全国各地中考数学分类解析159套专题47 圆的有关性质

全国各地中考数学分类解析159套专题47 圆的有关性质

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题47：圆的有关性质 一、选择题 ‎1. （2012重庆市4分）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为【 】‎ ‎　　A．45°　　B．35°　　C．25°　　D．20°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°。∴∠ACB=45°。故选A。‎ ‎2. （2012海南省3分）如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则的值是【 】‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】如图，连接AO并延长交⊙O于点P1，连接AB，BP1。设网格的边长为a。‎ ‎ 则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=900。‎ 根据勾股定理，得AB=BP1=。‎ 根据正切函数定义，得。‎ 根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP。∴。故选A。‎ ‎3. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【 】‎ A．3 B．‎4 C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，‎ ‎∵AB=CD=8，‎ ‎∴由垂径定理和全等三角形的性质得，AM=BM=CN=DN=4，OM=ON。‎ 又∵OB=5，∴由勾股定理得：‎ ‎∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°。‎ ‎∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°。‎ ‎∴四边形MONP是正方形。∴PM=PN=OM=ON=3。‎ ‎∴由勾股定理得：。故选C。‎ ‎4. （2012广东深圳3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BM0=120o，则⊙C的半径长为【 】‎ A．6 B．‎5 C．3 D。‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°。‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°－∠BAO=90°－60°=30°，‎ ‎∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3。∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长= =3。故选C。‎ ‎5. （2012浙江湖州3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是【 】‎ A．45° B．85° C．90° D．95° ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系圆心角、弧、弦的关系。‎ ‎【分析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°。‎ ‎∵∠C=50°，∴∠BAC=40°。‎ ‎∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°。∴∠CAD=∠DBC=45°。‎ ‎∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°。故选B。‎ ‎6. （2012浙江衢州3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB的值是【 】‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】由点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB=2∠ACB=60°，然后由特殊角的三角函数值得：‎ ‎ sin∠AOB=sin60°=。故选C。‎ ‎7. （2012浙江台州4分）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于【 】‎ ‎　 A． 50° B．60° C．65° D．70°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠ABC=∠AOC=65°。故选C。‎ ‎8. （2012江苏淮安3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝400，则∠B的度数为【 】‎ A、800 B、‎600 C、500 D、400‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质，由AB是⊙O的直径，点C在⊙O上得∠C＝900；根据三角形内角和定理，由∠A＝400，得∠B=1800－900－400=500。故选C。‎ ‎9. （2012江苏苏州3分）如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是【 】‎ A.20° B.25° C.30° D. 40°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。‎ ‎【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数：‎ ‎∵ ，∠AOB=60°，∴∠BDC=∠AOB=30°。故选C。‎ ‎10. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【 】‎ A．40° B．45° C．50° D．60°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】连接OB，‎ ‎ ∵∠A和∠BOC是弧所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=100°。‎ 又∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，∠DOC=∠BOC=50°。‎ ‎∴∠OCD=1800－900－500=400。故选A。‎ ‎11. （2012江苏徐州3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=700，则∠ACB的度数为【 】‎ A．700 B．‎500 C．400 D．350‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据同（等）弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果：‎ ‎∠ACB=∠AOB=×700=350。故选D。‎ ‎12. （2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为‎4cm和‎5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】‎ A．‎3cm B．‎4cm C．‎6cm D．‎‎8cm ‎【答案】C。‎ ‎【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。‎ ‎【分析】如图，连接OC，AO，‎ ‎∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB。∴AC=BC=AB ‎∵OA=‎5cm，OC=‎4cm，‎ ‎∴在Rt△AOC中，。‎ ‎∴AB=‎2AC=6（cm）。故选C。