上海市崇明县中考数学二模试卷

上海市崇明县中考数学二模试卷

‎2015年上海市崇明县中考数学二模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．（4分）下列运算中，正确的是 （　　）‎ A．=±3 B．=3 C．（﹣3）n=0 D．3﹣2=‎ ‎2．（4分）轨道交通给人们的出行提供了便捷的服务，据悉，上海轨道交通19号线即将开建，一期规划为自川桥路站至长兴岛，设6站，全长约为20600米．二期、远期将延伸到崇明岛、横沙岛，届时崇明县三岛将全通地铁．将20600用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.06×105 B．20.6×103 C．2.06×104 D．0.206×105‎ ‎3．（4分）从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x≥1，那么可以选择的不等式可以是（　　）‎ A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2‎ ‎4．（4分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y=2x+3上的两个点，如果x1＜x2，那么y1与y2的大小关系正确的是 （　　）‎ A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法判断 ‎5．（4分）窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（4分）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　）‎ A．AC=BD AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC ‎　‎ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】‎ ‎7．（4分）因式分解：x3﹣4x=　　．‎ ‎8．（4分）已知=2，那么x=　　．‎ ‎9．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为　　．‎ ‎10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个相等的实数根，那么m的值为　　．‎ ‎11．（4分）已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　　．‎ ‎12．（4分）布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中取出1个球恰好是红球的概率为　　．‎ ‎13．（4分）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级的360名同学中随机选出20名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表：‎ 节水量（单位：吨）‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ 同学数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ 用所学的统计知识估计这360名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是　　吨．‎ ‎14．（4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量=，=，如果用向量，表示向量，那=　　．‎ ‎15．（4分）如图，已知△ABC和△‎ ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB=9，BD=3，那么CF的长度为　　．‎ ‎16．（4分）如图，已知在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，OE=2，那么CD=　　．‎ ‎17．（4分）如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为y=x2+px+q，我们将p，q称为这个函数的特征数．例如二次函数y=x2﹣4x+2的特征数是﹣4，2．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是2，3，将这个函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图象所对应的函数的特征数为　　．‎ ‎18．（4分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin∠BED的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10分）先化简，再求值：﹣÷，其中x=6tan30°．‎ ‎20．（10分）解方程组：．‎ ‎21．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC=9，cosC=．‎ ‎（1）求线段AE的长；‎ ‎（2）求sin∠DAE的值．‎ ‎22．（10分）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．‎ ‎（1）小明骑电动自行车的速度为　　千米/小时，在甲地游玩的时间为　　小时；‎ ‎（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？‎ ‎23．（12分）如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．‎ ‎（1）求证：四边形ABDF是菱形；‎ ‎（2）求证：DH2=HE•HC．‎ ‎24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+‎ c经过点A（0，﹣4），点B（﹣2，0），点C（4，0）．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；‎ ‎（2）已知点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．‎ ‎25．（14分）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tinB=，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为点D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．‎ ‎（1）当点E在BC的延长线上时，设PA=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；‎ ‎（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．‎ ‎　‎ ‎2015年上海市崇明县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．（4分）（2015•崇明县二模）下列运算中，正确的是 （　　）‎ A．=±3 B．=3 C．（﹣3）n=0 D．