广东省潮州市中考数学模拟试卷含答案解析

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广东省潮州市中考数学模拟试卷含答案解析

‎2016年广东省潮州市中考数学模拟试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1.下列图形中,不是中心对称图形但是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.图中三视图所对应的直观图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.某城市2012年底已有绿化面积380公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2014年底增加到480公顷.设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是(  )‎ A.380(1+x)2=480 B.380(1+2x)=480‎ C.380(1+x)3=480 D.380+380(1+x)+380(1+x)2=480‎ ‎4.如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(  )‎ A. = B. = C. = D. =‎ ‎6.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=6 cm,OD=4 cm.则DC的长为(  )‎ A.5 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm ‎7.抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是(  )‎ A.(1,﹣2) B.(0,﹣2) C.(1,﹣3) D.(0,﹣4)‎ ‎8.关于反比例函数y=的图象,下列说法正确的是(  )‎ A.必经过点(1,1)‎ B.两个分支分布在第二、四象限 C.两个分支关于x轴成轴对称 D.两个分支关于原点成中心对称 ‎9.关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  )‎ A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5‎ ‎10.如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=,则△CEF的周长为(  )‎ A.8 B.9.5 C.10 D.11.5‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11.随机掷两枚硬币,落地后全部正面朝上的概率是      .‎ ‎12.在反比例函数y=图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是      .‎ ‎13.若正六边形的边心距为,则这个正六边形的半径为      .‎ ‎14.如图,为了测量水塘边A、B两点之间的距离,在可以看到的A、B的点E处,取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB,若测得CD=5m,AD=15m,ED=3m,则A、B两点间的距离为      m.‎ ‎15.如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cosB=,则AC=      .‎ ‎16.如图,⊙O的半径为2,OA=4,AB切⊙O于B,弦BC∥OA,连结AC,图中阴影部分的面积为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)‎ ‎17.解方程:x2﹣6x+3=0.‎ ‎18.计算: +2﹣1+cos60°﹣3tan30°.‎ ‎19.如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′C′,画出△A′B′C′.并计算点A旋转经过的路径长度.‎ ‎ ‎ 四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)‎ ‎20.如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端D处的俯角为60°,另一端B处的俯角为30°,荷塘另一端D与点C、B在同一直线上,已知楼高AC=24米,求荷塘宽BD为多少米?‎ ‎21.如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,若∠C=40°‎ ‎①求∠ABD的度数;‎ ‎②已知OA=2,求BD的长.(sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,结果精确到0.1)‎ ‎22.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过一次函数y=﹣3x+3的图象与x轴、y轴的交点.求这个二次函数解析式,并直接回答该函数有最      值(最大值或最小值)为      .‎ ‎ ‎ 五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)‎ ‎23.如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣(k+1)在第二象限的交点.AB⊥x轴于B,且S△ABO=.‎ ‎(1)求这两个函数的解析式;‎ ‎(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.‎ ‎24.(1)如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的弦AE交于BC于D.求证:AB•AC=AD•AE;‎ ‎(2)在(1)的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明.若不成立,请说明理由.