中考数学总复习6圆的有关性质

中考数学总复习6圆的有关性质

第 28 讲　圆的有关性质 第 29 讲　直线和圆的位置关系 第 30 讲 圆与圆的位置关系 第 31 讲 与圆有关的计算 第六单元 圆 第 28 讲 ┃ 圆的有关性 第 28 课时　圆的有关性质 第 28 讲 ┃ 考点聚焦 弦 连接圆上任意两点的 ________ 叫做弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 圆上任意两点间的部分叫做弧 优弧 大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧 线段 考点 2 确定圆的条件及相关概念 第 28 讲 ┃ 考点聚焦 确定圆 的条件 不在同一直线的三个点确定一个圆 三角形的 外心 三角形三边 ________ 的交点，即三角形外接圆的圆心 防错提醒 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部 垂直平分线 考点 3 圆的对称性 第 28 讲 ┃ 考点聚焦 圆既是一个轴对称图形又是一个 ________ 对称图形，圆还具有旋转不变性． 中心 考点 4 垂径定理及其推论 第 28 讲 ┃ 考点聚焦 垂径定理 垂直于弦的直径 ______ ，并且平分弦所对的两条弧 推论 (1) 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 总结 简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立 平分弦 考点 5 圆心角、弧、弦之间的关系 第 28 讲 ┃ 考点聚焦 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ______ 相等，所对的 ______ 相等 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角 ﹑ 两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等 弧 弦 考点 6 圆周角 第 28 讲 ┃ 考点聚焦 圆周角 定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角 定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ________ ，都等于该弧所对的圆心角的 ________ 推论 1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ______ 推论 2 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ______ ； 90° 的圆周角所对的弦是 ______ 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 ________ 三角形 相等 一半 相等 直角 直径 直角 考点 7 圆内接多边形 第 28 讲 ┃ 考点聚焦 圆内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆 圆内接四边形 的性质 圆内接四边形的 ______ 对角互补 考点 9 反证法 第 28 讲 ┃ 考点聚焦 定义 不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法 步骤 (1) 假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设 (2) 从假设的结论出发，推出矛盾 (3) 由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确 第 28 讲 ┃ 归类示例 归类示例 ►　类型之一　确定圆的条件 命题角度： 1. 确定圆的圆心、半径； 2. 三角形的外接圆圆心的性质． 10 或 8 例 1 [ 2012 · 资阳 ] 直角三角形的两边长分别为 16 和 12 ，则此三角形的外接圆半径是 ________ ． 第 28 讲 ┃ 归类示例 第 28 讲 ┃ 归类示例 (1) 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点． (2) 直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆． ► 　类型之二　 垂径定理及其推论 命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用． 第 28 讲 ┃ 归类示例 例 2 [2012· 南通 ] 如图 28 － 1 ，⊙ O 的半径为 17 cm ，弦 AB∥CD ， AB ＝ 30 cm ， CD ＝ 16 cm ，圆心 O 位于 AB ， CD 的上方，求 AB 和 CD 的距离． 图 28 － 1 第 28 讲 ┃ 归类示例 [ 解析 ] 过圆心 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 E ，易证它也与弦 CD 垂直，设垂足为 F ，由垂径定理知 AE ＝ BE ， CF ＝ DF ，根据勾股定理可求 OE ， OF 的长，进而可求出 AB 和 CD 的距离． 第 28 讲 ┃ 归类示例                            垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形． 