黑龙江省齐齐哈尔黑河大兴安岭中考中考数学真题试题解析

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黑龙江省齐齐哈尔、黑河、大兴安岭2013年中考数学试卷 一、单项选择题（每题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2013•齐齐哈尔）下列数字中既是轴对称图形又是中心对称图形的有几个（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．‎ 分析：‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：‎ 解：第一个数字不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；‎ 第二个数字即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；‎ 第三个数字既是轴对称图形，又是中心对称图形．符合题意；‎ 第四个数字是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．‎ 共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．‎ 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；‎ 中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•齐齐哈尔）下列各式计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a2+a2=2a4‎ B．‎ ‎=±3‎ C．‎ ‎（﹣1）﹣1=1‎ D．‎ ‎（﹣）2=7‎ 考点：‎ 负整数指数幂；算术平方根；合并同类项；二次根式的乘除法．‎ 分析：‎ 分别进行合并同类项、二次根式的化简、负整数指数幂、乘方等运算，然后结合选项选出正确答案即可．‎ 解答：‎ 解：A、a2+a2=2a2，原式计算错误，故本选项错误；‎ B、=3，原式计算错误，故本选项错误；‎ C、（﹣1）﹣1=﹣1，原式计算错误，故本选项错误；‎ D、（﹣）2=7，原式计算正确，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了合并同类项、二次根式的化简、负整数指数幂、乘方等知识，属于基础题，掌握各知识点的运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•齐齐哈尔）如图，是一种古代计时器﹣﹣“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 函数的图象．‎ 分析：‎ 由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．‎ 解答：‎ 解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；‎ 由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•齐齐哈尔）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎2或8‎ D．‎ ‎3或7‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 连结OC，根据垂径定理得到CE=4，再根据勾股定理计算出OE=3，分类讨论：当点E在半径OB上时，BE=OB﹣OE；当点E在半径OA上时，BE=OB+OE，然后把CE、OE的值代入计算即可．‎ 解答：‎ 解：如图，连结OC，‎ ‎∵直径AB⊥CD，‎ ‎∴CE=DE=CD=×8=4，‎ 在Rt△OCE中，OC=AB=5，‎ ‎∴OE==3，‎ 当点E在半径OB上时，BE=OB﹣OE=5﹣3=2，‎ 当点E在半径OA上时，BE=OB+OE=5+3=8，‎ ‎∴BE的长为2或8．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•齐齐哈尔）甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=25，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 甲队 B．‎ 乙队 C．‎ 丙队 D．‎ 哪一个都可以 考点：‎ 方差．‎ 分析：‎ 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ 解答：‎ 解：∵S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=25，‎ ‎∴S甲2最小，‎ ‎∴他应选甲对；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•齐齐哈尔）假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5种 B．‎ ‎4种 C．‎ ‎3种 D．‎ ‎2种 考点：‎ 二元一次方程的应用．‎ 分析：‎ 设住3人间的需要x间，住2人间的需要y间，根据总人数是17人，列出不定方程，解答即可．‎ 解答：‎ 解：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，‎ ‎3x+2y=17，‎ 因为，2y是偶数，17是奇数，‎ 所以，3x只能是奇数，即x必须是奇数，‎ 当x=1时，y=7，‎ 当x=3时，y=4，‎ 当x=5时，y=1，‎ 综合以上得知，第一种是：1间住3人的，7间住2人的，‎ 第二种是：3间住3人的，4间住2人的，‎ 第三种是：5间住3人的，1间住2人的，‎ 答：有3种不同的安排．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题意，设出未知数，列出不定方程，再根据不定方程的未知数的特点解答即可．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•齐齐哈尔）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②‎ B．‎ ‎②③‎ C．‎ ‎①②④‎ D．‎ ‎①②③④‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．‎ 分析：‎ 由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以﹣2＜＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0．