‎ ‎25.直线l:y=﹣2x+2m(m>0)与x,y轴分别交于A、B两点,点M是双曲线y=(x>0)上一点,分别连接MA、MB.‎ ‎(1)如图,当点A(,0)时,恰好AB=AM;∠M1AB=90°试求M1的坐标;‎ ‎(2)如图,当m=3时,直线l与双曲线交于C、D两点,分别连接OC、OD,试求△OCD面积;‎ ‎(3)如图,在双曲线上是否存在点M,使得以AB为直角边的△MAB与△AOB相似?如果存在,请直接写出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016年广东省潮州市高级实验学校中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1.下列图形中,不是中心对称图形但是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】中心对称图形;轴对称图形.‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故正确;‎ B、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;‎ C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故错误;‎ D、是轴对称图形,也是中心对称图形.故错误.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.图中三视图所对应的直观图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】由三视图判断几何体.‎ ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.‎ ‎【解答】解:从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体,上面部分为圆柱,且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同.‎ 只有C满足这两点.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.某城市2012年底已有绿化面积380公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2014年底增加到480公顷.设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是(  )‎ A.380(1+x)2=480 B.380(1+2x)=480‎ C.380(1+x)3=480 D.380+380(1+x)+380(1+x)2=480‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.‎ ‎【分析】本题为增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设绿化面积平均每年的增长率为x,根据题意即可列出方程.‎ ‎【解答】解:设绿化面积平均每年的增长率为x,‎ 根据题意即可列出方程380(1+x)2=480.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义.‎ ‎【分析】认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值.‎ ‎【解答】解:由图可得tan∠AOB=.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(  )‎ A. = B. = C. = D. =‎ ‎【考点】平行线分线段成比例.‎ ‎【分析】已知AB∥CD∥EF,根据平行线分线段成比例定理,对各项进行分析即可.‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD∥EF,‎ ‎∴=.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=6 cm,OD=4 cm.则DC的长为(  )‎ A.5 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm ‎【考点】垂径定理;勾股定理.‎ ‎【分析】首先连接OA,由半径OC⊥AB,AB=6cm,根据垂径定理的即可求得AD的长,然后利用勾股定理即可求得半径的长,继而求得DC的长.‎ ‎【解答】解:连接OA,‎ ‎∵半径OC⊥AB,‎ ‎∴AD=BD=AB=×6=3(cm),‎ ‎∵OD=4cm,‎ ‎∴OA==5(cm),‎ ‎∴OC=OA=5cm,‎ ‎∴DC=OC﹣OD=5﹣4=1(cm).‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是(  )‎ A.(1,﹣2) B.(0,﹣2) C.(1,﹣3) D.(0,﹣4)‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为(0,k),据此可以直接求顶点坐标.‎ ‎【解答】解:抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为(0,﹣4).‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.关于反比例函数y=的图象,下列说法正确的是(  )‎ A.必经过点(1,1)‎ B.两个分支分布在第二、四象限 C.两个分支关于x轴成轴对称 D.两个分支关于原点成中心对称 ‎【考点】反比例函数的性质;轴对称图形;中心对称图形.‎ ‎【分析】把(1,1)代入得到左边≠右边;k=4>0,图象在第一、三象限;根据轴对称的定义沿X轴对折不重合;根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称;根据以上结论判断即可.