湖北13市州14套中考数学试题分类解析汇编专题10四边形

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湖北13市州14套中考数学试题分类解析汇编专题10四边形

湖北13市州(14套)2012年中考数学试题分类解析汇编 专题10:四边形 一、 选择题 ‎1. (2012湖北武汉3分)在面积为15的平行四边形ABCD中,过点A作AE垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线CD于点F,若AB=5,BC=6,则CE+CF的值为【 】‎ A.11+ B.11-‎ C.11+或11- D.11-或1+‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平行四边形的性质和面积,勾股定理。‎ ‎【分析】依题意,有如图的两种情况。设BE=x,DF=y。‎ ‎ 如图1,由AB=5,BE=x,得。‎ ‎ 由平行四边形ABCD的面积为15,BC=6,得,‎ ‎ 解得(负数舍去)。‎ ‎ 由BC=6,DF=y,得。‎ 由平行四边形ABCD的面积为15,AB=5,得,‎ ‎ 解得(负数舍去)。‎ ‎ ∴CE+CF=(6-)+(5-)=11-。‎ ‎ 如图2,同理可得BE= ,DF=。‎ ‎ ∴CE+CF=(6+)+(5+)=11+。‎ ‎ 故选C。‎ ‎2. (2012湖北荆门3分)如图,已知正方形ABCD的对角线长为2,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为【 】‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 8 D. 6‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的对称性质,正方形的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,∵正方形ABCD的对角线长为2,即BD=2,∠A=90°,AB=AD,∠ABD=45°,‎ ‎∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2。‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=2。‎ 由折叠的性质:A′M=AM,D′N=DN,A′D′=AD,‎ ‎∴图中阴影部分的周长为 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。‎ 故选C。‎ ‎3. (2012湖北宜昌3分)如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于【 】‎ A.20 B.‎15 ‎‎ C.10 D.5‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质。1419956‎ ‎【分析】∵ABCD是菱形,∠BCD=120°,∴∠B=60°,BA=BC。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。∴△ABC的周长=3AB=15。故选B。‎ ‎4. (2012湖北恩施3分)如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是【 】‎ A. B.‎2 ‎‎ C.3 D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】菱形的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图,设BF、CE相交于点M,‎ ‎∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,‎ ‎∴△BCM∽△BGF,∴,即。‎ 解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。‎ ‎∵∠A=120°,∴∠ABC=180°﹣120°=60°。‎ ‎∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×,‎ 菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。‎ ‎∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。‎ ‎5. (2012湖北荆州3分)已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图①;再顺次连接菱形各边的中点,得到一个新的矩形,如图②;然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到一个新的菱形,如图③;如此反复操作下去,则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】‎ A. 8048个 B. 4024个 C. 2012个 D. 1066个 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳(图形的变化类)。‎ ‎【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数,并找出规律:‎ 第1个图形,有4个直角三角形,第2个图形,有4个直角三角形,‎ 第3个图形,有8个直角三角形,第4个图形,有8个直角三角形,‎ ‎…,‎ 依次类推,当n为奇数时,三角形的个数是2(n+1),当n为偶数时,三角形的个数是2n个,‎ 所以,第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024。故选B。