中考数学模拟试卷五含解析3

中考数学模拟试卷五含解析3

福建省泉州市南安市2016年中考数学模拟试卷（五）‎ 一、选择题：．‎ ‎1．有理数﹣的倒数是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．4a+5b=9ab B．（a3）5=a15 C．a4•a2=a8 D．a6÷a3=a2‎ ‎3．下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某合作学习小组的6名同学在一次数学测试中，成绩分布为76，88，96，82，78，96，这组数据的中位数是（　　）‎ A．82 B．85 C．88 D．96‎ ‎5．不等式组的解集是（　　）‎ A．x＞﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜2‎ ‎6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为（　　）‎ A．34° B．56° C．60° D．68°‎ ‎7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为，则a、b的值分别为（　　）‎ A．， B．，﹣ C．，﹣ D．﹣，‎ ‎　‎ 二、填空题：．‎ ‎8．16的算术平方根是______．‎ ‎9．计算：﹣=______．‎ ‎10．分解因式：4x2﹣6x=______．‎ ‎11．如图，已知AB∥ED，∠B=58°，∠C=35°，则∠D的度数为______度．‎ ‎12．泉州湾跨海大桥全长26700米，将26700用科学记数法记为______．‎ ‎13．方程组的解为______．‎ ‎14．如图，已知AB是⊙O的直径，OD⊥AC，OD=3，则弦BC的长为______．‎ ‎15．一个扇形的半径为6cm，弧长是4πcm，这个扇形的面积是______cm2．‎ ‎16．如图，菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，已知AB=5，OB=3，则菱形ABCD的面积是______．‎ ‎17．在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（t，0）是x轴正半轴上的点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．‎ ‎（1）点C的坐标为______；‎ ‎（2）△ABC的面积为______．（均用含t的代数式表示）‎ ‎　‎ 三、解答题：（共89分）．‎ ‎18．计算：2cos60°﹣（﹣1）0+|﹣3|﹣（）﹣2．‎ ‎19．先化简，再求值：a（a﹣2）﹣（a+3）（a﹣3），其中a=﹣3．‎ ‎20．如图，在△ABC中，AB=AC．D是BC上一点，且AD=BD．将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，连接DE．‎ ‎（1）求证：AE∥BC；‎ ‎（2）连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．‎ ‎21．某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（2016•南安市模拟）在一个不透明的口袋里装有四个小球，四个小球上分别标有数字：1、3、5、7，它们除了所标数字不同之外，没有其它区别．‎ ‎（1）随机地从口袋里抽取一个小球，求取出的小球上的数字为5的概率；‎ ‎（2）若小刚先随机地从口袋里抽取一个小球后，小丽再从剩余的三个球中随机地抽取一个小球．以小刚取出的小球上所标的数作为等腰三角形的腰，以小丽取出的小球上所标的数作为等腰三角形的底．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出能构成等腰三角形的概率．‎ ‎23．如图，某学校数学兴趣小组想了解“第25届世界技巧锦标赛倒计时”广告牌的高度，他们在A点处测得广告牌底端C点的仰角为30°，然后向广告牌前进10m到达点B处，又测得C点的仰角为60°．请你根据以上数据求广告牌底端C点离地面的高度．（结果保留根号）‎ ‎24．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：‎ ‎（1）写出A、B两地之间的距离；‎ ‎（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；‎ ‎（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．‎ ‎25．（13分）（2016•南安市模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为．AB=．‎ 我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．‎ ‎（1）问题拓展：‎ 如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为______．‎ ‎（2）综合应用：‎ 如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连结AB．‎ ‎①证明AB是⊙P的切线；‎ ‎②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写 出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎26．（13分）（2015•乐山）如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．‎ ‎①求点P的运动路程；‎ ‎②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016年福建省泉州市南安市中考数学模拟试卷（五）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：．‎ ‎1．有理数﹣的倒数是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，可得出答案．