中考数学专题复习二圆

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中考数学专题复习二圆

专题二:圆 知识要点扫描归纳 一 圆的基本概念 ‎(1)圆的定义:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心,定长叫半径。‎ ‎(2)确定圆的条件;‎ ‎①已知圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;‎ ‎②不在同一条直线上的三点确定一个圆;‎ ‎③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆;‎ ‎(3)点和圆的位置关系 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。‎ ‎ ①点在圆外d>r; ②点在圆上d=r; ③点在圆内 d<r;‎ ‎(4)弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。‎ ‎(5)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。‎ ‎(6)等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中,能够互相重合的两条弧叫做等弧。‎ ‎(7) 圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度,都能够与原来的图形重合,因此圆还具有旋转不变性。‎ 二 圆中的重要定理 ‎1.垂径定理及其推论:‎ 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.‎ 推论1:一条直线,如果具有①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(非直径);④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧.这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质.‎ 推论2:圆的平行弦所夹的弧相等.‎ ‎2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论.‎ 在同圆或等圆中,四组量:①两个圆心角;②两条弧;③两条弦;④两条弦心距.其中任一组量相等,则其余三组量也分别相等.即在同圆或等圆中:‎ 圆心角相等 ‎3.圆周角 ‎①定义:顶点在圆上,且两边与圆相交的角.‎ ‎②定理及推论 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.‎ 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.‎ 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90o的圆周角所对的弦是直径.‎ 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.‎ 推论4:圆内接四边形定理:圆的内接四边形对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.‎ 三、直线和圆的位置关系:‎ ‎ 1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念 ‎ (1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交(图1),这时直线叫圆的割线.‎ ‎ (2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切(图2)‎ ‎ 这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.‎ ‎·‎ O 图2‎ ‎ (3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离(图3)‎ ‎·‎ O 图2‎ ‎·‎ O 图1‎ ‎ 2.直线和圆的位置关系性质和判定 ‎ 如果⊙O的半径,圆心O割直线的距离为,那么(1)直线和⊙O相交(图 ‎ 1);(2)直线和⊙O相切(图2);(3)直线和⊙O相离(图3).‎ ‎·‎ O 图2‎ ‎·‎ O 图3‎ ‎·‎ O 图1‎ 四、切线的判定和性质:‎ ‎ (一)切线的判定 ‎ 1.切线判定定理:经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;‎ ‎ 2.和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;‎ ‎ 3.经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线.‎ ‎ (二)切线的性质 ‎ 1.切线的性质定理,圆的切线垂直于经过切点的半径;‎ ‎ 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;‎ ‎ 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.‎ ‎ 2.切线的性质:‎ ‎ (1)切线和圆只有一个公共点;‎ ‎ (2)切线和圆心的距离等于圆的半径;‎ ‎ (3)切线垂直于过切点的半径;‎ ‎ (4)经过圆心垂直于切线的直线过切点;‎ ‎ (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.‎ 五、三角形的内切圆 ‎ 1.三角形的外接圆 ‎ 过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等.‎ ‎ 2.外心的位置 ‎ 锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边中点,外接圆半径(C为斜边长)‎ ‎ 3.三角形的内切圆 ‎ 到三角形三条边距离都相等的圆,叫三角形的内切圆,三角形中,三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等,内心都在三角形的内部.若三角形的面积为,周长为a+b+c,则内切圆半径为:,当为直角三角形的直角边,为斜边时,内切圆半径或.‎ ‎ 4.圆内接四边形的性质 ‎ (1)圆内接四边形的对角互补;‎ ‎(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.‎ 注意:①圆内接平行四边形为矩形;②圆内接梯形为等腰梯形.‎ 六、切线长定理:‎ ‎ 1.切线长概念:‎ ‎ 在经过圆外一点的切线上,这点和切点之间的线段的R,叫做这点到圆的切线长.‎ ‎ 2.切线长和切线的区别 ‎ 切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量.‎ ‎ 3.切线长定理:‎ ‎ 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.‎ ‎·‎ A A O A C A D A B A P A ‎ 要注意:此定理包含两个结论,如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,①PA=PB②PO平分.‎ ‎ 4.两个结论:‎ ‎ 圆的外切四边形对边和相等;‎ ‎ 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.‎ 七、弦切角定理: ‎ ‎ 1.弦切角概念:‎ ‎ 理解体弦切角要注意两点:①角的顶点在圆上;②角的一边是过切点的弦,角的边一边是以切点为端点的一条射线.‎ ‎ 2.弦切角定理:‎ ‎ 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角,该定理也可以这样说:弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半.‎ ‎ 3.弦切角定理的推论:‎ P A B C D ‎ 推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角相等.‎ 八 与比例线段相关的定理(了解)‎ ‎1.相交弦定理及其推论:‎ ‎(1)定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.