青岛版九年级数学上册图形的相似中考原题训练附答案

青岛版九年级数学上册图形的相似中考原题训练附答案

青岛版九年级数学上册第1章图形的相似中考原题训练 ‎　‎ 一．选择题（共20小题）‎ ‎1．（2014•佛山）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：4‎ B．‎ ‎1：2‎ C．‎ ‎2：1‎ D．‎ ‎4：1‎ ‎　‎ ‎2．（2014•南京）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：2‎ B．‎ ‎2：1‎ C．‎ ‎1：4‎ D．‎ ‎4：1‎ ‎　‎ ‎3．（2014•贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ P1‎ B．‎ P2‎ C．‎ P3‎ D．‎ P4‎ ‎　‎ ‎4．（2014•武汉）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（3，3）‎ B．‎ ‎（4，3）‎ C．‎ ‎（3，1）‎ D．‎ ‎（4，1）‎ ‎　‎ ‎5．（2014•荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∠ACD=∠DAB B．‎ AD=DE C．‎ AD2=BD•CD D．‎ CD•AB=AC•BD ‎　‎ ‎6．（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 ‎　‎ ‎7．（2014•南平）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：2‎ B．‎ ‎2：3‎ C．‎ ‎1：3‎ D．‎ ‎1：4‎ ‎　‎ ‎8．（2014•随州）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：4‎ B．‎ ‎2：3‎ C．‎ ‎1：3‎ D．‎ ‎1：2‎ ‎　‎ ‎9．（2014•南通）如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎12﹣6‎ D．‎ ‎6﹣6‎ ‎　‎ ‎10．（2014•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎11．（2014•沈阳）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎7.5‎ B．‎ ‎10‎ C．‎ ‎15‎ D．‎ ‎20‎ ‎　‎ ‎12．（2014•河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：‎ 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．‎ 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．‎ 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 两人都对 B．‎ 两人都不对 C．‎ 甲对，乙不对 D．‎ 甲不对，乙对 ‎　‎ ‎13．（2014•凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：25‎ B．‎ ‎1：5‎ C．‎ ‎1：2.5‎ D．‎ ‎1：‎ ‎　‎ ‎14．（2014•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD=CE．若AB：AC=3：2，BC=10，则DE的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ ‎　‎ ‎15．（2014•毕节市）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：16‎ B．‎ ‎1：18‎ C．‎ ‎1：20‎ D．‎ ‎1：24‎ ‎　‎ ‎17．（2014•本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎18．（2014•日照）如图，已知△ABC的面积是12，BC=6，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎19．（2014•广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎2个 D．‎ ‎1个 ‎　‎ ‎20．（2014•东营）下列关于位似图形的表述：‎ ‎①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；‎ ‎②位似图形一定有位似中心；‎ ‎③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；‎ ‎④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎②③‎ B．‎ ‎①②‎ C．‎ ‎③④‎ D．‎ ‎②③④‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎21．（2014•滨州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=　_________　．‎ ‎　‎ ‎22．（2014•阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是　_________　．‎ ‎　‎ ‎23．（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是　_________　米．‎ ‎　‎ ‎24．（2013•枣庄）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=　_________　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎25．（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；‎ ‎（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；‎ ‎（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．‎ ‎　‎ ‎26．（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．‎ ‎（1）求证：EB=GD；‎ ‎（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．‎ ‎　‎ ‎27．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；‎ ‎（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．‎ ‎　‎ ‎28．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．‎ ‎（1）若AE=CF；‎ ‎①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；‎ ‎②若AE=2，试求AP•AF的值；‎ ‎（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．‎ ‎　‎ ‎29．（2014•淄博）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．‎ ‎（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎30．（2014•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．‎ ‎（1）求证：=；‎ ‎（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．‎ ‎　‎ 青岛版九年级数学上册第1章图形的相似中考原题训练 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共20小题）‎ ‎1．