山东省德州市中考数学试卷word解析版

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山东省德州市中考数学试卷word解析版

‎2017年山东省德州市中考数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)‎ ‎1.(3分)(2017•衢州)﹣2的倒数是(  )‎ A.﹣ B. C.﹣2 D.2‎ ‎【分析】根据倒数的定义即可求解.‎ ‎【解答】解:﹣2的倒数是﹣.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2017•德州)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ ‎【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解.‎ ‎【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;‎ B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;‎ C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;‎ D、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. ‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2017•德州)2016年,我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩突出,两项工程累计开工面积达477万平方米,各项指标均居全省前列,477万用科学记数法表示正确的是(  )‎ A.4.77×105 B.47.7×105 C.4.77×106 D.0.477×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:477万用科学记数法表示4.77×106.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2017•德州)如图,两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道,则其俯视图正确的是(  )‎ ‎【分析】俯视图是从物体的上面看,所得到的图形.‎ ‎【解答】解:两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道的俯视图是矩形和圆的组合图,且圆位于矩形的中心位置,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2017•德州)下列运算正确的是(  )‎ A.(a2)m=a2m B.(2a)3=2a3 C.a3•a﹣5=a﹣15 D.a3÷a﹣5=a﹣2‎ ‎【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.‎ ‎【解答】解:(B)原式=8a3,故B不正确;‎ ‎(C)原式=a﹣2,故C不正确;‎ ‎(D)原式=a8,故D不正确;‎ 故选(A)‎ ‎【点评】本题考查整式的运算,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2017•德州)某专卖店专营某品牌的衬衫,店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下: ‎ 尺码 ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎43‎ 平均每天销售数量/件 ‎10‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎12‎ ‎12‎ 该店主决定本周进货时,增加了一些41码的衬衫,影响该店主决策的统计量是(  )‎ A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数 ‎【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量;方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量.销量大的尺码就是这组数据的众数.‎ ‎【解答】解:由于众数是数据中出现次数最多的数,故影响该店主决策的统计量是众数.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2017•德州)下列函数中,对于任意实数x1,x2,当x1>x2时,满足y1<y2的是(  )‎ A.y=﹣3x+2 B.y=2x+1 C.y=2x2+1 D.y=﹣‎ ‎【分析】A、由k=﹣3可得知y随x值的增大而减小;B、由k=2可得知y随x值的增大而增大;C、由a=﹣2可得知:当x<0时,y随x值的增大而增大,当x>0时,y随x值的增大而减小;D、由k=﹣1可得知:当x<0时,y随x值的增大而增大,当x>0时,y随x值的增大而增大.此题得解.‎ ‎【解答】解:A、y=﹣3x+2中k=﹣3,‎ ‎∴y随x值的增大而减小,‎ ‎∴A选项符合题意;‎ B、y=2x+1中k=2,‎ ‎∴y随x值的增大而增大,‎ ‎∴B选项不符合题意;‎ C、y=﹣2x2+1中a=﹣2,‎ ‎∴当x<0时,y随x值的增大而增大,当x>0时,y随x值的增大而减小,‎ ‎∴C选项不符合题意;‎ D、y=﹣中k=﹣1,‎ ‎∴当x<0时,y随x值的增大而增大,当x>0时,y随x值的增大而增大,‎ ‎∴D选项不符合题意.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质,根据一次(二次、反比例)函数的性质,逐一分析四个选项中y与x之间的增减性是解题的关键. ‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2017•德州)不等式组的解集是(  )‎ A.x≥﹣3 B.﹣3≤x<4 C.﹣3≤x<2 D.x>4‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.