中考数学方案设计型专题复习

中考数学方案设计型专题复习

方案设计型 ㈠应用方程（组）不等式（组）解决方案设计型 例1．（2009·益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．‎ ‎(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；‎ ‎(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．‎ 解析：此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用．，以两人的用的总钱数为等量关系，可以列出方程组．第二问注意“不少”的含义可以根据总钱数和钢笔与笔记本的数量关系列出不等式组．‎ 解：（1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元，依题意得： 解得：‎ 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元 ‎ (2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－a)本 依题意得：，解得：，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24．‎ 点评：解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系，（或不等关系）列出相应的方程（或不等式组）．‎ 同步检测:‎ ‎1 (2009·安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？‎ ‎（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？‎ 说明理由． ‎ ‎2.（2009·益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．‎ ‎(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；‎ ‎(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．‎ 练习参考答案：‎ ‎1. 解：（1）设成人人数为x人，则学生人数为(12-x)人． 则 ‎35x + （12 –x）= 350 解得：x = 8 ‎ 故：学生人数为12 – 8 = 4 人, 成人人数为8人．‎ ‎（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：35×0．6×16 = 336元 ‎ 336﹤350 所以，购团体票更省钱．所以，有成人8人，学生4人；购团体票更省钱．‎ ‎2. 解：（1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元，依题意得： 解得：‎ 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元 ‎ (2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－a)本 依题意得：，解得：，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． ‎ 二、应用函数设计方案问题：‎ 例2．（2009·安徽）（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．‎ ‎ ‎ ‎（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．‎ ‎（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2‎ ‎）所示，该经销商拟每日售出‎60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．‎ 解析：此类试题结合函数图像所提供的信息，对信息加工应用，可以求出函数解析式，分析题意，根据：销售利润=日最高销售量×每千克的利润（每千克的利润＝零售价－批发价），由此整理可得到关于的二次函数，‎ 解：（１）图①表示批发量不少于‎20kg且不多于‎60kg的该种水果，可按5元/kg批发；图②表示批发量高于‎60kg的该种水果，可按4元/kg批发． ‎ ‎（2）由题意得：，函数图象略．‎ 由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．‎ ‎（3）设日最高销售量为xkg（x＞60）‎ 则由图②日零售价p满足：，于是 销售利润,当x＝80时，，此时p＝6‎ 即经销商应批发‎80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元 点评：注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点的意义的理解与应用．‎ 同步检测:‎ ‎3：（2009·四川省南充市）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：‎ 方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有分钟，上网费用为元．‎ ‎（1）分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费元与上网时间分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象；‎ ‎（2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？‎ ‎10‎ ‎100‎ y/元 O x/分 ‎20‎ ‎50‎ ‎500‎ P 方式A 方式B ‎10‎ ‎100‎ y/元 O ‎（图7）‎ x/分 练习参考答案：‎ 练习3。（1）方式A：，‎ 方式B：，两个函数的图象如图所示． ‎ ‎（2）解方程组 得 所以两图象交于点P（500，50）．‎ 由图象可知：当一个月内上网时间少于500分时，选择方式A省钱；当一个月内上网时间等于500分时，选择方式A、方式B一样；当一个月内上网时间多于500分时，选择方式B省钱．‎ 三、 设计图形剪拼方案 例3．（2009·浙江省温州市）在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．‎ ‎ (1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)‎ 解析：本题为图案设计题，在设计前一定要注意到要求,除了要满足所画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上外，还要满足平行四边形的周长是否为整数的要求．‎ 点评：本题考查的是设计图形题，在读清要求后，然后根据要求，进行方案的尝试设计，一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决.