中考数学探究型试题解题策略

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中考数学探究型试题解题策略

中考数学探究型试题 探究性问题涉及的基础知识非常广泛,题目没有固定的形式,因此没有固定的解题方法。它既能充分地考查学生的基础知识掌握的熟悉程度,又能较好的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力,发散思维能力等,因此复习中既要重视基础知识的复习,又要加强变式训练和数学思想方法的研究,切实提高分析问题、解决问题的能力。‎ 例1(宜昌课改)如图1,已知△ABC的高AE=5,BC=,∠ABC=45°,F是AE上的点,G是点E关于F的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I,连接IF并延长交BC于J,连接HF并延长交BC于K.‎ ‎(1)请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明;‎ ‎(2)当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时,求线段AF长的取值范围.‎ ‎(图2供思考用)‎ 解:(1)∵点G与点E关于点F对称,‎ ‎∴GF=FE ‎ ‎∵HI∥BC,‎ ‎∴∠GIF=∠EJF,‎ 又∵∠GFI=∠EFJ,‎ ‎∴△GFI≌△EFJ,‎ ‎∴GI=JE ‎ 同理可得HG=EK ,‎ ‎∴HI=JK, ‎ ‎∴四边形HIKJ是平行四边形 ‎ ‎(注:说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)‎ ‎(2)当F是AE的中点时,A、G重合,所以AF=2.5 ‎ 如图1,∵AE过平行四边形HIJK的中心F,‎ ‎∴HG=EK, GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.‎ ‎∵CE>BE,∴GI> HG, ∴CK>BJ. ‎ ‎∴当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动, 图1‎ 如图2,当点F的位置使得B、J重合时,这时点K仍为CE上的某一点(不与C、E 重合),而且点H、I也分别在AB、AC上 ‎(这里为独立评分点,以上过程只要叙述大体清楚,说理较为明确即可评2分,不说明者不评分,知道要说理但部分不正确者评1分) ‎ 设EF=x,∵∠AHG=∠ABC=45°,AE=5,‎ ‎∴BE=5=GI,AG=HG=5-2x ,CE=-5‎ ‎∵△AGI∽△AEC,‎ ‎∴AG∶AE=GI∶CE. ‎ ‎∴(5-2x)∶5=5∶(-5) ‎ ‎∴AF=5-x=4 ‎ ‎∴<AF≤4 图2‎ 说明:本题考查知识较多,主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用。‎ 练习一 ‎1、(2005年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图(1)所示:‎ ‎∵∠AOC是⊿ABO的外角 ‎∴∠AOC=∠ABO+∠BAO 又∵OA=OB ‎∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO 即∠ABC=∠AOC 如果∠ABC的两边都不经过圆心,如图(2)、(3),那么结论会怎样?请你说明理由.‎ ‎2、课题研究:现有边长为120厘米的正方形铁皮,准备将它设计并制成一个开口的水槽,使水槽能通过的水的流量最大.‎ 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论:在水流速度一定的情况下,水槽的横截面面积越大,则通过水槽的水的流量越大.为此,他们对水槽的横截面进行了如下探索:‎ ‎⑴方案①:把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1).‎ 若∠ACB=90°,设AC=x厘米,该水槽的横截面面积为y厘米2,请你写出y关于x的函数关系式(不必写出x的取值范围),并求出当x取何值时,y的值最大,最大值又是多少?‎ C A B ‎(图1)‎ C A B 方案②:把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2).‎ 若∠ABC=120°,请你求出该水槽的横截面面积的最大值,并与方案①中的y的最大值比较大小.‎ ‎⑵假如你是该兴趣小组中的成员,请你再提供两种方案,使你所设计的水槽的横截面面积更大.画出你设计的草图,标上必要的数据(不要求写出解答过程).‎ ‎3(绵阳)如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明S1=S2+S3 .‎ ‎(1) 如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系?(不必证明)‎ ‎(2) 如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明;‎ ‎(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件?证明你的结论;‎ ‎(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论 .‎ ‎4.(江苏)取一张矩形的纸片进行折叠,具体操作过程如下:‎ 第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图(1);‎ 第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为,得Rt△AE,如图(2);‎ 第三步:沿EB`线折叠得折痕EF,如图(3)。‎ 利用展开图(4)探究:‎ ‎(1)△AEF是什么三角形?‎ ‎(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由。‎ ‎5、如图1,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M。