全国中考数学试卷解析分类汇编专题解直角三角形

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全国中考数学试卷解析分类汇编专题解直角三角形

‎2015年全国中考数学试卷解析分类汇编专题28+解直角三角形 一.选择题 ‎1.(2015•衡阳, 第12题3分)如图,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100米达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:米)为(  )‎ ‎  A. 50 B. 51 C. 50+1 D. 101‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析: 设AG=x,分别在Rt△AEG和Rt△ACG中,表示出CG和GE的长度,然后根据DF=100m,求出x的值,继而可求出电视塔的高度AH.‎ 解答: 解:设AG=x,‎ 在Rt△AEG中,‎ ‎∵tan∠AEG=,‎ ‎∴EG==x,‎ 在Rt△ACG中,‎ ‎∵tan∠ACG=,‎ ‎∴CG==x,‎ ‎∴x﹣x=100,‎ 解得:x=50.‎ 则AH=50+1(米).‎ 故选C.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解,注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法.‎ ‎2.(2015•聊城,第10题3分 57‎ ‎)湖南路大桥于今年5月1日竣工,为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔AB底部50米的C处,测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图).已知测量仪器CD的高度为1米,则桥塔AB的高度约为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎34米 B.‎ ‎38米 C.‎ ‎45米 D.‎ ‎50米 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析:‎ Rt△ADE中利用三角函数即可求得AE的长,则AB的长度即可求解.‎ 解答:‎ 解:过D作DE⊥AB于E,‎ ‎∴DE=BC=50米,‎ 在Rt△ADE中,AE=DE•tan41,5°≈50×0.88=44(米),‎ ‎∵CD=1米,‎ ‎∴BE=1米,‎ ‎∴AB=AE+BE=44+1=45(米),‎ ‎∴桥塔AB的高度为45米.‎ 点评:‎ 本题考查仰角的定义,注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键,注意数形结合思想的应用.‎ ‎3. (2015•温州第8题4分)如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是(  )‎ ‎  A.y= B. y= C. y=2 D. y=3‎ 57‎ 考点: 菱形的性质;等边三角形的判定与性质;解直角三角形..‎ 分析: 由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形,即可得OC垂直平分DE,求得DE=2x,再由∠DFE=∠GFH=120°,可求得C与DF,EF的长,继而求得△DF的面积,再由菱形FGMH中,FG=FE,得到△FGM是等边三角形,即可求得其面积,继而求得答案.‎ 解答: 解:∵ON是Rt∠AOB的平分线,‎ ‎∴∠DOC=∠EOC=45°,‎ ‎∵DE⊥OC,‎ ‎∴∠ODC=∠OEC=45°,‎ ‎∴CD=CE=OC=x,‎ ‎∴DF=EF,DE=CD+CE=2x,‎ ‎∵∠DFE=∠GFH=120°,‎ ‎∴∠CEF=30°,‎ ‎∴CF=CE•tan30°=x,‎ ‎∴EF=2CF=x,‎ ‎∴S△DEF=DE•CF=x2,‎ ‎∵四边形FGMH是菱形,‎ ‎∴FG=MG=FE=x,‎ ‎∵∠G=180°﹣∠GFH=60°,‎ ‎∴△FMG是等边三角形,‎ ‎∴S△FGH=x2,‎ ‎∴S菱形FGMH=x2,‎ ‎∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2.‎ 故选B.‎ 点评: 此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形,△FGM是等边三角形是关键.‎ ‎4.(2015•甘肃天水,第8题,4分)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为(  )‎ ‎  A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ 57‎ 考点: 等腰直角三角形;点到直线的距离.‎ 分析: 首先作出AB、AD边上的点P(点A)到BD的垂线段AE,即点P到BD的最长距离,作出BC、CD的点P(点C)到BD的垂线段CF,即点P到BD的最长距离,由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案.‎ 解答: 解:过点A作AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于F,‎ ‎∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=45°,‎ ‎∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°,‎ ‎∵sin∠ABD=,‎ ‎∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45°‎ ‎=2•=2>,‎ 所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个,‎ 故选A.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形和点到直线的距离,解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案.‎ ‎5.(2015•山东泰安,第14题3分)如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是(  )‎ ‎  A.20海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里 57‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析: 作AM⊥BC于M.由题意得,∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40海里,∠NCA=10°,则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=30°.由BD∥CN,得出∠BCN=∠DBC=20°,那么∠ACB=∠ACN+∠BCN=30°=∠ABC,根据等角对等边得出AB=AC,由等腰三角形三线合一的性质得到CM=BC=20海里.然后在直角△ACM中,利用余弦函数的定义得出AC=,代入数据计算即可.‎ 解答: 解:如图,作AM⊥BC于M.‎ 由题意得,∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40海里,∠NCA=10°,‎ 则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°.‎ ‎∵BD∥CN,‎ ‎∴∠BCN=∠DBC=20°,‎ ‎∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=30°,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∵AM⊥BC于M,‎ ‎∴CM=BC=20海里.‎ 在直角△ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,‎ ‎∴AC===(海里).‎ 故选D.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,平行线的性质,等腰三角形的判定与性质,余弦函数的定义,难度适中.求出CM=BC=20海里是解题的关键.‎ ‎6.(2015•长沙,第11题3分)如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为(  )‎ 57‎ ‎  A. 米 B. 30sinα米 C. 30tanα米 D. 30cosα米 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析: 根据题意,在Rt△ABO中,BO=30米,∠ABO为α,利用三角函数求解.‎ 解答: 解:在Rt△ABO中,‎ ‎∵BO=30米,∠ABO为α,‎ ‎∴AO=BOtanα=30tanα(米).‎ 故选C.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解.‎ 二.填空题 ‎1.(3分)(2015•宁夏)(第16题)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为 2km .‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-方向角问题.‎ 分析:‎ 过点A作AD⊥OB于D.先解Rt△AOD,得出AD=OA=2km,再由△ABD是等腰直角三角形,得出BD=AD=2km,则AB=AD=2km.‎ 解答:‎ 解:如图,过点A作AD⊥OB于D.‎ 在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4km,‎ 57‎ ‎∴AD=OA=2km.‎ 在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°,‎ ‎∴BD=AD=2km,‎ ‎∴AB=AD=2km.‎ 即该船航行的距离(即AB的长)为2km.‎ 故答案为2km.‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(2015•青海西宁第18题2分)某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度.如图,他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°,再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°,AB=62m,根据这个兴趣小组测得的数据,则蒲宁之珠的高度CD约为 189 m.(sin56°≈0.83,tan56°≈1.49,结果保留整数)‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析: 首先根据题意得:∠CAD=45°,∠CBD=56°,AB=62m,在Rt△ACD中,易求得BD=AD﹣AB=CD﹣62;在Rt△BCD中,可得BD=,即可得AB=AD﹣BD=CD﹣=62,继而求得答案.‎ 解答: 解:根据题意得:∠CAD=45°,∠CBD=54°,AB=112m,‎ ‎∵在Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,‎ ‎∴AD=CD,‎ ‎∵AD=AB+BD,‎ 57‎ ‎∴BD=AD﹣AB=CD﹣112(m),‎ ‎∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=,‎ ‎∴BD=,‎ ‎∴AB=AD﹣BD=CD﹣=62,‎ ‎∴CD≈189,(m).