2020年中考数学真题汇编 图形的相似

2020年中考数学真题汇编 图形的相似

中考数学真题汇编:图形的相似 一、选择题 ‎1.已知 ，下列变形错误的是（   ） ‎ A.                                B.                                C.                                D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎2.已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的面积比（  ） ‎ A.                                       B.                                       C.                                       D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 ， 和 ，另一个三角形的最短边长为‎2.5 cm，则它的最长边为（    ） ‎ A. ‎3cm                                    B. ‎4cm                                    C. ‎4.5cm                                    D. ‎‎5cm ‎【答案】C ‎ ‎4.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（   ） ‎ A. （5，1）                           B. （4，3）                           C. （3，4）                           D. （1，5）‎ ‎【答案】C ‎ 11‎ ‎5.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（     ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎6.在平面直角坐标系中,点 是线段 上一点,以原点 为位似中心把 放大到原来的两倍,则点 的对应点的坐标为(    ) ‎ A.         B. 或         C.         D. 或 ‎ ‎【答案】B ‎ ‎7.如图，点 在线段 上，在 的同侧作等腰 和等腰 ， 与 、 分别交于点 、 .对于下列结论：① ；② ；③ .其中正确的是（   ） ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A四点共圆 ∴∠APD=AED=90° ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC= AB ∴2CB2=CP•CM 所以③正确 ‎ 11‎ A. ①②③                                     B. ①                                     C. ①②                                     D. ②③‎ ‎【答案】A ‎ ‎8.如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若 ，则 等于（    ）‎ A. 2                                           B. 3                                           C.                                            D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直距离 为(    ) ‎ A.                                   B.                                   C.                                   D. ‎ ‎【答案】C ‎ 11‎ ‎10.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1 ， S2 ， （    ） ‎ A. 若 ，则                              B. 若 ，则 C. 若 ，则                              D. 若 ，则 ‎ ‎【答案】D ‎ ‎11.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ）。‎ A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 4‎ ‎【答案】A ‎ ‎12.如图，已知AB是 的直径，点P在BA的延长线上，PD与 相切于点D ， 过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C ， 若 的半径为4， ，则PA的长为（    ） ‎ 11‎ A. 4                                         B.                                          C. 3                                         D. 2.5‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ‎ ‎13.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为________． ‎ ‎【答案】1:9 ‎ ‎14.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________. ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎15.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________. ‎ ‎【答案】3或1.2 ‎ ‎16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为________． ‎ ‎【答案】‎ 11‎ ‎17.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝ ，则AB的长为________． ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎18.在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,AD、BE相交于点F，且AF=4,EF= ,则AC=________．‎ ‎【答案】‎ ‎19.如图，在矩形 中， ，点 为线段 上的动点，将 沿 折叠，使点 落在矩形内点 处.下列结论正确的是________. （写出所有正确结论的序号） ①当 为线段 中点时， ； ②当 为线段 中点时， ； ③当 三点共线时， ； ④当 三点共线时， . ‎ ‎【答案】①③④ ‎ 11‎ ‎20.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=________. ‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎ ‎21.为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=‎1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02) ‎ ‎【答案】解：如图， ∵FM//BD，∴∠FED=∠MFE=45°， ∵∠DEF=∠BEA，∴∠AEB=45°， ∴∠FEA=90°， ∵∠FDE=∠ABE=90°， ∴△FDE∽△ABE，∴ ， 在Rt△FEA中，∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°，tan84.3°= ， ‎ 11‎ ‎∴ ， ∴AB=1.8×10.02≈18， 答：旗杆AB高约‎18米. ‎ ‎22.如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG于点F，设 。‎ ‎（1）求证：AE=BF； ‎ ‎（2）连接BE，DF，设∠EDF= ，∠EBF= 求证： ‎ ‎（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2 ， 求 的最大值． ‎ ‎【答案】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAF+∠EAD=90°，又因为DE⊥AG，所以∠EAD+∠ADE=90°， 所以∠ADE=∠BAF， 又因为BF⊥AG， 所以∠DEA=∠AFB=90°， 又因为AD=AB 所以Rt△DAE≌Rt△ABF， 所以AE=BF （2）易知Rt△BFG∽Rt△DEA，所以 在Rt△DEF和Rt△BEF中，tanα= ，tanβ= 所以ktanβ= = = = =tanα 所以 （3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，所以△ABG的面积等于 k因为△ABD的面积等于 又因为 =k，所以S1= 所以S2=1- k- = ‎ 11‎ 所以 =-k2+k+1= ≤ 因为0＜k＜1，所以当k= ，即点G为BC中点时， 有最大值 ‎ ‎23.如图，以 的直角边 为直径作 交斜边 于点 ，过圆心 作 ，交 于点 ，连接 .‎ ‎（1）判断 与 的位置关系并说明理由； ‎ ‎（2）求证： ； ‎ ‎（3）若 ， ，求 的长. ‎ ‎【答案】（1）解：DE是圆O的切线证明：连接OD ∵OE∥AC ∴∠1=∠3，∠2=∠A ∵OA=OD ∴∠1=∠A ∴∠2=∠3 在△BOE和△DOE中 OE=OD，∠2=∠3，OE=OE ∴△BOE≌△DOE（SAS） ∴∠ODE=∠OBE=90° ∴OD⊥DE ∴DE是圆O的切线 （2）解：证明：连接BD∵AB是直径 ∴∠BDC=∠ADB=∠ABC=90° ∵OE∥AC，O是AB的中点 ‎ 11‎ ‎∴OE是△ABC的中位线 ∴AC=2OE ∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC ∴ ∴BC2=2CD•OE ∵BC=2DE， ∴（2DE）2=2CD•OE ∴ （3）解：∵ 设：BD=4x，CD=3x ∵在△BDC中，    ， ∴BC=2DE=5 ∴（4x）2+（3x）2=25 解之：x=1，x=-1（舍去） ∴BD=4 ∵∠ABD=∠C ∴AD=BD•tan∠ABD= ‎ ‎24.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．‎ ‎（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长； ‎ ‎（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形； ‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 的值。 ‎ ‎【答案】（1）或 或 . （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠ACB =∠CAD， 又∵∠BAC=∠ADC， ‎ 11‎ ‎∴△ABC∽△DCA， ∴ = ， 即CA2=BC·AD， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∴CA2=BC·AB， ∴△ABC是比例三角形. （3）解：如图，过点A作AH⊥BD于点H, ∵AB=AD, ∴BH= BD, ∴AD∥BC，∠ADC=90°, ∴∠BHA=∠BCD=90°, 又∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC, ∴ = , ∴AB·BC=DB·BH, ∴AB·BC= BD2, 又∵AB·BC=AC2, ∴ BD2=AC2, ∴ = . ‎ ‎ ‎ 11‎