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文档介绍
2020年四川省自贡市中考数学试卷(含解析)
2020年四川省自贡市中考数学试卷 一.选择题(共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(4分)如图,直线a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为( ) A.40° B.50° C.55° D.60° 2.(4分)5月22日晚,中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播,有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代,70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨.人数700000用科学记数法表示为( ) A.70×104 B.0.7×107 C.7×105 D.7×106 3.(4分)如图所示的几何体的左视图是( ) A. B. C. D. 4.(4分)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有两个相等实数根,则a的值为( ) A.12 B.-12 C.1 D.﹣1 5.(4分)在平面直角坐标系中,将点(2,1)向下平移3个单位长度,所得点的坐标是( ) A.(﹣1,1) B.(5,1) C.(2,4) D.(2,﹣2) 6.(4分)下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( ) 第26页(共26页) A. B. C. D. 7.(4分)对于一组数据3,7,5,3,2,下列说法正确的是( ) A.中位数是5 B.众数是7 C.平均数是4 D.方差是3 8.(4分)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°,那么这个角的度数是( ) A.50° B.70° C.130° D.160° 9.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是( ) A.50° B.40° C.30° D.20° 10.(4分)函数y=kx与y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=kx﹣b的大致图象为( ) A. B. C. D. 第26页(共26页) 11.(4分)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是( ) A.80(1+35%)x-80x=40 B.80(1+35%)x-80x=40 C.80x-80(1+35%)x=40 D.80x-80(1+35%)x=40 12.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=6,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,F是AB的中点,连结DF、EF.若∠EFD=90°,则AE长为( ) A.2 B.5 C.322 D.332 二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分) 13.(4分)分解因式:3a2﹣6ab+3b2= . 14.(4分)与14-2最接近的自然数是 . 15.(4分)某中学新建食堂正式投入使用,为提高服务质量,食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计.以下是打乱了的调查统计顺序,请按正确顺序重新排序(只填番号): . ①绘制扇形图; ②收集最受学生欢迎菜品的数据; ③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品; ④整理所收集的数据. 16.(4分)如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,DC∥AB.BC长6米,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为 米(结果保留根号). 17.(4分)如图,矩形ABCD中,E是AB上一点,连接DE,将△ADE沿DE 第26页(共26页) 翻折,恰好使点A落在BC边的中点F处,在DF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作半圆与CD相切于点G.若AD=4,则图中阴影部分的面积为 . 18.(4分)如图,直线y=-3x+b与y轴交于点A,与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点,且AB•AC=16.下列等边三角形△OD1E1,△E1D2E2,△E2D3E3,…的边OE1,E1E2,E2E3,…在x轴上,顶点D1,D2,D3,…在该双曲线第一象限的分支上,则k= ,前25个等边三角形的周长之和为 . 三、解答题(共8个题,共78分) 19.(8分)计算:|﹣2|﹣(5+π)0+(-16)﹣1. 20.(8分)先化简,再求值:x+1x2-4•(1x+1+1),其中x是不等式组x+1≥05-2x>3的整数解. 21.(8分)如图,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE和BF相交于点M. 求证:AE=BF. 第26页(共26页) 22.(8分)某校为了响应市政府号召,在“创文创卫”活动周中,设置了“A:文明礼仪,B:环境保护,C:卫生保洁,D:垃圾分类”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图. (1)本次调查的学生人数是 人,m= ; (2)请补全条形统计图; (3)学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动.如果小张同学随机选择连续两天,其中有一天是星期一的概率是 ;小李同学星期五要参加市演讲比赛,他在其余四天中随机选择两天,其中有一天是星期三的概率是 . 23.(10分)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.