2018有关中考数学试题分类汇编压轴题6

2018有关中考数学试题分类汇编压轴题6

‎(第24题图)‎ ‎(第24题备用图)‎ ‎24、（茂名市本题满分8分）如图，在直角坐标系O中，正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上，点B坐标为（6，6），抛物线经过点A、B两点，且．‎ ‎（1）求，，的值； （3分） ‎ ‎（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为S．‎ ‎①试求出S与之间的函数关系式，并求出S的最大值； （2分） ‎ ‎②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3分） ‎ 解：（1）由已知A（0，6）、B（6，6）在抛物线上，‎ 得方程组： ······1分 解得： ·············3分 ‎（2）①运动开始秒时，EB＝，BF＝，‎ S＝，··········4分 因为，‎ 所以当时，S有最大值．··················5分 ‎②当S取得最大值时，由①知，所以BF＝3，CF＝3，EB＝6-3＝3．‎ 若存在某点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，‎ 则，即可得R1为（9，3）、（3，3）；··················6分 或者，可得R2为（3，9）．·························7分 再将所求得的三个点代入，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R1（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形．············8分 ‎25、（茂名市本题满分8分）已知⊙O1的半径为R，周长为C．‎ ‎（第25题备用图）‎ ‎（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++< C； （3分）‎ ‎（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．‎ ‎①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）‎ ‎②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，‎ 求的取值范围． （3分）‎ 解：‎ ‎（1）证明：，，．++，2分 因此，++< C．··········································3分 ‎（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，‎ ‎∴点N的坐标为N（R，），················4分 把点N坐标代入得：，解得：，··········5分 ‎②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．‎ 过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，‎ 因此点A的坐标是A，将点A的坐标 代入，解得：．·····································6分 同理可求得点D的坐标为D，‎ 将点D的坐标代入，解得： ······7分 所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：······················· 8分 ‎25．（湘西自治州 本题20分）如图，已知抛物线经过点和，‎ ‎ （1）求出抛物线的解析式；‎ ‎ （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；‎ ‎ （3）点P(m，m) 与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴 对称，求m的值及点Q的坐标;‎ ‎ （4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小.‎ 解：（1）依题意有 ‎ 即 ……2分 ‎ ……4分 ‎ ∴抛物线的解析式为：……5分 ‎ （2）把配方得，‎ ‎ ∴对称轴方程为 ……7分 ‎ 顶点坐标 ……10分 ‎ （3）由点在抛物线上 ‎ 有 ……12分 ‎ 即 ‎ ∴ 或（舍去） ……13分 ‎ ∴‎ ‎ ∵点、均在抛物线上，且关于对称轴对称 ‎ ∴ ……15分 ‎ （4）连接，直线与对称轴相交于点 ‎ 由于两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点，能够使 得△‎ 的周长最小. ……17分 ‎ 设直线的解析式 ‎ ∴有 ∴‎ ‎ ∴直线的解析式为： ……18分 ‎ 设点 ‎ 则有 ……19分 ‎ 此时点能够使得△的周长最小. ……20分 ‎26．（湘潭市 本题满分10分）‎ ‎　　如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．‎ 1． 求点C的坐标和抛物线的解析式；‎ 2． 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；‎ 3． 抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎26题图 解：（1）A（6，0），B（0，6） ……………………1分 连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，‎ 所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．‎ 过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．‎ 又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3） ……………………2分 抛物线过点O，所以c=0,‎ 又抛物线过点A、C，所以，解得： ‎ 所以抛物线解析式为 　 　…………………3分 ‎（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 　 ……………………4分 ‎ 所以OD=OB=OA，∠DBA=90o． 　 ……………………5分 ‎ 又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 　 ……………………6分 ‎（通过证相似三角形得出亦可）‎ ‎（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,‎ 要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，‎ 则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o, ……………………7分 若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．‎ 又AP过点A（6，0），则b=－6, ……………………8分 方程y=x－6与联立解得：，， ‎ ‎ 故点P1坐标为（－3，－9） ……………………9分 ‎ 若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）‎ ‎ (用抛物线的对称性求出亦可)‎ ‎ 故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．…………10分 ‎28．(甘肃省 本小题满分12分)如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？‎ ‎（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设该抛物线的解析式为，‎ 由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知. ‎ 即抛物线的解析式为． ………………………1分 把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 ‎ 解得.‎ ‎∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3． ……………………………………………3分 ‎∴ 顶点D的坐标为. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分.‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：‎ 过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.‎ 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ . …………………………6分 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ . …………………………7分 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ . …………………………8分 ‎∴ ， 故△BCD为直角三角形. …………………………9分 ‎（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． ………10分 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，‎ 求得符合条件的点为． …………………………………………11分 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，‎ 求得符合条件的点为P2（9，0）． …………………………………………12分 ‎ ∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.‎ ‎26．（桂林市 本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； ‎ ‎（2）求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解（1）C（4，） ……………………………2分 的取值范围是：0≤≤4 ……………………………… 3分 ‎（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）‎ ‎∴DE=-= ……………………4分 ‎∴等边△DEF的DE边上的高为： ‎ ‎∴当点F在BO边上时：=，∴=3 ……………………5分 当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- …7分 S=‎ ‎=‎ ‎= ………………………………8分 当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形 S= ………………… 9分 ‎= ……………………10分 ‎（3）存在，P（，0） ……………………12分 说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4‎ ‎∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,‎ 若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0） ‎ ‎30. (江西省南昌市)‎ 课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．