‎ 答:蒲宁之珠的高度CD约为189,‎ 故答案为:189.‎ 点评: 本题考查了仰角的知识.此题难度适中,注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.‎ ‎3.(2015•宁夏第16题3分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为 2km .‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析: 过点A作AD⊥OB于D.先解Rt△AOD,得出AD=OA=2km,再由△ABD是等腰直角三角形,得出BD=AD=2km,则AB=AD=2km.‎ 解答: 解:如图,过点A作AD⊥OB于D.‎ 在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4km,‎ ‎∴AD=OA=2km.‎ 在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°,‎ ‎∴BD=AD=2km,‎ ‎∴AB=AD=2km.‎ 即该船航行的距离(即AB的长)为2km.‎ 故答案为2km.‎ 点评: ‎ 57‎ 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.‎ ‎4. (2015年重庆B第18题4分)如图,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=,点E、F分别是线段AB,AD上的点,连接CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 如图作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF(AAS),∴BE=GF,BC=CG,∵在Rt△ABC中 ‎ ‎∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°(内错角),∵FG⊥AC,∴AF=2GF, ∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE,‎ 设BE=x,在Rt△AFG中AG= , ,解得 ‎ ‎∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE=‎ 考点:三角形全等的性质、三角函数的应用.‎ 57‎ ‎5.(2015•营口,第14题3分)圆内接正六边形的边心距为2,则这个正六边形的面积为 24 cm2.‎ 考点: 正多边形和圆.‎ 分析: 根据正六边形的特点,通过中心作边的垂线,连接半径,结合解直角三角形的有关知识解决.‎ 解答: 解:如图,‎ 连接OA、OB;过点O作OG⊥AB于点G.‎ 在Rt△AOG中,OG=2,∠AOG=30°,‎ ‎∵OG=OA•cos 30°,‎ ‎∴OA===4,‎ ‎∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2.‎ 故答案为:24.‎ 点评: 此题主要考查正多边形的计算问题,根据题意画出图形,再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可.‎ ‎6.(2015•营口,第17题3分)定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径,即损矩形外接圆的直径.如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,点D是菱形ACEF对角线的交点,连接BD.若∠DBC=60°,∠ACB=15°,BD=2,则菱形ACEF的面积为 12 .‎ 考点: 菱形的性质;圆周角定理;解直角三角形.‎ 专题: 新定义.‎ 57‎ 分析: 首先取AC的中点G,连接BG、DG,再根据∠ADC=90°,∠ABC=90°,判断出A、B、C、D四点共圆,点G是圆心;然后求出∠BGD=90°,即可判断出△BGD是等腰直角三角形;最后解直角三角形,分别求出AD、CD的值,再根据三角形的面积的求法,求出菱形ACEF的面积为多少即可.‎ 解答: 解:如图1,取AC的中点G,连接BG、DG,,‎ ‎∵四边形ACEF是菱形,‎ ‎∴AE⊥CF,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ 又∵∠ABC=90°,‎ ‎∴A、B、C、D四点共圆,点G是圆心,‎ ‎∴∠ACD=∠ABD=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°,‎ ‎∵∠AGB=15°×2=30°,∠AGD=30°×2=60°,‎ ‎∴∠BGD=30°+60°=90°,‎ ‎∴△BGD是等腰直角三角形,‎ ‎∴BG=DG=,‎ ‎∴AC=2,‎ ‎∴AD=2,‎ ‎∴,‎ ‎∴菱形ACEF的面积为:‎ ‎3‎ ‎=‎ 57‎ ‎=‎ 故答案为:12.‎ 点评: (1)此题主要考查了菱形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等; ③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.‎ ‎(2)此题还考查了圆周角定理的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.‎ ‎(3)此题还考查了解直角三角形问题,以及勾股定理的应用,要熟练掌握.‎ ‎7.(2015•山东德州,第16题4分)如图,某建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆的高度均为 7.2 m.(结果精确到0.1m,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析: 根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度.‎ 解答: 解:根据题意得:EF⊥AC,CD∥FE,‎ ‎∴四边形CDEF是矩形,‎ 已知底部B的仰角为45°即∠BEF=45°,‎ ‎∴∠EBF=45°,‎ ‎∴CD=EF=FB=38,‎ 在Rt△AEF中,‎ AF=EF•tan50°=38×1.19≈45.22‎ ‎∴AB=AF﹣BF=45.22﹣38≈7.2,‎ ‎∴旗杆的高约为7米.‎ 故答案为:7.2.‎ 57‎ 点评: 此题考查的知识点是解直角三角形的应用,解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题,先得到等腰直角三角形,再根据三角函数求解.‎ ‎8.(2015•四川巴中,第18题3分)如图,将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan∠AOB=  .‎ 考点:‎ 锐角三角函数的定义.‎ 专题:‎ 网格型.‎ 分析:‎ 先在图中找出∠AOB所在的直角三角形,再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值.‎ 解答:‎ 解:过点A作AD⊥OB垂足为D,‎ 如图,在直角△ABD中,AD=1,OD=2,‎ 则tan∠AOB==.‎ 故答案为.‎ 点评:‎ 本题考查了锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.‎ ‎9.(2015•滨州,第14题4分)如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为 24 .‎ 考点: 菱形的性质;解直角三角形.‎ 分析: 连接BD,交AC与点O,首先根据菱形的性质可知AC⊥BD,解三角形求出BO的长,利用勾股定理求出AO的长,即可求出AC的长.‎ 解答: 解:连接BD,交AC与点O,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ 57‎ ‎∴AC⊥BD,‎ 在Rt△AOB中,‎ ‎∵AB=15,sin∠BAC=,‎ ‎∴sin∠BAC==,‎ ‎∴BO=9,‎ ‎∴AB2=OB2+AO2,‎ ‎∴AO===12,‎ ‎∴AC=2AO=24,‎ 故答案为24.‎ 点评: 本题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形的知识,解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分,此题难度不大.‎ ‎10.(2015•东营,第14题3分) 4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是 200+200 米.‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析: 在两个直角三角形中,都是知道已知角和对边,根据正切函数求出邻边后,相加求和即可.‎ 解答: 解:由已知,得∠A=30°,∠B=45°,CD=200,‎ ‎∵CD⊥AB于点D.‎ ‎∴在Rt△ACD中,∠CDA=90°,tanA=,‎ 57‎ ‎∴AD==200,‎ 在Rt△BCD中,∠CDB=90°,∠B=45°‎ ‎∴DB=CD=200,‎ ‎∴AB=AD+DB=200+200,‎ 故答案为:200+200.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高,将三角形分成两个三角形,然后求解.分别在两三角形中求出AD与BD的长.‎ ‎ ‎ ‎11. (2015年陕西省,13,3分)如图,有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米,铅直高度BC为2.8米,则∠A的度数约为 27.8° (用科学计算器计算,结果精确到0.1°).‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-坡度坡角问题..‎ 分析:‎ 直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可.‎ 解答:‎ 解:∵tan∠A==≈0.5283,‎ ‎∴∠A=27.8°,‎ 故答案为:27.8°.‎ 点评:‎ 本题考查了坡度坡角的知识,解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值,难度不大.‎ ‎12. (2015江苏常州第16题2分)如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是_______________.‎ 57‎ 三.解答题 ‎1.(2015•湖北, 第22题6分)如图,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=.求:‎ ‎(1)BC的长;‎ ‎(2)sin∠ADC的值.‎ 考点: 解直角三角形.‎ 分析: (1)过点A作AE⊥BC于点E,根据cosC=,求出∠C=45°,求出AE=CE=1,根据tanB=,求出BE的长即可;‎ ‎(2)根据AD是△ABC的中线,求出BD的长,得到DE的长,得到答案.‎ 解答: 解:过点A作AE⊥BC于点E,‎ ‎∵cosC=,‎ ‎∴∠C=45°,‎ 在Rt△ACE中,CE=AC•cosC=1,‎ ‎∴AE=CE=1,‎ 在Rt△ABE中,tanB=,即=,‎ ‎∴BE=3AE=3,‎ 57‎ ‎∴BC=BE+CE=4;‎ ‎(2)∵AD是△ABC的中线,‎ ‎∴CD=BC=2,‎ ‎∴DE=CD﹣CE=1,‎ ‎∵AE⊥BC,DE=AE,‎ ‎∴∠ADC=45°,‎ ‎∴sin∠ADC=.