‎ ‎13. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】‎ A. 8 B. ‎10 C.16 D.20‎ ‎【答案】D．‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】连接OC，根据题意，CE=CD=6，BE=2．‎ 在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，∴（x-2）2+62=x2，解得：x=10。‎ ‎∴直径AB=20。故选D．‎ ‎14. （2012湖北随州4分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=350，则么∠ADC=【 】‎ ‎ A.350 B‎.550 C.700 D.1100‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。‎ ‎∵∠BAC=35°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－35°=55°（直角三角形两锐角互余）‎ ‎∵∠B与∠ADC是所对的圆周角，‎ ‎∴∠ADC=∠B=55°（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）。故选B。‎ ‎15. （2012湖北襄阳3分）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是【 】‎ A．80° B．160° C．100° D．80°或100°‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理。1028458‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数：‎ 如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°。‎ ‎∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。‎ ‎∴∠ABC的度数是：80°或100°。故选D。　‎ ‎16. 10. （2012湖北鄂州3分）如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【 】‎ A.40° B.50° C.60° D.70°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。‎ ‎ 作⊙O。‎ ‎ ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°，‎ ‎ ∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选C。 ‎ ‎17. （2012湖南湘潭3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】‎ A．20° B．40° C．50° D．80°‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理，平行线的性质。‎ ‎【分析】∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）‎ 又∵∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°（同圆所对圆周角是圆心角的一半）。故选D。‎ ‎18. （2012四川内江3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD=，则阴影部分图形的面积为【 】‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。‎ ‎【分析】连接OD。‎ ‎∵CD⊥AB，CD=，∴CE=DE=（垂径定理）。‎ ‎∴。∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。‎ 又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD，∴∠BOD=60°（圆周角定理）。‎ ‎∴OC=2。‎ ‎∴，即阴影部分的面积为。故选D。‎ ‎19. （2012四川达州3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】‎ A、60° B、45° C、30° D、20°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵OB=BC=OC，∴△OBC是等边三角形。∴∠BOC=60°。‎ ‎∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC=∠BOC=30°。故选C。‎ ‎20. （2012四川德阳3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=【 】‎ A.45° B. 60° C.90° D. 30°‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】∵∠ADC与∠ABC所对的弧相同，∴∠ADC=∠ABC=30°。‎ ‎∵OA=OD，∴∠BAD =∠ADC 30°，故选D。‎ ‎21. （2012四川泸州2分）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B = 60°，∠BOD = 100°，则∠C的 度数为【 】‎ A、50° B、60° C、70° D、80°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理，三角形的内角和定理。‎ ‎【分析】∵∠BOD＝100°，∴∠A＝∠BOD＝50°。‎ ‎∵∠B＝60°，∴∠C=180°－∠A－∠B=70°。故选C。‎ ‎22. （2012贵州黔东南4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为【 】‎ A．35° B．45° C．55° D．75°‎ ‎【答案】 A。 ‎ ‎【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角关系。‎ ‎【分析】连接AD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.‎ ‎∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣∠ABD=35°。‎ ‎∴∠BCD=∠A=35°。故选A。‎ ‎23. （2012贵州黔南4分）如图，在⊙O中，∠ABC=500，则∠CAO等于【 】‎ A．300 B．‎400 C．500 D．600‎ ‎【答案】B。 ‎ ‎【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵∠ABC和∠AOC是弧所对的圆周角和圆心角，‎ ‎ ∴∠AOC=2∠ABC=1000（同圆或等圆中同弧所对圆周角是圆心角的一半）。‎ ‎ ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。‎ ‎ ∴根据三角形内角和定理，得 ∠CAO=。故选B。‎ ‎24. （2012贵州黔西南4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为【 】‎ ‎（A）40° （B）30° （C）50° （D）60°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理；三角形内角和定理．‎ ‎【分析】∵OA=OB，∠ABO＝40°，∴∠BAO=∠ABO=40°（等边对等角）。‎ ‎∴∠AOB=100°（三角形内角和定理）。‎ ‎∴∠ACB=50°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。