‎ 同步检测:‎ ‎4。 (2009·河南）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ 提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．‎ 练习参考答案：‎ 解：下面给出参考方案：‎ 四、 设计测量方案（解直角三角形应用）‎ 例4．（2009·济宁）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112‎ 年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子．‎ ‎（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高． 图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶的仰角，在点和塔之间选择一点，测出看塔顶的仰角，然后用皮尺量出．两点的距离为m,自身的高度为m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（，结果保留整数）．‎ ‎（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影的长为m（如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： ‎ ‎①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ； ‎ ‎②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ ．‎ 解析：本题以解直角三角形为依托，通过设计实际的测量活动，使学生能够灵活的应用所学知识，解决实际生活的问题，第二问是在解决了第一问的基础上让学生另行设计一种测量方案，但是要注意提供的工具和数据的选择使用．‎ 解：（1）设的延长线交于点，长为，则．‎ ‎∵,∴．∴．‎ ‎∵,∴,解得．‎ ‎∴太子灵踪塔的高度为．‎ ‎(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P点看塔顶的仰角．自身的高度． (注：答案不唯一)‎ 点评：本类试题关键在于画出直角三角形，再分析角边关系，选择合适的三角函数求解，另外要注意设计的方案因为工具的选择不同而方法的多样性，还经常与相似三角形结合．‎ 同步检测:‎ ‎5。（2009·四川省成都市）某中学九年级学生在学习 ‎“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度 的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，‎ 他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，‎ 然后向教学楼前进‎60米到达点D，又测得点A的仰 角为45°.请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)‎ 练习参考答案：‎ 解：（1）设的延长线交于点，长为，则．‎ ‎∵,∴．∴．‎ ‎∵,∴,解得．‎ ‎∴太子灵踪塔的高度为．‎ ‎(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P点看塔顶的仰角．自身的高度． (注：答案不唯一)‎ 练习6.如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45°‎ ‎∴在Rt△ABD中，BD=AB.‎ 又在Rt△ABC中，tan30°=，∴=，即BC=AB.‎ ‎∵BC=CD＋BD，∴AB=CD＋AB，即（－1）AB=60.‎ ‎∴AB==30（＋1）（米）‎ 答：教学楼的高度为30（＋1）米.‎ 五、设计游戏方案（概率应用）‎ 例5.(2009·重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．‎ ‎（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；‎ ‎（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．‎ 解析：修改游戏规则，首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不相等通过修改规则使得概率对两方相等了，所以应现将两个人的获胜概率计算出来．‎ 解：列树形图如下：‎ 由树形图可见共有12种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分别为，，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等，我们可以修改为：若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数，小红赢．‎ 点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，游戏公平性方案设计，其关键是保证游戏双方获胜的概率相同．‎ 同步检测:‎ ‎(2009·广东省梅州市）“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： ‎ ‎（1）前往 A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%； ‎ ‎（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______； ‎ ‎（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？‎ A B C 地点 车票(张)‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎ ‎ 练习参考答案：‎ ‎（1）30；20．（2）．‎ ‎（3）可能出现的所有结果列表如下：‎ 小李抛到的数字 小张抛到 的数字 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（1，2）‎ ‎（1，3）‎ ‎（1，4）‎ ‎2‎ ‎（2，1）‎ ‎（2，2）‎ ‎（2，3）‎ ‎（2，4）‎ ‎3‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，3）‎ ‎（3，4）‎ ‎4‎ ‎（4，1）‎ ‎（4，2）‎ ‎（4，3）‎ ‎（4，4）‎ 或画树状图如下：‎ ‎1 2 3 4‎ ‎1‎ ‎1 2 3 4‎ ‎2‎ ‎1 2 3 4‎ ‎3‎ ‎1 2 3 4‎ ‎4‎ 开始 小张 小李 共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种： ‎ ‎（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）， ‎ ‎∴P（小张获得车票）＝＝；则P（小李获得车票）1－＝．