‎ ‎【解答】解:解不等式2x+9≥3,得:x≥﹣3,‎ 解不等式>x﹣1,得:x<4,‎ ‎∴不等式组的解集为﹣3≤x<4,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等 式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2017•德州)公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度,L0代表弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示,K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度,用厘米(cm)表示.下面给出的四个公式中,表明这是一个短而硬的弹簧的是(  )‎ A.L=10+0.5P B.L=10+5P C.L=80+0.5P D.L=80+5P ‎【分析】A和B中,L0=10,表示弹簧短;A和C中,K=0.5,表示弹簧硬,由此即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵10<80,0.5<5,‎ ‎∴A和B中,L0=10,表示弹簧短;A和C中,K=0.5,表示弹簧硬,‎ ‎∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用,比较L0和K的值,找出短而硬的弹簧是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2017•德州)某校美术社团为练习素描,他们第一次用120元买了若干本资料,第二次用240元在同一商家买同样的资料,这次商家每本优惠4元,结果比上次多买了20本,求第一次买了多少本资料?若设第一次买了x本资料,列方程正确的是(  )‎ A.﹣=4 B.﹣=4‎ C.﹣=4 D.﹣=4‎ ‎【分析】由设第一次买了x本资料,则设第二次买了(x+20)本资料,由等量关系:第二次比第一次每本优惠4元,即可得到方程.‎ ‎【解答】解:设他上月买了x本笔记本,则这次买了(x+20)本,‎ 根据题意得:﹣=4.‎ 故选D.‎ ‎【点评】‎ 此题考查了由实际问题抽象出分式方程.找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2017•德州)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),M在BC边上,且BM=b,连接AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转至△NGF,给出以下五个结论:①∠MAD=∠AND;②CP=b﹣;③△ABM≌△NGF;④S四边形AMFN=a2+b2;⑤A,M,P,D四点共圆,其中正确的个数是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°,根据旋转的性质得到∴∠NAD=∠BAM,∠AND=∠AMB,根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°,等量代换得到∠DAM=∠AND,故①正确;‎ ‎②根据正方形的性质得到PC∥EF,根据相似三角形的性质得到CP=b﹣;故②正确;‎ ‎③根据旋转的性质得到GN=ME,等量代换得到AB=ME=NG,根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF;故③正确;‎ ‎④由旋转的性质得到AM=AN,NF=MF,根据全等三角形的性质得到AM=NF,推出四边形AMFN是矩形,根据余角的想知道的∠NAM=90°,推出四边形AMFN是正方形,于是得到S四边形AMFN=AM2=a2+b2;故④正确;‎ ‎⑤根据正方形的性质得到∠AMP=90°,∠ADP=90°,得到∠ABP+∠ADP=180°,于是推出A,M,P,D四点共圆,故⑤正确.‎ ‎【解答】解:①∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°,‎ ‎∴∠BAM+∠DAM=90°,‎ ‎∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,‎ ‎∴∠NAD=∠BAM,∠AND=∠AMB,‎ ‎∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°,‎ ‎∴∠DAM=∠AND,故①正确;‎ ‎②∵四边形CEFG是正方形,‎ ‎∴PC∥EF,‎ ‎∴△MPC∽△EMF,‎ ‎∴,‎ ‎∵大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),BM=b,‎ ‎∴EF=b,CM=a﹣b,ME=(a﹣b)+b=a,‎ ‎∴,‎ ‎∴CP=b﹣;故②正确;‎ ‎③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF,‎ ‎∴GN=ME,‎ ‎∵AB=a,ME=a,‎ ‎∴AB=ME=NG,‎ 在△ABM与△NGF中,,‎ ‎∴△ABM≌△NGF;故③正确;‎ ‎④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,‎ ‎∴AM=AN,‎ ‎∵将△MEF绕点F旋转至△NGF,‎ ‎∴NF=MF,‎ ‎∵△ABM≌△NGF,‎ ‎∴AM=NF,‎ ‎∴四边形AMFN是矩形,‎ ‎∵∠BAM=∠NAD,‎ ‎∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°,‎ ‎∴∠NAM=90°,‎ ‎∴四边形AMFN是正方形,‎ ‎∵在Rt△ABM中,a2+b2=AM2,‎ ‎∴S四边形AMFN=AM2=a2+b2;故④正确;‎ ‎⑤∵四边形AMFN是正方形,‎ ‎∴∠AMP=90°,‎ ‎∵∠ADP=90°,‎ ‎∴∠ABP+∠ADP=180°,‎ ‎∴A,M,P,D四点共圆,故⑤正确.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了四点共圆,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,正方形的性质旋转的性质,勾股定理,正确的理解题意是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2017•德州)观察下列图形,它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图1);对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,…将这种做法继续下去(如图2,图3…),则图6中挖去三角形的个数为(  )‎ A.121 B.362 C.364 D.729‎ ‎【分析】根据题意找出图形的变化规律,根据规律计算即可.