中考数学几何之辅助线的添加

中考数学几何之辅助线的添加

辅助线的添加 【知识要点】 平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何 证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅 助线"在平面几何中的运用。 一 、三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的 ⅰ 可向两边作垂线。 ⅱ 可作平行线，构造等腰三角形 ⅲ 在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 2. 与线段长度相关的 ⅰ 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它 和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 ⅱ 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得 延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即 可 ⅲ 倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可 得到全等三角形。 ⅳ 遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。 3. 与等腰等边三角形相关的 ⅰ 考虑三线合一 ⅱ 旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转 二 、四边形 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的 问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 1、和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需 要添加辅助线构造平行四边形. ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形 ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形 ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形 2、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理 解决问题. ⅰ. 作菱形的高； ⅱ．连结菱形的对角线. 3、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种： ⅰ. 计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题； ⅱ．证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试 题的辅助线的作法较少. 4、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题 °60 较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线. 5、与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型： （1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形； （2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形； （3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形； （4） 延长两腰构成三角形； （5）作两腰的平行线等. 三 、圆 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：① 利用垂径定理； ② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。 3．遇到 90 度的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得 OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 6．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。 作用：若 OA=r，则 l 为 切线。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证 OA⊥l，则 l 为 切线。 （3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线 7． 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用：据切线长及其它性质，可得到： ① 角、线段的等量关系； ② 垂直关系； ③ 全等、相似三角形。 8．遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： ① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ② 内心到三角形三条边的距离相等。 9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。 10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。 作用：①利用切线的性质； ②利用解直角三角形的有关知识。 11．遇到两圆相交时 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。 作用：① 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； ② 利用圆内接四边形的性质； ③ 利用两圆公共的圆周的性质； ④ 垂径定理。 12．遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线。 作用：① 利用连心线性质； ② 切线性质等。 13． 遇到三个圆两两外切时 常常作每两个圆的连心线。 作用：可利用连心线性质。 14．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添 加辅助圆。 作用：以便利用圆的性质。 【历年考卷形势分析及中考预测】 平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容，其题目的灵活性远远是代数题目所不能比 拟的，从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题，出题范围极为广 泛，难易程度差距较大，对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。纵观近 6 年广州市 的中考试题，分值分布大约在 60 分左右，其中简单的题目大约占 43 分，其余的 17 分较难， 每年必有一道几何压轴题，分值 14 分，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度 较大，应引起同学们的高度重视。 题目难主要难在辅助线的添加，尤其像特殊四边形及圆中的问题，从中考考纲来看， 2011 年广州市中考命题，同往年相比，变化不大，压轴题中可能会以三角形或四边形结合 动点问题给出，或者以圆中相关知识为背景，结合动点，函数问题给出，区分度较大。 【考点精析】 考点 1. 三角形： 例 1 如图，AB=CD，E 为 BC 中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。 例 2 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。 例 3 如图 9—5，设 O 是正三角形 ABC 内一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°。求以线段 OA，OB，OC 为边构成的三角形的各角。 例 4 如图所示，△ABC 是边长为 4 的正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60°的角，角的两边分别交 AB，AC 于 M，N 两点，连结 MN，求△AMN 的周长. 【举一反三】 1、如图，AB=6，AC=8，D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围。 1 2A C D B A B E C D 图 9—5 B A C O A B C D M N 2、如图，BC>BA，BD 平分∠ABC，且 AD=CD，求证：∠A+∠C=180。 