上海市各区县历年中考数学模拟压轴题汇总及答案

上海市各区县历年中考数学模拟压轴题汇总及答案

‎1．（本小题满分10分）‎ 已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D 作 DG//BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE、BD．‎ D A B C G E F ‎（第22题图）‎ ‎（1）求证：△AGE≌△DAB；‎ ‎（2）过点E作EF//DB，交BC于点F，连AF，求∠AEF的度数．‎ ‎2、（本小题满分12分） ‎ O C B A ‎（第24题图）‎ 如图,菱形OABC放在平面直角坐标系内,点A在轴的正半轴上，点B在第一象限，其坐标为(8,4)．抛物线过点O、A、C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式？‎ ‎（2）将菱形向左平移，设抛物线与线段AB的交点为D,连接CD．‎ ‎① 当点C又在抛物线上时求点Ｄ的坐标？‎ ‎② 当△BCD是直角三角形时,求菱形的平移的距离？‎ ‎3、(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形OABC，CB//OA，且点A在x轴正半轴上.已知C(2，4)，BC= 4.‎ ‎(1)求过O、C、B三点的抛物线解析式，并写出顶点坐标和对称轴；‎ ‎(2)经过O、C、B三点的抛物线上是否存在P点(与原点O不重合)，使得P点到两坐标轴的距离相等.如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.‎ ‎4、 (本题12分)如图，AD//BC，点E、F在BC上，∠1=∠2，AF⊥DE，垂足为点O.‎ ‎(1)求证:四边形AEFD是菱形；‎ ‎(2)若BE=EF=FC，求∠BAD+∠ADC的度数；‎ ‎(3)若BE=EF=FC，设AB = m，CD = n，求四边形ABCD的面积.‎ ‎5、 (本题14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于C点，顶点为D.过点 C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P、E 两点.‎ ‎(1)求E点的坐标；‎ ‎(2)联结PO1、PA.求证:～；‎ ‎(3) ①以点O2 (0，m)为圆心画⊙O2，使得⊙O2与⊙O1相切，‎ 当⊙O2经过点C时，求实数m的值；‎ ‎②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O3，以O3为圆心画 ‎⊙O3，使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).‎ ‎6．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）‎ 如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．‎ ‎（1）求证：四边形BFDE是菱形；‎ ‎（2）若E为线段AD的中点，求证：AB⊥BD.‎ A D E B F C 第23题图 OA ‎7．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）‎ 在平面直角坐标系中，抛物线经过点（0，2）和点（3，5）．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-1‎ O 第24题图 ‎-1‎ ‎5‎ ‎（1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标；‎ ‎（2）点P为抛物线上一动点，如果直径为4的 ‎⊙P与轴相切，求点P的坐标.‎ ‎8．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）‎ 如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF= 90°．‎ ‎（1）求DE︰DF的值；‎ ‎（2）联结EF，设点B与点E间的距离为，△DEF的面积为，求关于的函数解析式，并写出 的取值范围；‎ ‎（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由.‎ A A 备用图1‎ B C D 第25题图 B C D E F A 备用图2‎ B C D ‎9．（本题满分12分，每小题各4分）‎ C B A O y x ‎(图10)‎ 如图10，已知抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，且. ‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 若点在抛物线上，且四边形是 平行四边形，试求抛物线的解析式；‎ ‎(3) 在(2)的条件下，作∠OBC的角平分线，‎ 与抛物线交于点P，求点P的坐标.‎ ‎10．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）‎ 如图11，已知⊙O的半径长为1，PQ是⊙O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与⊙O交于A、B两点，联结PA并延长，交⊙M于另外一点C.‎ ‎(1) 若AB恰好是⊙O的直径，设OM=x，AC=y，试在图12中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；‎ ‎(2) 联结OA、MA、MC，若OA⊥MA，且△OMA与△PMC相似，求OM的长度和⊙M的半径长；‎ ‎(3) 是否存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和⊙M的半径长；若不存在，试说明理由.