故选C。‎ ‎25. （2012山东泰安3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】‎ ‎　　A．CM=DM　　B．　　C．∠ACD=∠ADC　　D．OM=MD ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，‎ ‎∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；‎ ‎∵B为的中点，即，选项B成立；‎ 在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，‎ ‎∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立。‎ 而OM与MD不一定相等，选项D不成立。‎ 故选D。‎ ‎26. （2012山东枣庄3分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC 的值为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质，300角的三角函数值。‎ ‎【分析】连接AO，CO，由已知⊙A的直径为10，点C(0，5)，‎ 知道△OAC是等边三角形，所以∠CAO=600，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠OBC =300，因此∠OBC的余弦值为。故选B。‎ ‎27. （2012山东淄博4分）如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，，则OC的长为【 】‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，则 AD=BD。‎ ‎ ∵AB=，，∴AD=BD=，CD=。‎ ‎ 又∵⊙O的半径为2，即OB=2，∴。‎ ‎ ∴。故选D。‎ ‎28. （2012广西河池3分）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=300，则∠D的度数为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。‎ ‎∵∠CAB=30°，∴∠B=90°－∠CAB=60°。∴∠D=∠B=60°。故选C。‎ ‎29. （2012云南省3分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD=600，则∠BCD的度数为【 】‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵∠BAD和∠BCD都是⊙O的所对的圆周角，‎ ‎ ∴根据同弧或等弧所对的圆周角相等的性质，得∠BCD＝∠BAD=600。故选C。‎ ‎30. （2012河北省2分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是【 】‎ A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，‎ ‎∴根据垂径定理，得AE=BE。故选项A错误。‎ 如图，连接AC，则根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，‎ ‎∴BC=AC。‎ 根据垂径定理，只有在AB是直径时才有AC=AD，而AB不是直径，∴AD≠AC。∴。‎ ‎∴。故选项B错误。‎ 如图，连接AO，则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得∠D=∠AOC。‎ ‎∵∠AEC是△AOE的外角，∴∠AEC＞∠AOC。∴∠D＜∠AEC。故选项C错误。‎ ‎∵根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，∠DAE=∠BCE，‎ ‎∴△ADE∽△CBE。故选项D正确。‎ 故选D。‎ ‎31. （2012黑龙江大庆3分）如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【 】‎ ‎ A.90° B.180° C.270° 　　D.360°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，‎ ‎∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°。故选B。‎ ‎32. （2012黑龙江哈尔滨3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=600，0P⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为【 】．‎ ‎(A)4 (B)6 (C)8 (D)12‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为 ，且∠B=60°，‎ ‎∴∠AOC=2∠B=120°（在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半）。‎ 又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角和三角形内角和定理）。‎ ‎∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°（垂直定义）。‎ 在Rt△AOP中，OP=2 ，∠OAC=30°，‎ ‎∴OA=2OP=4（直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半）。‎ ‎∴⊙O的半径4。故选A。‎ 二、填空题 ‎1. （2012天津市3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=550，则∠ADC的大小为 ▲ （度）．‎ ‎【答案】35。‎ ‎【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠CAB=55°，∴∠B=90°－∠CAB=35°。∴∠ADC=∠B=35°。‎ ‎2. （2012安徽省5分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ▲ °.‎ ‎【答案】60。‎ ‎【考点】圆周角定理，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质。‎ ‎【分析】∵∠AOC和∠D分别是弧所对的圆心角和圆周角，‎ ‎∴根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠AOC=2∠D。‎ 又∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B=∠AOC。‎ 又∵圆内接四边形对角互补，即∠B+∠D=180°，∴∠D=60°。‎ 连接OD，‎ 则OA=OD，OD=OC，∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，‎ ‎∴∠OAD＋∠OCD=∠ODA＋∠ODC=∠D= 60°。‎ ‎3. （2012广东省4分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】50°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧，‎ ‎∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，‎ 又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。‎ ‎4. （2012广东汕头4分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】50°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧，‎ ‎∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，‎ 又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。