‎ 点评: 本题考查的是解直角三角形的知识,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键,注意锐角三角函数的概念的正确应用.‎ ‎2.(2015•安徽, 第18题8分)如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(=1.7).‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析: 首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.‎ 解答: 解:如图,过点B作BE⊥CD于点E,‎ 根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.‎ ‎∵AB⊥AC,CD⊥AC,‎ ‎∴四边形ABEC为矩形.‎ ‎∴CE=AB=12m.‎ 在Rt△CBE中,cot∠CBE=,‎ ‎∴BE=CE•cot30°=12×=12.‎ 在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,‎ 57‎ 得DE=BE=12.‎ ‎∴CD=CE+DE=12(+1)≈32.4.‎ 答:楼房CD的高度约为32.4m.‎ 点评: 考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,本题要求学生借助俯角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.‎ ‎3.(2015•鄂州, 第21题9分)如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量,眼睛与地面的距离(AB)是1.7米,看旗杆顶部E的仰角为30°;小敏蹲着测量,眼睛与地面的距离(CD)是0.7米,看旗杆顶部E的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F在同一直线上).‎ ‎(1)求小敏到旗杆的距离DF.(结果保留根号)‎ ‎(2)求旗杆EF的高度.(结果保留整数,参考数据:≈1.4,≈1.7)‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析: (1)过点A作AM⊥EF于点M,过点C作CN⊥EF于点N.设CN=x,分别表示出EM、AM的长度,然后在Rt△AEM中,根据tan∠EAM=,代入求解即可;‎ ‎(2)根据(1)求得的结果,可得EF=DF+CD,代入求解.‎ 解答: 解:(1)过点A作AM⊥EF于点M,过点C作CN⊥EF于点N,‎ 设CN=x,‎ 在Rt△ECN中,‎ ‎∵∠ECN=45°,‎ ‎∴EN=CN=x,‎ ‎∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1,‎ 57‎ ‎∵BD=5,‎ ‎∴AM=BF=5+x,‎ 在Rt△AEM中,‎ ‎∵∠EAM=30°‎ ‎∴=,‎ ‎∴x﹣1=(x+5),‎ 解得:x=4+3,‎ 即DF=(4+3)(米);‎ ‎(2)由(1)得:‎ EF=x+0.7=4++0.7‎ ‎=4+3×1.7+0.7‎ ‎=9.8≈10(米).‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数的知识求解.‎ ‎ ‎ ‎4.(2015•海南,第22题9分)如图,某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险,在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上.‎ ‎(1)求∠BAO与∠ABO的度数(直接写出答案);‎ ‎(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考數据:tan75°≈3.73,tan15°≈0.27,≈1.41,≈2.45)‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.‎ 分析: (1)作OC⊥AB于C,根据方向角的定义得到∠AOC=45°,∠BOC=75°,由直角三角形两锐角互余得出∠BAO=90°﹣∠AOC=45°,∠ABO=90°﹣∠BOC=15°;‎ 57‎ ‎(2)先解Rt△OAC,得出AC=OC=OA≈5.64海里,解Rt△OBC,求出BC=OC•tan∠BOC≈21.0372海里,那么AB=AC+BC≈26.6772海里,再根据时间=路程÷速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间,与1小时比较即可求解.‎ 解答: 解:(1)如图,作OC⊥AB于C,由题意得,∠AOC=45°,∠BOC=75°,‎ ‎∵∠ACO=∠BCO=90°,‎ ‎∴∠BAO=90°﹣∠AOC=90°﹣45°=45°,‎ ‎∠ABO=90°﹣∠BOC=90°﹣75°=15°;‎ ‎(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能在1小时内赶到.理由如下:‎ ‎∵在Rt△OAC中,∠ACO=90°,∠AOC=45°,OA=8海里,‎ ‎∴AC=OC=OA≈4×1.41=5.64海里.‎ ‎∵在Rt△OBC中,∠BCO=90°,∠BOC=75°,OC=4海里,‎ ‎∴BC=OC•tan∠BOC≈5.64×3.73=21.0372海里,‎ ‎∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里,‎ ‎∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,‎ ‎∴中国渔政船所需时间:26.6772÷28≈0.953小时<1小时,‎ 故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能在1小时内赶到.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,直角三角形的性质,锐角三角函数定义,准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(2015•湘潭,第19题6分)“东方之星”客船失事之后,本着“关爱生命,救人第一”的宗旨.搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救,搜救过程中,假设直升机飞到A处时,发现前方江面上B处有一漂浮物,从A测得B处的俯角为30°,已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索,飞行速度为10米每秒,求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方?(结果精确到0.1,≈1.73)‎ 57‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.. ‎ 分析:‎ 作AD⊥BD于点D,由题意得:∠ABC=30°,AD=100米,在Rt△ABD中,=tan∠ABC,求得BD的长后除以速度即可得到时间.‎ 解答:‎ 解:作AD⊥BD于点D,‎ 由题意得:∠ABC=30°,AD=100米,‎ 在Rt△ABD中,=tan∠ABC,‎ ‎∴BD===100米,‎ ‎∵飞行速度为10米每秒,‎ ‎∴飞行时间为100÷10=10≈17.3秒,‎ ‎∴该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3秒可到达漂浮物的正上方.‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形,难度不大.‎ ‎6.(2015•聊城,第24题10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.‎ ‎(1)求证:AB=BE;‎ ‎(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.‎ 考点:‎ 切线的性质;解直角三角形..‎ 57‎ 分析:‎ ‎(1)本题可连接OD,由PD切⊙O于点D,得到OD⊥PD,由于BE⊥PC,得到OD∥BE,得出∠ADO=∠E,根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果;‎ ‎(2)由(1)知,OD∥BE,得到∠POD=∠B,根据三角函数的定义即可得到结果.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:连接OD,‎ ‎∵PD切⊙O于点D,‎ ‎∴OD⊥PD,‎ ‎∵BE⊥PC,‎ ‎∴OD∥BE,‎ ‎∴ADO=∠E,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠OAD=∠ADO,‎ ‎∴∠OAD=∠E,‎ ‎∴AB=BE;‎ ‎(2)解:有(1)知,OD∥BE,‎ ‎∴∠POD=∠B,‎ ‎∴cos∠POD=cosB=,‎ 在Rt△POD中,cos∠POD==,‎ ‎∵OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,‎ ‎∴,‎ ‎∴OA=3,‎ ‎∴⊙O半径=3.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的性质,等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点,正确的画出辅助线是解题的关键.‎ ‎7. (2015江苏常州第25题8分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.‎ ‎⑴若AD=2,求AB;‎ ‎⑵若AB+CD=2+2,求AB.‎ 57‎ ‎8.(2015年四川省达州市中考,21,7分)学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,其测量步骤如下:‎ ‎(1)在中心广场测点C处安置测倾器,测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°;‎ ‎(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C、D与B在同一直线上,且C、D之间的距离可以直接测得),测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°;‎ ‎(3)测得测倾器的高度CF=DG=1.5米,并测得CD之间的距离为288米;‎ 已知红军亭高度为12米,请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(取1.732,结果保留整数)‎ 57‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.. ‎ 分析:‎ 首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造边角关系,进而可求出答案.‎ 解答:‎ 解:设AH=x米,‎ 在RT△EHG中,∵∠EGH=45°,‎ ‎∴GH=EH=AE+AH=x+12,‎ ‎∵GF=CD=288米,‎ ‎∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300,‎ 在RT△AHF中,∵∠AFH=30°,‎ ‎∴AH=HF•tan∠AFH,即x=(x+300)•,‎ 解得x=150(+1).