全国中考数学压轴题全析全解

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全国中考数学压轴题全析全解

全国中考数学压轴题全析全解 ‎1、(2006重庆)如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形(如图2所示).将纸片沿直线(AB)方向平移(点始终在同一直线上),当点于点B重合时,停止平移.在平移过程中,与交于点E,与分别交于点F、P.‎ (1) 当平移到如图3所示的位置时,猜想图中的与的数量关系,并证明你的猜想;‎ (2) 设平移距离为,与重叠部分面积为,请写出与的函数关系式,以及自变量的取值范围;‎ ‎(3)对于(2)中的结论是否存在这样的的值,使重叠部分的面积等于原面积的.‎ 若存在,求x的值;若不存在,请说明理由. ‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ A P C Q B D ‎[解] (1).因为,所以.‎ 又因为,CD是斜边上的中线,‎ 所以,,即 所以,,所以 所以,.同理:.‎ 又因为,所以.所以 ‎(2)因为在中,,所以由勾股定理,得 即 又因为,所以.所以 在中,到的距离就是的边上的高,为.‎ 设的边上的高为,由探究,得,所以.‎ 所以.‎ 又因为,所以.‎ 又因为,.‎ 所以 ,‎ 而 所以 ‎(3) 存在. 当时,即 整理,得解得,.‎ 即当或时,重叠部分的面积等于原面积的 ‎2、(2006浙江金华)如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.‎ ‎(1)求直线AB的解析式;‎ ‎(2)若S梯形OBCD=,求点C的坐标;‎ ‎(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)直线AB解析式为:y=x+. ‎ ‎(2)方法一:设点C坐标为(x,x+),那么OD=x,CD=x+.  ‎ ‎∴==.‎ 由题意: =,解得(舍去)‎ ‎∴ C(2,)‎ 方法二:∵ ,=,∴.‎ 由OA=OB,得∠BAO=30°,AD=CD.‎ ‎∴ =CD×AD==.可得CD=. ‎ ‎∴ AD=1,OD=2.∴C(2,).‎ ‎(3)当∠OBP=Rt∠时,如图 ‎ ①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=3,‎ ‎∴(3,).‎ ‎ ②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=OB=1.‎ ‎∴(1,).‎ 当∠OPB=Rt∠时 ‎③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°‎ 过点P作PM⊥OA于点M.‎ 方法一: 在Rt△PBO中,BP=OB=,OP=BP=.‎ ‎∵ 在Rt△PMO中,∠OPM=30°,‎ ‎∴ OM=OP=;PM=OM=.∴(,).‎ 方法二:设P(x ,x+),得OM=x ,PM=x+‎ 由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.‎ ‎∵tan∠POM=== ,tan∠ABOC==.‎ ‎∴x+=x,解得x=.此时,(,). ‎ ‎④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.   ‎ ‎   ∴ PM=OM=.‎ ‎∴ (,)(由对称性也可得到点的坐标).‎ 当∠OPB=Rt∠时,点P在x轴上,不符合要求.‎ 综合得,符合条件的点有四个,分别是:‎ ‎(3,),(1,),(,),(,).‎ ‎3、(2006山东济南)如图1,已知中,,.过点作,且,连接交于点.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)以点为圆心,为半径作⊙A,试判断与⊙A是否相切,并说明理由;‎ ‎(3)如图2,过点作,垂足为.以点为圆心,为半径作⊙A;以点为圆心,为半径作⊙C.若和的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使点在⊙A的内部,点在⊙A的外部,求和的变化范围.‎ A B C P E E A B C P D 图1‎ 图2‎ ‎[解]‎ ‎(1)在中,,‎ ‎    . ‎ ‎    ,.‎ ‎    .‎ ‎    ,. ‎ ‎(2)与⊙A相切.‎ ‎    在中,,,‎ ‎    ,. ‎ ‎    又,,‎ ‎    与⊙A相切. ‎ ‎(3)因为,所以的变化范围为. ‎ ‎    当⊙A与⊙C外切时,,所以的变化范围为;‎ ‎    当⊙A与⊙C内切时,,所以的变化范围为.‎ ‎4、(2006山东烟台)如图,已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点,‎ ‎(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;‎ ‎(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证:点D在l2上;‎ ‎(3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由。‎ ‎[解]‎ ‎(1)设l2的解析式为y=a(x-h)2+k ‎∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,‎ ‎ ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4)‎ ‎ ∴y=ax2+4 ‎ ‎ ∴0=‎4a+4 得 a=-1‎ ‎ ∴l2的解析式为y=-x2+4 ‎ ‎ (2)设B(x1 ,y1)‎ ‎ ∵点B在l1上 ‎ ∴B(x1 ,x12-4) ‎ ‎ ∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称 ‎ ∴B、D关于O对称 ‎ ∴D(-x1 ,-x12+4). ‎ ‎ 将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2:y=-x2+4‎ ‎ ∴左边=右边 ‎ ∴点D在l2上. ‎ ‎ (3)设平行四边形ABCD的面积为S,则 ‎ S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|‎ ‎ a.