2020年中考数学专题复习：二次函数图象综合应用

2020年中考数学专题复习：二次函数图象综合应用

二次函数图象综合应用[来源&:#中~国教育出@版网*]‎ 知识互联网 ‎[来源%:@中国教~#育出^版网]‎ 题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系 思路导航 图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为（或）（），则：‎ 开口方向 ‎，越大，开口越小．‎ 对称轴 ‎（或）．‎ 顶点坐标 ‎，或，．‎ 单调性 当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大（如图1）；‎ 第 21 页 共 21 页 当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小（如图2）‎ 与坐标轴的交点 ‎① 与轴的交点：；‎ ‎② 与轴的交点：，其中是方程的两根．‎ 图象与轴的交点个数 ‎① 当时，图象与轴有两个交点．‎ ‎② 当时，图象与轴只有一个交点．‎ ‎③ 当时，图象与轴没有交点．‎ Ⅰ当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；‎ Ⅱ当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．‎ 例题精讲 二次函数的图象如图所示，判断，，，，，，的符号[来源:中@国教^育~出版*网%]‎ 由图知：图象开口向上，所以；‎ 函数的对称轴，所以；‎ 函数图象与轴的交点小于，所以；‎ 函数图象与轴有两个不同的交点，所以；‎ 同时，所以；‎ 所对应的函数值小于，所以；‎ 所对应的函数值大于，所以 第 21 页 共 21 页 典题精练 ‎⑴ 二次函数的图象如图所示，则点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎⑵ 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（　　）[来源:中~国教育^*出版&网@]‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ⑶ 一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，点的坐标为，则下列结论中，正确的是（　　）‎ A． B． C． D．[来源:*中国教育出^版网@&#]‎ ‎⑴ B. ⑵ B．⑶D.[来源:中^国&@教育*出版网~]‎ ‎⑴ 如图，抛物线，，下列关系中正确的是（ ）[来源:中教^网@%*&]‎ A． B． C． D．‎ ‎⑵ 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，若 第 21 页 共 21 页 ‎，则的值为_______．‎ ‎⑴ A．提示：把代入即可．‎ ‎⑵ ．提示：先把B代入，‎ 得，再把代入即可．‎ ‎⑴ 函数与的图象如图所示，有以下结论：①＞0；②；③；④当1＜x＜3时，．其中正确的为 ．‎ ‎[来&源:zz~s#t*ep.@com]‎ ‎⑵ 已知二次函数的图象如图所示，有下列 个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）；⑥ ；⑦，⑧，其中正确的结论有（ ）[中国~教#^@育%出版网]‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎⑴ ③④‎ ‎⑵ C．[来源:~z*zstep.c@#om^]‎ 对称轴在轴的右边得（由开口向下得，故），抛物线与轴交于正半轴得，∴，①不正确；‎ 当时，函数值为，②不正确；‎ 当时，函数值，③正确；‎ 其实和到对称轴的距离相等，函数值相等得，∴代入，，即，④正确；‎ 第 21 页 共 21 页 当，∵，，可知⑤正确；‎ 由对称轴得，故⑥正确；‎ 抛物线与轴有两个交点，故，故⑦不正确；‎ ‎，，故，故⑧不正确．‎ 题型二：二次函数的最值 思路导航 对于二次函数（表示的最大值，表示的最小值）‎ ‎⑴ 若自变量的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时，取到最值．‎ ‎⑵ 若，如图②，当，；当，．‎ ‎⑶ 若，如图③，当，；当，．[中国教@%育*出版#网^]‎ ‎⑷ 若，且，，如图④，当，；‎ 当，．‎ 例题精讲 ‎⑴ 若为任意实数，求函数的最小值；‎ ‎⑵ 若，求的最大值、最小值；‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑶ 若，求的最大值、最小值；‎ ‎⑷ 若，求的最大值、最小值；‎ ‎⑸ 若为整数，求函数的最小值．‎ ‎⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：‎ 当时，的最小值是．