‎ ‎∴AB=AH+BH≈409.8+1.5=411(米)‎ 答:凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米.‎ 点评:‎ 此题主要考查了解直角三角形的应用,本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.‎ ‎9.(2015年四川省广元市中考,20,8分)某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示,看台有四级高度相等的小台阶,已知看台高为1.6米,现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的低端分别为D、C),且∠DAB=66.5°(cos66.5°≈0.4).‎ ‎(1)求点D与点C的高度差DH;‎ ‎(2)求所用不锈钢材料的总长度l(即AD+AB+BC的长).‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用.. ‎ 分析:‎ ‎(1)根据四级台阶高度相等,即可求得答案;‎ ‎(2)连接CD,可证明四边形ABCD为平行四边形,从而可得到AB∥CD且AB=CD,然后利用锐角三角函数的定义求得CD的长即可得出问题的答案.‎ 57‎ 解答:‎ 解:(1)DH=1.6×=1.2米 ‎(2)连接CD.‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形.‎ ‎∴AB∥CD且AB=CD.‎ ‎∴∠HDC=∠DAB=66.5°‎ Rt△HDC中,cos∠HDC=,‎ ‎∴CD==3(米).‎ ‎∴l=AD+AB+BC=0.8+3+0.8=4.6(米).‎ ‎∴所用不锈钢材料的长度约为4.6米.‎ 点评:‎ 本题主要考查的是解直角三角形和平行四边形的性质和判定,掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.‎ ‎10.(2015年浙江省义乌市中考,20,8分)如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。‎ ‎(1)求∠BPQ的度数;‎ ‎(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m)。‎ 备用数据:,‎ 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;‎ ‎92)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解.‎ 解答:解:延长PQ交直线AB于点E,‎ ‎(1)∠BPQ=90°﹣60°=30°;‎ ‎(2)设PE=x米.‎ 在直角△APE中,∠A=45°,‎ 57‎ 则AE=PE=x米;‎ ‎∵∠PBE=60°‎ ‎∴∠BPE=30°‎ 在直角△BPE中,BE=PE=x米,‎ ‎∵AB=AE﹣BE=6米,‎ 则x﹣x=6,‎ 解得:x=9+3.‎ 则BE=(3+3)米.‎ 在直角△BEQ中,QE=BE=(3+3)=(3+)米.‎ ‎∴PQ=PE﹣QE=9+3﹣(3+)=6+2≈9(米).‎ 答:电线杆PQ的高度约9米.‎ 点评:本题考查了仰角的定义,以及三角函数,正确求得PE的长度是关键.‎ ‎11.(2015年浙江舟,22,10分)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下垫入散热架后,电脑转到位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,于点C,=12cm.‎ ‎(1)求的度数;‎ ‎(2)显示屏的顶部比原来升高了多少?‎ ‎(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度?‎ ‎【答案】解:(1)∵于点C,OA=OB=24,O’C=12,‎ 57‎ ‎∴.‎ ‎∴30°.‎ ‎(2)如答图,过点作交的延长线于点.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴显示屏的顶部比原来升高了 cm.‎ ‎(3)显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.理由如下:‎ 如答图,电脑显示屏’绕点按顺时针方向旋转度至处,∥.‎ ‎∵电脑显示屏’ 与水平线的夹角仍保持120°,‎ ‎∴.∴.∴.‎ ‎∴,即.‎ ‎∴显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.‎ ‎【考点】解直角三角形的应用;线动旋转问题;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】(1)直接正弦函数定义和30度角的正弦函数值求解即可 ‎(2)过点作交的延长线于点,则显示屏的顶部比原来升高的距离就是,从而由求出即可求解.‎ ‎(3)根据旋转和平行的的性质即可得出结论.‎ ‎12.(2015•乌鲁木齐,第20题10分)如图,小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°,然后前进12米到达C处,又测得楼顶E的仰角为60°,求楼EF的高度.(结果精确到0.1米)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 57‎ 分析:‎ 设楼EF的高为x米,由EG=EF﹣GF表示出EG,根据题意得到EF与AF垂直,DC与AF垂直,BA与AF垂直,BD与EF垂直,在直角三角形EGD中,利用锐角三角函数定义表示出DG,在直角三角形EGB中,利用锐角三角函数定义表示出BG,根据BG﹣DG表示出DB,即为CA,根据CA的长列出关于x的方程,求出方程的解即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:设楼EF的高为x米,可得EG=EF﹣GF=(x﹣1.5)米,‎ 依题意得:EF⊥AF,DC⊥AF,BA⊥AF,BD⊥EF(设垂足为G),‎ 在Rt△EGD中,DG==(x﹣1.5)米,在Rt△EGB中,BG=(x﹣1.5)米,‎ ‎∴CA=DB=BG﹣DG=(x﹣1.5)米,‎ ‎∵CA=12米,∴(x﹣1.5)=12,‎ 解得:x=6+1.5≈11.9,‎ 则楼EF的高度约为11.9米.‎ 点评:‎ 此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.‎ ‎13.(2015•云南,第19题6分)为解决江北学校学生上学过河难的问题,乡政府决定修建一座桥,建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离).在测量时,选定河对岸MN上的点C处为桥的一端,在河岸点A处,测得∠CAB=30°,沿河岸AB前行30米后到达B处,在B处测得∠CBA=60°,请你根据以上测量数据求出河的宽度.(参考数据:≈1.41,≈1.73,结果保留整数)‎ 考点: 解直角三角形的应用.‎ 分析: 如图,过点C作CD⊥AB于点D,通过解直角△ACD和直角△BCD来求CD的长度.‎ 解答: 解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,‎ 设CD=x.‎ ‎∵在直角△ACD中,∠CAD=30°,‎ ‎∴AD==x.‎ 同理,在直角△BCD中,BD==x.‎ 又∵AB=30米,‎ ‎∴AD+BD=30米,即x+x=30.‎ 解得x=13.‎ 57‎ 答:河的宽度的13米.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用.关键把实际问题转化为数学问题加以计算.‎ ‎ ‎ ‎14.(2015•山东莱芜,第20题9分)为保护渔民的生命财产安全,我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港.某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业,同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动,于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避.已知避风港D在观测点A的正北方向,台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向,渔船C与观测点A相距350海里,台风中心的影响半径为200海里,渔船的速度为每小时18海里,问渔船能否顺利躲避本次台风的影响?(sin36.9°≈0.6,tan36.9≈0.75,sin67.5≈0.92,tan67.5≈2.4)‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析: 先解Rt△ADC,求出CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里,AD==280海里,那么渔船到的避风港D处所用时间:210÷18=11小时.再解Rt△ADB,求出BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里,那么BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里.设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时,根据追及问题的等量关系列出方程(40﹣18)x=462﹣200,解方程求出x=11,由于11<11,所以渔船能顺利躲避本次台风的影响.‎ 解答: 解:由题意可知∠BAD=67.5°,∠CAD=36.9°,AC=350海里.[中~国教^#育出版网*@]‎ 在Rt△ADC中,∵∠ADC=90°,∠DAC=36.9°,AC=350海里,‎ ‎∴CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里,AD==280海里.‎ ‎∴渔船到的避风港D处所用时间:210÷18=11小时.‎ 在Rt△ADB中,∵∠ADB=90°,∠BAD=67.5°,‎ ‎∴BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里,‎ ‎∴BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里.‎ 设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时,根据题意得 57‎ ‎(40﹣18)x=462﹣200,‎ 解得x=11,‎ ‎∵11<11,‎ ‎∴渔船能顺利躲避本次台风的影响.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度中等,求出强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间是解题的关键.‎ ‎15.(2015•四川巴中,第29题8分)如图,某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度,在大厦前的平地上选择一点C,测得大厦顶端A的仰角为30°,再向大厦方向前进80米,到达点D处(C、D、B三点在同一直线上),又测得大厦顶端A的仰角为45°,请你计算该大厦的高度.(精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析:‎ 先设AB=x;根据题意分析图形:本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB,应利用其公共边BA构造等量关系,解三角形可求得DB、CB的数值,再根据CD=BC﹣BD=80,进而可求出答案.