初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型

初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型

旋转提升专题 知识点一 旋转构造全等 几何变换——旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线    （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型 需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角 ． 【例题精讲】 例 1.在四边形 ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB 于 P，若 SABCD=25，求 DP 的长。 例 2.如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN ，连接 AM 、CM 、 EN ． ⑴求证： AMB ENB ≌ ⑵①当 M 点在何处时， AM CM 的值最小； ②当 M 点在何处时， AM BM CM  的值最小，并说明理由； ⑶当 AM BM CM  的最小值为 3 1 时，求正方形的边长． 方法总结: 1、共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言 2、旋转变换还用于处理： ①几何最值问题：几何最值两个重要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短； ②有关线段的不等关系； ③自己构造绕某点旋转某角度（特别是 60 度），把共顶点的几条线段变为首尾相接的几条线 段，再变为共线取得最小值问题，计算中常用到等腰三角形或勾股定理等知识。 【课堂练习】 1.如图 1，已知边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 AEFG 有一个公共点 A，（a≥2b）,且点 F 在 AD 上。（以下结果可以用含 a、b 的代数式表示） （1）求 S△DBF; （2）把正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到图 2，求图 2 中的 S△DBF; （3）把正方形 AEFG 绕点 A 旋转任意角度，在旋转的过程中，S△DBF 是否存在最大值、最小值？如果存在， 试求出最大值、最小值；若不存在，请说明理由。 图 1 图 2 2.四边形 ABCD 中，DAB=BCD=90°，CD=CB,AC= 3 ,求四边形 ABCD 的面积。 知识点二 利用全等构造特殊三角形 【例题精讲】 例 1.点 P 为等边△ABC 内一点，若 PA=2，PB= 3 ,PC=1,求BPC 的度数。 例 2.图，点 P 为正方形 ABCD 内一点，若 PA=2，PB=4，APB=135°,求 PC 的长。 1.如图，在△ABC 中， A=90°,AB=AC,D 是斜边 BC 上一点，求证：BD2+CD2=2AD2 2.如图，正方形 ABCD 边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上且EAF=45° ,求△CEF 的周长。 知识点三（知识点名称） 【例题精讲】 1. 例 2. 1. 2. 3. 旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。 额外拓展： 如图，已知抛物线 322  xxy 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，该抛物线 顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 H。 （1）求 A,B 两点的坐标； （2）设点 P 在 x 轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB 时，求出点 P 的坐标； （3）以 OB 为边在第四象限内作等边△OBM，设点 E 为 x 轴的正半轴上一动点（OE>OH），连接 ME，把线 段 ME 绕点 M 顺时针旋转 60°得 MF，求线段 DF 的长的最小值。 1、如图，四边形 OABC 和 ODEF 都是正方形，CF 交 OA 于点 P,交 DA 于点 Q. (1) 求证：AD=CF (2)AD 与 CF 垂直吗？说说你的理由； (3)当正方形 ODEF 绕 O 点在平面内旋转时，(1)、(2)的结论是否有变化？为什么？ 2.已知菱形 ABCD 中，B=60°，若EAF=60°.求证：△AEF 是等边三角形。 3.已知正方形 ABCD 内一点，P 到 A、B、 C 三点的距离之和最小值为 2 + 6 ，求此正方形的边长。