福建省厦门一中中考数学一模试卷解析版

福建省厦门一中中考数学一模试卷解析版

‎2015年福建省厦门一中中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．sin45°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎　‎ ‎2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎3．9的算术平方根是（　　）‎ A．81 B．3 C．﹣3 D．±3‎ ‎　‎ ‎4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x=1 B．x≥1 C．x＞1 D．x＜1‎ ‎　‎ ‎5．两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（　　）‎ A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角 C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角 ‎　‎ ‎6．2015年的世界无烟日期间，小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中20个成年人吸烟，对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（　　）‎ A．调查的方式是普查 B．本地区约有20%的成年人吸烟 C．样本是20个吸烟的成年人 D．本地区只有80个成年人不吸烟 ‎　‎ ‎7．有一组数据0、1、2、3、4、x、6的中位数是3，则这组数据x的取值范围（　　）‎ A．5 B．x≥4 C．x≥3 D．x≤3‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（　　）‎ A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离 B．当BC等于2时，l与⊙O相切 C．当BC等于1时，l与⊙O相交 D．当BC不为1时，l与⊙O不相切 ‎　‎ ‎9．二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣1与x轴的交点x1，x2，x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）‎ A．x1＜1＜x2＜2 B．x1＜1＜2＜x2 C．x2＜x1＜1 D．2＜x1＜x2‎ ‎　‎ ‎10．已知点A在半径为3的⊙O内，OA等于1，点B是⊙O上一点，连接AB，当∠OBA取最大值时，AB长度为（　　）‎ A． B．2 C．3 D．2‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分）‎ ‎11．2的相反数是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．已知∠α=30°，∠α的余角为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．不等式2x﹣4＞0的解集是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．如图，大圆半径为6，小圆半径为2，在如图所示的圆形区域中，随机撒一把豆子，多次重复这个实验，若把“豆子落在小圆区域A中”记作事件W，请估计事件W的概率P（W）的值　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．已知⊙O的半径4，点A，M为⊙O上两点，连接OM，AO，∠MOA=60°，作点M关于圆心O的对称点N，连接AN，则弧AN的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E．若∠FOG=45°，求矩形OACB的面积　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有9小题，共89分）‎ ‎17．在直角坐标系中画出双曲线y=．‎ ‎　‎ ‎18．解分是方程：．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎　‎ ‎20．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5，把牌洗匀后先抽取一张，记下颜色和数字后将牌放回，洗匀后再抽取一张，则两次抽得相同颜色的概率是多少？‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．‎ ‎　‎ ‎22．在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD，AD=4，CD=3，AC=5，cos∠BCA=sin∠BAC=，求∠BDC的大小．‎ ‎　‎ ‎23．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100米，宽50米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由．‎ ‎　‎ ‎24．如图，已知A、B、C、D是⊙O上四点，点E在弧AD上，连接BE交AD于点Q，若∠AQE=∠EDC，∠CQD=∠E，求证：AQ=BC．‎ ‎　‎ ‎25．已知双曲线y=和直线y=﹣2x，点C（a，b）（ab＜2）在第一象限，过点C作x轴的垂线交双曲线于F，交直线于B，过点C作y轴的垂线交双曲线于E，交直线于A．‎ ‎（1）若b=1，则结论“A、E不能关于直线FB对称”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．‎ ‎（2）若∠CAB=∠CFE，设w=AC•EC，当1≤a＜2时，求w的取值范围．‎ ‎　‎ ‎26．若抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”．‎ ‎（1）请猜猜看：抛物线y=x2+x﹣1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；‎ ‎（2）若抛物线y=ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（﹣，0），若S△ABC=，求直线AB解析式．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年福建省厦门一中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．sin45°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可．