‎ ‎⑵ 由图象可知：当时，函数单调递增，‎ 当时，最小，且，‎ 当时，最大，且．‎ ‎⑶ 由图象可知：当时，函数是先减后增，‎ ‎∴当，最小，且．‎ ‎∵当时，；当时， ，‎ ‎∴当时，最大，且．[来源:*~&中^%教网]‎ ‎⑷ 由函数图象开口向上，且，‎ 故当时，取最大值为，当时，取最小值为．‎ ‎⑸ ∵，当时，取最小值为．‎ 由此题我们可以得到：求二次函数在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．‎ 典题精练 ‎[来源%:中国教育出版#~*^网]‎ ‎⑴ 已知m、n、k为非负实数，且，则代数式的最小值[w~ww.z@%zs*tep.c^om]‎ 为 ．[中国教育出&版*网~#%]‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑵ 已知实数满足，则的最大值为 ．[www.z#zs^te%p@.com~]‎ ‎⑶ 当时，二次函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎⑴∵m、n、k为非负实数，且，‎ ‎∴m、n、k最小为0，当n=0时，k最大为：；∴，故最小值为2.5．[www.zz&^st#ep.co*m~]‎ ‎⑵ ．提示：，令，当，的最大值为．本题属于为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．‎ ‎⑶ B．提示：二次函数的对称轴为，且抛物线的开口向上，故时，的最小值为．‎ 如图，抛物线经过点，且与抛物线相交于两点．[ww*&w.zzste^#p.co@m]‎ y x P A O B M E N F ‎⑴ 求值；‎ ‎⑵ 设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；‎ ‎⑶ 设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于两点，试问当为何值时，线段有最大值？其最大值为多少？‎ y x P A O B D Q C ‎⑴ ∵点在抛物线上，‎ ‎∴，解得．‎ 第 21 页 共 21 页 N F E M ‎⑵ 由⑴知，‎ ‎∴抛物线，．‎ 当时，解得，．‎ ‎∵点在点的左边，∴，．‎ 当时，解得，．‎ ‎∵点在点的左边，∴，．‎ ‎∵，，‎ ‎∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．[来#源%@:*中教网&]‎ ‎⑶ ∵．∴抛物线开口向下，抛物线开口向上．‎ 根据题意，得．‎ 又，消可解得，‎ 则当时，的最大值为．‎ ‎⑴ 二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围 ‎⑵ 二次函数的图象的一部分如图所示，试求的取值范围．‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑴ 根据二次函数图象可知，‎ 又此二次函数图象经过，‎ 则有，，得，‎ ‎∵，据图象得对称轴在轴左侧，∴‎ ‎∴，∴[来源:中*国教育出版^网%#~]‎ 于是有．‎ ‎⑵ 由图象可知．‎ 又顶点在轴的右侧，在轴的下方，则：‎ ‎，，∴．[来@源%:中~教网#^]‎ 又∵当时，‎ 当时，，∴[www.z~^&z#step.co@m]‎ ‎∴[来@源:中*&国%教育#出版网]‎ ‎∴．[来~&源:中*国教育出版网@#]‎ ‎∴‎ ‎∴，即．‎ ‎[来%源:@~&zzste#p.com]‎ 第 21 页 共 21 页 ‎精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究 ‎【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 ‎【探究过程】‎ ‎【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；[中国教育出版&网^*%#]‎ 二次函数的图像信息：‎ ‎⑴ 根据抛物线的开口方向判断的正负性．‎ ‎⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断与之间的关系．‎ ‎⑶ 根据抛物线与轴的交点，判断的大小．[来~@源&:*中国教育^出版网]‎ ‎⑷ 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．‎ ‎⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于的等式．‎ ‎⑹ 根据抛物线的顶点，判断的大小．‎ 例. 的图象如图所示．设，‎ 则（ ）‎ A． B． C． D．不能确定为正，为负或为 分析：依题意得，，∴，，，‎ 又当时，，当时，，‎ 故，故选C．