中考数学试题一元二次方程解答题

中考数学试题一元二次方程解答题

解答题 1．(2010 江苏苏州)解方程：  2 2 1 1 2 0x x x x     ． 【答案】 2．（2010 安徽省中中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月分的 14000 元/ 2m 下降到 5 月分的 12600 元/ 2m ⑴问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据： 95.09.0  ） ⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月分该市的商品房成交均价是否会跌 破 10000 元/ 2m ？请说明理由。 【答案】 3．（2010 广东广州，19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程 )0(012  abxax 有两个 相等的实数根，求 4)2( 22 2  ba ab 的值。 【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝ 2 4 0b a  ，可得出 a、b 之间 的关系，然后将 4)2( 22 2  ba ab 化简后，用含 b 的代数式表示 a，即可求出这个分式的值． 【答案】解：∵ )0(012  abxax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝ 2 4 0b ac  ，即 2 4 0b a  ． 全品中考网 ∵ 2 2 22 2 22 2 22 2 44444)2( a ab baa ab baa ab ba ab       ∵ 0a  ，∴ 4 2 2 2  a b a ab 4．（2010 四川南充）关于 x 的一元二次方程 2 3 0x x k   有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围． （2）请选择一个 k 的负整数值，并求出方程的根． 【答案】解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2( 3) 4( )k   ＞0． 即 4 9k   ，解得， 9 4k   ． ……（4 分） （2）若 k 是负整数，k 只能为－1 或－2． ……（5 分） 如果 k＝－1，原方程为 2 3 1 0x x   ． 解得， 1 3 5 2x  ， 2 3 5 2x  ． ……（8 分） （如果 k＝－2，原方程为 2 3 2 0x x   ，解得， 1 1x  ， 2 2x  ．） 5．（2010 重庆綦江县）解方程：x2－2x－1＝0． 【答案】解方程：x2－2x－1＝0 解： 2 2 1 2x x－ ＋＝ 2( 1) 2x   1 2x    ∴ 1 1 2x   ； 2 1 2x   6．（2010 广东珠海）已知 x1=-1 是方程 052  mxx 的一个根，求 m 的值及方程的 另一根 x2。 【答案】解：由题意得： 05)1()1( 2  m 解得 m=-4 当 m=-4 时，方程为 0542  xx 解得：x1=-1 x2=5 所以方程的另一根 x2=5 7．（2010 年贵州毕节）已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根 1x 和 2x ． （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 2 2 1 2 0x x  时，求 m 的值． 【答案】解：（1）由题意有 2 2(2 1) 4 0m m    ≥ ， 解得 1 4m≤ ． 全品中考网 即实数 m 的取值范围是 1 4m≤ ． （2）由 2 2 1 2 0x x  得 1 2 1 2( )( ) 0x x x x   ． 若 1 2 0x x  ，即 (2 1) 0m   ，解得 1 2m  ． ∵ 2 1 ＞ 4 1 ， 1 2m  不合题意，舍去． 若 1 2 0x x  ，即 1 2x x 0  ，由（1）知 1 4m  ． 故当 2 2 1 2 0x x  时， 1 4m  ． 8．（2010 湖北武汉）解方程:x2+x-1=0. 【答案】: a=1，b=1，c=-2，b2-4ac=1-4×1×(-2)=9>0 ac acbbx 4 42  = 8 91   = 8 31   ∴ 2 1 1 x ， 4 1 2 x . 9．（2010 江苏常州）解方程 2 6 6 0x x   【答案】 10．（2010 四川成都）若关于 x 的一元二次方程 2 4 2 0x x k   有两个实数根，求 k 的取 值范围及 k 的非负整数值. 【答案】（2）解：∵关于 x 的一元二次方程 2 4 2 0x x k   有两个实数根， ∴△= 24 4 1 2 16 8 0k k      解得 2k  ∴ k 的非负整数值为 0,1, 11．（2010 广东中山）已知一元二次方程 022  mxx ． （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围； （2）若方程的两个实数根为 1x ， 2x ，且 1x +3 2x =3，求 m 的值。 