中考数学压轴题培优方案
中考培优设计
——决战压轴篇
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目 录
前 言 3
第一部分 题型分类 5
§1.1 动点型问题(抛物线与直线相切、最大值问题) 5
§1.2 几何图形的变换（平移、旋转、翻折） 7
§1.3 相似与三角函数问题 9
§1.4 三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） 11
§1.5 与四边形有关的二次函数问题 13
§1.6 最值问题 15
§1.7 定值问题 17
§1.8 存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等） 19
第二部分 精题特训 21
第三部分 技巧分类 61
§3.1 中线倍长法 61
§3.2 截长补短法 66
§3.3 手拉手模型 69
§3.4 母子型相似三角形 77
§3.5 双垂型 81
§3.6 共享型相似三角形 82
§3.7 一线三等角型相似三角形 83
§3.8 一线三直角型相似三角形 89
第四部分 考点详解 94
§4.1 角的平分线 94
§4.2 旋转 95
§4.3 直角三角形斜边中线+四点共圆 96
§4.4 倍长过中点的线段 97
§4.5 共端点的等线段，旋转 98
§4.6 利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线 99
§4.7 利用平移变换转移线段+作图 100
§4.8 翻折全等+等腰（与角平分线类比） 101
§4.9 由角平分线启发翻折，垂线 102
§4.10 启发利用重心分中线，中点相关内容 103
§4.11 由特殊形解题启发构造哪些相等的角 104
§4.12 一题多解与题目的变式及类题 105
§4.13 旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值） 108
§4.14 启发构造三角形转移线段 110
§4.15 由位置的不确定引发的分类讨论 113
§4.16 由图形的不确定引发的分类讨论 114
§4.17 与面积有关的动点问题 115
第五部分 精题特训 118
第六部分 新定义经典 145
第七部分 精题特训 156
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第一部分 题型分类
§1.1 动点型问题(抛物线与直线相切、最大值问题)
（一）经典例题
如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．
（1）求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；
（2）若线段AD上有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线于F，当线段EF取得最大值时，求点E的坐标．
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（二）变式练习
如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
（1） 求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒l个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒l个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值．
（4）在（3）中当t为何值时，以O，P，Q为顶点的三角形与△OAD相似？（直接写出答案）
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§1.2 几何图形的变换（平移、旋转、翻折）
（一）经典例题
如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2
O
A
B
C
x
y
1
1
3
P
Q
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（二）变式练习
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
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§1.3 相似与三角函数问题
（一）经典例题
如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标；
C
D
O
B
A
y
x
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
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（二）变式练习
如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为 ；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ= ；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
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§1.4 三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）
（一）经典例题
已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．
（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
图①
P
D
E
C
O
A
B
F
x
y
图②
P
D
C
O
A
B
F
x
y
E
F
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（二）变式练习
已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
A
B
x
y
O
P
D
E
图2
C
A
B
x
y
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§1.5 与四边形有关的二次函数问题
（一）经典例题
如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
C
B′
D
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（二）变式练习
已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
(1)如图①，当PA的长度等于 时，∠PAB＝60°；
当PA的长度等于 时，△PAD是等腰三角形；
(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．
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§1.6 最值问题
（一）经典例题
如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
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（二）变式练习
如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x 2＋bx＋c与直线y＝x＋1交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．
y
x
C
B
A
D
O
E
y
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§1.7 定值问题
（一）经典例题
如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC＋EC)为定值．
y
x
F
A
O
D
B
P
C
E
Q
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（二）变式练习
如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
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§1.8 存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）
（一）经典例题
将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（1） 连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
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（二）变式练习
如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求直线DC的解析式；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
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第二部分 精题特训
限时特训（一） 耗时：
【01】.已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围。
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【02】.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段沿轴向右平移2个单位得到线段．
①直接写出点和的坐标；
②若抛物线与四边形有且只有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．
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【03】.在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）若BC=4，
①求抛物线的解析式；
②将抛物线在C，D之间的部分记为图象G（包含C，D两点）．若过点A的直线与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．
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【04】.在平面直角坐标系xoy中，抛物线（）与 x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）将抛物线在B，C之间的部分记为图象G（包含B，C两点），若直线y=5x+b与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．
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【05】.已知：点为抛物线（）上一动点．
（1） （1，），（3，）为P点运动所经过的两个位置，判断，的大小，并说明理由；
（2）当时，n 的取值范围是，求抛物线的解析式.