‎ ‎【解答】解:图1挖去中间的1个小三角形,‎ 图2挖去中间的(1+3)个小三角形,‎ 图3挖去中间的(1+3+32)个小三角形,‎ ‎…‎ 则图6挖去中间的(1+3+32+33+34+35)个小三角形,即图6挖去中间的364个小三角形,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化,掌握图形的变化规律是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)‎ ‎13.(4分)(2017•德州)计算:﹣=  .‎ ‎【分析】原式化简后,合并即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=2﹣=,‎ 故答案为:‎ ‎【点评】此题考查了二次根式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2017•德州)如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法,其理由是 同位角相等,两直线平行 .‎ ‎【分析】过直线外一点作已知直线的平行线,只有满足同位角相等,才能得到两直线平行.‎ ‎【解答】解:由图形得,有两个相等的同位角存在,‎ 所以依据:同位角相等,两直线平行,即可得到所得的直线与已知直线平行.‎ 故答案为:同位角相等,两直线平行.‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的判定,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2017•德州)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的解为 1或 .‎ ‎【分析】移项后分解因式得到(x﹣1)(3x﹣2)=0,推出方程x﹣1=0,3x﹣2=0,求出方程的解即可.‎ ‎【解答】解:3x(x﹣1)=2(x﹣1),‎ 移项得:3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)=0,‎ 即(x﹣1)(3x﹣2)=0,‎ ‎∴x﹣1=0,3x﹣2=0,‎ 解方程得:x1=1,x2=.‎ 故答案为:1或.‎ ‎【点评】本题主要考查对解一元一次方程,等式的性质,解一元二次方程等知识点的理解和掌握,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2017•德州)淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生,在5月分进行的物理、化学、生物实验技能考试中,考试科目要求三选一,并且采取抽签方式取得,那么他们两人都抽到物理实验的概率是  .‎ ‎【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出淘淘与丽丽同学同时抽到物理的结果数,然后根据概率公式求解即可.‎ ‎【解答】解:画树状图为:‎ 因为共有9种等可能的结果数,其中淘淘与丽丽同学同时抽到物理物的结果数为1,所以他们两人都抽到物理实验的概率是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.‎ ‎ ‎ ‎17.(4分)(2017•德州)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为  .‎ ‎【分析】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体,其和就是透光的面积,再计算矩形的面积,相比可得结果.‎ ‎【解答】解:设⊙O与矩形ABCD的另一个交点为M,‎ 连接OM、OG,则M、O、E共线,‎ 由题意得:∠MOG=∠EOF=45°,‎ ‎∴∠FOG=90°,且OF=OG=1,‎ ‎∴S透明区域=+2××1×1=+1,‎ 过O作ON⊥AD于N,‎ ‎∴ON=FG=,‎ ‎∴AB=2ON=2×=,‎ ‎∴S矩形=2×=2,‎ ‎∴==.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积、直角三角形的面积,将透光部分化分为几个熟知图形的面积是关键. ‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共64分)‎ ‎18.(6分)(2017•德州)先化简,再求值:÷﹣3,其中a=.‎ ‎【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入即可解答本题.‎ ‎【解答】解:÷﹣3‎ ‎=‎ ‎=a﹣3,‎ 当a=时,原式=.‎ ‎【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2017•德州)随着移动终端设备的升级换代,手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分,为了解中学生在假期使用手机的情况(选项:A.和同学亲友聊天;B.学习;C.购物;D.游戏;E.其它),端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查,得到如下图表(部分信息未给出):‎ 选项 频数 频率 A ‎10‎ m B n ‎0.2‎ C ‎5‎ ‎0.1‎ D p ‎0.4‎ E ‎5‎ ‎0.1‎ 根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)这次被调查的学生有多少人?‎ ‎(2)求表中m,n,p的值,并补全条形统计图.‎ ‎(3)若该中学约有800名学生,估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人?并根据以上调查结果,就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议.