【答案】解：（1）Δ=4-4m 因为方程有两个实数根 所以，4-4m≥0，即 m≤1 （2）由一元二次方程根与系数的关系，得 1x + 2x =2 又 1x +3 2x =3 所以， 2x = 2 1 再把 2x = 2 1 代入方程，求得 m = 4 3 12．（2010 北京）已知关于 x 的一元二次方程 x²-4x+m-1=0 有两个相等实数根，求的 m 值及 方程的根． 【答案】解:由题意可知△=0. 即(－4)2－4x(m－1)=0. 解得 m=5. 当时，原方程化为. x2－4x+4 =0 解得 x1=x2=2 所以原方程的根为 x1=x2=2。 13．（2010 四川乐山）从甲、乙两题中选做一题。如果两题都做，只以甲题计分． 题甲：若关于 x 的一元二次方程 012)2(2 22  kxkx 有实数根 、 ． （1） 求实数 k 的取值范围； （2） 设 kt   ，求 t 的最小值． 图（11） P Q D C BA 题乙：如图（11），在矩形 ABCD 中，P 是 BC 边上一点，连结 DP 并延长，交 AB 的延长线 于点 Q． （1） 若 3 1 PC BP ，求 AQ AB 的值； （2） 若点 P 为 BC 边上的任意一点，求证 1 BQ AB BP BC ． 我选做的是_______题． 【答案】题甲 解：（1）∵一元二次方程 012)2(2 22  kxkx 有实数根 、 ， ∴ 0 ， ………………………………………………………………………2 分 即 0)12(4)2(4 22  kk ， 解得 2k ．……………………………………………………………………4 分 （3）由根与系数的关系得： kk 24)]2(2[   ， ………………… 6 分 ∴ 2424  kk k kt  ， …………………………………………7 分 ∵ 2k ，∴ 0242  k ， ∴ 2244  k ， 即 t 的最小值为－4． ………………………………………………………10 分 题乙 （1）解：四边形 ABCD 为矩形， ∵AB=CD，AB∥DC，………………………………………………………………1 分 ∴△DPC ∽△QPB， ………………………………………………………………3 分 ∴ 3 1 CP PB DC BQ ， ∴ BQDC 3 ， 全品中考网 ∴ 4 3 3 3  BQBQ BQ BQ AB ． ………………………………………………………5 分 （2）证明：由△DPC ∽△QPB， 得 BP PC BQ DC  ，……………………………………………………………………6 分 ∴ BP PC BQ AB  ，……………………………………………………………………7 分 11  BQ AB BP PC BQ AB BP PCBP BQ AB BP BC ．…………………………10 分 14．（2010 四川绵阳）已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为 x1，x2． （1）求 m 的取值范围； （2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值． 【答案】（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根， ∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤ 2 1 ． （2） ∵ x1，x2 为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0 的两根， ∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且 m≤ 2 1 ． 因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m = 2 1 时，取得极小值 1． 15．（2010 湖北孝感）关于 x 的一元二次方程 1 2 01 xpxx 有两实数根 、 .2x （1）求 p 的取值范围；（4 分） （2）若 pxxxx 求,9)]1(2)][1(2[ 2211  的值.（6 分） 【答案】解：（1）由题意得： .0)1(4)1( 2  p …………2 分 解得： 4 5p …………4 分 （2）由 9)]1(2)][1(2[ 2211  xxxx 得， .9)2)(2( 2 22 2 11  xxxx …………6 分 .1,1 ,01,01 ,01, 2 22 2 11 2 2 21 2 1 2 21    pxxpxx pxxpxx pxxxx 的两实数根是方程 .9)1(,9)12)(12( 2  ppp 即 …………8 分 .4,2  pp 或 …………9 分 .4,4 5  ppp 的值为所求 …………10 分 说明：1．可利用 ,1,1 2121 xxxx  得 12 1 xx  代入原求值式中求解； 16．（2010 山东淄博）已知关于 x 的方程 014)3(2 22  kkxkx ． （1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值； （3）若以方程 014)3(2 22  kkxkx 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在 反比例函数 x my  的图象上，求满足条件的 m 的最小值． 