‎ ‎【解答】解:A、把(1,1)代入得:左边≠右边,故A选项错误;‎ B、k=4>0,图象在第一、三象限,故B选项错误;‎ C、沿x轴对折不重合,故C选项错误;‎ D、两曲线关于原点对称,故D选项正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  )‎ A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5‎ ‎【考点】根的判别式.‎ ‎【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0,结合二次项的系数非零,可得出关于a一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由已知得:,‎ 解得:a≥1且a≠5.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=,则△CEF的周长为(  )‎ A.8 B.9.5 C.10 D.11.5‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质.‎ ‎【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查.在▱ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分线交BC于点E,可得△ADF是等腰三角形,AD=DF=9;△ABE是等腰三角形,AB=BE=6,所以CF=3;在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=,可得AG=2,又△ADF是等腰三角形,BG⊥AE,所以AE=2AG=4,所以△ABE的周长等于16,又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA,相似比为1:2,所以△CEF的周长为8,因此选A.‎ ‎【解答】解:∵在▱ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分线交BC于点E,‎ ‎∴AB∥DC,∠BAF=∠DAF,‎ ‎∴∠BAF=∠F,‎ ‎∴∠DAF=∠F,‎ ‎∴AD=FD,‎ ‎∴△ADF是等腰三角形,‎ 同理△ABE是等腰三角形,‎ AD=DF=9;‎ ‎∵AB=BE=6,‎ ‎∴CF=3;‎ ‎∴在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=,可得:AG=2,‎ 又BG⊥AE,‎ ‎∴AE=2AG=4,‎ ‎∴△ABE的周长等于16,‎ 又∵▱ABCD ‎∴△CEF∽△BEA,相似比为1:2,‎ ‎∴△CEF的周长为8.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11.随机掷两枚硬币,落地后全部正面朝上的概率是  .‎ ‎【考点】列表法与树状图法.‎ ‎【分析】利用列举法,列举出出现的各种可能情况,根据概率公式即可求解.‎ ‎【解答】解:用列举法表示出各种可能:‎ 则共有4种情况,而全部正面朝上的只有一种,则概率是:.‎ 故答案是:.‎ ‎ ‎ ‎12.在反比例函数y=图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是 k>﹣3 .‎ ‎【考点】反比例函数的性质.‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质,当反比例函数的系数大于0时,在每一支曲线上,y都随x的增大而减小,可得k+3>0,解可得k的取值范围.‎ ‎【解答】解:根据题意,在反比例函数y=图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,‎ 即可得k+3>0,‎ 解得k>﹣3.‎ 故答案为k>﹣3.‎ ‎ ‎ ‎13.若正六边形的边心距为,则这个正六边形的半径为 2 .‎ ‎【考点】正多边形和圆.‎ ‎【分析】首先根据题意作出图形,由正六边形的性质,易得△BOC是等边三角形,然后由三角函数的性质,可求得OB的值,继而可求得答案.‎ ‎【解答】解:如图所示,连接OB、OC;‎ ‎∵此六边形是正六边形,‎ ‎∴∠BOC==60°,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴△BOC是等边三角形,‎ ‎∴∠OBC=60°,‎ ‎∵OH=,‎ ‎∴在Rt△OBH中,OB===2,‎ ‎∴OB=OC=BC=2,即这个正六边形的半径为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,为了测量水塘边A、B两点之间的距离,在可以看到的A、B的点E处,取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB,若测得CD=5m,AD=15m,ED=3m,则A、B两点间的距离为 20 m.‎ ‎【考点】相似三角形的应用.‎ ‎【分析】根据CD∥AB可得△CDE∽△BAE,再根据其相似比解答.‎ ‎【解答】解:∵CD∥AB,‎ ‎∴△ABE∽△DCE,‎ ‎∴CD:AB=DE:AE,‎ ‎∴5:AB=3:12,‎ ‎∴AB=20m.‎ 答:A、B两点间的距离为20m.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cosB=,则AC= 5 .‎ ‎【考点】解直角三角形.‎ ‎【分析】根据题中所给的条件,在直角三角形中解题.根据角的正弦值与三角形边的关系,可求出AC.‎ ‎【解答】解:∵在Rt△ABC中,cosB=,‎ ‎∴sinB=,tanB==.‎ ‎∵在Rt△ABD中AD=4,‎ ‎∴AB=.‎ 在Rt△ABC中,‎ ‎∵tanB=,‎ ‎∴AC=×=5.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,⊙O的半径为2,OA=4,AB切⊙O于B,弦BC∥OA,连结AC,图中阴影部分的面积为  .‎ ‎【考点】切线的性质;扇形面积的计算.‎ ‎【分析】首先连接OB,OC,由⊙O的半径为2,OA=4,AB切⊙O于B,易求得∠AOB=60°,又由弦BC∥OA,可得△BOC是等边三角形,且S△ABC=S△OBC,则可得S阴影=S扇形BOC==.