2020年中考数学真题试题(含解析) 新人教版新版(1)

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文档介绍

2020年中考数学真题试题(含解析) 新人教版新版(1)

‎2019年中考数学真题试题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分:给出的四个迭项中,只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1.(3.00分)在﹣1、1、、2这四个数中,最小的数是(  )‎ A.﹣1 B.1 C. D.2‎ ‎2.(3.00分)如图,下列各组角中,互为对顶角的是(  )‎ A.∠1和∠2 B.∠1和∠3 C.∠2和∠4 D.∠2和∠5‎ ‎3.(3.00分)4的平方根是(  )‎ A.2 B.﹣2 C.±2 D.16‎ ‎4.(3.00分)下列图形中,属于中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(3.00分)若一组数据:1、2、x、4、5的众数为5,则这组数据的中位数是(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.5‎ ‎6.(3.00分)下列运算正确的是(  )‎ A.a2•a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(a3)2=a6 D.a8÷a2=a4‎ ‎7.(3.00分)下列各式分解因式正确的是(  )‎ A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2﹣4xy+9y2=(2x﹣3y)2‎ C.2x2﹣8y2=2(x+4y)(x﹣4y) D.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)‎ ‎8.(3.00分)如图,这是一个几何体的三视图,根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为(  )‎ 24‎ A.9π B.10π C.11π D.12π ‎9.(3.00分)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k、b是常数,且k≠0)与反比例函数y2=(c是常数,且c≠0)的图象相交于A(﹣3,﹣2),B(2,3)两点,则不等式y1>y2的解集是(  )‎ A.﹣3<x<2 B.x<﹣3或x>2 C.﹣3<x<0或x>2 D.0<x<2‎ ‎10.(3.00分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为(  )‎ A.3 B.3 C.6 D.6‎ ‎11.(3.00分)如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin∠CDB=,BD=5,则AH的长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(3.00分)如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为(  )‎ 24‎ A.()n﹣1 B.2n﹣1 C.()n D.2n ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分;请把答案填在答題卡对应的位置上,在试卷上作答无效。)‎ ‎13.(3.00分)要使二次根式有意义,则x的取值范围是   .‎ ‎14.(3.00分)医学家发现了一种病毒,其长度约为0.00000029mm,用科学记数法表示为   mm.‎ ‎15.(3.00分)从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数,抽到无理数的概率是   .‎ ‎16.(3.00分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接BB',若∠A′B′B=20°,则∠A的度数是   .‎ ‎17.(3.00分)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为   元.‎ ‎18.(3.00分)如图,正方形ABCD的边长为12,点E在边AB上,BE=8,过点E作EF∥BC,分别交BD、CD于G、F两点.若点P、Q分别为DG、CE的中点,则PQ的长为   .‎ 24‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共8题,满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。)‎ ‎19.(6.00分)计算:(﹣1)2018+|﹣|﹣(﹣π)0﹣2sin60°.‎ ‎20.(6.00分)解分式方程:+1=‎ ‎21.(8.00分)某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间,在本校随机抽取了若干名学生进行调查,并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表,请根据图表信息解答下列问题:‎ 时间(小时)‎ ‎ 频数(人数)‎ ‎ 频率 ‎2≤t<3‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎3≤t<4‎ ‎10‎ ‎0.25‎ ‎4≤t<5‎ a ‎0.15‎ ‎5≤t<6‎ ‎8‎ b ‎6≤t<7‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 合计 ‎40‎ ‎1‎ ‎(1)表中的a=   ,b=   ;‎ ‎(2)请将频数分布直方图补全;‎ ‎(3)若该校共有1200名学生,试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名?‎ 24‎ ‎22.(8.00分)如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)‎ ‎23.(8.00分)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车,其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元.‎ ‎(1)求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元?‎ ‎(2)后来由于该经销商资金紧张,投入购车的资金不超过5.86万元,但购进这批自行年的总数不变,那么至多能购进B型车多少辆?‎ ‎24.(8.00分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O、D分别是边AC、AB的中点,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连接AE.