‎ A B 图11‎ C Q P O M 图12‎ Q P O M 答案：‎ ‎1．（1）∵△ABC是等边三角形，DG//BC，∴△AGD是等边三角形．‎ AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°．‎ ‎∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB．‎ ‎∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，∴△AGE≌△DAB． …………………………（5分）‎ ‎（2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG…………………………………………（6分）‎ ‎∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形 ………………………… （7分）‎ ‎∴∠DBC＝∠DEF，∴∠AEF=∠AEG＋∠DEF=∠ABD+∠DBC=∠ABC＝60°（8分）‎ ‎2、（本题12分）‎ ‎（1）A（0，3）,C(3,0)‎ ‎∵3m=3‎ ‎∴m=1‎ ‎∴抛物线的解析式为………2分 ‎（2）∵m=1 ∴ ∴AO=3‎ 点)，连结OD 当y=0时，即，解得x1=-1 x2=3 ∴OC=3‎ ‎∴S= S△AOD+ S△DOC=‎ ‎∴S与x的函数关系式S=（0＜x＜3) …………………………4分 当符合（0＜x＜3) S最大值=‎ ‎……6分 ‎（3）‎ ‎…………………………………………7分 假设存在点P，使AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分，分两种情况讨论：‎ ‎（ⅰ）当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，DE=2EP ∴DP=3EP 即 整理得：‎ 解得； (不合题意，舍去), 此时点P的坐标是（2，0）… 9分 ‎（ⅱ）当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时， ， ∴‎ 即 整理得：‎ 解得： （不合题意，舍去），此时点P的坐标是（，0）‎ ‎…………………………………………11分 综上所述，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1两部分的点P存在，点P的坐标是（2，0）或（，0）……………………… 12分 ‎3、（12分）解：(1) ( 6分）∵C(2,4), BC=4 且 BC//OA ∴ B(6,4) 1分 设抛物线为 ‎ 将O(0,0),C(2,4),B(6,4)代入得 解得 3分 ‎∴ 1分 ‎∴顶点 对称轴：直线 2分 ‎(2) (6分)据题意，设或 1分 将代入抛物线得 解得(舍) 2分 将代入抛物线得 解得(舍) 2分 ‎∴符合条件的点和 1分 ‎4、（12分）（1）( 4分）证明:（方法一）∵AF⊥DE ‎ ‎∴∠1+∠3=90° 即：∠3=90°-∠1‎ ‎ ∴∠2+∠4=90° 即：∠4=90°-∠2‎ ‎ 又∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴AE = EF ‎ ‎∵AD//BC ∴∠2=∠5 ‎ ‎∵∠1=∠2 ∴∠1=∠5‎ ‎∴AE = AD ∴EF = AD 2分 ‎∵AD//EF ‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形 1分 又∵AE = AD ‎ ‎∴四边形AEFD是菱形 1分 ‎（方法二）∵AD//BC ∴∠2=∠5‎ ‎ ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠5‎ ‎∵AF⊥DE ∴∠AOE=∠AOD=90°‎ 在△AEO和△ADO中 ∴△AEO△ADO ∴EO=OD ‎6‎ 在△AEO和△FEO中 ∴△AEO△FEO ∴AO=FO 2分 ‎∴AF与ED互相平分 1分 ‎∴四边形AEFD是平行四边形 又∵AF⊥DE ‎∴四边形AEFD是菱形 1分 ‎(2)( 5分）∵菱形AEFD ∴AD=EF ‎ ‎∵BE=EF ∴AD=BE 又∵AD//BC ∴四边形ABED是平行四边形 1分 ‎∴AB//DE ∴∠BAF=∠EOF 同理可知 四边形AFCD是平行四边形 ‎∴AF//DC ∴∠EDC=∠EOF 又∵AF⊥ED ∴∠EOF=∠AOD=90°‎ ‎∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90° 2分 ‎∴∠5 +∠6=90° 1分 ‎∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6 +∠5+∠EDC =270° 1分 ‎（3）( 3分）由（2）知∠BAF =90°平行四边形AFCD ∴AF=CD=n ‎ 又∵AB=m 1分 由（2）知 平行四边形ABED ∴DE=AB=m 由（1）知OD= 1分 ‎ 1分 ‎5、（14分）解:(1) ( 3分) ∴ 1分 ‎ 设直线CD: 将C、D代入得 解得 ‎ ‎ ∴CD直线解析式: 1分 1分 ‎(2) ( 4分)令y=0 得 解得 ‎∴ 1分 又∵、 ∴以OE为直径的圆心、半径.‎ 设 ‎ 由 得 解得（舍）‎ ‎∴ 2分 ‎∴ ‎ 又 ‎ ‎∴ 1分 ∴～ ‎ ‎(3) ( 7分）① ‎ 据题意，显然点在点C下方 ‎ ‎ 当⊙O2与⊙O1外切时 ‎ 代入得 解得 （舍）2分 当⊙O2与⊙O1内切时 ‎ 代入得 解得 （舍） 2分 ‎∴ ‎ ‎② 3分 ‎ ‎ ‎6、．