中考数学真题解析53二次函数的几何应用含答案
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编
二次函数的几何应用
一、选择题
1.（2011•安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：二次函数综合题。
分析：由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．
解答：解：依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH
=1﹣4×（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，
即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），
抛物线开口向上，对称轴为x=，
故选C．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．
二、填空题
1.（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=2时，四边形ABCN的面积最大．
考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：应用题。
分析：设BM=x，则MC=﹣4x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
解答：解：设BM=x，则MC=﹣4x，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则，即，
解得CN=，
∴S四边形ABCN=×4×[4+]=﹣x2+2x+8，
∵﹣＜0，
∴当x==2时，S四边形ABCN最大．
故答案为：2．
点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．
三、解答题
1.（2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．（2）作AB的垂直平分线，交x轴于点P，求出点P的坐标，若点P的横坐标是正数，那么点P就符合题意，这样的点是存在的．
解答：解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有： 0=﹣16+4b+3,得：b=
所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．
当x=0时，y=3, ∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，
则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4﹣x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4﹣x）2, 解得：x=，∴OP=4﹣=
所以点P的坐标为：（，0）
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标．（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标．
2. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；
(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。
专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。
分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；
（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（3）当t=5时，面积最大；
解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4；
（2）：①当0＜t≤时， S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；
②当＜t≤时， S与t的函数关系式是： y=4t2﹣[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）] =﹣t2+11t﹣3；
③当＜t≤2时； S与t的函数关系式是y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t）=3t；
（3）当t=5时，最大面积是： S=16﹣××=；
点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．
3. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.
(1)求a的值；
(2)求A,B两点的坐标;
(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上?请说明理由.
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．
解答：解：（1）∵抛物线y=x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上．
∴抛物线y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，
∴顶点坐标为：（1，﹣+a），∴y=﹣2x，﹣+a=﹣2，∴a=﹣；
（2）二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，
∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A，B，∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或3， A（﹣1，0），B（3，0）；
（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，
∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO=，∴DE=，
∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC，∴△AOC≌△BDE，∵AO=1，∴BE=1， D点的坐标为：（2，），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），
代入解析式y=x2﹣x﹣，左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣，∴D′点在函数图象上．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出D点的坐标是解决问题的关键．
4.
（2011江苏苏州，29，10分）巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．
（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．
（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．
解答：解：（1）令y＝0，由解得；
令x＝0，解得y＝8a．
∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，
该抛物线对称轴为直线x＝3．
∴OA＝2．
如图①，时抛物线与x轴交点为M，则AM＝1．
由题意得：．
∴，∴∠O’AM＝60°．
B
A
y
O
(图②)
x
D
C
E
F
G
H
M
∴，即．∴．
（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立．
（Ⅰ）如图②，设点P是边EF上的任意一点 (不与点E重合)，连接PM．
∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，
∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．
又PD>PM>PB，PA>PM>PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（Ⅱ）设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，
∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)．
∴FB＝3，，∴3≤PB<．
B
A
y
O
(图③)
x
D
C
E
F
G
H
P
∵PC≥4，∴PC>PB．
（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PB．
∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)．
点P的坐标是(3，t)，
∴PC2＝32＋(t－8a) 2，PD2＝ (t＋a) 2．
整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．
∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0
∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根．
显然，满足题意．
∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．
5. （2011•江苏宿迁，27，12）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而证得；
（2）由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到S的最小值．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，
∵QE⊥AB，MF⊥BC，
∴∠AEQ=∠MFB=90°，
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形，
∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，
又∵PQ⊥MN，
∴∠EQP=∠FMN，
又∵∠QEP=∠MFN=90°，
∴△PEQ≌△NFM；
（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t
∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2
由勾股定理，得PQ＝＝
∵△PEQ≌△NFM
∴MN＝PQ＝
又∵PQ⊥MN
∴S＝＝＝t2－t＋
∵0≤t≤2
∴当t＝1时，S最小值＝2．
综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．
点评：本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而证得；（2）由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到答案．
6.（2011•江苏徐州，28，12）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，﹣2）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）将顶点坐标C（1，﹣2）代入y=x2+bx+c即可求得此二次函数的关系式；
（2）先求出直线PM的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E的坐标；
（3）根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出F点的坐标，进而求得△PEF的面积．
解答：解（1）∵y=x2+bx+c的顶点为（1，﹣2）．
∴y=（x﹣1）2﹣2，y=x2﹣2x﹣1；
（2）连结CD交AB于点M，
根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,AB⊥CD,
所以四边形ACBD是菱形，
过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分，
所以直线PM平分菱形ACBD的面积
因为y=与y相交于点P（0,－1）, 顶点为点C（1，－2）
所以点M的坐标为（1，0）
设直线PM的解析式为y=kx+b
则，解之得
所以直线PM的解析式为y=x－1
解方程组，得或
所以点E的坐标为（3，2）.