‎ ‎【解答】解：sin45°=．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．‎ ‎　‎ ‎2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；‎ B、不是轴对称图形，故错误；‎ C、是轴对称图形，故正确；‎ D、不是轴对称图形，故错误．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．‎ ‎　‎ ‎3．9的算术平方根是（　　）‎ A．81 B．3 C．﹣3 D．±3‎ ‎【考点】算术平方根．‎ ‎【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．‎ ‎【解答】解：∵32=9，‎ ‎∴9算术平方根为3．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．‎ ‎　‎ ‎4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x=1 B．x≥1 C．x＞1 D．x＜1‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件．‎ ‎【分析】二次根式有意义：被开方数是非负数．‎ ‎【解答】解：由题意，得 x﹣1≥0，‎ 解得，x≥1．‎ 故选B．‎ ‎【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ‎　‎ ‎5．两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（　　）‎ A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角 C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角 ‎【考点】相交线．‎ ‎【专题】分类讨论．‎ ‎【分析】根据两条直线相交有垂直相交和斜交两种情况，所以A、B、C均考虑不全面，故选D．‎ ‎【解答】解：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：‎ ‎①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；‎ ‎②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；‎ 综上所述，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了相交线，需要灵活掌握相交直线的两种情况．‎ ‎　‎ ‎6．2015年的世界无烟日期间，小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中20个成年人吸烟，对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（　　）‎ A．调查的方式是普查 B．本地区约有20%的成年人吸烟 C．样本是20个吸烟的成年人 D．本地区只有80个成年人不吸烟 ‎【考点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量．‎ ‎【分析】根据调查方式，可判断A，根据样本估计总体，可判断B，D，根据样本容量的定义，可判断D．‎ ‎【解答】解：A、调查方式是抽样调查，故A错误；‎ B、根据调查结果知20%的成年人吸烟，故B正确；‎ C、样本是100个成年人，故C错误；‎ D、本地区80%的成年人不吸烟，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，利用样本估计总体是解题关键．‎ ‎　‎ ‎7．有一组数据0、1、2、3、4、x、6的中位数是3，则这组数据x的取值范围（　　）‎ A．5 B．x≥4 C．x≥3 D．x≤3‎ ‎【考点】中位数．‎ ‎【分析】根据中位数的概念求解．‎ ‎【解答】解：∵这组数据共有7个，3为中位数，‎ ‎∴x≥3．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（　　）‎ A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离 B．当BC等于2时，l与⊙O相切 C．当BC等于1时，l与⊙O相交 D．当BC不为1时，l与⊙O不相切 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离，圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，可得答案．‎ ‎【解答】解：A、∵BC=0.5，∴OC=OB+CB=1.5；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=0.5＜1，∴l与⊙O相交，故A错误；‎ B、∵BC=2，∴OC=OB+CB=3；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=1.5＞1，∴l与⊙O相离，故B错误；‎ C、∵BC=1，∴OC=OB+CB=2；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=1，∴l与⊙O相切，故C错误；‎ D、∵BC≠1，∴OC=OB+CB≠2；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC≠1，∴l与⊙O不相切，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，利用了直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离；圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切．‎ ‎　‎ ‎9．二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣1与x轴的交点x1，x2，x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）‎ A．x1＜1＜x2＜2 B．x1＜1＜2＜x2 C．x2＜x1＜1 D．2＜x1＜x2‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】由y=0，解方程求出x1、x2，根据x1、x2的大小，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：当y=（x﹣1）（x﹣2）﹣1=0时，‎ 解得：x1=，x2=，‎ ‎∵0＜＜1，2＜＜3，‎ ‎∴x1＜1＜2＜x2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标的求法；熟练掌握抛物线与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．