中考平面几何证明方法以及添加辅助线方法

中考平面几何证明方法以及添加辅助线方法

平面几何证明题型和方法 一、证明与三角形相关的题型：‎ ‎1.证明三角形全等△ABC ≌ △DEF ‎（方法一）全等三角形的五个公理：‎ ‎（1）边角边公理(S.A.S) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。‎ ‎（2）角边角公理(A.S.A) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。‎ ‎（3）推论(A.A.S) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。‎ ‎（4）边边边公理(S.S.S) 有三边对应相等的两个三角形全等。‎ ‎（5）斜边、直角边公理(H.L)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。‎ ‎（方法二）关于某条直线对称的两个图形是全等形 ‎（方法三）关于中心对称的两个图形是全等的 ‎（方法四）图形旋转后，形状和大小都不变。旋转前后的图形全等。‎ ‎2.证明三角形相似△ABC ∽ △DEF ‎（方法一）相似三角形的四个判定定理：‎ ‎（1）相似三角形的判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（AA）。‎ ‎（2）相似三角形的判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（S’AS’）‎ ‎（3）相似三角形的判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（S’S’S’）‎ ‎（4）相似三角形的判定定理4 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。(H’L’)。‎ ‎（方法二）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。‎ ‎3.证明中位线 DE是△ABC的中位线 ‎（方法一）经过△ABC的边AB的中点D与另一边平行的直线，与第三边交于点E，那么DE是△ABC的中位线。‎ ‎（方法二）△ABC的边AB的中点D，边AC的中点E，那么线段DE是△ABC的中位线。‎ ‎4.证明垂直平分线 DE是△ABC的BC边的垂直平分线 ‎（方法一）证明DE垂直BC，而且DE平分BC。‎ ‎（方法二）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。‎ 证明DB = DC，EB = EC。‎ ‎（方法三）如果两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 ‎（对称轴是①对应点连线的垂直平分线 ②两对对应点中点的连线）。‎ ‎（方法四）垂径定理的推论1 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。‎ ‎（方法五）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。‎ 二、证明与线段相关的题型：‎ ‎1.证明线段相等AB = CD；证明中点；证明中线；证明（互相）平分 ‎（方法一）证明三角形全等△ABE ≌ △CDF，对应线段相等AB = CD。‎ ‎（方法二）等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。‎ ‎（方法三）（三线合一）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。‎ ‎（方法四）三角形的角平分线，垂直平分线：‎ ‎（1）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。‎ ‎（2）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。‎ ‎（方法五）平行四边形的性质：‎ ‎（1）平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等。‎ ‎（2）平行四边形性质定理1推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。‎ ‎（3）平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分。‎ ‎（4）矩形性质定理3 矩形的对角线相等。‎ ‎（5）菱形性质定理2 菱形的四条边都相等。‎ ‎（6）正方形性质定理1 正方形的四条边都相等。‎ ‎（7）正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分。‎ ‎（方法六）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（对称中心是两对对称点连线的交点）。‎ ‎（方法七）关于圆的定理：‎ ‎（1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。‎ 垂径定理的推论1 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。‎ ‎（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。‎ ‎（3）切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。‎ ‎（方法八）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。‎ 中点公式：点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的中点M的坐标是M ‎2.