（3）过点P作直线PQ⊥PM,则直线PQ的表达式为y=－x－1
解方程组，得或
所以直线PQ与抛物线的交点F是抛物线的顶点C（1，－2）.
所以PE= ,PC=
所以△PEF的面积为
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
7. （2011南昌，25，10分）如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、
B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．
（1）当a=﹣1，b=1时，求抛物线n的解析式；
（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）根据a=﹣1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；
（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；
（3）利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．
解答：解：（1）当a=﹣1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=﹣x2+1．
令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．令y=0，得：x=±1．∴A（﹣1，0），B（1，0），
∵C与C1关于点B中心对称，∴抛物线n的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3；
（2）四边形AC1A1C是平行四边形．
理由：∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称，∴AB=BA1，BC=BC1，∴四边形AC1A1C是平行四边形．
（3）令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．令y=0，得：ax2+b=0，∴，∴，
，，.要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，∴，∴，∴ab＝－3．∴a、b应满足关系式ab＝－3．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
8. （2011内蒙古呼和浩特，25，12）已知抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位（m＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．
（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2=a（x-h）2+k的形式；
（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象．请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在-3＜x≤时对应的函数值y的取值范围；
（3）设一次函数y3=nx+3（n≠0），问是否存在正整数n使得（2）中函数的函数值y=y3时，对应的x的值为-1＜x＜0，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位，可得y2=x2+4x+1+m，再利用又点（1，8）在图象上，求出m即可；
（2）根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点；
（3）根据当y=y3且对应的-1＜x＜0时，x2+4x+3=nx+3，得出n取值范围即可得出答案．
解答：解：（1）由题意可得y2=x2
+4x+1+m，
又点（1，8）在图象上，
∴8=1+4×1+1+m，
∴m=2，
∴y2=（x+2）2-1；
（2）当3＜x≤时，0＜y≤-1；
（3）不存在，
理由：当y=y3且对应的-1＜x＜0时，x2+4x+3=nx+3，
∴x1=0，x2=n-4，
且-1＜n-4＜0得3＜n＜4，
∴不存在正整数n满足条件．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象交点求法，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
9.（2011•宁夏，26，10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。
分析：（1）首先连接AP，交MN于O，由MN∥BC．将△
AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得△AMN∽△ABC，，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上；
（2）此题需要分为当AO≤AD时与当AO＞AD时去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各线段的长，然后求△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．
解答：解：（1）连接AP，交MN于O，
∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，
∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，
∴，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴当MN=3时，点P恰好落在BC上；
（3）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O，
∵MN∥BC，
∴AO⊥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=3，
∴AD=4，
∴，
∴AO=x，
∴S△AMN=MN•AO=•x•x=x2，
当AO≤AD时，
根据题意得：S△PMN=S△AMN，
∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN，
∴y=x2，
∴当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3；
当AO＞AD时，
连接AP交MN于O，
则AO⊥MN，
