中考冲刺阅读理解型问题知识讲解基础

中考冲刺阅读理解型问题知识讲解基础

中考冲刺：阅读理解型问题—知识讲解（基础）‎ ‎【中考展望】‎ ‎ 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.‎ ‎【方法点拨】‎ 题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．‎ 解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．‎ 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.‎ ‎ 阅读理解题一般可分为如下几种类型：‎ ‎ (1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；‎ ‎ (2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；‎ ‎ (3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 ‎ ‎1．阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：=，‎ 如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，‎ 则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值． 设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角△A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标） （2）代数式的最小值为 ．‎ ‎【思路点拨】‎ ‎（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和， 故答案为（2，3）； （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和， 如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′， ∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短， ∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度， ∵A（0，7），B（6，1） ∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8， ∴A′B==10， 故答案为：10．‎ ‎【总结升华】‎ 本题考查的是轴对称——最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．‎ 类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 ‎2．阅读材料： （1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法： 当a-b＞0时，一定有a＞b； ‎ ‎ 当a-b=0时，一定有a=b； 当a-b＜0时，一定有a＜b． 反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． （2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： ∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0， ∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同. 当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b； 当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b； 当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b. 解决下列实际问题： （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题： ①W1= （用x、y的式子表示）； W2= （用x、y的式子表示）； ②请你分析谁用的纸面积更大． （2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是‎3km、‎4km（即AC=‎3km，BE=‎4km），AB=xkm，现设计两种方案： 方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP． 方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP． ①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）； ②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）； ③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．‎ ‎【思路点拨】‎ ‎（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可； （2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案； ③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y， 故答案为：3x+7y，2x+8y．         ②解：W1-W2‎ ‎=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y， ∵x＞y， ∴x-y＞0， ∴W1-W2＞0， 得W1＞W2， 所以张丽同学用纸的总面积更大． ‎ ‎（2）①解：a1=AB+AP=x+3， 故答案为：x+3．           ‎ ‎②解：过B作BM⊥AC于M， 则AM=4-3=1， 在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1， 在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=， 故答案为：．‎ ‎③解：a12-a22=（x+3）2-（）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39， 当a12-a22＞0（即a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得x＞6.5， 当a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5， 当a12-a22＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5， 综上所述， 当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短， 当x=6.5时，两种方案一样， 当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．‎ ‎【总结升华】‎ 本题考查了勾股定理，轴对称——最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为和，对角线BD、FH都在直线上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线 上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．‎ ‎（1）计算：O1D=_______，O‎2F=______；‎ ‎（2）当中心O2在直线 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.‎ ‎（3）随着中心 O2在直线 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）‎ ‎【答案】‎ ‎（1）O1D=2，O‎2F=1；‎ ‎（2）O1 O2 =3；‎ ‎（3）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；‎ 当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；‎ 当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．‎ 类型三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论 ‎3．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题． 如图（1），要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：‎ ‎ ①作点B关于直线的对称点B′． ②连接AB′交直线于点P，则点P为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． （1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE周长的最小值： ．‎ ‎【思路点拨】‎ ‎（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求； （2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：（1）如图，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P， P点即为所求； ‎ ‎ （2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE为△ABC中位线， ∵BC=6，BC边上的高为4， ∴DE=3，DD′=4， ∴D′E==5， ∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8， 故答案为：8．‎ ‎【总结升华】‎ 此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值是解题关键．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：‎ ‎1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…＝？