3﹣2=‎ ‎【考点】分数指数幂；有理数的乘方；立方根；负整数指数幂．菁优网版权所有 ‎【分析】根据分数指数幂的意义、立方根的意义、乘方的意义、负整数指数幂的意义分别计算即可求解．‎ ‎【解答】解：A、==3，故本选项错误；‎ B、=﹣3，故本选项错误；‎ C、（﹣3）n≠0，故本选项错误；‎ D、3﹣2=，故本选项正确；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了分数指数幂的意义、立方根的意义、乘方的意义、负整数指数幂的意义，熟练掌握定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2015•崇明县二模）轨道交通给人们的出行提供了便捷的服务，据悉，上海轨道交通19号线即将开建，一期规划为自川桥路站至长兴岛，设6站，全长约为20600米．二期、远期将延伸到崇明岛、横沙岛，届时崇明县三岛将全通地铁．将20600用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.06×105 B．20.6×103 C．2.06×104 D．0.206×105‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜‎ ‎10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将20600用科学记数法表示为2.06×104．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2016•扬州二模）从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x≥1，那么可以选择的不等式可以是（　　）‎ A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2‎ ‎【考点】不等式的解集．菁优网版权所有 ‎【分析】首先计算出不等式x+1≥2的解集，再根据不等式的解集确定方法：大大取大可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．‎ ‎【解答】解：x+1≥2，‎ 解得：x≥1，‎ 根据大大取大可得另一个不等式的解集一定是x不大于1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不着．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2015•崇明县二模）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y=2x+3上的两个点，如果x1＜x2，那么y1与y2的大小关系正确的是 （　　）‎ A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法判断 ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由x1＜x2即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵直线y=2x+3中，k=2＞0，‎ ‎∴y随x的增大而增大．‎ ‎∵x1＜x2，‎ ‎∴y1＜y2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2015•崇明县二模）窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 ‎【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；‎ B、是轴对称图形，不符合题意；‎ C、是轴对称图形，不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2015•崇明县二模）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　）‎ A．AC=BD AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC ‎【考点】正方形的判定．菁优网版权所有 ‎【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．‎ ‎【解答】解：A、不能，只能判定为矩形；‎ B、不能，只能判定为平行四边形；‎ C、能；‎ D、不能，只能判定为菱形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】‎ ‎7．（4分）（2015•宿迁）因式分解：x3﹣4x=　x（x+2）（x﹣2）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 ‎【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：x3﹣4x ‎=x（x2﹣4）‎ ‎=x（x+2）（x﹣2）．‎ 故答案为：x（x+2）（x﹣2）．‎ ‎【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2015•崇明县二模）已知=2，那么x=　1　．‎ ‎【考点】无理方程．菁优网版权所有 ‎【分析】把方程=2两边平方，求出x的值即可．‎ ‎【解答】解：∵=2，‎ ‎∴x+3=4，‎ ‎∴x=1，‎ 经检验x=1是方程的解．‎ 故答案为1．‎ ‎【点评】本题主要考查了无理方程的知识，解答本题的关键是把方程两边进行平方运算，注意无理方程需要验根，此题比较简单．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2016•静安区二模）如果分式的值为0，那么x的值为　2　．‎ ‎【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有 ‎【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4=0，且x+2≠0，再解即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：x2﹣4=0，且x+2≠0，‎ 解得：x=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．‎ 注意：“分母不为零”这个条件不能少．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2015•崇明县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个相等的实数根，那么m的值为　10　．‎ ‎【考点】根的判别式．菁优网版权所有 ‎【分析】根据一元二次方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个相等的实数根得到△=36﹣4（m﹣1）=0，求出m的值即可．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个相等的实数，‎ ‎∴△=36﹣4（m﹣1）=0，‎ ‎∴m=10，‎ 故答案为10．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2015•崇明县二模）已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　y2﹣3y+2=0　．