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【06】.已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点为A（4，0）。
（1） 求抛物线的表达式及顶点B的坐标；
（2） 将时函数的图象记为G，点P为G上一动点，求P点纵坐标n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点C（4，-4）的直线与图象G有两个公共点，结合图象直接写出b的取值范围．
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限时特训（二） 耗时：
【01】.已知：二次函数的图象过点A（-1,2），B（4,7）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若二次函数与的图象关于x轴对称，试判断二次函数的顶点是否在直线AB上；
（3）若将的图象位于A，B两点间的部分（含A，B两点）记为G，则当二次函数与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件.
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【02】.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+n经过点A(-4, 2)，分别与x，y轴交于点B，C，抛物线y= x2-2mx+m2-n的顶点为D.
(1) 求点B，C的坐标；
(2) ①直接写出抛物线顶点D的坐标（用含m的式子表示）；
②若抛物线y= x2-2mx+m2-n与线段BC有公共点，求m的取值范围.
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【03】.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = -x2 + mx +n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）.
（1）抛物线的对称轴为直线x =-3， AB = 4.求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，
记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m =4时，抛物线上有两点M（x1，,y1）和N（x2，,y2），若x1< 2，x2>2，x1+
x2 > 4，试判断y1与y2的大小，并说明理由.
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【04】.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与轴的一个交点为．
（1） 求抛物线的表达式；
（2）D是抛物线与轴的另一个交点，点的坐标为，其中，△ADE的面积为．
①求的值；
②将抛物线向上平移个单位，得到抛物线，若当时，抛物线与轴只有一个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．
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【05】.在平面直角坐标系xOy中，抛物线：的顶点在x轴上，直线l：与x轴交于点A．
（1）求抛物线：的表达式及其顶点坐标；
（2）点B是线段OA上的一个动点，且点B的坐标为（t，0）．过点B作直线BD⊥x轴交直线l于点D，交抛物线：于点E．设点D的纵坐标为m，点E的纵坐标为n，求证：；
（3）在（2）的条件下，若抛物线：与线段BD有公共点，结合函数的图象，求的取值范围．
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【06】.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C） 记为图象M．将直线向下平移b（b>0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围_________．
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限时特训（三） 耗时：
【01】.在平面直角坐标系中，抛物线：经过点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；
（3）将抛物线沿直线翻折，得到的图象记为，设与围成的封闭图形为，在图形上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行.求的值.
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【02】.已知抛物线G1：的对称轴为x = -1，且经过原点．
（1）求抛物线G1的表达式；
（2）将抛物线G1先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标；
（3）记抛物线在点A，C之间的部分为图象G2（包含A，C两点），如果直线
m：与图象G2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G2的对称轴交点的纵坐标t的值或范围．
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【03】.在平面直角坐标系中，抛物线C：．
（1）当抛物线C经过点时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）当直线与直线关于抛物线C的对称轴对称时，求的值；
（3）若抛物线C：与轴的交点的横坐标都在和之间（不包括和），结合函数的图象，求的取值范围．
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【04】.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴x = - 1 ．
（1）求a的值及与x轴的交点坐标；
（2）若抛物线与x轴有交点,且交点都在点A（-4 ，0），B（1，0）之间，求m的取值范围．
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【05】.已知：在平面直角坐标系中，直线y=kx+b的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y轴交于点A.
（1）求直线y=kx+b的表达式；
（2） 将直线y=kx+b绕点A沿逆时针方向旋转45º后与抛物线交于B，C 两点. 若BC≥4，求a的取值范围；
（3）设直线y=kx+b与抛物线交于D，E 两点，当时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围.