‎ ‎【解答】解:连接OB,OC,‎ ‎∵弦BC∥OA,‎ ‎∴S△ABC=S△OBC,‎ ‎∵AB切⊙O于B,‎ ‎∴OB⊥AB,‎ ‎∵⊙O的半径为2,OA=4,‎ ‎∴sin∠OAB===,‎ ‎∴∠OAB=30°,‎ ‎∴∠AOB=90°﹣∠OAB=60°,‎ ‎∵弦BC∥OA,‎ ‎∴∠OBC=∠AOB=60°,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴△OBC是等边三角形,‎ ‎∴∠BOC=60°,‎ ‎∴S阴影=S扇形BOC==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)‎ ‎17.解方程:x2﹣6x+3=0.‎ ‎【考点】解一元二次方程-公式法.‎ ‎【分析】找出a,b及c的值,计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解.‎ ‎【解答】解:这里a=1,b=﹣6,c=3,‎ ‎∵△=b2﹣4ac=36﹣12=24,‎ ‎∴x==3±,‎ 则x1=3+,x2=3﹣.‎ ‎ ‎ ‎18.计算: +2﹣1+cos60°﹣3tan30°.‎ ‎【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】原式第一项化为最简二次根式,第二项利用负整数指数幂法则计算,第三、四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=2++﹣3×‎ ‎=2+1﹣‎ ‎=+1.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′C′,画出△A′B′C′.并计算点A旋转经过的路径长度.‎ ‎【考点】作图-旋转变换.‎ ‎【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′,从而得到△A′B′C′,由于点A旋转经过的路径是以点O为圆心,OA为半径,圆心角为90°的弧,所以利用弧长公式可计算出点A旋转经过的路径长度.‎ ‎【解答】解:如图,△A′B′C′为所作;‎ OA==,‎ 所以A旋转经过的路径长度==π.‎ ‎ ‎ 四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)‎ ‎20.如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端D处的俯角为60°,另一端B处的俯角为30°,荷塘另一端D与点C、B在同一直线上,已知楼高AC=24米,求荷塘宽BD为多少米?‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎【分析】由三角函数分别求出BC、CD,即可得出BD的长.‎ ‎【解答】解:由题意知:∠CAB=90°﹣30°=60°,△ABC是直角三角形,‎ 在Rt△ABC中,tan60°=,‎ ‎∴BC=AC•tan60°=24米,‎ ‎∵∠CAD=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴CD=AC1tan30°=24×=8(米),‎ ‎∴BD=BC﹣CD=24﹣8=16(米);‎ 答:荷塘宽BD为16米.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,若∠C=40°‎ ‎①求∠ABD的度数;‎ ‎②已知OA=2,求BD的长.(sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,结果精确到0.1)‎ ‎【考点】圆周角定理;解直角三角形.‎ ‎【分析】①根据圆周角定理得到∠ADB=90°,∠A=∠C=40°,然后利用互余计算∠ABD;‎ ‎②在Rt△ABD中利用正弦的定义计算BD的长.‎ ‎【解答】解:①∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ ‎∵∠A=∠C=40°,‎ ‎∴∠ABD=90°﹣∠A=50°;‎ ‎②在Rt△ABD中,AB=2OA=4,‎ ‎∵sinA=,‎ ‎∴BD=4sin40°=4×0.64≈2.6.‎ ‎ ‎ ‎22.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过一次函数y=﹣3x+3的图象与x轴、y轴的交点.求这个二次函数解析式,并直接回答该函数有最 小 值(最大值或最小值)为 ﹣1 .‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】首先求得y=﹣3x+3与x轴、y轴的交点坐标,利用待定系数法求得二次函数的解析式,然后求得最值.‎ ‎【解答】解:在y=﹣3x+3中令x=0,则y=3,则y=﹣3x+3与y轴的交点是(0,3);‎ 在y=﹣3x+3中,令y=0,则﹣3x+3=0,解得x=1,则与x轴的交点是(1,0);‎ 根据题意得:,‎ 解得:,‎ 则二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1.‎ 则函数有最小值是﹣1.‎ 故答案是:小,﹣1.‎ ‎ ‎ 五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)‎ ‎23.如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣(k+1)在第二象限的交点.AB⊥x轴于B,且S△ABO=.‎ ‎(1)求这两个函数的解析式;‎ ‎(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.‎ ‎【考点】反比例函数综合题.‎ ‎【分析】(1)欲求这两个函数的解析式,关键求k值.根据反比例函数性质,k绝对值为3且为负数,由此即可求出k;‎ ‎(2)交点A、C的坐标是方程组的解,解之即得;‎ ‎(3)从图形上可看出△AOC的面积为两小三角形面积之和,根据三角形的面积公式即可求出.