‎ 解答:‎ 解:设AB=x,‎ 在Rt△ACB和Rt△ADB中,‎ ‎∵∠C=30°,∠ADB=45°,CD=80‎ ‎∴DB=x,AC=2x,BC==x,‎ ‎∵CD=BC﹣BD=80,‎ x﹣x=80,‎ ‎∴x=40(+1)≈109.2米.‎ 答:该大厦的高度是109.2米.‎ 点评:‎ 57‎ 本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎16.(2015•四川成都,第17题8分)如图,登山缆车从点A出发,途经点B后到达终点C,其中AB段与BC段的运行路程均为200m,且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°,BC段的运行路线与水平面的夹角为42°,求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)‎ 考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题..‎ 分析: 要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离,就是求BD+CE的值.解直角△ADB,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=AB=100m,解直角△CEB,根据正弦函数的定义可得CE=BC•sin42°.‎ 解答: 解:在直角△ADB中,∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,AB=200m,‎ ‎∴BD=AB=100m,‎ 在直角△CEB中,∵∠CEB=90°,∠CBE=42°,CB=200m,‎ ‎∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m,‎ ‎∴BD+CE≈100+134=234m.‎ 答:缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,锐角三角函数的定义,结合图形理解题意是解决问题的关键.‎ ‎17.(2015•本溪,第22题12分)张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度,如图,山坡与水平面成30°角(即∠MAN=30°),在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°,沿坡面前进20米,到达B处,又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内),求这棵大树CD的高度(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.732)‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 57‎ 分析: 过B作BE⊥CD交CD延长线于E,由∠CAN=45°,∠MAN=30°,得到∠CAB=15°,由∠CBD=60°,∠DBE=30°,得到∠CBD=30°于是有∠CAB=∠ACB=15°所以AB=BC=20,解Rt△BCE,可求得CE,解Rt△DBE可求得DE,CE﹣DE即得到树高CD.‎ 解答: 解:如图,过B作BE⊥CD交CD延长线于E,‎ ‎∵∠CAN=45°,∠MAN=30°,‎ ‎∴∠CAB=15°‎ ‎∵∠CBD=60°,∠DBE=30°,‎ ‎∴∠CBD=30°,‎ ‎∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,‎ ‎∴∠CAB=∠ACB=15°,‎ ‎∴AB=BC=20,‎ 在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BC=20,‎ ‎∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10,‎ 在Rt△DBE中,∠DBE=30°,BE=10,‎ ‎∴DE=BEtan∠DBE=10×,‎ ‎∴CD=CE﹣DE=≈11.5,‎ 答:这棵大树CD的高度大约为11.5米.‎ 点评: 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质,解直角三角形,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.‎ 57‎ ‎18.(2015•营口,第22题12分)如图,我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪,船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号,此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处,该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援,但两船之间有大片暗礁,无法直线到达,于是决定马上调整方向,先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处,同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处,渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上.‎ ‎(1)求CD两点的距离;‎ ‎(2)渔政船决定再次调整航向前去救援,若两船航速不变,并且在点E处相会合,求∠ECD的正弦值.‎ ‎(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈)‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.‎ 分析: (1)过点C、D分别作CG⊥AB,DF⊥CG,垂足分别为G,F,根据直角三角形的性质得出CG,再根据三角函数的定义即可得出CD的长;‎ ‎(2)如图,设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合,由题意知CE=30t,DE=1.5×2×t=3t,∠EDC=53°,过点E作EH⊥CD于点H,根据三角函数表示出EH,在Rt△EHC中,根据正弦的定义求值即可.‎ 解答: 解:(1)过点C、D分别作CH⊥AB,DF⊥CH,垂足分别为H,F,‎ ‎∵在Rt△CGB中,∠CBG=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴CG=BC=×(30×)=7.5,‎ ‎∵∠DAG=90°,‎ ‎∴四边形ADFG是矩形,‎ ‎∴GF=AD=1.5,‎ ‎∴CF=CG﹣GF=7.5﹣1.5=6,‎ 在Rt△CDF中,∠CFD=90°,‎ ‎∵∠DCF=53°,‎ 57‎ ‎∴COS∠DCF=,‎ ‎∴CD===10(海里).‎ 答:CD两点的距离是10;‎ ‎(2)如图,设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合,‎ 由题意知CE=30t,DE=1.5×2×t=3t,∠EDC=53°,‎ 过点E作EH⊥CD于点H,则∠EHD=∠CHE=90°,‎ ‎∴sin∠EDH=,‎ ‎∴EH=EDsin53°=3t×=t,‎ ‎∴在Rt△EHC中,sin∠ECD===.‎ 答:sin∠ECD=.‎ 点评: 考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,此题是一道方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.‎ ‎19.(2015•昆明第20题,6分)如图,两幢建筑物AB和CD,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=15cm,CD=20cm,AB和CD之间有一景观池,小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°,在C点测得E点的俯角为45°(点B、E、D在同一直线上),求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1m).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析: 在RT△ABE中,根据正切函数可求得BE,在RT△DEC中,根据等腰直角三角形的性质求得ED,然后根据BD=BE+ED求解即可.‎ 解答: 解:由题意得:∠AEB=42°,∠DEC=45°,‎ 57‎ ‎∵AB⊥BD,CD⊥BD,‎ ‎∴在RT△ABE中,∠ABE=90°,AB=15,∠AEB=42°,‎ ‎∵tan∠AEB=,‎ ‎∴BE=≈15÷0.90=,‎ 在RT△DEC中,∠CDE=90°,∠DEC=∠DCE=45°,CD=20,‎ ‎∴ED=CD=20,‎ ‎∴BD=BE+ED=+20≈36(m).‎ 答:两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,要求学生借助俯角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.‎ ‎20.(2015•曲靖第21题3分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE∥AC,CE∥BD.‎ ‎(1)求证:四边形OBEC是矩形;‎ ‎(2)若菱形ABCD的周长是4,tanα=,求四边形OBEC的面积.‎ 考点: 菱形的性质;矩形的判定;解直角三角形..‎ 分析: (1)利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°,进而求出即可;‎ ‎(2)利用菱形的性质结合勾股定理得出CO,BO的长,进而求出四边形OBEC的面积.‎ 解答: (1)证明:∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∵BE∥AC,CE∥BD,‎ ‎∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°,‎ ‎∴四边形OBEC是矩形;‎ ‎(2)解:∵菱形ABCD的周长是4,‎ ‎∴AB=BC=AD=DC=,‎ ‎∵tanα=,‎ 57‎ ‎∴设CO=x,则BO=2x,‎ ‎∴x2+(2x)2=()2,‎ 解得:x=,‎ ‎∴四边形OBEC的面积为:×2=4.‎ 点评: 此题主要考查了菱形的性质和判定以及勾股定理等知识,熟练利用菱形的性质是解题关键.‎ ‎21.(2015年重庆B第24题10分)24.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD,期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N,观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角,观测渔船N在俯角,已知NM所在直线与PC所在直线垂直,垂足为点E,PE长为30米.‎ ‎(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到1米);‎ ‎(2)已知坝高24米,坝长100米,背水坡AD的坡度.