‎ ‎【解答】解：，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了倒数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握倒数的定义．‎ ‎　‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．4a+5b=9ab B．（a3）5=a15 C．a4•a2=a8 D．a6÷a3=a2‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】分别利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则化简求出答案．‎ ‎【解答】解：A、4a+5b无法计算，故此选项错误；‎ B、（a3）5=a15，正确；‎ C、a4•a2=a6，故此选项错误；‎ D、a6÷a3=a3，故此选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算等知识，掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，故A选项错误；‎ B、圆锥主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故B选项错误；‎ C、三棱柱主视图是矩形，俯视图是三角形，故C选项错误；‎ D、长方体主视图和俯视图都为矩形，故D选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．‎ ‎　‎ ‎4．某合作学习小组的6名同学在一次数学测试中，成绩分布为76，88，96，82，78，96，这组数据的中位数是（　　）‎ A．82 B．85 C．88 D．96‎ ‎【考点】中位数．‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．‎ ‎【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：76，78，82，88，96，96，处于中间位置的两个数是82和88，‎ 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（82+88）÷2=85．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．‎ ‎　‎ ‎5．不等式组的解集是（　　）‎ A．x＞﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜2‎ ‎【考点】不等式的解集．‎ ‎【分析】根据x的取值范围画出数轴即可得出不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎，‎ 故不等式组的解集是：x＞2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确在数轴上表示出解集是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为（　　）‎ A．34° B．56° C．60° D．68°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=68°．‎ ‎【解答】解：∵∠C=34°，‎ ‎∴∠AOB=2∠C=68°．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为，则a、b的值分别为（　　）‎ A．， B．，﹣ C．，﹣ D．﹣，‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】确定出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵y=ax2+bx=x2+bx=（x+）2﹣，‎ ‎∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴为直线x=﹣，‎ 当x=﹣时，y=，‎ ‎∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，‎ ‎×（+）×（﹣）=．‎ 解得b=﹣，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：．‎ ‎8．16的算术平方根是　4　．‎ ‎【考点】算术平方根．‎ ‎【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．‎ ‎【解答】解：∵42=16，‎ ‎∴=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．‎ ‎　‎ ‎9．计算：﹣=　1　．‎ ‎【考点】分式的加减法．‎ ‎【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式==1．‎ 故答案为：1‎ ‎【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．分解因式：4x2﹣6x=　2x（2x﹣3）　．‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法．‎ ‎【分析】直接提取公因式法分解因式得出答案．‎ ‎【解答】解：原式=2x（2x﹣3）．‎ 故答案为：2x（2x﹣3）．‎ ‎【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．如图，已知AB∥ED，∠B=58°，∠C=35°，则∠D的度数为　23　度．‎ ‎【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．‎ ‎【分析】要求∠D的度数，只需根据三角形的外角的性质求得该三角形的外角∠1的度数．显然根据平行线的性质就可解决．‎ ‎【解答】解：∵AB∥ED，∠B=58°，∠C=35°，‎ ‎∴∠1=∠B=58°．‎ ‎∵∠1=∠C+∠D，‎ ‎∴∠D=∠1﹣∠C=58°﹣35°=23°．‎ 故答案为：23．‎ ‎【点评】根据两直线平行同位角相等和三角形外角的性质解答．‎ ‎　‎ ‎12．泉州湾跨海大桥全长26700米，将26700用科学记数法记为　2.67×104　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将26700用科学记数法表示为2.67×104．