‎ ‎5. （2012广东湛江4分）如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是　 ▲ ．‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】连接OA，‎ ‎∵OC⊥AB，AB=24，∴AD=AB=12，‎ 在Rt△AOD中，∵OA=13，AD=12，‎ ‎∴。‎ ‎∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8。‎ ‎6. （2012广东珠海4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：‎ ‎。‎ ‎7. （2012浙江嘉兴、舟山5分）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】24。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】连接OC，∵AM=18，BM=8，∴AB=26，OC=OB=13。∴OM=13﹣8=5。‎ 在Rt△OCM中，。‎ ‎∵直径AB丄弦CD，∴CD=‎2CM=2×12=24。‎ ‎8. （2012浙江衢州4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是‎10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为‎8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为　 ▲ 　mm．‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】垂径定理的应用，勾股定理。‎ ‎【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，‎ ‎∵钢珠的直径是‎10mm，∴钢珠的半径是‎5mm。‎ ‎∵钢珠顶端离零件表面的距离为‎8mm，∴OD=‎3mm。‎ 在Rt△AOD中，∵mm，‎ ‎∴AB=2AD=2×4=‎8mm。‎ ‎9. （2012浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 ▲ 厘米．‎ ‎【答案】10。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理，矩形的性质，解方程组。‎ ‎【分析】如图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I，连接OF。设OH=x，HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得，解得。∴球的半径为x＋y=10（厘米）。‎ ‎10. （2012江苏南通3分）如图，在⊙O中，∠AOB＝46º，则∠ACB＝ ▲ º．‎ ‎【答案】23°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，‎ ‎∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧所对的圆周角和圆心角，且∠AOB＝46º，∴‎ ‎∠ACB=∠AOB=×46°=23°。‎ ‎11. （2012江苏徐州2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6，则sin∠ABD=‎ ‎ ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900。‎ ‎ 又∵CD⊥AB，∠ACD=∠ABC。‎ ‎ 又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角，∴∠ABD=∠ACD。∴∠ABD=∠ABC。‎ ‎ 又∵AC=8，BC=6，∴由勾股定理得AB=10。∴sin∠ABD=sin∠ABC=。‎ ‎12. （2012福建南平3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=68°，则∠BAC= ▲ ‎ ‎【答案】22°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案：‎ ‎∵∠ABC与∠ADC是 AC 对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=68°。‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠BAC=90°－∠ABC=90°－68°=22°。‎ ‎13. （2012湖北荆门3分） 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。 ‎ ‎【分析】连接PB、PE．‎ ‎∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA。‎ ‎∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。‎ ‎∵A（2，0），B（1，2），∴AE=1，BE=2。∴。‎ ‎∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE=。‎ ‎14. （2012湖北咸宁3分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度 线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半 圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 ▲ 度．‎ ‎【答案】140。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】连接OE，‎ ‎∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上。‎ ‎∴∠EOA=2∠ECA。‎ ‎∵∠ECA=2×35°=70°，‎ ‎∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°，即点E在量角器上对应的读数是140°。‎ ‎15. （2012湖南益阳4分）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC=　 ▲ 　度．‎ ‎【答案】120。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，‎ ‎ ∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。‎ ‎17. （2012湖南株洲3分）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】90°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数：‎ ‎∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°。‎ ‎18. （2012四川成都4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB= ，‎0C=1，则半径OB的长为 ▲ ．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=，∴BC=AB=。‎ ‎∵OC=1，∴在Rt△OBC中，。‎ ‎19. （2012四川广元3分）在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为‎6cm，最短为‎2cm，‎ 则⊙O的半径为 ▲ cm ‎【答案】2。