2018年上海市中考数学试卷

2018年上海市中考数学试卷

‎2018年上海市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）‎ ‎1．（4.00分）（2018•上海）下列计算﹣的结果是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．‎ ‎2．（4.00分）（2018•上海）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　）‎ A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 ‎3．（4.00分）（2018•上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）‎ A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 ‎4．（4.00分）（2018•上海）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29‎ ‎5．（4.00分）（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）‎ A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC ‎6．（4.00分）（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　）‎ A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4.00分）（2018•上海）﹣8的立方根是　 　．‎ ‎8．（4.00分）（2018•上海）计算：（a+1）2﹣a2=　 　．‎ ‎9．（4.00分）（2018•上海）方程组的解是　 　．‎ ‎10．（4.00分）（2018•上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是　 　元．（用含字母a的代数式表示）．‎ ‎11．（4.00分）（2018•上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　 　．‎ ‎12．（4.00分）（2018•上海）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是　 　．‎ ‎13．（4.00分）（2018•上海）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　 　．‎ ‎14．（4.00分）（2018•上海）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　 　．（填“增大”或“减小”）‎ ‎15．（4.00分）（2018•上海）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为　 　．‎ ‎16．（4.00分）（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是　 　度．‎ ‎17．（4.00分）（2018•上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　 　．‎ ‎18．（4.00分）（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10.00分）（2018•上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎20．（10.00分）（2018•上海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．‎ ‎21．（10.00分）（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．‎ ‎（1）求边AC的长；‎ ‎（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．‎ ‎22．（10.00分）（2018•上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）‎ ‎（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？‎ ‎23．（12.00分）（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．‎ ‎（1）求证：EF=AE﹣BE；‎ ‎（2）连接BF，如果=．求证：EF=EP．‎ ‎24．（12.00分）（2018•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）求线段CD的长；‎ ‎（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．‎ ‎25．（14.00分）（2018•上海）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．‎ ‎（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；‎ ‎（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；‎ ‎（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）‎ ‎1．（4.00分）（2018•上海）下列计算﹣的结果是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．‎ ‎【分析】先化简，再合并同类项即可求解．‎ ‎【解答】解：﹣‎ ‎=3﹣‎ ‎=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．‎ ‎　‎ ‎2．（4.00分）（2018•上海）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　）‎ A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 ‎【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，‎ ‎∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4.00分）（2018•上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）‎ A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 ‎【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；‎ B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；‎ C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；‎ D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．‎ 综上即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A、∵a=1＞0，‎ ‎∴抛物线开口向上，选项A不正确；‎ B、∵﹣=，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；‎ C、当x=0时，y=x2﹣x=0，‎ ‎∴抛物线经过原点，选项C正确；‎ D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，‎ ‎∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（4.00分）（2018•上海）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29‎ ‎【分析】根据中位数和众数的概念解答．‎ ‎【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，‎ 处于最中间是数是28，‎ ‎∴这组数据的中位数是28，‎ 在这组数据中，29出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数是29，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．‎ ‎　‎ ‎5．（4.00分）（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）‎ A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC ‎【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．‎ ‎【解答】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；‎ B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；‎ C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；‎ D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．‎ ‎　‎ ‎6．