第 28 讲 ┃ 归类示例 ► 类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系 例 3 [2011· 济宁 ] 如图 28 － 2 ， AD 为△ ABC 外接圆的直径， AD⊥BC ，垂足为点 F ，∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E ，连接 BD 、 CD. (1) 求证： BD ＝ CD ； (2) 请判断 B 、 E 、 C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上？并说明理由． 第 28 讲 ┃ 归类示例 命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系． 图 28 － 2 第 28 讲 ┃ 归类示例 　 [ 解析 ] (1) 根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明； (2) 利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明 DB ＝ DE ＝ DC. 解： (1) 证明：∵ AD 为直径， AD⊥BC ， ∴ BD ＝ CD.∴BD ＝ CD. (2)B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上 . 理由：由 (1) 知： BD ＝ CD ，∴∠ BAD ＝∠ CBD. ∵∠DBE ＝∠ CBD ＋∠ CBE ，∠ DEB ＝∠ BAD ＋∠ ABE ，∠ CBE ＝∠ ABE ， ∴∠ DBE ＝∠ DEB.∴DB ＝ DE. 由 (1) 知： BD ＝ CD ，∴ DB ＝ DE ＝ DC. ∴B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上 .                            圆心角、弧、弦之间关系巧记．同圆或等圆中，有些关系要搞清：等弧对的弦相等，圆心角相等对弧等，等弦所对圆心角相等，反之亦成立． 第 28 讲 ┃ 归类示例 ► 类型之四 圆周角定理及推论 D 命题角度： 1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算． 第 28 讲 ┃ 归类示例 例 4 [2012· 湘潭 ] 如图 28 － 3 ，在⊙ O 中，弦 AB ∥ CD ，若∠ ABC ＝ 40° ，则∠ BOD ＝ ( 　　 ) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 图 28 － 3 [ 解析 ] 先根据弦 AB∥CD 得出∠ ABC ＝∠ BCD ＝ 40° ，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠ BOD ＝ 2∠BCD ＝ 2×40° ＝ 80°. 第 28 讲 ┃ 归类示例 圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角 ( 圆心角和圆周角 ) 的转化． 第 28 讲 ┃ 归类示例 ► 类型之五 与圆有关的开放性问题 命题角度： 1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由； 2. 给定一个圆，添加条件并说明理由． 第 28 讲 ┃ 归类示例 例 5 [2012· 湘潭 ] 如图 28 － 4 ，在⊙ O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P ， AC ＝ 0.5 AB ，点 P 在半圆弧 AB 上运动 ( 不与 A 、 B 两点重合 ) ，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点． 图 28 － 4 (1) 如图 ① ，求证： △ PCD ∽△ ABC ； (2) 当点 P 运动到什么位置时， △ PCD ≌△ ABC ？请在图 ② 中画出 △ PCD ，并说明理由； (3) 如图③，当点 P 运动到 CP ⊥ AB 时，求∠ BCD 的度数． 第 28 讲 ┃ 归类示例 第 28 讲 ┃ 归类示例 　 [ 解析 ] (1) 由 AB 是⊙ O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ ACB ＝ 90° ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠ A ＝∠ P.(2) 由△ PCD∽△ABC ，可知当 PC ＝ AB 时，△ PCD≌△ABC ，利用相似比等于 1 的相似三角形全等； (3) 由∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ 0.5AB ，可求得∠ ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等得∠ P ＝∠ A ＝ 60° ，通过证△ PCB 为等边三角形，由 CD⊥PB ，即可求出∠ BCD 的度数 第 28 讲 ┃ 归类示例 解： (1) 证明： ∵ AB 为直径， ∴∠ ACB ＝ ∠ D ＝ 90°. 又 ∵∠ CAB ＝ ∠ DPC ， ∴△ PCD ∽△ ABC. (2) 如图，当点 P 运动到 PC 为直径时， △ PCD ≌△ ABC. 理由如下：∵ PC 为直径， ∴∠ PBC ＝ 90° ，则此时 D 与 B 重合， ∴ PC ＝ AB ， CD ＝ BC ， 故△ PCD≌△ABC. (3) ∵AC ＝ 0.5AB ，∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ ABC ＝ 30° ，∠ CAB ＝ 60°. ∴∠CPB ＝∠ CAB ＝ 60°. ∵PC⊥AB ， ∴∠ PCB ＝ 90° －∠ ABC ＝ 60° ， ∴△ PBC 为等边三角形． 