中考攻略专题10几何三大变换之平移探讨

中考攻略专题10几何三大变换之平移探讨

‎【2013年中考攻略】专题10：几何三大变换之平移探讨 锦元数学工作室 编辑 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。‎ 在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。‎ 结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。‎ 一、构造平移图形：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．‎ ‎(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△AlBlCl．‎ ‎(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB‎2C2‎ ‎(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．‎ ‎【答案】解：（1）、（2）如图所示：‎ ‎（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B‎1C1，△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形， ∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。‎ ‎【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B‎1C1即可。‎ ‎（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB‎2C2。‎ ‎（3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B‎1C1，△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。‎ 例2.（2012黑龙江龙东地区6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：‎ ‎（1）将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B‎1C1;‎ ‎（2）写出A1、C1的坐标；‎ ‎（3）将△A1B‎1C1绕C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B‎2C1，求线段B‎1C1旋转过程中扫过的面积(结 果保留π)。‎ ‎【答案】解：（1）两次平移后的△A1B‎1C1如图所示：‎ ‎（2）由△A1B‎1C1在坐标系中的位置可知，A1（0，2）；C1（2，0）。‎ ‎（3）旋转后的图形如图所示：‎ ‎∵由勾股定理可知，，∴。‎ ‎∴线段B‎1C1旋转过程中扫过的面积为。‎ ‎【考点】作图（旋转和平移变换），扇形面积的计算。‎ ‎【分析】（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B‎1C1即可。‎ ‎（2）根据△A1B‎1C1在坐标系中的位置写出A1、C1的坐标；‎ ‎（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B‎2C1，再根据勾股定理求出B‎1C1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段B‎1C1旋转过程中扫过的面积。‎ 例3.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．‎ ‎（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B‎1C1．试在图中画出图形Rt△A1B‎1C1，并写出A1的坐标；‎ ‎（2）将Rt△A1B‎1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B‎2C2，试在图中画出图形Rt△A2B‎2C2．并计算Rt△A1B‎1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程．‎ ‎【答案】解：（1）如图所示，△A1B‎1C1即为所求作的三角形。点A1的坐标为（1，0）。‎ ‎（2）如图所示，△A2B‎2C2即为所求作的三角形。‎ 根据勾股定理，A‎1C1=，‎ ‎∴旋转过程中C1所经过的路程为。‎ ‎【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换），勾股定理，弧长的计算。‎ ‎【分析】（1）根据网格结构找出点A．B．C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可。‎ ‎（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出A‎1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。‎ 例4.（2012安徽省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.‎ ‎（1）画出一个格点△A1B‎1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；‎ ‎（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.‎ ‎【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：‎ ‎(2)作图如上，‎ ‎∵AB=，AD=，BD=，∴AB2+AD2=BD2。‎ ‎∴△ABD是直角三角形。‎ ‎∴AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。‎ ‎【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。‎ ‎【分析】（1）利用△ABC三边长度，画出以A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出 ‎△A1B‎1C1。‎ ‎（2）利用点B关于直线AC的对称点D，得出D点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。‎ 例5.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：‎ ‎（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B‎1C1.‎ ‎（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的△A2B‎2C2并写出点B2、C2的坐标.‎ ‎（3）在△ABC、△A1B‎1C1、△A2B‎2C2中，△A2B‎2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .‎ ‎【答案】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B‎1C1如图所示：‎ ‎（2）平移后的△A2B‎2C2如图所示：‎ ‎ 点B2、C2的坐标分别为（0，－2），（－2，－1）。‎ ‎（3）△A1B‎1C1；（1，－1）。‎ ‎【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。‎ ‎【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。‎ ‎ （2）根据平移的性质，点A（－2，4）→A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（－2，0）、C（－4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，－2）、C2（－2，－1），连接即可。‎ ‎ （3）如图所示。‎ 例6.（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B‎1C1，然后将△A1B‎1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B‎2C2．‎ ‎（1）在网格中画出△A1B‎1C1和△A1B‎2C2；‎ ‎（2）计算线段AC在变换到A‎1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）‎ ‎【答案】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，‎ ‎∴。‎ ‎∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。‎ 再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=6。‎ 当△A1B‎1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B‎2C2时，A‎1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1‎ 为圆心，以为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：‎ ‎ ∴线段AC在变换到A‎1C2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π。‎ ‎【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。‎ ‎【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B‎1C1及△A1B‎2C2即可。‎ ‎ （2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 ‎ 例7.（2012甘肃白银3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】生活中的平移现象。‎ ‎【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到。故选A。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B‎1C1，并解决下列问题：‎ ‎（1）顶点A1的坐标为 ▲ ，B1的坐标为 ▲ ，C1的坐标为 ▲ ；‎ ‎（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B‎1C1通过变换后得到△A2B‎2C2，且△A2B‎2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。‎ ‎3.（2012福建泉州9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数与直线的交点A、‎ B均在格点上，根据所给的直角坐标系（点O是坐标原点），解答下列问题：‎ ‎（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′.‎ ‎（2）若点C在函数的图像上，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，请写出点C的坐标.‎ ‎4.（2012湖北武汉7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)，先 将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2)，在将线段A1B1‎ 绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．‎ ‎(1)画出线段A1B1、A2B2；‎ ‎(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．‎ ‎5.（2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B‎1C1，再将△A1B‎1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B‎2C2．‎ ‎6.（2012四川凉山6分）如图，梯形ABCD是直角梯形．‎ ‎（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；‎ ‎（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形．‎ ‎（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）‎ ‎7.（2012辽宁丹东8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中， 每个小正方形的边长是1个单位长度）‎ ‎（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B‎1C1，并直接写出C1点的坐标；‎ ‎（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．‎ 二、点的平移：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012广东肇庆3分）点M（2，）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是【 】‎ A．（2，0） B．（2，1） C．（2，2） D．（2，）‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】坐标平移。‎ ‎【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，‎ ‎∵点M（2，-1）向上平移2个单位长度，∴－1＋2=1。