（2014•佛山）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：4‎ B．‎ ‎1：2‎ C．‎ ‎2：1‎ D．‎ ‎4：1‎ 考点：‎ 相似多边形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．‎ 解答：‎ 解：∵两个相似多边形面积比为1：4，‎ ‎∴周长之比为=1：2．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•南京）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：2‎ B．‎ ‎2：1‎ C．‎ ‎1：4‎ D．‎ ‎4：1‎ 考点：‎ 相似三角形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，‎ ‎∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ P1‎ B．‎ P2‎ C．‎ P3‎ D．‎ P4‎ 考点：‎ 相似三角形的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 网格型．‎ 分析：‎ 由于∠BAC=∠PED=90°，而=，则当=时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE=4，所以EP=6，则易得点P落在P3处．‎ 解答：‎ 解：∵∠BAC=∠PED，‎ 而=，‎ ‎∴=时，△ABC∽△EPD，‎ ‎∵DE=4，‎ ‎∴EP=6，‎ ‎∴点P落在P3处．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•武汉）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（3，3）‎ B．‎ ‎（4，3）‎ C．‎ ‎（3，1）‎ D．‎ ‎（4，1）‎ 考点：‎ 位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．‎ 解答：‎ 解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，‎ ‎∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，‎ ‎∴端点C的坐标为：（3，3）．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∠ACD=∠DAB B．‎ AD=DE C．‎ AD2=BD•CD D．‎ CD•AB=AC•BD 考点：‎ 相似三角形的判定；圆周角定理．菁优网版权所有 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．‎ 解答：‎ 解：如图，∠ADC=∠ADB，‎ A、∵∠ACD=∠DAB，‎ ‎∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；‎ B、∵AD=DE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠DAE=∠B，‎ ‎∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；‎ C、∵AD2=BD•CD，‎ ‎∴AD：BD=CD：AD，‎ ‎∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；‎ D、∵CD•AB=AC•BD，‎ ‎∴CD：AC=BD：AB，‎ 但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 考点：‎ 相似三角形的判定；直角梯形．菁优网版权所有 分析：‎ 由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．‎ 解答：‎ 解：∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠B=90°．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠B=90°，‎ ‎∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，‎ 设AP的长为x，则BP长为8﹣x．‎ 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：‎ ‎①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；‎ ‎②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．‎ ‎∴满足条件的点P的个数是3个，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•南平）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：2‎ B．‎ ‎2：3‎ C．‎ ‎1：3‎ D．‎ ‎1：4‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有 分析：‎ 在△ABC中，AD、BE是两条中线，可得DE是△ABC的中位线，即可证得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC中，AD、BE是两条中线，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AB，DE=AB，‎ ‎∴△EDC∽△ABC，‎ ‎∴S△EDC：S△ABC=（）2=．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•随州）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：4‎ B．‎ ‎2：3‎ C．‎ ‎1：3‎ D．‎ ‎1：2‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵BE和CD是△ABC的中线，‎ ‎∴DE=BC，DE∥BC，‎ ‎∴=，△DOE∽△COB，‎ ‎∴=（）2=（）2=，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•南通）如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎12﹣6‎ D．‎ ‎6﹣6‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，‎ ‎∵AB=AC，AD=AG，‎ ‎∴AD：AB=AG：AC，‎ ‎∵∠BAC=∠DAG，‎ ‎∴△ADG∽△ABC，‎ ‎∴∠ADG=∠B，‎ ‎∴DG∥BC，‎ ‎∵四边形DEFG是正方形，‎ ‎∴FG⊥DG，‎ ‎∴FH⊥BC，AN⊥DG，‎ ‎∵AB=AC=18，BC=12，‎ ‎∴BM=BC=6，‎ ‎∴AM==12，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AN=6，‎ ‎∴MN=AM﹣AN=6，‎ ‎∴FH=MN﹣GF=6﹣6．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题．‎ 分析：‎ 设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明∠E=∠F，∠ADE=∠FDC，进而可得到△ADE∽△CDF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DF的长．‎ 解答：‎ 解：设DF和AE相交于O点，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∵∠EDF=90°，‎ ‎∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，‎ 即∠FDC=∠ADE，‎ ‎∵AE⊥CF于点H，‎ ‎∴∠F+∠FOH=90°，‎ ‎∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，‎ ‎∴∠F=∠E，‎ ‎∴△ADE∽△CDF，‎ ‎∴AD：CD=DE：DF，‎ ‎∵AD=3，DC=4，DE=，‎ ‎∴DF=．