2014中考数学分类汇编四边形矩形

2014中考数学分类汇编四边形矩形

‎2013中考全国100份试卷分类汇编 矩形 B C D A 第9题图 M N ‎1、（2013陕西）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC是，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：矩形的性质及菱形的性质应用。‎ 解析：矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角三角形来解决问题，菱形的性质应用较常见的是四条边相等或者对角线的性质应用。此题中求的是线段的比值，所以在解决过程中取特殊值法较为简单。设AB=1，则AD=2，因为四边形MBND是菱形，所以MB=MD，又因为矩形ABCD，所以A=90°，设AM=x,则MB=2-x，由勾股定理得：AB2+AM2=MB2，所以x2+12=(2-x)2解得：，所以MD=，，故选C．‎ ‎2、（2013济宁）如图，矩形ABCD的面积为‎20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO‎1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO‎4C5B的面积为（　　）‎ ‎　 A． cm2 B． cm‎2 ‎C．cm2 D．cm2‎ 考点：矩形的性质；平行四边形的性质．‎ 专题：规律型．‎ 分析：根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．‎ 解答：解：设矩形ABCD的面积为S=‎20cm2，‎ ‎∵O为矩形ABCD的对角线的交点，‎ ‎∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，‎ ‎∴平行四边形AOC1B的面积=S，‎ ‎∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，‎ ‎∴平行四边形AO‎1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，‎ ‎∴平行四边形AO‎1C2B的面积=×S=，‎ ‎…，‎ 依此类推，平行四边形AO‎4C5B的面积===cm2．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键．　‎ ‎3、（2013•天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 矩形 B．‎ 菱形 C．‎ 正方形 D．‎ 梯形 考点：‎ 旋转的性质；矩形的判定．3718684‎ 分析：‎ 根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．‎ 解答：‎ 解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，‎ ‎∴AE=CE，DE=EF，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，‎ ‎∵AC=BC，点D是边AB的中点，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∴四边形ADCF矩形．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．‎ ‎4、（2013四川南充，3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′‎ 处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是 （ ）‎ A.12 B. ‎24 C. 12 D. 16‎ 答案：D 解析：由两直线平行内错角相等，知∠DEF＝∠EFB=60°，又∠AEF=∠EF＝120°，所以，∠E=60°，E＝AE＝2，求得，所以，AB＝2，矩形ABCD的面积为S＝2×8＝16，选D。‎ ‎5、（2013四川宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）‎ ‎　A．两组对边分别平行 B．对角线相等 ‎　C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 考点：矩形的性质；菱形的性质．‎ 分析：根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：解：A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；‎ B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；‎ C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；‎ D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．　‎ ‎6、（2013•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ S1＞S2‎ B．‎ S1=S2‎ C．‎ S1＜S2‎ D．‎ ‎3S1=2S2‎ 考点：‎ 矩形的性质．‎ 分析：‎ 由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．‎ 解答：‎ 解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．‎ ‎7、（2013•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．‎ 分析：‎ 根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠BAC，从而得到∠EAC=∠DAC，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出=，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，‎ ‎∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，‎ ‎∵矩形ABCD的对边AB∥CD，‎ ‎∴∠DAC=∠BAC，‎ ‎∴∠EAC=∠DAC，‎ 设AE与CD相交于F，则AF=CF，‎ ‎∴AE﹣AF=CD﹣CF，‎ 即DF=EF，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠AFC=∠EFD，‎ ‎∴△ACF∽△EDF，‎ ‎∴==，‎ 设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，‎ 在Rt△ADF中，AD===4x，‎ 又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，‎ ‎∴==．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．‎ ‎8、（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 等腰三角形的判定；矩形的性质．