中考数学专题训练压轴题含解析

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中考数学专题训练压轴题含解析

压轴题 ‎1、已知,在平行四边形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t秒.‎ ‎(1)求直线AC的解析式;‎ ‎(2)试求出当t为何值时,△OAC与△PAQ相似;‎ ‎(3)若⊙P的半径为,⊙Q的半径为;当⊙P与对角线AC相切时,判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系,并求出Q点坐标。‎ 解:(1)‎ ‎(2)①当0≤t≤2.5时,P在OA上,若∠OAQ=90°时,‎ ‎  故此时△OAC与△PAQ不可能相似.‎ ‎  当t>2.5时,①若∠APQ=90°,则△APQ∽△OCA,‎ ‎  ‎ ‎  ∵t>2.5,∴符合条件.‎ ‎  ②若∠AQP=90°,则△APQ∽△∠OAC,‎ ‎  ‎ ‎  ∵t>2.5,∴符合条件.‎ ‎  综上可知,当时,△OAC与△APQ相似.‎ ‎  (3)⊙Q与直线AC、BC均相切,Q点坐标为()。‎ ‎2、如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.‎ ‎(1)直接写出点E、F的坐标;‎ ‎(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;‎ ‎(第2题)‎ ‎(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.‎ 解:(1);.(2)在中,,‎ ‎.‎ 设点的坐标为,其中,顶点,‎ ‎∴设抛物线解析式为.‎ ‎①如图①,当时,,.‎ 解得(舍去);...解得.‎ 抛物线的解析式为 ‎②如图②,当时,,.‎ 解得(舍去).‎ ‎③当时,,这种情况不存在.‎ 综上所述,符合条件的抛物线解析式是.‎ ‎(3)存在点,使得四边形的周长最小.‎ 如图③,作点关于轴的对称点,作点关于 轴的对称点,连接,分别与轴、轴交于 点,则点就是所求点.‎ ‎,.‎ ‎..又,,此时四边形的周长最小值是.‎ ‎3、如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB ‎ 上一个动点,过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.‎ ‎(1)①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;‎ ‎②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;‎ ‎(3)以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?如果能相似,请求出BP的长,如果不能,请说明理由。‎ 第3题 解:(1)①在等边三角形ABC中,∠B=60°,∵PG⊥AB,‎ ‎      ∴∠BGP=30°,∴BG=2BP.‎ ‎    ②∵PF//AC,∴△PBF为等边三角形,∴BF=PF=PB=x.‎ 又∵BG=2x,BD=1,∴DG=2x-1,∴0<2x-1≤1,∴.‎ ‎(2)S=DE×DF=‎ ‎=‎ 当时,.‎ ‎(3)①如图1,若∠PFE=Rt∠,则两三角形相似,‎ 此时可得DF=DG 即 解得:.‎ ‎②如图2,若∠PEF=Rt∠,则两三角形相似,‎ 此时可得DF=EF=BP,‎ 即.解得:.‎ ‎4、如图,二次函数的图像经过点,‎ 且与轴交于点.‎ ‎(1)试求此二次函数的解析式;‎ ‎(2)试证明:(其中是原点);‎ ‎(3)若是线段上的一个动点(不与、重合),过作轴的平行线,分别交此二次函数图像及轴于、两点,试问:是否存在这样的点,使?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由。‎ 解:(1)∵点与在二次函数图像上,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴二次函数解析式为.‎ ‎(2)过作轴于点,由(1)得,则在中,,又在中,, ‎ ‎∵,∴.‎ ‎(3)由与,可得直线的解析式为, ‎ 设,则,‎ ‎∴.∴.‎ 当,解得 (舍去),∴.‎ 当,解得 (舍去),∴.‎ 综上所述,存在满足条件的点,它们是与.‎ ‎5、如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°‎ ‎,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒,△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米.‎ ‎(1)求y1与x的函数关系,并在图2中画出y1的图象;‎ ‎(2)如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P的速度及AC的长;‎ ‎(3)在图2中,点G是x轴正半轴上一点(0<OG<6=,过G作EF垂直于x轴,分别交y1、y2于点E、F.‎ ‎①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义;‎ 图2‎ G ‎2 4 6 8 10 ‎ ‎1210‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ y O x ‎②当0<x<6时,求线段EF长的最大值.‎ 图1‎ C Q→ B D A P↓‎ 解:(1)∵,CD=3,CQ=x,∴.‎ 图象如图所示.‎ ‎(2)方法一:,CP=8k-xk,CQ=x,‎ ‎∴.∵抛物线顶点坐标是(4,12),‎ ‎∴.解得.则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.‎ 方法二:观察图象知,当x=4时,△PCQ面积为12.‎ 此时PC=AC-AP=8k-4k=4k,CQ=4.