为提高大坝防洪能力,某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固,加固后坝定加宽3米,背水坡FH的坡度为,施工12天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到原来的1.5倍,结果比原计划提前20天完成加固任务,施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米?(参考数据:)‎ ‎【答案】20m;600立方米.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据Rt△PEM的三角函数得出ME的长度,根据MN=EM-EN得出答案;过点F作FM∥AD交AH于点M,过点F作FN⊥AH交直线AH于点N,则四边形DFMA为平行四边形,则∠‎ 57‎ FMA=∠DAB,DF=AM=3m,根据题意得出tan∠H的值,根据Rt△FNH的三角函数得出NH的长度,根据Rt△FNM的三角函数得出MN的值,然后求出AH的长度,求出梯形的面积,得出需要填筑的土石方的体积,然后设原计划每天填x立方米,根据题意列出分式方程求出x的值.‎ 试题解析:(1)、在Rt△PEN中,EN=PE=30m 在Rt△PEM中, ∴‎ 答:两渔船M、N之间的距离为20米 ‎(2)、过点F作FM∥AD交AH于点M,过点F作FN⊥AH交直线AH于点N 则四边形DFMA为平行四边形,,DF=AM=3m 由题意:,‎ 在RT△FNH中, 在RT△FNM中,m 故HM=HN-MN=36-6=30m ∴AH=AM+HM=3+30=33m 故需要填筑的土石方共 设原计划平均每天填筑,则原计划天完成;增加机械设备后,现在平均每天填筑 ‎ 解得:‎ 经检验:是原分式方程的解,且满足实际意义 答:该施工队原计划平均每天填筑600的土石方.‎ 考点:三角函数的应用、分式方程.‎ ‎22.(2015•四川凉山州第20题8分)如图,在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点,且俯角α为45°.从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点,且仰角β为30°.已知树高EF=6米,求塔CD的高度.(结果保留根号)‎ 57‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析: 根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°,进而根据等腰直角三角形的性质求得FD,在Rt△PEH中,利用特殊角的三角函数值分别求出BF,即可求得PG,在Rt△PCG中,继而可求出CG的长度.‎ 解答: 解:由题意可知∠BAD=∠ADB=45°,‎ ‎∴FD=EF=6米,‎ 在Rt△PEH中,∵tanβ==,‎ ‎∴BF==5,‎ ‎∴PG=BD=BF+FD=5+6,‎ 在RT△PCG中,∵tanβ=,‎ ‎∴CG=(5+6)•=5+2,‎ ‎∴CD=(6+2)米.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数的知识求解相关线段的长度.‎ ‎23.(2015•四川攀枝花第21题8分)如图所示,港口B位于港口O正西方向120km处,小岛C位于港口O北偏西60°的方向.一艘游船从港口O出发,沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O,同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C,在小岛C用1h加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.‎ ‎(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间?‎ 57‎ ‎(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h,求v的值及相遇处与港口O的距离. ‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析: (1)要求B到C的时间,已知其速度,则只要求得BC的路程,再利用路程公式即可求得所需的时间;‎ ‎(2)过C作CD⊥OA,垂足为D,设相会处为点E.求出OC=OB•cos30°=60,CD=OC=30,OD=OC•cos30°=90,则DE=90﹣3v.在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2,即(30)2+(90﹣3v)2=602,解方程求出v=20或40,进而求出相遇处与港口O的距离.‎ 解答: 解:(1)∵∠CBO=60°,∠COB=30°,‎ ‎∴∠BCO=90°.‎ 在Rt△BCO中,∵OB=120,‎ ‎∴BC=OB=60,‎ ‎∴快艇从港口B到小岛C的时间为:60÷60=1(小时);‎ ‎(2)过C作CD⊥OA,垂足为D,设相会处为点E.‎ 则OC=OB•cos30°=60,CD=OC=30,OD=OC•cos30°=90,‎ ‎∴DE=90﹣3v.‎ ‎∵CE=60,CD2+DE2=CE2,‎ ‎∴(30)2+(90﹣3v)2=602,‎ ‎∴v=20或40,‎ ‎∴当v=20km/h时,OE=3×20=60km,‎ 当v=40km/h时,OE=3×40=120km.‎ 57‎ 点评: 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,锐角三角函数的定义,勾股定理等知识,理解方向角的定义,得出∠BCO=90°是解题的关键,本题难易程度适中.‎ ‎24.(2015•四川攀枝花第21题8分)如图所示,港口B位于港口O正西方向120km处,小岛C位于港口O北偏西60°的方向.一艘游船从港口O出发,沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O,同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C,在小岛C用1h加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.‎ ‎(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间?‎ ‎(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h,求v的值及相遇处与港口O的距离.‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析: (1)要求B到C的时间,已知其速度,则只要求得BC的路程,再利用路程公式即可求得所需的时间;‎ ‎(2)过C作CD⊥OA,垂足为D,设相会处为点E.求出OC=OB•cos30°=60,CD=OC=30,OD=OC•cos30°=90,则DE=90﹣3v.在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2,即(30)2+(90﹣3v)2=602,解方程求出v=20或40,进而求出相遇处与港口O的距离.‎ 解答: 解:(1)∵∠CBO=60°,∠COB=30°,‎ ‎∴∠BCO=90°.‎ 在Rt△BCO中,∵OB=120,‎ ‎∴BC=OB=60,‎ ‎∴快艇从港口B到小岛C的时间为:60÷60=1(小时);‎ ‎(2)过C作CD⊥OA,垂足为D,设相会处为点E.‎ 则OC=OB•cos30°=60,CD=OC=30,OD=OC•cos30°=90,‎ ‎∴DE=90﹣3v.‎ ‎∵CE=60,CD2+DE2=CE2,‎ ‎∴(30)2+(90﹣3v)2=602,‎ ‎∴v=20或40,‎ ‎∴当v=20km/h时,OE=3×20=60km,‎ 当v=40km/h时,OE=3×40=120km.‎ 57‎ 点评: 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,锐角三角函数的定义,勾股定理等知识,理解方向角的定义,得出∠BCO=90°是解题的关键,本题难易程度适中.‎ ‎25.(2015•四川遂宁第20题9分)一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高,在河岸边选择一点C,从C处测得树梢A的仰角为45°,沿BC方向后退10米到点D,再次测得A的仰角为30°,求树高.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732)‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析: 先设AB=x米,根据题意分析图形:本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB,应利用其公共边BA构造等量关系,解三角形可求得CB、DB的数值,再根据CD=BD﹣BC=10,进而可求出答案.‎ 解答: 解:∵设AB=x米,‎ 在Rt△ACB和Rt△ADB中,‎ ‎∵∠D=30°,∠ACB=45°,CD=10,‎ ‎∴CB=x,AD=2x,BD==x,‎ ‎∵CD=BD﹣BC=10,‎ x﹣x=10,‎ ‎∴x=5(+1)≈13.7.‎ 答:该树高是13.7米.‎ 点评: 本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.‎ ‎26.(10分)(2015•宁夏)(第26题)如图,是一副学生用的三角板,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,∠B=30°;在△A1B1C1中,∠C1=90°,∠A1=45°,∠B1=45°,且A1B1=CB.若将边A1C1与边CA重合,其中点A1与点C重合.将三角板A1B1C1‎ 57‎ 绕点C(A1)按逆时针方向旋转,旋转过的角为α,旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M,设AC=a.‎ ‎(1)计算A1C1的长;‎ ‎(2)当α=30°时,证明:B1C1∥AB;‎ ‎(3)若a=,当α=45°时,计算两个三角板重叠部分图形的面积;‎ ‎(4)当α=60°时,用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积.‎ ‎(参考数据:sin15°=,cos15°=,tan15°=2﹣,sin75°=,cos75°=,tan75°=2+)‎ 考点:‎ 几何变换综合题.‎ 专题:‎ 创新题型.‎ 分析:‎ ‎(1)在Rt△ABC中,由特殊锐角三角函数值,先求得BC的长,然后在Rt△A1B1C1中利用特殊锐角三角函数即可求得A1C1的长;‎ ‎(2)利用三角形的外角的性质求得∠BMC=90°,然后利用同位角相等,两直线平行进行判定即可;‎ ‎(3)两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积;‎ ‎(4)两个三角板重叠部分图形的面积=△CC1B1的面积﹣三角形FB1C的面积﹣三角形DC1M的面积.‎ 解答:‎ 解:(1)在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=a,‎ 由特殊锐角三角函数可知:,‎ ‎∴BC=.‎ ‎∴B1C=‎ 在Rt△A1B1C1,∠B1=∠45°,‎ 57‎ ‎∴.‎ ‎∴A1C1==.‎ ‎(2)∵∠ACM=30°,∠A=60°,‎ ‎∴∠BMC=90°.‎ ‎∴∠C1=∠BMC.‎ ‎∴B1C1∥AB.‎ ‎(3)如下图:‎ 由(1)可知:A1C1===3+‎ ‎∴△A1B1C1的面积==‎ ‎∵∠A1B1C1=45°,∠ABC=30°‎ ‎∴∠MBC1=15°‎ 在Rt△BC1M中,C1M=BCtan15°=(3+)(2﹣)=3﹣,‎ ‎∴Rt△BC1M的面积===3.