中考数学试题分类汇编圆解答题

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三、解答题 ‎1．（2010甘肃兰州）（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．‎ ‎（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．‎ ‎（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=，试求小明家圆形花坛的面积．‎ ‎【答案】(1)（本小题满分4分）‎ 用尺规作出两边的垂直平分线 ‎ 作出圆 ⊙O即为所求做的花园的位置.（图略） ‎ ‎（2）（本小题满分2分）‎ ‎ 解：∵∠BAC=,AB=8米,AC=6米, ∴BC=10米 ‎ ∴ △ABC外接圆的半径为5米 ∴小明家圆形花坛的面积为2平方米 . ‎ ‎2．（2010江苏南通）（本小题满分8分） ‎ 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，‎ CD＝6 cm，求直径AB的长．‎ O B A D C ‎·‎ P ‎（第20题）‎ ‎【答案】方法一：连结OC，BC，则OC=OB ‎∵PC垂直平分OB，∴OC=BC.∴OC=OB=BC.∴△BOC为等边三角形.‎ ‎∴∠BOC=60° 由垂径定理，CP=CD=3cm 在Rt△BOC中，=tan∠COP= ∴OP=cm.‎ ‎∴AB=2OB=4OP=4cm.‎ 方法二：‎ 解：连OC，设OP为，则OC为2，直径AB为4，‎ 在Rt△COP中，‎ 即，解得 所以直径AB为cm.‎ ‎3．（2010山东济宁）如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.‎ ‎(1) 求证：； ‎ ‎(2) 请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.‎ ‎(第20题)‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：∵为直径，，‎ ‎∴.∴. 3分 ‎（2）答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 4分 理由：由（1）知：，∴.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴.∴. 6分 由（1）知：.∴.‎ ‎∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 7分 ‎4．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个 的顶点、在圆上．‎ ‎（第23题）‎ ‎（第23题 图1）‎ ‎（第23题 图2）‎ ‎（1）如图1，当时，求正三角形的边长；‎ ‎（2）如图2，当时，求正三角形的边长；‎ ‎（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）设与交于点D，连结，‎ ‎（第23题 图1）‎ 则，‎ 在中，，‎ 即，‎ 解得． …4分 ‎（第23题 图2）‎ ‎（2）设与交于点E，连结，‎ 则，‎ 在中，‎ 即，‎ 解得． …4分 ‎（第23题）‎ ‎（3）设与交于点F，连结，‎ 则，‎ 在中，‎ 即，‎ 解得． …4分 ‎5．（2010 嵊州市）（10分）‎ ‎（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由。‎ ‎（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由。‎ ‎（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CPD钢板，且∠APB＝∠CPD＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P。‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎【答案】(1)如图①，点P为所求 ‎（2）如图②，圆上实线部分弧EF为所求②③‎ ‎（3）如图③，点、为所求 ‎6．（2010浙江金华）A C B D E F O 如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（1）求证：CF﹦BF；‎ ‎（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ▲ ， ‎ CE的长是 ▲ ．‎ ‎【答案】解：(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°‎ ‎ 又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90°‎ ‎ ∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1‎ ‎ 又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A ‎ ∴∠1﹦∠2,‎ ‎ ∴ CF﹦BF﹒ ‎ A C B D E F O ‎1‎ ‎2‎ ‎(2) ⊙O的半径为5 ， CE的长是 ‎7．（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC． （1）求∠BAC的度数． （2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形． （3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．‎ A F C D E G H B O ‎　　　‎A F C D E G H B O ‎【答案】（1）解：连结OB和OC． ‎A F C D E G H B O ‎∵　OE⊥BC，∴　BE＝CE． ∵　OE＝BC，∴　∠BOC＝90°，∴　∠BAC＝45°．　　　　　　　‎ ‎（2）证明：∵　AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90°． 由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， 　　　　　　∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，　　　　　　　　　 ∴　∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°． ∴　∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°． ∴　四边形AFHG是正方形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 设AD的长为x，则　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．　　 