中考数学压轴题特训详解及中考易错题集锦

中考数学压轴题特训详解及中考易错题集锦

中考数学压轴题汇编（1）‎ 开始 y与x的关系式 结束 输入x 输出y ‎1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：‎ ‎（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；‎ ‎（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。‎ ‎（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；‎ ‎（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）‎ ‎【解】（1）当P=时，y=x＋,即y=。‎ ‎∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分 ‎（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。‎ 如取h=20,y=,……8分 ‎∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 　 ①‎ 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②‎ 由①②解得， ∴。………14分 ‎2、（常州）已知与是反比例函数图象上的两个点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由，得，因此． 2分 ‎（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．‎ 由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．‎ 当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，‎ 故不符题意． 3分 当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，‎ 过点分别作轴，轴的平行线，交于点．‎ 由于，设，则，，‎ 由点，得点．‎ 因此，‎ 解之得（舍去），因此点．‎ 图2‎ 图1‎ 此时，与的长度不等，故四边形是梯形． 5分 如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．‎ 由于，因此，从而．作轴，为垂足，‎ 则，设，则，‎ 由点，得点，‎ 因此．‎ 解之得（舍去），因此点．‎ 此时，与的长度不相等，故四边形是梯形． 7分 如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，‎ 同理可得，点，四边形是梯形． 9分 图3‎ 综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或． 10分 ‎3、（福建龙岩）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴；‎ ‎（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；‎ ‎（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．‎ A C B y x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 解：（1）抛物线的对称轴………2分 ‎（2） …………5分 把点坐标代入中，解得………6分 ‎…………………………………………7分 A x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ Ｑ Ｎ Ｍ Ｋ y ‎（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．‎ 设抛物线对称轴与轴交于，与交于．‎ 过点作轴于，易得，，，‎ ① 以为腰且顶角为角的有1个：．‎ ‎ 8分 在中，‎ ‎ 9分 ‎②以为腰且顶角为角的有1个：．‎ 在中， 10分 ‎ 11分 ‎③以为底，顶角为角的有1个，即．‎ 画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．‎ 过点作垂直轴，垂足为，显然．‎ ‎．‎ ‎ 于是 13分 ‎ 14分 注：第（3）小题中，只写出点的坐标，无任何说明者不得分．‎ ‎4、（福州）如图12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；‎ 图12‎ ‎（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．‎ 解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时， = 2 .‎ ‎∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）. ‎ ‎∵ 点A是直线 与双曲线 （k>0）的交点 ,‎ ‎∴ k = 4 ×2 = 8 . ‎ ‎(2) 解法一：如图12-1，‎ ‎∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1‎ ‎∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) . ‎ 过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .‎ S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 . ‎ S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = ‎32 - 4 - 9‎ - 4 = 15 . ‎ 解法二：如图12-2，‎ 过点 C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，‎ ‎∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1 .‎ ‎∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ). ‎ ‎∵ 点C、A都在双曲线上 ,‎ ‎∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ‎ ‎∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .‎ ‎∴ S△COA = S梯形CEFA . ‎ ‎∵ S梯形CEFA = ×（2+8）×3 = 15 , ‎ ‎∴ S△COA = 15 . ‎ ‎（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,‎ ‎∴ OP=OQ，OA=OB .‎ ‎∴ 四边形APBQ是平行四边形 .‎ ‎∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 . ‎ 设点P的横坐标为（ > 0且）,‎ 得P ( , ) .‎ 过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，‎ ‎∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 .‎ 若0＜＜4，如图12-3，‎ ‎∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .‎ ‎∴ .‎ 解得= 2，= - 8(舍去) .‎ ‎∴ P（2，4）. ‎ 若 ＞ 4，如图12-4，‎ ‎∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .‎ ‎ ∴，‎ 解得 = 8， = - 2 (舍去) .‎ ‎∴ P（8，1）.‎ ‎∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）. ‎ ‎5、（甘肃陇南）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的 顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．‎ ‎(1)求、的值；‎ ‎(2）求直线PC的解析式；‎ ‎(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系，并说明理由．(参考数：，，)‎ 解： (1)由已知条件可知： 抛物线经过A(-3，0)、B(1，0)两点．‎ ‎∴ ……………………………………2分 解得 ． ………………………3分 ‎ (2) ∵， ∴ P(-1，-2)，C． …………………4分 设直线PC的解析式是，则 解得． ‎ ‎∴ 直线PC的解析式是． …………………………6分 说明：只要求对，不写最后一步，不扣分．‎ ‎ (3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．‎ 设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt△OCD中，∵ OC=，，‎ ‎∴ ． …………8分 ‎∵ OA=3，，∴AD=6． …………9分 ‎∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，‎ ‎∴ △COD∽△AED． ……………10分 ‎∴ ， 即． ∴ ． …………………11分 ‎∵ ，‎ ‎∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． …………12分 ‎6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．