‎ 解答：‎ 解：如图，‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，‎ ‎∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣＞0，‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∴abc＜0，所以①正确；‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；‎ 当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，‎ ‎∴2a+b+=0，‎ ‎∵0＜c＜2，‎ ‎∴2a+b+1＞0，所以③错误；‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），‎ ‎∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，‎ ‎∴2x1=，即x1=，‎ 而﹣2＜x1＜﹣1，‎ ‎∴﹣2＜＜﹣1，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴﹣4a＞c＞﹣2a，‎ ‎∴2a+c＞0，所以④正确．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•齐齐哈尔）下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 相等的圆心角所对的弧相等 ‎　‎ B．‎ 无限小数是无理数 ‎　‎ C．‎ 阴天会下雨是必然事件 ‎　‎ D．‎ 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k 考点：‎ 位似变换；无理数；圆心角、弧、弦的关系；随机事件．‎ 分析：‎ 根据圆周角定理以及无理数的定义和随机事件的定义和位似图形的性质分别判断得出答案即可．‎ 解答：‎ 解：A、根据同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误；‎ B、根据无限不循环小数是无理数，故此选项错误；‎ C、阴天会下雨是随机事件，故此选项错误；‎ D、根据位似图形的性质得出：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了圆周角定理以及无理数的定义和随机事件的定义和位似图形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•齐齐哈尔）数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x2+1与y=的交点的横坐标x0的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0＜x0＜1‎ B．‎ ‎1＜x0＜2‎ C．‎ ‎2＜x0＜3‎ D．‎ ‎﹣1＜x0＜0‎ 考点：‎ 二次函数的图象；反比例函数的图象 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ 建立平面直角坐标系，然后利用网格结构作出函数y=x2+1与y=的图象，即可得解．‎ 解答：‎ 解：如图，函数y=x2+1与y=的交点在第一象限，横坐标x0的取值范围是1＜x0＜2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，准确画出大致函数图象是解题的关键，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•齐齐哈尔）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中线 ④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎2个 D．‎ ‎1个 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ 分析：‎ 根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线．‎ 解答：‎ 解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，‎ ‎∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，‎ 即∠CAE=∠BAG，‎ ‎∵在△ABG和△AEC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABG≌△AEC（SAS），‎ ‎∴BG=CE，故①正确；‎ 设BG、CE相交于点N，‎ ‎∵△ABG≌△AEC，‎ ‎∴∠ACE=∠AGB，‎ ‎∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，‎ ‎∴∠CNG=360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°﹣（180°+90°）=90°，‎ ‎∴BG⊥CE，故②正确；‎ 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，‎ ‎∵AH⊥BC，‎ ‎∴∠ABH+∠BAH=90°，‎ ‎∵∠BAE=90°，‎ ‎∴∠EAP+∠BAH=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴∠ABH=∠EAP，‎ ‎∵在△ABH和△EAP中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABH≌△EAP（AAS），‎ ‎∴∠EAM=∠ABC，故④正确，‎ EP=AH，‎ 同理可得GQ=AH，‎ ‎∴EP=GQ，‎ ‎∵在△EPM和△GQM中，‎ ‎，‎ ‎∴△EPM≌△GQM（AAS），‎ ‎∴EM=GM，‎ ‎∴AM是△AEG的中线，故③正确．‎ 综上所述，①②③④结论都正确．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，满分30分）‎ ‎11．（3分）（2013•齐齐哈尔）某种病毒近似于球体，它的半径约为0.00000000495米，用科学记数法表示为　4.95×10﹣9　米．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较小的数．‎ 分析：‎ 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ 解答：‎ 解：0.00000000495米用科学记数法表示为4.95×10﹣9．