‎ ‎(1)求证:四边形AECD是菱形;‎ ‎(2)若四边形AECD的面积为24,tan∠BAC=,求BC的长.‎ 24‎ ‎25.(10.00分)如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA,垂足为C,过点B作直线BD交CE的延长线于点D,使得DB=DE.‎ ‎(1)求证:BD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面积.‎ ‎26.(12.00分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).‎ ‎(1)求A、B两点的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎ ‎ 24‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分:给出的四个迭项中,只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1.(3.00分)在﹣1、1、、2这四个数中,最小的数是(  )‎ A.﹣1 B.1 C. D.2‎ ‎【分析】根据实数大小比较的法则比较即可.‎ ‎【解答】解:在实数﹣1,1,,2中,最小的数是﹣1.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用,注意:正数都大于0,负数都小于0,正数都大于一切负数,两个负数比较大小,其绝对值大的反而小.‎ ‎ ‎ ‎2.(3.00分)如图,下列各组角中,互为对顶角的是(  )‎ A.∠1和∠2 B.∠1和∠3 C.∠2和∠4 D.∠2和∠5‎ ‎【分析】直接利用对顶角的定义得出答案.‎ ‎【解答】解:互为对顶角的是:∠1和∠2.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查了对顶角,正确把握对顶角的定义是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎3.(3.00分)4的平方根是(  )‎ A.2 B.﹣2 C.±2 D.16‎ ‎【分析】根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根,由此即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵(±2)2=4,‎ ‎∴4的平方根是±2.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.‎ 24‎ ‎ ‎ ‎4.(3.00分)下列图形中,属于中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、不是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、不是中心对称图形,故此选项错误;‎ D、是中心对称图形,故此选项正确,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念,中心对称图形关键是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.‎ ‎ ‎ ‎5.(3.00分)若一组数据:1、2、x、4、5的众数为5,则这组数据的中位数是(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.5‎ ‎【分析】由众数的定义得出x=5,再将数据重新排列后由中位数的定义可得答案.‎ ‎【解答】解:∵数据1、2、x、4、5的众数为5,‎ ‎∴x=5,‎ 将数据从小到大重新排列为1、2、4、5、5,‎ 所以中位数为4,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查众数、中位数,解答本题的关键是明确题意,求出这组数据的中位数.‎ ‎ ‎ ‎6.(3.00分)下列运算正确的是(  )‎ A.a2•a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(a3)2=a6 D.a8÷a2=a4‎ ‎【分析】根据合并同类项法则,单项式的乘法运算法则,单项式的除法运算法则,对各选项分析判断后利用排除法求解.‎ ‎【解答】解:A、a2•a2=a4,错误;‎ B、a2+a2=2a2,错误;‎ 24‎ C、(a3)2=a6,正确;‎ D、a8÷a2=a6,错误;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了整式的除法,单项式的乘法,合并同类项法则,是基础题,熟记运算法则是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(3.00分)下列各式分解因式正确的是(  )‎ A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2﹣4xy+9y2=(2x﹣3y)2‎ C.2x2﹣8y2=2(x+4y)(x﹣4y) D.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)‎ ‎【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案.‎ ‎【解答】解:A、x2+6xy+9y2=(x+3y)2,正确;‎ B、2x2﹣4xy+9y2=无法分解因式,故此选项错误;‎ C、2x2﹣8y2=2(x+2y)(x﹣2y),故此选项错误;‎ D、x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2,故此选项错误;‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式,正确应用公式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3.00分)如图,这是一个几何体的三视图,根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为(  )‎ A.9π B.10π C.11π D.12π ‎【分析】由三视图可判断出几何体的形状,进而利用圆锥的侧面积公式求出答案.‎ ‎【解答】解:由题意可得此几何体是圆锥,‎ 底面圆的半径为:2,母线长为:5,‎ 故这个几何体的侧面积为:π×2×5=10π.‎ 24‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法,正确得出几何体的形状是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3.00分)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k、b是常数,且k≠0)与反比例函数y2=(c是常数,且c≠0)的图象相交于A(﹣3,﹣2),B(2,3)两点,则不等式y1>y2的解集是(  )‎ A.﹣3<x<2 B.x<﹣3或x>2 C.