‎ ‎∴平移后的点坐标是（2，1）。故选B。‎ 例2. （2012辽宁鞍山3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P1，则点P1的坐标为 ▲ ．‎ ‎【答案】（1，1）。‎ ‎【考点】坐标平移。‎ ‎【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，‎ ‎∵点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，∴﹣1+2=1，4﹣3=1。‎ ‎∴点P1的坐标为（1，1）。　‎ 例2.（2012江苏泰州3分）如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P′，‎ 则点P′表示的数是 ▲ ．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】数轴和数，平移的性质。‎ ‎【分析】如图，根据平移的性质，点P′表示的数是2。‎ 例3.（2012安徽省4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】‎ ‎ ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象： ‎ ‎∵AB与⊙O相切，∴∠BAP=90°，‎ ‎∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，∴AB=，‎ ‎∴△APB的面积，（0≤x≤2）。‎ ‎∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分。故选D。‎ 例4.（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】‎ A．B．C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】动点问题的函数图象。‎ ‎【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。‎ ‎ 当动点P在A→B上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。‎ ‎ 当动点P在B→D上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B错误。‎ ‎ 当动点P在D→C上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。‎ ‎ 当动点P在C→A上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。‎ 例5.（2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，‎ 沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】‎ A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】动点问题的函数图象。‎ ‎【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，‎ ‎∴S△ACM=S△BCM=S△ABC，‎ 开始时，S△MPQ=S△ACM=S△ABC；‎ 由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=S△ABC；‎ 结束时，S△MPQ=S△BCM=S△ABC。‎ ‎△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。‎ 例6.（2012湖北黄石3分）如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动 点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。‎ ‎【分析】∵把A，B分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，‎ ‎∴A（ ，2），B（2， ）。‎ ‎∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB，‎ ‎∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA－PB=AB，‎ 即此时线段AP与线段BP之差达到最大。‎ 设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：‎ ‎ ，解得：。∴直线AB的解析式是。‎ 当y=0时，x= ，即P（ ，0）。故选D。‎ 例7.（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【 】‎ ‎  A.1   B.2   C.3   D.4‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。‎ ‎【分析】∵抛物线的点P在折线C－D－E上移动，且点B的横坐标的最小值为1，‎ ‎ ∴观察可知，当点B的横坐标的最小时，点P与点C重合。‎ ‎ ∵C（－1，4），∴设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。‎ ‎ ∵B（1，0），∴，解得a=－1。‎ ‎ ∴当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。‎ ‎ ∵观察可知，当点A的横坐标的最大时，点P与点E重合，E（3，1），‎ ‎ ∴当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为。‎ ‎ 令，即，解得或。‎ ‎ ∵点A在点B的左侧，∴此时点A横坐标为2。故选B。‎ ‎ ∴点A的横坐标的最大值为2。‎ 例8（2012北京市5分）操作与探究：‎ ‎ （1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个 单位，得到点P的对应点P′.‎ ‎ 点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对 应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的 数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重 合，则点E表示的数是 ；‎ ‎ （2）如图2，在平面直角坐标系xoy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个 点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0,‎ n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A,B的对应点分别为A′,B′。已知正方形ABCD 内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标。‎ ‎【答案】解：（1）0；3；。‎ ‎（2）根据题意得， ，解得.‎ 设点F的坐标为（x，y），‎ ‎∵对应点F′与点F重合，∴，解得。‎ ‎∴点F的坐标为（1，4）。‎ ‎【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解： ‎ ‎ 点A′：－3×+1=－1+1=0。‎ 设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3。‎ 设点E表示的数为b，则a+1=b，解得b=。‎ ‎（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。‎ 例9. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。‎ ‎（1）写出y与x之间的函数关系式 ▲ ；‎ ‎（2）若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ；‎ ‎（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）y=－x2＋4x。‎ ‎ （2）或。‎ ‎ （3）存在。‎ ‎ 过点P作PH⊥AB于点H。则 ‎ ∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，‎ ‎ ∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，‎ EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。‎ ‎ 在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=。‎ ‎ ∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，‎ ‎ ∴△E D′A∽△D′P H。∴，即，‎ ‎ 即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。‎ ‎∵当时，y=，‎ ‎∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。‎ ‎∵当时，y=，‎ ‎∴此时，点E在边AD上，符合题意。‎ ‎∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。‎ ‎【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。‎ ‎【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，‎ ‎ ∴，即。∴y=－x2＋4x。‎ ‎（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。‎ ‎ 解得。‎ ‎（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。‎ 例10. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆 上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.‎ ‎ ⑴当 时，求弦PA、PB的长度；‎ ‎⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？‎ ‎【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。‎ 又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。‎ ‎∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。‎ ‎∴，即PA2=PC·PD。‎ ‎∵PC=，AB=4，∴。‎ ‎∴在Rt△APB中，由勾股定理得：。‎ ‎（2）过O作OE⊥PD，垂足为E。‎ ‎ ∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。‎ ‎ 在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。‎ ‎ ∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。‎ ‎∴。‎ ‎∵‎ ‎∴当时，有最大值，最大值是2。‎ ‎【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。‎ ‎（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值 练习题：‎ ‎1. （2012山东东营3分）将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是【 】‎ ‎ A．(2，3) B．（2，－１） C．（4，1） D. （0，1）‎ ‎2.（2012广西来宾3分）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是【 】‎ A．（－1，2） B．（3，2） C．（1，4） D．（1，0）‎ ‎3.（2012广西玉林、防城港3分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(－1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A′处，则点A′的坐标为 ▲ .‎ ‎4.（2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【 】‎ A．B．C．D．‎ ‎5.（2012四川内江3分）如图，正△ABC的边长为‎3cm,动点P从点A出发，以每秒‎1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【 】‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.（2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为‎2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以‎1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．‎ ‎（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；‎ ‎（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？‎ ‎7. （2012广东河源9分）如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射线l过点D且与 x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．