‎ ‎【考点】换元法解分式方程．菁优网版权所有 ‎【分析】方程各项具备倒数关系，设y=x2+2x，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程，然后去分母即可求解．‎ ‎【解答】解：设y=x2+2x，则原方程可化为y+=3，‎ 去分母，得y2﹣3y+2=0．‎ 故答案是：y2﹣3y+2=0．‎ ‎【点评】本题考查了换元法解分式方程．这是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2015•崇明县二模）布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中取出1个球恰好是红球的概率为　　．‎ ‎【考点】概率公式．菁优网版权所有 ‎【分析】由布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，‎ ‎∴从布袋中取出1个球恰好是红球的概率为：=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2015•崇明县二模）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级的360名同学中随机选出20名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表：‎ 节水量（单位：吨）‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ 同学数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ 用所学的统计知识估计这360名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是　540　吨．‎ ‎【考点】用样本估计总体；加权平均数．菁优网版权所有 ‎【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数360即可得出答案．‎ ‎【解答】解：这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数是：（4+1.2×5+1.5×6+2×3+2.5×2）÷20=1.5（吨），‎ 则这360名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是1.5×360=540（吨）；‎ 故答案为：540．‎ ‎【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，关键是求出这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，将样本“成比例地放大”为总体即可．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2016•崇明县二模）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量=，=，如果用向量，表示向量，那=　2﹣2　．‎ ‎【考点】*平面向量．菁优网版权所有 ‎【分析】由向量=，=，利用三角形法则，即可求得 ‎，再由AD是边BC上的中线，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵向量=，=，‎ ‎∴=﹣=﹣，‎ ‎∵AD是边BC上的中线，‎ ‎∴=2=2（﹣）=2﹣2．‎ 故答案为：2﹣2．‎ ‎【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2015•崇明县二模）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB=9，BD=3，那么CF的长度为　2　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．‎ ‎【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，‎ ‎∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，‎ ‎∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，‎ ‎∴△ABD∽△AEF，‎ ‎∴AB：BD=AE：EF．‎ 同理：△CDF∽△EAF，‎ ‎∴CD：CF=AE：EF，‎ ‎∴AB：BD=CD：CF，‎ 即9：3=（9﹣3）：CF，‎ ‎∴CF=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了“两角法”证得两个三角形相似．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2015•崇明县二模）如图，已知在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，OE=2，那么CD=　4　．‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【分析】连接OD，弦CD垂直于直径AB，∠BAD=30°，由圆周角定理得∠BOD=60°，设半径为r，则OE=，r=4，得DE，CD．‎ ‎【解答】解：连接OD，‎ ‎∵∠BAD=30°，‎ ‎∴∠BOD=60°，‎ 设半径为r，‎ OE=r，OE=2，‎ ‎∴r=4，‎ ‎∴DE=×4=2，‎ ‎∴．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数，熟练运用特殊角的三角函数是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2015•崇明县二模）如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为y=x2+px+q，我们将p，q称为这个函数的特征数．例如二次函数y=x2﹣4x+2的特征数是﹣4，2．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是2，3，将这个函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图象所对应的函数的特征数为　6，8　．‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有 ‎【分析】首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案．‎ ‎【解答】解：特征数是2，3的函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，其顶点坐标是（﹣1，2），‎ 将这个函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后的顶点坐标是（﹣3，﹣1），‎ 所以平移后的函数解析式为：y=（x+3）2﹣1=x2+6x+8，那么此时得到的图象所对应的函数的特征数为 6，8．‎ 故答案是：6，8．