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，题目的综合性加强，难度中等．‎ ‎　‎ ‎11．（2014•沈阳）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎7.5‎ B．‎ ‎10‎ C．‎ ‎15‎ D．‎ ‎20‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BD=2AD，‎ ‎∴=，‎ ‎∵DE=5，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BC=15．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：‎ 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．‎ 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．‎ 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 两人都对 B．‎ 两人都不对 C．‎ 甲对，乙不对 D．‎ 甲不对，乙对 考点：‎ 相似三角形的判定；相似多边形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ 甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；‎ 乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．‎ 解答：‎ 解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，‎ ‎∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，‎ ‎∴△ABC∽△A′B′C′，‎ ‎∴甲说法正确；‎ 乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴新矩形与原矩形不相似．‎ ‎∴乙说法正确．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：25‎ B．‎ ‎1：5‎ C．‎ ‎1：2.5‎ D．‎ ‎1：‎ 考点：‎ 相似多边形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．‎ 解答：‎ 解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，‎ ‎∴它们的相似比为1：．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD=CE．若AB：AC=3：2，BC=10，则DE的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析：‎ 运用DE∥BC，可得出AD：AE的值，由AD=CE，求出CE：AE，可得出AE：AC即DE：BC，利用BC=10，即可求出DE的长．‎ 解答：‎ 解：∵DE∥BC，‎ ‎∴AD：AE=AB：AC=3：2，‎ ‎∵AD=CE．‎ ‎∴CE：AE=3：2，‎ ‎∴AE：AC=2：5，‎ ‎∴DE：BC=2：5，‎ ‎∵BC=10，‎ ‎∴DE：10=2：5，‎ 解得DE=4．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出DE：BC．‎ ‎　‎ ‎15．（2014•毕节市）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据已知条件得出△ADC∽△BDE，然后依据对应边成比例即可求得．‎ 解答：‎ 解：∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，‎ ‎∴△ADC∽△BDE，‎ ‎∴=，‎ 又∵AD：DE=3：5，AE=8，‎ ‎∴AD=3，DE=5，‎ ‎∵BD=4，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DC=，‎ 故应选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定和性质：对应角相等的三角形是相似三角形，相似三角形对应边成比例．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：16‎ B．‎ ‎1：18‎ C．‎ ‎1：20‎ D．‎ ‎1：24‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．‎ 解答：‎ 解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，‎ ‎∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，‎ ‎∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴△DBE∽△ABC，‎ ‎∴S△DBE：S△ABC=1：25，‎ ‎∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a，‎ ‎∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（2014•本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．‎ 解答：‎ 解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，‎ ‎∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，‎ ‎∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，‎ ‎∴△ABD∽△AEF，‎ ‎∴AB：BD=AE：EF．‎ 同理：△CDF∽△EAF，‎ ‎∴CD：CF=AE：EF，‎ ‎∴AB：BD=CD：CF，‎ 即9：3=（9﹣3）：CF，‎ ‎∴CF=2．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了“两角法”证得两个三角形相似．‎ ‎　‎ ‎18．（2014•日照）如图，已知△ABC的面积是12，BC=6，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 设正方形的边长为x，根据正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，可以求出有两个正方形的边长和有三个正方形的边长，从中得到规律就可得到n个正方形的边长规律即可得到问题答案．‎ 解答：‎ 解：当做了1个正方形时，如图所示．‎ 过点A作AM⊥BC，垂足为M，交GH于点N．‎ ‎∴∠AMC=90°，‎ ‎∵四边形EFGH是正方形，‎ ‎∴GH∥BC，GH=GF，GF⊥BC，‎ ‎∴∠AGH=∠B，∠ANH=∠AMC=90°．‎ ‎∵∠GAH=∠BAC，‎ ‎∴△AGH∽△ABC．‎ ‎∴AN：AM=GH：BC，‎ ‎∵△ABC的面积为12，BC为6，‎ ‎∴S△ABC=BC×AM=×6×AM=12，解得AM=4．‎ 设GH=x，BC=6，AM=4，‎ ‎∵GF=NM=GH，‎ ‎∴AN=AM﹣NM=AM﹣GH=4﹣x，‎ ‎∴=，x=，‎ 同理当n=2时，x=，‎ 由此，当为n个正方形时x=，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定和性质熟练地掌握．并把它运用到实际的题目中去．‎ ‎　‎ ‎19．（2014•广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎2个 D．