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴　（x－6）2＋（x－4）2＝102． 解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）． ∴　AD＝12．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎8．（2010福建福州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C．‎ ‎（1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．‎ ‎(第19题)‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵ ， ∴ ∠C＝∠P．‎ 第19题图 ‎ 又∵ ∠1＝∠C， ∴ ∠1＝∠P．‎ ‎ ∴ CB∥PD．‎ ‎ （2）连接AC．‎ ‎ ∵ AB为0D的直径， ∴ ∠ACB=90°．‎ ‎ 又∵ CD⊥AB， ∴ ‎ ‎∴ ∠A＝∠P， ∴ sinA＝sinP．‎ 在Rt△ABC中， sinA＝，‎ ‎∵ sinP＝， ∴ ＝．‎ 又∵ BC＝3， ∴ AB＝5．‎ 即⊙O的直径为5．‎ ‎9．（2010邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。‎ 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。‎ 如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S，正四边形ABCD的面积为S，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S ‎（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S、S之间的关系为：S＝ （用含S、S的代数式表示）；‎ ‎（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。‎ ‎（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．‎ ‎ 图（十三）‎ ‎【答案】解：（1）‎ ‎（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①‎ 的阴影部分的面积 ‎（3）成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q，交圆于点X、Y，可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积．‎ ‎10．（2010年上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.‎ ‎（本题参考数据：sin 67.4° = ，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ）‎ 图5‎ ‎【答案】(1)过A作AH垂直NS于点H，∴∠AHO=90°, sin 67.4° = =,‎ ‎∵OA=13米,∴AH=12米,∵AB∥OS,记BC与OS交于点D，‎ ‎∴AH=BD=12米,∵OS⊥BC于点D，∴BD=CD=12米,∴BC=24米.‎ ‎（2）由（1）可得OH=5米，∵AB=14米，∴HD=9米，联接OB，‎ ‎∵∠ODB=90°,∴OB=‎ ‎11．（2010 广东珠海）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.‎ ‎(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；‎ ‎（2）若cos∠PCB=，求PA的长.‎ ‎【答案】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ‎∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC ‎∴PB＝PC ‎∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA ‎∴△PBD≌△PCA ‎∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ‎（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2‎ 过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1‎ ‎∵∠PCB=∠PAD ‎∴cos∠PAD=cos∠PCB=‎ ‎∴PA=‎ ‎12．（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．‎ ‎（1）求证：AC·CD=PC·BC；‎ ‎（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；‎ ‎ （3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。‎ ‎【答案】（1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90。‎ ‎∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴， ‎ ‎∴AC·CD=PC·BC ‎（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90。，又∵P是弧AB的中点，∴弧PA=弧PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又AB=5，∴PA=，过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45 ，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，∴PM=，∴PC=PM+=‎ ‎。由（1）知：AC·CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，∴CD＝‎ ‎（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而△PCD的面积等于·=，CP是圆O的弦，当CP最长时，△PCD的面积最大，而此时CP就是圆O的直径；所以CP=5，∴3：4=5：CD；∴CD=，△PCD的面积等于·==；‎ ‎ ‎ ‎13．（2010 四川成都）已知：如图，内接于⊙O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．‎ ‎ （1）求证：是的外心；‎ ‎ （2）若,求的长；‎ ‎ （3）求证：．‎ ‎【答案】（1）证明：∵C是AD的中点，∴AC=CD，‎ ‎∴∠CAD=∠ABC‎⌒‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。