已知点A在半径为3的⊙O内，OA等于1，点B是⊙O上一点，连接AB，当∠OBA取最大值时，AB长度为（　　）‎ A． B．2 C．3 D．2‎ ‎【考点】垂径定理．‎ ‎【分析】当AB⊥OA时，AB取最小值，∠OBA取得最大值，然后在直角三角形OBA中利用勾股定理求PA的值即可．‎ ‎【解答】解：在△OBA中，当∠OBA取最大值时，OA取最大值，‎ ‎∴BA取最小值，‎ 又∵OA、OB是定值，‎ ‎∴BA⊥OA时，BA取最小值；‎ 在直角三角形OBA中，OA=1，OB=3，‎ ‎∴ABA==2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当BA⊥OA时，BA取最小值”即“BA⊥OA时，∠OBA取最大值”这一隐含条件．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分）‎ ‎11．2的相反数是　﹣2　．‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据相反数的定义可知．‎ ‎【解答】解：﹣2的相反数是2．‎ ‎【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．‎ ‎　‎ ‎12．已知∠α=30°，∠α的余角为　60°　．‎ ‎【考点】余角和补角．‎ ‎【分析】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．‎ ‎【解答】解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣30°=60°．‎ 故答案为：60°．‎ ‎【点评】此题考查了余角，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90度．‎ ‎　‎ ‎13．不等式2x﹣4＞0的解集是　x＞2　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式．‎ ‎【分析】两边同时加4，再同时除以2，不等号不变．‎ ‎【解答】解：∵2x﹣4＞0，‎ ‎∴2x＞4，‎ ‎∴x＞2．‎ ‎【点评】不等式两边同时加上一个数或除以一个正数，不等式方向不变．‎ ‎　‎ ‎14．如图，大圆半径为6，小圆半径为2，在如图所示的圆形区域中，随机撒一把豆子，多次重复这个实验，若把“豆子落在小圆区域A中”记作事件W，请估计事件W的概率P（W）的值　　．‎ ‎【考点】模拟实验；几何概率．‎ ‎【分析】本题可以按照几何概型来估计事件W的概率P（W）的值，首先求出两个圆的面积，再由小圆的面积：大圆的面积，其比值即为P（W）的值．‎ ‎【解答】解：∵大圆半径为6，小圆半径为2，‎ ‎∴S大圆=36π，S小圆=4π，‎ ‎∴P（W）==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，题目的运算比较简单，注意不要丢分．‎ ‎　‎ ‎15．已知⊙O的半径4，点A，M为⊙O上两点，连接OM，AO，∠MOA=60°，作点M关于圆心O的对称点N，连接AN，则弧AN的长是　　．‎ ‎【考点】弧长的计算．‎ ‎【分析】首先求得圆心角∠AON，然后利用弧长公式即可求解．‎ ‎【解答】解：∠AON=180°﹣60°=120°，‎ 则弧AN的长是： =．‎ 故答案是：．‎ ‎【点评】本题考查了弧长公式，正确记忆公式是关键．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E．若∠FOG=45°，求矩形OACB的面积　8　．‎ ‎【考点】一次函数综合题．‎ ‎【分析】根据一次函数解析式求得OD=OE=4，则△EOD是等腰直角三角形，得出∠ODE=∠OED=45°，由∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG，∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG得出∠DOF=∠OGE，从而证得△DOF∽△EGO，得出=，DF•EG=OE•OD=16，过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．则易知DF=b，GE=a，得出DF•GE=2ab=16，求得ab=8．‎ ‎【解答】解：∵直线y=﹣x+4与x轴，y轴分别交于点D，点E，‎ ‎∴OD=OE=4，‎ ‎∴∠ODE=∠OED=45°；‎ ‎∴∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG，‎ ‎∵∠EOF=45°，‎ ‎∴∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG，‎ ‎∴∠DOF=∠OGE，‎ ‎∴△DOF∽△EGO，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DF•EG=OE•OD=16，‎ 过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．‎ ‎∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，‎ ‎∵NG=AC=a，FM=BC=b，‎ ‎∴DF=b，GE=a，‎ ‎∴DF•GE=2ab，‎ ‎∴2ab=16，‎ ‎∴ab=8，‎ ‎∴矩形OACB的面积=ab=8．‎ 故答案为8．‎ ‎【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质找出辅助线构建等腰直角三角形，求得DF=b，GE=a是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有9小题，共89分）‎ ‎17．在直角坐标系中画出双曲线y=．‎ ‎【考点】反比例函数的图象．‎ ‎【分析】用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．‎ ‎【解答】解：列表如下：‎ ‎ x ‎﹣‎ ‎ 1‎ ‎﹣1‎ ‎ 2‎ ‎﹣2‎ ‎ y ‎ 4‎ ‎﹣4‎ ‎ 2‎ ‎﹣2‎ ‎ 1‎ ‎﹣1‎ 函数图象如下：‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的图象．列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．‎ ‎　‎ ‎18．解分是方程：．