∵MN∥BC，
∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，
∴，，
即：，，
∴AO=x，
∴，
∴EF=2x﹣6，OD=AD﹣AO=4﹣x，
∴y=S梯形MNFE=（EF+MN）•OD=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣（x﹣4）2+4，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为4，
综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
10. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：
（1）根据已知条件可以推出A点的坐标，把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a、b、k的值，就可以确定双曲线和抛物线的解析式了；
（2）根据A、B抛物线解析式，可以确定C点的坐标，即可去顶AC和AC边上的高的长度，就可以计算出△ABC的面积了；
（3）根据题意画出图形，根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标，CD∥AB，得出直线CD相应的一次函数，然后结合D点也在抛物线上，解方程组，求D点坐标
解答：解：（1）把点B（﹣2，﹣2）的坐标，代入y=，
得：﹣2=，∴k=4．
即双曲线的解析式为：y=．（2分）
设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn=4．①
又∵tan∠AOx=4，∴=4，即m=4n．②
又①，②，得：n2=1，∴n=±1．
∵A点在第一象限，∴n=1，m=4，∴A点的坐标为（1，4）
把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：解得a=1，b=3；
∴抛物线的解析式为：y=x2+3x；（4分）
（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，
代入y=x2+3x，得方程x2+3x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=1（舍去）．
∴C点的坐标为（﹣4，4），且AC=5，（6分）
又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=×5×6=15；（7分）
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积．
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．
因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（﹣4，4），CD∥AB，
所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12．（9分）
解方程组得所以点D的坐标是（3，18）（10分）
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点根据点的坐标求抛物线解析式和双曲线解析式以及三角形的面积求法．关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式，曲线解析式和直线解析式．
11. （2011山西，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A B C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t > 0），△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为_____________；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论
专题：压轴题
分析：⑴由题意不难得出点C的坐标为(3，4)．因为直线l经过O、C两点，所以设其解析式为，将点C(3，4)代入，解得，所以直线l 的解析式为．
⑵求 S与t的函数关系式，关键是确定MP及点Q到MP的距离．根据题意，得OP＝t， AQ＝2t， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论．
① 当0＜t≤时； 如图第26题（2）图1，由题意可证△AEQ∽△ODC，得，．
∴Q点的坐标是（，）．∴．
∴．
②当＜t≤3时； 如图第26题（2）图2，∵BQ＝2t－5，∴OF＝11－(2t－5)＝16－2t．
∴Q点的坐标是（16－2t，4）．∴PF＝16－2t－t＝16－3t．
∴．
③当3＜t＜时，如图第26题（2）图3，当点Q与点M相遇时，16－2t＝t，解得．
当3＜t＜时，如图3，MQ＝16－2t－t＝16－3t，MP＝4．
∴
⑶根据题（2）中S与t的函数关系，先分别求出①当0＜t≤时；②当＜t≤3时；③当3＜t＜时， t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．最后综合上述各情况判断得出t为何值时， S的最大值．
①当0＜t≤时，．
∵a＝＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－20，
∴当0＜t≤时，S随t的增大而增大．
∴当t＝时，S有最大值，最大值为．
②当＜t≤3时， ．
∵a＝－2＜0．抛物线开口向下，
∴当时，S有最大值，最大值为．
③当3＜t＜时，，∵k＝－6＜0，∴S随t的增大而减小．
又∵当t＝3时，S＝14．当t＝时，S＝0，∴0＜S＜14．
综上所述，当时，S有最大值，最大值为．
⑷如图第26图（4），当NM＝MQ时，即，△QMN为等腰三角形．
解答：（1）（3，4）；．
（2）根据题意，得OP＝ t，AQ＝2 t，分三种情况讨论：
①当0
0时，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝－20，
当0< t ≤时，S随t的增大而增大，∴当t＝时，S有最大值．最大值为．
②当< t≤3时，，∵a＝－2<0，抛物线开口向下，∴当t＝时，S有最大值，最大值为．
③当3< t <时，S ＝ －6t＋32，∵k＝－6<0，∴S随着t的增大而减小，又∵当t＝3时，S＝14，当t＝时，S＝0，所以00，a为常数)，并经过点(2a，2a)，点D（0，2a）为一定点.