又 CD⊥PB ， ∴∠ BCD ＝ 30°. 圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特殊的性质，在给定一个圆之后，可以得到不同类型的结论．与圆有关的探究性问题是近年中考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又不难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，所以此类问题成为中考的热点之一．在解决这些问题的时候，要把握准圆的性质的应用． 第 28 讲 ┃ 归类示例 ► 类型之六 尺规作图 命题角度： 能正确地按要求进行尺规作图 第 28 讲 ┃ 归类示例 例 6 [2012· 鞍山 ] 如图 28 － 5 ，某社区有一矩形广场 ABCD ，在边 AB 上的 M 点和边 BC 上的 N 点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在 BD 上 ( 点 B 除外 ) 选一点 P 再种一棵景观树，使得∠ MPN ＝ 90° ，请在图中利用尺规作图画出点 P 的位置 ( 要求：不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹 ) ． 图 28 － 5 [ 解析 ] 先作出 MN 的中点，再以 MN 为直径作圆与 BD 相交于点 P. 解：如下图所示，连结 MN ，作出 MN 的垂直平分线 ，交 MN 于 E ，以 E 为圆心， EM 的长为半径画圆与 BD 交于点 P( 标出点 P) ．如图所示，点 P 就是所求作的点． 第 28 讲 ┃ 归类示例 第 28 讲 ┃ 归类示例 变式题 [2010· 泰州 ] 如图 28 － 6 ，已知△ ABC ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图 ( 保留作图痕迹，不要求写作法 ) ，并根据要求填空： (1) 作∠ ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ； (2) 作线段 BD 的垂直平分线交 AB 于点 E ，交 BC 于点 F. 由以上作图可得：线段 EF 与线段 BD 的关系为 ____________ ． 图 28 － 6 互相垂直平分 解： (1) 作图如下图． (2) 作图如下图；互相垂直平分 第 28 讲 ┃ 归类示例 中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求：①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线．②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法 ( 不要求证明 ) ． 我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新颖的作图题，进一步培养形象思维能力． 第 28 讲 ┃ 归类示例 ► 类型之七 反证法 命题角度： 1 ．反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的； 2 ．反证法的含义． 第 28 讲 ┃ 归类示例 例 7 [2012· 包头 ] 已知下列命题： ①若 a ≤0 ，则 | a | ＝－ a ； ② 若 ma 2 > na 2 ，则 m > n ； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④垂直于弦的直径平分弦． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B [ 解析 ] 四个命题的原命题均为真命题，①的逆命题为：若 |a| ＝－ a ，则 a≤0 ，是真命题；②的逆命题为：若 m>n ，则 ma 2 >na 2 ，是假命题，当 a ＝ 0 时，结论就不成立；③的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，是真命题；④的逆命题是：平分弦的直径垂直于弦，是假命题，当这条弦为直径时，结论不一定成立．综上可知原命题和逆命题均为真命题的是①③，故答案为 B. 第 28 讲 ┃ 归类示例 第 28 讲 ┃ 归类示例 变式题 [2012· 攀枝花 ] 下列四个命题： ①等边三角形是中心对称图形； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等； ③三角形有且只有一个外接圆； ④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧． 其中真命题的个数有 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B [ 解析 ] 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即①是假命题；如图，∠ C 和∠ D 不相等，即②是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．故选 B. 