‎ ‎【考点】解分式方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：x=2，‎ 经检验x=2是增根，分式方程无解．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎【考点】平行四边形的判定．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据角平分线的性质可得∠1=∠2，再根据平行线的性质可得∠1=∠F，由CE=CF，可得∠F=∠3，再利用等量代换可得∠2=∠3，进而可得判定AD∥BC，然后可得四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎【解答】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠F，‎ ‎∵CE=CF，‎ ‎∴∠F=∠3，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．‎ ‎　‎ ‎20．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5，把牌洗匀后先抽取一张，记下颜色和数字后将牌放回，洗匀后再抽取一张，则两次抽得相同颜色的概率是多少？‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】红桃3、红桃4和黑桃5分别用A、B、C表示，画出树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽得相同颜色的结果数，然后利用概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图：红桃3、红桃4和黑桃5分别用A、B、C表示，‎ 共有9种等可能的结果数，其中两次抽得相同颜色的结果数为5种，‎ 所有两次抽得相同颜色的概率=．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求事件A或B的概率．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．‎ ‎【解答】解：如图：在Rt△ABC中，‎ BC==3，‎ 作BE⊥MC，垂足是E，‎ ‎∵∠ACB=∠BEC=90°，‎ ‎∴△ACB∽△BCE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴BE=，‎ ‎∴点B到直线MC的距离．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD，AD=4，CD=3，AC=5，cos∠BCA=sin∠BAC=，求∠BDC的大小．‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质；解直角三角形．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】先利用勾股定理的逆命题得到∠ADC=90°，再根据特殊角的三角函数值得到∠BCA=60°，∠BAC=30°，则∠ABC=90°，根据新定义得到四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上，然后根据圆周角定理即可得到∠BDC=∠BAC=30°．‎ ‎【解答】解：∵AD=4，CD=3，AC=5，‎ ‎∴AD2+CD2=AC2，‎ ‎∴△ADC为直角三角形，∠ADC=90°，‎ ‎∵cos∠BCA=sin∠BAC=，‎ ‎∴∠BCA=60°，∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ABC=180°﹣60°﹣30°=90°，‎ ‎∴四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上，‎ ‎∴∠BDC=∠BAC=30°．‎ ‎【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了解直角三角形和圆周角定理．‎ ‎　‎ ‎23．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100米，宽50米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由．‎ ‎【考点】一元一次方程的应用．‎ ‎【分析】可设种植作物甲的面积是x平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x）平方米，根据甲、乙两种作物的总产量的比为3：4，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设种植作物甲的面积是x平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x）平方米，依题意有 x：[2（100×50﹣x）]=3：4，‎ 解得x=3000，‎ ‎100×50﹣x ‎=5000﹣3000‎ ‎=2000．‎ 故种植作物甲的面积是3000平方米，种植作物乙的面积是2000平方米，使甲、乙两种作物的总产量的比为3：4．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，得出两部分面积之比．‎ ‎　‎ ‎24．如图，已知A、B、C、D是⊙O上四点，点E在弧AD上，连接BE交AD于点Q，若∠AQE=∠EDC，∠CQD=∠E，求证：AQ=BC．‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】首先根据圆周角定理，可得∠A=∠E，再根据∠CQD=∠E，可得∠CQD=∠A，所以AB∥CQ；然后根据圆内接四边形的性质，以及∠AQE=∠EDC，判断出BC∥AQ，即可判断出四边形ABCQ是平行四边形，所以AQ=BC，据此解答即可．‎ ‎【解答】证明：如图：‎ ‎，‎ 根据圆周角定理，可得∠A=∠E，‎ ‎∵∠CQD=∠E，‎ ‎∴∠CQD=∠A，‎ ‎∴AB∥CQ，‎ ‎∵∠EBC+∠EDC=180°，∠AQB+∠AQE=180°，‎ ‎∴∠EBC+∠EDC=∠AQB+∠AQE，‎ ‎∵∠AQE=∠EDC，‎ ‎∴∠EBC=∠AQE，‎ ‎∴BC∥AQ，‎ 又∵AB∥CQ，‎ ‎∴四边形ABCQ是平行四边形，‎ ‎∴AQ=BC．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎（2）此题还考查了平行四边形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．‎ ‎（3）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．‎ ‎　‎ ‎25．