‎ 观察下面三个特殊的等式：‎ 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝‎ 读完这段材料，请你思考后回答：‎ ‎⑴ __________________；‎ ‎⑵ ______________________；‎ ‎⑶ ___________________.‎ ‎（只需写出结果，不必写中间的过程）‎ ‎ 【答案】‎ ‎⑴343400(或)‎ 每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是，但当每相邻三个自然数相乘再求和时就成为了.‎ 类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题 ‎4．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧． （1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围． ‎ ‎【思路点拨】‎ ‎（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长； （2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案； （3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：（1）如图①， ‎ 设正方形BEFG的边长为x， 则BE=FG=BG=x， ∵AB=3，BC=6， ∴AG=AB-BG=3-x， ∵GF∥BE， ∴△AGF∽△ABC， ∴， 即 ‎， 解得：x=2， 即BE=2. （2）存在满足条件的t， 理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H， 则BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t， ∵EF∥AB， ∴△MEC∽△ABC， ∴，即， ∴ME=2-t， 在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2-t）2=t2-2t+8， 在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t-2）2=t2-4t+13， 过点M作MN⊥DH于N， 则MN=HE=t，NH=ME=2-t， ∴DN=DH-NH=3-（2-t）=t+1， 在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1， （Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2， 即t2+t+1=（t2-2t+8）+（t2-4t+13）， 解得：t=， （Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2， 即t2-4t+13=（t2-2t+8）+（t2+t+1）， 解得：t1=-3+，t2=-3-（舍去）， ∴t=-3+； （Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2， 即：t2-2t+8=（t2-4t+13）+（t2+t+1）， 此方程无解， 综上所述，当t=或-3+时，△B′DM是直角三角形； ‎ ‎ （3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH， 即2：3=CE：4， ∴CE=， ∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-=， ∵ME=2-t， ∴FM=t， 当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2， ②如图④，当G在AC上时，t=2， ∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4-t）=3-t， ∴FK=2-EK=t-1， ∵NL=AD=， ∴FL=t-， ∴当＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=t2-（t-）（t-1）=-t2+t-； ③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH， 即B′C：4=2：3， 解得：B′C=， ∴EC=4-t=B′C-2=， ∴t=， ∵B′N=B′C=（6-t）=3-t， ∵GN=GB′-B′N=t-1， ‎ ‎ ∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF-S△FKL=×2×（t-1+t）-（t-）（t-1）=-t2+2t-， ④如图⑥，当＜t≤4时， ∵B′L=B′C=（6-t），EK=EC=（4-t），B′N=B′C=（6-t）EM=EC=（4-t），‎ ‎ S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-t+． 综上所述： 当0≤t≤时，S=t2， 当＜t≤2时，S=-t2+t-； 当2＜t≤时，S=-t2+2t-， 当＜t≤4时，S=-t+．‎ ‎【总结升华】‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．‎ ‎5．阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B‎1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角． 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B‎1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现: （1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ‎ ‎． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． ‎ ‎【思路点拨】‎ ‎（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C； （2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A‎1A2B2=∠C+∠A2B‎2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B‎-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C； （3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角； 理由如下：小丽展示的情形二中，如图3， ∵沿∠BAC的平分线AB1折叠， ∴∠B=∠AA1B1； 又∵将余下部分沿∠B‎1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合， ∴∠A1B‎1C=∠C； ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B‎1C（外角定理）， ∴∠B=2∠C； 故答案是：是； （2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B‎1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B‎2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角． 证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B‎2C，∠A1 B‎1C=∠A‎1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A‎1A2B2=∠C+∠A2B‎2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B‎1C=∠BAC+2∠B‎-2C ‎=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C； （3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角， ∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角， ∴如果一个三角形的最小角是4°，‎ 三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．‎ ‎【总结升华】‎ 本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质,难度较大．‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：阅读理解型问题 例3】‎ ‎【变式】阅读以下短文，然后解决下列问题：‎ 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.‎ ‎(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；‎ ‎(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；‎ ‎(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.‎ ‎【答案】‎ ‎(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”. ‎ ‎ (2) 此时共有2个友好矩形，如图中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等. ‎ ‎(3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小 . ‎ 证明如下：‎ 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，‎ ‎△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，‎ 则L1=+‎2a，L2=+2b，L3=+‎2c .‎ ‎∴L1-L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，‎ 而ab＞S，a＞b，‎ ‎∴L1-L2＞0，即L1＞L2 .‎ 同理可得，L2＞L3 .‎ ‎∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小. ‎