‎ 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．‎ ‎（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；‎ ‎（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；‎ 归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（）．‎ ‎（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；‎ ‎（4）试猜想在正n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）， ， . 3分 ‎ 说明：每写对一个给1分.‎ ‎ （2）存在.下面就所选图形的不同分别给出证明： ‎ ‎ 选图1.图1中有直线垂直平分，证明如下：‎ 图1‎ ‎ 方法一：‎ ‎ 证明：∵与是全等的等边三角形，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又∵.‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴.∴点H在线段的垂直平分线上.‎ 又∵，∴点在线段的垂直平分线上 ‎∴直线垂直平分 8分 方法二：‎ 证明：∵与是全等的等边三角形，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又.‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴.‎ 在与中 ‎∵，，‎ ‎∴≌.∴‎ ‎∴是等腰三角形的顶角平分线.‎ ‎∴直线垂直平分. 8分 选图2.图2中有直线垂直平分，证明如下：‎ 图2‎ ‎ ∵‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴.∴点H在线段的垂直平分线上.‎ 又∵，∴点在线段的垂直平分线上 ‎∴直线垂直平分. 8分 说明：（ⅰ）在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分；‎ ‎（ⅱ）选择图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.‎ ‎ (3)当为奇数时，，‎ ‎ 当为偶数时， 10分 ‎ （4）存在.当为奇数时，直线垂直平分，‎ ‎ 当为偶数时，直线垂直平分. 12分 ‎26．（山东省泰安市 本小题满分10分）‎ 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.‎ 解：（1）证明：连结AD、OD ‎∵AC是直径 ‎∴AD⊥BC （2分）‎ ‎∵AB=AC ‎∴D是BC的中点 又∵O是AC的中点 ‎∴OD//AB （4分）‎ ‎∵DE⊥AB ‎∴OD⊥DE ‎∴DE是⊙O的切线 （6分）‎ ‎ （2）由（1）知OD//AE ‎∴ （8分）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解得FC=2‎ ‎∴AF=6‎ ‎∴cosA= （10分）‎ ‎23．（深圳市本题9分）如图10，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．‎ ‎ （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）‎ ‎（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3分）‎ ‎（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．（3分）‎ ‎ ‎x D A B H C E M O F 图10‎ x y D A B H C E M O 图11‎ P Q x y D A B H C E M O F 图12‎ N K y 解：‎ ‎（1）、如图4，OE=5，，CH=2‎ ‎（2）、如图5，连接QC、QD，则，‎ F 图6‎ ‎1‎ 易知，故，‎ ‎，，由于，‎ ‎；‎ ‎（3）、如图6，连接AK，AM，延长AM，‎ 与圆交于点G，连接TG，则 ‎，‎ 由于，故，；‎ 而，故 在和中，；‎ 故；‎ ‎;‎ 即：‎ 故存在常数，始终满足 常数 ‎25、（天津市 本小题10分） ‎ 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、‎ 轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.‎ 温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时△的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.‎ ‎（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.‎ 解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.‎ 若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.‎ y B O D C A x E 由，‎ 可知△的周长最小.‎ ‎∵ 在矩形中，，，为的中点，‎ ‎∴ ，，.‎ ‎∵ OE∥BC，‎ ‎∴ Rt△∽Rt△，有.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.‎ ‎∵ GC∥EF，，‎ y B O D C A x E G F ‎∴ 四边形为平行四边形，有.‎ 又 、的长为定值，‎ ‎∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. ‎ ‎∵ OE∥BC，‎ ‎∴ Rt△∽Rt△, 有 .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎26、（天津市 本小题10分） ‎ 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.‎ ‎（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足 S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；‎ ‎（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足 S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.‎ 解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.‎ ‎∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，‎ ‎∴ 抛物线的解析式为（）．‎ ‎∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．‎ ‎∵ 方程的两个根为，，‎ ‎∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．‎ 如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．‎ ‎∵ S△BCE = S△ABC，‎ ‎∴ S△BCF = S△ABC．‎ E y x F B D A O C ‎∴ ．‎ 设对称轴与轴交于点，‎ 则．‎ 由EF∥CB，得．‎ ‎∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．‎ ‎∴ ．结合题意，解得 ．‎ ‎∴ 点，．‎ ‎26.( 大连市)如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC ‎（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）‎ O C A B D x 图17‎ 解：（1）结论：是直角三角形. 1分 由题意：‎ 令 解得 点的坐标分别为 设与轴相交于点，在和中 是直角三角形 2分 ‎（2）由题意，，设点的坐标为 ‎ 3分 ‎ 4分 设为的中点，则点的坐标为 为直角三角形 ‎ 5分 即 6分 ‎ 7分 ‎（舍去） 8分 ‎（3）依题意，点与点重合 在抛物线的对称轴上，与关于轴对称 轴 四边形是平行四边形 9分 在中 与关于轴对称 为等边三角形 10分 ‎ 11分 ‎ 12分 设直线的解析式为，则 ‎ 解得 ‎ ‎∴ 直线的解析式为. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）‎ 则抛物线的解析式为，‎ 此时，抛物线与轴的交点为，‎ 与轴的交点为，.（）‎ 过点作EF∥CB与轴交于点，连接，‎ 则S△BCE = S△BCF.‎ 由S△BCE = 2S△AOC，‎ ‎∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.‎ 设该抛物线的对称轴与轴交于点.‎ 则 .‎ 于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．‎ ‎∴ ，即．‎ 结合题意，解得 ． ① ‎ ‎∵ 点在直线上，有． ② ‎ ‎∴ 由①②，结合题意，解得．‎ 有，．‎ ‎∴ 抛物线的解析式为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎28．(徐州市 本题10分)如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．‎ ‎ (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；‎ ‎ (2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎ (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?‎