山东省德州市中考数学试卷word解析版

山东省德州市中考数学试卷word解析版

‎2017年山东省德州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）（2017•衢州）﹣2的倒数是（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】根据倒数的定义即可求解．‎ ‎【解答】解：﹣2的倒数是﹣．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•德州）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． ‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•德州）2016年，我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面积达477万平方米，各项指标均居全省前列，477万用科学记数法表示正确的是（　　）‎ A．4.77×105 B．47.7×105 C．4.77×106 D．0.477×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：477万用科学记数法表示4.77×106.‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•德州）如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道，则其俯视图正确的是（　　）‎ ‎【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道的俯视图是矩形和圆的组合图，且圆位于矩形的中心位置，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•德州）下列运算正确的是（　　）‎ A．（a2）m=a2m B．（2a）3=2a3 C．a3•a﹣5=a﹣15 D．a3÷a﹣5=a﹣2‎ ‎【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（B）原式=8a3，故B不正确；‎ ‎（C）原式=a﹣2，故C不正确；‎ ‎（D）原式=a8，故D不正确；‎ 故选（A）‎ ‎【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•德州）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： ‎ 尺码 ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎43‎ 平均每天销售数量/件 ‎10‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎12‎ ‎12‎ 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（　　）‎ A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 ‎【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．‎ ‎【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2017•德州）下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（　　）‎ A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣‎ ‎【分析】A、由k=﹣3可得知y随x值的增大而减小；B、由k=2可得知y随x值的增大而增大；C、由a=﹣2可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而减小；D、由k=﹣1可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大．此题得解．‎ ‎【解答】解：A、y=﹣3x+2中k=﹣3，‎ ‎∴y随x值的增大而减小，‎ ‎∴A选项符合题意；‎ B、y=2x+1中k=2，‎ ‎∴y随x值的增大而增大，‎ ‎∴B选项不符合题意；‎ C、y=﹣2x2+1中a=﹣2，‎ ‎∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而减小，‎ ‎∴C选项不符合题意；‎ D、y=﹣中k=﹣1，‎ ‎∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大，‎ ‎∴D选项不符合题意．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质，根据一次（二次、反比例）函数的性质，逐一分析四个选项中y与x之间的增减性是解题的关键． ‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•德州）不等式组的解集是（　　）‎ A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式2x+9≥3，得：x≥﹣3，‎ 解不等式＞x﹣1，得：x＜4，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣3≤x＜4，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等 式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2017•德州）公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（　　）‎ A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P ‎【分析】A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，‎ ‎∴A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，‎ ‎∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用，比较L0和K的值，找出短而硬的弹簧是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•德州）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　　）‎ A．﹣=4 B．﹣=4‎ C．﹣=4 D．﹣=4‎ ‎【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．‎ ‎【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，‎ 根据题意得：﹣=4．‎ 故选D．‎ ‎【点评】‎ 此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2017•德州）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得到∠DAM=∠AND，故①正确；‎ ‎②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP=b﹣；故②正确；‎ ‎③根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故③正确；‎ ‎④由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故④正确；‎ ‎⑤根据正方形的性质得到∠AMP=90°，∠ADP=90°，得到∠ABP+∠ADP=180°，于是推出A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．