‎ ‎∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3+3.‎ ‎(4)如下图:过点B1作B1E⊥BC,垂足为E.‎ 57‎ 由(1)可知:BC=,A1C1=,‎ ‎∵∠MCA=60°,∠A=60°,‎ ‎∴∠AMC=60°‎ ‎∴MC=AC=MA=a.‎ ‎∴C1M=C1A1﹣MC=.‎ ‎∵∠MCA=60°,‎ ‎∴∠C1A1B=30°,‎ ‎∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°‎ 在Rt△DC1M中,由特殊锐角三角函数可知:DC1=C1M•tan60°=a,‎ ‎∴三角形DC1M的面积=C1M•DC1=a2,‎ 在Rt△BB1C中,C1B=BC=,∠BCB1=15°,由特殊锐角三角函数可知:B1E=C1B•sin15°=,‎ 在Rt△FC1C中,C1C=,∠CC1F=30°,由特殊锐角三角函数可知:CF=CC1÷=.‎ ‎∴三角形FB1C的面积==.‎ 两个三角板重叠部分图形的面积=△A1C1B1的面积﹣三角形FB1C的面积﹣三角形DC1M的面积=.‎ 点评:‎ 本题主要考查的是锐角三角函数和三角形的综合应用,难度较大,解答本题的关键是灵活应用锐角函数求得相关线段的长度.‎ ‎27.(6分)(2015•黔南州)(第21题)如图是一座人行天桥的示意图,天桥的高度是10米,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡度为i=:3.若新坡角下需留3米宽的人行道,问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除?(参考数据:≈1.414,≈1.732)‎ 考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题..‎ 专题: 应用题.‎ 57‎ 分析: 需要拆除,理由为:根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形,求出AB的长,在直角三角形BCD中,根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30,利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长,再利用勾股定理求出DB的长,由DB﹣AB求出AD的长,由AD+3与10比较即可得到结果.‎ 解答: 解:需要拆除,理由为:‎ ‎∵CB⊥AB,∠CAB=45°,‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形,‎ ‎∴AB=BC=10米,‎ 在Rt△BCD中,新坡面DC的坡度为i=:3,即∠CDB=30°,‎ ‎∴DC=2BC=20米,BD==10米,‎ ‎∴AD=BD﹣AB=(10﹣10)米≈7.32米,‎ ‎∵3+7.32=10.32>10,‎ ‎∴需要拆除.‎ 点评: 此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,涉及的知识有:勾股定理,等腰直角三角形的性质,含30度直角三角形的性质,坡角与坡度之间的关系,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎28.(2015•铜仁市)(第22题)如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.己知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?(≈1.732)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析:‎ 如图,直角△ACD和直角△ABD有公共边AD,在两个直角三角形中,利用三角函数即可用AD表示出CD与BD,根据CB=BD﹣CD即可列方程,从而求得AD的长,与170海里比较,确定轮船继续向前行驶,有无触礁危险.‎ 解答:‎ 解:该轮船不改变航向继续前行,没有触礁危险 理由如下:如图所示.‎ 则有∠ABD=30°,∠ACD=60°.‎ 57‎ ‎∴∠CAB=∠ABD,‎ ‎∴BC=AC=200海里.‎ 在Rt△ACD中,设CD=x海里,‎ 则AC=2x,AD===x,‎ 在Rt△ABD中,AB=2AD=2x,‎ BD===3x,‎ 又∵BD=BC+CD,‎ ‎∴3x=200+x,‎ ‎∴x=100.‎ ‎∴AD=x=100≈173.2,‎ ‎∵173.2海里>170海里,‎ ‎∴轮船不改变航向继续向前行使,轮船无触礁的危险.‎ 点评:‎ 本题主要考查了三角形的计算,一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算,计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路.‎ ‎29.(2015•甘肃天水,第20题,9分)2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20千米.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈1.41,≈1.73)‎ 考点: 解直角三角形的应用.‎ 分析: 首先过C作CD⊥AB,设CD=x米,则DB=CD=x米,AD=CD=x米,再根据AB相距2米可得方程x﹣x=2,再解即可.‎ 解答: 解:过C作CD⊥AB,‎ 设CD=x米,‎ ‎∵∠ABE=45°,‎ 57‎ ‎∴∠CBD=45°,‎ ‎∴DB=CD=x米,‎ ‎∵∠CAD=30°,‎ ‎∴AD=CD=x米,‎ ‎∵AB相距2米,‎ ‎∴x﹣x=2,‎ 解得:x=.‎ 答:命所在点C与探测面的距离是米.‎ 点评: 此题主要考查了解直角三角形的应用,关键是正确分析出CD、AD、BD的关系.‎ ‎ ‎ ‎30.(2015•湖南湘西州,第25题,12分)如图,台风中心位于点O处,并沿东北方向(北偏东45°),以40千米/小时的速度匀速移动,在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响,在点O的正东方向,距离60千米的地方有一城市A.‎ ‎(1)问:A市是否会受到此台风的影响,为什么?‎ ‎(2)在点O的北偏东15°方向,距离80千米的地方还有一城市B,问:B市是否会受到此台风的影响?若受到影响,请求出受到影响的时间;若不受到影响,请说明理由.‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析: (1)过点A作AD⊥OD于点D,可求得AD的长为60km,由60>50可知,不会受到台风影响;‎ 57‎ ‎(2)过点B作BG⊥OC于点G,可求得BG的长,由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响,即可知会受到影响,然后由勾股定理求得受影响的范围长,即可求得影响的时间.‎ 解答: 解:(1)作AD⊥OC,‎ ‎∵由题意得:∠DOA=45°,OA=60km,‎ ‎∴AD=DO=60÷=60km,‎ ‎∵60>50,‎ ‎∴A市不会受到此台风的影响;‎ ‎(2)作BG⊥OC于G,‎ ‎∵由题意得:∠BOC=30°,OB=80km,‎ ‎∴BG=OB=40km,‎ ‎∵40<50,‎ ‎∴会受到影响,‎ 如图:BE=BF=50km,‎ ‎∴EG==30km,‎ ‎∴EF=2EG=60km,‎ ‎∵风速为40km/h,‎ ‎∴60÷40=1.5小时,‎ ‎∴影响时间约为1.5小时.‎ 点评: 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎31.(2015•江苏镇江,第24题,6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).‎ 57‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析: 作AD⊥BC于D,根据题意求出∠ABD=45°,得到AD=BD=30,求出∠C=60°,根据正切的概念求出CD的长,得到答案.‎ 解答: 解:作AD⊥BC于D,‎ ‎∵∠EAB=30°,AE∥BF,‎ ‎∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,‎ ‎∴∠ABD=45°,又AB=60,‎ ‎∴AD=BD=30,‎ ‎∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,‎ ‎∴∠C=60°,‎ 在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=30,‎ 则tanC=,‎ ‎∴CD==10,‎ ‎∴BC=30+10.‎ 故该船与B港口之间的距离CB的长为30+10海里.‎ 点评: 本题考查的是解直角三角形的知识的应用,掌握锐角三角函数的概念、选择正确的三角函数是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎32.(2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第19 题6分)热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处于地面距离为420米,求这栋楼的高度.‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 57‎ 分析:‎ 过A作AE⊥BC,交CB的延长线于点E,先解Rt△ACD,求出CD的长,则AE=CD,再解Rt△ABE,求出BE的长,然后根据BC=AD﹣BE即可得到这栋楼的高度.‎ 解答:‎ 解:过A作AE⊥BC,交CB的延长线于点E,‎ 在Rt△ACD中,‎ ‎∵∠CAD=30°,AD=420米,‎ ‎∴CD=AD•tan30°=420×=140(米),‎ ‎∴AE=CD=140米.‎ 在Rt△ABE中,‎ ‎∵∠BAE=30°,AE=140米,‎ ‎∴BE=AE•tan30°=140×=140(米),‎ ‎∴BC=AD﹣BE=420﹣140=280(米),‎ 答:这栋楼的高度为280米.‎ 点评:‎ 本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算.‎ ‎ ‎ ‎33.(2015•恩施州第20题8分)如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里,参考数据:≈1.732)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析:‎ 过点C作CD⊥AB于点D,则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度,利用锐角三角函数关系进行求解即可.‎ 解答:‎ 解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,‎ 57‎ AB=20×1=20(海里),‎ ‎∵∠CAF=60°,∠CBE=30°,‎ ‎∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°,∠CAB=90°﹣∠CAF=30°,‎ ‎∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°,‎ ‎∴∠C=∠CAB,‎ ‎∴BC=BA=20(海里),‎ ‎∠CBD=90°﹣∠CBE=60°,‎ ‎∴CD=BC•sin∠CBD=≈17(海里).