(1)求含有常数a的抛物线的解析式；
(2)设点P是抛物线任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD = PH；
(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S△ABD = 4，求a的值.
(24题图)
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据抛物线的图象假设出解析式为y=kx2+a，将经过点（2a，2a），代入求出即可；
（2）根据勾股定理得出PD2=DG2+PG2，进而求出PD=PH；
（3）利用（2）中结论得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中点，进而得出S△OBD=S△ABD=4 ，即可得出a的值．
答案：24．解：（1）设抛物线的解析式为y=kx2+a
∵点D（2a，2a）在抛物线上，
4a2k+a = 2a ∴k =
∴抛物线的解析式为y= x2+a
(24题图)
（2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在Rt△GDP中，
由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=(y–2a)2+x2 =y2 – 4ay+4a2+x2
∵y= x2+a ∴x2 = 4a´ (y– a)= 4ay– 4a2
∴PD 2= y2– 4ay+4a2 +4ay– 4a2= y2 =PH2
∴PD = PH
（3）过B点BE ⊥ x轴，AF⊥x轴.
由（2）的结论：BE=DBAF=DA
∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO = 2BO
∴B是OA的中点，
∴C是OD的中点，
连结BC
∴BC= = = BE = DB
过B作BR⊥y轴，
∵BR⊥CD ∴CR=DR，OR= a + = ，
∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上，
∴ = x2+a ∴x2 =2a2
∵x>0 ∴x = a
∴B (a， )
AO = 2OB， ∴S△ABD=S△OBD = 4
所以，´2a´a= 4
∴a2= 4 ∵a>0 ∴a = 2
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.
44. （2011四川雅安，25,12分）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，且与x轴交于AB两点．
（1）若二次函数的对称轴为，试求a，c的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据对称轴x=﹣=，求得二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）中的a，再根据顶点在反比例函数上，求出c即可；
（2）求得抛物线与x轴的交点坐标，再用点B的横坐标减去点A的横坐标即可．
（3）可用含有a的式子表示点M、N的坐标，即求出a的值，再求得解析式．
解答：解：（1）∵二次函数的对称轴为，
∴﹣=﹣，
解得a=2，
∵二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，
∴顶点为（，c），
∴（c）=﹣3，
解得c=﹣，
∴二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣；
（2）∵二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣；
∴令y=0，2x2+2x﹣=0；
解得x=．
∴AB==2；
（3）根据对称轴x=﹣，当x=﹣时，y=﹣3a，
∴NO+MN=+3a=，
要使NO+MN最小，则3a2+1最小即可，
即3a2=1时，a=，
∴此时二次函数的解析式为y=x2+2x+3．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有最值问题和两点之间的距离等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
45. 如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由.
考点：二次函数综合题．
y
x
O
B
M
N
C
A
28题图
分析：（1）根据一元二次方程解法得出A，B两点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；
（2）首先判定△MNA∽△ABC．得出
，进而得出函数的最值；
（3）分别根据当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时，分析得出符合要求的答案．
解答：解：（1）∵，∴，. ∴，.
又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，求得。
∴抛物线的解析式为.
（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。
∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），
∴，.
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC.
∴，∴，∴.
∴
.
。
∴当时，有最大值4。
此时，点的坐标为（2，0）.
（3）∵点（4，）在抛物线上，
∴当时，，
∴点的坐标是（4，）。
①如图（2），当为平行四边形的边时，，
∵（4，），∴.
∴， .
②如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，
则平行四边形的对称中心为（，0）.
∴的坐标为（，4）。
把（，4）代入，得.
解得 .
，.
y
x
O
B
E
A
图（2）
D
y
x
O
B
M
N
C
A
图（1）
H
y
x
O
B
E
A
图（3）
D
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
46.（2011四川眉山，26，11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（﹣4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3，即可得到C点坐标（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1=a2，又AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=a2﹣1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2=a2+1，
即有结论d2=d1+1；
（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11．
解答：解：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，
∵拋物线经过点B（﹣4，4），
∴4=a•42，解得a=，
所以抛物线的解析式为：y=x2；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C点坐标为（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y=x2上，
∴b=a2，
∴d1=a2，
∵AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=a2﹣1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d2==a2+1，
∴d2=d1+1；
（3）由（1）得AC=5，
∴△PAC的周长=PC+PA+5
=PC+PH+6，
要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=x2，得到y=，
即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，
∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．
点评：本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．.