‎ ‎(1)点B的坐标是 ，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标 为 ；‎ ‎(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应 的自变量x的取值范围．‎ ‎8. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．‎ ‎（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）‎ 答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．‎ ‎（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），‎ ‎①求CE的最大值；‎ ‎②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．‎ ‎（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）‎ ‎9. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=‎4cm．OA=‎8cm．动 点P从点O出发，以‎1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以 acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．‎ ‎ 设运动时间为t秒．‎ ‎ (1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；‎ ‎(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? ‎ ‎ (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．‎ ‎10. （2012福建福州13分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．‎ ‎(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．‎ ‎(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如 何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；‎ ‎(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．‎ ‎11.（2011湖北黄石3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用表示第行第 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移[],并称为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当取最小值时，的最大值为 ▲ .‎ 三、直线（线段）的平移：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012湖南娄底3分）对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是【 】‎ ‎　 A． 函数值随自变量的增大而减小 ‎　 B． 函数的图象不经过第三象限 ‎　 C． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象 ‎　 D． 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）‎ 例2.（2012福建南平3分）将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是 ▲ ‎ ‎【答案】y=2x＋1。‎ ‎【考点】一次函数图象与平移变换，待定系数法，直线上点的坐标理性认识各式的关系。‎ ‎【分析】直线y=2x经过点（0，0），向上平移1个单位后对应点的坐标为（0，1），‎ ‎∵平移前后直线解析式的k值不变，∴设平移后的直线为y=2x＋b。‎ 则2×0+b=1，解得b=1。∴所得到的直线是y=2x＋1。‎ 例3. （2012湖南娄底4分）如图，A．B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】坐标与图形平移变化。‎ ‎【分析】∵A（1，0）转化为A1（2，a）横坐标增加了1，B（0，2）转化为B1（b，3）纵坐标增加了1，‎ ‎∴a=0+1=1，b=0+1=1。∴a+b=1+1=2。‎ 例4.（2012江西南昌3分）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【 】‎ ‎　 A． a户最长 B． b户最长 ‎ C． c户最长 D． 三户一样长 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】生活中的平移现象，平移的性质。‎ ‎【分析】根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。故选D。‎ 例5.（2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在 的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.‎ ‎（1）写出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物 线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。‎ ‎ （2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。‎ ‎ 设直线AC：，由A（8，0），C（0，－4）得 ‎ ，解得。∴直线AC：。‎ ‎ ∵ 直线l移动的速度为2，时间为t，∴OE=2t。‎ 设P，‎ ‎ 在中，令x=2t，得，∴M（2t，）。‎ ‎ ∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎ ∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。‎ ‎（3）存在。∵由（2），在0＜t＜4，即0＜t＜8时，∠AMP和∠APM不可能为直角。‎ ‎ 若∠PAM为直角，则PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴。‎ ‎ 设P，则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP=，‎ ‎ ∴，整理得，解得（舍去）。‎ ‎ 当时，。∴P（3，10）。‎ ‎ ∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=－1或x=8。‎ ‎ ∴A（8，0），B（0，4）。‎ ‎ （2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。‎ ‎ （3）存在。易知，∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时，△AOC∽△PEA，根据比例关系列出方程求解即可。‎ 例6.（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；‎ ‎（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。‎ ‎ ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。 ‎ ‎（2）由得，对称轴为x=﹣1。‎ ‎ 在中，令x=0，得y=3。‎ ‎ ∴OC=3，AB=6，。‎ 在Rt△AOC中，。‎ 设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，‎ 解得h=。‎ 如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。‎ 设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，‎ ‎∴。‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得 ‎，解得。 21‎ ‎∴直线AC解析式为。‎ 直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，‎ ‎∴直线L1的解析式为。‎ 则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。‎ 同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。‎ 综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。‎ ‎（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．‎ 连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。‎ ‎∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。‎ 又FE=5，则在Rt△MEF中，-‎ ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。‎ 在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，‎ FN=MN•cos∠MFE=3×。‎ 则ON=。∴M点坐标为（，）。‎ 直线l过M（，），E（4，0），‎ 设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。‎ ‎∴直线l的解析式为y=x+3。‎ 同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。‎ 综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。‎ ‎（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。‎ ‎（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。‎ 例7.（2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b 的不同取值而变化．‎ ‎ (1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．‎ ‎ 当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：‎ ‎ 当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：‎ ‎ (2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).‎ ‎ 设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，‎ ‎【答案】解：（1）10；。‎ ‎（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。‎ 如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C(6，2)时，b=14。‎ 当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。‎ 当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），‎ 在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），‎ 令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）。‎ ‎∴AF=，AE=－4＋b。‎ ‎∴S=。‎ 当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），‎ 在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0），‎ 令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则H（，2）。‎ ‎∴DH=，AG=。AD=2‎ ‎∴S=。‎ 当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图3）‎ 在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则M（，0），‎ 令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。‎ ‎∴MC=，NC=14－b。‎ ‎∴S=。‎ 当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。‎ 综上所述。S与b的函数关系式为：‎ ‎。‎ ‎【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。‎ ‎【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，‎ ‎ ∴2=－2×4＋b，解得b=10。‎ ②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点 P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。