‎ ‎【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，‎ ‎∴∠BAM+∠DAM=90°，‎ ‎∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，‎ ‎∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，‎ ‎∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，‎ ‎∴∠DAM=∠AND，故①正确；‎ ‎②∵四边形CEFG是正方形，‎ ‎∴PC∥EF，‎ ‎∴△MPC∽△EMF，‎ ‎∴，‎ ‎∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM=b，‎ ‎∴EF=b，CM=a﹣b，ME=（a﹣b）+b=a，‎ ‎∴，‎ ‎∴CP=b﹣；故②正确；‎ ‎③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，‎ ‎∴GN=ME，‎ ‎∵AB=a，ME=a，‎ ‎∴AB=ME=NG，‎ 在△ABM与△NGF中，，‎ ‎∴△ABM≌△NGF；故③正确；‎ ‎④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，‎ ‎∴AM=AN，‎ ‎∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，‎ ‎∴NF=MF，‎ ‎∵△ABM≌△NGF，‎ ‎∴AM=NF，‎ ‎∴四边形AMFN是矩形，‎ ‎∵∠BAM=∠NAD，‎ ‎∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，‎ ‎∴∠NAM=90°，‎ ‎∴四边形AMFN是正方形，‎ ‎∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2，‎ ‎∴S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故④正确；‎ ‎⑤∵四边形AMFN是正方形，‎ ‎∴∠AMP=90°，‎ ‎∵∠ADP=90°，‎ ‎∴∠ABP+∠ADP=180°，‎ ‎∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2017•德州）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（　　）‎ A．121 B．362 C．364 D．729‎ ‎【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．‎ ‎【解答】解：图1挖去中间的1个小三角形，‎ 图2挖去中间的（1+3）个小三角形，‎ 图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，‎ ‎…‎ 则图6挖去中间的（1+3+32+33+34+35）个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13．（4分）（2017•德州）计算：﹣=　　．‎ ‎【分析】原式化简后，合并即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2017•德州）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是　同位角相等，两直线平行　．‎ ‎【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．‎ ‎【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，‎ 所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．‎ 故答案为：同位角相等，两直线平行．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2017•德州）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为　1或　．‎ ‎【分析】移项后分解因式得到（x﹣1）（3x﹣2）=0，推出方程x﹣1=0，3x﹣2=0，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：3x（x﹣1）=2（x﹣1），‎ 移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，‎ 即（x﹣1）（3x﹣2）=0，‎ ‎∴x﹣1=0，3x﹣2=0，‎ 解方程得：x1=1，x2=．‎ 故答案为：1或．‎ ‎【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2017•德州）淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月分进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是　　．‎ ‎【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出淘淘与丽丽同学同时抽到物理的结果数，然后根据概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：画树状图为：‎ 因为共有9种等可能的结果数，其中淘淘与丽丽同学同时抽到物理物的结果数为1，所以他们两人都抽到物理实验的概率是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2017•德州）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为　　．‎ ‎【分析】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体，其和就是透光的面积，再计算矩形的面积，相比可得结果．‎ ‎【解答】解：设⊙O与矩形ABCD的另一个交点为M，‎ 连接OM、OG，则M、O、E共线，‎ 由题意得：∠MOG=∠EOF=45°，‎ ‎∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，‎ ‎∴S透明区域=+2××1×1=+1，‎ 过O作ON⊥AD于N，‎ ‎∴ON=FG=，‎ ‎∴AB=2ON=2×=，‎ ‎∴S矩形=2×=2，‎ ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积、直角三角形的面积，将透光部分化分为几个熟知图形的面积是关键． ‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共64分）‎ ‎18．（6分）（2017•德州）先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．‎ ‎【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．‎ ‎【解答】解：÷﹣3‎ ‎=‎ ‎=a﹣3，‎ 当a=时，原式=．‎ ‎【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2017•德州）随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分，为了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表（部分信息未给出）：‎ 选项 频数 频率 A ‎10‎ m B n ‎0.2‎ C ‎5‎ ‎0.1‎ D p ‎0.4‎ E ‎5‎ ‎0.1‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）这次被调查的学生有多少人？‎ ‎（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．‎ ‎（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．‎ ‎【分析】（1）根据C的人数除以C所占的百分比，可得答案；‎ ‎（2）根据人数比抽查人数，所占的百分比乘以抽查人数，可得答案；‎ ‎（3）根据样本估计总体，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）从C可看出5÷0.1=50人，‎ 答：次被调查的学生有50人；‎ ‎（2）m==0.2，n=0.2×50=10，p=0.4×50=20，‎ ‎，‎ ‎（3）800×（0.1+0.4）=800×0.5=400人，‎ 答：全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有400人，可利用手机学习．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2017•德州）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．‎ ‎【分析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；‎ ‎（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．‎ ‎【解答】（1）证明：‎ 连接OE、EC，‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEC=∠BEC=90°，‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴ED=DC=BD，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵OE=OC，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠4，‎ 即∠OED=∠ACB，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠OED=90°，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，‎ ‎∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，‎ ‎∴△BEC∽△BCA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BC2=BE•BA，‎ ‎∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，‎ ‎∵BC=6，‎ ‎∴62=2x•3x，‎ 解得：x=，‎ 即AE=．