‎ 故答案为：4.95×10﹣9．‎ 点评：‎ 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•齐齐哈尔）小明“六•一”去公园玩儿投掷飞镖的游戏，投中图中阴影部分有奖（飞镖盘被平均分成8分），小明能获得奖品的概率是　　．‎ 考点：‎ 几何概率．‎ 分析：‎ 根据概率的意义解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵飞镖盘被平均分成8分，阴影部分占3块，‎ ‎∴小明能获得奖品的概率是．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•齐齐哈尔）函数y=﹣（x﹣2）0中，自变量x的取值范围是　x≥0且x≠3且x≠2　．‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围；零指数幂．‎ 分析：‎ 根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，x≥0且x﹣3≠0且x﹣2≠0，‎ 解得x≥0且x≠3且x≠2．‎ 故答案为：x≥0且x≠3且x≠2．‎ 点评：‎ 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数；零指数幂的底数不等于零．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•齐齐哈尔）圆锥的母线长为6cm，底面周长为5πcm，则圆锥的侧面积为　15πcm2　．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 圆锥的侧面积：S侧=•2πr•l=πrl，代入计算即可．‎ 解答：‎ 解：S侧=•2πr•l=5π×6=15πcm2．‎ 故答案为：15πcm2．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是熟练记忆圆锥侧面积的计算方法．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•齐齐哈尔）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是　∠C=∠BAD　（填一个即可）‎ 考点：‎ 相似三角形的判定．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 根据相似三角形的判定：‎ ‎（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；‎ ‎（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；‎ ‎（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，‎ 进行添加即可．‎ 解答：‎ 解：∵∠B=∠B（公共角），‎ ‎∴可添加：∠C=∠BAD．‎ 此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．‎ 故答案可为：∠C=∠BAD．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•齐齐哈尔）若关于x的分式方程=﹣2有非负数解，则a的取值范围是　a且a　．‎ 考点：‎ 分式方程的解 分析：‎ 将a看做已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．‎ 解答：‎ 解：分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1），‎ 移项合并得：6x=3a+4，‎ 解得：x=，‎ ‎∵分式方程的解为非负数，‎ ‎∴≥0且﹣1≠0，‎ 解得：a≥﹣且a≠．‎ 故答案为：a且a．‎ 点评：‎ 此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x﹣1≠0这个隐含条件．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•齐齐哈尔）如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图．则这个几何体可能是由　6或7或8　个正方体搭成的．‎ 考点：‎ 由三视图判断几何体 分析：‎ 易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二、三层立方体的可能的个数，相加即可．‎ 解答：‎ 解：综合主视图和俯视图，这个几何体的底层有4个小正方体，‎ 第二层最少有1个，最多有2个，‎ 第三层最少有1个，最多有2个，‎ 因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：4+1+1=6个，‎ 至多需要小正方体木块的个数为：4+2+2=8个，‎ 即这个几何体可能是由6或7或8个正方体搭成的．‎ 故答案为：6或7或8．‎ 点评：‎ 此题主要考查了几何体的三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•齐齐哈尔）请运用你喜欢的方法求tan75°=　2+　．‎ 考点：‎ 解直角三角形．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先作△BCD，使∠C=90°，∠DBC=30°，延长CB到A，使AB=BD，连接AD，得出∠ADC=75°，设CD=x，用含x的代数式表示出AB、BD、BC，进一步表示出AC．根据tan∠ADC=tan75°=AC：CD求解．‎ 解答：‎ 解：如图，作△BCD，使∠C=90°，∠DBC=30°，延长CB到A，使AB=BD，连接AD．‎ ‎∵AB=BD，∴∠A=∠ADB．‎ ‎∵∠DBC=30°=2∠A，‎ ‎∴∠A=15°，∠ADC=75°．‎ 设CD=x，‎ ‎∴AB=BD=2CD=2x，BC=CD=x，‎ ‎∴AC=AB+BC=（2+）x，‎ ‎∴tan∠ADC=tan75°=AC：CD=2+．‎ 故答案为2+．‎ 点评：‎ 此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是作出含75°角的直角三角形，然后在直角三角形中求解，要求学生有较强逻辑推理能力和运算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）（2013•齐齐哈尔）正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE=DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB=3，AG=，则线段EH的长为　或　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；正方形的性质 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，需要分类讨论．