‎ ‎ 则由△OAB∽△HMP，得。‎ ‎ ∴可设直线MP的解析式为。‎ ‎ 由M(4，2)，得，解得。∴直线MP的解析式为。‎ ‎ 联立y=－2x＋b和，解得。‎ ‎ ∴P（）。‎ ‎ 由PM=2，勾股定理得，，化简得。‎ ‎ 解得。‎ ‎（2）求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。‎ 例8.（2012广东珠海9分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．‎ ‎（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　 ；‎ ‎（2）若S2=3S1，求x；‎ ‎（3）设S2=mS1，求m的变化范围．‎ ‎【答案】解：（1）90°；4。‎ ‎（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2。‎ ‎①当0＜x＜时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ。‎ ‎∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，‎ ‎∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。‎ ‎∴。∴S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。‎ ‎∴当0＜x＜时，不存在x使S2=3S1。‎ ‎②当≤x≤2时，‎ ‎ ∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。‎ ‎∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。‎ ‎∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3。‎ ‎∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD=×4×1=2‎ ‎∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。‎ ‎∴。‎ 又，‎ ‎∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴，‎ ‎∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2。‎ ‎∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3·x2，解得：x1=（舍去），x2=2。‎ ‎∴x的值为2。‎ ‎（3）由（2）得：当0＜x＜时，m=4，‎ 当≤x≤2时，∵S2=mS1，‎ ‎∴。‎ ‎∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当时，m随的增大而增大，‎ ‎∴当x=时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3。‎ ‎∴m的变化范围为：3≤m≤4。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。‎ ‎【分析】（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，‎ ‎∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。‎ ‎∴BK=CD=，CK=BD。‎ ‎∴AK=AB+BK=。‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。‎ ‎∴AC=CK。∴AE=EK=AK=2=CE。‎ ‎∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。‎ ‎∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°‎ ‎∴AC=AK•cos45°=。‎ ‎（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解：当 ‎0＜x＜时，易得S2=4S1≠3S1；当 ≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S2与S1的值，由S2=3S1，即可求得x的值；‎ ‎（3）由（2）可得当0＜x＜ 时，m=4；当≤x≤2时，可得，化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求得m的变化范围。‎ 例9.（2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．‎ ‎(1) 求抛物线的解析式；‎ ‎(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D 的坐标；‎ ‎(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．‎ ‎【答案】解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．‎ ‎∴，解得：。‎ ‎∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。‎ ‎ (2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，‎ 得：4＝4k1，解得k1＝1。‎ ‎∴直线OB的解析式为y＝x。‎ ‎∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。‎ ‎∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可设D(x，x2－3x)。‎ 又点D在直线y＝x－m上，∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0。‎ ‎∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－‎4m＝0，解得：m＝4。‎ 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴ D点坐标为(2，－2)。‎ ‎ (3) ∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，‎ ‎∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。‎ 设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，‎ ‎∴4k2＋3＝4，解得：k2＝。‎ ‎∴直线A'B的解析式是y＝x＋3。‎ ‎∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上。‎ ‎∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，‎ ‎∴ n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)。‎ ‎∴ 点N的坐标为(－，)。‎ 如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，‎ 则N1(－，－)，B1(4，－4)。‎ ‎∴O、D、B1都在直线y＝－x上。‎ ‎∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。‎ ‎∴ ＝＝。∴点P1的坐标为(－，－)。‎ 将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)。‎ 综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。‎ ‎(2) 根据已知可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。‎ 由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。‎ ‎(3) 综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折。（或用旋转）求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012山东枣庄3分）将直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为【 】‎ A．　　　　　B． C．　　　　　D．‎ ‎2.（2012天津市3分）将正比例函数y=－6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 ▲ （写出一个即可）．‎ ‎3. （2011湖北随州4分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】‎ A、14 B、‎16 C、20 D、28 ‎ ‎4. （2011云南昭通10分）如图（1）所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相争于点C，AD⊥EF，垂足为D。‎ ‎（1）求证：∠DAC＝∠BAC;‎ ‎（2）若把直线EF向上平行移动，如图（2）所示，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？‎ ‎5. （2011四川广安12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．‎ ‎6. （2011辽宁盘锦14分） 如图，直线y＝x＋m(m≠0)交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB＝‎ ‎5，过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C.点E从坐标原点O出发，以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动. 直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G.设点E离开坐标原点O的时间为t(t≥0)s.‎ ‎(1)求直线AC的解析式；‎ ‎(2)直线l在平移过程中，请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；‎ ‎(3)直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系．‎ ‎　备用图 四、曲线的平移：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012上海市4分）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ▲ ．‎ ‎【答案】y=x2+x﹣2。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换。‎ ‎【分析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x﹣2。‎ 例2. （2012广东广州3分）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】‎ ‎　　A．y=x2﹣1　　B．y=x2+‎1　‎　C．y=（x﹣1）2　　D．y=（x+1）2‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换。‎ ‎【分析】根据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加。上下平移只改变纵坐标，下减上加。因此，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1。故选A。‎ 例3.（2012陕西省3分）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为【 】‎ A．1 　　 B．‎2 ‎ 　　　　 C．3 　　　　 D．6‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换 ‎【分析】计算出函数与x轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向：‎ ‎ 当x=0时，y=－6，故函数与y轴交于C（0，－6），‎ 当y=0时，x2－x－6=0， 解得x=－2或x=3，即A（－2，0），B（3，0）。‎ 由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2。故选B。‎ 例5.（2012甘肃兰州4分）抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是【 】‎ A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换。‎ ‎【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：‎ ‎∵y＝x2，‎ ‎∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位。故选B。‎ 例6.（2012四川广安3分）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ‎　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换，平移的性质，二次函数的性质。‎ ‎【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可：‎ ‎ 过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，‎ ‎∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3。