当点B在x轴上方时,y1>0‎ ‎ ∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,‎ ‎ ∴S既无最大值也无最小值 ‎ b.当点B在x轴下方时,-4≤y1<0‎ ‎ ∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,‎ ‎ ∴当y1 =-4时,S由最大值16,但他没有最小值 ‎ 此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.‎ ‎ ∴AC⊥BD ‎ ∴平行四边形ABCD是菱形 ‎ 此时S最大=16. ‎ ‎5、(2006浙江嘉兴)某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行堪测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上.以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知AB所在抛物线的解析式为,BC所在抛物线的解析式为,且已知.‎ ‎(1)设是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标;‎ ‎(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为‎20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于‎20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).‎ ‎①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米);‎ ‎②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么?‎ ‎(3)在山坡上的‎700米高度(点D)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站.索道的起点选择在山脚水平线上的点E处,(米).假设索道DE可近似地看成一 段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为.试求索道的最大悬空高度.‎ 上山方向 长度 高度 ‎[解] (1)∵是山坡线AB上任意一点,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴=4,∴‎ ‎(2)在山坡线AB上,,‎ ‎①令,得 ;令,得 ‎∴第一级台阶的长度为(百米)(厘米)‎ 同理,令、,可得、‎ ‎∴第二级台阶的长度为(百米)(厘米)‎ 第三级台阶的长度为(百米)(厘米)‎ ‎②取点,又取,则 ‎∵‎ ‎∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚 ‎ ‎(注:事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到‎700米高度,共500级.从‎100米高度到‎700米高度都不能铺设这种台阶.解题时取点具有开放性)‎ ‎②另解:连接任意一段台阶的两端点P、Q,如图 ‎∵这种台阶的长度不小于它的高度 ‎∴‎ 当其中有一级台阶的长大于它的高时, ‎ 在题设图中,作于H 则,又第一级台阶的长大于它的高 ‎∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚 ‎ 上山方向 ‎(3)‎ ‎、、、‎ 由图可知,只有当索道在BC上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值 索道在BC上方时,悬空高度 当时,‎ ‎∴索道的最大悬空高度为米.‎ ‎6、(2006山东潍坊)已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.‎ ‎(1)求一次函数与二次函数的解析式;‎ ‎(2)判断以线段为直径的圆与直线的位置关系,并给出证明;‎ ‎(3)把二次函数的图象向右平移个单位,再向下平移个单位,二次函数的图象与轴交于两点,一次函数图象交轴于点.当为何值时,过三点的圆的面积最小?最小面积是多少?‎ ‎[解](1)把代入得,‎ 一次函数的解析式为; ‎ 二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴,‎ ‎ 设二次函数解析式为,‎ ‎ 把代入得,‎ 二次函数解析式为. ‎ ‎(2)由 解得或,‎ ‎,‎ 过点分别作直线的垂线,垂足为,‎ 则,‎ 直角梯形的中位线长为,‎ 过作垂直于直线于点,则,,‎ ‎,‎ ‎ 的长等于中点到直线的距离的2倍,‎ 以为直径的圆与直线相切.‎ ‎(3)平移后二次函数解析式为,‎ 令,得,,,‎ ‎ 过三点的圆的圆心一定在直线上,点为定点,‎ ‎ 要使圆面积最小,圆半径应等于点到直线的距离,‎ 此时,半径为2,面积为,‎ 设圆心为中点为,连,则,‎ 在三角形中,,‎ ‎,而,,‎ ‎ 当时,过三点的圆面积最小,最小面积为.‎ ‎7、(2006江西)问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:‎ ‎①如图1,在正三角形△ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60º,则BM=CN;‎ ‎②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90º,则BM=CN;‎ 然后运用类比的思想提出了如下命题:‎ ‎③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108º,则BM=CN。‎ 任务要求:‎ ‎(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对得4分,选②做对得3分,选③做对得5分)‎ ‎(2)请你继续完成下列探索:‎ ‎①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH,使点H在正五边形的边上,且与CN相交所成的一个角是108º,这样的线段有几条?