‎ 探究:线段MD、MF的关系,并加以证明。‎ 说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。‎ 注意:选取①完成证明得10分;选取②完成证明得7分;选取③完成证明得5分。‎ ① DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;‎ ② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图2),‎ 其他条件不变;③在②的条件下且CF=2AD。‎ 附加题:将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3),其他条件不变。探究:线段MD、MF的关系,并加以证明。‎ F M E C G A D B ‎(3)‎ ‎(2)‎ B A C E D F G M 例2(连云港)如图,将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处,两直角边分别与轴平行,纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点.‎ y x F D E A B C O ‎·‎ O′‎ y ‎ x O N M C ‎ A ‎ B P ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)设双曲线在之间的部分为,让一把三角尺的直角顶点在上 滑动,两直角边始终与坐标轴平行,且与线段交于两点,请探究是否存在点使得,写出你的探究过程和结论.‎ 知识点:‎ 解:(1)∵在双曲线上,∥轴,∥轴,‎ ‎∴A,B的坐标分别,. ‎ 又点A,B在直线上,∴ ‎ ‎ 解得或 ‎ 当且时,点A,B的坐标都是,不合题意,应舍去;‎ 当且时,点A,B的坐标分别为,,符合题意.‎ ‎∴且.‎ ‎(2)假设存在点使得.‎ ‎∵ ∥轴,∥轴,∴∥,‎ ‎∴,∴Rt∽Rt,∴,‎ 设点P坐标为(1<x<8=,则M点坐标为,‎ ‎∴.又,‎ ‎∴,即   (※) ‎ ‎∵.∴方程(※)无实数根.‎ 所以不存在点使得. ‎ 练习二 ‎1、(包头)已知一次函数y1=x,二次函数y2=x2+。‎ ‎ (1)根据表中给出的x的值,填写表中空白处的值;(2分)‎ x ‎―3‎ ‎―2‎ ‎―1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y1=x ‎―3‎ ‎―2‎ ‎―1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y2=x2+‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎ (2)观察上述表格中的数据,对于x的同一个值,判断yl和y2的大小关系。并证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1和y2的大小关系仍然成立;‎ ‎ (3)若把y1=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数),请进一步探究:当k满足什么条件时,(2)中的结论仍然成立;当k满足什么条件时,(2)中的结论不能对任意的实数x都成立,并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。‎ ‎2、(北京丰台)在直角坐标系中,⊙经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。‎ ‎ (1)如图,过点A作⊙的切线与y轴交于点C,点O到直线AB的距离为,求直线AC的解析式;‎ ‎ (2)若⊙经过点M(2,2),设的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值是否会发生变化,如果不变,求出其值,如果变化,求其变化的范围。‎ ‎3、(2005年内江)教师提出:如图A(1,0),AB=OA,过点A、B作x轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点,直线OC交BD于点M,直线CD交y轴于点H,记点C、D的横坐标分别为,点H的纵坐标为。‎ 同学讨论发现:①2 :3 ②‎ ‎⑴请你验证①②结论成立;‎ ‎⑵请你研究:如将上述条件“A(1,0)”改为“A”,其他条件不娈,结论①是否仍成立?‎ ‎⑶进一步研究:在⑵的条件下,又将条件“”改为“,其他条件不娈,那么和有怎样的数值关系?(写出结果并说明理由)‎ ‎4、(2005深圳南山区).如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的面积为15,边OA比OC大2.E为BC的中点,以OE为直径的⊙O′交轴于D点,过点D作DF⊥AE于点F.‎ (1) ‎ 求OA、OC的长;‎ ‎(2)求证:DF为⊙O′的切线; ‎ y O′‎ ‎·‎ O C B A E D F x ‎(3)小明在解答本题时,发现△AOE是等腰三角形.由此,他断定:“直线BC上一定存在除点E以外的点P,使△AOP也是等腰三角形,且点P一定在⊙O′外”.你同意他的看法吗?请充分说明理由.‎ 能力训练 ‎1、已知:直线a∥b,P、Q是直线a上的两点,M、N是直线b上两点。‎ ‎(1)如图①,线段PM、QN夹在平行直线a和b之间,四边形PMNQ为等腰梯形,其两腰PM=QN。‎ P Q M N a b ‎①‎ 请你参照图①,在图②中画出异于图①的一种图形,使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。‎ ‎(2)我们继续探究,发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形,会有两条“曲线段相等”(曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”)。‎ 请你在图③中画出一种图形,使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。