47. （2011•乐山）已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的周长；
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ．
①当△PBR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；
②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）可设顶点式，将顶点为A（1，5），点B（5，1）代入求出抛物线的解析式；
（2）线段AB的长是确定的，由于点C，D是两个动点，所以BC，CD，DA的长是不确定的，只能用4+BC+CD+DA表示四边形的周长；
（3）作B关于x轴对称点B′，A关于y轴对称点A′，连接A′B′，与x轴，y轴交于C、D点，此时四边形ABCD周长最小，求出CD的解析式，求出CD与直线y=x的交点坐标，得到△PQR与直线y=x有公共点时x的取值范围，以及公共部分的面积S与x之间的函数关系式．
解答：解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+5，
将点B（5，1）代入，得a（5﹣1）2+5=1，
解得a=﹣，
∴y=﹣x2+x+；
（2）四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+DA，
其中AB=4，因为C，D是x轴与y轴上的动点，所以BC，CD，DA的长不是确定的，
故四边形ABCD的周长表示为：4+BC+CD+DA．
（3）①点B关于x轴的对称点B′（5，﹣1），点A关于y轴的对称点A′（﹣1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，
∴CD的解析式为：y=﹣x+4，
联立，
得：，
∵点P在y=x上，点Q是OP的中点，
∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则2≤x≤4．
故x的取值范围是：2≤x≤4．
②如图：
点E（2，2），当EP=EQ时，x﹣2=2﹣x，得：x=，
当2≤x≤时，S=PR•RQ﹣EP2=（x﹣x）•（x﹣x）﹣•（x﹣2）•（x﹣2），
S=﹣x2+4x﹣4，
当x=时，S最大=．
当≤x≤4时，S=EQ2=•（2﹣x）•（2﹣x），
S=（x﹣4）2，
当x=时，S最大=．
故S的最大值为：．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用顶点式求出二次函数的解析式，（2）确定四边形的周长，（3）根据对称性求出CD的解析式，然后求出x的取值范围和S与x的函数关系．
48. （2011福建福州，22，14分）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A．B两点（B在A点右侧），点H．B关于直线l：对称．
（1）求A．B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M．N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；勾股定理．
分析：（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H．B关于过A点的直线l：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H．B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
解答：解：（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），
解得x1=﹣3，x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），
答：A．B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．
证明：∵直线l：，当x=﹣3时，，
∴点A在直线l上．
（2）解：∵点H．B关于过A点的直线l：对称，
∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC＝AB＝2，HC＝，
∴顶点H，代入二次函数解析式，解得.
∴二次函数解析式为，
答：二次函数解析式为．
（3）解：直线AH的解析式为，
直线BK的解析式为，
由，解得，即，则BK=4.
∵点H．B关于直线AK对称，
∴HN+MN的最小值是MB，KD＝KE＝，
过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK，QE＝EK＝，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答HN+NM+MK和的最小值是8．
点评：本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．
49. 2011福建龙岩，24，13分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1．
（1）填空：b=．c=，点B的坐标为（，）：
（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；
（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理.