‎ 故答案为：2.67×104．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎13．方程组的解为　　．‎ ‎【考点】二元一次方程组的解．‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②得：4x=4，‎ 解得：x=1，‎ 将x=1代入①得：y=2，‎ 则方程组的解为．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎　‎ ‎14．如图，已知AB是⊙O的直径，OD⊥AC，OD=3，则弦BC的长为　6　．‎ ‎【考点】圆周角定理；垂径定理．‎ ‎【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由OD⊥AC，点O是直径AB的中点可得出OD是△ABC的中位线，根据中位线定理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠C=90°．‎ ‎∵OD⊥AC，‎ ‎∴OD∥BC．‎ ‎∵OD=3，点O是AB的中点，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴BC=2OD=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．一个扇形的半径为6cm，弧长是4πcm，这个扇形的面积是　12π　cm2．‎ ‎【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．‎ ‎【分析】直接根据扇形的面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵扇形的半径为6cm，弧长是4πcm，‎ ‎∴这个扇形的面积=×4π×6=12πcm2．．‎ 故答案为：12π．‎ ‎【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．如图，菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，已知AB=5，OB=3，则菱形ABCD的面积是　24　．‎ ‎【考点】菱形的性质．‎ ‎【分析】根据菱形的面积公式，求出菱形的对角线的长即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，AO=OC，OB=OD，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵AB=5，OB=3，‎ ‎∴AO===4，‎ ‎∴AC=8，BD=6，‎ ‎∴S菱形ABCD=•AC•BD=×6×8=24．‎ ‎【点评】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，灵活应用菱形的性质解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎17．在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（t，0）是x轴正半轴上的点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．‎ ‎（1）点C的坐标为　（t+3，）　；‎ ‎（2）△ABC的面积为　　．（均用含t的代数式表示）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转；三角形的面积．‎ ‎【分析】（1）根据点A和点B的坐标可以求得点M的坐标，从而可以求得点C的坐标；‎ ‎（2）根据点A和点B的坐标可以求得AB的长，从而可以求得BM的长，进而求得△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（0，6），点B（t，0），点M是线段AB的中点，‎ ‎∴点M的坐标是（），‎ 又∵将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC，‎ ‎∴点C的坐标为：（t+3，），‎ 故答案为：（t+3，）；‎ ‎（2）∵点A（0，6），点B（t，0），点M的坐标是（），∠ABC=90°，‎ ‎∴AB=，BM==，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴△ABC的面积是：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共89分）．‎ ‎18．计算：2cos60°﹣（﹣1）0+|﹣3|﹣（）﹣2．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=2×﹣1+3﹣﹣4‎ ‎=﹣1﹣．‎ ‎【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎19．先化简，再求值：a（a﹣2）﹣（a+3）（a﹣3），其中a=﹣3．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值．‎ ‎【分析】根单项式乘以多项式、平方差公式对所求式子化简，然后将a=﹣3代入即可解答本题．‎ ‎【解答】解：a（a﹣2）﹣（a+3）（a﹣3）‎ ‎=a2﹣2a﹣a2+9‎ ‎=﹣2a+9，‎ 当a=﹣3时，原式=﹣2×（﹣3）+9=15．‎ ‎【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在△ABC中，AB=AC．D是BC上一点，且AD=BD．将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，连接DE．‎ ‎（1）求证：AE∥BC；‎ ‎（2）连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．‎ ‎【考点】旋转的性质；平行四边形的判定．‎ ‎【分析】（1）由于△ABD、△ABC都是等腰三角形，易求得∠BAD=∠ACB=∠B，由旋转的性质可得到∠BAD=∠CAE，通过等量代换，即可证得所求的两条线段所在直线的内错角相等，由此得证．