‎ 以答图1为例，首先证明△EMG≌△FDG，得到点G为Rt△AEF斜边上的中点，则求出EF=2AG=2；其次，在Rt△AEF中，利用勾股定理求出BE或DF的长度；然后在Rt△DFK中解直角三角形求出DK的长度，从而得到CK的长度，由AB∥CD，列比例式求出AH的长度；最后作HN∥AE，列出比例式求出EH的长度．‎ 解答：‎ 解：由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，如下：‎ ‎①点E在线段AB上，点F在线段AD延长线上，依题意画出图形，如答图1所示：‎ 过点E作EM⊥AB，交BD于点M，则EM∥AF，△BEM为等腰直角三角形，‎ ‎∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F；‎ ‎∵△BEM为等腰直角三角形，∴EM=BE，∵BE=DF，∴EM=DF．‎ 在△EMG与△FDG中，‎ ‎∴△EMG≌△FDG（ASA），‎ ‎∴EG=FG，即G为EF的中点，‎ ‎∴EF=2AG=2．（直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半）‎ 设BE=DF=x，则AE=3﹣x，AF=3+x，‎ 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2，即（3﹣x）2+（3+x）2=（2）2，‎ 解得x=1，即BE=DF=1，‎ ‎∴AE=2，AF=4，‎ ‎∴tan∠F=．‎ 设EF与CD交于点K，则在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，‎ ‎∴CK=CD﹣DK=．‎ ‎∵AB∥CD，∴，‎ ‎∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=．‎ 过点H作HN∥AE，交AD于点N，则△ANH为等腰直角三角形，∴AN=AH=．‎ ‎∵HN∥AE，∴，即，‎ ‎∴EH=；‎ ‎②点E在线段AB的延长线上，点F在线段AD上，依题意画出图形，如答图2所示：‎ 同理可求得：EH=．‎ 综上所述，线段EH的长为或．‎ 故答案为：或．‎ 点评：‎ 本题是几何综合题，考查相似三角形的综合运用，难度较大．解题关键是：第一，读懂题意，由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，需要分类讨论，分别计算；第二，相似三角形比较多，需要理清头绪；第三，需要综合运用相似三角形、全等三角形、正方形、勾股定理、等腰直角三角形的相关性质．‎ ‎　‎ ‎20．（3分）（2013•齐齐哈尔）如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．‎ 若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为360°，则k关于边数n的函数是　k=（n=3，4，6）或k=2+（n=3，4，6）　（写出n的取值范围）‎ 考点：‎ 正多边形和圆；多边形内角与外角．‎ 专题：‎ 规律型；分类讨论．‎ 分析：‎ 先根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°及正n边形的每个内角相等，得出α=，再代入360=kα，即可求出k关于边数n的函数关系式，然后根据k为正整数求出n的取值范围．‎ 解答：‎ 解：∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，‎ ‎∴正n边形的每个内角度数α=，‎ ‎∵360=kα，‎ ‎∴k•=360，‎ ‎∴k=．‎ ‎∵k===2+，k为正整数，‎ ‎∴n﹣2=1，2，±4，‎ ‎∴n=3，4，6，﹣2，‎ 又∵n≥3，‎ ‎∴n=3，4，6．‎ 即k=（n=3，4，6）．‎ 故答案为k=（n=3，4，6）．‎ 点评：‎ 本题考查了n边形的内角和公式，正n边形的性质及分式的变形，根据正n边形的性质求出k关于边数n的函数关系式是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（满分60分）‎ ‎21．（5分）（2013•齐齐哈尔）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a、b满足式子|a﹣2|+（b﹣）2=0．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 把括号内的异分母分式通分并相减，然后把除法转化为乘法运算并进行约分，再根据非负数性质列式求出a、b的值，然后代入化简后的式子进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：÷（a﹣），‎ ‎=÷，‎ ‎=•，‎ ‎=，‎ ‎∵|a﹣2|+（b﹣）2=0，‎ ‎∴a﹣2=0，b﹣=0，‎ 解得a=2，b=，‎ 所以，原式==2+．‎ 点评：‎ 本题考查了分式的化简求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．‎ ‎　‎ ‎22．（6分）（2013•齐齐哈尔）如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．‎ ‎（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1‎ ‎（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）‎ 考点：‎ 作图-旋转变换；作图-平移变换．‎ 分析：‎ ‎（1）根据平移的性质得出对应点坐标即可得出答案；‎ ‎（2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而利用弧长公式求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）如图所示：△O1A1B1，即为所求；‎ ‎（2）如图所示：△OA2B2，即为所求，‎ ‎∵AO==，‎ ‎∴点A旋转到A2所经过的路径长为：=π．‎ 点评：‎ 此题主要考查了旋转变换以及平移变换和弧长计算公式，根据图形变化性质得出对应点坐标是解题关键．‎ ‎　‎ ‎23．