‎ ‎【解答】解:(1)设A点坐标为(x,y),且x<0,y>0,‎ 则S△ABO=•|BO|•|BA|=•(﹣x)•y=,‎ ‎∴xy=﹣3,‎ 又∵y=,‎ 即xy=k,‎ ‎∴k=﹣3.‎ ‎∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣,y=﹣x+2;‎ ‎(2)由y=﹣x+2,‎ 令x=0,得y=2.‎ ‎∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为(0,2),‎ A、C两点坐标满足 ‎∴交点A为(﹣1,3),C为(3,﹣1),‎ ‎∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD•(|x1|+|x2|)=×2×(3+1)=4.‎ ‎ ‎ ‎24.(1)如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的弦AE交于BC于D.求证:AB•AC=AD•AE;‎ ‎(2)在(1)的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明.若不成立,请说明理由.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系.‎ ‎【分析】(1)要证明AB•AC=AD•AE成立,只要能证得,要用AB=AC,结合圆,等弧对等角,观察本题无平行关系,首先考虑三角形的相似.连接CE,可证明△AEC∽△ACD,问题解决.‎ ‎(2)假设结论仍成立,考虑作辅助线,看是否有三角形相似,能说明与AB•AC=AD•AE有关的成比例的线段关系.连接BE,可证得△AEB∽△ABD,进而可使问题解决.‎ ‎【解答】(1)证明:连接CE,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠AEC=∠ACD;‎ 又∵∠EAC=∠DAC,‎ ‎∴△AEC∽△ACD,‎ ‎∴,即AC2=AD•AE;‎ 又∵AB=AC,‎ ‎∴AB•AC=AD•AE.‎ ‎(2)答:上述结论仍成立.‎ 证明:连接BE,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠AEB=∠ABD;‎ 又∵∠EAB=∠DAB ‎∴△AEB∽△ABD,‎ ‎∴,即AB2=AD•AE.‎ 又∵AB=AC,‎ ‎∴AB•AC=AD•AE.‎ ‎ ‎ ‎25.直线l:y=﹣2x+2m(m>0)与x,y轴分别交于A、B两点,点M是双曲线y=(x>0)上一点,分别连接MA、MB.‎ ‎(1)如图,当点A(,0)时,恰好AB=AM;∠M1AB=90°试求M1的坐标;‎ ‎(2)如图,当m=3时,直线l与双曲线交于C、D两点,分别连接OC、OD,试求△OCD面积;‎ ‎(3)如图,在双曲线上是否存在点M,使得以AB为直角边的△MAB与△AOB相似?如果存在,请直接写出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】反比例函数综合题.‎ ‎【分析】(1)把A的坐标代入直线的解析式即可求得m的值,然后证明△OAB≌△EMA,求得ME和AE的长,则M1的坐标即可求解;‎ ‎(2)解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组,即可求得C和D的坐标,作DF⊥y轴于点F,CG⊥y轴,根据S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG﹣S△ODF求解;‎ ‎(3)需要分类讨论:以∠BAM和∠ABM为直角两种情况.以∠BAM为例进行解答:作MH⊥x轴于点H,根据△AOB∽△MAB求得AM的长,然后证明△AOB∽△MHA,根据相似三角形的性质求得AH和MH的长,进而求得M的坐标,然后判断M是否在反比例函数的图象上即可.‎ ‎【解答】解:(1)把A(,0)代入y=﹣2x+2m得:﹣ +2m=0,‎ 解得:m=.‎ 则直线的解析式是:y=﹣2x+,‎ 令x=0,解得y=,‎ 则B的坐标是(0,).‎ 作ME⊥x轴于点E.‎ ‎∵∠BAM=90°,‎ ‎∴∠BAO+∠MAE=90°,‎ 又∵直角△AEM中,∠AME+∠MAE=90°,‎ ‎∴∠BAO=∠AME.‎ 在△OAB和△EMA中,‎ ‎,‎ ‎∴△OAB≌△EMA(AAS),‎ ‎∴ME=OA=,AE=OB=.‎ ‎∴OE=OA+AE=2,‎ 则M1的坐标是(2,);‎ ‎(2)当m=3时,一次函数的解析式是y=﹣2x+6.‎ 解不等式组,‎ 解得:或,‎ 则D的坐标是(1,4),C的坐标是(2,2).‎ 作DF⊥y轴于点F,CG⊥y轴,则F和G的坐标分别是(0,4),(0,2).‎ 则S△OCG=S△ODF=×4=2,‎ S梯形CDFG=(1+2)×(4﹣2)=3,‎ 则S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG﹣S△ODF=3;‎ ‎(3)作MH⊥x轴于点H.‎ 则△AOB、△ABM、△BMH都是两直角边的比是1:2的直角三角形.‎ ‎①当∠BAM=∠BOA=90°时,OA=m,OB=2m,得:‎ AM=AB=m,MH=OA=;‎ 从而得到点M的坐标为(2m, m).‎ 代入双曲线解析式为: =m,‎ 解得:m=2,则点M的坐标为(4,1);‎ 同理当∠BAM=∠OBA时,可求得点M的坐标为(,).‎ ‎②当∠ABM=90°时,过点M作MH⊥y轴于点H,则△AOB、△ABM、△AMH都是直角边的比是1:2的直角三角形;‎ 当∠AMB=∠OAB时,OB=m,OA=2m,‎ 得:AH=2OB=2m,MH=2OA=4m,‎ 从而点M的坐标为(4m,4m)‎ 代入双曲线的解析式得:4m•4m=4,‎ 解得:m=,点M的坐标为(2,2);‎ 同理,当∠AMB=∠OBA时,点M的坐标为(,).‎ 综上所述,满足条件的点M的坐标是:(4,1),(,)或(2,2),(,).‎ ‎ ‎ ‎2016年5月30日
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