‎ ‎（2）由旋转的性质易知：AD=AE=BD，且已证得AE∥BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判定四边形ABDE是平行四边形．‎ ‎【解答】（1）证明：由旋转性质得∠BAD=∠CAE，‎ ‎∵AD=BD，‎ ‎∴∠B=∠BAD，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠DCA；‎ ‎∴∠CAE=∠DCA，‎ ‎∴AE∥BC．‎ ‎（2）解：四边形ABDE是平行四边形，‎ 理由如下：‎ 由旋转性质得AD=AE，‎ ‎∵AD=BD，‎ ‎∴AE=BD，‎ 又∵AE∥BC，‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形．‎ ‎【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的判定和性质，难度不大．‎ ‎　‎ ‎21．某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（2016•南安市模拟）在一个不透明的口袋里装有四个小球，四个小球上分别标有数字：1、3、5、7，它们除了所标数字不同之外，没有其它区别．‎ ‎（1）随机地从口袋里抽取一个小球，求取出的小球上的数字为5的概率；‎ ‎（2）若小刚先随机地从口袋里抽取一个小球后，小丽再从剩余的三个球中随机地抽取一个小球．以小刚取出的小球上所标的数作为等腰三角形的腰，以小丽取出的小球上所标的数作为等腰三角形的底．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出能构成等腰三角形的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；等腰三角形的判定与性质；概率公式．‎ ‎【分析】（1）由概率公式容易得出结果；‎ ‎（2）画出树状图，所有等可能结果共有12种，其中能构成等腰三角形有8种，即可求出概率．‎ ‎【解答】解：（1）P（取出的小球上的数字为5）=；‎ ‎（2）画出树状图如下 所有等可能结果共有12种，其中能构成等腰三角形有8种，‎ ‎∴P（能构成等腰三角形）==．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率、概率公式、等腰三角形的判定与性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．‎ ‎　‎ ‎23．如图，某学校数学兴趣小组想了解“第25届世界技巧锦标赛倒计时”广告牌的高度，他们在A点处测得广告牌底端C点的仰角为30°，然后向广告牌前进10m到达点B处，又测得C点的仰角为60°．请你根据以上数据求广告牌底端C点离地面的高度．（结果保留根号）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】过C点作CD⊥AB于D，根据三角形外角的性质得出∠CBD=∠CAB+∠ACB，故可得出∠ACB=30°，BC=AB=10．在Rt△BCD中根据sin60°=即可得出CD的长．‎ ‎【解答】解：过C点作CD⊥AB于D，‎ ‎∵∠CBD=∠CAB+∠ACB，‎ ‎∴∠ACB=30°，‎ ‎∴∠ACB=∠CAB，‎ ‎∴BC=AB=10．‎ 在Rt△BCD中，‎ sin60°=，‎ ‎∴CD=10×=5（m）．‎ 因此C点离地面的高度为5m．‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：‎ ‎（1）写出A、B两地之间的距离；‎ ‎（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；‎ ‎（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据x=0时，甲距离B地30千米，由此即可解决问题．‎ ‎（2）根据相遇时间=即可解决．‎ ‎（3）分三个时间段求出时间即可，①是相遇前，则15x+30x=30﹣3，②是相遇后，则15x+30x=30+3，③若是甲到达B地前，而乙到达A地后按原路返回时，则15x﹣30（x﹣1）=3，分别解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）x=0时，甲距离B地30千米，‎ 所以，A、B两地的距离为30千米；‎ ‎（2）由图可知，甲的速度：30÷2=15千米/时，‎ 乙的速度：30÷1=30千米/时，‎ ‎30÷（15+30）=，×30=20千米，‎ 所以，点M的坐标为（，20），表示甲、乙两人出发小时后相遇，此时距离B地20千米；‎ ‎（3）设x小时甲、乙两人相距3km，‎ ‎①若是相遇前，则15x+30x=30﹣3，解得x=，‎ ‎②若是相遇后，则15x+30x=30+3，解得x=，‎ ‎③若是甲到达B地前，而乙到达A地后按原路返回时，‎ 则15x﹣30（x﹣1）=3，‎ 解得x=，‎ 所以，当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．‎ ‎【点评】本题考查一次函数的应用、相遇问题等知识，理解题意是解题的关键，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎25．（13分）（2016•南安市模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为．AB=．‎ 我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．‎ ‎（1）问题拓展：‎ 如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2　．‎ ‎（2）综合应用：‎ 如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连结AB．‎ ‎①证明AB是⊙P的切线；‎ ‎②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写 出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；‎ ‎（2）综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；‎ ‎②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA，则有tan∠OBP==‎ ‎．