‎ ‎【考点】点与圆的位置关系。‎ ‎【分析】当点P在圆外时，直径=‎6 cm－‎2 cm =‎4cm，因而半径是‎2cm。‎ ‎20. （2012辽宁鞍山3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是 ▲ ．‎ ‎【答案】30°。‎ ‎【考点】圆周角定理，特殊角的三角函数值，直角三角形两锐角的关系，等边三角形的判定和性质，对顶角的性质。1367104‎ ‎【分析】∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。‎ 又∵sinA=，∴∠CAB=30°。∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）。‎ 又∵点O是AB的中点，∴OC=OB。∴△OCB是等边三角形。∴∠COB=60°。‎ ‎∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）。‎ 又∵DE⊥AB，∴∠D=90°﹣60°=30°。　‎ ‎21. （2012辽宁朝阳3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙O的半径为 ▲ 。‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】连接OD，‎ ‎∵AB⊥CD，AB是直径，∴由垂径定理得：DE=CE=3。‎ 设⊙O的半径是R，‎ 在Rt△ODE中，由勾股定理得：‎ 解得：R=5。‎ ‎22. （2012辽宁大连3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA＝60°，则∠ABO＝ ▲ °。‎ ‎【答案】30。‎ ‎【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】由△ABC是⊙O的内接三角形，∠BCA＝60°，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BCA＝120°。‎ ‎ ∵OA=OB，∴根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠BAO＝∠ABO。‎ ‎ ∴根据三角形内角和定理，得∠ABO＝30°。‎ ‎23. （2012辽宁阜新3分）如图，在△ABC中，BC=‎3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 ‎ ▲ cm的圆形纸片所覆盖．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】作圆O的直径CD，连接BD，‎ ‎∵圆周角∠A、∠D所对弧都是，∴∠D=∠A=60°。‎ ‎∵CD是直径，∴∠DBC=90°。∴sin∠D=。‎ 又∵BC=‎3cm，∴sin60°=，解得：CD=。‎ ‎∴圆O的半径是（cm）。‎ ‎∴△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖。‎ ‎24. （2012辽宁锦州3分）如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3㎝，DB=10㎝，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是 ▲ ㎝.‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，过点O作OH⊥AP于点H，OE。‎ ‎ ∵AD=3㎝，DB=10㎝，∴EO=DO=5㎝，AO=8㎝。‎ ‎ 又∵∠PAC=30°，‎ ‎∴在Rt△AOH中，HO=AOsin∠PAC=8×=4（㎝），‎ 在Rt△EOH中，（㎝）。‎ ‎∴EF=2EH=6㎝。‎ ‎25. （2012贵州六盘水4分）如图，已知∠OCB=20°，则∠A= ▲ 度．‎ ‎【答案】70°。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理。‎ ‎【分析】由OB=OC与∠OCB=20°，根据等边对等角的性质，即可求得∠OBC=20°。‎ 由三角形内角和定理，得∠BOC=180°﹣∠OCB﹣∠OBC=180°﹣20°﹣20°=140°。‎ 由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，即可求得∠A=∠BOC=70°。‎ ‎26. （2012贵州六盘水4分）当宽为‎3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为 ▲ cm．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，‎ ‎∵OD⊥AB，∴AD=AB=（9﹣1）=4。‎ 设OA=r，则OD=r﹣3，‎ 在Rt△OAD中，‎ OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣3）2=42，解得r=（cm）。‎ ‎27. （2012贵州遵义4分）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】垂径定理，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，‎ ‎∴CD是△APB的中位线，∴CD=AB=×8=4。‎ ‎28. （2012山东东营4分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚 度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=‎48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值 是 　▲ cm． ‎ ‎【答案】30。‎ ‎【考点】垂径定理的应用，勾股定理。‎ ‎【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径：‎ 如图，连接OB， ‎ 当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。‎ ‎∵AD垂直平分BC，AD=BC=‎48cm，∴O点在AD上，BD=‎24cm。‎ 在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48－r。‎ ‎∴r2=（48－r）2＋242，解得r=30。‎ ‎∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为‎30cm。‎ ‎29. （2012山东青岛3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60º，则∠ABC＝ ▲ º．‎ ‎【答案】150。‎ ‎【考点】圆周角定理，圆的内接四边形的性质。‎ ‎【分析】如图，在优弧 ADC 上取点D，连接AD，CD，‎ ‎∵∠AOC=60°，∴∠ADC=∠AOC=30°。‎ ‎∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°－∠ADC=180°－30°=150°。‎ ‎30. （2012山东泰安3分）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，‎ 可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°。‎ ‎∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10‎ ‎∴BD=。‎ ‎∵∠D=∠C，∴cosC=cosD=。‎ ‎31. （2012山东淄博4分）如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC=3，则DE=‎ ‎ ▲ . ‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，平行的判定，等腰梯形的判定。