‎ ‎6. (2012湖北黄冈3分)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是【 】‎ A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】矩形的性质,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,‎ 根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG。‎ ‎∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD。‎ 故选C。‎ ‎7. (2012湖北十堰3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC,若AD=4,AB=6,BC=8,则梯形ABCD的周长为【 】‎ A.22     B.‎24 ‎    C.26     D.28 ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】梯形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵AD∥BC,∴∠AMB=∠MBC,∠DMC=∠MCB,‎ 又∵MC=MB,∴∠MBC=∠MCB。∴∠AMB=∠DMC。‎ 在△AMB和△DMC中,∵AM=DM,∠AMB=∠DMC,MB=MC, ‎ ‎∴△AMB≌△DMC(SAS)。∴AB=DC。‎ ‎∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24。故选B。‎ ‎8. (2012湖北孝感3分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60º,E、F分别是AB、AD的中点,DE、BF 相交于点G,连接BD、CG.给出以下结论,其中正确的有【 】‎ ‎①∠BGD=120º;②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB;④.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,多边形内角和定理,全等三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的性质 三角形三边关系,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】∵在菱形ABCD中,∠A=60º,∴∠BCD=60º,∠ADC=120º,AB=AD。‎ ‎ ∴△ABD是等边三角形。‎ ‎ 又∵E是AB的中点,∴∠ADE=∠BDE=30º。∴∠CDG=90º。同理,∠CBG=90º。‎ ‎ 在四边形BCDG中,∠CDG+∠CBG+∠BCD+∠BGD=3600,∴∠BGD=120º。故结论①正确。‎ ‎ 由HL可得△BCG≌△DCG,∴∠BCG=∠DCG=30º。∴BG=DG=CG。‎ ‎ ∴BG+DG=CG。故结论②正确。‎ ‎ 在△BDG中,BG+DG>BD,即CG>BD,∴△BDF≌△CGB不成立。故结论③不正确。‎ ‎ ∵DE=ADsin∠A=ABsin60º=AB,‎ ‎∴。故结论④正确。‎ 综上所述,正确的结论有①②④三个。故选C。‎ ‎9. (2012湖北襄阳3分)如图,ABCD是正方形,G是BC上(除端点外)的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,交AG于点F.下列结论不一定成立的是【 】‎ A.△AED≌△BFA B.DE﹣BF=EF C.△BGF∽△DAE D.DE﹣BG=FG ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正方形的性质,直角三角形两锐角的关系,全等、相似三角形的判定和性质,完全平方公式,勾股定理。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,AD∥BC,‎ ‎∵DE⊥AG,BF∥DE,∴BF⊥AG。∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°。‎ ‎∵∠BAF+∠DAE=90°,∠DAE+∠ADE=90°,∴∠BAF=∠ADE。‎ ‎∴△AED≌△BFA(AAS)。故结论A正确。‎ ‎∴DE=AF,AE=BF,∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。故结论B正确。‎ ‎∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BGF。‎ ‎∵DE⊥AG,BF⊥AG,∴∠AED=∠GFB=90°。∴△BGF∽△DAE。故结论C正确。‎ 由△ABF∽△AGB得,即。‎ 由勾股定理得,。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎∵(只有当∠BAG=300时才相等,由于G是的任意一点,∠BAG=300不一定),‎ ‎∴不一定等于,即DE﹣BG=FG不一定成立。故结论D不正确。故选D。 ‎ ‎10. (2012湖北鄂州3分)如图,四边形OABC为菱形,点A、B在以O为圆心的弧上,若OA=2,∠1=∠2,则扇形ODE的面积为【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,扇形面积的计算。‎ ‎【分析】如图,连接OB.‎ ‎∵OA=OB=OC=AB=BC,∴∠AOB+∠BOC=120°。‎ 又∵∠1=∠2,∴∠DOE=120°。‎ 又∵OA=2,‎ ‎∴扇形ODE的面积为。故选A。‎ 二、填空题 ‎1. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图,线段AC=n+1(其中n为正整数),点B在线段AC上,在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时,△AME的面积记为S1;当AB=2时,△AME的面积记为S2;当AB=3时,△AME的面积记为S3;…;当AB=n时,△AME的面积记为Sn.当n≥2时,Sn﹣Sn﹣1=  ▲  .