（6分）（2013•齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）‎ ‎（1）求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）因为抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）代入求出其解析式即可；‎ ‎（2）由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n），根据四边形OAPF的面积为20，从而求出其m，n的值．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）‎ 代入y=ax2+bx+c得：‎ 解得：a=﹣1，b=﹣4，c=0‎ 故此二次函数的解析式为y=﹣4x2﹣4x；‎ ‎（2）由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n）．‎ 四边形OAPF的面积=（OA+FP）÷2×|n|=20，‎ 即4|n|=20，‎ ‎∴|n|=5．‎ ‎∵点P（m，n）在第三象限，‎ ‎∴n=﹣5，‎ 所以﹣m2﹣4m+5=0，‎ 解答m=﹣5或m=1（舍去）．‎ 故所求m、n的值分别为﹣5，﹣5．‎ 点评：‎ 此题主要考查二次函数的综合知识，此题是一道综合题，注意第二问难度比较大．‎ ‎　‎ ‎24．（7分）（2013•齐齐哈尔）齐齐哈尔市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查（分数为整数，满分100分），根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了如下统计表和统计图．（如图）‎ 分数 ‎59.5分以下 ‎59.5分以上 ‎69.5分以上 ‎79.5以上 ‎89.5以上 人数 ‎3‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎20‎ ‎8‎ ‎（1）被抽查的学生为　45　人．‎ ‎（2）请补全频数分布直方图．‎ ‎（3）若全市参加考试的学生大约有4500人，请估计成绩优秀的学生约有多少人？（80分及80分以上为优秀）‎ ‎（4）若此次测试成绩的中位数为78分，请直接写出78.5～89.5分之间的人数最多有多少人？．‎ 考点：‎ 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数 分析：‎ ‎（1）根据图中所列的表，参加测试的总人数为59.5分以上和59.5分以下的和；‎ ‎（2）根据直方图，再根据总人数，即可求出在76.5﹣84.5分这一小组内的人数；‎ ‎（3）根据成绩优秀的学生所占的百分比，再乘以4500即可得出成绩优秀的学生数；‎ ‎（4）根据中位数的定义得出78分以上的人数，再根据图表得出89.5分以上的人数，两者相减即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵59.5分以上的有42人，59.5分以下的3人，‎ ‎∴这次参加测试的总人数为3+42=45（人）；‎ ‎（2）∵总人数是45人，‎ ‎∴在76.5﹣84.5这一小组内的人数为：‎ ‎45﹣3﹣7﹣10﹣8﹣5=12人；‎ 补图如下：‎ ‎（3）根据题意得：‎ ‎×4500=2000（人），‎ 答：成绩优秀的学生约有2000人．‎ ‎（4）∵共有45人，中位数是第23个人的成绩，中位数为78分，‎ ‎∴78分以上的人数是9+8+5=22（人），‎ ‎∵89.5分以上的有8人，‎ ‎∴78.5～89.5分之间的人数最多有22﹣8=14（人）．‎ 故答案为：45．‎ 点评：‎ 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）（2013•齐齐哈尔）甲乙两车分别从A、B两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离S（千米）与甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶．‎ ‎（1 ）A、B两地的距离　560　千米；乙车速度是　100km/h　；a表示　　．‎ ‎（2）乙出发多长时间后两车相距330千米？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）根据图象，甲出发时的S值即为A、B两地间的距离；先求出甲车的速度，然后设乙车的速度为xkm/h，再利用相遇问题列出方程求解即可；然后求出相遇后甲车到达B地的时间，再根据路程=速度×时间求出两车的相距距离a即可；‎ ‎（2）设直线BC的解析式为S=k1t+b1（k1≠0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，再令S=330，求出t的值，减去1即为相遇前乙车出发的时间；设直线CD的解析式为S=k2t+b2（k2≠0），利用待定系数法求出直线CD的解析式，再令S=330，求出t的值，减去1即为相遇后乙车出发的时间．‎ 解答：‎ 解：（1）t=0时，S=560，‎ 所以，A、B两地的距离为560千米；‎ 甲车的速度为：（560﹣440）÷1=120km/h，‎ 设乙车的速度为xkm/h，‎ 则（120+x）×（3﹣1）=440，‎ 解得x=100；‎ 相遇后甲车到达B地的时间为：（3﹣1）×100÷120=小时，‎ 所以，a=（120+100）×=千米；‎ ‎（2）设直线BC的解析式为S=k1t+b1（k1≠0），‎ 将B（1，440），C（3，0）代入得，‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以，S=﹣220t+660，‎ 当﹣220t+660=330时，解得t=1.5，‎ 所以，t﹣1=1.5﹣1=0.5；‎ 直线CD的解析式为S=k2t+b2（k2≠0），‎ 点D的横坐标为+3=，‎ 将C（3，0），D（，）代入得，‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以，S=220t﹣660，‎ 当220t﹣660=330时，解得t=4.5，‎ 所以，t﹣1=4.5﹣1=3.5，‎ 答：乙出发多长0.5小时或3.5小时后两车相距330千米．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图并获取信息是解题的关键，（2）要分相遇前和相遇后两种情况讨论．‎ ‎　‎ ‎26．（8分）（2013•齐齐哈尔）已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边上时，如图1所示，易证MF+FN=BE ‎（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．