（4.00分）（2018•上海）如图，已知∠‎ POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　）‎ A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7‎ ‎【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．‎ ‎【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，‎ ‎∴AD⊥OP，‎ ‎∵∠O=30°，AD=2，‎ ‎∴OA=4，‎ 当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，‎ ‎∵BC=3，‎ ‎∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；‎ 当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，‎ ‎∴OB=OA+AB=4+2+3=9，‎ ‎∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4.00分）（2018•上海）﹣8的立方根是　﹣2　．‎ ‎【分析】利用立方根的定义即可求解．‎ ‎【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，‎ ‎∴﹣8的立方根是﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．‎ ‎　‎ ‎8．（4.00分）（2018•上海）计算：（a+1）2﹣a2=　2a+1　．‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=a2+2a+1﹣a2=2a+1，‎ 故答案为：2a+1‎ ‎【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4.00分）（2018•上海）方程组的解是　，　．‎ ‎【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎②+①得：x2+x=2，‎ 解得：x=﹣2或1，‎ 把x=﹣2代入①得：y=﹣2，‎ 把x=1代入①得：y=1，‎ 所以原方程组的解为，，‎ 故答案为：，．‎ ‎【点评】本题考查了解高次方程组，能把二元二次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4.00分）（2018•上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是　0.8a　元．（用含字母a的代数式表示）．‎ ‎【分析】根据实际售价=原价×即可得．‎ ‎【解答】解：根据题意知售价为0.8a元，‎ 故答案为：0.8a．‎ ‎【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系．‎ ‎　‎ ‎11．（4.00分）（2018•上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　k＜1　．‎ ‎【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限，‎ ‎∴k﹣1＜0，‎ 解得k＜1．‎ 故答案为：k＜1．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4.00分）（2018•上海）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是　0.25　．‎ ‎【分析】根据“频率=频数÷总数”即可得．‎ ‎【解答】解：20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25，‎ 故答案为：0.25．‎ ‎【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率=频数÷总数．‎ ‎　‎ ‎13．（4.00分）（2018•上海）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　　．‎ ‎【分析】由题意可得共有3种等可能的结果，其中无理数有π、共2种情况，则可利用概率公式求解．‎ ‎【解答】解：∵在，π，这三个数中，无理数有π，这2个，‎ ‎∴选出的这个数是无理数的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎14．（4.00分）（2018•上海）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）‎ ‎【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），‎ ‎∴0=k+3，‎ ‎∴k=﹣3，‎ ‎∴y的值随x的增大而减小．‎ 故答案为：减小．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4.00分）（2018•上海）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为　+2　．‎ ‎【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．‎ ‎【解答】解：如图，连接BD，FC，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DC∥AB，DC=AB．‎ ‎∴△DCE∽△FBE．‎ 又E是边BC的中点，‎ ‎∴==，‎ ‎∴EC=BE，即点E是DF的中点，‎ ‎∴四边形DBFC是平行四边形，‎ ‎∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，‎ ‎∴=+=+2=+2．‎ 故答案是：+2．‎ ‎【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4.00分）（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是　540　度．‎ ‎【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．‎ ‎【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．‎ 所以该多边形的内角和是3×180°=540°．‎ 故答案为540．‎ ‎【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥‎ ‎3）且n为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．‎ ‎　‎ ‎17．（4.00分）（2018•上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　　．‎ ‎【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．‎ ‎【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，‎ ‎∵△ABC的面积是6，‎ ‎∴BC•AH=6，‎ ‎∴AH==3，‎ 设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，‎ ‎∵GF∥BC，‎ ‎∴△AGF∽△ABC，‎ ‎∴=，即=，解得x=，‎ 即正方形DEFG的边长为．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正下方的性质．‎ ‎　‎ ‎18．（4.00分）（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是　　．‎ ‎【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF=x，根据勾股定理列方程可得结论．‎ ‎【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，‎ 设AF=x，则CF=x，‎ 在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1，‎ 由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，‎ ‎，‎ 解得：x=或0（舍），‎ 即它的宽的值是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10.00分）（2018•上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：‎ 解不等式①得：x＞﹣1，‎ 解不等式②得：x≤3，‎ 则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，‎ 不等式组的解集在数轴上表示为：‎ ‎【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎　‎ ‎20．（10.00分）（2018•上海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．‎ ‎【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式=[﹣]÷‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当a=时，‎ 原式===5﹣2．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．‎ ‎　‎ ‎21．