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质,平行的判定和性质,同底等高的三角形面积,整式的混合运算。‎ ‎【分析】连接BE,‎ ‎∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,‎ ‎∴BE∥AM。∴△AME与△AMB同底等高。‎ ‎∴△AME的面积=△AMB的面积。‎ ‎∴当AB=n时,△AME的面积为,当AB=n-1时,△AME的面积为。‎ ‎∴当n≥2时,。‎ ‎2. (2012湖北咸宁3分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,,BE平分∠ABC且交CD于E,E为CD的中点,EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G,当,时,四边形BGEF的周长为 ▲ .‎ ‎【答案】28。‎ ‎【考点】梯形中位线定理,平行的性质,等腰三角形的判定,菱形的判定与性质。‎ ‎【分析】∵EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G,∴四边形BGEF是平行四边形。‎ ‎∵BE平分∠ABC且交CD于E,∴∠FBE=∠EBC。‎ ‎∵EF∥BC,∴∠EBC=∠FEB。∴∠FBE=FEB。∴EF=BF。∴四边形BGEF是菱形。‎ ‎∵E为CD的中点,AD=2,BC=12,∴EF=(AD+BC)=×(2+12)=7。‎ ‎∴四边形BGEF的周长=4×7=28。‎ ‎3. (2012湖北黄冈3分)如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC ,AD=4,AB=CD=5,∠B=60°,则下底BC 的长为 ▲ .‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质,含30度角直角三角形的性质,矩形的判定。‎ ‎【分析】过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,‎ ‎∵AB=5,∠B=60°,∴∠BAE=30°。∴BE=2.5 。‎ 同理可得CF=2.5。‎ 又∵AD=4,∴EF=AD=4(矩形的性质)。‎ ‎∴BC =BE+EF+FC=5+4=9。‎ ‎4. (2012湖北十堰3分)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则EF=  ▲  .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理;.‎ ‎【分析】连接EC,AC、EF相交于点O。‎ ‎∵AC的垂直平分线EF,∴AE=EC。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠D=∠B=90°,AB=CD=2,AD=BC=4,AD∥BC。‎ ‎∴△AOE∽△COF。∴。‎ ‎∵OA=OC,∴OE=OF,即EF=2OE。‎ 在Rt△CED中,由勾股定理得:CE2=CD2+ED2,即CE2=(4-CE)2+22,解得: CE=。‎ ‎∵在Rt△ABC中,AB=2,BC=4,由勾股定理得:AC=,∴CO=。‎ ‎∵在Rt△CEO中,CO=,CE=,由勾股定理得:EO=。∴EF=2EO=。‎ 三、解答题 ‎1. (2012湖北黄石7分)如图,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF. ‎ 求证:∠DAE=∠BCF.‎ ‎【答案】证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC。∴∠ADE=∠BCF。‎ ‎ 又∵BE=DF, ∴BF=DE。‎ ‎ ∴△ADE≌△CBF(SAS)。∴∠DAE=∠BCF 。‎ ‎【考点】平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据平行四边形性质求出AD∥BC,且AD=BC,推出∠ADE=∠CBF,求出DE=BF,由SAS证△ADE≌△CBF,推出∠DAE=∠BCF即可。‎ ‎2. (2012湖北宜昌11分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E为底AD上一点,将△ABE沿直线BE折叠,点A落在梯形对角线BD上的G处,EG的延长线交直线BC于点F.‎ ‎(1)点E可以是AD的中点吗?为什么?‎ ‎(2)求证:△ABG∽△BFE;‎ ‎(3)设AD=a,AB=b,BC=c ‎ ①当四边形EFCD为平行四边形时,求a,b,c应满足的关系;‎ ‎ ②在①的条件下,当b=2时,a的值是唯一的,求∠C的度数.‎ ‎【答案】解:(1)不可以。理由如下:‎ 根据题意得:AE=GE,∠EGB=∠EAB=90°,∴Rt△EGD中,GE<ED。‎ ‎∴AE<ED。∴点E不可以是AD的中点。‎ ‎(2)证明:∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBF,‎ ‎∵由折叠知△EAB≌△EGB,∴∠AEB=∠BEG。∴∠EBF=∠BEF。‎ ‎∴FE=FB,∴△FEB为等腰三角形。‎ ‎∵∠ABG+∠GBF=90°,∠GBF+∠EFB=90°,∴∠ABG=∠EFB。‎ 在等腰△ABG和△FEB中,‎ ‎∠BAG=(180°﹣∠ABG)÷2,∠FBE=(180°﹣∠EFB)÷2,‎ ‎∴∠BAG=∠FBE。∴△ABG∽△BFE。‎ ‎(3)①∵四边形EFCD为平行四边形,∴EF∥DC。‎ ‎ ∵由折叠知,∠DAB=∠EGB=90°,∴∠DAB=∠BDC=90°。‎ ‎ 又∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC。∴△ABD∽△DCB。‎ ‎∴。‎ ‎∵AD=a,AB=b,BC=c,∴BD=‎ ‎∴,即a2+b2=ac。‎ ‎②由①和b=2得关于a的一元二次方程a2﹣ac+4=0,‎ 由题意,a的值是唯一的,即方程有两相等的实数根,‎ ‎∴△=0,即c2﹣16=0。