已知双曲线y=和直线y=﹣2x，点C（a，b）（ab＜2）在第一象限，过点C作x轴的垂线交双曲线于F，交直线于B，过点C作y轴的垂线交双曲线于E，交直线于A．‎ ‎（1）若b=1，则结论“A、E不能关于直线FB对称”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．‎ ‎（2）若∠CAB=∠CFE，设w=AC•EC，当1≤a＜2时，求w的取值范围．‎ ‎【考点】反比例函数综合题；因式分解-提公因式法；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】综合题；反比例函数及其应用．‎ ‎【分析】（1）要说明一个结论错误，只需举一个反例即可，事实上，当a=时，可证到A、E关于直线FB对称；‎ ‎（2）根据点C的坐标可得到点A、E、B、F的坐标（用a和b的代数式表示），由ab＜2可证到点F在点C的上方，结合图象用a和b的代数式分别表示出CA、CE、CB、CF的长，然后由∠CAB=∠CFE证到△ACB∽△FCE，运用相似三角形的性质可得到CA•CE=CB•CF，由此结合因式分解可得到a与b的等量关系，从而得到w与a的函数关系，然后只需运用函数的增减性就可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）结论“A、E不能关于直线FB对称”不正确．‎ 反例：当a=时，‎ 由b=1可得yA=yE=1．‎ ‎∵点A在直线y=﹣2x上，点E在双曲线y=上，‎ ‎∴xA=﹣，xE=2，‎ ‎∴AC=﹣（﹣）=，CE=2﹣=，‎ ‎∴AC=CE．‎ ‎∵AE⊥BF，‎ ‎∴A、E关于直线FB对称，‎ ‎∴结论“A、E不能关于直线FB对称”不正确；‎ ‎（2）由题可得：yA=yE=yC=b，xB=xF=xC=a．‎ ‎∵点A、B在直线y=﹣2x上，点E、F在双曲线y=上，‎ ‎∴xA=﹣，yB=﹣2a，xE=，yF=．‎ ‎∵ab＜2，‎ ‎∴b＜，‎ ‎∴yC＜yF，‎ ‎∴点F在点C的上方（如图所示），‎ ‎∴AC=a﹣（﹣）=a+=，‎ CE=﹣a=，‎ CF=﹣b=，‎ CB=b﹣（﹣2a）=b+2a，‎ ‎∴w=AC•EC=•．‎ ‎∵∠CAB=∠CFE，∠ACB=∠FCE=90°，‎ ‎∴△ACB∽△FCE，‎ ‎∴=，即CA•CE=CB•CF，‎ ‎∴•=（b+2a）•，‎ ‎∴a（2a+b）（2﹣ab）=2b（2a+b）（2﹣ab），‎ ‎∴a（2a+b）（2﹣ab）﹣2b（2a+b）（2﹣ab）=0，‎ ‎∴（a﹣2b）（2a+b）（2﹣ab）=0．‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴2a+b＞0．‎ 又∵ab＜2，‎ ‎∴2﹣ab＞0，‎ ‎∴a﹣2b=0，‎ ‎∴w=•=﹣a2+5．‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当a＞0时，w随a的增大而减小．‎ ‎∵1≤a＜2，‎ ‎∴﹣×22+5＜w≤﹣×12+5，即0＜w≤，‎ ‎∴w的取值范围为0＜w≤．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、因式分解、二次函数的增减性等知识，在解决问题的过程中，用到了反证法，它是证明一个命题是假命题的常用的方法；另外，运用相似三角形性质及因式分解得到a与b的等量关系，是解决第（2）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．若抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”．‎ ‎（1）请猜猜看：抛物线y=x2+x﹣1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；‎ ‎（2）若抛物线y=ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（﹣，0），若S△ABC=，求直线AB解析式．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】（1）首先设A点的坐标是（m，n），根据A，B关于原点对称，判断出B点的坐标是（﹣m，﹣n）；然后根据A，B都是抛物线y=x2+x﹣1上的点，求出m、n的值各是多少，判断出抛物线y=x2+x﹣1是“完美抛物线”，并写出A，B坐标即可．‎ ‎（2）首先根据抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，可得直线AB经过原点，设直线AB解析式是：y=kx；设点A的坐标是（p，q），则B点的坐标是（﹣p，﹣q）；然后根据A、B都是抛物线y=x2+x﹣1上的点，抛物线与x轴交于（﹣，0），可得2b﹣ac=4；最后根据S△ABC=，求出b的值是多少，进而判断出直线AB的斜率是多少，求出直线AB解析式即可．‎ ‎【解答】解：（1）设A点的坐标是（m，n），‎ ‎∵A，B关于原点对称，‎ ‎∴B点的坐标是（﹣m，﹣n），‎ ‎∵A，B都是抛物线y=x2+x﹣1上的点，‎ ‎∴，‎ 解得m=1或m=﹣1，‎ ‎①当m=1时，‎ n=12+1﹣1=1，‎ ‎②当m=﹣1时，‎ n=（﹣1）2﹣1﹣1=﹣1，‎ ‎∴抛物线y=x2+x﹣1是“完美抛物线”，‎ A（1，1）、B（﹣1，﹣1）或A（﹣1，﹣1）、B（1，1）．‎ ‎（2）∵抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，‎ ‎∴直线AB经过原点，‎ ‎∴设直线AB解析式是：y=kx，‎ 设点A的坐标是（p，q），‎ 则B点的坐标是（﹣p，﹣q），‎ ‎∴，‎ ‎∴ap2+c=0，‎ ‎∴bp=q，‎ ‎∴，‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（﹣，0），‎ ‎∴，‎ ‎∴2b﹣ac=4，‎ ‎∵点C的坐标是（0，c），‎ ‎∴|cp×2|=，‎ ‎∴，‎ ‎∴p2=，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴b2=﹣ac，‎ 又∵2b﹣ac=4，‎ ‎∴b2+2b﹣4=0，‎ ‎∴b=﹣1，‎ ‎∵S△ABC=＞0，‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∴b=﹣1，‎ 又∵bp=q，‎ ‎∴，‎ 即直线AB的斜率是：k=，‎ ‎∴直线AB解析式是：y=（﹣1）x．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征，以及对“完美抛物线”的含义的理解，要熟练掌握．‎ ‎（2）此题还考查了直线的解析式的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出直线AB的斜率是多少．‎ ‎　‎