第 28 讲 ┃ 归类示例 第 29 讲 ┃ 直线和圆的位置关系 第 29 课时　直线和圆的位置关系 第 29 讲 ┃ 考点聚焦 考点聚焦 考点 1 点和圆的位置关系 如果圆的半径是 r ，点到圆心的距离是 d ，那么 点在圆外 ⇔ ________ 点在圆上 ⇔ ________ 点在圆内 ⇔ ________ dr 第 29 讲 ┃ 考点聚焦 考点 2 直线和圆的位置关系 设⊙ O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，那么 (1) 直线 l 和⊙ O 相交 ⇔ ________ (2) 直线 l 和⊙ O 相切 ⇔ ________ (3) 直线 l 和⊙ O 相离 ⇔ ________ dr 第 29 讲 ┃ 考点聚焦 考点 3 圆的切线 切线的性质 圆的切线 ________ 过切点的半径 推论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必过 ________ ； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必过 ________ 切线的判定 (1) 和圆有 ________ 公共点的直线是圆的切线 (2) 如果圆心到一条直线的距离等于圆的 ________ ，那么这条直线是圆的切线 (3) 经过半径的外端并且 ________ 这条半径的直线是圆的切线 常添辅助线 连接圆心和切点 垂直于 切点 圆心 唯一 半径 垂直于 考点 4 切线长及切线长定理 第 29 讲 ┃ 考点聚焦 切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ________ ，圆心和这一点的连线 ________ 两条切线的夹角 基本图形 如图所示，点 P 是⊙ O 外一点， PA 、 PB 切⊙ O 于点 A 、 B ， AB 交 PO 于点 C ，则有如下结论： (1) PA ＝ PB ； (2)∠ APO ＝∠ BPO ＝∠ OAC ＝ ∠ OBC ，∠ AOP ＝∠ BOP ＝∠ CAP ＝∠ CBP 相等 平分 考点 5 三角形的内切圆 第 29 讲 ┃ 考点聚焦 三角形的 内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形 三角形 的内心 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三角形 ______________ 的交点，三角形的内心到三边的 ________ 相等 三条角平分线 距离 第 29 讲 ┃ 考点聚焦 第 29 讲 ┃ 归类示例 归类示例 ►　类型之一　点和圆的位置关系 命题角度： 点和圆的位置关系 2 例 1 [ 2012 · 广元 ] 在同一平面上， ⊙ O 外一点 P 到⊙ O 上一点的距离最长为 6 cm ，最短为 2 cm ，则⊙ O 的半径为 ________ cm. [ 解析 ] 画图得：⊙ O 外一点 P 到⊙ O 上一点的距离最长为 6 cm ，最短为 2 cm ，则直径为 4 cm ，∴半径为 2 cm. 第 29 讲 ┃ 归类示例 准确理解题意解题，必要时画出图形进行观察． 第 29 讲 ┃ 归类示例 ►　类型之二　直线和圆的位置关系的判定 命题角度： 1. 定义法判定直线和圆的位置关系； 2. d 、 r 比较法判定直线和圆的位置关系． D 例 2 [ 2012 · 无锡 ] 已知⊙ O 的半径为 2 ，直线 l 上有一点 P 满足 PO ＝ 2 ，则直线 l 与⊙ O 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相切 B ．相离 C ．相离或相切 D ．相切或相交 第 29 讲 ┃ 归类示例 [ 解析 ] 分 OP 垂直于直线 l ， OP 不垂于直线 l 两种情况讨论． 当 OP 垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d ＝ 2 ＝ r ，⊙ O 与 l 相切； 当 OP 不垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d<2 ＝ r ，⊙ O 与直线 l 相交． 故直线 l 与⊙ O 的位置关系是相切或相交． 第 29 讲 ┃ 归类示例 在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法． ► 　类型之三　 圆的切线的性质 命题角度： 1. 已知圆的切线得出结论； 2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明． 第 29 讲 ┃ 归类示例 例 3 [2012· 扬州 ] 如图 29 － 1 ， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点， AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D. (1) 求证： AC 平分∠ BAD ； (2) 若 AC ＝ 2√5 ， CD ＝ 2 ，求⊙ O 的直径． 图 29 － 1 第 29 讲 ┃ 归类示例 第 29 讲 ┃ 归类示例                            “圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法． 第 29 讲 ┃ 归类示例 ► 类型之四 圆的切线的判定方法 例 4 [2011· 淮安 ] 如图 29 － 2 ， AD 是⊙ O 的弦， AB 经过圆心 O ，交⊙ O 于点 C ，∠ DAB ＝∠ B ＝ 30°. (1) 直线 BD 是否与⊙ O 相切？为什么？ (2) 连接 CD ，若 CD ＝ 5 ，求 AB 的长． 