分析：（1）根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标，代入解析式求出b、c即可；
（2）求出C（2，4）求得E的坐标为（3.5，2）和直线BC的表达式为，设直线EF的表达式为y=kx+b，根据EF为BC的中垂线求出和推出直线EF的表达式为，令y=0，得即可求出答案；
（3）作∠OBC的平分线交DC于点P，设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离（用到点到直线的距离公式）求出a即可．
解答：（1）解：∵抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
代入解析式得：，解得：b=，c=，
故答案为，，5，0．
（2）解：由（1）求得，
∴C（2，4）
∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2），
直线BC的表达式为，
整理得4x+3y﹣20=0
设直线EF的表达式为y=kx+b，
∵EF为BC的中垂线，∴EF⊥BC，∴，
把E（3.5，2）代入求得，∴直线EF的表达式为，
在中，令y=0，得，∴F（，0），
∴FC=FB=，答：FC的长是．
（3）解：存在，
作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件，
设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离（用到点到直线的距离公式），
∴，∴5|a|=|3a﹣12|，
∴5a=3a﹣12或5a=﹣3a+12，解得a=﹣6或a=，∴P（2，﹣6）或P（2，），
答：在抛物线的对称轴上存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切，点P的坐标是（2，﹣6），（2，）．
点评：本题主要考查对解二元一次方程组，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，线段的垂直平分线定理等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
50.（2010福建泉州，26，14分）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．
（1）当点A的坐标为（，p）时，
①填空：p= 1 ，m=，∠AOE= 60° ．
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．
考点二次函数综合题；一次函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰梯形的判定；切线的性质；解直角三角形。
分析（1）由点A（，p）在直线l上，得到p=1；点A在直线y=mx上，得到m=；在Rt△OBA中，OB=1，AB=，OA=，得到∠AOE=60°；
（2）连接TM，ME，EN，ON，根据切线的性质得到QE⊥x轴，QT⊥OT，由QE⊥MN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，则四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME；同时有△QEN为等边三角形，则∠NQE=60°，∠QNF=30°；在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，可求出∠TQE=120°，于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，即T、Q、N三点共线，得到TN为直径；得到∠TMN=90°，得到TN∥ME，所以∠MTN=60°=∠TNE，得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（3）连DM，ME，根据垂径定理和圆周定理的推论得到∠DME=90°，DM垂直平分MN，所以Rt△MFD∽Rt△EFM，得到MF2
=EF•FD，设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，令y=1，得到x1=h﹣，x2=h+，则MF=MN=，得到（）2=1•（k﹣1），解得a=﹣1．
解答解：（1）∵点A的坐标为（，p），点A在直线l上，
∴p=1，即点A坐标为（，1）；
而点A在直线y=mx上，
∴1=m，解得m=；
在Rt△OBA中，OB=1，AB=，
∴OA=，
∴∠AOB=30°，
∴∠AOE=60°．
故答案为1，，60°；
（2）连接TM，ME，EN，ON，
如图，
∵OE和OP是⊙Q的切线，
∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°，
而l∥x轴，
∴QE⊥MN，
∴MF=NF，
又∵当r=2，EF=1，
∴QF=2﹣1=1，
∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME，
∴NQ=NE，即△QEN为等边三角形，
∴∠NQE=60°，∠QNF=30°，
在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，
∴∠TQE=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，
∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，
∴T、Q、N三点共线，即TN为直径，
∴∠TMN=90°，
∴TN∥ME，
∴∠MTN=60°=∠TNE，
∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化．理由如下：
连DM，ME，如图，
∵DM为直径，
∴∠DME=90°，
而DM垂直平分MN，
∴Rt△MFD∽Rt△EFM，
∴MF2=EF•FD，
设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，
又∵M、N的纵坐标都为1，
当y=1，a（x﹣h）2+k=1，解得x1=h﹣，x2=h+，
∴MN=2，
∴MF=MN=，
∴（）2=1•（k﹣1），
∵k＞1，
∴=k﹣1，
∴a=﹣1．
点评本题考查了抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；也考查了等腰梯形的判定和三角形相似的判定与性质以及垂径定理．
51. （2011福建省三明市，22,12分）如图，抛物线y=ax2﹣4ax+c（a≠0）经过A（0，﹣1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．
（1）求a，c的值；
（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；
（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）
考点：二次函数综合题。
分析：（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可；
（2）先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可；
（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可．
解答：解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+c过A（0，﹣1），B（5，0）
∴，
解得：，
故ac的值分别为，﹣1，
抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣1；
（2）∵直线AB经过A（0，﹣1），B（5，0），
∴直线AB的解析式为y=x﹣1，
由（1）知抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣1，
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴，
∴P（m，m2﹣m﹣1），Q（m，m﹣1），
∴S=PQ=（m﹣1）﹣（m2﹣m﹣1），
即S=﹣m2+m（0＜m＜5）；
（3）抛物线的对称轴l为：x=2，
以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：
相离、相切、相交三种关系
相离时：|m﹣2|＞（﹣m2+m），
解得0＜m＜或＜m＜5；
相切时：|m﹣2|=（﹣m2+m），
解得m=或 m=；
相交时：|m﹣2|＜（﹣m2+m），
解得＜m＜．
点评：本题考查了待定系数法，直线与二次函数相交的问题，直线与圆的位置关系，综合性较强，对同学们的能力要求较高，（3）中要注意分点P有在对称轴左边与右边的两种情况，容易漏解而导致出错．
52.（2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）.