‎ a b ‎②‎ a b ‎③‎ P Q M N a b ‎④‎ S1‎ S2‎ S3‎ S4‎ n m ‎(3)如图④,若梯形PMNQ是一块绿化地,梯形的上底PQ=m,下底MN=n,且m<n。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里,使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用,园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草?请说明理由。‎ ‎2、(2005年河北)操作示例:‎ A D F G C ‎(H)‎ E N B M ‎ (2)‎ ‎ (1)‎ 对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH,按图1所示的方式摆放,在沿虚线BD,EG剪开后,可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED。‎ 从拼接的过程容易得到结论:‎ ‎①四边形BNED是正方形;‎ ‎②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED。‎ 实践与探究 ‎(1)对于边长分别为a,b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH,按图2所示的方式摆放,连接DE,过点D作DM⊥DE,交AB于点M,过点M作MN⊥DM,过点E作EN⊥DE,MN与EN相交于点N。‎ ‎①证明四边形MNED是正方形,并用含a,b的代数式表示正方形MNED的面积;‎ ‎②在图11-2中,将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后,能够拼接为正方形MNED,请简略说明你的拼接方法(类比图1,用数字表示对应的图形)。‎ ‎(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接成为一个正方形?请简要说明你的理由。‎ ‎3、(2005年潜江、仙桃、江汉油田)我们做一个拼图游戏:用等腰直角三角形拼正方形。请按下面规则与程序操作:‎ 第一次:将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形;‎ 第二次:在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形(等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等),形成一个新的正方形;‎ 以后每次都重复第二次的操作-------‎ ‎(1)请你在第一次拼成的正方形的基础上,画出第二次和第三次拼成的正方形图形;‎ ‎(2)若第一次拼成的正方形的边长为a,请你根据操作过程中的观察与思考填写下表:‎ 操作次数(n)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎---‎ n 每次拼成的正方形面积(s)‎ a2‎ ‎---‎ ‎4、(2005年枣庄)如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC.由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.‎ ‎(1)求四边形ABCD四个内角的度数;‎ ‎(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系,并说明理由;‎ ‎ (3)现有图甲中的等腰梯形若干个,利用它们你能拼出一个菱形吗?若能,请你画出大致的示意图.‎ ‎5、(2005年泰州)图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合).‎ ‎(1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2);‎ 探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.(4分)‎ ‎(2)操作:将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3);‎ 探究:设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围.‎ ‎(3)操作:图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠AC C′=α(30°<α<90°=(图4);‎ E′‎ D′‎ 图2‎ 图3‎ D′‎ E′‎ 图4‎ C/‎ ‎(C/)‎ ‎(C/)‎ 探究:在图4中,线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出C′N·E′M的值,如果有变化,请你说明理由.‎ 答案:‎ 练习一 ‎1、如果∠ABC的两边都不经过圆心, ‎ 结论∠ABC=∠AOC仍然成立 ‎ ‎ (1)对图2的情况 连接BO并延长交圆O于点D ‎ ‎ 由图1知: ∠ABD=∠AOD ‎∠CBD=∠COD ‎ ‎∴∠ABD+∠CBD=∠AOD+∠COD 即∠ABC=∠AOC ‎ ‎(2) 对图3的情况仿图2的情况可证 ‎2、⑴①y=, ‎ 当x=60时,y最大值=1800;‎ ‎②过点B作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,‎ 设AB=CD=xcm,梯形的面积为Scm2,则BC=EF=(120-2x)cm,‎ A B C D F E AE=DF=x,BE=CF=x ,AD=120-x,‎ ‎∴S=·x(240-3x)‎ 当x=40,S最大值=1200, S最大值>y最大值 ‎⑵‎ ‎120‎ 半径=‎ 方案:①正八边形一半,②正十边形一半,③半圆等 ‎144°‎ ‎144°‎ ‎144°‎ ‎144°‎ ‎24‎ ‎24‎ ‎24‎ ‎24‎ ‎24‎ ‎30‎ ‎135°‎ ‎135°‎ ‎135°‎ ‎30‎ ‎30‎ 练习二 ‎4. 