广东省中考数学真题试题含解析

广东省中考数学真题试题含解析

广东省2017年中考数学真题试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．5的相反数是（　　）‎ A．　　　　　　B．5　　　　　　C．﹣　　　　　　D．﹣5‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．故选D．‎ 考点：相反数．‎ ‎2．“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4000000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.4×109　　　　　　B．0.4×1010　　　　　　C．4×109　　　　　　D．4×1010‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：4000000000=4×109．故选C．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数．‎ ‎3．已知∠A=70°，则∠A的补角为（　　）‎ A．110°　　　　　　B．70°　　　　　　C．30°　　　　　　D．20°‎ ‎【答案】A．‎ 考点：余角和补角．‎ ‎4．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（　　）‎ A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．﹣1　　　　　　D．﹣2‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵2是一元二次方程的一个根，∴22﹣3×2+k=0，解得，k=2．故选B．‎ 考点：一元二次方程的解．‎ ‎5．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的平分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（　　）‎ A．95　　　　　　B．90　　　　　　C．85　　　　　　D．80‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．故选B．‎ 考点：众数．‎ ‎6．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．等边三角形　　　　　　B．平行四边形　　　　　　C．正五边形　　　　　　D．圆 ‎【答案】D．‎ 考点：中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线（≠0）与双曲线（≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　）‎ A．（﹣1，﹣2）　　　　　B．（﹣2，﹣1）　　　　　C．（﹣1，﹣1）　　　　　D．（﹣2，﹣2）‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵点A与B关于原点对称，∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选A．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎8．下列运算正确的是（　　）‎ A． 　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．‎ ‎9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（　　）‎ A．130°　　　　　　B．100°　　　　　　C．65°　　　　　　D．50°‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°，∵DA=DC，∴∠DAC=（180°-∠D）÷2=65°，故选C．‎ 考点：圆内接四边形的性质．‎ ‎10．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（　　）‎ A．①③　　　　　　B．②③　　　　　　C．①④　　　　　　D．②④‎ ‎【答案】C．‎ 考点：正方形的性质．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．分解因式：= ．‎ ‎【答案】a（a+1）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：=a（a+1）．故答案为：a（a+1）．‎ 考点：因式分解﹣提公因式法．‎ ‎12．一个n边形的内角和是720°，则n= ．‎ ‎【答案】6．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设所求正n边形边数为n，则（n﹣2）•180°=720°，解得n=6．‎ 考点：多边形内角与外角．‎ ‎13．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b 0．（填“＞”，“＜”或“=”）‎ ‎【答案】＞．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵a在原点左边，b在原点右边，∴a＜0＜b，∵a离开原点的距离比b离开原点的距离小，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0．故答案为：＞．‎ 考点：实数大小比较；实数与数轴．‎ ‎14．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵5个小球中，标号为偶数的有2、4这2个，∴摸出的小球标号为偶数的概率是，故答案为：．‎ 考点：概率公式．‎ ‎15．已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为 ．‎ ‎【答案】﹣1．‎ 考点：代数式求值；整体思想．‎ ‎16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，∴AH= ==，故答案为：．‎ 考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；综合题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．计算：．‎ ‎【答案】9．‎ 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ ‎18．先化简，再求值：，其中x=．‎ ‎【答案】2x，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先计算括号内分式的加法，再计算乘法即可化简原式，将x的值代入求解可得．‎ 试题解析：原式==2x 当x=时，原式=．‎ 考点：分式的化简求值．‎ ‎19．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？‎ ‎【答案】男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y 人，根据“若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．‎ 试题解析：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意得：，解得：．‎ 答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．‎ 考点：二元一次方程组的应用．‎ 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．‎ ‎（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．‎ ‎【答案】（1）作图见见解析；（2）100°．‎ 试题解析：（1）如图所示；‎ ‎（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=50°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．‎ 考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．‎ ‎21．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．‎ ‎（1）求证：AD⊥BF；‎ ‎（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）150°．‎ 试题解析：（1）证明：如图，连结DB、DF．‎ ‎∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．‎ 在△BAD与△FAD中，∵AB=AF，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∴△BAD≌△FAD，∴DB=DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；‎ ‎（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴‎ DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．‎ 考点：菱形的性质．‎ ‎22．某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图标信息回答下列问题：‎ 体重频数分布表 ‎（1）填空：①m= （直接写出结果）；‎ ‎②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于 度；‎ ‎（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？‎ ‎【答案】（1）①52；②144；（2）720．‎ 试题解析：（1）①调查的人数为：40÷20%=200（人），∴m=200﹣12﹣80﹣40﹣16=52；‎ ‎②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°=144°；‎ 故答案为：52，144；‎ ‎（2）九年级体重低于60千克的学生大约有×1000=720（人）．‎ 考点：扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．‎ 五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）P的坐标为（，）；（3）．‎ ‎（2）∵点C在y轴上，所以C点横坐标x=0，∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标xP==，‎ ‎∵点P在抛物线上，∴yP==，∴点P的坐标为（，）；‎ ‎（3）∵PM∥OC，∴∠OCB=∠MPB，PM=，MB=，∴PB=，∴sin∠MPB=，∴sin∠OCB=．‎ 考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形．‎ ‎24．如图，AB是⊙O的直径，AB=，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．‎ ‎（1）求证：CB是∠ECP的平分线；‎ ‎（2）求证：CF=CE；‎ ‎（3）当时，求劣弧的长度（结果保留π）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎（2）证明：连接AC．‎ ‎∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；弧长的计算．‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．‎ ‎（1）填空：点B的坐标为 ；‎ ‎（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）①求证：=；‎ ‎②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．‎ ‎【答案】（1）（，2）；（2）AD的值为2或；（3）①证明见解析；②，当x=3时，y有最小值．‎ ‎（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；‎ ‎②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；‎ 试题解析：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（，2）．‎ 故答案为：（，2）．‎ ‎（2）存在．理由如下：‎ 连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．‎ ‎∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°‎ ‎①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2，∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．‎ ‎②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=．‎ 综上所述，满足条件的AD的值为2或．‎ ‎（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．‎ ‎②如图2中，作DH⊥AB于H．‎ 考点：相似形综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．‎