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【06】.已知二次函数的图象经过点A（1，0）和D（4，3），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将二次函数的图象在点B，C之间的部分（包含点B，C）记为图象G. 已知直线l:经过点M（2，3），且直线l总位于图象G的上方，请直接写出b的取值范围；
（3）如果点和点在函数的图象上，且，. 求的值；
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限时特训（四） 耗时：
【01】.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点
A（0，2），B（3，）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
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【02】.已知关于的方程．
（1） 求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2） 抛物线与轴交于，两点，且，抛物线的顶点为，求△ABC的面积；
（3） 在（2）的条件下，若是整数，记抛物线在点B，C之间的部分为图象G（包含B，C两点），点D是图象G上的一个动点，点P是直线上的一个动点，若线段DP的 最小值是，请直接写出的值．
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【03】.如图，二次函数的图象（抛物线）与x轴交于A(1,0), 且当和时所对应的函数值相等.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）设抛物线与轴的另一交点为点B,与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M 的坐标及△MBC的面积.
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【04】.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点P（-1,0），C，D（0，-3），A，B在轴上，且P为AB中点，.
（1）求经过A、D、B三点的抛物线的表达式．
（2）把抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一个新的图象G，点Q在此新图象G上，且，求点Q坐标．
（3）若一个动点M自点N（0,-1）出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点D，求使点M运动的总路程最短的点E、点F的坐标．
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【05】.在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；
（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n的取值范围．
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【06】.已知：关于x的方程x2－(m+2)x+m+1=0.
（1）求证：该方程总有实数根；
（2）若二次函数y= x2－(m+2)x+m+1（m>0）与x轴交点为A，B（点A在点B的左边），且两交点间的距离是2，求二次函数的表达式；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在（2）的条件下，垂直于y轴的直线y=n与抛物线交于点E，F.若抛物线在点E，F之间的部分与线段EF所围成的区域内（包括边界）恰有7个整点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
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限时特训（五） 耗时：
【01】.在平面直角坐标系xOy中，二次函数图像所在的位置如图所示:
（1）请根据图像信息求该二次函数的表达式；
（2）将该图像（x＞0）的部分，沿y轴翻折得到新的图像，请直接写出翻折后的二次函数表达式；
（3）在（2）的条件下与原有二次函数图像构成了新的图像，记为图象G，现有一次函数 的图像与图像G有4个交点，请画出图像G的示意图并求出b的取值范围.
168
【02】.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)把-4
y2时，求自变量x的取值范围;
(3) 将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.
168
【04】.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论为任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线与轴交于、两点（点与点在y轴异侧），且,求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线向上平移个单位长度后,所得到的图象与直线没有交点，请直接写出的取值范围.
168
【05】. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）当时，结合函数图象直接写出y的取值范围；
（3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k的取值范围．
168
【06】.已知：过点A（3，0）直线l1：与直线l2：交于点B.抛物线的顶点为B.
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线经过点A，求抛物线的表达式；
（3）直线分别与直线l1， l2交于C，D两点，当抛物线与线段CD有交点时，求a的取值范围.
168
限时特训（六） 耗时：
【01】.已知：二次函数的图象过点A（-1，0）和C（0，2）.
（1）求二次函数的表达式及对称轴；
（2）将二次函数的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，）在图象G上，且，求m的取值范围。
168
【02】.在平面直角坐标系xOy中，直线y= -x+2与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为B，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y= -x+2交于点C；抛物线y=nx2-2nx+n+2
(其中n＜0)的顶点坐标为D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若点E（2，-2）在抛物线y=nx2-2nx+n+2(其中n＜0)上，求n的值；
（3）若抛物线y=nx2-2nx+n+2(其中n＜0)与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．
168
【03】.已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．
（1）求证该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在－3≤x≤之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．
168
【04】.已知：抛物线y = ax 2 + 4ax + 4a （a > 0）
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中– 4 ”填空）；
（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（– 3，4），F（– 3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围.
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【05】.已知：直线：与过点（0,﹣2），且与平行于轴的直线交于点，点关于直线的对称点为点B．
（1）求两点的坐标；
（2）若抛物线经过A，B两点，求抛物线解析式；
（3）若抛物线的顶点在直线上移动，当抛物线与线段有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标的取值范围．
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【06】.已知：抛物线y=x²+bx+c经过点A（2，-3）和B（4，5）.