第 29 讲 ┃ 归类示例 命题角度： 1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线； 2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线． 图 29 － 2 第 29 讲 ┃ 归类示例 　　 [ 解析 ] (1) 连接 OD ，因为 OA ＝ OD ，所以 ∠ ODA ＝ ∠ A ＝ 30°. 又因为 ∠ ADB ＝ 180° － ∠ A － ∠ B ＝ 120° ，所以 ∠ ODB ＝ 90° ，即 BD 是 ⊙ O 的切线； (2) 思路一：因为 AC 是直径，所以 ∠ ADC ＝ 90° ，由于 ∠ A ＝ 30° ，利用直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，所以 AC ＝ 2CD ＝ 10 ， ∠ CDB ＝ ∠ ADB － ∠ ADC ＝ 30° ＝ ∠ B ，所以 BC ＝ CD ＝ 5 ，所以 AB ＝ AC ＋ BC ＝ 15 ； 思路二： AC 是直径，所以 ∠ ADC ＝ 90° ， ∠ A ＝ 30° ，求出 ∠ DOB ＝ 60° ，进一步得到 △ ODC 是等边三角形，然后把 AB 分成三条线段的和来求，具体类似思路一． 第 29 讲 ┃ 归类示例 解： (1) 直线 BD 与 ⊙ O 相切．理由如下： 如图，连接 OD ， ∵ OA ＝ OD ， ∴∠ ODA ＝ ∠ DAB ＝ ∠ B ＝ 30° ， ∴∠ ODB ＝ 180° － ∠ ODA － ∠ DAB － ∠ B ＝ 180° － 30° － 30° － 30° ＝ 90° ，即 OD ⊥ BD ， ∴ 直线 BD 与 ⊙ O 相切． 第 29 讲 ┃ 归类示例 (2) 由 (1) 知，∠ ODA ＝∠ DAB ＝ 30° ， ∴∠ DOB ＝∠ ODA ＋∠ DAB ＝ 60°. 又∵ OC ＝ OD ， ∴△ DOC 是等边三角形， ∴ OA ＝ OD ＝ CD ＝ 5. 又∵∠ B ＝ 30° ，∠ ODB ＝ 90° ， ∴ OB ＝ 2OD ＝ 10. ∴AB ＝ OA ＋ OB ＝ 5 ＋ 10 ＝ 15.                            在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径． 第 29 讲 ┃ 归类示例 ► 类型之五 切线长定理的运用 命题角度： 1. 利用切线长定理计算； 2. 利用切线长定理证明． 第 29 讲 ┃ 归类示例 例 5 [2012· 绵阳 ] 如图 29 － 3 ， PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、 B 两点，连接 PO 、 AB 相交于 D ， C 是⊙ O 上一点，∠ C ＝ 60°. (1) 求∠ APB 的大小； (2) 若 PO ＝ 20 cm ，求△ AOB 的面积． 图 29 － 3 　 [ 解析 ] (1) 由切线的性质，即可得 OA⊥PA ， OB⊥PB ，又由圆周角定理，求得∠ AOB 的度数，继而求得∠ APB 的大小； (2) 由切线长定理，可求得∠ APO 的度数，继而求得∠ AOP 的度数，易得 PO 是 AB 的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得 AD 与 OD 的长． 第 29 讲 ┃ 归类示例 第 29 讲 ┃ 归类示例 (1) 利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法． (2) 利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连． 第 29 讲 ┃ 归类示例 ► 类型之六 三角形的内切圆 命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径． 第 29 讲 ┃ 归类示例 例 6 [2012· 玉林 ] 如图 29 － 5 ， Rt△ ABC 的内切圆⊙ O 与两直角边 AB ， BC 分别相切于点 D ， E ，过劣弧 DE ( 不包括端点 D ， E ) 上任一点 P 作⊙ O 的切线 MN ，与 AB ， BC 分别交于点 M ， N ，若⊙ O 的半径为 r ，则 Rt△ MBN 的周长为 ( 　　 ) 图 29 － 5 C 第 29 讲 ┃ 归类示例 　 [ 解析 ] 连接 OD 、 OE ，则∠ ODB ＝∠ DBE ＝∠ OEB ＝ 90° ，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD ＝ BE ＝ OD ＝ OE ＝ r. 根据切线长定理得出 MP ＝ DM ， NP ＝ NE, Rt △MBN 的周长为： MB ＋ NB ＋ MN ＝ MB ＋ BN ＋ NE ＋ DM ＝ BD ＋ BE ＝ r ＋ r ＝ 2r ，故选 C . 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决． 第 29 讲 ┃ 归类示例 第 30 讲 ┃ 圆与圆的位置关系 第 30 课时　圆与圆的位置关系 第 30 讲 ┃ 考点聚焦 考点聚焦 考点 1 圆和圆的位置关系 设⊙ O 1 ，⊙ O 2 的半径分别为 R ， r ( R > r ) ，圆心之间的距离为 d ，那么⊙ O 1 和⊙ O 2 外离 ⇔ ________ 外切 ⇔ ________ 相交 ⇔ ________ 内切 ⇔ ________ 两圆内含 ⇔ ________ d>R ＋ r d ＝ R ＋ r 　 　 R － r

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