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，‎ ‎∵P（a，b），半径为r，‎ ‎∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．‎ 故答案为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；‎ ‎（2）综合应用：‎ ‎①∵PO=PA，PD⊥OA，‎ ‎∴∠OPD=∠APD．‎ 在△POB和△PAB中，‎ ‎，‎ ‎∴△POB≌△PAB（SAS），‎ ‎∴∠POB=∠PAB．‎ ‎∵⊙P与x轴相切于原点O，‎ ‎∴∠POB=90°，‎ ‎∴∠PAB=90°，‎ ‎∴AB是⊙P的切线；‎ ‎②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．‎ 当点Q在线段BP中点时，‎ ‎∵∠POB=∠PAB=90°，‎ ‎∴QO=QP=BQ=AQ．‎ 此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．‎ ‎∵∠POB=90°，OA⊥PB，‎ ‎∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA，‎ ‎∴tan∠OBP==tan∠POA=．‎ ‎∵P点坐标为（0，6），‎ ‎∴OP=6，OB=OP=8．‎ 过点Q作QH⊥OB于H，如图3，‎ 则有∠QHB=∠POB=90°，‎ ‎∴QH∥PO，‎ ‎∴△BHQ∽△BOP，‎ ‎∴===，‎ ‎∴QH=OP=3，BH=OB=4，‎ ‎∴OH=8﹣4=4，‎ ‎∴点Q的坐标为（4，3），‎ ‎∴OQ==5，‎ ‎∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程：‎ ‎（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．‎ ‎【点评】此题考查了圆的综合、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识，正确应用相关定理是解题关键．‎ ‎　‎ ‎26．（13分）（2015•乐山）如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．‎ ‎①求点P的运动路程；‎ ‎②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）利用tan∠ABC=3，得出C但坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式；‎ ‎（2）①当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，则P的运动路程为△ABC的中位线HK，再利用勾股定理得出答案；‎ ‎②首先利用等腰三角形的性质得出∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，进而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即可得出答案；‎ ‎（3）首先得出C△PEF=AD+EF，进而得出EG=PE，EF=PE=AD，利用C△PEF=AD+EF=（1+）AD=AD，得出最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2+bx+c=0两根为：﹣8，2，‎ ‎∴A（﹣8，0）、B（2，0），即OB=2，‎ 又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，﹣6），‎ 将A（﹣8，0）、B（2，0）代入y=ax2+bx﹣6中，得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=x2+x﹣6；‎ ‎（2）①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，‎ 当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，‎ ‎∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，‎ ‎∴HK=BC，‎ 在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，‎ ‎∴BC=2，∴HK=，‎ 即P的运动路程为：；‎ ‎②∠EPF的大小不会改变，‎ 理由如下：如图2，∵DE⊥AB，‎ ‎∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，‎ ‎∴PE=AD=PA，‎ ‎∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，‎ 同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，‎ ‎∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），‎ 即∠EPF=2∠EAF，‎ 又∵∠EAF大小不变，‎ ‎∴∠EPF的大小不会改变；‎ ‎（3）设△PEF的周长为C，则C△PEF=PE+PF+EF，‎ ‎∵PE=AD，PF=AD，‎ ‎∴C△PEF=AD+EF，‎ 在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，‎ ‎∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，‎ ‎∵tan∠BAC==，‎ ‎∴tan∠EPG==，‎ ‎∴EG=PE，EF=PE=AD，‎ ‎∴C△PEF=AD+EF=（1+）AD=AD，‎ 又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，‎ 又S△ABC=30，‎ ‎∴BC×AD=30，‎ ‎∴AD=3，‎ ‎∴C△PEF最小值为： AD=．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和直角三角形中线的性质等知识，用AD表示出△PEF的周长是解题关键．‎