‎ ‎∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，‎ 将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣。∴点P的坐标是（3，﹣）。‎ 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，‎ ‎∴S=。‎ 例7.（2012广西桂林3分）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是【 】‎ A．y＝（x＋1）2－1 B．y＝（x＋1）2＋‎1 C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x－1）2－1‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换，二次函数的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，‎ 然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式：‎ ‎∵A在直线y=x上，∴设A（m，m），‎ ‎∵OA= ，∴m2+m2=（）2，解得：m=±1（m=－1舍去）。∴A（1，1）。‎ ‎∴抛物线解析式为：y＝（x－1）2＋1。故选C。‎ 例8.（2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物 线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；‎ ‎(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长． ‎ ‎【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：‎ ‎ ，解得，。 ‎ ‎∴抛物线的解析式：y=x2－x－4。源: ]‎ ‎（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：，‎ 即：。它的顶点坐标P（1－m，－1）。‎ 由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。‎ ‎∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。‎ 当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=；‎ 当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；‎ 又∵m＞0，‎ ‎∴当点P在△ABC内时，0＜m＜ 。‎ ‎（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。‎ 如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。‎ ‎∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，‎ 即∠ONB=∠OMB。‎ 如图，在△ABN、△AM1B中，‎ ‎∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，‎ ‎∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；‎ 由勾股定理，得AB2=（－2）2+42=20，‎ 又AN=OA－ON=4－2=2，‎ ‎∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。‎ 而∠BM‎1A=∠BM‎2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。‎ 综上，AM的长为6或2。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。‎ ‎（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其 代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。‎ ‎（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。‎ 例9.（2012北京市7分）已知二次函数在和时的函数值相等。‎ （1） 求二次函数的解析式；‎ （2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值；‎ （3） 设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间 的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数在和时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为。‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴二次函数解析式为。‎ ‎（2）∵二次函数图象经过A点，‎ ‎∴，A（－3，－6）。‎ 又∵一次函数的图象经过A点，‎ ‎∴，解得。‎ ‎（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为 ‎，，‎ 则向左平移后得到的图象C的解析式为，。‎ 此时一次函数的图象平移后的解析式为。‎ ‎∵平移后的直线与图象C有公共点，∴两个临界的交点为与。‎ ‎∴当时，，即；‎ 当时，，即。‎ ‎∴‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式可求得，从而求得二次函数的解析式。‎ ‎ （2）由二次函数图象经过A点代入可求得，从而由一次函数的图象经过A点，代入可求得。‎ ‎（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。‎ 例10.（2012广西柳州12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=．‎ ‎（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C 三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=S△ABC；‎ ‎（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，‎ 点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．‎ 附：阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元 二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0．‎ 解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3．‎ 当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．‎ 当x2=3，即y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．‎ 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ．‎ 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．‎ ‎【答案】解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，∴OA=OB=AB=×2=1。‎ ‎∴A的坐标是（－1，0），B的坐标是（1，0）。‎ 在Rt△OBC中，，∴C的坐标为（0，2）。‎ ‎（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，‎ 根据题意得： ，解得： 。‎ ‎∴抛物线的解析式是：。‎ ‎（3）∵S△ABC=AB•OC=×2×2=2，S△ABD=S△ABC，∴S△ABD=S△ABC=1。‎ 设D的纵坐标是m，则AB•|m|=1，∴m=±1。‎ 当m=1时，－2x2+2=1，解得：x=±。‎ 当m=－1时，－2x2+2=－1，解得：x=±。‎ ‎∴D的坐标是：（，1）或（－，1）或（，－1），或（－，－1）。‎ ‎（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1－c，OB′=1＋c。‎ 平移以后的抛物线的解析式是：。‎ 令x=0，解得y=－‎2c2+2，即OC′= ＋‎2c2+2。‎ 当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′•OB′，‎ 则（－‎2c2＋2）2=（1－c）（1＋c），即（‎4c2－3）（c2－1）=0。‎ 解得：c= ，（舍去），1，－1（舍去）。‎ 故平移 或1个单位长度。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。‎ ‎【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股 定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解。‎ ‎（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。‎ ‎（3）首先求得△ABC的面积，根据S△ABD= S△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的 纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。‎ ‎（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′同 时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC′2=OA•OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012贵州黔东南4分）抛物线y=x2﹣4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为【 】‎ A．（4，﹣1） B．（0，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎2.（2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再 向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】‎ A.（－2，3） B.（－1，4） C.（1，4） D.（4，3）‎ ‎3.（2012江苏扬州3分）将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是【 】‎ ‎ A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－‎2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2‎ ‎4.（2012湖北鄂州3分）把抛物线的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为，则b的值为【 】‎ A.2 B‎.4 ‎ C.6 D.8‎ ‎5.（2012浙江丽水、金华10分）在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．‎ ‎(1)如图1，当点A的横坐标为　　　　时，矩形AOBC是正方形；‎ ‎(2)如图2，当点A的横坐标为时，‎ ‎①求点B的坐标；‎ ‎②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．‎ ‎6.（2012福建三明12分）已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．‎ ‎（1）如图①，当点M与点A重合时，求：‎ ‎①抛物线的解析式；（4分）‎ ‎②点N的坐标和线段MN的长；（4分）‎ ‎（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，‎ 直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）‎ ‎7. （2011广西崇左14分）已知抛物线y=x2+4x+m（m为常数）经过点（0,4）.‎ （1） 求m的值；‎ （2） 将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件：的 对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8.‎ ① 试求平移后的抛物线的解析式；‎ ② 试问在平移后的抛物线上是否存在点P，使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与直线l2‎ 相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由. ‎ ‎8. （2011山东枣庄10分）如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D.‎ ‎ （1）写出的值；‎ ‎ （2）判断△ACD的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎9. （2011内蒙古呼和浩特12分）已知抛物线的图象向上平移个单位（‎ ‎）得到的新抛物线过点（1，8）.