人教版九年级上册数学同步作业含详细解答 222 二次函数与一元二次方程A组中考模拟及真题演练

人教版九年级上册数学同步作业含详细解答 222 二次函数与一元二次方程A组中考模拟及真题演练

人教版九年级上册数学同步作业含详细解答 ‎22.2 二次函数与一元二次方程A组 ‎（2019模拟及中考真题演练）‎ ‎1．（2019朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，则方程x2+x+1=0的根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 ‎ 解：二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点，‎ 则方程x2+x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根．‎ 答案B．‎ ‎2．（2019邵阳模拟）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：‎ ‎①对称轴为直线x=2；‎ ‎②当y≤0时，x＜0或x＞4；‎ ‎③函数解析式为y=﹣x2+4x；‎ ‎④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（　　）‎ A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④‎ ‎ 解：由图象得抛物线的对称轴为直线x=2，所以①正确；‎ 当y≤0时，x≤0或y≥4，所以②错误；‎ 抛物线经过点（0，0），（4，0），（2，4），‎ 所以抛物线解析式为y=ax（x﹣4），‎ 把（2，4）代入得a•2（2﹣4）=4，解得a=﹣1，‎ 则抛物线解析式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+4x，所以③正确；‎ 当x≤0时，y随x的增大而增大，所以④正确．‎ 答案D．‎ ‎3．（2019桂平市一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（　　）‎ A．x＞4或x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．﹣2＜x＜3 D．0＜x＜3‎ ‎ 解：∵y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），‎ ‎∴y＜0时x的范围是﹣2＜x＜4，‎ 答案B． ‎ ‎4．（2019河东区二模）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－ ‎－ ‎－ ‎…‎ 则下列说法错误的是（　　）‎ A．二次函数图象与x轴交点有两个 B．x≥2时y随x的增大而增大 C．二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1～0之间，另一个在2～3之间 D．对称轴为直线x=1.5‎ ‎ 解：A、由图表数据可知x=1时，y的值最，所以，抛物线开口向上．所以该抛物线与x轴有两个交点．故本选项正确；‎ B、根据图表知，当x≥2时y随x的增大而增大．故本选项正确；‎ C、抛物线的开方方向向上，抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣），对称轴是x=1，所以二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1～0之间，另一个在2～3之间．故本选项正确；‎ D、因为x=0和x=2时的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x=1．故本选项错误；‎ 答案D．‎ ‎5．（2019资中县一模）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是　 　．‎ ‎ 解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，‎ 故答案为：x1=﹣1，x2=3．‎ ‎6．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是　 　．‎ ‎ 解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），‎ ‎∴方程组的解为，，‎ 即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．‎ 所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1‎ 故答案为x1=﹣2，x2=1．‎ ‎7．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　 　． ‎ x ‎…‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎ 解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，‎ ‎∴对称轴x==1；‎ 点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），‎ 因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．‎ 故答案为：（3，0）．‎ ‎8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎﹣5‎ ‎﹣4‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣5‎ ‎﹣6‎ ‎﹣5‎ ‎…‎ 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是　 　．‎ ‎ 解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，‎ ‎∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，‎ ‎∵x=﹣4时，y=﹣2，‎ ‎∴x=0时，y=﹣2，‎ ‎∴方程ax2+bx+c=﹣2的解是x1=﹣4，x2=0．‎ 故答案为：x1=﹣4，x2=0．‎ ‎9．抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为　 　．‎ ‎ 解：∵抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，‎ ‎∴△=36﹣12a=0，‎ 解得：a=3，‎ 故答案为：3‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x与x轴交于点A，点M是x轴上方抛数线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形MNPQ，连结NQ，则对角线NQ的取值范围为　 　．‎ ‎ 解：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，‎ ‎∴MP的最大值是4，‎ ‎∵以MP为对角线作矩形MNPQ，‎ ‎∴NQ=MP，‎ ‎∵点M是x轴上方抛数线上任意一点，MP⊥x轴于点P，‎ ‎∴0＜MP≤4，‎ ‎∴0＜NQ≤4，‎ 故答案为：0＜NQ≤4．‎ ‎11．已知抛物线y=3x2﹣4x+c的顶点在x轴上方，则c应满足的条件　 　．‎ ‎ 解：抛物线y=3x2﹣4x+c的开口向上，‎ 其顶点的纵坐标为： ‎= ‎= 由于抛物线的顶点在x轴上方，‎ 所以＞0‎ 解得：c＞ 故答案为：c＞ ‎12．二次函数y=x2+mx+m﹣2的图象与x轴有　 　个交点．‎ ‎ 解：y=x2+mx+m﹣2=0，‎ b2﹣4ac=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，‎ ‎∵（m﹣2）2≥0，‎ ‎∴（m﹣2）2+4＞0，‎ ‎∴二次函数y=x2+mx+m﹣2的图象与x轴有2个交点．‎ 故答案为：2．‎ ‎13．若函数y=ax2+2x﹣1的图象与x轴有公共点，则实数a的取值范围　 　．‎ ‎ 解：∵函数y=ax2+2x﹣1的图象与x轴有公共点，‎ ‎∴△=4+4a≥0，‎ 解得：a≥﹣1，‎ 故答案为：a≥﹣1‎ ‎14．若抛物线y=﹣x2﹣2x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是　 　．‎ ‎ 解：∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m与x轴没有交点，‎ ‎∴△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）×m＜0，‎ 解得：m＜﹣1，‎ 故答案为：m＜﹣1．‎ ‎15．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为　 　．