(不必写出画法,不要求证明)‎ ‎②如图4,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108º,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。‎ B O C M N A 图1‎ A B C M N O D 图2 ‎ 图4 ‎ N M O E D C B A ‎[解] (1)以下答案供参考:‎ ‎ (1) 如选命题①‎ ‎ 证明:在图1中,∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°‎ ‎∵∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3 ‎ 又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN ‎ ‎∴BM=CN (2)如选命题②‎ 证明:在图2中,∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°‎ ‎∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3 ‎ 又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN ‎ ‎∴BM=CN ‎ ‎(3)如选命题③‎ 证明;在图3中,∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°‎ ‎∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 ‎ 又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°‎ ‎∴ΔBCM≌ΔCDN ‎ ‎∴BM=CN ‎ ‎(2)①答:当∠BON=时结论BM=CN成立. ‎ ‎②答当∠BON=108°时。BM=CN还成立 ‎ 证明;如图5连结BD、CE. ‎ 在△BCI)和△CDE中 ‎∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE ‎∴ΔBCD≌ ΔCDE ‎∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN ‎ ‎∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN ‎ ‎∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°‎ ‎∴∠MBC=∠NCD 又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN ‎ ‎∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN ‎8、(2006吉林长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ∥x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为S。‎ ‎(1)求点A的坐标。‎ ‎(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式。‎ ‎(3)在(2)的条件下,S是否有最大值?若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由。‎ ‎(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是____________。‎ ‎[解] (1)由 可得 ‎ ∴A(4,4)。‎ ‎(2)点P在y = x上,OP = t,‎ 则点P坐标为 点Q的纵坐标为,并且点Q在上。‎ ‎∴,‎ 即点Q坐标为。‎ ‎。‎ 当时,。‎ 当,‎ ‎ ‎ 当点P到达A点时,,‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎(3)有最大值,最大值应在中,‎ 当时,S的最大值为12。‎ ‎(4)。‎ ‎9、(2006湖南常德)把两块全等的直角三角形和叠放在一起,使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合,其中,,,把三角板固定不动,让三角板绕点旋转,设射线与射线相交于点,射线与线段相交于点.‎ ‎(1)如图9,当射线经过点,即点与点重合时,易证.此时,      .‎ ‎(2)将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转,设旋转角为.其中 ‎,问的值是否改变?说明你的理由.‎ B E P A D(O)‎ C Q F M B E P A C Q F D(O)‎ D(O)‎ B(Q)‎ C F E A P 图1‎ 图3‎ 图3‎ ‎(3)在(2)的条件下,设,两块三角板重叠面积为,求与的函数关系式.‎ ‎[解] (1)8 ‎ B E P A D(O)‎ C Q F ‎  (2)的值不会改变. ‎ ‎  理由如下:在与中,‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  即 ‎   ‎ B E P A D(O)‎ C Q F N M G ‎(3)情形1:当时,,即,此时两三角板重叠部分为四边形,过作于,于,‎ ‎  ‎ ‎  由(2)知:得 ‎  于是 ‎     ‎ ‎  情形2:当时,时,即,此时两三角板重叠部分为,‎ ‎  由于,,易证:,‎ ‎  即解得 ‎  ‎ ‎  于是 ‎  综上所述,当时,‎ ‎       当时,‎ ‎                ‎ 法二:连结,并过作于点,在与中,‎ ‎    ‎ 法三:过作于点,在中,‎ ‎  ‎ ‎    ‎ ‎    ‎ ‎ 于是在与中 ‎ ‎ ‎     ‎ ‎     ‎ 即 ‎10、(2006湖北宜昌)如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n<0=以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB=2OA.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE.过点A的直线y=kx+m 交y轴于点F,FB=FA.抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM⊥x轴,垂足为点M.(1)求k的值;‎ ‎(2)点A位置改变时,△AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由.‎ ‎[解] (1)根据题意得到:E(3n,0), G(n,-n)‎ 当x=0时,y=kx+m=m,∴点F坐标为(0,m)‎ ‎∵Rt△AOF中,AF2=m2+n2,‎ ‎∵FB=AF,‎ ‎∴m2+n2=(-2n-m)2,‎ 化简得:m=-0.75n, ‎ 对于y=kx+m,当x=n时,y=0,‎ ‎∴0=kn-0.75n,‎ ‎∴k=0.75 ‎ ‎(2)∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G,‎ ‎∴ ‎ 解得:a=,b=-,c=-0.75n ‎ ‎∴抛物线为y=x2-x-0.75n ‎ 解方程组: ‎ 得:x1=5n,y1=3n;x2=0,y2=-0.75n ‎ ‎ ∴H坐标是:(5n,3n),HM=-3n,AM=n-5n=-4n,‎ ‎∴△AMH的面积=0.5×HM×AM=6n2; ‎ 而矩形AOBC 的面积=2n2,∴△AMH的面积∶矩形AOBC 的面积=3:1,不随着点A的位置的改变而改变. ‎ ‎11、(2006北京海淀)如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。‎ ‎ (1)若,求CD的长;‎ ‎ (2)若 ∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。‎ ‎[解]‎ ‎(1)因为AB是⊙O的直径,OD=5‎ ‎ 所以∠ADB=90°,AB=10‎ ‎ 在Rt△ABD中,‎ ‎ 又,所以,所以 ‎ ‎ 因为∠ADB=90°,AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ (2)因为AB是⊙O的直径,AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD ‎ 因为AO=DO,所以∠BAD=∠ADO ‎ 所以∠CDB=∠ADO ‎ ‎ 设∠ADO=4x,则∠CDB=4x ‎ 由∠ADO:∠EDO=4:1,则∠EDO=x ‎ 因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°‎ ‎ 所以 ‎ 所以x=10°‎ ‎ 所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°‎ ‎ 所以∠AOC=∠AOD=100°‎ ‎ ‎ ‎12、(2006湖南长沙)如图1,已知直线与抛物线交于两点.‎ ‎(1)求两点的坐标;‎ ‎(2)求线段的垂直平分线的解析式;‎ ‎(3)如图2,取与线段等长的一根橡皮筋,端点分别固定在两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动,动点将与构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.‎ P A 图2‎ 图1‎ ‎[解]‎ ‎(1)解:依题意得解之得 ‎ ‎ ‎(2)作的垂直平分线交轴,轴于两点,交于(如图1)‎ 图1‎ D M A C B E ‎ 由(1)可知:‎ ‎ ‎ ‎ 过作轴,为垂足 ‎ 由,得:,‎ ‎ 同理: ‎ ‎ 设的解析式为 ‎ ‎ ‎ 的垂直平分线的解析式为:.‎ ‎(3)若存在点使的面积最大,则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上,并设该直线与轴,轴交于两点(如图2).‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 抛物线与直线只有一个交点,‎ ‎ ,‎ P A 图2‎ H G B ‎ 在直线中,‎ ‎ 设到的距离为,‎ ‎ ‎ ‎ 到的距离等于到的距离.‎ ‎ .‎ ‎13、(2006广东)如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.‎ ‎ (1)求点B的坐标;‎ ‎ (2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;‎ ‎(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且=,求这时点P的坐标。‎ ‎[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.‎ ‎∵ 四边形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴∠BAQ=∠COA=60°‎ 在RtΔBQA中,BA=4,‎ ‎∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=‎ AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,‎ ‎∴OQ=OA-AQ=7-2=5‎ ‎∵点B在第一象限内,‎ ‎∴点B的的坐标为(5, )‎ ‎(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,‎ 此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,‎ ‎∴点P的坐标为(4,0)‎ 若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4‎ ‎∴点P的坐标为(-4,0)‎ ‎∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)‎ ‎(3)若∠CPD=∠OAB ‎∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°,‎ ‎∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴,‎ AD=AB-BD=4-=‎ AP=OA-OP=7-OP ‎∴‎ 得OP=1或6‎ ‎∴点P坐标为(1,0)或(6,0).‎
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