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；
（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G:y＝ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围
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限时特训（七） 耗时：
【01】.抛物线：()与轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)．
(1) 求抛物线的解析式及A，B点坐标；
(2) 将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移n（）个单位长度，得到抛物线．若抛物线的顶点在△ABC内，求n的取值范围．
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【02】.已知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求m的值；
（2）求A，B，C三点的坐标；
（3）过点C作直线∥x轴，将该抛物线在y轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保 持不变，得到一个新的图象，记为G．当直线与图象G只有一个公共点时，求b的取值范围．
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【03】.抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，若点C在直线上，直线向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求n的取值范围．
168
【04】.已知，抛物线C1： 经过点（1,0）.
（1）直接写出抛物线与x轴的另一个交点坐标；
（2）①求m的值；
②将抛物线C1的表达式化成的形式，并写出顶点A的坐标；
（3）研究抛物线C2：，顶点为点B.
①写出抛物线C1，C2共有的一条性质；
②若点A，B之间的距离不超过2，求k的取值范围.
168
第三部分 技巧分类
§3.1 中线倍长法
【例题】求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ (AB+AC)
分析：要证明AD ﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。
在△ADB和△EDC中，
∴△ADB≌△EDC(SAS)
∴AB=CE
又 在△ACE中，
AC+CE＞AE
∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤ (AB+AC)
小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
课题练习:中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC
168
【模型整理】 △ABC中，AD是BC边中线
方式1： 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE
方式2：间接倍长
（1） 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE
（2）延长MD到N， 使DN=MD，连接CN
168
随堂精炼
（1）△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
（2）已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
（3）已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
（4）已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分
（5）已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
课后作业：
168
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
2、已知：如图，DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
168
3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
168
§3.2 截长补短法
【例题】已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°.
图1-2
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°
图2-1
例1. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
168
已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180°.
图3-1
图4-1
例1. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.
作业：
1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
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2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE
有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
【例题】：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。
168
§3.3 手拉手模型
【例题】 两个等腰三角形与，其中,,连结与，
问：（1）是否成立？
（2）是否与相等？
（3）与之间的夹角为多少度？
（4）是否平分？
拓展： 在凸四边形中，，，。
证明：。
168
分析：待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将、（作为直角边）和（作为斜边）集中到一个直角三角形里。
图1 图2
证明1：如图1，过作，且使得，连接、、
是等边三角形
，
，
是等边三角形
，
≌（）
在中，
评注：意外的是，添加辅助线后原图回到了一个经典（老）问题的图上—两个有公共顶点的等边三角形（不看，试试？）！另外，也可以按如下方式作辅助线：如图
168
2，过作，且使得，连接、、（过程基本同证明1，不赘述）。
图3 图4
证明2：如图3，过作，且使得，连接、
≌（）
，
是等边三角形
在中，
168
如图, 已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=900, 等腰Rt△EOF中,∠EOF=900, 连结AE、BF. 求证: AE=BF; .
【巩固】如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．
168
【巩固】如图，和均为等边三角形，，．若，
则求CD
【巩固】如图，四边形、都是正方形，连接、．
求证：．（2）AE⊥CG
168
综合讲解.如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明
（1）
（2）
（3）与之间的夹角为
（4）
（5）
（6）平分
（7）
168
变式精练1：如图两个等边三角形与，连结与，
证明（1）
（2）
（3） 与之间的夹角为
（4） 与的交点设为,平分
变式精练2：如图两个等边三角形与，连结与，
证明（1）
(2）
(3） 与之间的夹角为
(4） 与的交点设为,平分
168
例2：如图，两个正方形与,连结,二者相交于点
问：（1）是否成立？
（2） 是否与相等？
（3） 与之间的夹角为多少度？
（4） 是否平分？
例3：如图两个等腰直角三角形与，连结,二者相交于点
问：（1）是否成立？
（2）是否与相等？
（3）与之间的夹角为多少度？
（4）是否平分？
168
§3.4 母子型相似三角形
例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证：．
例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．
求证：（1）； （2）．
A
C
D
E
B
168
相关练习：
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：．
2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB
168
3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB
4.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：
168
5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
A
C
B
P
D
E
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
168
§3.5 双垂型
1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高
求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。
168
§3.6 共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.