‎ ‎∴这个规则对小张、小李双方不公平．‎ 随堂检测 ‎1．（2009·齐齐哈尔）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）‎ A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 ‎2．（2009·襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县、两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所类学校和两所类学校共需资金230万元；改造两所类学校和一所类学校共需资金205万元．‎ ‎（1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？‎ ‎（2）若该县的类学校不超过5所，则类学校至少有多少所？‎ ‎（3）我市计划今年对该县、两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？‎ ‎3．（2009·天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．‎ 如图①，要设计一幅宽‎20cm，长‎30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？‎ ‎20cm ‎20cm ‎30cm D C A B 图②‎ 图①‎ ‎30cm 分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形．‎ 结合以上分析完成填空：如图②，用含的代数式表示：‎ ‎ =____________________________cm；‎ ‎=____________________________cm；‎ 矩形的面积为_____________cm；‎ 列出方程并完成本题解答．‎ ‎4．（2009·烟台）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．‎ ‎（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）‎ ‎（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？‎ ‎（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？‎ ‎5．(2009·达州)（6分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具、三角尺、标杆、小平面镜等．‎ 首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含30角）来测量”．于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15㎝，小明的眼睛与地面的距离为1．6㎝，如图9（甲）所示．‎ 然后，小红和小强提出了自己的想法．‎ 小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度．”‎ 小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！”‎ 根据以上情景，解答下列问题：‎ ‎（1）利用图9（甲），请你帮助小明求出旗杆AB的高度（结果保留整数．参考数据：，，，）；‎ ‎ ‎ ‎（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中方案在图（乙）中画出测量示意图，并简述测量步骤．‎ ‎6．(2009·漳州)小红与小刚姐弟俩做掷硬币游戏，他们两人同时各掷一枚壹元硬币．‎ ‎（1）若游戏规则为：当两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢，否则小刚赢．请用画树状图或列表的方法，求小刚赢的概率； ‎ ‎（2）小红认为上面的游戏规则不公平，于是把规则改为：当两枚硬币正面都朝上时，小红得8分，否则小刚得4分．那么，修改后的游戏规则公平吗？请说明理由；若不公平，请你帮他们再修改游戏规则，使游戏规则公平（不必说明理由）．‎ 随堂检测参考答案：‎ ‎1．C ‎ ‎2．解：（1）设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和万元．依题意得：‎ 解之得 答：改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．‎ ‎（2）设该县有、两类学校分别为所和所．则 ‎∵类学校不超过5所 ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即：类学校至少有15所．‎ ‎（3）设今年改造类学校所，则改造类学校为所，依题意得：‎ 解之得 ‎∵取整数 ‎∴‎ 即：共有4种方案．‎ ‎3．解（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，得．‎ 整理，得．‎ 解方程，得（不合题意，舍去）．‎ 则．‎ 答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm．‎ ‎4． 解：（1）根据题意，得，‎ 即． ‎ ‎（2）由题意，得．‎ 整理，得．解这个方程，得． ‎ 要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价200元． ‎ ‎（3）对于，‎ 当时，‎ ‎．‎ 所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元． ‎ ‎5．（1）过点D作DE⊥AB于点E， ‎ 在Rt△BDE中，DE=AC=‎15m，∠BDE=30°‎ ‎∴BE=DE·tan30°≈15×058=870(m) ‎ ‎∴AB=BE+AE=8‎70m+1‎6m=10‎3m≈‎10m ‎ ‎（2）小红和小强提出的方案都是可行的 小红的方案：‎ 利用皮尺和标杆：‎ ‎（1）测量旗杆的影长AG ‎（2）测量标杆EF的长度 ‎（3）测量同一时刻标杆影长FH ‎ 小强的方案：‎ 把小平面镜放在适当的位置（如图点P处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB的顶端 步骤：‎ ‎（1）测出AP的长度 ‎（2）测出NP的长度 ‎（3）测出小强眼睛离地面的高度MN ‎ ‎6． 解：由树形图可见共有4种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小红与小刚的获胜概率分别为，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等或者得分相同，我们可以修改为：两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢；若两枚硬币落地后都反面朝上时，小刚赢，（或者当两枚硬币正面都朝上时，小红得3分，否则小刚得1分）‎