新冠疫情期间,为了减少库存,甲、乙两家商场打折促销.甲商场所有商品按9折出售,乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折. (1)以x(单位:元)表示商品原价,y(单位:元)表示实际购物金额,分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式; (2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱? 24.(10分)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离:因为|x+1|=|x﹣(﹣1)|,所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离. 第26页(共26页) (1)发现问题:代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少? (2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数﹣1、2、x,AB=3. ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和, ∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3. ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3. (3)解决问题: ①|x﹣4|+|x+2|的最小值是 ; ②利用上述思想方法解不等式:|x+3|+|x﹣1|>4; ③当a为何值时,代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2. 25.(12分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,点P为⊙O外一点,且PA=PC=2AB,连接PO交AC于点D,延长PO交⊙O于点F. (1)证明:AF=CF; (2)若tan∠ABC=22,证明:PA是⊙O的切线; (3)在(2)条件下,连接PB交⊙O于点E,连接DE,若BC=2,求DE的长. 26.(14分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点N,点M为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,连接AM,点E是线段AM上方抛物线上一动点,EF⊥AM于点F,过点E作EH⊥x轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点,当EF取最大值时: ①求PD+PC的最小值; ②如图2,Q点为y轴上一动点,请直接写出DQ+14OQ的最小值. 第26页(共26页) 第26页(共26页) 2020年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(4分)如图,直线a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为( ) A.40° B.50° C.55° D.60° 【解答】解:如图所示: ∵a∥b, ∴∠3=∠1=50°, ∴∠2=∠3=50°; 故选:B. 2.(4分)5月22日晚,中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播,有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代,70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨.人数700000用科学记数法表示为( ) A.70×104 B.0.7×107 C.7×105 D.7×106 【解答】解:700000用科学记数法表示为7×105, 故选:C. 3.(4分)如图所示的几何体的左视图是( ) 第26页(共26页) A. B. C. D. 【解答】解:该几何体从左边看有两列,左边一列底层是一个正方形,右边一列是三个正方形. 故选:B. 4.(4分)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有两个相等实数根,则a的值为( ) A.12 B.-12 C.1 D.﹣1 【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有两个相等实数根, ∴a≠0△=(-2)2-4×a×2=0, ∴a=12. 故选:A. 5.(4分)在平面直角坐标系中,将点(2,1)向下平移3个单位长度,所得点的坐标是( ) A.(﹣1,1) B.(5,1) C.(2,4) D.(2,﹣2) 【解答】解:将点P(2,1)向下平移3个单位长度所得点的坐标为(2,1﹣3)即(2,﹣2); 故选:D. 6.(4分)下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项符合题意; B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意; C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项不合题意; D、既不是轴对称图形,又不是中心对称图形,故本选项不合题意. 第26页(共26页) 故选:A. 7.(4分)对于一组数据3,7,5,3,2,下列说法正确的是( ) A.中位数是5 B.众数是7 C.平均数是4 D.方差是3 【解答】解:A、把这组数据从小到大排列为:2,3,3,5,7,最中间的数是3,则中位数是3,故本选项错误; B、3出现了2次,出现的次数最多,则众数是3,故本选项错误; C、平均数是:(3+7+5+3+2)÷5=4,故本选项正确; D、方差是:15[2×(3﹣4)2+(7﹣4)2+(5﹣4)2+(2﹣4)2]=3.2,故本选项错误; 故选:C. 8.(4分)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°,那么这个角的度数是( ) A.50° B.70° C.130° D.160° 【解答】解:设这个角是x°,根据题意,得 x=2(180﹣x)+30, 解得:x=130. 