‎ 点评:‎ 此题主要考查了方向角问题,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.‎ ‎34.(2015•黄石第22题,8分)如图所示,体育场内一看台与地面所成夹角为30°,看台最低点A到最高点B的距离为10,A,B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE.在A,B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°(仰角即视线与水平线的夹角)‎ ‎(1)求AE的长;‎ ‎(2)已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处,这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升,求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒?‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 分析:‎ ‎(1)先求得∠ABE和AEB,利用等腰直角三角形即可求得AE;‎ ‎(2)在RT△ADE中,利用sin∠EAD=,求得ED的长,即可求得这面旗到达旗杆顶端需要的时间.‎ 解答:‎ 解:(1)∵BG∥CD,‎ ‎∴∠GBA=∠BAC=30°,‎ 又∵∠GBE=15°,‎ ‎∴∠ABE=45°,‎ ‎∵∠EAD=60°,‎ ‎∴∠BAE=90°,‎ ‎∴∠AEB=45°,‎ ‎∴AB=AE=10,‎ 故AE的长为10米.‎ 57‎ ‎(2)在RT△ADE中,sin∠EAD=,‎ ‎∴DE=10×=15,‎ 又∵DF=1,‎ ‎∴FE=14,‎ ‎∴时间t==28(秒).‎ 故旗子到达旗杆顶端需要28秒.‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形的应用,此类问题的解决关键是建立数学建模,把实际问题转化成数学问题,利用数学知识解决.‎ ‎35.(2015•青岛,第19题6分)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)‎ ‎(参考数据:sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析:‎ 作AD⊥BC交CB的延长线于D,设AD为x,表示出DB和DC,根据正切的概念求出x的值即可.‎ 解答:‎ 解:作AD⊥BC交CB的延长线于D,设AD为x,‎ 由题意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°,‎ 在Rt△ADB中,∠ABD=45°,‎ ‎∴DB=x,‎ 在Rt△ADC中,∠ACD=35°,‎ ‎∴tan∠ACD=,‎ ‎∴=,‎ 解得,x≈233m.‎ 57‎ 点评:‎ 本题考查的是解直角三角形的应用,理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键,解答时,注意正确作出辅助线构造直角三角形.‎ ‎36.(2015•烟台,第22题9分)‎ 如图1,滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯,灯杆顶端装有风力发电机,中间装有太阳能板,下端装有路灯。该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2,已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF,路灯顶端E距离地面6米,DE=1.8米,,且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为,AB=1.5米,CD=1米。为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍旋转,叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米,求灯杆OF至少要多高?(利用科学计算器可求得,,,结果保留两位小数)‎ 考点:‎ 解直角三角形 分析:‎ 解直角△ABC求出线段AC的长度,再解直角△DEG求出线段DG的长,进而求出DF的长,即可求出电线杆的长为DF+CD+AC+1.5‎ 解答:‎ ‎【解】在Rt△ACB中,AC=cos∠CAB·AB,∴AB的倾斜角为43°,AB=1.5‎ ‎∴AC=0.7314×1.5=1.0971,过点E作EG⊥OF,又∵∠CDE=60°.‎ ‎∴DG= cos∠CDE·DE= cos60°×1.8=0.5×1.8=0.9,(米),‎ 57‎ ‎∴DF=6-0.9=5.1(米),‎ ‎∴OF=DF+CD+AC+1.5=5.1+1+1.0971+1.5=7.6971≈7.70(米)‎ 答:灯杆OF至少要7.70米.‎ 点评:‎ 本题中从实际生活在实例引入直角三角形,然后应用解直角三角形的知识求解,符合数学生活化的理念,在数学解法中构建直角三角形是前提,选准锐角三角函数是关键。‎ ‎37. (2015•江苏南通,第20题8分)如图,一海伦位于灯塔P的西南方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正东方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处,求航程AB的值(结果保留根号).‎ ‎ ‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 过P作PC垂直于AB,在直角三角形ACP中,利用锐角三角函数定义求出AC与PC的长,在直角三角形BCP中,利用锐角三角函数定义求出CB的长,由AC+CB求出AB的长即可.‎ 解答: 解:过P作PC⊥AB于点C,‎ 在Rt△ACP中,PA=40海里,∠APC=45°,sin∠APC=,cos∠APC=,‎ ‎∴AC=AP•sin45°=40×=40(海里),PC=AP•cos45°=40×=40(海里),‎ 在Rt△BCP中,∠BPC=60°,tan∠BPC=,‎ ‎∴BC=PC•tan60°=40(海里),‎ 则AB=AC+BC=(40+40)海里.‎ 57‎ 点评: 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.‎ ‎38. (2015•江苏宿迁,第22题6分)如图,观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上,从点A处测得楼顶端B的仰角为22°,此时点E恰好在AB上,从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°.已知旗杆DE的高度为12米,试求楼房CB的高度.(参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,sin38.5°≈0.62,cos38.5°≈0.78,tan38.5°≈0.80)‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..‎ 专题: 应用题.‎ 分析: 由ED与BC都和AC垂直,得到ED与BC平行,得到三角形AED与三角形ABC相似,由相似得比例,在直角三角形AED中,利用锐角三角函数定义求出AD的长,在直角三角形BDC中,利用锐角三角函数定义求出BC的长即可.‎ 解答: 解:∵ED⊥AC,BC⊥AC,‎ ‎∴ED∥BC,‎ ‎∴△AED∽△ABC,‎ ‎∴=,‎ 在Rt△AED中,DE=12米,∠A=22°,‎ ‎∴tan22°=,即AD==30米,‎ 在Rt△BDC中,tan∠BDC=,即tan38.5°==0.8①,‎ ‎∵tan22°===0.4②,‎ 联立①②得:BC=24米.‎ 点评: 此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.‎ ‎39. (2015•江苏泰州,第23题10分)如图,某仓储中心有一斜坡AB,其坡度为i=1:2,顶部A处的高AC为4m,B、C在同一水平地面上.‎ ‎(1)求斜坡AB的水平宽度BC;‎ 57‎ ‎(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=2.5m,EF=2m,将该货柜沿斜坡向上运送,当BF=3.5m时,求点D离地面的高.(≈2.236,结果精确到0.1m)‎ 考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题..‎ 分析: (1)根据坡度定义直接解答即可;‎ ‎(2)作DS⊥BC,垂足为S,且与AB相交于H.证出∠GDH=∠SBH,根据=,得到GH=1m,利用勾股定理求出DH的长,然后求出BH=5m,进而求出HS,然后得到DS.‎ 解答: 解:(1)∵坡度为i=1:2,AC=4m,‎ ‎∴BC=4×2=8m.‎ ‎(2)作DS⊥BC,垂足为S,且与AB相交于H.‎ ‎∵∠DGH=∠BSH,∠DHG=∠BHS,‎ ‎∴∠GDH=∠SBH,‎ ‎∴=,‎ ‎∵DG=EF=2m,‎ ‎∴GH=1m,‎ ‎∴DH==m,BH=BF+FH=3.5+(2.5﹣1)=5m,‎ 设HS=xm,则BS=2xm,‎ ‎∴x2+(2x)2=52,‎ ‎∴x=m,‎ ‎∴DS=+=2m≈4.5m.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题,熟悉坡度坡角的定义和勾股定理是解题的关键.‎ ‎40. (2015•江苏盐城,第25题10分)如图所示,一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米,现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.(取1.73)‎ ‎(1)求楼房的高度约为多少米?‎ ‎(2)过了一会儿,当α=45°时,问小猫能否还晒到太阳?请说明理由.‎ 57‎ 考点: 解直角三角形的应用.‎ 分析: (1)在Rt△ABE中,由tan60°==,即可求出AB=10•tan60°=17.3米;‎ ‎(2)假设没有台阶,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为点F,与MC的交点为点H.由∠BFA=45°,可得AF=AB=17.3米,那么CF=AF﹣AC=0.1米,CH=CF=0.1米,所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上,故小猫仍可以晒到太阳.‎ 解答: 解:(1)当α=60°时,在Rt△ABE中,‎ ‎∵tan60°==,‎ ‎∴AB=10•tan60°=10≈10×1.73=17.3米.‎ 即楼房的高度约为17.3米;‎ ‎(2)当α=45°时,小猫仍可以晒到太阳.理由如下:‎ 假设没有台阶,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为点F,与MC的交点为点H.‎ ‎∵∠BFA=45°,‎ ‎∴tan45°==1,‎ 此时的影长AF=AB=17.3米,‎ ‎∴CF=AF﹣AC=17.3﹣17.2=0.1米,‎ ‎∴CH=CF=0.1米,‎ ‎∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上,‎ ‎∴小猫仍可以晒到太阳.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,理解题意,将实际问题转化为数学问题是解题的关键. ‎ 57‎
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