2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）．
168
§3.7 一线三等角型相似三角形
C
A
D
B
E
F
例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
例2：（1）在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.
①若点在线段上（如图），且，求线段的长；
②若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A
B
C
备用图
A
B
C
备用图
A
B
C
P
Q
A
B
C
D
（2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.
A
B
C
D
A
B
C
D
168
例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
C
D
A
B
P
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．
例4：如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．
（1）求证：△∽△；
（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；
（3）若，求的长．
168
相关练习：
1、如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．
(1) 求证：△ABD∽△DCE；
(2) 如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；
(3) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
A
B
C
D
E
2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
168
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
E
D
C
B
A
（备用图）
E
D
C
B
A
P
②当时，求BP的长．
168
4、如图，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N，
（1）写出图中与△BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE=x,MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）若AE=1，试求△GMN的面积．
168
§3.8 一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
例2、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。
168
【练习1】
在直角中，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当时，求BE的长。
（3）、连结EF,当和相似时，求BE的长。
168
【练习2】
在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时，求证：
(2)、当，求的值
（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域
168
【 练习4】]如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．
（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积.
168
【 练习5】
如图,在梯形中，, ，是腰上一个动点(不含点、),作交于点.(图1)
(1)求的长与梯形的面积；
(2)当时,求的长；(图2)
Q
P
D
C
B
A
Q
P
D
C
B
A
(3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.
（图1） （图2）
168
第四部分 考点详解
§4.1 角的平分线
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
【例题】 已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：
①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC；
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．
168
§4.2 旋转
（1） 旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2） 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
【例题】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC= ,点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点。
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．
168
§4.3 直角三角形斜边中线+四点共圆
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
【例题】 已知：在△ABC中，∠ABC=90°, 点E在直线AB上, ED与直线AC垂直, 垂足为D，且点M为EC中点, 连接BM, DM.
（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足
的数量关系, 并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出
你的猜想并加以证明;
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM
与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系.
图1 图2
168
§4.4 倍长过中点的线段
如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
168
§4.5 共端点的等线段，旋转
如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，.
（1） 求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.
求证：；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.
D
A
E
B
C
A
D
D
A
F
P
B
C
E
C
B
E
图2
图1
图3
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§4.6 利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线
我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
， 。
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
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§4.7 利用平移变换转移线段+作图
在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.
（1）若BD=AC，AE=CD，画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；
（2）若，，求∠APE的度数.
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§4.8 翻折全等+等腰（与角平分线类比）
我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
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§4.9 由角平分线启发翻折，垂线
（1） 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（2） 如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
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§4.10 启发利用重心分中线，中点相关内容
我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.
已知：如图，点0为等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直线m过点O,过A,B,C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D,R,F.
(1)当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段BE,CF和AD三者之间的数量关系并证明；
图1 图2 图3
(2) 当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD,BE,CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
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§4.11 由特殊形解题启发构造哪些相等的角
如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
B
B
B
C
C
C
A
A
A
D
P
E
①
②
③
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§4.12 一题多解与题目的变式及类题
【例题1】点M为正方形ABCD的边AB（或延长线上）任一点（不与A，B重合），，射线MN与的外角平分线交于点N，求证：DM=MN.
【变式】A、方法类比，改变图形
等边三角形ABC中，在BC边上任取一点D（不与A，B重合）， 作 ， DE交∠C的外角平分线于E，判断△ADE的形状，并证明。若D是射线BC上任一点，上述结论是否成立?
【变式】B、方法类比，改变图形
如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，,MH与六边形外角的平分线BQ交于H点.
①当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH;
②当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.
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【变式】C、方法类比，改变背景
1、如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AC交于点P.
（1）当点E坐标为(3，0)时，试证明CE=EP；
（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t＞0）”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由；
（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由.
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【例题2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °，求证：EF＝BE＋FD．
【变式】A、方法类比，特殊到一般削弱题目条件
（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.
【变式】B、方法类比，改变图形
（2）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E在BC上，点F在CD上，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
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§4.13 旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）
已知：等边三角形ABC
图1
(1)如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；
(2)如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD
图2
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【类题】
1、已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；
图1
如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；
图2
（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
图3
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§4.14 启发构造三角形转移线段
【例1】 已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.