‎ ‎【分析】∵BE是⊙O的直径．∴∠BDE=900。∴∠BED＋∠DBE=900。‎ ‎ ∵AB⊥CD，∴∠BCD＋∠ABC=900。‎ ‎ 又∵∠BED和∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BED=∠BCD。‎ ‎∴∠DBE=∠ABC。∴∠DBE＋∠ABE =∠ABC＋∠ABE，即∠ABD=∠CBE。‎ 又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角，∠CBE和∠CDE是同弧所对的圆周角，‎ ‎∴∠ABD=∠ACD，∠CBE=∠CDE。∴∠ACD= CDE。‎ 连接AE，设BE与CD交于点F，‎ ‎∵BE是⊙O的直径．∴∠AEB＋∠ABE=900。‎ ‎∵AB⊥CD，∴∠ABE＋∠BFC=900。∴∠AEB=∠BFC。∴AE∥CD。‎ ‎∴四边形ACDE是等腰梯形。∴DE=AC。‎ ‎∵AC=3，∴DE=3。‎ ‎32. （2012广西河池3分）如图，AB、AC是⊙O的弦，OE⊥AB、OF⊥AC，垂足分别为E、F.如果EF=3.5，‎ 那么BC= ▲ . ‎ ‎【答案】7。‎ ‎【考点】垂径定理，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】由OE垂直于AB，利用垂径定理得到E为AB的中点，同理得到F为AC的中点，可得出EF为三角形ABC的中位线，利用三角形的中位线定理得到BC=2EF，即可求出BC的长：‎ ‎∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴E为AB的中点，F为AC的中点，即EF为△ABC的中位线。∴EF=BC。‎ 又∵EF=3.5，∴BC=2EF=7。‎ ‎33. （2012广西南宁3分）如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC= ▲ 0．‎ ‎【答案】25。‎ ‎【考点】圆周角定理，垂径定理。‎ ‎【分析】∵OA⊥BC，∴，∴∠ADC=∠AOB= ×50°=250。‎ ‎34. （2012吉林省3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO=25°，∠BCO=35°，则∠AOB=‎ ‎_ ▲____度．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理。‎ ‎【分析】∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=25°（等边对等角）。∴∠ACB=∠ACO+∠BOC=25°+35°=60°。‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°（圆内同弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半）。‎ ‎35. （2012青海西宁2分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为‎2m，净高CD为‎5m，则圆拱 形门所在圆的半径为 ▲ m．‎ ‎【答案】2.6。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】连接OA；‎ 在Rt△OAD中，AD=AB=‎1 m。‎ 设⊙O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5－R，‎ 由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，即：R2=（5-R）2+12，解得R=2.6（m）。‎ ‎36. （2012青海省2分）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为 ▲ 度．‎ ‎【答案】69。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，∴∠AOD=138°（等弧所对圆心角相等）。‎ ‎∴∠AED=138°÷2=69°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。　‎ ‎37. （2012内蒙古包头3分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=600，⊙O的半径为2 ，则BC 的长为 ‎ ▲ （保留根号）。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，过点O作OD⊥BC于点D，‎ ‎ ∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，且∠BAC=600，‎ ‎ ∴∠BOC=2∠BAC=1200。‎ ‎ 又∵OD⊥BC，∴∠BOD=600，BD=DC。‎ ‎ 又∵OB=2，∴BD=ODcos∠BOD=2×。∴BC=2BD=。‎ ‎38. （2012黑龙江绥化3分）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A= ▲ ‎ ‎【答案】50°或130°。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形的性质。‎ ‎【分析】分为两种情况：当O在△ABC内部时，‎ 根据圆周角定理得：∠A=∠BOC=×100°=50°；‎ 当O在△ABC外部时，如图在A′时，‎ ‎∵A、B、A′、C四点共圆，∴∠A+∠A′=180°。‎ ‎∴∠A′=180°-50°=130°。‎ 故答案为：50°或130°。‎ ‎39. （2012黑龙江牡丹江3分）⊙O的半径为‎5cm，弦AB∥CD，且AB=‎8 cm，CD=‎6cm，则AB与CD的距离为 ▲ ‎ ‎【答案】‎1 cm或‎7 cm。‎ ‎【考点】平等线间的距离，垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，分AB和CD在圆心的同侧和异侧。‎ ‎ 当AB和CD在圆心的同侧时，连接OB，OD，过点O作AB和CD的垂线，分别交于点E，F。‎ ‎ 由AB∥CD，AB=‎8 cm，CD=‎6cm，根据垂径定理，得BE=‎4cm，DF=‎3cm。‎ ‎ ∵⊙O的半径为‎5cm，∴OB=OD=‎5cm。‎ ‎ ∴根据勾股定理，得OE=‎3 cm，OF=‎4 cm。∴EF=OF－OE=‎1 cm。‎ ‎ 同理，当AB和CD在圆心的异侧时，EF=OF＋OE=‎7 cm。‎ ‎ 综上所述，AB与CD的距离为‎1 cm或‎7 cm。‎ ‎40. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，点A、B、C、D分别是⊙O上四点，∠ABD=20°，BD是直径，‎ 则∠ACB= ▲ 。‎ ‎【答案】70°‎ ‎【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】连接AD，‎ ‎ ∵BD是直径，∴∠BAD=90°。‎ ‎∵∠ABD=20°，∴∠D=90°－∠DBD=70°。‎ ‎∴∠ACB=∠D=70°。‎ 三、解答题 ‎1. （2012宁夏区6分）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.‎ 求∠D的度数.‎ ‎【答案】解：连接BD 。‎ ‎∵AB⊙O是直径，∴BD ⊥AD。‎ 又∵CF⊥AD，∴BD∥CF。∴∠BDC=∠C。‎ 又∵∠BDC=∠BOC，∴∠C=∠BOC。‎ ‎∵AB⊥CD，∴∠C=30°。∴∠ADC＝60°。‎ ‎【考点】圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】连接BD，根据平行线的判定和性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得 ‎∠BDC= ∠BOC，则∠C=∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。