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键． ‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2017•德州）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B=30°，∠C=45°．‎ ‎（1）求B，C之间的距离；（保留根号）‎ ‎（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）‎ ‎【分析】（1）如图作AD⊥BC于D．则AD=10m，汽车CD、BD即可解决问题．‎ ‎（2）汽车汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；‎ ‎【解答】解：（1）如图作AD⊥BC于D．则AD=10m，‎ 在Rt△ACD中，∵∠C=45°，‎ ‎∴AD=CD=10m，‎ 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，‎ ‎∴tan30°=，‎ ‎∴BD=AD=10m，‎ ‎∴BC=BD+DC=（10+10）m．‎ ‎（2）结论：这辆汽车超速．‎ 理由：∵BC=10+1027m，‎ ‎∴汽车速度==30m/s=108km/h，‎ ‎∵108＞80，‎ ‎∴这辆汽车超速．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2017•德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．‎ ‎（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）求出水柱的最大高度的多少？‎ ‎【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）‎ ‎2+h，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可，‎ ‎（2）求出当x=1时，y=即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，‎ 设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+h，‎ 代入（0，2）和（3，0）得：，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+；‎ 即y=﹣x2+x+2（0≤x≤3）；‎ ‎（2）y=﹣x2+x+2（0≤x≤3），‎ 当x=1时，y=，‎ 即水柱的最大高度为m．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2017•德州）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．‎ ‎（1）求证：四边形BFEP为菱形；‎ ‎（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；‎ ‎①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；‎ ‎②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；‎ ‎（2）①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；‎ ‎②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，‎ ‎∴点B与点E关于PQ对称，‎ ‎∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，‎ 又∵EF∥AB，‎ ‎∴∠BPF=∠EFP，‎ ‎∴∠EPF=∠EFP，‎ ‎∴EP=EF，‎ ‎∴BP=BF=EF=EP，‎ ‎∴四边形BFEP为菱形；‎ ‎（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，‎ ‎∵点B与点E关于PQ对称，‎ ‎∴CE=BC=5cm，‎ 在Rt△CDE中，DE==4cm，‎ ‎∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；‎ 在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，‎ ‎∴EP2=12+（3﹣EP）2，‎ 解得：EP=cm，‎ ‎∴菱形BFEP的边长为cm；‎ ‎②当点Q与点C重合时，如图2：‎ 点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；‎ 当点P与点A重合时，如图3所示：‎ 点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，‎ ‎∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2017•德州）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=（k≠0）的图象性质．‎ 小明根据学习函数的经验，对函数y=x与y=，当k＞0时的图象性质进行了探究．‎ 下面是小明的探究过程：‎ ‎（1）如图所示，设函数y=x与y=图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的坐标为　（k，1）　；‎ ‎（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．‎ ‎①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．‎ 证明过程如下，设P（m，），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．‎ 则，‎ 解得　‎ ‎﹣1　‎ ‎∴直线PA的解析式为　y=x+﹣1　‎ 请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．‎ ‎②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．‎ ‎【分析】（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；‎ ‎（2）①设P（m，‎ ‎），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；‎ ‎②根据①结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k＞1和0＜k＜1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，‎ ‎∵A点的坐标为（﹣k，﹣1），‎ ‎∴B点的坐标为（k，1）．‎ 故答案为：（k，1）．‎ ‎（2）①证明过程如下，设P（m，），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．‎ 则，‎ 解得：，‎ ‎∴直线PA的解析式为y=x+﹣1．‎ 当y=0时，x=m﹣k，‎ ‎∴M点的坐标为（m﹣k，0）．‎ 过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，‎ ‎∵P点坐标为（m，），‎ ‎∴H点的坐标为（m，0），‎ ‎∴MH=xH﹣xM=m﹣（m﹣k）=k．‎ 同理可得：HN=k．‎ ‎∴MH=HN，‎ ‎∴PM=PN．‎ 故答案为：；y=x+﹣1．‎ ‎②由①可知，在△PMN中，PM=PN，‎ ‎∴△PMN为等腰三角形，且MH=HN=k．‎ 当P点坐标为（1，k）时，PH=k，‎ ‎∴MH=HN=PH，‎ ‎∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，‎ ‎∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，‎ ‎∴△PAB为直角三角形．‎ 当k＞1时，如图1，‎ S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM，‎ ‎=MN•PH﹣ON•yB+OM•|yA|，‎ ‎=×2k×k﹣（k+1）×1+（k﹣1）×1，‎ ‎=k2﹣1；‎ 当0＜k＜1时，如图2，‎ S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM，‎ ‎=ON•yB﹣k2+OM•|yA|，‎ ‎=（k+1）×1﹣k2+（1﹣k）×1，‎ ‎=1﹣k2．‎ ‎【点评】本题考查了正（反）比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据正、反比例函数图象结合点A的坐标求出点B的坐标；（2）①利用等腰三角形的三线合一证出PM=PN；②分k＞1和0＜k＜1两种情况求出△PAB的面积．‎