德州中考数学试题含答案Word

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‎2016年山东省德州市中考数学试题 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分 ‎1．2的相反数是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎2．下列运算错误的是（　　）‎ A．a+2a=3a B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a5 D．a6÷a3=a2‎ ‎3．2016年第一季度，我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元，408万用科学记数法表示正确的是（　　）‎ A．408×104 B．4.08×104 C．4.08×105 D．4.08×106‎ ‎4．图中三视图对应的正三棱柱是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列说法正确的是（　　）‎ A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查;‎ B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查;‎ C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件;‎ D．“经过由交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 ‎6．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）‎ A．65° B．60° C．55° D．45°‎ ‎7．化简﹣等于（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎8．某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况，抽查了100名同学，统计它们假期参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图（如图），则参加社团活动时间的中位数所在的范围是（　　）‎ A．4﹣6小时 B．6﹣8小时 C．8﹣10小时 D．不能确定 ‎9．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（　　）‎ A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 ‎10．下列函数中，满足y的值随x的值增大而增大的是（　　）‎ A．y=﹣2x B．y=3x﹣1 C．y= D．y=x2‎ ‎11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（　　）‎ A．3步 B．5步 C．6步 D．8步 ‎12．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：‎ ‎①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．‎ 上述结论中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分 ‎13．化简的结果是　　　　　　．‎ ‎14．正六边形的每个外角是　　　　　　度．‎ ‎15．方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=　　　　　　．‎ ‎16．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是　　　　　　．‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ‎18．解不等式组：．‎ ‎19．在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：‎ 甲：79，86，82，85，83‎ 乙：88，79，90，81，72．‎ 回答下列问题：‎ ‎（1）甲成绩的平均数是　　　　　　，乙成绩的平均数是　　　　　　；‎ ‎（2）经计算知S甲2=6，S乙2=42．你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；‎ ‎（3）如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率．‎ ‎20．2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°‎ ‎（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；‎ ‎（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？‎ ‎（参考数据：son42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）‎ ‎21．某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：‎ ‎ 第1天 第2天 ‎ ‎ 第3天 ‎ 第4天 ‎ 售价x（元/双）‎ ‎ 150‎ ‎ 200‎ ‎ 250‎ ‎ 300‎ ‎ 销售量y（双）‎ ‎ 40‎ ‎ 30‎ ‎ 24‎ ‎ 20‎ ‎（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；‎ ‎（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？‎ ‎22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．‎ ‎（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．‎ ‎23．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．‎ ‎（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．‎ 求证：中点四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；‎ ‎（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）‎ ‎24．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；‎ ‎（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．‎ ‎　‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1．2的相反数是（　　）‎ A． 　　　　B． 　　　　　C．﹣2 　　　　　D．2‎ 解：2的相反数是﹣2，故选：C．‎ ‎2．下列运算错误的是（　　）‎ A．a+2a=3a 　　B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a5 　　　　　D．a6÷a3=a2‎ 解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A正确；‎ B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确；‎ C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；‎ D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；‎ 故选：D．‎ ‎3．2016年第一季度，我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元，408万用科学记数法表示正确的是（　　）‎ A．408×104 　　B．4.08×104 　　C．4.08×105 　　　　D．4.08×106‎ 解：408万用科学记数法表示正确的是4.08×106．故选：D．‎ ‎4．图中三视图对应的正三棱柱是（　　）‎ A． 　B． 　　　C． 　D．‎ 解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定A选项正确．故选A．‎ ‎5．下列说法正确的是（　　）‎ A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．“经过由交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 解：为了审核书稿中的错别字，应选择全面调查，A错误；‎ 为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，B错误；‎ ‎“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，C正确；‎ ‎“经过由交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D错误．‎ 故选：C．‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）‎ A．65° 　　　B．60° 　　　　C．