‎ ‎☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二[w^&#w~w.zzs@tep.com]‎ 次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲)[www.zzstep~.%co&*m#]‎ 第 21 页 共 21 页 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；‎ ‎1、轴定区间定：2、轴动区间定：‎ 例．求在上的最大值和最小值．‎ 分析： 先求最小值．‎ 因为的对称轴是，可分以下三种情况：‎ ‎⑴ 当时，在上为增函数，所以；‎ ‎⑵ 当时，为最小值，；[来源:中#国教^育@出版*网%]‎ ‎⑶ 当时，在上为减函数，所以．‎ 综上所述：‎ 最大值为与中较大者：，[中^国教育出版&#网~@]‎ ‎（1）当时，，则；‎ ‎（2）当时，，则．‎ 故 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴 是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴 与区间的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较与 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两[ww~w.zzs^tep.&*com@]‎ 种情况．‎ ‎3、轴定区间动：‎ 例．若函数当时的最小值为，求函数当时[www@.zzstep.c~^o*#m]‎ 的最值．‎ 分析： ，按直线与区间的不同位置关系分类讨论：[来源:中国*^教&育@#出版网]‎ 第 21 页 共 21 页 若，则；‎ 若，即，则；‎ 若，即，则．‎ ‎∴‎ 函数在内是减函数，在内是常值函数，在内是增函数，又，故在区间内，（当时取得），．‎ 小结：（i）解此类问题时，心中要有图象；（ii）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．‎ ‎☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二[来#源%:@&中教网*]‎ 次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）‎ 二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与轴交点的横坐标．因此，‎ 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分 布问题．设二次方程的两个实根、，‎ ‎，方程对应的二次函数为．‎ ‎1．当方程有一根大于，另一根小于时，对应二次函数的图像有下列两种情形：‎ ‎[来&源:中^国@教育出*版网#]‎ 方程系数所满足的充要条件：；‎ 第 21 页 共 21 页 ‎2．当方程两根均大于时，对应函数的图像有下列两种情形：‎ 方程系数所满足的充要条件：， ，；‎ ‎3．当方程两根均在区间内，对应二次函数的图像有下列两种情形：‎ 方程系数所满足的充要条件：， ，，；‎ ‎4．当两根中仅有一根在区间内，对应函数的图像有下列四种情形：‎ 方程系数所满足的充要条件： ；‎ ‎5．当两根在区间之外时：对应函数的图像有下列两种情形：[中%国教&育*^~出版网]‎ 方程系数所满足的充要条件：，；[来@#源^:%*中教网]‎ ‎6．当两根分别在区间、内，且，对应函数的图像有下列两种情形：‎ 第 21 页 共 21 页 方程系数所满足的充要条件：，，， ．‎ 小结： 由函数图像与轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式[来源:zzs@tep.c^%&#om]‎ 的符号；②对称轴的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．‎ 例．若方程的两个根均大于2，求实数的取值范围．‎ 分析：令，如图得充要条件：‎ ‎，解得．‎ 思维拓展训练(选讲)‎ 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ）‎ A B C D B．由，且，可得， ，且过点，由，且=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：，∴，‎ ‎∴．‎ 另一方法：∵，∴，，从而得到．‎ 第 21 页 共 21 页 ‎[来源:zzs&#tep%@.*com]‎ 已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：⑴ 当时，；⑵ 当时，；⑶ 方程有两个不相等的实数根、；⑷，；⑸，其中所有正确的结论是______.（只需填写序号）[中&国教育#*~出^版网]‎ ‎⑴⑶⑷．