中考全等三角形专题复习

中考全等三角形专题复习

复习说明：全等三角形作为中考试题中必考内容之一，考查的方向非常明确，尤其是近三年来，在解答题中，分值从6分变为7分，考查方式都是通过三角形全等来证明线段相等。从陕西省中考试卷赋分的变化可以看出，命题组是偏向于基础较差的学生来命题，对于简单问题的考查分数比例在逐渐上升趋势，而偏难题的分数分布及赋分比例在逐渐弱化。这部分属于偏低难度的试题，中等以上的学生都可以完成。在复习中面向全体学生，争取让每一位学生都可以可以找出三角形全等的条件，做对三角形全等试题。‎ 全等三角形专题复习 ‎1．(2015·贵州六盘水，第9题3分)如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）‎ A．∠A＝∠D B．AB＝DC ‎ C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 考点：全等三角形的判定．.‎ 分析：本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能．‎ 解答：解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；‎ B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；‎ C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；‎ D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；‎ 故选：D．‎ 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎2.（2015•江苏泰州,第6题3分）如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ‎ ‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．‎ 试题解析：∵AB=AC，D为BC中点， ‎ ‎∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， ‎ 在△ABD和△ACD中， ‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ACD； ‎ ‎3. （2015•四川省宜宾市，第18题，6分）如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD = ∠BCE 求证：∠A=∠D ‎4、（2015•福建泉州第20题9分）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠B=90°，AD=BC，‎ ‎∵∠AOC=∠BOD，‎ ‎∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，‎ ‎∴∠AOD=∠BOC，‎ 在△AOD和△BOC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△BOC，‎ ‎∴AO=OB．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．.‎ ‎5、. （2015•四川泸州,第18题6分）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD. 求证：BC=DE.‎ 考点：全等三角形的判定与性质．.‎ 专题：证明题．‎ 分析：先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．‎ 解答：证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠CAB=∠DAE，‎ 在△BAC和△DAE中，，‎ ‎∴△BAC≌△DAE（SAS），‎ ‎∴BC=DE．‎ 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎6. （2015•四川凉山州,第21题8分）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．‎ ‎【答案】AF=BF+EF，理由见试题解析．‎ 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．‎ ‎7. （2015•四川乐山,第20题10分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．‎ ‎（1）求证：△DCE≌△BFE；‎ ‎（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．‎ 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质．‎ ‎8. （2015•四川南充,第19题8分）（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．‎ 求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．‎ ‎ ‎ ‎【答案】略.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据AD⊥BC，CE⊥AB，得出∠AEF=∠CEB=90°，即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°，结合∠AEF=∠CFD得出∠EAF=∠ECB，从而得到△AEF≌△CEB；根据全等得到AF=BC，根据△ABC为等腰三角形则可得BC=2CD，从而得出AF=2CD.‎ 试题解析：(1)、∵AD⊥BC，CE⊥AB ∴∠AEF=∠CEB=90° 即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°‎ 又∵∠AEF=∠CFD ∴∠EAF=∠ECB ‎ 在△AEF和△CEB中，∠AEF=∠CEB，AE=CE，∠EAF=∠ECB ∴△AEF≌△CEB ‎(2)、由△AEF≌△CEB得：AF=BC 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC ∴CD=BD，BC=2CD ∴AF=2CD.‎ 考点：三角形全等、等腰三角形的性质.‎ ‎19. （2015•浙江滨州,第23题10分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.‎ 求证：（1）△ACE≌△BCD；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ [‎ 考点：三角形全等，三角形相似的判定与性质 ‎9.（2015•浙江杭州,第18题8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM=2MB，AN=2NC，求证：DM=DN ‎【答案】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，∴.‎ 又∵AB=AC，∴.‎ ‎∵AD平分∠BAC，∴.‎ 又∵AD=AD，∴.‎ ‎∴DM=DN.‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质. ‎ ‎【分析】要证DM=DN只要即可，两三角形已有一条公共边，由AD平分∠BAC，可得，只要再有一角对应相等或即可，而易由AB=AC，AM=2MB，AN=2NC证得.‎ ‎10．