‎ ‎（1）求的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；‎ ‎（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻 折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在≤时对应的函数值的取值范围；‎ ‎（3）设一次函数，问是否存在正 整数使得（2）中函数的函数值时，对应的的值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎10. （2011四川绵阳12分）已知抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；‎ ‎（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴 交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以 EF为直角边的直角三角形．‎ 五、三角形的平移：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012湖北孝感3分）如图，△ABC在平面直角坐标系中的第二象限内，顶点A的坐标是(－2，3)，‎ 先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B‎1C1，再作△A1B‎1C1关于x轴的对称图形△A2B‎2C2，则顶点 A2的坐标是【 】‎ A．(－3，2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1)‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】坐标与图形的对称和平移变化。‎ ‎【分析】∵将△ABC向右平移4个单位得△A1B‎1C1，∴A1的横坐标为-2+4=2；纵坐标不变为3；‎ ‎∵把△A1B‎1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B‎2C2，∴A2的横坐标为2，纵坐标为－3。‎ ‎∴点A2的坐标是（2，－3）。故选B。‎ 例3.（2012江苏无锡2分） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=‎8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移‎1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　 ▲　cm．‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】直角三角形斜边上中线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由∠ACB=90°，AB=8，D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得AD=BD=CD=AB=4。然后由平移的性质得GH∥CD，因此△AGH∽△ADC。 ∴。‎ ‎ 又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移‎1cm得到的， ∴AG=4－1=3。‎ ‎∴，解得GH=3。‎ 例4.（2012湖北黄冈3分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A（－2，3），B（－4，‎ ‎－1），C（2，0），将△ABC平移至△A1B‎1C1 的位置，点A、B、C 的对应点分别是A1B‎1C1，若点A1 的 坐标为（3，1）.则点C1 的坐标为 ▲ .‎ ‎【答案】（7，－2）。‎ ‎【考点】坐标与图形的平移变化。‎ ‎【分析】根据A点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，得到C点的平移方法：‎ 由A（－2，3）平移后点A1的坐标为（3，1），可得A点横坐标加5，纵坐标减2，‎ 则点C的坐标变化与A点的变化相同，故C1（2＋5，0－2），即（7，－2）。‎ 例5.（2012浙江义乌3分）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为【 】‎ ‎　　A．6　　B．‎8　‎　C．10　　D．12‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平移的性质。‎ ‎【分析】根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，‎ ‎∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC。‎ 又∵AB+BC+AC=8，‎ ‎∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。故选C。‎ 例6（2012贵州安顺12分）在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，回答下列问题．‎ ‎（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？‎ ‎（2）如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣3，4），请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．‎ ‎【答案】解：（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC向右平移7个单位长度得到的；‎ ‎（2）如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣3，4），则格点△DEF各顶点的坐标分别为D（0，﹣2），E（﹣4，﹣4），F（3，﹣3），‎ ‎ 过点F作FG∥x轴，交DE于点G，‎ 则G（－2，－3）。‎ ‎∴S△DEF=S△DGF+S△GEF=×5×1+×5×1=5。‎ ‎【考点】作图（平移变换），网格问题，三角形的面积。‎ ‎【分析】（1）直接根据图形平移的性质得到△A′B′C′即可。‎ ‎（2）根据△DEF所在的格点位置写出其坐标，过点F作FG∥x轴，交DE于点G，，再根据三角形的面积公式求解。‎ 例7.（2012浙江温州8分）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=‎6cm，BC=‎8cm，将△ABC沿射线BC方向平移‎10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D,E,F，连结AD，求证：四边形ACFD是菱形。‎ ‎【答案】证明：由平移变换的性质得，CF=AD=10，DF=AC。‎ ‎∵∠B=90°，AB=6，BC=8，‎ ‎∴。‎ ‎∴AC=DF=AD=CF=10。∴四边形ACFD是菱形。‎ ‎【考点】平移的性质，勾股定理，菱形的判定。‎ ‎【分析】根据平移的性质可得CF=AD=10，DF=AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论。‎ 例8.（2012湖南湘潭8分）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．‎ ‎（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）求线段BD的长．‎ ‎【答案】解：（1）AC⊥BD。证明如下：‎ ‎∵△DCE由△ABC平移而成，∴△DCE≌△ABC。‎ 又∵△ABC是等边三角形，∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°。‎ ‎∴∠DBC=∠BDC=30°。∴∠BDE=90°。∵BD⊥DE，‎ ‎∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE。∴BD⊥AC。‎ ‎（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，平移的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由平移的性质可知△DCE≌△ABC。故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论。‎ ‎（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长。‎ 例9.（2012广西北海12分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、‎ B（0，1）、C（d，2）。‎ ‎（1）求d的值；‎ ‎（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图 像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，‎ 使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）作CN⊥x轴于点N。‎ 在Rt△CNA和Rt△AOB中，‎ ‎∵NC＝OA＝2，AC＝AB ‎∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）。‎ ‎∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，‎ 又∵点C在第二象限，∴d＝－3。‎ ‎（2）设反比例函数为，点C′和B′在该比例函数图像上，‎ 设C′（c，2），则B′（c＋3，1）。‎ 把点C′和Ｂ′的坐标分别代入，得k＝‎2 c；k＝c＋3。‎ ‎∴‎2 c＝c＋3，c＝3，则k＝6。∴反比例函数解析式为。‎ 得点C′（3，2）；B′（6，1）。‎ 设直线C′B′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入得，解得。‎ ‎∴直线C′B′的解析式为。‎ ‎（3）设Q是G C′的中点，由G（0，3），C′（3，2），得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为 ‎2＋。∴Q（，）。‎ 过点Q作直线l与x轴交于M′点，与的 图象交于P′点，若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q＝Q M′，易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于。‎ 作P′Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，‎ 则△P′EQ≌△QFM′ 。‎ 设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标x为，点P′的纵坐标y为，‎ 点M′的坐标是（，0）。‎ ‎∴P′E＝。‎ 由P′Q＝QM′，得P′E2＋EQ2＝QF2＋FM′2，∴，‎ 整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）。‎ ‎∴，，。‎ ‎∴P′（，5），M′（，0），则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M。 ‎ ‎【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，平行四边形的和性质，勾股定理，解分式方程和二元一次方程组。‎ ‎【分析】（1）作CN⊥x轴于点N，由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。‎ ‎（2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。‎ ‎（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取G C′的中点Q，过点Q作直线l与x轴交于M′点，与的图象交于P′点，求出P′Q＝Q M′的点M′和P′的坐标即可。‎ 例10.（2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．‎ ‎(1)求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；‎ ‎(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。‎ ‎∵顶点在直线x＝上，∴，解得。‎ ‎∴所求函数关系式为。‎ ‎（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，‎ 当x＝5时，；‎ 当x＝2时，。‎ ‎∴点C和点D都在所求抛物线上。‎ ‎（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，‎ 设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，‎ 则，解得，。∴直线CD对应的函数关系式为。‎ 当x＝时，。∴P()。‎ ‎（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。‎ ‎∴，即，得。‎ 设对称轴交x于点F，则。‎ ‎∵，‎ ‎ ，‎ ‎ (0＜t＜4)。‎ ‎∵，，0＜＜4，‎ ‎∴当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。‎ ‎（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。‎ ‎（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。‎ ‎（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012福建莆田4分）如图，△A’B’C’是由ABC沿射线AC方向平移‎2 cm得到，若AC＝‎3cm，则 A’C＝　　▲　　cm．