‎ ‎1个 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．‎ 解答：‎ 证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，‎ ‎∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，‎ ‎∴∠BCG=∠DCE，‎ 在△BCG和△DCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCG≌△DCE（SAS），‎ 故①正确；‎ ‎②延长BG交DE于点H，‎ ‎∵△BCG≌△DCE，‎ ‎∴∠CBG=∠CDE，‎ 又∵∠CBG+∠BGC=90°，‎ ‎∴∠CDE+∠DGH=90°，‎ ‎∴∠DHG=90°，‎ ‎∴BH⊥DE；‎ ‎∴BG⊥DE．‎ 故②正确；‎ ‎③∵四边形GCEF是正方形，‎ ‎∴GF∥CE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=是错误的．‎ 故③错误；‎ ‎④∵DC∥EF，‎ ‎∴∠GDO=∠OEF，‎ ‎∵∠GOD=∠FOE，‎ ‎∴△OGD∽△OFE，‎ ‎∴=（）2=（）2=，‎ ‎∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．‎ 故④正确；‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．‎ ‎　‎ ‎20．（2014•东营）下列关于位似图形的表述：‎ ‎①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；‎ ‎②位似图形一定有位似中心；‎ ‎③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；‎ ‎④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎②③‎ B．‎ ‎①②‎ C．‎ ‎③④‎ D．‎ ‎②③④‎ 考点：‎ 位似变换；命题与定理．菁优网版权所有 分析：‎ 利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．‎ 解答：‎ 解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；‎ ‎②位似图形一定有位似中心，故②正确；‎ ‎③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；‎ ‎④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，故④错误．‎ 正确的选项为：②③．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎21．（2014•滨州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=　　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据相似三角形的判定与性质，可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC．‎ ‎∵S△ADE=S四边形BCDE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方．‎ ‎　‎ ‎22．（2014•阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是　12　．‎ 考点：‎ 相似三角形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据相似的性质得=，即=，然后利用比例的性质计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC∽△DEF，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴△DEF的周长=12．‎ 故答案为：12．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．‎ ‎　‎ ‎23．（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是　54　米．‎ 考点：‎ 相似三角形的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，‎ ‎∴AB∥CD∥EF，‎ ‎∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，‎ ‎∴=，‎ ‎=，‎ ‎∴=，‎ 解得BD=52m，‎ ‎∴=，‎ 解得AB=54m．‎ 故答案为：54．‎ 点评：‎ 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（2013•枣庄）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=　　．‎ 考点：‎ 相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵AB=1，‎ 设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，‎ ‎∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，‎ ‎∴=，=，‎ 解得x1=，x2=（不合题意舍去），‎ 经检验x1=是原方程的解．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎25．（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；‎ ‎（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；‎ ‎（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．‎ 考点：‎ 作图-位似变换；作图-轴对称变换．菁优网版权所有 专题：‎ 作图题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；‎ ‎（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；‎ ‎（3）利用位似图形的性质得出D点坐标变化规律即可．‎ 解答：‎ 解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，‎ C1点坐标为：（3，2）；‎ ‎（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，‎ C2点坐标为：（﹣6，4）；‎ ‎（3）如果点D（a，b）在线段AB上，经过（2）的变化后D的对应点D2的坐标为：（2a，2b）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．‎ ‎（1）求证：EB=GD；‎ ‎（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．‎ 考点：‎ 相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；‎ ‎（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP=AB=1，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，‎ ‎∴∠EAG=∠BAD，‎ ‎∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，‎ ‎∴∠EAB=∠GAD，‎ ‎∵AE=AG，AB=AD，‎ ‎∴△AEB≌△AGD，‎ ‎∴EB=GD；‎ ‎（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，‎ ‎∵∠DAB=60°，‎ ‎∴∠PAB=30°，‎ ‎∴BP=AB=1，‎ AP==，AE=AG=，‎ ‎∴EP=2，‎ ‎∴EB===，‎ ‎∴GD=．