（2015•广东梅州,第21题9分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：‎ ‎①以A为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；‎ ‎③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△ADC；‎ ‎（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．‎ ‎ ‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．‎ 分析： （1）利用SSS定理证得结论；‎ ‎（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得 x，得CE的长．‎ 解答： （1）证明：在△ABC与△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS）；‎ ‎（2）解：设BE=x，‎ ‎∵∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ABE=60°，‎ ‎∴AE=tan60°•x=x，‎ ‎∵△ABC≌△ADC，‎ ‎∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，‎ ‎∵∠BCA=45°，‎ ‎∴∠BCA=∠DCA=90°，‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=45°，‎ ‎∴CE=BE=x，‎ ‎∴x+x=4，‎ ‎∴x=2﹣2，‎ ‎∴BE=2﹣2．‎ 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．‎ ‎11．（2015•广东广州,第18题9分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． ‎ 专题： 证明题． ‎ 分析： 根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． ‎ 解答： 证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，‎ 在△ABE和△ADF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ADF（SAS），‎ ‎∴BE=AF． ‎ 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键． ‎ ‎ ‎ ‎12．(2015•江苏无锡,第21题8分）已知：如图，AB∥CD，E是AB的点，CE=DE．求证：‎ ‎(1）∠AEC=∠BED；‎ ‎(2）AC=BD．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质．‎ 专题： 证明题．‎ 分析： （1）根据CE=DE得∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；‎ ‎(2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．‎ 解答： 证明：（1）∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，‎ ‎∵CE=DE，‎ ‎∴∠ECD=∠EDC，‎ ‎∴∠AEC=∠BED；‎ ‎(2）∵E是AB的点，‎ ‎∴AE=BE，‎ 在△AEC和△BED，‎ ‎，‎ ‎∴△AEC≌△BED（SAS），‎ ‎∴AC=BD．‎ 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，关键是根据SAS证明全等．‎ ‎ ‎ ‎13、 (2015山东青岛，第21题,8分)‎ 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△CAE；‎ ‎（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．‎ ‎【答案】略；AB∥DE且AB=DE.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据AB=AC得出∠B=∠ACB，根据AD为中线得出AD⊥BC，根据AE∥BC得出∠EAC=∠ACB，则∠B=∠EAC，根据CE⊥AE得出∠CEA=∠ADB=90°，结合AB=AC得出三角形全等；根据全等得出AE=BD，然后根据AE∥BD得出四边形ABDE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案.‎ 试题解析：（1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又∵AD是BC边上的中线 ∴AD⊥BC，即∠ADB=90°‎ ‎∵AE∥BC ∴∠EAC=∠ACB ∴∠B=∠EAC ∵CE⊥AE ∴∠CEA=90° ∴∠CEA=∠ADB 又AB=AC ∴△ABD≌△CAE（AAS）‎ （2） AB∥DE且AB=DE。 ‎ 由（1）△ABD≌△CAE可得AE=BD， 又AE∥BD，所以四边形ABDE是平行四边形 ‎∴AB∥DE且AB=DE 考点：三角形全等、平行四边形的性质和判定.‎ ‎14．（2015·湖北省武汉市，第18题8分）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF 求证：(1) △ABC≌△DEF ‎ (2) AB∥DE ‎1.【思路分析】由AC⊥BC，DF⊥EF，知∠ACB=∠DFE，结合AC＝DF， BC＝EF可说明△ABC≌△DEF；（2）△ABC≌△DEF，故∠ACB=∠DFE，所以AB∥DE.‎ 证明：（1）∵AC⊥BC，DF⊥EF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE，‎ ‎∵AC＝DF， BC＝EF，‎ ‎∴△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）∵△ABC≌△DEF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE，‎ ‎∴AB∥DE.‎ 备考指导：（1）当题目中已知两边“SS”时，根据三角形全等的判定条件，可选择“SAS”，或“SSS”进一步探索推理的思路；若已知一边一角“SA”时，可根据题意再补上一角或另一边，应用“SAS”，或“ASA”，或“AAS”进行说理；若已知两角“AA”时，则应补上一边，利用“AAS”，或“ASA”进行推理．总之，应根据具体条件灵活选择适当的判定方法；（2）证明两直线平行，就要说明这两条直线形成的内错角相等或同为角相等或同旁内角互补．‎ ‎15.（2015·湖北省孝感市，第17题8分）‎ 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中 ‎，．对角线，相交于点，，，垂足分别是，．求证．‎ 考点：全等三角形的判定与性质．.‎ 专题：证明题；新定义．‎ 分析：欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．‎ 解答：证明：∵在△ABD和△CBD中，，‎ ‎∴△ABD≌△CBD（SSS），‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴BD平分∠ABC．‎ 又∵OE⊥AB，OF⊥CB，‎ ‎∴OE=OF．‎ 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．‎