‎ ‎∴∠CAD+∠AQC=90°‎ 又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°‎ ‎∴∠AQC=∠PCQ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∴在△PCQ中，PC=PQ，‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∵CE⊥直径AB，∴AC=AE ‎∴AE=CD ‎∴∠CAD=∠ACE。‎ ‎∴在△APC中，有PA=PC，‎ ‎∴PA=PC=PQ ‎∴P是△ACQ的外心。‎ ‎（2）解：∵CE⊥直径AB于F，‎ ‎∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，‎ 得。‎ ‎∴由勾股定理，得 ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，‎ ‎ 得。‎ 易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴‎ ‎∴。‎ ‎（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠DAB+∠ABD=90°‎ 又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°‎ ‎∴∠DAB=∠G；‎ ‎∴Rt△AFP∽Rt△GFB，‎ ‎∴，即 易知Rt△ACF∽Rt△CBF，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ‎∴。‎ ‎14．（2010山东潍坊）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．‎ ‎（1）求证：OC∥BD；‎ ‎（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．‎ ‎【答案】（1） ⊙O中，AC＝CD，则∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，则∠ABC＝∠OAB，∴∠OCB＝∠DBC，则OC∥BD；‎ ‎（2）∵OC∥BD，不妨设平行线OC与BD之间的距离为h，又S△OBC＝OC×h，S△OBC＝OC×h，∵BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC＝ S△DBC，则OC＝BD，∴四边形OBDC为平行四边形，因为OC＝OB，所以四边形OBDC为菱形．‎ ‎15．（2010广东中山）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4．‎ ‎（1）求∠POA的度数；‎ ‎（2）计算弦AB的长．‎ ‎【答案】解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，‎ ‎∴∠PAO=‎ 在RtΔPAO中，OA=2，OP=4‎ ‎∴∠POA=‎ ‎（2）∵AB⊥OP ‎∴AC=BC，∠OCA=‎ 在RtΔAOC中，OA=2，∠AOC=‎ ‎∴AC=‎ ‎∴AB=2‎ ‎16．（2010黑龙江哈尔滨）如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B=∠C。‎ 求证：CE=BF。‎ ‎【答案】证明：∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB=OC ‎ 又 ‎ ‎≌ ‎ ‎∴OE=OF ∴CE=BF ‎ ‎17．（2010四川 泸州）(本题满分10分)如图9,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC.‎ (1) 求证:AE⊥DE;‎ (2) 设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求的值.‎ ‎【答案】(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°, ‎ 又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC， ‎ ‎∴∠DAE+∠ADE=90°， ‎ ‎∴∠AED＝90°， ‎ ‎∴AE⊥DE. ‎ ‎(2)解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=5,AD=BC,‎ ‎∴∠DAE=∠BEA, ‎ 又∵∠DAE=∠BAE,∴∠BEA=∠BAE,‎ ‎∴BE=AB=5, ‎ 同理EC=CD=5, ‎ ‎∴AD=BC=BE+EC=10, ‎ 在RtAED中,‎ DE===6, ‎ 又∵AD为半圆的直径,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠AED,‎ ‎∵∠DAE=∠FAG,∴AFG∽AED, ‎ ‎∴. ‎ ‎18．（2010吉林长春）第16届亚运会将在中国广州举行。小李预定了两种价格的亚运会门票，其中甲种门票共花费280元，乙种门票共花费300元，甲种门票比乙种门票多2张，乙种门票价格是甲种门票价格的1.5倍，求甲种门票的价格。‎ ‎【答案】‎ ‎18．（2010吉林长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm。求直尺的宽。‎ ‎【答案】‎ ‎19．（2010湖北宜昌）如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。‎ ‎（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；‎ ‎（2）求的最小值；‎ ‎（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ 的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）‎ A C B ‎(第23题)‎ 解：解法一：‎ ‎（1）据题意，∵a+h=.‎ ‎∴所求正方形与矩形的面积之比： ‎ ‎ 1分 由知同号, ‎ ‎ 2分 ‎（说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分）‎ ‎ 3分 即正方形与矩形的面积之比不小于4.‎ ‎（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.‎ ‎⊙‎ ‎∴⊙O的面积为：． 4分 矩形PDEF的面积：．‎ ‎⊙‎ ‎∴面积之比： 设 ‎⊙‎ ‎……………………………………………………………6分 ‎, ‎ ‎⊙‎ ‎，即时（EF=DE）, 的最小值为 7分 ‎⊙‎ ‎（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．‎ 过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，‎ ‎∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.‎ 由BC∥MQ,得：BM =AG =h.