即这个角的度数为130°. 故选:C. 9.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是( ) A.50° B.40° C.30° D.20° 【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°, ∴∠B=40°, ∵BC=BD, ∴∠BCD=∠BDC=12(180°﹣40°)=70°, ∴∠ACD=90°﹣70°=20°, 第26页(共26页) 故选:D. 10.(4分)函数y=kx与y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=kx﹣b的大致图象为( ) A. B. C. D. 【解答】解:根据反比例函数的图象位于一、三象限知k>0, 根据二次函数的图象确知a<0,b<0, ∴函数y=kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限, 故选:D. 11.(4分)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是( ) A.80(1+35%)x-80x=40 B.80(1+35%)x-80x=40 C.80x-80(1+35%)x=40 D.80x-80(1+35%)x=40 【解答】解:设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则原计划每天绿化的面积为x1+35%万平方米, 依题意,得:80x1+35%-80x=40, 即80(1+35%)x-80x=40. 故选:A. 第26页(共26页) 12.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=6,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,F是AB的中点,连结DF、EF.若∠EFD=90°,则AE长为( ) A.2 B.5 C.322 D.332 【解答】解:如图,延长EF交DA的延长线于Q,连接DE,设BE=x. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DQ∥BC, ∴∠Q=∠BEF, ∵AF=FB,∠AFQ=∠BFE, ∴△QFA≌△EFB(AAS), ∴AQ=BE=x, ∵∠EFD=90°, ∴DF⊥QE, ∴DQ=DE=x+2, ∵AE⊥BC,BC∥AD, ∴AE⊥AD, ∴∠AEB=∠EAD=90°, ∵AE2=DE2﹣AD2=AB2﹣BE2, ∴(x+2)2﹣4=6﹣x2, 整理得:2x2+4x﹣6=0, 解得x=1或﹣3(舍弃), ∴BE=1, ∴AE=AB2-BE2=6-1=5, 第26页(共26页) 故选:B. 二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分) 13.(4分)分解因式:3a2﹣6ab+3b2= 3(a﹣b)2 . 【解答】解:3a2﹣6ab+3b2 =3(a2﹣2ab+b2) =3(a﹣b)2. 故答案为:3(a﹣b)2. 14.(4分)与14-2最接近的自然数是 2 . 【解答】解:∵3.5<14<4, ∴1.5<14-2<2, ∴与14-2最接近的自然数是2. 故答案为:2. 15.(4分)某中学新建食堂正式投入使用,为提高服务质量,食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计.以下是打乱了的调查统计顺序,请按正确顺序重新排序(只填番号): ②④①③ . ①绘制扇形图; ②收集最受学生欢迎菜品的数据; ③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品; ④整理所收集的数据. 【解答】解:②收集最受学生欢迎菜品的数据; ④整理所收集的数据; ①绘制扇形图; ③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品; 故答案为:②④①③. 16.(4分)如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,DC∥AB.BC长6米,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为 62 米(结果保留根号). 第26页(共26页) 【解答】解:过点D作DE⊥AB于E,过点C作CF⊥AB于F. ∵CD∥AB,DE⊥AB,CF⊥AB, ∴DE=CF, 在Rt△CFB中,CF=BC•sin45°=32(米), ∴DE=CF=32(米), 在Rt△ADE中,∵∠A=30°,∠AED=90°, ∴AD=2DE=62(米), 故答案为62. 17.(4分)如图,矩形ABCD中,E是AB上一点,连接DE,将△ADE沿DE翻折,恰好使点A落在BC边的中点F处,在DF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作半圆与CD相切于点G.若AD=4,则图中阴影部分的面积为 239 . 【解答】解:连接OG, ∵将△ADE沿DE翻折,恰好使点A落在BC边的中点F处, ∴AD=DF=4,BF=CF=2, ∵矩形ABCD中,∠DCF=90°, 第26页(共26页) ∴∠FDC=30°, ∴∠DFC=60°, ∵⊙O与CD相切于点G, ∴OG⊥CD, ∵BC⊥CD, ∴OG∥BC, ∴△DOG∽△DFC, ∴DODF=OGFC, 设OG=OF=x,则4-x4=x2, 解得:x=43,即⊙O的半径是43. 连接OQ,作OH⊥FQ, ∵∠DFC=60°,OF=OQ, ∴△OFQ为等边△;同理△OGQ为等边△; ∴∠GOQ=∠FOQ=60°,OH=32OQ=233,S扇形OGQ=S扇形OQF, ∴S阴影=(S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH)+(S扇形OQF﹣S△OFQ) =S矩形OGCH-32S△OFQ=43×233-32(12×43×233)=239. 故答案为:239. 18.(4分)如图,直线y=-3x+b与y轴交于点A,与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点,且AB•AC=16.