‎ ‎【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）（2016•江宁区一模）如图，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，点D是BC的中点，将△‎ ABC沿着直线EF折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin∠BED的值为　　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，‎ ‎∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，‎ ‎∴∠BED=∠CDF，‎ 设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，‎ ‎∴DF=FA=2﹣x，‎ ‎∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2﹣x）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴sin∠BED=sin∠CDF==，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10分）（2015•崇明县二模）先化简，再求值：﹣÷，其中x=6tan30°．‎ ‎【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 ‎【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=﹣•=﹣=，‎ ‎∵x=6tan30°﹣2=6×﹣2=2﹣2，‎ ‎∴原式==．‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2011•上海）解方程组：．‎ ‎【考点】高次方程．菁优网版权所有 ‎【分析】用代入法即可解答，把①化为x=1+y，代入②得（1+y）2+2y+3=0即可．‎ ‎【解答】解：‎ 由①得y=x﹣2③‎ 把③代入②，得x2﹣2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）2=0，‎ 即x2﹣4x+3=0‎ 解这个方程，得x1=3，x2=1‎ 代入③中，得或．‎ ‎∴原方程组的解为或．‎ ‎【点评】考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2015•崇明县二模）在Rt△ABC中，∠‎ BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC=9，cosC=．‎ ‎（1）求线段AE的长；‎ ‎（2）求sin∠DAE的值．‎ ‎【考点】解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）先在Rt△ABC中利用∠C的余弦计算出BC=15，然后根据斜边上的中线性质求AE；‎ ‎（2）先在Rt△ADC中利用∠C的余弦计算出CD=，则可得到DE=CE﹣CD=，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求解．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC==，‎ ‎∴BC=×9=15，‎ ‎∵点E是斜边BC的中点，‎ ‎∴AE=BC=；‎ ‎（2）∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADC=∠ADE=90°，‎ 在Rt△ADC中，∵cosC==，‎ ‎∴CD=×9=，‎ ‎∵点E是BC的中点，‎ ‎∴CE=BC=，‎ ‎∴DE=CE﹣CD=﹣=，‎ 在Rt△ADE中，sin∠DAE===．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活由于勾股定理、互余关系和三角函数关系．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2015•崇明县二模）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．‎ ‎（1）小明骑电动自行车的速度为　20　千米/小时，在甲地游玩的时间为　0.5　小时；‎ ‎（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？‎ ‎【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据图象可以求出小明在甲地游玩的时间，由速度=路程÷时间就可以求出小明骑车的速度；‎ ‎（2）直接运用待定系数法就可以求出直线BC和DE的解析式，再由其解析式建立二元一次方程组，求出点F的坐标就可以求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由图象得 在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h），‎ 小明骑车速度：10÷0.5=20（km/h），‎ 故答案为：20，0.5．‎ ‎（2）如图，‎ 妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）‎ 设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），‎ 则10=0.5k，‎ 解得：k=20，‎ 故直线OA的解析式为：y=20x．‎ ‎∵小明走OA段与走BC段速度不变，‎ ‎∴OA∥BC，‎ 设直线BC解析式为y=20x+b1，‎ 把点B（1，10）代入得b1=﹣10，‎ ‎∴y=20x﹣10，‎ 设直线DE解析式为y=60x+b2，把点D（，0）‎ 代入得：b2=﹣80，‎ ‎∴y=60x﹣80，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴F（1.75，25）．‎ 答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用，考查了路程=速度×时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数图象性质的而运用．解题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2015•崇明县二模）如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．‎ ‎（1）求证：四边形ABDF是菱形；‎ ‎（2）求证：DH2=HE•HC．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；‎ ‎（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，然后通过证明三角形相似，即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵点D、E分别是BC、AC的中点 ‎∴DE∥AB，BC=2BD，‎ ‎∵AF∥BC，‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形，‎ ‎∵BC=2AB，‎ ‎∴AB=BD，‎ ‎∴四边形ABDF是菱形；‎ ‎（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，‎ ‎∴AF=DF，‎ ‎∵点G是AF的中点，‎ ‎∴FG=AF，‎ ‎∵点E是AC的中点，‎ ‎∴AE=CE，‎ ‎∵AF∥BC，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴EF=DF，‎ ‎∴FG=EF，‎ 在△AFE和△DFG中 ‎，‎ ‎∴△AFE≌△DFG，‎ ‎∴∠FAE=∠FDG，‎ ‎∵AF∥BC，‎ ‎∴∠FAE=∠C，‎ ‎∴∠FDG=∠C，‎ 又∵∠EHD=∠DHC，‎ ‎∴△HED∽△HDC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DH2=HE•HC．