‎ ‎【分析】(1)根据C的人数除以C所占的百分比,可得答案;‎ ‎(2)根据人数比抽查人数,所占的百分比乘以抽查人数,可得答案;‎ ‎(3)根据样本估计总体,可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)从C可看出5÷0.1=50人,‎ 答:次被调查的学生有50人;‎ ‎(2)m==0.2,n=0.2×50=10,p=0.4×50=20,‎ ‎,‎ ‎(3)800×(0.1+0.4)=800×0.5=400人,‎ 答:全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有400人,可利用手机学习.‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2017•德州)如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的⊙O交AB于点E.‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE的长.‎ ‎【分析】(1)求出∠OED=∠BCA=90°,根据切线的判定得出即可;‎ ‎(2)求出△BEC∽△BCA,得出比例式,代入求出即可.‎ ‎【解答】(1)证明:‎ 连接OE、EC,‎ ‎∵AC是⊙O的直径,‎ ‎∴∠AEC=∠BEC=90°,‎ ‎∵D为BC的中点,‎ ‎∴ED=DC=BD,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∵OE=OC,‎ ‎∴∠3=∠4,‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠4,‎ 即∠OED=∠ACB,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠OED=90°,‎ ‎∴DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:由(1)知:∠BEC=90°,‎ ‎∵在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B=∠B,∠BEC=∠BCA,‎ ‎∴△BEC∽△BCA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BC2=BE•BA,‎ ‎∵AE:EB=1:2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x,‎ ‎∵BC=6,‎ ‎∴62=2x•3x,‎ 解得:x=,‎ 即AE=.‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定,能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键. ‎ ‎ ‎ ‎21.(10分)(2017•德州)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒,已知∠B=30°,∠C=45°.‎ ‎(1)求B,C之间的距离;(保留根号)‎ ‎(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)‎ ‎【分析】(1)如图作AD⊥BC于D.则AD=10m,汽车CD、BD即可解决问题.‎ ‎(2)汽车汽车的速度,即可解决问题,注意统一单位;‎ ‎【解答】解:(1)如图作AD⊥BC于D.则AD=10m,‎ 在Rt△ACD中,∵∠C=45°,‎ ‎∴AD=CD=10m,‎ 在Rt△ABD中,∵∠B=30°,‎ ‎∴tan30°=,‎ ‎∴BD=AD=10m,‎ ‎∴BC=BD+DC=(10+10)m.‎ ‎(2)结论:这辆汽车超速.‎ 理由:∵BC=10+1027m,‎ ‎∴汽车速度==30m/s=108km/h,‎ ‎∵108>80,‎ ‎∴这辆汽车超速.‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用,锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2017•德州)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.‎ ‎(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;‎ ‎(2)求出水柱的最大高度的多少?‎ ‎【分析】(1)以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)‎ ‎2+h,代入(0,2)和(3,0)得出方程组,解方程组即可,‎ ‎(2)求出当x=1时,y=即可.‎ ‎【解答】解:(1)如图所示:以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,‎ 设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)2+h,‎ 代入(0,2)和(3,0)得:,‎ 解得:,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣1)2+;‎ 即y=﹣x2+x+2(0≤x≤3);‎ ‎(2)y=﹣x2+x+2(0≤x≤3),‎ 当x=1时,y=,‎ 即水柱的最大高度为m.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用,重点是二次函数解析式的求法,利用顶点式求出解析式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2017•德州)如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于F,连接BF.‎ ‎(1)求证:四边形BFEP为菱形;‎ ‎(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动;‎ ‎①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长;‎ ‎②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.‎ ‎【分析】(1)由折叠的性质得出PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF,由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP,证出∠EPF=∠EFP,得出EP=EF,因此BP=BF=EF=EP,即可得出结论;‎ ‎(2)①由矩形的性质得出BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°,由对称的性质得出CE=BC=5cm,在Rt△CDE中,由勾股定理求出DE=4cm,得出AE=AD﹣DE=1cm;在Rt△APE中,由勾股定理得出方程,解方程得出EP=cm即可;‎ ‎②当点Q与点C重合时,点E离点A最近,由①知,此时AE=1cm;当点P与点A重合时,点E离点A最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3cm,即可得出答案.