下列等边三角形△OD1E1,△E1D2E2,△E2D3E3,…的边OE1,E1E2,E2E3,…在x轴上,顶点D1,D2,D3,…在该双曲线第一象限的分支上,则k= 43 ,前25个等边三角形的周长之和为 60 . 第26页(共26页) 【解答】解:设直线y=-3x+b与x轴交于点D,作BE⊥y轴于E,CF⊥y轴于F. ∵y=-3x+b, ∴当y=0时,x=33b,即点D的坐标为(33b,0), 当x=0时,y=b,即A点坐标为(0,b), ∴OA=﹣b,OD=-33b. ∵在Rt△AOD中,tan∠ADO=OAOD=3, ∴∠ADO=60°. ∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点, ∴-3x+b=kx, 整理得,-3x2+bx﹣k=0, 由韦达定理得:x1x2=33k,即EB•FC=33k, ∵EBAB=cos60°=12, ∴AB=2EB, 同理可得:AC=2FC, ∴AB•AC=(2EB)(2FC)=4EB•FC=433k=16, 解得:k=43. 由题意可以假设D1(m,m3), ∴m2•3=43, ∴m=2 第26页(共26页) ∴OE1=4,即第一个三角形的周长为12, 设D2(4+n,3n), ∵(4+n)•3n=43, 解得n=22-2, ∴E1E2=42-4,即第二个三角形的周长为122-12, 设D3(42+a,3a), 由题意(42+a)•3a=43, 解得a=23-22,即第三个三角形的周长为123-122, …, ∴第四个三角形的周长为124-123, ∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225-1224=1225=60, 故答案为43,60. 三、解答题(共8个题,共78分) 19.(8分)计算:|﹣2|﹣(5+π)0+(-16)﹣1. 【解答】解:原式=2﹣1+(﹣6) =1+(﹣6) =﹣5. 20.(8分)先化简,再求值:x+1x2-4•(1x+1+1),其中x是不等式组x+1≥05-2x>3的整数解. 【解答】解:x+1x2-4•(1x+1+1) 第26页(共26页) =x+1(x+2)(x-2)⋅1+x+1x+1 =x+2(x+2)(x-2) =1x-2, 由不等式组x+1≥05-2x>3,得﹣1≤x<1, ∵x是不等式组x+1≥05-2x>3的整数解, ∴x=﹣1,0, ∵当x=﹣1时,原分式无意义, ∴x=0, 当x=0时,原式=10-2=-12. 21.(8分)如图,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE和BF相交于点M. 求证:AE=BF. 【解答】解:在正方形ABCD中, AB=CD=CD=AD, ∵CE=DF, ∴BE=CF, 在△AEB与△BFC中, AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF, ∴△AEB≌△BFC(SAS), ∴AE=BF. 22.(8分)某校为了响应市政府号召,在“创文创卫”活动周中,设置了“A:文明礼仪, 第26页(共26页) B:环境保护,C:卫生保洁,D:垃圾分类”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图. (1)本次调查的学生人数是 60 人,m= 30 ; (2)请补全条形统计图; (3)学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动.如果小张同学随机选择连续两天,其中有一天是星期一的概率是 14 ;小李同学星期五要参加市演讲比赛,他在其余四天中随机选择两天,其中有一天是星期三的概率是 12 . 【解答】解:(1)12÷20%=60(人),1860×100%=30%, 则m=30; 故答案为:60,30; (2)C组的人数为60﹣18﹣12﹣9=21(人),补全条形统计图如图: (3)如果小张同学随机选择连续两天,有4种等可能的结果,即(星期一,星期二)、(星期二,星期三)、(星期三,星期四)、(星期四,星期五), 其中有一天是星期一的概率是14; 小李同学星期五要参加市演讲比赛,他在其余四天中随机选择两天,画树状图如图: 第26页(共26页) 共有12个等可能的结果,其中有一天是星期三的结果有6个, ∴其中有一天是星期三的概率为612=12; 故答案为:14,12. 23.(10分)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.新冠疫情期间,为了减少库存,甲、乙两家商场打折促销.甲商场所有商品按9折出售,乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折. (1)以x(单位:元)表示商品原价,y(单位:元)表示实际购物金额,分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式; (2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱? 【解答】解:(1)由题意可得, y甲=0.9x, 当0≤x≤100时,y乙=x, 当x>100时,y乙=100+(x﹣100)×0.8=0.8x+20, 由上可得,y乙=x(0≤x≤100)0.8x+20(x>100); (2)当0.9x<0.8x+20时,得x<200,即此时选择甲商场购物更省钱; 当0.9x=0.8x+20时,得x=200,即此时两家商场购物一样; 当0.9x>0.8x+200时,得x>200,即此时选择乙商场购物更省钱. 24.(10分)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离:因为|x+1|=|x﹣(﹣1)|,所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离. (1)发现问题:代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少? (2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数﹣1、2、x,AB=3. ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和, 第26页(共26页) ∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3. ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3. (3)解决问题: ①|x﹣4|+|x+2|的最小值是 6 ; ②利用上述思想方法解不等式:|x+3|+|x﹣1|>4; ③当a为何值时,代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2. 【解答】解:(1)发现问题:代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少? (2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数﹣1、2、x,AB=3. ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和, ∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3. ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3. (3)解决问题: ①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6; 故答案为:6; ②如图所示,满足|x+3|+|x﹣1|>4的x范围为x<﹣3或x>1; ③当a为﹣1或﹣5时,代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2. 25.(12分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,点P为⊙O外一点,且PA=PC=2AB,连接PO交AC于点D,延长PO交⊙O于点F. (1)证明:AF=CF; (2)若tan∠ABC=22,证明:PA是⊙O的切线; (3)在(2)条件下,连接PB交⊙O于点E,连接DE,若BC=2,求DE的长. 第26页(共26页) 【解答】(1)证明:连接OC. ∵PC=PA,OC=OA, ∴OP垂直平分线段AC, ∴AF=CF. (2)证明:设BC=a, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∵tan∠ABC=ACBC=22, ∴AC=22a,AB=BC2+AC2=a2+(22a)2=3a, ∴OC=OA=OB=3a2,CD=AD=2a, ∵PA=PC=2AB, ∴PA=PC=32a, ∵∠PDC=90°, ∴PD=PC2-CD2=18a2-2a2=4a, ∵DC=DA,AO=OB, ∴OD=12BC=12a, ∴AD2=PD•OD, ∴ADPD=ODAD, ∵∠ADP=∠ADO=90°, ∴△ADP∽△ODA, ∴∠PAD=∠DOA, ∵∠DOA+∠DAO=90°, ∴∠PAD+∠DAO=90°, 第26页(共26页) ∴∠PAO=90°, ∴OA⊥PA, ∴PA是⊙O的切线. (3)解:如图,过点E作EJ⊥PF于J,BK⊥PF于K. ∵BC=2, 由(1)可知,PA=62,AB=6, ∵∠PAB=90°, ∴PB=PA2+AB2=72+36=63, ∵PA2=PE•PB, ∴PE=7263=43, ∵∠CDK=∠BKD=∠BCD=90°, ∴四边形CDKB是矩形, ∴CD=BK=22,BC=DK=2, ∵PD=8, ∴PK=10, ∵EJ∥BK, ∴PEPB=EJBK=PJPK, ∴4363=EJ22=PJ10, ∴EJ=423,PJ=203, ∴DJ=PD﹣PJ=8-203=43, ∴DE=EJ2+DJ2=(423)2+(43)2=433. 26.(14分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点N,点M为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点C. 第26页(共26页) (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,连接AM,点E是线段AM上方抛物线上一动点,EF⊥AM于点F,过点E作EH⊥x轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点,当EF取最大值时: ①求PD+PC的最小值; ②如图2,Q点为y轴上一动点,请直接写出DQ+14OQ的最小值. 【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a, 即﹣3a=3,解得:a=﹣1, 故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3; (2)由抛物线的表达式得,点M(﹣1,4),点N(0,3), 则tan∠MAC=MCAC=2, 则设直线AM的表达式为:y=2x+b, 将点A的坐标代入上式并解得:b=6, 故直线AM的表达式为:y=2x+6, ∵∠EFD=∠DHA=90°,∠EDF=∠ADH, ∴∠MAC=∠DEF,则tan∠DEF=2,则cos∠DEF=55, 设点E(x,﹣x2﹣2x+3),则点D(x,2x+6), 则FE=EDcos∠DEF=(﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6)×55=55(﹣x2﹣4x﹣3), ∵-55<0,故EF有最大值,此时x=﹣2,故点D(﹣2,2); ①点C(﹣1,0)关于y轴的对称点为点B(1,0),连接BD交y轴于点P,则点P 第26页(共26页) 为所求点, PD+PC=PD+PB=DB为最小, 则BD=(1+2)2+(0-2)2=13; ②过点O作直线OK,使sin∠NOK=14,过点D作DK⊥OK于点K,交y轴于点Q,则点Q为所求点, DQ+14OQ=DQ+QK=DK为最小值, 则直线OK的表达式为:y=15x, ∵DK⊥OK,故设直线DK的表达式为:y=-115x+b, 将点D的坐标代入上式并解得:b=2-215, 则直线DK的表达式为:y=-115x+2-215, 故点Q(0,2-215), 由直线KD的表达式知,QD与x负半轴的夹角(设为α)的正切值为115,则cosα=154, 第26页(共26页) 则DQ=xQ-xDcosα=2154=815,而14OQ=14(2-215), 则DQ+14OQ为最小值=815+14(2-215)=15+12. 第26页(共26页)查看更多