‎ ‎（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形．‎ 分析：‎ ‎（1）首先对结论作出否定，写出猜想FN﹣MF=BE，连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN=AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，结合MN=FN﹣MF，于是证明出猜想．‎ ‎（2）连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN=AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，结合MN=FM﹣FN，得到结论MF﹣FN=BE．‎ 解答：‎ ‎（1）答：不成立，‎ 猜想：FN﹣MF=BE，‎ 理由如下：‎ 证明：如图2，连接AD，‎ ‎∵M、N分别是DE、AE的中点，‎ ‎∴MN=AD，‎ 又∵在△ACD与△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS），‎ ‎∴AD=BE，‎ ‎∵MN=FN﹣MF，‎ ‎∴FN﹣MF=BE；‎ ‎（2）图3结论：MF﹣FN=BE，‎ 证明：如图3，连接AD，‎ ‎∵M、N分别是DE、AE的中点，‎ ‎∴MN=AD，‎ ‎∵在△ACD与△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS），‎ ‎∴AD=BE，‎ ‎∴MN=BE，‎ ‎∵MN=FM﹣FN，‎ ‎∴MF﹣FN=BE．‎ 点评：‎ 本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是会用类比的方法去解决问题，本题难度不是很大，答题的时候需要一定的耐心．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）（2013•齐齐哈尔）在国道202公路改建工程中，某路段长4000米，由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成，已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同），甲工程队1天、乙工程队2天共修路200米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路350米．‎ ‎（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？‎ ‎（2）甲乙两个工程队施工10天后，由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术，总部要求在规定时间内完成，请问甲队可以抽调多少人？‎ ‎（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲乙两队需各做多少天？最低费用为多少？‎ 考点：‎ 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）设甲队每天修路x米，乙队每天修路y米，然后根据两队修路的长度分别为200米和350米两个等量关系列出方程组，然后解方程组即可得解；‎ ‎（2）根据甲队抽调m人后两队所修路的长度不小于4000米，列出一元一次不等式，然后求出m的取值范围，再根据m是正整数解答；‎ ‎（3）设甲工程队修a天，乙工程队修b天，根据所修路的长度为4000米列出方程整理并用a表示出b，再根据0≤b≤30表示出a的取值范围，再根据总费用等于两队的费用之和列式整理，然后根据一次函数的增减性解答．‎ 解答：‎ 解：（1）设甲队每天修路x米，乙队每天修路y米，‎ 依题意得，，‎ 解得，‎ 答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；‎ ‎（2）依题意得，10×100+20××100+30×50≥4000，‎ 解得，m≤，‎ ‎∵0＜m＜10，‎ ‎∴0＜m≤，‎ ‎∵m为正整数，‎ ‎∴m=1或2，‎ ‎∴甲队可以抽调1人或2人；‎ ‎（3）设甲工程队修a天，乙工程队修b天，‎ 依题意得，100a+50b=4000，‎ 所以，b=80﹣2a，‎ ‎∵0≤b≤30，‎ ‎∴0≤80﹣2a≤30，‎ 解得25≤a≤40，‎ 又∵0≤a≤30，‎ ‎∴25≤a≤30，‎ 设总费用为W元，依题意得，‎ W=0.6a+0.35b，‎ ‎=0.6a+0.35（80﹣2a），‎ ‎=﹣0.1a+28，‎ ‎∵﹣0.1＜0，‎ ‎∴当a=30时，W最小=﹣0.1×30+28=25（万元），‎ 此时b=80﹣2a=80﹣2×30=20（天）．‎ 答：甲工程队需做30天，乙工程队需做20天，最低费用为25万元．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理清题中熟练关系，准确找出等量关系与不等量关系分别列出方程组和不等式是解题的关键，（3）先根据总工作量表示出甲乙两个工程队的天数的关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2‎ ‎（1）求A、C两点的坐标；‎ ‎（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 一次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）通过解一元二次方程x2﹣（+1）x+=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；‎ ‎（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；‎ ‎（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）x2﹣（+1）x+=0，‎ ‎（x﹣）（x﹣1）=0，‎ 解得x1=，x2=1，‎ ‎∵OA＜OB，‎ ‎∴OA=1，OB=，‎ ‎∴A（1，0），B（0，），‎ ‎∴AB=2，‎ 又∵AB：AC=1：2，‎ ‎∴AC=4，‎ ‎∴C（﹣3，0）；‎ ‎（2）由题意得：CM=t，CB=2．‎ ‎①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）；‎ ‎②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）；‎ ‎（3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1，）．‎ 点评：‎ 考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎　‎