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴ED∥BF，得∠EDB=∠FBD ……………………………………………………（2分）‎ ‎∵EF垂直平分BD ‎∴BO=DO，∠DOE=∠BOF=90°‎ ‎∴△DOE≌△BOF……………………………………………………………………（2分）‎ ‎∴ EO=FO ‎∴四边形BFDE是平行四边形 ……………………………………………………（1分）‎ 又∵EF⊥BD ‎∴四边形BFDE是菱形 ……………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）∵四边形BFDE是菱形 ‎∴ED=BF ‎∵AE=ED ‎∴AE=BF………………………………………………………………………………（2分）‎ 又∵AE∥BF ‎∴四边形ABFE是平行四边形………………………………………………………（1分）‎ ‎∴AB∥EF ……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴∠ABD=∠DOE ……………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵∠DOE=90°‎ ‎∴∠ABD=90°‎ 即AB⊥BD……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎7．解：（1）把（0，2）、（3，5）分别代入 得 解得 ……………………………………………（3分）‎ ‎∴抛物线的解析式为 ………………………………………………（1分）‎ ‎∴抛物线的顶点为………………………………………………………………（2分）‎ ‎（2）设点P到y轴的距离为d，⊙的半径为r ‎∵⊙与轴相切 ∴‎ ‎∴点P的横坐标为…………………………………………………………………（2分）‎ 当时， ∴点P的坐标为 …………………………………（2分）当时， ∴点P的坐标为 ………………………………（2分）‎ ‎∴点P的坐标为或.‎ ‎8.解：（1）∵∠BAC= 90° ∴∠B +∠C ＝90°，‎ ‎∵AD是BC边上的高 ∴∠DAC+∠C=90°‎ ‎∴∠B =∠DAC ………………………………………………………………………（1分）‎ 又∵∠EDF= 90°‎ ‎∴∠BDE+∠EDA=∠ADF +∠EDA = 90°‎ ‎∴∠BDE =∠ADF ‎∴△BED∽△AFD ……………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴ …………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵‎ ‎∴DE︰DF =…………………………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）由△BED∽△AFD 得 ‎∴ …………………………………………………………………（1分） ‎ ‎∵ ∴‎ ‎∵∠BAC= 90°‎ ‎∴………………………………………（1分）‎ ‎∵DE︰D F =3︰4，∠EDF =90°‎ ‎∴ED=EF，FD=EF…………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ………………………………………………（2分）‎ ‎（3）能. 的长为.……………………………………………………………（5分）‎ ‎（说明：的长一个正确得3分，全对得5分）‎ ‎9、解：（1）由题意得：点B的坐标为，其中， （1分）‎ ‎ ∵，点在轴的负半轴上，∴点的坐标为 （1分）‎ ‎ ∵点在抛物线上，∴ （1分）‎ ‎ ∴ （因为） （1分）‎ ‎ （2）∵四边形是平行四边形 ‎ ∴，又∥轴，点B的坐标为 ‎ ∴点的坐标为 （1分）‎ ‎ 又点在抛物线上，‎ ‎ ∴ ∴或（舍去） （1分）‎ ‎ 又 由（1）知：‎ ‎ ∴，. 抛物线的解析式为. （2分）‎ ‎ （3）过点作轴，，垂足分别为、‎ ‎ ∵ 平分 ∴ （1分）‎ ‎ 设点的坐标为 ‎ ∴ （1分）‎ ‎ 解得：或（舍去） （1分）‎ ‎ 所以，点的坐标为 （1分）‎ ‎10、（1）图画正确 （1分）‎ 过点作，垂足为 ‎∴‎ 由题意得：， 又是圆的直径 ‎∴ ∴， ‎ ‎∴ （1分）‎ 在Rt△中，‎ 又，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ y关于x的函数解析式为 （） （2分） ‎ ‎（2）设圆M的半径为 ‎ 因为 OA⊥MA，∴∠OAM=90°， ‎ 又△OMA与△PMC相似，所以△PMC是直角三角形。‎ 因为OA=OP，MA=MC，所以∠CPM、∠PCM都不可能是直角。‎ 所以∠PMC=90°. （1分）‎ 又≠∠P， 所以，∠AMO=∠P （1分）‎ 即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应. ‎ ‎∴ , 即 ， 解得 （2分）‎ 从而 所以，，圆的半径为. （1分）‎ ‎（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边 ‎ 联结OA、MA、MC、AQ，设公共弦与直线相交于点 ‎ 由正五边形知 ， （1分） ‎ ‎ ∵ 是公共弦，所以，， ‎ 从而 ，‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴，即圆的半径是 （1分）‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴ △∽△ （1分） ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，解得：（负值舍去）‎ ‎∴ （2分）‎ 所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，‎ 此时的，圆的半径是. ‎