‎ ‎2.（2012山东聊城3分）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是【 】‎ A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格　　‎ B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格　　‎ C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°　　‎ D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°‎ ‎3.（2012宁夏区3分）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B‎1C1．若BC＝3， ，则BB1＝ ▲ ．‎ ‎4.（2012湖北宜昌3分）如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是【 】‎ A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位 B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位 C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位 D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位 ‎5.（2012辽宁铁岭3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′,则平移 后点B的对应点B′的坐标为 ▲ .‎ ‎6. （2012山东济南3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 ▲ ．‎ ‎7. （2011山西省9分）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F ‎（1）求证：CE=CF．‎ ‎（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论． ‎ ‎8.（2011广东珠海7分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标 原点，边OA在轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B．‎ ‎（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；‎ （2） 若（1）中的抛物线与OB交于点C，与 轴交于点D，‎ 求点D、C的坐标．‎ 六、四边形的平移：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012山东青岛3分）如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点 A的对应点A1的坐标是【 】‎ A．(6，1) B．(0，1) C．(0，－3) D．(6，－3)‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】坐标与图形的平移变化。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，‎ ‎∴点A也先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，‎ ‎∴由A（3，－1）可知，A′坐标为（0，1）。故选B。‎ 例2.（2012江西省8分）如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．‎ ‎（1）求点C坐标和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值 ‎【答案】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴AD=BC，DO=CE。‎ ‎∴△AOD≌△BEC（HL）。∴AO=BE=2。‎ ‎∵BO=6，∴DC=OE=4，∴C（4，3）。‎ 设反比例函数的解析式为（k≠0），‎ ‎∵反比例函数的图象经过点C，∴，解得k=12；‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ ‎（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后得到梯形A′B′C′D′，‎ ‎∴点B′（6，m），‎ ‎∵点B′（6，m）恰好落在双曲线上，‎ ‎∴当x=6时，。‎ 即m=2。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）C点的纵坐标与D的纵坐标相同，过点C作CE⊥AB于点E，则△AOD≌△BEC，即可求得BE的长度，则OE的长度即可求得，即可求得C的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。‎ ‎（2）得出B′的坐标是（6，m），代入反比例函数的解析式，即可求出答案。‎ 例3.（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．‎ ‎（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；‎ ‎（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，‎ 则BE=FG=BG=x。‎ ‎∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。‎ ‎∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。‎ ‎∴，即。‎ 解得：x=2，即BE=2。‎ ‎（2）存在满足条件的t，理由如下：‎ 如图②，过点D作DH⊥BC于H，‎ 则BH=AD=2，DH=AB=3，‎ 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，‎ ‎∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。‎ ‎∴，即。∴ME=2﹣t。‎ 在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。‎ 在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。‎ 过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，‎ ‎∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。‎ 在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。‎ ‎（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，‎ 即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。‎ ‎（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，‎ 即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）。‎ ‎∴t=﹣3+。‎ ‎（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，‎ 即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解。‎ 综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；‎ ‎（3）。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。‎ ‎（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、‎ ‎∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可。‎ ‎（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：‎ ‎①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，‎ 即2：3=CE：4，∴CE=。‎ ‎∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣。‎ ‎∵ME=2﹣t，∴FM=t，‎ ‎∴当时，S=S△FMN=×t×t=t2。‎ ‎②如图④，当G在AC上时，t=2，‎ ‎∵EK=EC•tan∠DCB= ，‎ ‎∴FK=2﹣EK=﹣1。‎ ‎∵NL=，∴FL=t﹣，‎ ‎∴当时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（﹣1）=。‎ ‎③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，‎ 即B′C：4=2：3，解得：B′C=，‎ ‎∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。‎ ‎∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，‎ ‎∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。‎ ‎∴当时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）‎ ‎=。‎ ‎④如图⑥，当时，‎ ‎∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），‎ B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），‎ ‎∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。‎ 综上所述：。‎ 例4.（2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.‎ （1） 求M，N的坐标；‎ （1） 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个 单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；‎ （2） 在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.‎ ‎【答案】解：（1）解得。∴M的坐标为（4，2）。‎ ‎ 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。‎ ‎ （2）S与自变量t之间的函数关系式为：‎ ‎ ‎ ①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=0），三角形的底为t，高为，∴。‎ ②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为，下底为，高为1。∴。‎ ③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的上底为，下底为2，高为；第二个梯形的上底为－t +6，下底为2，高为。‎ ‎∴。‎ ④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为 ‎6－t ，下底为7－t，高为1。∴。‎ ⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=7），三角形的底为7－t，高为7－t，∴。‎ ‎（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。‎ 例5.（2012四川达州12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线 段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE. ‎ ‎（1）填空：点D的坐标为（ ），点E的坐标为（ ）.‎ ‎（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式. ‎（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动. ‎ ‎①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，‎ 并写出相应自变量t的取值范围.‎ ‎②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.  ‎【答案】解：（1）D（－1，3），E（－3，2）。‎  （2）抛物线经过（0，2）、（－1，3）、（－3，2），则 ‎，解得 。∴抛物线的解析式为  （3）①求出端点的时间：‎ 当点D运动到y轴上时，如图1，DD1=DC=BC =，t=。‎ 当点B运动到y轴上时，如图2，BB1=BC=，t=。‎ 当点E运动到y轴上时，如图2，EE1=ED＋DE1=，t=。‎  当0＜t≤时，如图4，正方形落在y轴右侧部分的面积为△CC′F的面积，设D′C′交y轴于点F。‎ ‎∵tan∠BCO==2，∠BCO=∠FCC′，‎ ‎∴tan∠FCC′=2, 即=2。‎ ‎∵CC′=t，∴FC′=2t。‎ ‎∴S△CC′F=CC′·FC′=t×t=5 t2。‎ 当＜t≤1时，如图5，正方形落在y轴右侧部分的面积为直角梯形CC′D′G的面积，设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H。