‎ 点评：‎ 本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．‎ ‎　‎ ‎27．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；‎ ‎（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何动点问题；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（1）由已知求出∠C=30°，列出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程y=60﹣x与y=x组成方程组求x的值，‎ ‎（3）当∠EDF=90°时，由△DEF是直角三角形，列出方程60﹣x=2y，与y=x组成方程组求x的值；当∠DEF=90°时，根据EF∥AC可知∠EDA=∠DEF=90°，所以当△ADE∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例可得出关于x的方程，再把y=x代入即可得出x的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，‎ ‎∴∠C=30°，‎ ‎∵CD=x，DF=y．‎ ‎∴y=x；‎ ‎（2）∵四边形AEFD为菱形，‎ ‎∴AD=DF，‎ ‎∴y=60﹣x ‎∴方程组，‎ 解得x=40，‎ ‎∴当x=40时，四边形AEFD为菱形；‎ ‎（3）当∠EDF=90°时，‎ ‎∵△DEF是直角三角形，‎ ‎∴∠FDE=90°，‎ ‎∵FE∥AC，‎ ‎∴∠EFB=∠C=30°，‎ ‎∵DF⊥BC，‎ ‎∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，‎ ‎∴∠DEF=∠EFB=30°，‎ ‎∴EF=2DF，‎ ‎∴60﹣x=2y，‎ 与y=x，组成方程组，得 解得x=30；‎ 当∠DEF=90°时，‎ ‎∵EF∥AC，‎ ‎∴∠EDA=∠DEF=90°，‎ ‎∴当△ADE∽△ABC时，△DEF是直角三角形，‎ ‎∴=，即=，‎ 把y=x代入得，x=48，‎ ‎∴当△DEF是直角三角形时，x=48或30．‎ 点评：‎ 本题主要考查了含30°角的直角三角形与菱形的知识，解本题的关键是找出x与y的关系列方程组．‎ ‎　‎ ‎28．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．‎ ‎（1）若AE=CF；‎ ‎①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；‎ ‎②若AE=2，试求AP•AF的值；‎ ‎（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；动点型．‎ 分析：‎ ‎（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．‎ ‎（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；‎ 解答：‎ ‎（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，‎ 又∵AE=CF，‎ 在△ABE和△CAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CAF（SAS），‎ ‎∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．‎ 又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，‎ ‎∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．‎ ‎∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．‎ ‎②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，‎ ‎∴，即，所以AP•AF=12 ‎ ‎（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．‎ ‎①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，‎ ‎∴∠AOB=120°，‎ 又∵AB=6，‎ ‎∴OA=，‎ 点P的路径是．‎ ‎②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．‎ 所以，点P经过的路径长为或3．‎ 点评：‎ 本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．‎ ‎　‎ ‎29．（2014•淄博）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．‎ ‎（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；‎ ‎（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．‎ 解答：‎ ‎（1）答：△BMN是等腰直角三角形．‎ 证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，‎ ‎∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．‎ ‎∵BN平分∠ABE，‎ ‎∠EBN=∠ABN．‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∴∠EAB+∠EBA=90°，‎ ‎∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．‎ ‎∴△BMN是等腰直角三角形；‎ ‎（2）答：△MFN∽△BDC．‎ 证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴FM∥AC，FM=AC．‎ ‎∵AC=BD，‎ ‎∴FM=BD，即．‎ ‎∵△BMN是等腰直角三角形，‎ ‎∴NM=BM=BC，即，‎ ‎∴．‎ ‎∵AM⊥BC，‎ ‎∴∠NMF+∠FMB=90°．‎ ‎∵FM∥AC，‎ ‎∴∠ACB=∠FMB．‎ ‎∵∠CEB=90°，‎ ‎∴∠ACB+∠CBD=90°．‎ ‎∴∠CBD+∠FMB=90°，‎ ‎∴∠NMF=∠CBD．‎ ‎∴△MFN∽△BDC．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．‎ ‎　‎ ‎30．（2014•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．‎ ‎（1）求证：=；‎ ‎（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；菱形的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；‎ ‎（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵AB=AD，‎ ‎∴∠ADB=∠ABE，‎ 又∵∠ADB=∠ACB，‎ ‎∴∠ABE=∠ACB，‎ 又∵∠BAE=∠CAB，‎ ‎∴△ABE∽△ACB，‎ ‎∴=，‎ 又∵AB=AD，‎ ‎∴=；‎ ‎（2）设AE=x，‎ ‎∵AE：EC=1：2，‎ ‎∴EC=2x，‎ 由（1）得：AB2=AE•AC，‎ ‎∴AB=x，‎ 又∵BA⊥AC，‎ ‎∴BC=2x，‎ ‎∴∠ACB=30°，‎ ‎∵F是BC中点，‎ ‎∴BF=x，‎ ‎∴BF=AB=AD，‎ 又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，‎ ‎∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，‎ ‎∴AD∥BF，‎ ‎∴四边形ABFD是平行四边形，‎ 又∵AD=AB，‎ ‎∴四边形ABFD是菱形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．‎ ‎　‎