‎ 分析：‎ 根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AO=BO=CO=DO，‎ ‎∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．‎ ‎9、（2013年河北）如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. ‎ 以下是甲、乙两同学的作业：‎ 对于两人的作业，下列说法正确的是 A．两人都对 B．两人都不对 ‎ C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 答案：A 解析：对于甲：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及角B为90度，知ABCD是矩形，正确；对于乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形及角B为90度，可判断ABCD是矩形，故都正确，选A。‎ ‎10、（2013台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？（　　）‎ ‎　 A．20 B．35 C．40 D．55‎ 考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．‎ 分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．‎ 解答：解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，‎ ‎∴BP=PC，MP=MC，‎ ‎∵∠PBC=70°，‎ ‎∴∠BCP=（180°﹣∠PBC）=（180°﹣70°）=55°，‎ 在长方形ABCD中，∠BCD=90°，‎ ‎∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，‎ ‎∴∠MPC=∠MCP=35°．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题．　‎ ‎11、（2013达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x 的取值范围是　　　　.‎ 答案：2≤x≤6‎ 解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，‎ x2＋y2＝（6－y）2，即（，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝时,x取最小值2，故有2≤x≤6‎ ‎12、（2013•湘西州）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　　．‎ 考点：‎ 几何概率．‎ 分析：‎ 先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可．‎ 解答：‎ 解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，‎ 根据平行线的性质易证S1=S2，故阴影部分的面积占一份，‎ 故针头扎在阴影区域的概率为．‎ 点评：‎ 此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．‎ ‎13、（2013哈尔滨）如图。矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为 ．‎ 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。解直角三角形 分析：本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质以及勾股定理及解直角三角形．注意数形结合思想的应用，此题综合性较强，难度较大，‎ 解答：由△AOE的面积为5，找此三角形的高，作OH⊥AE于E,得OH∥BC,AH=BH,由三角形的中位线∵BC=4 ∴OH=2，从而AE=5，连接CE,‎ 由AO=OC, OE⊥AC得EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在直角三角形EBC中，BC=4,AE=5, 勾股定理得EB=3，AB=8，在直角三角形ABC中，勾股定理得AC=‎ ‎,BO=AC=,作EM⊥BO于M,在直角三角形EBM中,EM=BEsin∠ABD=3×‎ ‎=，BM= BEcos∠ABD=3×=,从而OM=,在直角三角形E‎0M中，勾股定理得OE=,sin∠BOE=‎ ‎14、（2013•遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=　9　cm．‎ 考点：‎ 三角形中位线定理；矩形的性质．3718684‎ 分析：‎ 先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．‎ 解答：‎ 解：在Rt△ABC中，AC==10cm，‎ ‎∵点E、F分别是AO、AD的中点，‎ ‎∴EF是△AOD的中位线，EF=OD=BD=AC=，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=，‎ ‎∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．‎ 故答案为：9．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．‎ ‎15、（2013•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=　　用含k的代数式表示）．‎ 考点：‎ 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．‎ 分析：‎ 根据中点定义可得DE=CE，再根据翻折的性质可得DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，从而得到CE=EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FG，设CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．‎ 解答：‎ 解：∵点E是边CD的中点，‎ ‎∴DE=CE，‎ ‎∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，‎ ‎∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，‎ ‎∴CE=EF，‎ 连接EG，‎ 在Rt△ECG和Rt△EFG中，，‎ ‎∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），‎ ‎∴CG=FG，‎ 设CG=a，∵=，‎ ‎∴GB=ka，‎ ‎∴BC=CG+BG=a+ka=a（k+1），‎ 在矩形ABCD中，AD=BC=a（k+1），‎ ‎∴AF=a（k+1），‎ AG=AF+FG=a（k+1）+a=a（k+2），‎ 在Rt△ABG中，AB===2a，‎ ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．