证明线段成倍数AB = nCD，（n是正整数）；证明三等分点；四等分点 ‎（方法一）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎（方法二）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。‎ ‎（方法三）平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的正向延长线/反向延长线），所得的对应线段成比例。‎ ‎（方法四）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半。‎ ‎（方法五）“截长补短法”‎ 截长：在AB边上取n等分点A1，A2……An-1，证明其中一段AkAk+1 = CD即可。‎ 补短：延长CD至H，使得DH = (n－1)CD，证明CH = AB即可。‎ ‎（方法六）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。‎ ‎3.证明线段成比例AB/CD = AE/CF，‎ AB/BC = AD/DE，AB/AC = AD/AE，BC/AC = DE/AE ‎（方法一）证明三角形相似△ABE ∽ △CDF，对应边成比例AB/CD = AE/CF。‎ ‎（方法二）平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的正向延长线/反向延长线），所得的对应线段成比例。‎ ‎（方法三）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。‎ 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长度的比例中项。‎ ‎（方法四）切割线定理（圆幂定理） 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点与割线和圆的两个交点所成的两条线段长度的比例中项 ‎（方法五）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。‎ ‎4.证明多条线段的长度等量关系AB + CD = EF ‎（方法一）梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。‎ ‎（方法二）圆的外切四边形的两组对边的和相等。‎ ‎（方法三）“截长补短法”‎ 截长：在EF边上截取EG = AB，证明GF = CD即可。‎ 补短：延长AB至H，使得BH = CD，证明AH = EF即可。‎ ‎（方法四）勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 。‎ ‎（方法五）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。‎ ‎5.证明线段不相等AB > CD ‎（方法一）把边AB和CD通过等长的线段转化为同一个三角形的两条边。根据“大角对大边”来证明。‎ ‎（方法二）三角形两边的和大于第三边。‎ ‎（方法三）三角形两边的差小于第三边。‎ ‎（方法四）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。‎ 三、证明与角相关的题型：‎ ‎1.证明角相等∠A = ∠B；证明角平分线 ‎（方法一）同角或等角：‎ ‎（1）同角或等角的补角相等。‎ ‎（2）同角或等角的余角相等。‎ ‎（方法二）直线平行和角的关系：‎ ‎（1）两直线平行，同位角相等。‎ ‎（2）两直线平行，内错角相等。‎ ‎（方法三）证明三角形全等△ACE ≌ △BDF，对应角相等∠A = ∠B。‎ ‎（方法四）证明三角形相似△ACE ∽ △BDF，对应角相等∠A = ∠B。‎ ‎（方法五）等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角）。‎ ‎（方法六）（三线合一）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。‎ ‎（方法七）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。‎ ‎（方法八）平行四边形的性质：‎ ‎（1）平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等。‎ ‎（2）菱形性质定理3 菱形的每一条对角线平分一组内角/对角。‎ ‎（3）正方形性质定理2 正方形的每条对角线平分一组内角/对角。‎ ‎（方法九）锐角三角比：如果两个锐角的三角比 （正弦值，余弦值，正切值，余切值）相等，那么这两个锐角相等。‎ ‎[应用1] 先证明对应角相等，再证明三角形全等，三角形相似。‎ ‎[应用2]“动点问题”求解：把某条边长设为未知数，利用三角比用这个未知数来表示其它边长。最终求出所求的边长－边长，面积－边长的函数关系式。‎ 注意要准确求出符合题意的未知数的取值范围。‎ ‎（方法十）关于圆的定理：‎ ‎（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。‎ ‎（2）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。‎ ‎（3）切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。‎ ‎（4）弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。‎ ‎2.证明角成倍数∠A = n∠B，（n是正整数）‎ ‎（方法一）圆的一条弧/弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。‎ ‎（方法二）“割补法”‎ 分割：作出∠A 的n等分线AP1，AP2……APn-1，证明其中一个n等分角∠PkAPk+1 = ∠B即可。