当时，代入得，故⑴正确；‎ 因为的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当时，，故⑵不正确；[来#源@:^%中*教网]‎ 联立方程可得，抛物线与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根．‎ 当时，，若，，若，，故⑷正确．‎ ‎，故⑸不正确.‎ 如图所示，二次函数的图象交轴于和，交轴于，当线段最短时，求线段的长．‎ 设，，，，‎ 则，是方程的两根，‎ 则 当时，取最小值，即最短，此时，抛物线为，[来源:zzst~#@ep&^.com]‎ 可求得的纵坐标为，即线段的长是．‎ 小明为了通过描点法作出函数的图象，先取自变量的个值满足：‎ 第 21 页 共 21 页 ‎，再分别算出对应的值，列出表：‎ 表1：[来源:%&zz~s*@tep.com]‎ 记，，，，…；‎ ‎，，，…‎ ‎⑴ 判断、、之间关系；‎ ‎⑵ 若将函数“”改为“”，列出表2：‎ 表2：[来&源:中@教~#*网]‎ 其他条件不变，判断、、之间关系，并说明理由；‎ ‎⑶ 小明为了通过描点法作出函数的图象，列出表3：‎ 表3：‎ 由于小明的粗心，表3中有一个值算错了，请指出算错的值（直接写答案）．‎ ‎⑴ ；‎ ‎⑵ ．证明：‎ ‎[中国#教*%~育&出版网]‎ 第 21 页 共 21 页 同理，．‎ ‎∴．‎ ‎⑶ 表中的改为．‎ ‎[来源#:*中国教%育出~&版网]‎ 复习巩固 题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习 ‎[来源:^zz#*step.~co&m]‎ ‎⑴ 函数与在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）‎ ‎⑵ 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑴ A．⑵ D．‎ 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经点和且与轴交于负半轴．‎ 下列四个结论：①；②；③；④，‎ 其中正确的结论的序号是 ．‎ ‎⑵给出下列四个结论：①；②；‎ ‎③；④．其中正确的结论的序号是 ．‎ ‎⑴图象开口向上得；对称轴可得；当时，，即；由时，，即．故①④．‎ ‎⑵由⑴可知；对称轴，∴；‎ ‎∵点和在抛物线上，代入解析式得 两式相加得，得，∵，∴，即．‎ 故②③④．‎ 如图，表示抛物线的一部分图象，它与轴的一个交点为，与轴交于点．则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ 第 21 页 共 21 页 C． D．‎ B．‎ 二次函数的图象大致如图所示，‎ ‎⑴判别，，和的符号，并说明理由；‎ ‎⑵如果，求证：‎ ‎⑴ 解：因为抛物线开口向上，．因为抛物线与轴 交于负半轴，．又因为抛物线对称轴在轴的右侧，，即，异号，由，得．‎ 因为抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实根，所以其判别式．‎ ‎⑵ 证明：由于点坐标为，而，所以点坐标为，‎ 把代入，得．‎ 因为，所以．‎ 题型二 二次函数的最值 巩固练习 已知：关于x的一元二次方程①.[来~源#:中国教育&出^版网@]‎ ‎⑴ 求证：方程①有两个实数根；‎ ‎⑵ 若，求证方程①有一个实数根为；‎ ‎⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为. 当时，关于m的函数与的图象交于点、（点在点的左侧），平行于轴的直线与、的图象分别交于点、. 当沿由点平移到点时，求的最大值.[来源:zzs%t&ep~#.c@om]‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑴ 证明：.‎ ‎∵， ∴.‎ ‎∴方程①有两个实数根.‎ ‎⑵ 解：由，得 当x=1时，等号左边 ‎.‎ 等号右边=0.‎ ‎∴左边=右边.[来*源:中教网^%&~]‎ ‎∴ 是方程①的一个实数根.‎ ‎⑶ 解：由求根公式，得.‎ x =m或[来源&:中^*教@#网]‎ ‎∵ ， ∴ .‎ 当时，，‎ 如图，当l沿AB由点A平移到点B时，‎ 由，得 解得m=2或m=1.∴ mA=2，mB=1.‎ ‎∵2<<1，∴当m=时，CD取得最大值.‎ 课后测 第 21 页 共 21 页 设二次函数图像如图所示，试判断：[中%&^国#教育@出版网]‎ 的符号．‎ ‎【解析】由图像可知，，，，，，于是．‎ 若，求的最大值、最小值；‎ ‎【解析】由图像可知：当时，函数是先减后增，∴当，最小，且．‎ ‎∵当时，当时， ，[ww~w.z%^zst&ep.c@om]‎ ‎∴当时，最大，且．‎ ‎ ‎ 关注“初中教师园地”公众号 关注“中一教师园地”公众号 初中同步备课资料陆续推送中 中考备考资料陆续推送中 快快告诉你身边的小伙伴们吧~ 速速转到班级群/朋友圈 第 21 页 共 21 页