中考数学真题分类汇编第二期专题34尺规作图试题含解析

中考数学真题分类汇编第二期专题34尺规作图试题含解析

尺规作图 一.选择题 ‎1. （2018·湖北襄阳·3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）‎ A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm ‎【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，‎ ‎∴DA=DC，AE=EC=6cm，‎ ‎∵AB+AD+BD=13cm，‎ ‎∴AB+BD+DC=13cm，‎ ‎∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．‎ ‎2. （2018·湖南郴州·3分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（　　）‎ A．6 B．2 C．3 D．‎ ‎【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，‎ 由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，‎ 则∠POB=×60°=30°，‎ ‎∴ME=OM=3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．‎ A. r 　　　 B. （1+）r 　　 C. （1+）r 　　　 D. r ‎【答案】D ‎【解析】分析：如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；‎ 详解：如图连接CD，AC，DG，AG．‎ ‎3. （2018•湖州•3分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：‎ ‎①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；‎ ‎②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；‎ ‎③连结OG．‎ 问：OG的长是多少？‎ 大臣给出的正确答案应是（　　）‎ ‎∵AD是⊙O直径，‎ ‎∴∠ACD=90°，‎ 在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，‎ ‎∴AC=r，‎ ‎∵DG=AG=CA，OD=OA，‎ ‎∴OG⊥AD，‎ ‎∴∠GOA=90°，‎ ‎∴OG=r，‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．‎ ‎4. （2018•嘉兴•3分）用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是（ ）‎ A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由作图，可以证明A.B.D中四边形ABCD是菱形，C中ABCD是平行四边形，即可得到结论．‎ 详解：A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确；‎ B．由作图可知：AD=AB=BC．‎ ‎∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确；‎ C．由作图可知AB.CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误；‎ D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．‎ ‎∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的．‎ ‎5. （2018•贵州安顺•3分） 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB 的中垂线才能满足这个条件，故D正确．‎ 详解：D选项中作的是AB的中垂线，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∵PB+PC=BC，‎ ‎∴PA+PC=BC 故选D．‎ 点睛：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出PA=PB．‎ 二.填空题 ‎1.（2018•江苏淮安•3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A.B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　　．‎ ‎【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：连接AD．‎ ‎∵PQ垂直平分线段AB，‎ ‎∴DA=DB，设DA=DB=x，‎ 在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，‎ ‎∴x2=32+（5﹣x）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴CD=BC﹣DB=5﹣=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．‎ ‎2.（2018•山东东营市•3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是　15　．‎ ‎【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，‎ 由作图知CP是∠ACB的平分线，‎ ‎∵∠B=90°，BD=3，‎ ‎∴DB=DQ=3，‎ ‎∵AC=10，‎ ‎∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．‎ ‎3. （2018•湖州•4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是　13或49　（不包括5）．‎ ‎【分析】当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．‎ ‎【解答】解：当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．‎ 当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．‎ 故答案为13或49．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．‎ 三.解答题 ‎1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·5分）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．‎ ‎（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；‎ ‎（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．‎ ‎【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；‎ ‎（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，射线OP即为所求．‎ ‎（2）如图所示，点C即为所求；‎ ‎【点评】本题考查作图﹣应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎2.（2018•江苏无锡•10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．‎ ‎（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）‎ ‎（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．‎ ‎【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；‎ ‎（2）分两种情形分别求解即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；‎ ‎（2）解：这样的直线不唯一．‎ ‎①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y=﹣x+．‎ ‎②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y=﹣x+4．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎3.（2018•广东•6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，‎ ‎（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．‎ ‎【分析】（1）分别以A.B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；‎ ‎（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．‎ ‎∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，‎ ‎∴∠C=∠A=30°，‎ ‎∵EF垂直平分线线段AB，‎ ‎∴AF=FB，‎ ‎∴∠A=∠FBA=30°，‎ ‎∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．‎ ‎4.（2018•广西贵港•5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．‎ ‎【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎△ABC为所求作 ‎【点评】本题考查尺规作图，解题的关键是熟练运用尺规作图的基本方法，本题属于中等题型．‎