- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
中考数学专题复习二圆
专题二:圆 知识要点扫描归纳 一 圆的基本概念 (1)圆的定义:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心,定长叫半径。 (2)确定圆的条件; ①已知圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小; ②不在同一条直线上的三点确定一个圆; ③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆; (3)点和圆的位置关系 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外d>r; ②点在圆上d=r; ③点在圆内 d<r; (4)弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。 (5)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。 (6)等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中,能够互相重合的两条弧叫做等弧。 (7) 圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度,都能够与原来的图形重合,因此圆还具有旋转不变性。 二 圆中的重要定理 1.垂径定理及其推论: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 推论1:一条直线,如果具有①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(非直径);④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧.这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质. 推论2:圆的平行弦所夹的弧相等. 2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论. 在同圆或等圆中,四组量:①两个圆心角;②两条弧;③两条弦;④两条弦心距.其中任一组量相等,则其余三组量也分别相等.即在同圆或等圆中: 圆心角相等 3.圆周角 ①定义:顶点在圆上,且两边与圆相交的角. ②定理及推论 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90o的圆周角所对的弦是直径. 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 推论4:圆内接四边形定理:圆的内接四边形对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角. 三、直线和圆的位置关系: 1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念 (1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交(图1),这时直线叫圆的割线. (2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切(图2) 这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点. · O 图2 (3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离(图3) · O 图2 · O 图1 2.直线和圆的位置关系性质和判定 如果⊙O的半径,圆心O割直线的距离为,那么(1)直线和⊙O相交(图 1);(2)直线和⊙O相切(图2);(3)直线和⊙O相离(图3). · O 图2 · O 图3 · O 图1 四、切线的判定和性质: (一)切线的判定 1.切线判定定理:经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线; 2.和圆心距离等于半径的直线是圆的切线; 3.经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线. (二)切线的性质 1.切线的性质定理,圆的切线垂直于经过切点的半径; 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2.切线的性质: (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)切线垂直于过切点的半径; (4)经过圆心垂直于切线的直线过切点; (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 五、三角形的内切圆 1.三角形的外接圆 过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等. 2.外心的位置 锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边中点,外接圆半径(C为斜边长) 3.三角形的内切圆 到三角形三条边距离都相等的圆,叫三角形的内切圆,三角形中,三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等,内心都在三角形的内部.若三角形的面积为,周长为a+b+c,则内切圆半径为:,当为直角三角形的直角边,为斜边时,内切圆半径或. 4.圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的对角互补; (2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角. 注意:①圆内接平行四边形为矩形;②圆内接梯形为等腰梯形. 六、切线长定理: 1.切线长概念: 在经过圆外一点的切线上,这点和切点之间的线段的R,叫做这点到圆的切线长. 2.切线长和切线的区别 切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量. 3.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. · A A O A C A D A B A P A 要注意:此定理包含两个结论,如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,①PA=PB②PO平分. 4.两个结论: 圆的外切四边形对边和相等; 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长. 七、弦切角定理: 1.弦切角概念: 理解体弦切角要注意两点:①角的顶点在圆上;②角的一边是过切点的弦,角的边一边是以切点为端点的一条射线. 2.弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角,该定理也可以这样说:弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半. 3.弦切角定理的推论: P A B C D 推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角相等. 八 与比例线段相关的定理(了解) 1.相交弦定理及其推论: (1)定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. P A B C D · O 如图,AB,CD相交余E,则AE·EB=CE·DE (2),推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成 P A B T · · O 的两条线段的比例中项.如上右图,有AE·EB=CE成立 2,切割线定理及其推论 (1) 定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项. 如上左图,PT切⊙O,PAB是⊙O的一条 P A B C D 割线,则有PT=PA·PB成立. (2) 推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等. 如上右图,有PA·PB=PC·PD成立. 九 圆中的相关计算 1. 弧长公式:半径为R的圆,其周长是,将圆周分成360份,每一份弧就是1o的弧,1o弧的弧长应是圆周长的,而为,因此,的弧的弧长就是,于是得到公式:。 2. (1)扇形的定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形(如图)。 (2)扇形的周长: (3)扇形的面积:如图,阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。 S扇形= · A B O m 由上面两公式可知S扇形=.可据已知条件灵活选用公式。 · A B O m · O A B 1. 弓形的面积 (1)由弦及其所对的劣弧组成的图形,S弓形=S扇形-S△OAB。 (2)由弦及其所对的优弧组成的弓形,S弓形=S扇形+S△OAB。 十.两圆的位置关系: 1 圆与圆的位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 图形 · · O1 O2 · O1 · O2 O1 · O2 · O2 O1 · · · O2 · O1 公共点 0个 1个 2个 1个 0个 d、r、R的关系 d>R+r d=R+r R-r查看更多