‎ ‎∵c>0,∴c=4。‎ ‎∴由a2﹣‎4a+4=0,得a=2。‎ 由①△ABD∽△DCB和a= b=2,得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠C=45°。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),直角梯形的性质,三角形三边关系,直线平行的性质,等腰(直角)三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,勾股定理,一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】(1)根据折叠的性质可得AE=GE,∠EGB=∠EAB=90°,再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE>EG,从而判断点E不可能是AD的中点。‎ ‎(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠AEB=∠EBF,再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG,然后得到∠EBF=∠BEF,从而判断出△FEB为等腰三角形,再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB,然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE,然后根据两角对应相等,两三角形相似即可证明。‎ ‎(3)①根据勾股定理求出BD的长度,再利用两角对应相等,两三角形相似得到△ABD和△DCB相似,然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解。‎ ‎②把b=2代入a、b、c的关系式,根据a是唯一的,可以判定△=c2﹣16=0,然后求出c=4,再代入方程求出a=2,然后由①△ABD∽△DCB和a= b=2,得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形,得出∠C=45°。‎ ‎3. (2012湖北恩施8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证:四边形AEDF是菱形.‎ ‎【答案】证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形。‎ 又∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC。∴AE=AF。‎ ‎∴平行四边形AEDF是菱形。‎ ‎【考点】三角形中位线定理,线段垂直平分线的性质,菱形的判定。‎ ‎【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后证得AE=AF,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可。‎ ‎4. (2012湖北咸宁10分)如图1,矩形MNPQ中,点E,F,G,H分别在NP,PQ,QM,MN上,若,则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2,图3,图4中,四边形ABCD为矩形,且AB=4,BC=8.‎ 理解与作图:‎ ‎(1)在图2,图3中,点E,F分别在BC,CD边上,试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的 反射四边形EFGH.‎ 计算与猜想:‎ ‎(2)求图2,图3中反射四边形EFGH的周长,并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?‎ 启发与证明:‎ ‎(3)如图4,为了证明上述猜想,小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M,试利用小华同学给我 们的启发证明(2)中的猜想.‎ ‎【答案】解:(1)作图如下: ‎ ‎(2)在图2中, ,‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。 ‎ 在图3中,,,‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。‎ 猜想:矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。‎ ‎(3)延长GH交CB的延长线于点N,‎ ‎∵,,‎ ‎∴。‎ 又∵FC=FC,‎ ‎∴Rt△FCE≌Rt△FCM(ASA)。‎ ‎∴EF=MF,EC=MC。‎ 同理:NH=EH,NB=EB。∴MN=2BC=16。‎ ‎∵,,,∴。‎ ‎∴GM=GN。‎ 过点G作GK⊥BC于K,则。‎ ‎∴。‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。‎ ‎【考点】新定义,网格问题,作图(应用与设计作图),勾股定理,全等三角形的判定和性质,矩形的性质,等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)根据网格结构,作出相等的角即可得到反射四边形。‎ ‎(2)图2中,利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度,然后即可得到周长,图3中利用勾股定理求出EF=GH,FG=HE的长度,然后求出周长,从而得到四边形EFGH的周长是定值。‎ ‎(3)延长GH交CB的延长线于点N,再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=MF,EC=MC,同理求出NH=EH,NB=EB,从而得到MN=2BC,再证明GM=GN,过点G作GK⊥BC于K,根据等腰三角形三线合一的性质求出,再利用勾股定理求出GM的长度,然后即可求出四边形EFGH的周长。