‎ ‎（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（3分）‎ ‎（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）‎ ‎（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）‎ 解：（1）连接，由勾股定理求得：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎ 1分 ‎ 2分 ‎（2）连接并延长，与弧和交于，‎ ‎ 1分 弧的长： 2分 圆锥的底面直径为： 3分 ‎，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 4分 ‎（3）由勾股定理求得：‎ 弧的长： 1分 圆锥的底面直径为： 2分 且 ‎ 3分 即无论半径为何值， 4分 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．‎ ‎7、（河南）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．‎ ‎（1）求抛物线解析式及顶点坐标；‎ ‎（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？‎ ‎②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ B A C D P O Q x y ‎8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.‎ ‎（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；‎ ‎（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；‎ ‎（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.‎ ‎9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．‎ ‎(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；‎ ‎(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；‎ ‎(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．‎ 图1‎ 图2‎ 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．‎ ‎∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分 ‎∴．即．∴y=(0＜x＜4)．‎ 且当x=2时，y有最大值．…………………………………………………4分 ‎(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分 设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴‎ y=．…………………………………………………………8分 ‎(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．‎ 将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，‎ ‎∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分 由得∴Q(5，6)．‎ 故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分 中考易错题集锦 A D C E F G B ‎1．如图，矩形中，cm，cm，点为边上的任意一点，四边形也是矩形，且，则 ．‎ ‎2 ．‎5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（ ）‎ s t ‎80‎ O v t ‎80‎ O v t ‎80‎ O t v O A．‎ Ｂ．‎ C．‎ D．‎ ‎80‎ A D B F C E 第20题图 ‎3 如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：①且；②；‎ ‎③；‎ ‎④，正确的个数是（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ D C B P A ‎4 如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A B C D 的路径匀速前进到D为止。在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变 化关系用图象表示正确的是（ ）‎ s t O A s t O B s t O C s t O D ‎5如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 .‎ ‎6 福娃们在一起探讨研究下面的题目：‎ 函数（为常数）的图象如左图，‎ 如果时，；那么时，‎ 函数值（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ x y O x1‎ x2‎ 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（ ）‎ 贝贝：我注意到当 ‎ 时，．‎ 晶晶：我发现图象的对 称轴为．‎ 欢欢：我判断出．‎ 迎迎：我认为关键要判断的符号． ‎ 妮妮：可以取一个特殊的值． ‎ ‎7 正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8 一个函数的图象如图，给出以下结论：‎ ‎①当时，函数值最大；‎ ‎②当时，函数随的增大而减小；‎ ‎③存在，当时，函数值为0．‎ 其中正确的结论是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎9．函数在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）‎ ‎10 如图，水平地面上有一面积为的扇形AOB，半径OA=，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（ ）A、 B、 C、 D、‎ ‎11 在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ） ‎ A、 B、C、 D、‎ ‎12 古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为‎60cm，每人离圆桌的距离均为‎10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（　　）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎13 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为‎16cm2，‎ 则该半圆的半径为（　 　）．‎ A． cm B． ‎9 cm C． cm D． cm ‎14 如图，为的四等分点，动点从圆心出发，沿路线作匀速运动，设运动时间为（s）．，则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是（ ）‎ A B C D O P B．‎ t y ‎0‎ ‎45‎ ‎90‎ D．‎ t y ‎0‎ ‎45‎ ‎90‎ A．‎ t y ‎0‎ ‎45‎ ‎90‎ C．‎ t y ‎0‎ ‎45‎ ‎90‎ ‎（第12题）‎ ‎15 如图，边长为的正内有一边长为的内接正 ‎，则的内切圆半径为 ．‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ B A ‎16 如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为⊙O的切线，‎ B为切点．则B点的坐标为 ‎ A．　　　B． C． D． ‎ ‎（第19题）‎ P ‎17 如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为 ．‎ 第（18）题图①‎ 第（18）题图②‎ D ‎1‎ ‎12‎ ‎111‎ ‎101‎ ‎21‎ ‎20‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎17‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（第19题）‎ ‎18 如图①，，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．‎ ‎19 课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为100的微生物会出现在（ ）‎ A．第3天 B．第4天 C．第5天 D．第6天 B E D A C O ‎20如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有　　‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5 个 ‎ ‎21.有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量 都是一定的.设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满.已知容器中的水量y升与时间x分之间的函数关系如图所示.则在第7分钟时，容器内的水量为 升.A.15 B.16 C.17 D.18‎ ‎21.如图，⊙O1、⊙O2内切于P点，连心线和⊙O1、⊙O2分别交于A、B两点，过P点的直线与⊙O1、⊙O2分别交于C、D两点，若∠BPC=60º，AB=2，则CD= . ‎ A.1 B‎.2 C. D. ‎ ‎22.已知:如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且OB=OC，‎ 则下列结论正确的个数是 . ①b=2a ②a-b+c>-1 ③0

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