‎ P A B C D ‎·‎ O 如图,AB,CD相交余E,则AE·EB=CE·DE ‎ ‎(2),推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成 P A B T ‎·‎ ‎·‎ O 的两条线段的比例中项.如上右图,有AE·EB=CE成立 ‎2,切割线定理及其推论 (1) 定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项. 如上左图,PT切⊙O,PAB是⊙O的一条 P A B C D 割线,则有PT=PA·PB成立.‎ (2) 推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等.‎ 如上右图,有PA·PB=PC·PD成立.‎ 九 圆中的相关计算 1. 弧长公式:半径为R的圆,其周长是,将圆周分成360份,每一份弧就是1o的弧,1o弧的弧长应是圆周长的,而为,因此,的弧的弧长就是,于是得到公式:。‎ 2. ‎(1)扇形的定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形(如图)。‎ ‎(2)扇形的周长:‎ ‎(3)扇形的面积:如图,阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。‎ S扇形=‎ ‎·‎ A B O m 由上面两公式可知S扇形=.可据已知条件灵活选用公式。‎ ‎·‎ A B O m ‎·‎ O A B 1. 弓形的面积 ‎(1)由弦及其所对的劣弧组成的图形,S弓形=S扇形-S△OAB。‎ ‎(2)由弦及其所对的优弧组成的弓形,S弓形=S扇形+S△OAB。‎ 十.两圆的位置关系:‎ ‎1 圆与圆的位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 图形 ‎·‎ ‎·‎ O1‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ ‎·‎ O2‎ O1‎ ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O2‎ O1‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ 公共点 ‎0个 ‎1个 ‎2个 ‎1个 ‎0个 d、r、R的关系 d>R+r d=R+r R-r0‎ ‎8 (年山东日照).(本题满分10分) ‎ ‎(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90° ,‎ 即AD是底边BC上的高. ………………………………………1分 又∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形, ‎ ‎∴D是BC的中点;………… ……………………………………………3分 ‎ (2) 证明:∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角,‎ ‎ ∴ ∠CBE=∠CAD.…………………………………………………5分 ‎ 又∵ ∠BCE=∠ACD,‎ ‎ ∴△BEC∽△ADC;…………………………………………………6分 ‎(3)证明:由△BEC∽△ADC,知,‎ 即CD·BC=AC·CE. …………………………………………………8分 ‎∵D是BC的中点,∴CD=BC. ‎ ‎ 又 ∵AB=AC,∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE.……………………………………………………10分 ‎9.(年江苏泰州)‎ ‎.解:⑴①根据题意得:B的坐标为(0,b),∴OA=OB=b,∴A的坐标为(b,0),代入y=kx+b得k=-1.‎ ‎②过P作x轴的垂线,垂足为F,连结OD.‎ ‎∵PC、PD是⊙O的两条切线,∠CPD=90°,‎ ‎∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°,‎ ‎∵∠PDO=90°,,∠POD=∠OPD=45°,‎ ‎∴OD=PD=,OP=.‎ ‎∵P在直线y=-x+4上,设P(m,-m+4),则OF=m,PF=-m+4,‎ ‎∵∠PFO=90°, OF2+PF2=PO2,‎ ‎∴ m2+ (-m+4)2=()2,‎ 解得m=1或3,‎ ‎∴P的坐标为(1,3)或(3,1)‎ ‎(2)分两种情形,y=-x+,或y=-x-。‎ 直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,可知其所对圆心角为120°,如图,画出弦心距OC,可得弦心距OC=,又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为,即,∴AC=,进而可得AO=,即直线与与x轴交于点(,0).所以直线与y轴交于点(,0),所以b的值为.‎ 当直线与x轴、y轴的负半轴相交,同理可求得b的值为.‎ 综合以上得:b的值为或.‎ ‎10.(年湖南湘潭)(本题满分10分)‎ 解:(1)A(6,0),B(0,6) ……………………1分 连结OC,由于∠AOB=90o,C为AB的中点,则,‎ 所以点O在⊙C上(没有说明不扣分).‎ 过C点作CE⊥OA,垂足为E,则E为OA中点,故点C的横坐标为3.‎ 又点C在直线y=-x+6上,故C(3,3) ……………………2分 抛物线过点O,所以c=0,‎ 又抛物线过点A、C,所以,解得: ‎ 所以抛物线解析式为    …………………3分 ‎(2)OA=OB=6代入OB2=OA·OD,得OD=6   ……………………4分 ‎ 所以OD=OB=OA,∠DBA=90o.   ……………………5分 ‎ 又点B在圆上,故DB为⊙C的切线   ……………………6分 ‎(通过证相似三角形得出亦可)‎ ‎(3)假设存在点P满足题意.因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,‎ 要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,‎ 则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o, ……………………7分 若∠CAP=90o,则OC∥AP,因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b.‎ 又AP过点A(6,0),则b=-6, ……………………8分 方程y=x-6与联立解得:,, ‎ ‎ 故点P1坐标为(-3,-9) ……………………9分 ‎ 若∠COP=90o,则OP∥AC,同理可求得点P2(9,-9)‎ ‎ (用抛物线的对称性求出亦可)‎ ‎ 故存在点P1坐标为(-3,-9)和P2(9,-9)满足题意.……10分 ‎11(年四川成都市). ‎ ‎(1)解:(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,‎ ‎ ∴,。‎ ‎ 将 代入,得。解得。‎ ‎ ∴直线AC的函数表达式为。‎ ‎ ∵抛物线的对称轴是直线 ‎∴解得 ‎∴抛物线的函数表达式为。‎ ‎(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D。‎ ‎ ∵,‎ ‎∴ ‎ ‎∴。‎ 过点P作PE⊥x轴于点E,‎ ‎∵PE∥CO,∴△APE∽△ACO,‎ ‎∴, ∴‎ ‎∴,解得x= ,∴点P的坐标为 ‎(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。‎ ‎ 设点Q的坐标为。‎ ① 当⊙Q与y轴相切时,有,即。‎ 当时,得,∴‎ 当时,得,∴‎ ② 当⊙Q与x轴相切时,有,即 当时,得,即,解得,∴‎ 当时,得,即,解得,∴,。‎ 综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为,,,,。‎ ‎(Ⅱ)设点Q的坐标为。‎ 当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有。‎ 由,得,即,‎ ‎∵△=‎ ‎∴此方程无解。‎ 由,得,即,‎ 解得 ‎∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。‎
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