‎ ‎【解答】(1)证明:∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,‎ ‎∴点B与点E关于PQ对称,‎ ‎∴PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF,‎ 又∵EF∥AB,‎ ‎∴∠BPF=∠EFP,‎ ‎∴∠EPF=∠EFP,‎ ‎∴EP=EF,‎ ‎∴BP=BF=EF=EP,‎ ‎∴四边形BFEP为菱形;‎ ‎(2)解:①∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°,‎ ‎∵点B与点E关于PQ对称,‎ ‎∴CE=BC=5cm,‎ 在Rt△CDE中,DE==4cm,‎ ‎∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm;‎ 在Rt△APE中,AE=1,AP=3﹣PB=3﹣PE,‎ ‎∴EP2=12+(3﹣EP)2,‎ 解得:EP=cm,‎ ‎∴菱形BFEP的边长为cm;‎ ‎②当点Q与点C重合时,如图2:‎ 点E离点A最近,由①知,此时AE=1cm;‎ 当点P与点A重合时,如图3所示:‎ 点E离点A最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3cm,‎ ‎∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.‎ ‎【点评】本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识;本题综合性强,有一定难度.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2017•德州)有这样一个问题:探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=(k≠0)的图象性质.‎ 小明根据学习函数的经验,对函数y=x与y=,当k>0时的图象性质进行了探究.‎ 下面是小明的探究过程:‎ ‎(1)如图所示,设函数y=x与y=图象的交点为A,B,已知A点的坐标为(﹣k,﹣1),则B点的坐标为 (k,1) ;‎ ‎(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.‎ ‎①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.‎ 证明过程如下,设P(m,),直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).‎ 则,‎ 解得 ‎ ‎﹣1 ‎ ‎∴直线PA的解析式为 y=x+﹣1 ‎ 请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.‎ ‎②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时,判断△PAB的形状,并用k表示出△PAB的面积.‎ ‎【分析】(1)根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标;‎ ‎(2)①设P(m,‎ ‎),根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标,过点P作PH⊥x轴于H,由点P的坐标可得出点H的坐标,进而即可求出MH的长度,同理可得出HN的长度,再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN;‎ ‎②根据①结合PH、MH、NH的长度,可得出△PAB为直角三角形,分k>1和0<k<1两种情况,利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积.‎ ‎【解答】解:(1)由正、反比例函数图象的对称性可知,点A、B关于原点O对称,‎ ‎∵A点的坐标为(﹣k,﹣1),‎ ‎∴B点的坐标为(k,1).‎ 故答案为:(k,1).‎ ‎(2)①证明过程如下,设P(m,),直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).‎ 则,‎ 解得:,‎ ‎∴直线PA的解析式为y=x+﹣1.‎ 当y=0时,x=m﹣k,‎ ‎∴M点的坐标为(m﹣k,0).‎ 过点P作PH⊥x轴于H,如图1所示,‎ ‎∵P点坐标为(m,),‎ ‎∴H点的坐标为(m,0),‎ ‎∴MH=xH﹣xM=m﹣(m﹣k)=k.‎ 同理可得:HN=k.‎ ‎∴MH=HN,‎ ‎∴PM=PN.‎ 故答案为:;y=x+﹣1.‎ ‎②由①可知,在△PMN中,PM=PN,‎ ‎∴△PMN为等腰三角形,且MH=HN=k.‎ 当P点坐标为(1,k)时,PH=k,‎ ‎∴MH=HN=PH,‎ ‎∴∠PMH=∠MPH=45°,∠PNH=∠NPH=45°,‎ ‎∴∠MPN=90°,即∠APB=90°,‎ ‎∴△PAB为直角三角形.‎ 当k>1时,如图1,‎ S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM,‎ ‎=MN•PH﹣ON•yB+OM•|yA|,‎ ‎=×2k×k﹣(k+1)×1+(k﹣1)×1,‎ ‎=k2﹣1;‎ 当0<k<1时,如图2,‎ S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM,‎ ‎=ON•yB﹣k2+OM•|yA|,‎ ‎=(k+1)×1﹣k2+(1﹣k)×1,‎ ‎=1﹣k2.‎ ‎【点评】本题考查了正(反)比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积,解题的关键是:(1)根据正、反比例函数图象结合点A的坐标求出点B的坐标;(2)①利用等腰三角形的三线合一证出PM=PN;②分k>1和0<k<1两种情况求出△PAB的面积.‎
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