55° 　　　　D．45°‎ 解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，‎ 则AD=DC，故∠C=∠DAC，‎ ‎∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，‎ ‎∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，‎ ‎∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，‎ 故选A．‎ ‎7．化简﹣等于（　　）‎ A． 　　　　　　B． 　　　　C．﹣ 　　　　D．﹣‎ 解：原式=+=+==，故选B ‎8．某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况，抽查了100名同学，统计它们假期参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图（如图），则参加社团活动时间的中位数所在的范围是（　　）‎ A．4﹣6小时 　B．6﹣8小时 　C．8﹣10小时 　　D．不能确定 解：100个数据，中间的两个数为第50个数和第51个数，‎ 而第50个数和第51个数都落在第三组，‎ 所以参加社团活动时间的中位数所在的范围为6﹣8（小时）．‎ 故选B．‎ ‎9．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（　　）‎ A．平移 　　　　B．旋转 　　　C．轴对称　　　　D．位似 解：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；‎ 旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；‎ 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；‎ 位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，‎ 故选：D．‎ ‎10．下列函数中，满足y的值随x的值增大而增大的是（　　）‎ A．y=﹣2x B．y=3x﹣1　 C．y= 　　　　D．y=x2‎ 解：A、在y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴y的值随x的值增大而减小；‎ B、在y=3x﹣1中，k=3＞0，∴y的值随x的值增大而增大；‎ C、在y=中，k=1＞0，∴y的值随x的值增大而减小；‎ D、二次函数y=x2，‎ 当x＜0时，y的值随x的值增大而减小；‎ 当x＞0时，y的值随x的值增大而增大．‎ 故选B．‎ ‎11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（　　）‎ A．3步 　　　B．5步 　　　C．6步 　　　D．8步 解：根据勾股定理得：斜边为=17，‎ 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步，‎ 故选C ‎12．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：‎ ‎①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．‎ 上述结论中正确的个数是（　　）‎ A．1 　　　　　B．2 　　　　　C．3 　　　　　D．4‎ 解：①如图，‎ 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，‎ 作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，‎ ‎∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，‎ ‎∴∠AEM=∠FEN，‎ 在Rt△AME和Rt△FNE中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△AME≌Rt△FNE，‎ ‎∴AM=FN，‎ ‎∴MB=CN．‎ ‎∵AM不一定等于CN，‎ ‎∴AM不一定等于CN，‎ ‎∴①错误，‎ ‎②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，‎ ‎∴∠AME=∠BNE，‎ ‎∴②正确，‎ ‎③由①得，BM=CN，‎ ‎∵AD=2AB=4，‎ ‎∴BC=4，AB=2‎ ‎∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，‎ ‎∴③正确，‎ ‎④如图，‎ 由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN ‎∵tanα=，∴AM=AEtanα ‎∵cosα=，∴cos2α=，‎ ‎∴=1+=1+（）2=1+tan2α，‎ ‎∴=2（1+tan2α）‎ ‎∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN ‎=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM ‎=（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN ‎=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）‎ ‎=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）‎ ‎=AE+AM﹣AE×AM+AM2‎ ‎=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α ‎=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α ‎=2（1+tan2α）‎ ‎=．‎ ‎∴④正确．‎ 故选C．‎ 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分 ‎13．化简的结果是　　．‎ 解：原式==．故答案为．‎ ‎14．正六边形的每个外角是　60　度．‎ 解：正六边形的一个外角度数是：360÷6=60°．故答案为：60．‎ ‎15．方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=　　．‎ 解：∵方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=，x1•x2==﹣，‎ ‎∴x12+x22=﹣2x1•x2=﹣2×（﹣）=．‎ 故答案为：．‎ ‎16．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是　﹣　．‎ ‎　　　　　　　　　　　‎ 解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，‎ 由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，‎ 在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，‎ ‎∴cos∠AOC==，AC==‎ ‎∴∠AOC=60°，AB=2AC=，‎ ‎∴∠AOB=2∠AOC=120°，‎ 则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣××=﹣，‎ S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM=π×12﹣2（﹣）=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为　（21008，21009）　．‎ 解：观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，‎ ‎∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．‎ ‎∵2017=1008×2+1，‎ ‎∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．‎ 故答案为：（21008，21009）．‎ 三、解答题：本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ‎18．解不等式组：．‎ 解：解不等式5x+2≥3（x﹣1），得：x≥﹣，‎ 解不等式1﹣＞x﹣2，得：x＜，‎ 故不等式组的解集为：﹣≤x＜．‎ ‎19．在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：‎ 甲：79，86，82，85，83‎ 乙：88，79，90，81，72．‎ 回答下列问题：‎ ‎（1）甲成绩的平均数是　83　，乙成绩的平均数是　82　；‎ ‎（2）经计算知S甲2=6，S乙2=42．你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；‎ ‎（3）如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率．‎ 解：（1）==83（分），‎ ‎==82（分）；‎ ‎（2）选拔甲参加比赛更合适，理由如下：‎ ‎∵＞，且S甲2＜S乙2，‎ ‎∴甲的平均成绩高于乙，且甲的成绩更稳定，‎ 故选拔甲参加比赛更合适．