‎  ∵GH=BC=，∴CH=GH=。‎ ‎∵CC′=t，∴HC′= GD′=t－。‎ ∴‎  当1＜t≤时，如图6，正方形落在y轴右侧部分的面积为五边形B′C′D′MN的面积，设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N。‎  ∵CC′=t，B′C′=,‎ ‎∴CB′=t－。∴B′N=2CB′=t－。‎ ‎∵B′E′=，∴E′N=B′E′－B′N=－t。‎ ‎∴E′M=E′N= (－t)。‎  ∴。‎ ∴。‎ 综上所述，S与x的函数关系式为：‎ ‎。‎ ‎②当点E运动到点E′时，运动停止，如图7所示。‎  ∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′，‎ ∴△BOC∽△E′B′C。∴。‎ ‎∵OB=2，B′E′=BC=，∴。‎ ‎∴CE′=。‎ ‎∴OE′=OC+CE′=1+。∴E′（0，）。‎  由点E（－3，2）运动到点E′（0，）,可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位。‎  ∵，∴原抛物线顶点坐标为（）‎ ∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（）。‎ 例6.（2012江西南昌6分）如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（﹣2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．‎ ‎（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？‎ ‎【答案】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴AD=BC，DO=CE。‎ ‎∴△AOD≌△BEC（HL）。∴AO=BE=2。‎ ‎∵BO=6，∴DC=OE=4，∴C（4，3）。‎ 设反比例函数的解析式为（k≠0），‎ ‎∵反比例函数的图象经过点C，‎ ‎∴，解得k=12；‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ ‎（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后得到梯形A′B′C′D′，则点B′（6，2）。‎ ‎∵当x=6时，，∴即点B′恰好落在双曲线上。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）C点的纵坐标与D的纵坐标相同，过点C作CE⊥AB于点E，则△AOD≌△BEC，即可求得BE的长度，则OE的长度即可求得，即可求得C的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。‎ ‎（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，点B向上平移2个单位长度得到的点的坐标即可得到，代入函数解析式判断即可。‎ 例7.（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD 以‎1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，‎ 连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为‎1cm，矩形EFGH 的边FG、GH的长分别为‎4cm、‎3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中 ‎0≤x≤2.5.‎ ‎ ⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；‎ ‎⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；‎ ‎⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.‎ ‎【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。‎ ‎∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。‎ ‎∴，即。∴y关于x的函数关系式为。‎ 当y =3时，，解得:x=2.5。‎ ‎（2）∵， ‎∴为常数。‎ ‎（3）延长PD交AC于点Q.‎ ‎∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。‎ ‎∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。‎ ‎∴∠GDP=∠ADQ=45°。‎ ‎∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。‎ ‎∴，化简得：，解得：。 ‎∵0≤x≤2.5，∴。‎ 在Rt△DGP中，。‎ ‎【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。‎ ‎（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。‎ ‎（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。‎ 练习题：‎ ‎1. （2011江苏徐州2分）如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是【 】‎ ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎2.（2011辽宁葫芦岛3分）两个全等的梯形纸片如图(1)摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图(2)．已知AD＝4，BC＝8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图(2)中平移距离A′A＝ ▲ . ‎ ‎3.（2012辽宁本溪14分）如图，已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4,0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒。‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；‎ ‎（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。请直接写出符合条件的t值。‎ ‎4.（2012辽宁丹东14分）已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式； ‎ ‎（2）直接写出直线BC的函数表达式；‎ ‎（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.‎ 求：①s与t之间的函数关系式； ‎ ‎ ②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请 说明理由．‎ ‎（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、‎ N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎5.（2012贵州安顺14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为‎12cm、‎6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且‎18a+c=0．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如果点P由点A开始沿AB边以‎1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以‎2cm/s的速度向终点C移动．‎ ‎①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．‎ ‎②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎6.（2011广东台山10分）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距。当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变。‎ ‎（1）计算：O1D= ，O‎2F= 。‎ ‎（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方 形只有一个公共点时，中心距O1O2= 。‎ ‎（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共 ‎ 点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取 值范围（不必写出计算过程）。‎ 五、圆的平移：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012福建厦门4分）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，BC＝，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意，在图上画出圆心O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是 ▲ .‎ ‎【答案】2πr。‎ ‎【考点】作图题，弧长的计算。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO1，O1O2 ，O2O3，分别计算出各部分的长再相加即可：‎ 圆心O运动路径如图：‎ ‎∵OO1=AB=πr；O1O2 =；O2O3=BC= ，‎ ‎∴圆心O运动的路程是πr++ =2πr。‎ ‎【注：本题实质是圆心的平移，圆是滚动】‎ 例2.（2012黑龙江大庆8分） 已知半径为‎1cm的圆，在下面三个图中AC=‎10cm，AB=‎6cm，BC=‎8cm，在图2中∠ABC=90°．‎ ‎ （1）如图1，若将圆心由点A沿AC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；‎ ‎ （2）如图2，若将圆心由点A沿ABC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；‎ ‎ （3）如图3，若将圆心由点A沿ABCA方向运动回到点A．‎ ‎ 则I）阴影部分面积为_ ___；Ⅱ）圆扫过的区域面积为__ __．‎ ‎【答案】解：（1）由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=（20+π）cm2。‎ ‎（2）圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积－一个圆的面积。‎ 结合（1）的求解方法，可得所求面积 ‎=（2r×AB+πr2）+（2r×BC+πr2）﹣πr2=2r（AB+BC）+πr2=（28+π）cm2。‎ ‎（3）I） cm2；Ⅱ）（+π）cm2。‎ 例3.（2011四川攀枝花12分）如图（Ⅰ），在平面直角坐标系中，⊙O′是以点O′（2，﹣2）为圆心，半径为2的圆，⊙O″是以点O″（0，4）为圆心，半径为2的圆．‎ ‎（1）将⊙O′竖直向上平移2个单位，得到⊙O1，将⊙O″水平向左平移1个单位，得到⊙O2如图（Ⅱ），分别求出⊙O1和⊙O2的圆心坐标．‎ ‎（2）两圆平移后，⊙O2与y轴交于A、B两点，过A、B两点分别作⊙O2的切线，交x轴与C、D两点，求△O‎2AC和△O2BD的面积．‎ ‎【答案】解：（1）∵﹣2+2=0，∴点O1的坐标为：（2，0）。‎ ‎∵0﹣1=﹣1，∴点O2的坐标为：（﹣1，4）。‎ ‎（2）如图，连接O‎2A，O2B，‎ ‎∵⊙O2的半径为2，圆心O2到y轴的距离是1，‎ ‎∴∠O2AB=∠O2BA=30°。‎ ‎∴AB=2×2cos30°=2，‎ ‎∴点A、B的坐标分别为A（0，4﹣），B（0，4+）。‎ ‎∵AC，BD都是⊙O2的切线，∴∠OAC=180°﹣90°﹣30°=60°，∠OBD=90°﹣30°=60°。‎ ‎∴AC=（4﹣）÷cos60°=8﹣2，BD=（4+）÷cos60°=8+2。‎ ‎∴S△O‎2AC=×AC×O‎2A=×（8﹣2）×2=8﹣2，‎ S△O2BD=×BD×O2B=×（8+2）×2=8+2。‎ ‎【考点】切线的性质，坐标与图形的平移变化，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）根据“左减右加，下减上加”的规律对点O′，O″的坐标进行平移即可得到点O1，O2的坐标。‎ ‎（2）先求出点A、B的坐标，然后连接O‎2A，O2B，根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半得出∠O2AB=∠O2BA=30°，又AC与BD是圆的切线，然后求出∠OAC=∠OBD=60°，利用特殊角的三角函数与点A，B的坐标即可求出AC、BD的长，最后代入三角形的面积公式进行计算即可。‎ 练习题：‎ ‎1.（2011广西河池3分）如图，已知点A(1，0)、B(7，0)，⊙A、⊙B的半径分别为1和2，将⊙A沿 轴向右平移3个单位，则此时该圆与⊙B的位置关系是【 】‎ A．外切 B．相交 识C．内含 D．外离 ‎2.（2011广东省6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿轴向右平移4个单位长度得⊙P1．‎ ‎（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；‎ ‎（2）设⊙P1与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．‎