解:‎ ‎(1)在矩形OABC中,设OC=x 则OA= x+2,依题意得 ‎ 解得:‎ ‎(不合题意,舍去) ∴OC=3, OA=5 ‎ ‎(2)连结O′D ‎ 在矩形OABC中,OC=AB,∠OCB=∠ABC=90,CE=BE= ‎ ‎∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2‎ 在⊙O′中, ∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3 ∴∠3=∠2 ‎ ‎∴O′D∥AE, ‎ ‎ ∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D 又∵点D在⊙O′上,O′D为⊙O′的半径 ,∴DF为⊙O′切线。 ‎ (3) 不同意.‎ 理由如下: ‎ ‎①当AO=AP时,‎ 以点A为圆心,以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点 过P1点作P1H⊥OA于点H,P1H = OC = 3,∵A P1= OA = 5‎ ‎∴A H = 4, ∴OH =1 ‎ 求得点P1(1,3) 同理可得:P4(9,3) ‎ ‎②当OA=OP时,同上可求得::P2(4,3),P3(4,3) ‎ 因此,在直线BC上,除了E点外,既存在⊙O′内的点P1,‎ 又存在⊙O′外的点P2、P3、P4,它们分别使△AOP为等腰三角形。 ‎ 图16‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ O C B A E D F O′‎ ‎·‎ x P3‎ P1‎ P2‎ P4‎ H ‎1‎ ‎3‎ 图16‎ ‎2‎ 能力训练 ‎1、解:(1)‎ P ‎(Q)‎ M N a b ‎ 或 ‎ ‎(2)‎ P Q M N a b P Q M N a b 图例:‎ ‎ 或 ‎ 解:(3)∵△PMN和△QMN同底等高。‎ ‎ ∴S△PMN=S△QMN。∴S3+S2=S4+S2.∴S3=S4。‎ ‎∵△POQ∽△NOM, ∴‎ ‎∴S2=‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∵m≠n(题中条件m<n),∴ ‎ ‎ ∴S1+S2>S3+S4‎ 故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草,因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。 ‎ ‎2、解:(1)①证明:由作图的过程可知四边形MNED是矩形。‎ 在Rt△ADM与Rt△CDE中,‎ ‎∵AD=CD,又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°,‎ ‎∴DM=DE,∴四边形MNED是正方形。‎ ‎∵,‎ ‎∴正方形MNED的面积为;‎ ‎②过点N作NP⊥BE,垂足为P,如图2‎ 可以证明图中6与5位置的两个三角形全等,4与3位置的两个三角形全等,2与1位置的两个三角形也全等。‎ 所以将6放到5的位置,4放到3的位置,2放到1的位置,恰好拼接为正方形MNED。‎ ‎(2)答:能。‎ 理由是:由上述的拼接过程可以看出:对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形,而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形,……依此类推。由此可知:对于n个任意的正方形,可以通过(n-1)次拼接,得到一个正方形。‎ ‎3、解(1)如图所示 ‎(2)如表 操作次数(n)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎---‎ n 每次拼成的正方形面积(s)‎ a2‎ ‎2a‎2‎ ‎4a‎2‎ ‎8a‎2‎ ‎---‎ ‎2n‎-1 a2‎ ‎4、解:(1)如图,∠1=∠2=∠3,∠1+∠2+∠3=360°,‎ ‎ 所以3∠1=360°,即∠1=120°.‎ ‎ 所以梯形的上底角均为120°,下底角均为60°‎ ‎(2)由于EF既是梯形的腰,又是梯形的上底,所以梯形的腰 等于上底.连接MN,则∠FMN=∠FNM=30°.‎ ‎ 从而∠HMN=30°,∠HNM=90°.所以NH=.‎ 因此,梯形的上底等于下底的一半,且等于腰长. ‎ ‎(3)能拼出菱形. ‎ 如图:(拼法不唯一) ‎ ‎5、(1)BE=AD 证明:∵△ABC与△DCE是等边三角形 T S ‎∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB,CE=CD ‎∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD ‎∴ BE=AD ‎(也可用旋转方法证明BE=AD)‎ ‎(2)如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°‎ ‎∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ‎∴QT=QC=x ‎∴ RT=3-x ‎ ‎∵∠RTS+∠R=90° ∴∠RST=90°‎ ‎∴y=×32 -(3-x)2=-(3-x)2+(0≤x≤3) ‎ ‎(3)C′N·E′M的值不变 证明:∵∠ACC′=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120°‎ ‎ ∵∠CNC′+∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′‎ ‎ ∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN ‎ ∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=9/4.‎
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