中考数学专题训练——几何题中用旋转构造手拉手模型

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中考数学专题训练——几何题中用旋转构造手拉手模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型 ‎ 一、教学目标:‎ ‎1.了解并熟悉“手拉手模型”,归纳掌握其基本特征.‎ ‎2.借助“手拉手模型”,利用旋转构造全等解决相关问题.‎ ‎3.举一反三,解决求定值,定角,最值等一类问题.‎ 二、教学重难点:‎ ‎1.挖掘和构造“手拉手模型”,学会用旋转构造全等.‎ ‎2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择.‎ 三、教学过程:‎ ‎1.复习旧知 师:如图,△ABD,△BCE为等边三角形,从中你能得出哪些结论?‎ 生:(1)△ABE≌△DBC (2)△ABG≌△DBF ‎ (3)△CFB≌△EGB (4)△BFG为等边三角形 ‎ (5)△AGB∽△DGH (6)∠DHA=60°(7)H,G,F,B四点共圆 (8)BH平分∠AHC ……‎ 师:我们再来重点研究△ABE与△DBC,这两个全等的三角形除了对应边相等,对应角相等外,还有什么共同特征呢?‎ 生:它们有同一个字母B,即同一个顶点B.‎ 师:我们也可以把△DBC看作由△ABE经过怎样的图形运动得到?‎ 生:绕点B逆时针旋转60°得到.‎ ‎2.引入新课 师:其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型,叫“手拉手模型”,谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢?‎ 生:对应边相等.‎ 师:我们可以称之为“等线段”.‎ 生:有同一个顶点.‎ 师:我们可以称之为“共顶点”.‎ 师:等线段,共顶点的两个全等三角形,我们一般可以考虑哪一种图形运动?‎ 生:旋转.‎ 师: “手拉手模型”可以归纳为:等线段,共顶点,一般用旋转.‎ ‎3.小题热身 图3‎ 图2‎ 图1‎ ‎1.如图1,△BAD中,∠BAD=45°,AB=AD,AE⊥BD于E,BC⊥AD于C, 则AF=____BE.‎ ‎2.如图2,△ABC和△BED均为等边三角形,ADE三点共线,若BE=2,CE=4,则AE=______.‎ ‎3.如图3,正方形ABCD中,∠EAF=45°, BE=3,DF=5,则EF=_______.‎ 师:我们来看第1,第2题,这里面有“手拉手模型”吗?请你找出其中的“等线段,共顶点”.‎ 生:题1中,等线段是AC,BC,共顶点是C,△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD.‎ ‎ 题2中,等线段是AB,BC,共顶点是B,△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE.‎ 师:我们再来看第3题,这里有“手拉手模型”吗?‎ 生:没有. ‎ 师:那其中有没有“等线段,共顶点”呢?‎ 生:等线段是AD,AB,共顶点是A.‎ 师:我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢?‎ 生:将AE旋转,绕点A逆时针旋转90°.‎ 师:为什么是逆时针旋转90°,你是如何思考的?‎ 生:我准备构造一个和△ABE全等的三角形, AB绕点A逆时针旋转90°即为AD,那么将AE逆时针旋转90°可得AG,连接GD,证明全等.‎ 师:说的不错,谁能再来归纳一下,借助“手拉手模型”,用旋转构造全等的方法吗?‎ 生:先找有没有“等线段,共顶点”,再找其中一条 “共顶点”的线段,将其旋转.‎ 师:旋转角度如何确定,方向怎么选择?‎ 生:选择其中一个三角形,将“共顶点”的线段旋转.旋转角为两条“等线段”间的夹角.方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致.‎ 师:非常棒,可以说,你已经掌握了这节课的精髓.但是,很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件,剩余的需要我们自己去构造,可以如何构造呢?‎ 步骤1:先找有没有“等线段,共顶点”.‎ 步骤2:选择其中一个三角形,将其中经过 “共顶点”的线段旋转.‎ 步骤3:旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致,旋转角为“等线段”间的夹角.‎ 师:这道题还有一个要注意的地方,你发现了吗?‎ 生:连接GD后,要证明G,D,F三点共线.‎ ‎4.例题精讲 例1:等边△ABC中,AD=4,DC=3,BD=5,求∠ADC度数.‎ 师:这里有没有隐含的“手拉手模型”?‎ 要构造全等,该怎样旋转?‎ 生:将△ADC绕点A顺时针旋转60°.‎ 师:你是怎么想的,还有其他做法吗?‎ 生:我发现AB=AC,A为“共顶点”,我选择的旋转线段 是AD,因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB,所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°.也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°.‎ ‎【解答】‎ 将AD绕点A顺时针旋转60°到AE,连接BE,DE.则△ADE也为等边三角形.易证△AEB≌△ADC,∴BE=DC=4,根据勾股定理逆定理,可证∠BED=90°,则∠AEB=∠ADC=150°‎ 例2: 如图,△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, ÐAOB=ÐCOD=90°.若△BOC的面积为1, 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积. ‎ 师:由于线段分散,如何通过图形变换,使这些线段能构成一个三角形?‎ 生:将OD绕点O逆时针旋转90°至OE,即可使OC,OD共线,再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形.‎ ‎【解答】‎ 如图,将OD绕点O逆时针旋转90°至OE,连接BE.易证△OAD≌△OBE,AD=BE,∴△BCE即是以AD、BC、OC+OD长度为三边长的三角形.又∵OC=OE,∴S△BCE=2S△BOC=2.‎ ‎5.自主练习 ‎1.如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为 _________.‎ 师:请找出隐含的“手拉手模型”,并写出解决方法.‎ 生:“等线段”是CA和BA,“共顶点”是A.方法是将AD绕点A顺时针旋转90°.‎ ‎2.如图,在△ABC中,BC=2,AB=,以AC为边,向外做正方形 ACDE,连接BE,则BE最大值为_________.‎ 师:请找出隐含的“手拉手模型”,并写出解决方法.‎ 生:“等线段”是CA和EA,“共顶点”是A.‎ 方法是将AB绕点A逆时针旋转90°.‎ 师:你为何要逆时针旋转,你准备旋转哪个三角形?‎ 生:△ABC,因为AC是逆时针旋转90°到AE,所以AB也绕点A逆时针旋转90°.‎ ‎3.如图,点A在⊙B上,AB=1,BC=2,△ACD是等边三角形,求△BCD面积的最大值.‎ 师:请找出隐含的“手拉手模型”,并写出解决方法.‎ 生:“等线段”是CA和CD,“共顶点”是C.‎ 方法是将CA绕点C逆时针旋转60°.‎ 附:自主练习解答 1. 如图,将AD绕点A顺时针旋转90°至AE,易证△EAC≌△DAB,可得CE=BD,又∵∠EDA=45°,∴∠CDE=90°,CD=3,DE=4,则Rt△CDE中,CE2=CD2+DE2=32 + (4)2=41‎ ‎∴CE=,∴DB= ‎2.如图,将AB绕点A逆时针旋转90°至AF,易证△EAF≌△CAB,可得EF=BC=2.Rt△BAF中,AF=AB=,∴BF=2.由三角形三边关系易知,BE≤EF+BF,∴BE最小值为4.‎ ‎3.如图,将CB绕点C逆时针旋转60°至CE,连接DE,过点E作EF⊥CB于F,过点D作DG⊥CB于G.易证△CBA≌CED, 则DE=1,EF=,过E作DG边上的高,可证DG<DE+EF.‎ 当D,E,F三点共线时,DG=DE+EF.即高的最大值为1+, S△BCDmax=×2×(1+)=1+
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