‎ ‎ 解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得 ‎﹣42+2×4+m=0‎ 解得m=8 ①‎ 把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得 ‎﹣x2+2x+8=0，②‎ 解②得 x1=4，x2=﹣2，‎ 故答案为x1=4，x2=﹣2．‎ ‎16．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：‎ ‎①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；‎ ‎④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有　 　 （填序号）‎ ‎ 解：由图象开口向下，可知a＜0，‎ 与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，‎ 又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，‎ ‎∴abc＞0，故①正确；‎ 由图象可知当x=3时，y＞0，‎ ‎∴9a+3b+c＞0，故②错误；‎ 由图象可知OA＜1，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴OC＜1，即﹣c＜1，‎ ‎∴c＞﹣1，故③正确；‎ 假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，‎ 整理可得ac﹣b+1=0，‎ 两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，‎ 即方程有一个根为x=﹣c，‎ 由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，‎ ‎∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；‎ 综上可知正确的结论有三个：①③④．‎ 故答案为：①③④．‎ ‎17．（2019东明县一模）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点 ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．‎ ‎ 解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣x2+bx+c，‎ 得：解得，‎ ‎∴这个二次函数的解析式为y=﹣x2+4x﹣6．‎ ‎（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣=4，‎ ‎∴点C的坐标为（4，0），‎ ‎∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，‎ ‎∴S△ABC=×AC×OB=×2×6=6．‎ ‎18．（2019云南中考）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．‎ ‎（1）求b，c的值．‎ ‎（2）二次函数y=﹣x2+bx+‎ c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．‎ ‎ 解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，得 解得；‎ ‎（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3．‎ ‎△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，‎ 所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点．‎ ‎∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8‎ ‎∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．‎ ‎19．（2019南京中考）已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．‎ ‎（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；‎ ‎（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？‎ ‎ （1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，‎ 解得：x1=1，x2=m+3．‎ 当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；‎ 当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．‎ ‎∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；‎ ‎（2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，‎ ‎∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，‎ ‎∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．‎ ‎20．（2019长丰县二模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△‎ BCD面积的最大值及此时点D的坐标．‎ ‎ 解：（1）将A，C代入得：，‎ 解得：，‎ 则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，‎ ‎∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，‎ 当m=2时，S△BCD取得最大值4，‎ 此时yD=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．‎ ‎21．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明；‎ ‎（3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．‎ ‎ 解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），‎ 即y=ax2+3ax﹣4a，‎ ‎∴﹣4a=2，解得a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；‎ ‎（2）△ABC为直角三角形．理由如下：‎ 当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2），‎ ‎∵A（﹣4，0），B （1，0），‎ ‎∴AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=52=25，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；‎ ‎（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣，‎ 连接AC交直线x=﹣于P点，如图，‎ ‎∵PA=PB，‎ ‎∴PB+PC=PA+PC=AC，‎ ‎∴此时PB+PC的值最小，△PBC周长最小，‎ 设直线AC的解析式为y=kx+m，‎ 把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+2，‎ 当x=﹣时，y=x+2=，则P（﹣，）‎ ‎∴当P点坐标为（﹣，）时，△PBC周长最小．‎ ‎22．（2019阜阳模拟）如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．‎ ‎（1）求m的值及点B的坐标；‎ ‎（2）求△ABC的面积；‎ ‎（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．‎ ‎ 解：（1）∵函数过A（3，0），‎ ‎∴﹣18+12+m=0，‎ ‎∴m=6，‎ ‎∴该函数解析式为：y=﹣2x2+4x+6，‎ ‎∴当﹣2x2+4x+6=0时，x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣1，0）；‎ ‎（2）当x=0时，y=6，‎ 则C点坐标为（0，6），‎ ‎∴S△ABC==12；‎ ‎（3）∵S△ABD=S△ABC=12，‎ ‎∴S△ABD==12，‎ ‎∴|h|=6，‎ ‎①当h=6时：﹣2x2+4x+6=6，‎ 解得：x1=0，x2=2‎ ‎∴D点坐标为（0，6）或（2，6）；‎ ‎②当h=﹣6时：﹣2x2+4x+6=﹣6，‎ 解得：x1=1+，x2=1﹣ ‎∴D点坐标为（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）；‎ ‎∴D点坐标为（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）．‎