‎ ‎∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,‎ ‎∴△FBP∽△ABQ. 8分 M N ‎（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）‎ ‎∴,……9分 ‎∴.∴……10分 ‎……11分 ‎∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. ‎ ‎（解题过程叙述基本清楚即可）‎ 解法二：‎ ‎（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，‎ ‎　∴ah＞０…………1分（说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分）‎ ‎ ∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.‎ ‎　　　　 故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０． 2分 ‎　　　　∴（a＋h）２≥４a h，‎ ‎　　　　∴≥４．（﹡） 3分 ‎　　　　　　这就证得≥４．（叙述基本明晰即可）‎ ‎（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 .‎ ‎ S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy ‎⊙‎ ‎= ‎ ‎= 6分 由（1）（*）， .‎ ‎.‎ ‎⊙‎ ‎∴的最小值是 7分 ‎⊙‎ ‎（3）当的值最小时，‎ 这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ‎ ‎∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.‎ ‎∵△AGB∽△FEB，∴.……8分 ‎∵△AQB∽△FPB, ，……9分 ‎∴=．‎ 而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10分 ‎∴AG=h＝,‎ 或者AG=h＝ 11分 ‎∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.‎ ‎20．（2010福建省南平）如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积.‎ ‎·‎ 第21题 A B C O D ‎【答案】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°，‎ 在Rt△ABC中，AB=6， AC= 2，∴BC=== 4 ‎∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DAC=∠BCD ‎∴=， ∴AD=BD ‎∴在Rt△ABD中，AD=BD= AB=3 ‎∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=AC·BC+AD·BD ‎=×2×4+×(3)2 =9+4 ‎21．（2010广西河池）如图10，为的直径，为弦，且，垂足为．‎ ‎（1）如果的半径为4，，求的度数；‎ ‎（2）若点为的中点，连结，．求证：平分；‎ ‎（3）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由．‎ A B D E O C H ‎【答案】解：（1）∵ AB为⊙O的直径，CD⊥AB ∴ CH＝CD＝2 ‎ A B D E O C H ‎　　　　　　在Rt△COH中，sin∠COH==‎ ‎ ∴ ∠COH=60° ‎ ‎ ∵ OA=OC ∴∠BAC=∠COH=30°　‎ ‎ （2）∵ 点E是的中点 ∴OE⊥AB ∴ OE∥CD ∴ ∠ECD=∠OEC 又∵ ∠OEC=∠OCE ‎∴ ∠OCE=∠DCE ‎ ‎∴ CE平分∠OCD ‎ ‎ 　（3）圆周上到直线的距离为3的点有2个. ‎ ‎ 因为劣弧上的点到直线的最大距离为2， 上的点到直线AC的最大距离为6，，根据圆的轴对称性，到直线AC距离为3的点有2个. ‎ ‎22．（2010广东清远）如下图，在⊙O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CE⊥AB，在上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM.‎ ‎（1）如图10，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数.‎ 图10 图11 图12‎ C A B ‎(P)‎ E O M F D C A B P E O F D M O C A B P E F D M ‎（2）如图11、图12，当点P运动到与O点不重合时，求证：FM·OB=DF·MC.‎ ‎【答案】28.　解：（1）点P与点O重合时，（如图10）‎ ‎∵CE是直径，∴∠CDE＝90°.…………（1分）‎ ‎∵∠CDE＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝90°.…………（2分）‎ ‎（2）当点P在OA上运动时（如图11）‎ ‎∵OP⊥CE，∴＝＝，CP＝EP.‎ ‎∴CM＝EM.　∴∠CMP＝∠EMP.‎ ‎∵∠DMO＝∠EMP，　∴∠CMP＝∠DMO.‎ ‎∵∠CMP＋∠DMC＝∠DMO＋∠DMC，‎ ‎∴∠DMF＝∠CMO. …………（3分）‎ ‎∵∠D所对的弧是，∠COM所对的弧是，‎ ‎∴∠D＝∠COM. …………（4分）‎ ‎∴△DFM∽△OCM.　∴＝ ‎∴FM·OC＝DF·MC.‎ ‎∵OB＝OC，　∴FM·OB＝DF·MC. …………（5分）‎ 当点P在OB上运动时，（如图12）‎ 证法一：连结AC，AE.‎ ‎∵OP⊥CE，∴＝＝，CP＝EP.‎ ‎∴CM＝EM，　∴∠CMO＝∠EMO.‎ ‎∵∠DMF＝∠EMO，　∴∠DMF＝∠CMO.………………（6分）‎ ‎∵∠CDE所对的弧是，∠CAE所对的弧是.‎ ‎∴∠CDE＋∠CAE＝180°.‎ ‎∴∠CDM＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝∠CAE.‎ ‎∵∠CAE所对的弧是，∠COM所对的弧是，‎ ‎∴∠CAE＝∠COM.‎ ‎∴∠FDM＝∠COM. ………………（7分）‎ ‎∴△DFM∽△OCM.　∴＝.‎ ‎∴FM·OC＝DF·MC.‎ ‎∵OB＝OC，　∴FM·OB＝DF·MC. ………………（8分）‎ 证法二：∵OP⊥CE，‎ ‎∴＝＝，＝＝，CP＝EP.‎ ‎∴CM＝EM，　∴∠CMO＝∠EMO.‎ ‎∵∠DMF＝∠EMO，　∴∠DMF＝∠CMO.………………（6分）‎ ‎∵∠CDE所对的弧是，‎ ‎∴∠CDE＝度数的一半＝的度数＝180°－的度数.‎ ‎∴∠FDM＝180°－∠CDE＝180°－（180°－的度数）＝的度数.‎ ‎∵∠COM＝的度数.‎ ‎∴∠FDM＝∠COM. ………………（7分）‎ ‎∴△DFM∽△OCM.　∴＝.‎ ‎∴FM·OC＝DF·MC.‎ ‎∵OB＝OC，　∴FM·OB＝DF·MC. ………………（8分）‎