‎ ‎16、（13年北京4分11）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________‎ 答案：20‎ 解析：由勾股定理，得AC＝13，因为BO为直角三角形斜边上的中线，所以，BO＝6.5，由中位线，得MO＝2.5，所以，四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20‎ ‎17、（2013•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=‎10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎72cm B．‎ ‎36cm C．‎ ‎20cm D．‎ ‎16cm 考点：‎ 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．‎ 分析：‎ 根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据tan∠EFC=，设BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根据tan∠EFC=表示出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解．‎ 解答：‎ 解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，‎ ‎∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，‎ ‎∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，‎ ‎∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，‎ ‎∠BAF+∠AFB=90°，‎ ‎∴∠BAF=∠EFC，‎ ‎∵tan∠EFC=，‎ ‎∴设BF=3x、AB=4x，‎ 在Rt△ABF中，AF===5x，‎ ‎∴AD=BC=5x，‎ ‎∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x，‎ ‎∵tan∠EFC=，‎ ‎∴CE=CF•tan∠EFC=2x•=x，‎ ‎∴DE=CD﹣CE=4x﹣x=x，‎ 在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，‎ 即（5x）2+（x）2=（10）2，‎ 整理得，x2=16，‎ 解得x=4，‎ ‎∴AB=4×4=‎16cm，AD=5×4=‎20cm，‎ 矩形的周长=2（16+20）=‎72cm．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎18、(2013年江西省)如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎【答案】 2.‎ ‎【考点解剖】 本题考查了阴影部分面积的求法，涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩形的面积计算公式等知识，解题思路方法多样，计算也并不复杂，若分别计算再相加，则耗时耗力，仔细观察不难发现阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半（即），这种“整体思想”事半功倍，所以平时要加强数学思想、方法的学习与积累．‎ ‎【解题思路】 △BCN与△ADM全等，面积也相等，口DFMN与口BEMN的面积也相等，所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半．‎ ‎【解答过程】 ，即阴影部分的面积为.‎ ‎【方法规律】 仔细观察图形特点，搞清部分与整体的关系，把不规则的图形转化为规则的来计算.‎ ‎【关键词】 矩形的面积 二次根式的运算 整体思想 ‎19、(2013年南京)如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，‎ A B C D B’‎ ‎1‎ C’‎ D’‎ ‎ 旋转角为a (0°0)的图象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6) ．‎ ‎ （1）直接写出B、C、D三点的坐标；‎ ‎ （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．‎ ‎【答案】（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）.‎ ‎（2）如图，矩形ABCD向下平移后得到矩形，‎ 设平移距离为a，则A′（2，6－a），C′（6，4－a）‎ ‎∵点A′，点C′在y=的图象上，‎ ‎∴2(6－a)=6(4－a)， ‎ 解得a=3，‎ ‎∴点A′（2，3），‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=．‎ ‎【考点解剖】 本题以矩形为背景考查用待定系数法求反比例函数的解析式．‎ ‎【解题思路】 先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B、C、D三点的坐标，再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上（这是种合情推理，不必证明），把A、C两点坐标代入y=中，得到关于a、k的方程组从而求得k的值．‎ ‎【方法规律】 把线段的长转化为点的坐标，在求k的值的时候，由于k的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6－a)=6(4－a)，求出a后再由坐标求k，实际上也可把A、C两点坐标代入y=中，得到关于a、k的方程组从而直接求得k的值.‎ ‎【关键词】 矩形 反比例函数 待定系数法 ‎36、(2013年临沂)如图，矩形中，∠ACB =，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.‎ ‎(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则的值为　　　　　.‎ ‎(2)现将三角板绕点P逆时针旋转（）角，如图2，求的值；‎ ‎(3)在（2）的基础上继续旋转，当，且使AP:PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论.‎ 解析：（1） …………………………(2分)‎ ‎（2）过点P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为H,G.…………………(3分)‎ ‎∵在矩形ABCD中,，∴PH∥BC.‎ 又∵，∴‎ ‎∴,‎ ‎ ………………(5分)‎ 由题意可知,‎ ‎∴Rt△PHE∽Rt△PGF.‎ ‎∴ …………(7分)‎ 又∵点P在矩形ABCD对角线交点上，∴AP=PC.‎ ‎∴ ………………(8分)‎ ‎（3）变化 ……………………………………………………(9分)‎ 证明：过点P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为H,G.‎ 根据（2），同理可证 ………(10分)‎ ‎ 又∵ ∴ ………………………(11分)‎