‎ 特例：对于∠A = 2∠B，可以把∠A作为外角，在∠A外部作出一个等腰三角形。‎ 补形：以∠B的一条边为边，在∠B的外部作出和∠B相等的角，同理重复作出n－1个和∠B相等的角，证明∠B和所作的角之和等于∠A。‎ ‎3.证明多个角的大小关系∠1和∠2互补；∠1和∠2互余；∠1 + ∠2 = ∠3‎ ‎（方法一）两直线平行，同旁内角互补。‎ ‎（方法二）圆的内接四边形的对角互补。‎ ‎（方法三）锐角三角比证明互余：‎ ‎（1）如果一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值，那么这两个锐角互余。‎ ‎（2）如果一个锐角的余弦值等于另一个锐角的正弦值，那么这两个锐角互余。‎ ‎（3）如果一个锐角的正切值等于另一个锐角的余切值，那么这两个锐角互余。‎ ‎（4）如果一个锐角的余切值等于另一个锐角的正切值，那么这两个锐角互余。‎ ‎（方法四）“割补法”‎ 分割：以∠3的一条边为边，在∠3的内部作出和∠1相等的角，证明∠3和∠1非公共部分等于∠2。‎ 补形：以∠1的一条边为边，在∠1的外部作出和∠2相等的角，证明∠1和所作的角之和等于∠3。‎ ‎4.证明角不相等∠1 > ∠2‎ ‎（方法一）把∠1和∠2通过等角转化为同一个三角形的两个内角。根据“大边对大角”来证明。‎ ‎（方法二）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。‎ ‎（方法三）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ ‎（方法四）锐角三角比：‎ ‎（1）如果∠1的正弦值大于∠2的正弦值，那么∠1 > ∠2。（同方向）‎ ‎（2）如果∠1的余弦值大于∠2的余弦值，那么∠1 < ∠2。（反方向）‎ ‎（3）如果∠1的正切值大于∠2的正切值，那么∠1 > ∠2。（同方向）‎ ‎（4）如果∠1的余切值大于∠2的余切值，那么∠1 < ∠2。（反方向）‎ 四、证明平面几何图形 ‎1.证明等腰三角形 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，那么这个三角形是等腰三角形。‎ ‎2.证明等边三角形 ‎（方法一）三条边都相等的三角形是等边三角形。‎ ‎（方法二）三个角都相等的三角形是等边三角形。‎ ‎（方法三）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。‎ ‎3.证明平行四边形 ‎（方法一）平行四边形判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。‎ ‎（方法二）平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。‎ ‎（方法三）平行四边形判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。‎ ‎（方法四）平行四边形判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。‎ ‎（方法五）平行四边形判定定理5 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。‎ ‎4.证明矩形 ‎（方法一）矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形。‎ ‎（方法二）矩形判定定理2 有一个角是直角的平行四边形是矩形。‎ ‎（方法三）矩形判定定理3 对角线相等的平行四边形是矩形。‎ ‎5.证明菱形 ‎（方法一）菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形。‎ ‎（方法二）菱形判定定理2 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。‎ ‎（方法三）菱形判定定理3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。‎ ‎6.证明正方形 ‎（方法一）正方形的判定定理1 有一组邻边相等的矩形是正方形。‎ ‎（方法二）正方形的判定定理2 有一个角是直角的菱形是正方形。‎ ‎（方法三）正方形的判定定理3 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。‎ ‎7.证明梯形 ‎（方法一）梯形的判定定理1有一组对边平行，而且另一组对边不平行的四边形是梯形。‎ ‎（方法二）梯形的判定定理2有一组对边平行，而且这组对边不相等的四边形是梯形。‎ ‎8.证明等腰梯形 ‎（方法一）等腰梯形的判定定理1同一条底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ‎（方法二）等腰梯形的判定定理2 两条腰相等的梯形是等腰梯形。‎ ‎（方法三）等腰梯形的判定定理3 对角线相等的梯形是等腰梯形。‎ ‎9.证明直角梯形 ‎（方法一）有一个角是直角的梯形是直角梯形。‎ ‎（方法二）有一条腰垂直于底边的梯形是直角梯形。‎ 五、证明与直线相关的题型：‎ ‎1.证明直线平行AB // CD ‎（方法一）角和直线平行的关系：‎ ‎（1）同位角相等，两直线平行。‎ ‎（2）内错角相等，两直线平行。‎ ‎（3）同旁内角互补，两直线平行。‎ ‎（方法二）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。‎ ‎（方法三）平行四边形性质定理1 平行四边形的对边平行。‎ ‎（方法四）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半。‎ ‎（方法五）如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。‎ ‎（方法六）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。