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2015•崇明县二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，﹣4），点B（﹣2，0），点C（4，0）．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；‎ ‎（2）已知点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）把点A（0，﹣4），点B（﹣2，0），点C（4，0）代入抛物线解析式，组成方程组，即可解答；‎ ‎（2）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB=∠NBA，分两种情况讨论：‎ ‎①当点M在点N的上方时，记为M1，因为∠BAN=∠M1AB，∠NBA=∠OM1B，所以△ABN∽△AM1B，求出AM1=10，又根据A（0，﹣4），所以M1（0，6）．‎ ‎②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，所以M2（0，﹣6）．‎ ‎【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，﹣4），点B（﹣2，0），点C（4，0）．‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴这个抛物线的解析式为：，顶点为．‎ ‎（2）如图：取OA的中点，记为点N，‎ ‎∵OA=OC=4，∠AOC=90°，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ ‎∵点N是OA的中点，‎ ‎∴ON=2，‎ 又∵OB=2，‎ ‎∴OB=ON，‎ 又∵∠BON=90°，‎ ‎∴∠ONB=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠ONB，‎ ‎∵∠OMB+∠OAB=∠ACB，‎ ‎∠NBA+∠OAB=∠ONB，‎ ‎∴∠OMB=∠NBA；‎ ‎①当点M在点N的上方时，记为M1，‎ ‎∵∠BAN=∠M1AB，∠NBA=∠OM1B，‎ ‎∴△ABN∽△AM1B ‎∴，‎ 又∵AN=2，AB=2，‎ ‎∴AM1=10，‎ ‎ 又∵A（0，﹣4）‎ ‎∴M1（0，6）．‎ ‎②当点M在点N的下方时，记为M2，‎ 点M1与点M2关于x轴对称，‎ ‎∴M2（0，﹣6），‎ 综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数，该函数综合题的难度较大，（2）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2015•崇明县二模）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tinB=，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为点D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．‎ ‎（1）当点E在BC的延长线上时，设PA=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；‎ ‎（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．‎ ‎【考点】圆的综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，利用已知条件以及勾股定理可分别得到PH，AH，AD，CD的长，再由PH∥BE，可得，所以，进而可求出y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）首先利用已知条件得到BQ，PQ的长，再分两种情况：①当⊙Q和⊙P外切时，②当⊙Q和⊙P内切时，分别讨论求出⊙P的半径即可；‎ ‎（3）当△PMC是等腰三角形，存在以下几种情况：①当MP=MC=x时，②‎ 当CP=CM时，③当PM=PC=x时，分别讨论求出符合题意的x值即可得到AP的长．‎ ‎【解答】解：（1）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，‎ ‎∵∠ACB=90°，tanB=，‎ ‎∴sinA=，‎ ‎∵PA=x，‎ ‎∴PH=x，‎ ‎∵∠PHA=90°，‎ ‎∴PH2+AH2=PA2，‎ ‎∴AH=x．‎ ‎∵在⊙P中，PH⊥弦AD，‎ ‎∴DH=AH=x，‎ ‎∴AD=x，‎ 又∵AC=8，‎ ‎∴CD=8﹣x，‎ ‎∵∠PHA=∠BCA=90°，‎ ‎∴PH∥BE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴y=6﹣x（0＜x＜5）；‎ ‎（2）∵PA=PD，PH⊥AD，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵PH∥BE，‎ ‎∴∠1=∠B，∠2=∠3，‎ ‎∴PB=PE，‎ ‎∵Q是BE的中点，‎ ‎∴PQ⊥BE，‎ ‎∴tanB==，‎ ‎∴cosB=，‎ ‎∵PA=x，‎ ‎∴PB=10﹣x，‎ ‎∴BQ=6﹣x，PQ=8﹣x，‎ ‎①当⊙Q和⊙P外切时：PQ=AP+BQ ‎∴8﹣x=x+6﹣x，‎ ‎∴x=；‎ ‎②当⊙Q和⊙P内切时，此时⊙P的半径大于⊙Q的半径，则PQ=AP﹣BQ，‎ ‎∴8﹣x=x﹣（6﹣x），‎ ‎∴x=，‎ ‎∴当⊙Q和⊙P相切时，⊙P的半径为或．‎ ‎（3）当△PMC是等腰三角形，存在以下几种情况：‎ ‎①当MP=MC=x时，‎ ‎∵QC=6﹣（6﹣x）=x，‎ ‎∴MQ=x，‎ 若M在线段PQ上时，PM+MQ=PQ，‎ ‎∴x+x=8﹣x，‎ ‎∴x=；‎ 若M在线段PQ的延长线上时，PM﹣MQ=PQ，‎ ‎∴x﹣x=8﹣x，‎ ‎∴x=8；‎ ‎②当CP=CM时，‎ ‎∵CP=CM，CQ⊥PM，‎ ‎∴PQ=QM=PM=x，‎ ‎∴x﹣x=x，‎ ‎∴x=，‎ ‎③当PM=PC=x时，‎ ‎∵AP=x，‎ ‎∴PA=PC，‎ 又∵PH⊥AC，‎ ‎∴AH=CH，‎ ‎∵PH∥BE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴x=5．‎ 综上所述：当△PMC是等腰三角形时，AP的长为或或5或8．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；能运用分类讨论的思想解题是答题关键，题目的综合性很强，牵扯到的知识点较多，对学生的综合解题能力要求很高．‎ ‎　‎