‎ ‎5. (2012湖北黄冈7分)如图,在正方形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,E、F 分别在OD、OC ‎ 上,且DE=CF,连接DF、AE,AE 的延长线交DF于点M. ‎ 求证:AM⊥DF.‎ ‎【答案】证明:∵ABCD是正方形,∴OD=OC。‎ ‎ 又∵DE=CF,∴OD-DE=OC-CF,即OF=OE。‎ 在Rt△AOE和Rt△DOF中,∵AO=DO ,∠AOD=∠DOF, OE=OF ,‎ ‎∴△AOE≌△DOF(SAS)。∴∠OAE=∠ODF。‎ ‎∵∠OAE+∠AEO=90°,∠AEO=∠DEM,∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。‎ ‎【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】由DE=CF,根据正方形的性质可得出OE=OF,从而证明△AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF,‎ 然后利用等角代换可得出∠DME=90°,即得出了结论。‎ ‎6. (2012湖北随州10分)如图,已知直角梯形ABCD ,∠B=900。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点.‎ ‎ (1)求证:以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切;‎ ‎ (2)若OC=‎8 cm,OD=‎6 cm,求CD的长.‎ ‎【答案】解:(1)在CD上取中点F,连接OF,‎ ‎ ∵O为AB的中点,∴由梯形中位线可知OF=(AD+BC),OF∥AD∥BC。‎ ‎ 又∵AD+BC=CD,∴OF=CD=CF。∴∠FOC=∠FCO。‎ ‎ 又由OF∥BC得∠FOC=∠OCB,∴∠OCF=∠OCB。‎ 在CD上取点E,使DE=DA,则CE=CB。‎ 在△OBC和△OEC中,∵CE=CB,∠OCB=∠OCE,OC=OC,‎ ‎∴△OBC≌△OEC(SAS)。∴∠B=∠OEC,OE=OD。‎ ‎∵∠B=900, ∴∠OEC=90°。∴OE⊥CD。‎ 又∵O为AB的中点,∴OE=OD=OA为⊙O的半径。‎ ‎∴以AB为直径的⊙O与CD相切于E。‎ ‎(2)由(1)知,OF=CF=DF,∴O点在以CD为直径的⊙F上。‎ ‎ ∴∠COD=90°。‎ 在Rt△COD中,OD=‎6cm,OC=‎8cm,‎ ‎∴根据勾股定理得:。‎ ‎【考点】直角梯形的性质,梯形中位线定理,平行的性质,全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,圆周角定理,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)在CD上取中点F,连接OF,由已知,根据梯形中位线定理和平行的性质,可由SAS得出△OBC≌△OEC,从而由∠B=900,证得OE⊥CD。由OE=OD=OA为⊙O的半径得出以AB为直径的⊙O与CD相切于E。‎ ‎(2)由(1)可知O点在以CD为直径的⊙F上,根据直径所对的圆周角为直角得到∠DOC为直角,在直角三角形COD中,由OD与OC的长,利用勾股定理即可求出CD 的长。 ‎ ‎7. (2012湖北孝感8分)我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.‎ 如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,依次连接各边中点得到 中点四边形EFGH.‎ ‎(1)这个中点四边形EFGH的形状是 ;(2)证明你的结论.‎ ‎【答案】解:(1)平行四边形.‎ ‎(2)证明:连接AC,‎ ‎∵E是AB的中点,F是BC的中点,‎ ‎∴EF∥AC,EF=AC。‎ 同理HG∥AC,HG=AC。 ‎ ‎∴EF∥HG,EF=HG。∴四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎【考点】新定义,三角形中位线定理,平行四边形的判定。‎ ‎【分析】(1)根据四边形的形状及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎(2)连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH,从而可判断出四边形EFGH的形状。‎ ‎8. (2012湖北襄阳7分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.‎ ‎(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;‎ ‎(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积.‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD。‎ 又∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA。∴∠DEC=∠AEB。‎ 又∵EB=EC,∴△DEC≌△AEB(SAS)。‎ ‎∴AB=CD。‎ ‎∴梯形ABCD是等腰梯形。‎ ‎(2)当AB⊥AC时,四边形AECD是菱形。理由如下:‎ ‎∵E为BC的中点,BC=2AD,∴BE=EC=AD。‎ 又∵AD∥BC,∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形。∴AB=ED。‎ ‎∵AB⊥AC,∴AE=BE=EC。∴四边形AECD是菱形。‎ 过A作AG⊥BE于点G,‎ ‎∵AE=BE=AB=2,∴△ABE是等边三角形。‎ ‎∴∠AEB=60°,∴AG=。‎ ‎∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。‎
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