（10.00分）（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．‎ ‎（1）求边AC的长；‎ ‎（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．‎ ‎【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；‎ ‎（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，‎ 在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，‎ ‎∴AE=3，BE=4，‎ ‎∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，‎ 在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；‎ ‎（2）∵DF垂直平分BC，‎ ‎∴BD=CD，BF=CF=，‎ ‎∵tan∠DBF==，‎ ‎∴DF=，‎ 在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，‎ ‎∴AD=5﹣=，‎ 则=．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10.00分）（2018•上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）‎ ‎（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解．‎ ‎【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，‎ 将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴该一次函数解析式为y=﹣x+60．‎ ‎（2）当y=﹣x+60=8时，‎ 解得x=520．‎ 即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．‎ ‎530﹣520=10千米，‎ 油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．‎ ‎∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．‎ ‎【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12.00分）（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．‎ ‎（1）求证：EF=AE﹣BE；‎ ‎（2）连接BF，如果=．求证：EF=EP．‎ ‎【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠‎ BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；‎ ‎（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠BAD=90°，‎ ‎∵BE⊥AP，DF⊥AP，‎ ‎∴∠BEA=∠AFD=90°，‎ ‎∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 在△ABE和△DAF中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DAF，‎ ‎∴BE=AF，‎ ‎∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；‎ ‎（2）如图，∵=，‎ 而AF=BE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴Rt△BEF∽Rt△DFA，‎ ‎∴∠4=∠3，‎ 而∠1=∠3，‎ ‎∴∠4=∠1，‎ ‎∵∠5=∠1，‎ ‎∴∠4=∠5，‎ 即BE平分∠FBP，‎ 而BE⊥EP，‎ ‎∴EF=EP．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．‎ ‎　‎ ‎24．（12.00分）（2018•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）求线段CD的长；‎ ‎（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；‎ ‎（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；‎ ‎（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；‎ ‎（2）∵y=﹣（x﹣2）2+，‎ ‎∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2，‎ 如图，设CD=t，则D（2，﹣t），‎ ‎∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，‎ ‎∴∠PDC=90°，DP=DC=t，‎ ‎∴P（2+t，﹣t），‎ 把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，‎ 整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，‎ ‎∴线段CD的长为2；‎ ‎（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），‎ ‎∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，‎ ‎∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，‎ 而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，‎ ‎∴E点坐标为（2，﹣2），‎ 设M（0，m），‎ 当m＞0时，•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；‎ 当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；‎ 综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎25．（14.00分）（2018•上海）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．‎ ‎（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；‎ ‎（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；‎ ‎（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．‎ ‎【分析】（1）由AC=BD知+=+，得=，根据OD⊥AC知=，从而得==，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；‎ ‎（2）连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△‎ BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=，即可知BC=DF=，继而求得EF=AC=，由余切函数定义可得答案；‎ ‎（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD=、OF=，从而根据三角形面积公式计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵OD⊥AC，‎ ‎∴=，∠AFO=90°，‎ 又∵AC=BD，‎ ‎∴=，即+=+，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴AO=BO=1，‎ ‎∴AF=AOsin∠AOF=1×=，‎ 则AC=2AF=；‎ ‎（2）如图1，连接BC，‎ ‎∵AB为直径，OD⊥AC，‎ ‎∴∠AFO=∠C=90°，‎ ‎∴OD∥BC，‎ ‎∴∠D=∠EBC，‎ ‎∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，‎ ‎∴△DEF≌△BEC（ASA），‎ ‎∴BC=DF、EC=EF，‎ 又∵AO=OB，‎ ‎∴OF是△ABC的中位线，‎ 设OF=t，则BC=DF=2t，‎ ‎∵DF=DO﹣OF=1﹣t，‎ ‎∴1﹣t=2t，‎ 解得：t=，‎ 则DF=BC=、AC===，‎ ‎∴EF=FC=AC=，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠ABD=∠D，‎ 则cot∠ABD=cot∠D===；‎ ‎（3）如图2，‎ ‎∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，‎ ‎∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，‎ 则+2×=180，‎ 解得：n=4，‎ ‎∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，‎ ‎∴BC=AC=，‎ ‎∵∠AFO=90°，‎ ‎∴OF=AOcos∠AOF=，‎ 则DF=OD﹣OF=1﹣，‎ ‎∴S△ACD=AC•DF=××（1﹣）=．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．‎ ‎　‎