‎ ‎2. （2012江苏南通8分）如图，⊙O的半径为‎17cm，弦AB∥CD，AB＝‎30cm，CD＝‎16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．‎ ‎【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。‎ ‎∵AB=30，CD=16，∴AE=AB=15，CF=CD=8。‎ 又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。‎ ‎∴在Rt△AOE中，。‎ 在Rt△OCF中，。‎ ‎∴EF=OF－OE=15－8=7。‎ 答：AB和CD的距离为‎7cm。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离。‎ ‎3. （2012湖南岳阳6分）如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．‎ ‎（1）求证：AC2=AB•AF；‎ ‎（2）若⊙O的半径长为‎2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．‎ ‎【答案】（1）证明：∵，∴∠ACD=∠ABC。‎ 又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。‎ ‎∴，即AC2=AB•AF。‎ ‎（2）解：如图，连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，‎ ‎∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。‎ 又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°。‎ 在Rt△AOE中，OA=2， OE=OAcos60°=1‎ ‎∴。∴AC=2AE=2。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。‎ ‎【分析】（1）由，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根据相似得比例可得证。‎ ‎（2）连接OA，OC，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义求出各线段长即可。‎ ‎4. （2012辽宁沈阳10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.21世纪教育网 ‎(1)求证：BD平分∠ABC；‎ ‎(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.‎ ‎【答案】证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴。‎ ‎∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。‎ ‎（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，∴∠OBD=∠ODB=30°。‎ ‎∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。‎ 又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°。‎ ‎∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°。‎ 又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。‎ ‎∴在Rt△ACB中，BC=AB 。‎ ‎∵OD=AB，∴BC=OD。‎ ‎【考点】圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角定理和外角性质，含300角直角三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得 ‎ ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC。‎ ‎（2）由OB=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，求得∠AOD的度数；由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，从而根据含300角直角三角形中300角所对直角边是斜边一半的性质，可证得BC=OD。‎ ‎5. （2012贵州安顺12分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．‎ ‎（1）求∠B的大小；‎ ‎（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．‎ ‎【答案】解：（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∠CAB=40°，∠APD=65°，‎ ‎∴∠C=65°﹣40°=25°。‎ ‎∴∠B=∠C=25°。‎ ‎（2）过点O作OE⊥BD于E，则DE=BE，‎ 又∵AO=BO，∴OE=AD=×6=3。‎ ‎∴圆心O到BD的距离为3。‎ ‎【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。‎ ‎（2）利用三角形中位线定理得出OE= AD，即可得出答案。‎ ‎6. （2012山东潍坊9分）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD．‎ ‎ (1)求证：ΔABD∽ΔACE；‎ ‎ (2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．‎ ‎【答案】（1）证明：∵弧ED所对的圆周角相等，∴∠EBD=∠ECD，‎ 又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE。 （2）解：△ABC为等腰三角形。理由如下：‎ ‎∵S△BEC=S△BCD，S△ACE=S△ABC－S△BEC，S△ABD=S△ABC－S△BCD，‎ ‎∴S△ACE=S△ABD。‎ 又由（1）知△ABD∽△ACE，∴对应边之比等于1。‎ ‎∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。‎ ‎【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE。‎ ‎（2）根据△BEC与△BDC的面积相等，得出S△ACE=S△ABD，进而求出AB=AC，得出答案。‎ ‎7. （2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．‎ ‎（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；‎ 第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；‎ 第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．‎ 第三步，连接BD．‎ ‎（2）求证：AD2=AE•AB；‎ ‎（3）连接EO，交AD于点F，若‎5AC=3AB，求的值．‎ ‎【答案】解：（1）如图；‎ ‎（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。‎ ‎ 又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°。‎ ‎∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽Rt△ABD。‎ ‎∴AD：AB=AE：AD，∴AD2=AE•AB。