‎ ‎（3）列表如下：‎ ‎79‎ ‎86‎ ‎82‎ ‎85‎ ‎83‎ ‎88‎ ‎88，79‎ ‎88，86‎ ‎88，82‎ ‎88，85‎ ‎88，83‎ ‎79‎ ‎79，79‎ ‎79，86‎ ‎79，82‎ ‎79，85‎ ‎79，83‎ ‎90‎ ‎90，79‎ ‎90，86‎ ‎90，82‎ ‎90，85‎ ‎90，83‎ ‎81‎ ‎81，79‎ ‎81，86‎ ‎81，82‎ ‎81，85‎ ‎81，83‎ ‎72‎ ‎72，79‎ ‎72，86‎ ‎72，82‎ ‎72，85‎ ‎72，83‎ 由表格可知，所有等可能结果共有25种，其中两个人的成绩都大于80分有12种，‎ ‎∴抽到的两个人的成绩都大于80分的概率为．‎ 故答案为：（1）83，82．‎ ‎20．2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°‎ ‎（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；‎ ‎（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？‎ ‎（参考数据：son42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）‎ 解：（1）在Rt△ALR中，AR=6km，∠ARL=42.4°，‎ 由cos∠ARL=，得LR=AR•cos∠ARL=6×cos42.4°≈4.44（km）．‎ 答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；‎ ‎（2）在Rt△BLR中，LR=4.44km，∠BRL=45.5°，‎ 由tan∠BRL=，得BL=LR•tan∠BRL=4.44×tan45.5°≈4.44×1.02=4.5288（km），‎ 又∵sin∠ARL=，得AL=ARsin∠ARL=6×sin42.4°≈4.02（km），‎ ‎∴AB=BL﹣AL=4.5288﹣4.02=0.5088≈0.51（km）．‎ 答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．‎ ‎21．某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：‎ ‎ 第1天 第2天 ‎ ‎ 第3天 ‎ 第4天 ‎ 售价x（元/双）‎ ‎ 150‎ ‎ 200‎ ‎ 250‎ ‎ 300‎ ‎ 销售量y（双）‎ ‎ 40‎ ‎ 30‎ ‎ 24‎ ‎ 20‎ ‎（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；‎ ‎（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？‎ 解：（1）由表中数据得：xy=6000，∴y=，∴y是x的反比例函数，‎ 故所求函数关系式为y=；‎ ‎（2）由题意得：（x﹣120）y=3000，‎ 把y=代入得：（x﹣120）•=3000，解得：x=240；‎ 经检验，x=240是原方程的根；‎ 答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．‎ ‎22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．‎ ‎（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．‎ ‎　　　　　　　　　　　‎ 解：（1）直线l与⊙O相切．‎ 理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．‎ ‎∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴．∴∠BOE=∠COE．‎ 又∵OB=OC，∴OE⊥BC．‎ ‎∵l∥BC，∴OE⊥l．‎ ‎∴直线l与⊙O相切．‎ ‎（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．‎ 又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，‎ ‎∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．‎ 又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，‎ ‎∴∠EBF=∠EFB．‎ ‎∴BE=EF．‎ ‎（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．‎ ‎∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，‎ ‎∴△BED∽△AEB．‎ ‎∴，即，解得；AE=．‎ ‎∴AF=AE﹣EF=﹣7=．‎ ‎23．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．‎ ‎（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．‎ 求证：中点四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；‎ ‎（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）‎ ‎（1）证明：如图1中，连接BD．‎ ‎∵点E，H分别为边AB，DA的中点，‎ ‎∴EH∥BD，EH=BD，‎ ‎∵点F，G分别为边BC，CD的中点，‎ ‎∴FG∥BD，FG=BD，‎ ‎∴EH∥FG，EH=GF，‎ ‎∴中点四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎（2）四边形EFGH是菱形．‎ 证明：如图2中，连接AC，BD．‎ ‎∵∠APB=∠CPD，‎ ‎∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD，‎ 在△APC和△BPD中，‎ ‎，‎ ‎∴△APC≌△BPD，‎ ‎∴AC=BD ‎∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，‎ ‎∴EF=AC，FG=BD，‎ ‎∵四边形EFGH是平行四边形，‎ ‎∴四边形EFGH是菱形．‎ ‎（3）四边形EFGH是正方形．‎ 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．‎ ‎∵△APC≌△BPD，‎ ‎∴∠ACP=∠BDP，‎ ‎∵∠DMO=∠CMP，‎ ‎∴∠COD=∠CPD=90°，‎ ‎∵EH∥BD，AC∥HG，‎ ‎∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，‎ ‎∵四边形EFGH是菱形，‎ ‎∴四边形EFGH是正方形．‎ ‎　　　　　‎ ‎24．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；‎ ‎（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．‎ 解（1）∵x2+4x+3=0，‎ ‎∴x1=﹣1，x2=﹣3，‎ ‎∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，‎ ‎∴m=﹣1，n=﹣3，‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，‎ ‎（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，‎ ‎∴x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴C（3，0），‎ ‎∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴顶点坐标D（1，﹣4），‎ 过点D作DE⊥y轴，‎ ‎∵OB=OC=3，‎ ‎∴BE=DE=1，‎ ‎∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠OBC=∠DBE=45°，‎ ‎∴∠CBD=90°，‎ ‎∴△BCD是直角三角形；‎ ‎（3）如图，‎ ‎∵B（0，﹣3），C（3，0），‎ ‎∴直线BC解析式为y=x﹣3，‎ ‎∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，‎ ‎∴点M的横坐标为t，‎ ‎∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，‎ ‎∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），‎ 过点Q作QF⊥PM，‎ ‎∴△PQF是等腰直角三角形，‎ ‎∵PQ=，‎ ‎∴QF=1，‎ 当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，‎ PM=t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，‎ ‎∴S=PM×QF=（﹣t2﹣3t）=﹣t2+t，‎ 如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，‎ PM=t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3），‎ ‎∴S=PM×QF=（t2﹣3t）=t2﹣t ‎　‎