【答案】解: （1）由题意得△＝     14432 22  kkk ≥0 化简得 102  k ≥0，解得 k≤5． （2）将 1 代入方程，整理得 2 6 6 0k k   ，解这个方程得 1 3 3k   ， 2 3 3k   . （3）设方程 014)3(2 22  kkxkx 的两个根为 1x ， 2x ， 根据题意得 1 2m x x ．又由一元二次方程根与系数的关系得 2 1 2 4 1x x k k   ， 那么   5214 22  kkkm ，所以，当 k＝2 时 m 取得最小值－5 17．（2010 广西玉林、防城港）（6 分）当实数 k 为何值时，关于 x 的方程 x 2 －4x＋3－k＝0 有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根。 【答案】⊿＝b 2 －4ac＝16－4（3－k）＝４＋4k 因方程有两个相等实数根，所以⊿＝0，故 4＋4k＝0 k＝－1，代入原方程得：x 2 －4x＋4＝0 x 1 ＝x 2 ＝2 18．（2010 重庆江津）在等腰△ABC中，三边分别为 a 、b 、c ，其中 5a  ，若关于 x 的 方程  2 2 6 0x b x b     有两个相等的实数根，求△ABC的周长． 【答案】解：根据题意得：△    22 4 6b b    2 8 20 0b b    解得： 2b  或 10b   （不合题意，舍去） ∴ 2b  ………………………………………………………………………………４分 （1）当 2c b  时， 4 5b c   ，不合题意 （2）当 5c a  时， 12a b c   ……………………６分 19．（2010 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）解方程：2x2-7x+6=0 【答案】解： 032 72  xx 16 49316 49 2 72  xx 16 1)4 7( 2 x 4 1 4 7 x 21 x 2 3 2 x 20．（2010 广东茂名）已知关于 x 的一元二次方程 2 26 0x x k   （ k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设 1x ， 2x 为方程的两个实数根，且 1 22 14x x  ，试求出方程的两个实数根和 k 的 值． 【答案】解：（1） 0436)(14)6(4 2222  kkacb ，·················2 分 因此方程有两个不相等的实数根．·································3 分 （2） 1 2 6 61 bx x a       ，·····································4 分 又 1 22 14x x  ， 解方程组： 1 2 1 2 6, 2 14,x x x x      解得： 2 1 8. 2,x x      ·····················5 分 方法一：将 21 x 代入原方程得： 0)2(6)2( 22  k ，················6 分 解得： 4k ．·················································7 分 方法二：将 21 xx 和 代入 1 2 cx x a  ，得： 182 2k ，······················6 分 解得： 4k ．·················································7 分 21．（2010 广东佛山）教材或资料会出现这样的题目：把方程 21 22 x x  化为一元二次方 程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项。 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答。 （1）下列式子中，有哪几个是方程 21 22 x x  所化的一元二次方程的一般形式？（答案 只写序号） 。 ① 21 2 02 x x   ② 21 2 02 x x    ③ 2 2 4x x  ④ 2 2 4 0x x    ⑤ 23 2 3 4 3 0x x   （2）方程 21 22 x x  化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、 常数项之间具有什么关系？ 【答案】解：（1）答：①②④⑤ （每个 1 分）…………………………………………………4 分 （2）若说它的二次系数为 a（a≠0），则一次项系数为-2a、常数项为-2a……………6 分. 22．（2010 天门、潜江、仙桃）已知方程 x2-4x+m=0 的一个根为－2，求方程的另一根及 m 的值. 【答案】把 x=-2 代入原方程得 4+8+m=0，解得 m=-12.把 m=-12 代入原方程，得 x2-4x-12=0， 解得 x1=-2，x2=6，所以方程的另一根为 6，m=-12.