‎ ‎（3）如图，连接OD、BC，它们交于点G， ‎ ‎∵‎5AC=3AB，即AC：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠ECG=90°。‎ 又∵∠CAD=∠DAB，∴。∴OD垂直平分BC。‎ ‎∴OD∥AE，OG=AC=x。∴四边形ECGD为矩形。‎ ‎∴CE=DG=OD－OG=x－x =x。∴AE=AC+CE=3x+x=4x。‎ ‎∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF。∴AE：OD=EF：OF，∴EF：OF=4x：x=8：5。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E。‎ ‎（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD平分∠CAB 得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD2=AE•AB。‎ ‎（3）连接OD、BC，它们交于点G，由‎5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的 圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，则有OD∥AE，OG=AC=x，并且得到四边形ECGD为矩形，则可求出CE，从而计算出AE，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，然后根据比例的性质即可得到 的值。‎ ‎8. （2012新疆区8分）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．‎ ‎（1）请你写出四个不同类型的正确结论；‎ ‎（2）若BE=4，AC=6，求DE．‎ ‎【答案】解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：∠ACB=90°；BE=CE；；OD∥AC。‎ ‎（2）∵OD⊥BC，BE=4，∴BE=CE=4，即BC=2BE=8。‎ ‎∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°。‎ 在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10。∴OB=5。‎ 在Rt△OBE中，OB=5，BE=4，根据勾股定理得：OE=3。‎ ‎∴ED=OD﹣OE=5﹣3=2。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理。‎ ‎【分析】（1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角；由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，即BE=CE，，由OD垂直于BC，AC也垂直于BC，利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD与AC平行。‎ ‎（2）由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，由BE的长求出BC的长，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中，由BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长，从而求出半径OB与OD的长，在Rt△BOE中，由OB与BE的长，利用勾股定理求出OE的长，由OD﹣OE即可求出DE的长。　‎ ‎9. （2012吉林长春5分）如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3‎ 的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．‎ ‎【答案】解：过点O作OD⊥AB，垂足为点D，连接OA。‎ ‎∵AB=12，∴AD=AB=×12=6。‎ ‎∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8。‎ 在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8，‎ ‎∴。‎ 答：⊙O的半径为10。‎ ‎【考点】垂径定理，平行线之间的距离，勾股定理。‎ ‎【分析】过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=AB，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=8，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长。‎ ‎10. （2012青海省7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C ‎（1）求证：CB∥MD；‎ ‎（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直径．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵∠C与∠M是所对的圆周角，∴∠C=∠M。‎ 又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M。∴CB∥MD。‎ ‎（2）连接AC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。‎ 又∵CD⊥AB，∴。∴∠A=∠M。∴sinA=sinM。在Rt△ACB中，sinA=，∵sinM=，BC=4，∴‎ ‎。∴AB=6，即⊙O的直径为6。【考点】圆周角定理，平行的判定，垂径定理；锐角三角函数定义。190187‎ ‎【分析】（1）由∠C与∠M是所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD。‎ ‎（2）连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得，从而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=，即可求得⊙O的直径。‎ ‎11. （2012黑龙江大庆6分） 如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°.‎ ‎ （1）求∠ACB的大小；‎ ‎ （2）求点A到直线BC的距离．‎ ‎【答案】解：（1）连接BD，‎ ‎∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC=90°。‎ ‎∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线。‎ ‎∴AB=BC。∴∠A=∠C。‎ ‎∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°。即∠ACB=30°。‎ ‎（2）过点A作AE⊥BC于点E，‎ ‎∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，‎ ‎∴cos30°=。∴CD=。‎ ‎∵AD=CD，∴AC=。‎ ‎∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，∴。‎ ‎∴点A到直线BC的距离为。‎ ‎【考点】圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，匀角三角函数定义，特殊角的三角函数值。11928‎ ‎【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，从而得出∠A=∠C=30°即可。‎ ‎（2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的长，从而求出AE的长度即可。‎