∴由,得 .‎ 解得.则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.‎ 方法三:设y2的图象所在抛物线的解析式是.‎ ‎∵图象过(0,0),(4,12),(8,0),‎ ‎∴ 解得 ∴. ①‎ ‎∵,CP=8k-xk,CQ=x,∴. ②‎ 比较①②得.则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.‎ ‎(3)①观察图象,知线段的长EF=y2-y1,表示△PCQ与△DCQ的面积差(或△PDQ面积).②由⑵得 .(方法二,)‎ ‎∵EF=y2-y1,∴EF=,‎ ‎∵二次项系数小于0,∴在范围,当时,最大.‎ ‎6、如图,在中,,、分别是边、‎ 上的两个动点(不与、重合),且保持,以为边,在点的异侧作正方形.‎ ‎(1)试求的面积;‎ ‎(2)当边与重合时,求正方形的边长;‎ ‎(3)设,与正方形重叠部分的面积为,试求关于的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(4)当是等腰三角形时,请直接写出的长。‎ G F E D C B A 解:(1)过作于,∵,∴.‎ ‎ 则在中,,∴.‎ ‎(2)令此时正方形的边长为,则,解得.‎ ‎(3)当时,.‎ 当时,.‎ ‎ (4).‎ ‎7、如图已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线上.‎ ‎(1)求、n;‎ ‎(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;‎ ‎(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为点C,试在轴上找点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与相似.‎ 解:(1)根据题意,得: 解得 B A O ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ x y A′‎ B′‎ ‎ (2)四边形A A′B′B为菱形,则A A′=B′B= AB=5‎ ‎ ∵‎ ‎ =‎ ‎∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为 ‎ ‎(3)设D(x,0)根据题意,得:AB=5,‎ ‎ ∵∠A=∠B B′A ‎ y B A O ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ x C B′‎ D ⅰ) △ABC∽△B′CD时,∠ABC=∠B′CD ,∴BD=6-x, 由 得 解得x=3, ∴D(3,0)‎ ⅱ)△ABC∽△B′DC时,‎ ‎ ∴ 解得 ∴‎ ‎8、如 图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,A B⊥BC ,AD=2,AB=8,‎ CD=10.‎ ‎(1)求梯形ABCD的面积S;‎ ‎(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度、沿C→D→A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B→A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值,并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积;若不存在,请说明理由;‎ ‎②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(备用图)‎ 解:‎ 在Rt△DCH中,‎ ‎(2)①‎ 经计算,PQ不平分梯形ABCD的面积 ‎②‎ ‎,-‎ ‎9、如图,⊙O的半径为1,等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为(,0),CAB=90°,AC=AB,顶点A在⊙O上运动.‎ ‎(1)当点A在x轴上时,求点C的坐标;‎ ‎(2)当点A运动到x轴的负半轴上时,试判断直线BC与⊙O位置关系,并说明理由;‎ ‎(3)设点A的横坐标为x,△ABC的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值与最小值;‎ A B C O x y ‎(4)当直线AB与⊙O相切时,求AB所在直线对应的函数关系式.‎ 解:(1)当点A的坐标为(1,0)时,AB=AC=-1,点C的坐标为(1,-1);‎ 当点A的坐标为(-1,0)时,AB=AC=+1,点C的坐标为(-1,+1);‎ ‎(2)直线BC与⊙O相切,过点O作OM⊥BC于点M,∴∠OBM=∠BOM=45°, ‎ ‎∴OM=OB·sin45°=1,∴直线BC与⊙O相切 ‎(3)过点A作AE⊥OB于点E 在Rt△OAE中,AE2=OA2-OE2=1-x2,‎ 在Rt△BAE中,AB2=AE2+BE2=(1-x2) +(-x)2=3-2x A B C O x y E ‎∴S=AB·AC= AB2=(3-2x)= ‎ 其中-1≤x≤1,‎ 当x=-1时,S的最大值为,‎ 当x=1时,S的最小值为.‎ ‎(4)①当点A位于第一象限时(如右图):‎ 连接OA,并过点A作AE⊥OB于点E ‎∵直线AB与⊙O相切,∴∠OAB=90°,‎ A B ‎(C)‎ O x y E 又∵∠CAB=90°,∴∠CAB +∠OAB=180°,‎ ‎∴点O、A、C在同一条直线上,∴∠AOB=∠C=45°,‎ 在Rt△OAE中,OE=AE=.点A的坐标为(,)‎ 过A、B两点的直线为y=-x+.‎ ‎②当点A位于第四象限时(如右图)‎ 点A的坐标为(,-),过A、B两点的直线为y=x-. ‎ ‎10、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB
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