3．如图 9—21，设 O 是正三角形 ABC 内一点，已知∠AOB=80°，∠BOC=135°，求以线段 OA、 OB、OC 为边构成的三角形的各角。 考点 2. 四边形： 例 5 如图 1，已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四边形. 求 证:OE 与 AD 互相平分. 例 6 如图 3，已知 AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF.求证 BF=AC. B O A C图 9—21 B D C A A B CD 6 8 例 7 如图 7，已知矩形 ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长. 例 8 如图，在正方形 ABCD 中，E 为内部一点且 是正三角形，求 的度数 例 9 如图，AB∥CD，M、N 分别为 AD、BC 中点，MN 交 AC、BD 于 G、H 点。 求证：GH= （CD－AB） BCE∆ AED∠ 1 2 A B C D E 【举一反三】 1. 如图 2，在△ABC 中，E、F 为 AB 上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC 交 BC 分别为 D，G.求 证:ED+FG=AC. 2. 如图 6，四边形 ABCD 是菱形，E 为边 AB 上一个定点，F 是 AC 上一个动点，求证 EF+BF 的最 小值等于 DE 长. A D C B M NH G 3．如图：正方形 ABCD，AE+CF=EF，求证： 4、如图③，已知梯形 ABCD 中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，对角线 AC⊥BD，且 BD=3cm， AC=4cm，求梯形 ABCD 的面积。 考点 3. 圆： 例 10 （2010 江苏泰州，18，3 分）如图⊙O 的半径为 1cm，弦 AB 、CD 的长度分别为 ，则试求弦 AC、BD 所夹的锐角 ． 例 11 (2010 年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O 内有折线 OABC，其中 OA＝8，AB＝12， ∠A＝∠B＝60°，试求 BC 的长为. °=∠ 45EDF 2 ,1cm cm α A E B F CD 例 12．（2010 山东临沂）如图, 是半圆的直径, 为圆心, 、 是半圆的弦，且 . (1)判断直线 是否为 的切线，并说明理由； (2)如果 ， ，求 的长。 例 13．（2010 江苏宿迁）（本题满分 10 分）如图，AB 是⊙O 的直径， P 为 AB 延长线上任意 一点，C 为半圆 ACB 的中点，PD 切⊙O 于点 D，连结 CD 交 AB 于点 E． 求证：（1）PD=PE； （2） ． 【举一反三】 1．（番禺一模） 已知：如图 12，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 长为半径的 圆与 分别交于点 ，且 ． （1）判断直线 与⊙ 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 ，求⊙ 的面积． AB O AD BD PDA PBD∠ = ∠ PD O 60BDE∠ =  3PD = PA PBPAPE ⋅=2 Rt ABC△ 90C∠ =  O AB O OA AC AB， D E， CBD A∠ = ∠ BD O 2AD BD= = O • PB A E O C D O E D C BA 图 12 2.（天河一模）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD 是△ABC 的角平分线， 过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE。 （1）求证：AC＝AE； （2）求△ACD 外接圆的半径。 3．（荔湾十校一模） 如图，已知 AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C=∠BAD，且 BD⊥AB 于 B. （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 3，AB=4，求 AD 的长. 综合 例 14．（2010 宁夏回族自治区）在△ABC 中，∠BAC=45°，AD⊥BC 于 D，将△ABD 沿 AB 所在 的直线折叠，使点 D 落在点 E 处；将△ACD 沿 AC 所在的直线折叠，使点 D 落在点 F 处，分别延长 EB、FC 使其交于点 M． (1)判断四边形 AEMF 的形状，并给予证明． (2)若 BD=1，CD=2，试求四边形 AEMF 的面积． A B CD A C BD E A B C D O 例 15．（2010 河北）观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图 14-1，图 14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块 Q 在平直滑道 l 上可以 左右滑动，在 Q 滑动的过程中，连杆 PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点 P 在以 OP 为半 径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点 O 作 OH ⊥l 于点 H，并测得 OH = 4 分米，PQ = 3 分米，OP = 2 分米． 解决问题 （1）点 Q 与点 O 间的最小距离是 分米； 点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米； 点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米． （2）如图 14-3，小明同学说：“当点 Q 滑动到点 H 的位 置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？ （3）①小丽同学发现：“当点 P 运动到 OH 上时，点 P 到 l 的距离最小．”事实上，还存在着点 P 到 l 距离最大 的位置，此时，点 P 到 l 的距离是 分米； ②当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数． 【举一反三】 H l O 图 14-3 P （Q） Hl O P Q 图 14-2 图 14-1 连杆 滑块滑道 • PB A E O C D 1.（2010 年宁德市）（本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、 CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 时，求正方形的边长.13 + E A D B C N M 2．（广雅一模）平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC，O 为坐标原点，A 点坐标为（10， 0），C 点坐标为（0，6），D 是 BC 边上的动点（与点 B、C 不重合）．如图②,将△COD 沿 OD 翻 折，得到△FOD；再在 AB 边上选取适当的点 E，将△BDE 沿 DE 翻折，得到△GDE，并使直线 DG， DF 重合． （1）图①中，若△COD 翻折后点 F 落在 OA 边上，写出 D、E 点坐标，并且 求出直线 DE 的解析式． （2）设（1）中所求直线 DE 与 x 轴交于点 M，请你猜想过点 M、C 且关于 y 轴对称的抛物线与直 线 DE 的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想． （3）图②中，设 E（10，b），求 b 的最小值． 图① 图② 3、（2010 年福建省南安市）（13 分）如图 1，在 中， ， ， ，另有一等腰梯形 （ ）的底边 与 重合，两腰分别落 在 AB、AC 上，且 G、F 分别是 AB、AC 的中点． （1）直接写出△AGF 与△ABC 的面积的比值； （2）操作：固定 ，将等腰梯形 以每秒 1 个单位的速度沿 方向向右运动， 直到点 与点 重合时停止．设运动时间为 秒，运动后的等腰梯形为 （如 图 2）． ①探究 1：在运动过程中，四边形 能否是菱形？若能，请求出此时 的值；若 不能，请说明理由． ②探究 2：设在运动过程中 与等腰梯形 重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关系式． Rt ABC△ 90A∠ =  AB AC= 4 2BC = DEFG GF DE∥ DE BC ABC△ DEFG BC D C x DEF G′ ′ x ABC△ DEFG y y x FFCE ′ A FG (D)B C(E) 图 1 FG A F′G′ B D C E 图 2