中考数学压轴题几何证明题

中考数学压轴题几何证明题

中考数学例题讲解 ‎【例１】如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。‎ ‎（1）求证：ΔBEF∽ΔCEG．‎ ‎（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．‎ ‎（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？‎ 图10‎ 解析过程及每步分值 ‎（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分 ‎ 所以 所以 3分 ‎（2）的周长之和为定值． 4分 理由一：‎ 过点C作FG的平行线交直线AB于H ，‎ 因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH ‎ 由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，‎ 所以BC＋CH＋BH＝24 6分 理由二：‎ 由AB＝5，AM＝4，可知 ‎ 在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：‎ ‎，‎ 所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是 又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24． 6分 ‎（3）设BE＝x，则 所以 8分 配方得：． ‎ 所以，当时，y有最大值． 9分 最大值为． 10分 ‎【例２】如图二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A、B、C且OA＝1‎ OB＝OC＝3．‎ ‎（1）求此二次函数的解析式．‎ ‎（2）写出顶点坐标和对称轴方程．‎ ‎（3）点M、N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)，且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．‎ 解析过程及每步分值 ‎（1）依题意分别代入 1分 解方程组得所求解析式为 4分 ‎（2） 5分 顶点坐标，对称轴 7分 ‎（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为 8分 把点代入得 9分 同理可得另一种情形 圆的半径为或 10分 ‎【例3】已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的表达式；‎ ‎（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由．‎ 解析过程及每步分值 ‎（1）由 得． ‎ 又因为当时，，即， ‎ 解得，或（舍去），故的值为． ‎ ‎（2）由，得， ‎ 所以函数的图象的对称轴为， ‎ 于是，有，解得， ‎ 所以． ‎ ‎（3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；‎ 由，得函数 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为； ‎ 故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点．‎ ‎【例4】如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.‎ ‎（1）求点A的坐标;‎ ‎（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;‎ ‎（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. ‎ ‎ ‎ 解析过程及每步分值 解：（1）∵‎ ‎∴A(-2,-4)‎ ‎（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)‎ 四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()‎ 四边形ABP3O为直角梯形时，P1()‎ 四边形ABOP4为直角梯形时，P1()‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x ‎①当点P在第二象限时，x<0,‎ ‎△POB的面积 ‎∵△AOB的面积，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 即 ∴‎ ‎∴x的取值范围是 ‎②当点P在第四象限是，x>0,‎ 过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′‎ 则四边形POA′A的面积 ‎∵△AA′B的面积 ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴ 即 ∴‎ ‎∴x的取值范围是 ‎【例5】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）‎ ‎（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；‎ ‎（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？‎ 解析过程及每步分值 解：（1）设=,由图①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，‎ 故利润关于投资量的函数关系式是=；‎ 因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），‎ 所以，‎ 故利润关于投资量的函数关系式是；‎ ‎（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），‎ 则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ‎=+==‎ 当时，的最小值是14；‎ 因为，所以 所以 所以 所以，即，此时 当时，的最大值是32.‎ ‎【例6】如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．‎ ‎（1）求C点坐标及直线BC的解析式;‎ ‎（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;‎ ‎（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．‎ ‎ ‎ 解析过程及每步分值 解:（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：‎ ‎△ABO∽△ACD， ∴．‎ 由已知，可知： ．‎ ‎∴．∴C点坐标为．‎ ‎ 直线BC的解析是为： ‎ 化简得： ‎ ‎（2）设抛物线解析式为，由题意得： ， ‎ 解得： ‎ ‎∴解得抛物线解析式为或．‎ 又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．‎ ‎∴满足条件的抛物线解析式为 ‎（准确画出函数图象）‎ ‎（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，‎ 故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．‎ 由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．‎ 如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，‎ 在Rt△BEF中，，‎ ‎∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为 同理可求得直线与y轴交点坐标为 ‎∴两直线解析式；．‎ 根据题意列出方程组： ⑴；⑵‎ ‎∴解得：；；；‎ ‎∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，.‎ ‎【例7】如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.‎ ‎（1）求抛物线对应的函数表达式；‎ ‎（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.‎ ‎ ‎ 解析过程及每步分值 ‎【例8】如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）当取何值时，点落在矩形的边上？‎ ‎（3）①求与之间的函数关系式；‎ ‎②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？‎ D Q C B P R A B A D C ‎（备用图1）‎ B A D C ‎（备用图2）‎ 解析过程及每步分值 解：（1）如图，四边形是矩形，．‎ 又，，，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ ‎，．‎ D Q C B P R A ‎（图1）‎ ‎（2）如图1，由轴对称的性质可知，，‎ ‎，．‎ 由（1）知，，‎ ‎，．‎ ‎，，．‎ 在中，根据题意得：，‎ 解这个方程得：．‎ ‎（3）①当点在矩形的内部或边上时，‎ ‎，，‎ ‎，当时，‎ 当在矩形的外部时（如图2），，‎ D Q C B P R A ‎（图2）‎ F E 在中，，‎ ‎，‎ 又，，‎ 在中，‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，．‎ 综上所述，与之间的函数解析式是：．‎ ‎②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，‎ 而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；‎ 当时，根据题意，得：‎ ‎，解这个方程，得，因为，‎ 所以不合题意，舍去．‎ 所以．‎ 综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．‎