（1）求抛物线的表达式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）.
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.
x
y
A
O
B
P
Q
C
D
考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质.
分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
解答：（1）解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
当x=0时，y=﹣2，
∴点A的坐标是（0，﹣2），
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，﹣2），把A（0，﹣2），B（2，﹣2），D（4，﹣）代入得：
且，
解得a=，b=﹣，c=﹣2
∴抛物线的解析式为：，
答：抛物线的解析式为：．
（2）解：①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2﹣2t）2+t2，
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1），
∴当S=时，5t2﹣8t+4=，得20t2﹣32t+11=0，
解得t=，t=（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，﹣2），Q点的坐标为（2，﹣）
若R点存在，分情况讨论：
【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为﹣，即R（3，﹣），代入，左右两边相等，
∴这时存在R（3，﹣）满足题意；
【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，
则：R的横坐标为1，纵坐标为﹣，即（1，﹣），
代入，左右两边不相等，R不在抛物线上；
【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，﹣）代入， 左右不相等，∴R不在抛物线上．
综上所述，存点一点R（3，﹣）满足题意．
答：存在，R点的坐标是（3，﹣）．
（3）解：如图，M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：，
解得：k=，b=﹣，∴y=x﹣，抛物线的对称轴是x=1，
把x=1代入得： ∴M的坐标为（1，）；
答：M的坐标为（1，）．
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．
53. （2011广东省茂名，25，8分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a=，
∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x=3；
（2）由已知，可求得P（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；
把x=t代入得：y=﹣x+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG=﹣x+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+t，
∴S△ACN=NG•OC=（﹣t2+t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为，
由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，
∴N（，﹣3）．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及三角形面积的最大值问题．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
54. （2011福建省漳州市，26,14分）如图1，抛物线y=mx2﹣11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）填空：OB= 3 ，OC= 8 ；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C
两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；
（2）利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式；
（3）首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可．
解答：解：（1）∵抛物线y=mx2﹣11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=mx2﹣11mx+24m，
解得：x1=3，x2=8，
∴OB=3，OC=8 （4分）；
（2）连接OD，交OC于点E，
∵四边形OACD是菱形，
∴AD⊥OC，OE=EC=×8=4，
∴BE=4﹣3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴，
∴AE2=BE•CE=1×4，
∴AE=2，…（6分）
∴点A的坐标为 （4，2）…（7分）
把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=mx2﹣11mx+24m，得m=﹣
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣12； …（9分）
（3）∵直线x=n与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为 （n，﹣n2+n﹣12），
由（2）知，点D的坐标为（4，﹣2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x﹣4，
∴点N的坐标为 （n，n﹣4），
∴MN=（﹣n2+n﹣12）﹣（n﹣4）=﹣n2+5n﹣8，…（11分）
∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=MN•CE=（﹣n2+5n﹣8）×4
=﹣（n﹣5）2+9 （13分）
∴当n=5时，S四边形AMCN=9． （14分）
点评：
此题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标求法以及菱形性质和四边形面积求法等知识，根据已知得出△ACE∽△BAE是解决问题的关键．
55. （2011广州，24，14分）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当00)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当00)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0
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