﹣3<x<0或x>2 D.0<x<2‎ ‎【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求.‎ ‎【解答】解:∵一次函数y1=kx+b(k、b是常数,且k≠0)与反比例函数y2=(c是常数,且c≠0)的图象相交于A(﹣3,﹣2),B(2,3)两点,‎ ‎∴不等式y1>y2的解集是﹣3<x<0或x>2.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用数形结合是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(3.00分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为(  )‎ A.3 B.3 C.6 D.6‎ ‎【分析】‎ 24‎ 由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形,利用勾股定理求出AE的长,再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,求出BC即可.‎ ‎【解答】解:∵AD=ED=3,AD⊥BC,‎ ‎∴△ADE为等腰直角三角形,‎ 根据勾股定理得:AE==3,‎ ‎∵Rt△ABC中,E为BC的中点,‎ ‎∴AE=BC,‎ 则BC=2AE=6,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线,以及等腰直角三角形,熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(3.00分)如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin∠CDB=,BD=5,则AH的长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】连接OD,由垂径定理得出AB⊥CD,由三角函数求出BH=3,由勾股定理得出DH==4,设OH=x,则OD=OB=x+3,在Rt△ODH中,由勾股定理得出方程,解方程即可.‎ ‎【解答】解:连接OD,如图所示:‎ ‎∵AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,‎ ‎∴AB⊥CD,‎ ‎∴∠OHD=∠BHD=90°,‎ ‎∵sin∠CDB=,BD=5,‎ ‎∴BH=4,‎ 24‎ ‎∴DH==4,‎ 设OH=x,则OD=OB=x+3,‎ 在Rt△ODH中,由勾股定理得:x2+42=(x+3)2,‎ 解得:x=,‎ ‎∴OH=;‎ ‎∴AH=OA+OH=,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数.此题难度不大,注意数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎12.(3.00分)如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为(  )‎ A.()n﹣1 B.2n﹣1 C.()n D.2n ‎【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积,…探究规律后,即可解决问题.‎ ‎【解答】解:第一个正方形的面积为1=20,‎ 第二个正方形的面积为()2=2=21,‎ 第三个正方形的边长为22,‎ 24‎ ‎…‎ 第n个正方形的面积为2n﹣1,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了规律型:图形的变化类,正方形的性质,考查了学生找规律的能力,本题中找到Sn的规律是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分;请把答案填在答題卡对应的位置上,在试卷上作答无效。)‎ ‎13.(3.00分)要使二次根式有意义,则x的取值范围是 x≥3 .‎ ‎【分析】直接利用二次根式的定义得出答案.‎ ‎【解答】解:二次根式有意义,故x﹣3≥0,‎ 则x的取值范围是:x≥3.‎ 故答案为:x≥3.‎ ‎【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握二次根式的定义是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3.00分)医学家发现了一种病毒,其长度约为0.00000029mm,用科学记数法表示为 2.9×10﹣7 mm.‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎【解答】解:0.00000029=2.9×10﹣7,‎ 故答案为:2.9×10﹣7.‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎ ‎ ‎15.(3.00分)从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数,抽到无理数的概率是  .‎ ‎【分析】在6个数中找出无理数,再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率.‎ ‎【解答】解:∵在﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中无理数有、π这2个,‎ 24‎ ‎∴抽到无理数的概率是=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了概率公式以及无理数,根据无理数的定义找出无理数的个数是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(3.00分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接BB',若∠A′B′B=20°,则∠A的度数是 65° .‎ ‎【分析】根据旋转的性质可得BC=B′C,然后判断出△BCB′是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠CBB′=45°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′A′C,然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C.‎ ‎【解答】解:∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C,‎ ‎∴BC=B′C,‎ ‎∴△BCB′是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠CBB′=45°,‎ ‎∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°,‎ 由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°.‎ 故答案为:65°.‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的判定与性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(3.00分)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为 25 元.‎ ‎【分析】本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润×销售量,每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.‎ 24‎ ‎【解答】解:设利润为w元,‎ 则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,‎ ‎∵20≤x≤30,‎ ‎∴当x=25时,二次函数有最大值25,‎ 故答案是:25.‎ ‎【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.‎ ‎ ‎ ‎18.(3.00分)如图,正方形ABCD的边长为12,点E在边AB上,BE=8,过点E作EF∥BC,分别交BD、CD于G、F两点.若点P、Q分别为DG、CE的中点,则PQ的长为 2 .‎ ‎【分析】根据题意作出合适的辅助线,利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长,然后根据勾股定理即可求得PQ的长.‎ ‎【解答】解:作QM⊥EF于点M,作PN⊥EF于点N,作QH⊥PN交PN的延长线于点H,如右图所示,‎ ‎∵正方形ABCD的边长为12,BE=8,EF∥BC,点P、Q分别为DG、CE的中点,‎ ‎∴DF=4,CF=8,EF=12,‎ ‎∴MQ=4,PN=2,MF=6,‎ ‎∵QM⊥EF,PN⊥EF,BE=8,DF=4,‎ ‎∴△EGB∽△FGD,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 解得,FG=4,‎ ‎∴FN=2,‎ ‎∴MN=6﹣2=4,‎ 24‎ ‎∴QH=4,‎ ‎∵PH=PN+QM,‎ ‎∴PH=6,‎ ‎∴PQ==,‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、三角形相似,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共8题,满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。)‎ ‎19.(6.00分)计算:(﹣1)2018+|﹣|﹣(﹣π)0﹣2sin60°.‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案.‎ ‎【解答】解:原式=1+﹣1﹣2×‎ ‎=1+﹣1﹣‎ ‎=0.‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(6.00分)解分式方程:+1=‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ ‎【解答】解:去分母得:4+x2﹣1=x2﹣2x+1,‎ 解得:x=﹣1,‎ 经检验x=﹣1是增根,分式方程无解.‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.‎ 24‎ ‎ ‎ ‎21.(8.00分)某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间,在本校随机抽取了若干名学生进行调查,并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表,请根据图表信息解答下列问题:‎ 时间(小时)‎ ‎ 频数(人数)‎ ‎ 频率 ‎2≤t<3‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎3≤t<4‎ ‎10‎ ‎0.25‎ ‎4≤t<5‎ a ‎0.15‎ ‎5≤t<6‎ ‎8‎ b ‎6≤t<7‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 合计 ‎40‎ ‎1‎ ‎(1)表中的a= 6 ,b= 0.2 ;‎ ‎(2)请将频数分布直方图补全;‎ ‎(3)若该校共有1200名学生,试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名?‎ ‎【分析】(1)根据题意列式计算即可;‎ ‎(2)根据b的值画出直方图即可;‎ ‎(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可;‎ ‎【解答】解:解:(1)总人数=4÷0.1=40,‎ ‎∴a=40×0.15=6,b==0.2;‎ 故答案为6,0.2‎ ‎(2)频数分布直方图如图所示:‎ 24‎ ‎(3)由题意得,估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为1200×(0.15+0.2+0.3)=780名.‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.‎ ‎ ‎ ‎22.(8.00分)如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)‎ ‎【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM,CM的长,再利用锐角三角三角函数关系得出BM的长即可得出答案.‎ ‎【解答】解:过点C作CM⊥AB,垂足为M,‎ 在Rt△ACM中,∠MAC=90°﹣45°=45°,则∠MCA=45°,‎ ‎∴AM=MC,‎ 由勾股定理得:AM2+MC2=AC2=(20×2)2,‎ 解得:AM=CM=40,‎ ‎∵∠ECB=15°,‎ ‎∴∠BCF=90°﹣15°=75°,‎ 24‎ ‎∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°,‎ 在Rt△BCM中,tanB=tan30°=,即=,‎ ‎∴BM=40,‎ ‎∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109(海里),‎ 答:A处与灯塔B相距109海里.‎ ‎【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确作出辅助线是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(8.00分)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车,其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元.‎ ‎(1)求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元?