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【例2】如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE．
（1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF的度数；
（1）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取
若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．
图1 图2 图3
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【类题】已知点A，B分别是两条平行线，上任意两点，C是直线上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上,BC＝kAB (k≠0).
（1）当k＝1时，在图（1）中，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F，写出线段EF与EB的数量关系，并加以证明；
（2）若k≠1，如图(2)，∠BEF＝∠ABC，其它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由．
（1） （2）
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§4.15 由位置的不确定引发的分类讨论
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
图1 图2 备用图
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§4.16 由图形的不确定引发的分类讨论
如图，在梯形中， ，梯形的高为4．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．
（1）当时，求的值；
（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．
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§4.17 与面积有关的动点问题
【例1】 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
图1 图2 图3
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【例2】 在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）.
（1）在图1中画图探究：
①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1 判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；
图1
图2（备用）
②当P2点为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2.判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD=6，tanB=， AE =1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FG1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
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【例3】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．
（1）当t＝2时，PH= cm ，DG = cm；
（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；
（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；
（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．
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第五部分 精题特训
题型01
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B,C除外），分别经过点E和点B做AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系.
【探究发现】
某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；
【数学思考】
那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
（1）点E在BC上时：
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（2）点E在BC上延长线上时：
（3）点E在BC上反向延长线上时：
【拓展应用】
当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（），请直接写出：的值．
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【练习】如图，正方形ABCD，G为BC延长线上一点，E为射线BC上一点，连接AE．
（1）若E为BC的中点，将线段EA绕着点E顺时针旋转90°，得到线段EF，
连接CF．
①请补全图形；
②求证：∠DCF=∠FCG；
（2）若点E在BC的延长线上，过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点
M，判断AE与EM的数量关系并证明你的结论．
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题型03
在正方形ABCD中，点H在对角线BD上（与点B、D不重合），连接AH，将HA绕点H顺时针旋转 90º与边CD (或CD延长线)交于点P，作HQ⊥BD交射线DC于点Q.
(1)如图:
①依题意补全图；
②判断DP与CQ的数量关系并加以证明；
（1）点P在CD上时
（2）点P在CD 延长线上时：
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(2)若正方形ABCD的边长为，当 DP=1时,试求∠PHQ的度数.
（1）点P在CD上时
（2）点P在CD 延长线上时：
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【练习】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．
（1）依题意补全图1；
（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；
图1
（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果）．
备用图
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题型03
如图，等边△ABC，其边长为1， D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°.
（1）直接写出DE与DF的数量关系；
（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）
（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.
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题型04
已知：如图，，是过点的直线，，于点．
（1）在图1中，过点作，与直线于点，
①依题意补全图形；
②求证：是等腰直角三角形；
③图1中，线段、、满足的数量关系是 ；
（2）当绕旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变.
①在图2中，线段、、满足的数量关系是 ；
②在图3中，线段、、满足的数量关系是 ；
（3）在绕点旋转过程中，当，时，则 ．
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题型05
在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC．过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE．
（1） 情况一：当点P在线段AB上时，图形如图1所示；
情况二：如图2，当点P在BA的延长线上，且AP0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离” ；
(3)在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 ．
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【02】.已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[-1.2]=-2．请
你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：
设函数y=x-[x].
（1）当x=2.15时，求y=x-[x]的值;
（2）当00）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为，请直接写出的取值范围.
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【02】.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
（1）如图29—1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究
小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形.她的猜想正确吗？请说明理由．
（3）如图29—2，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，.试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．
图29—2
图29—1
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§7.5 限时特训（五） 耗时：
【01】.如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．
图1 图2 图3
（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB ∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．
（2）① 如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；
② 如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．
（3）如图4，点C是函数（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．
图4
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【02】.对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”，用字母f表示．例如，当，时，点O与线段MN的“密距”为，点O与线段MN的“疏距”为．
（1）已知，在平面直角坐标系xOy中，，，，，
①点O与线段AB的“密距”为，“疏距”为；
②线段AB与△COD的“密距”为，“疏距”为；
（2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，以为圆心，1为半径作圆，当⊙C与线段EF的“密距”0
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