‎ 斜率公式：经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的直线的斜率是： 如果两条不重合的直线的斜率相等k1 = k2，那么这两条直线平行。‎ ‎2.证明直线垂直AB⊥BC；证明高 ‎（方法一）由垂直意义，如果∠ABC = 90°，那么AB⊥BC。‎ ‎（方法二）如果AB // EF，EF⊥BC，那么AB⊥BC。‎ ‎（方法三）如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ ‎（方法四）（三线合一）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ‎（方法五）平行四边形的性质：‎ 菱形性质定理3 菱形的对角线互相垂直。‎ 正方形性质定理2 正方形的两条对角线互相垂直平分。‎ ‎（方法六）垂径定理推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。‎ 垂径定理的推论1 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。‎ ‎（方法七）切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。‎ ‎（方法八）勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形，两条直角边互相垂直。‎ ‎（方法九）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。‎ 斜率公式：经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的直线的斜率是： 如果两条不重合的直线的斜率乘积等于1，即k1·k2 = -1，那么这两条直线垂直。‎ 平面几何添加辅助线的方法 ‎1.连结图形中已有的顶点。比如连结三角形顶点和对边中点得到中线。‎ ‎2.延长线段AB至点P，使得……。‎ 延长线段AB，与线段CD（的延长线）交于点Q。‎ ‎3.截取：在EF边上截取EG = AB。‎ ‎4.作高/作垂线：‎ 过点A作AH⊥BC，点H是垂足。‎ 过点A作AH⊥BC于点H。‎ ‎5.作角平分线：作∠A的平分线AP，（与BC交于P）。‎ 以此类推，可以作三等分线，四等分线……‎ ‎6.作中位线：‎ ‎（1）过△ABC的边AB的中点D作BC的平行线，与AC交于点E，那么线段DE是△ABC的中位线。‎ ‎（2）连结△ABC边AB的中点D，边AC的中点E，线段DE是△ABC中位线。‎ ‎7.作垂直平分线：作线段AB的垂直平分线，（与BC交于P）。‎ ‎8.作平行线：过点A作BC的平行线，与DE交于F。‎ ‎9.作角：以∠3的一条边为边，在∠3的内部/外部作出和∠1相等的角。‎ ‎10.翻折：把线段MN（△ABC）沿着直线L翻折，得到线段M'N'（△A'B'C'）。‎ ‎11.旋转：‎ ‎（1）把线段MN（△ABC）绕着点P旋转α°，得到线段M'N'（△A'B'C'） 。‎ ‎[注意] 绕着形外的点旋转，原图形上的点在旋转后都会改变位置。‎ ‎（2）把线段MN绕着点M旋转α°，得到线段MN' 。‎ 把△ABC绕着点A旋转α°，得到△AB'C' 。（旋转点不会改变位置）‎ ‎[注意] 绕着形上的点旋转，原图形上的点在旋转后，仅旋转点不会改变位置，其它的点都会改变位置。‎ ‎12.作圆的切线/两圆的公切线。‎ ‎13.梯形ABCD添加辅助线的方法：（假设上底AB < 下底CD）‎ ‎（方法一）作两条高：分别过点A，B作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F 。‎ ‎（方法二）延长相交：分别延长DA和CB，两条延长线交于点G 。‎ ‎（方法三）作内部平行线：过A作BC的平行线，交CD边于点P 。‎ ‎（方法四）作外部平行线：过C作DA的平行线，交AB的延长线于点Q 。‎ 平面直角坐标系中的直线公式 一、斜率公式：已知直线L上的两个点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，而且x1 ≠ x2 。那么直线L的斜率 题型：已知两点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，求经过这两个点的直线L的方程。‎ ‎（方法一）分类讨论：‎ ‎（1）如果x1 = x2，那么直线L的方程为x = x1 。‎ ‎（2）如果x1 ≠ x2，那么直线L的方程为y = k(x – x1) + y1，‎ 即 ‎（方法二）统一公式（由斜率公式演变）‎ 直线L的方程为：(x – x1)(y2 – y1) = (y – y1)(x2 – x1) 。‎ 注意需要化到最简！‎ 二、中点公式：已知两个点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，那么AB的中点M的坐标为 特例：如果点M为原点(0，0)，那么因此x1 + x2 = 0，y1 + y2 = 0，所以点A(x1，y1)，点B(-x1，-y1)。‎ 结论：横坐标与纵坐标分别相反的两个点关于原点O对称。‎ 引申：横坐标相同，纵坐标相反的两个点关于x轴对称。‎ ‎ 横坐标相反，纵坐标相同的两个点关于y轴对称。‎ 三、两条直线l1和l2的位置关系：一共有三种：相交，平行，重合。‎ ‎（注意：垂直是相交的特殊情况）‎ 直线l1：y1 = k1x + b1 ；‎ 直线l2：y2 = k2x + b2 ；‎ ‎（1）直线l1与l2相交 <=> k1 ≠ k2 。‎ ‎（2）直线l1与l2垂直 <=> k1k2 = -1 。‎ ‎（3）直线l1与l2平行且不重合 <=> k1 = k2而且b1 ≠ b2 。‎ ‎（4）直线l1与l2重合 <=> k1 = k2而且b1 = b2 。‎ ‎（5）直线l1与l2关于y = x或者y = -x轴对称 <=> k1 k2 = 1 。‎