‎ ‎(2)后来由于该经销商资金紧张,投入购车的资金不超过5.86万元,但购进这批自行年的总数不变,那么至多能购进B型车多少辆?‎ ‎【分析】(1)设A型自行车的单价为x元/辆,B型自行车的单价为y元/辆,根据总价=单价×数量结合B型车单价是A型车单价的6倍少60元,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;‎ ‎(2)设购进B型自行车m辆,则购进A型自行车(130﹣m)辆,根据总价=单价×数量结合投入购车的资金不超过5.86万元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)设A型自行车的单价为x元/辆,B型自行车的单价为y元/辆,‎ 根据题意得:,‎ 解得:.‎ 答:A型自行车的单价为260元/辆,B型自行车的单价为1500元/辆.‎ ‎(2)设购进B型自行车m辆,则购进A型自行车(130﹣m)辆,‎ 根据题意得:260(130﹣m)+1500m≤58600,‎ 解得:m≤20.‎ 24‎ 答:至多能购进B型车20辆.‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量间的关系,正确列出一元一次不等式.‎ ‎ ‎ ‎24.(8.00分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O、D分别是边AC、AB的中点,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连接AE.‎ ‎(1)求证:四边形AECD是菱形;‎ ‎(2)若四边形AECD的面积为24,tan∠BAC=,求BC的长.‎ ‎【分析】(1)由ASA证明△AOD≌△COE,得出对应边相等AD=CE,证出四边形AECD是平行四边形,即可得出四边形AECD是菱形;‎ ‎(2)由菱形的性质得出AC⊥ED,再利用三角函数解答即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵点O是AC中点,‎ ‎∴OA=OC,‎ ‎∵CE∥AB,‎ ‎∴∠DAO=∠ECO,‎ 在△AOD和△COE中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOD≌△COE(ASA),‎ ‎∴AD=CE,‎ ‎∵CE∥AB,‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形,‎ 又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,‎ ‎∴CD=AD,‎ 24‎ ‎∴四边形AECD是菱形;‎ ‎(2)由(1)知,四边形AECD是菱形,‎ ‎∴AC⊥ED,‎ 在Rt△AOD中,tan∠DAO=,‎ 设OD=3x,OA=4x,‎ 则ED=2OD=6x,AC=2OA=8x,由题意可得:,‎ 解得:x=1,‎ ‎∴OD=3,‎ ‎∵O,D分别是AC,AB的中点,‎ ‎∴OD是△ABC的中位线,‎ ‎∴BC=2OD=6.‎ ‎【点评】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识;熟练掌握菱形的判定方法,证明三角形全等是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎25.(10.00分)如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA,垂足为C,过点B作直线BD交CE的延长线于点D,使得DB=DE.‎ ‎(1)求证:BD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面积.‎ ‎【分析】(1)根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得∠OBD的度数,从而可以证明结论成立;‎ ‎(2)要求△AOB的面积只要求出OE的长即可,根据题目中的条件和三角形相似的知识可以求得OE的长,从而可以解答本题.‎ ‎【解答】(1)证明:∵OA=OB,DB=DE,‎ ‎∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠DBE,‎ 24‎ ‎∵EC⊥OA,∠DEB=∠AEC,‎ ‎∴∠A+∠DEB=90°,‎ ‎∴∠OBA+∠DBE=90°,‎ ‎∴∠OBD=90°,‎ ‎∵OB是圆的半径,‎ ‎∴BD是⊙O的切线;‎ ‎(2)过点D作DF⊥AB于点F,连接OE,‎ ‎∵点E是AB的中点,AB=12,‎ ‎∴AE=EB=6,OE⊥AB,‎ 又∵DE=DB,DF⊥BE,DB=5,DB=DE,‎ ‎∴EF=BF=3,‎ ‎∴DF==4,‎ ‎∵∠AEC=∠DEF,‎ ‎∴∠A=∠EDF,‎ ‎∵OE⊥AB,DF⊥AB,‎ ‎∴∠AEO=∠DFE=90°,‎ ‎∴△AEO∽△DFE,‎ ‎∴,‎ 即,得EO=4.5,‎ ‎∴△AOB的面积是:=27.‎ ‎【点评】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.‎ ‎ ‎ 24‎ ‎26.(12.00分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).‎ ‎(1)求A、B两点的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据OA,OB的长,可得答案;‎ ‎(2)根据待定系数法,可得函数解析式;‎ ‎(3)根据相似三角形的判定与性质,可得EG,EF的长,根据整式的加减,可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,得 A点坐标(﹣3,0),B点坐标(1,0);‎ ‎(2)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),‎ 把C点坐标代入函数解析式,得 a(0+3)(0﹣1)=3,‎ 解得a=﹣1,‎ 抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;‎ ‎(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由如下:‎ 24‎ 过点P作PQ∥y轴交x轴于Q,如图.‎ 设P(t,﹣t2﹣2t+3),‎ 则PQ=﹣t2﹣2t+3,AQ=3+t,QB=1﹣t,‎ ‎∵PQ∥EF,‎ ‎∴△AEF∽△AQP,‎ ‎∴=,‎ ‎∴EF===×(﹣t2﹣2t+3)=2(1﹣t);‎ 又∵PQ∥EG,‎ ‎∴△BEG∽△BQP,‎ ‎∴=,‎ ‎∴EG===2(t+3),‎ ‎∴EF+EG=2(1﹣t)+2(t+3)=8.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是利用点的坐标表示方法;解(2)的关键是利用待定系数法;解(3)的关键是利用相似三角形的性质得出EG,EF的长,又利用了整式的加减.‎ 24‎
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