对称轴的交点.点E的横坐标为3,纵坐标为,即点E的坐标为(3,-4)……………………………………………………………………(6分)
(2)抛物线上存在点F,使≌.
点F的坐标为()或().……………………………………(8分)
(3)解法一:分两种情况:
①当时,是等腰三角形.
点E的坐标为(3,-4),,过点E作直线ME//PB,交y轴于点M,交x轴于点H,则,……………………………………(9分)
点M的坐标为(0,-5).
设直线ME的表达式为,,解得,ME的函数表达式为,令y=0,得
,解得x=15,点H的坐标为(15,0)…(10分)
又MH//PB,,即,……………………………(11分)
②当时,是等腰三角形.
当x=0时,,点C的坐标为(0,-8),
,OE=CE,,又因为,,
,CE//PB………………………………………………………………(12分)
设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为,,解得,CE的函数表达式为,令y=0,得,,点N的坐标为
(6,0)………………………………………………………………(13分)
CN//PB,,,解得………………(14分)
综上所述,当m的值为或时,是等腰三角形.
解法二:
当x=0时, ,点C的坐标为(0,-8),点E的坐标为
(3,-4),,,OE=CE,,设抛物线的对称轴交直线PB于点M,交x轴于点H.分两种情况:
① 当时,是等腰三角形.
,,CE//PB………………………………………(9分)
又HM//y轴,四边形PMEC是平行四边形,,
,HM//y轴,
∽,……………………………………………………(10分)
………………………………………………………(11分)
②当时,是等腰三角形.
轴,∽,,……………(12分)
,,轴,∽,…………………………………………………(13分)
………………(14分)
当m的值为或时,是等腰三角形.