部分地区中考数学几何综合型问题试题附答案

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部分地区中考数学几何综合型问题试题附答案

‎2019年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)‎ ‎  以下是查字典数学网为您推荐的2019年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案),希望本篇文章对您学习有所帮助。‎ ‎2019年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)‎ ‎7.(2019贵州六盘水,7,3分)下列命题为真命题的是( ▲ )‎ A.平面内任意三个点确定一个圆 B.五边形的内角和为540‎ C.如果ab,则ac2bc2‎ D.如果两条直线被第三条直线所截那么所截得的同位角相等 分析:根据命题的定义:对一件事情做出判断的语句叫命题.正确的命题叫真命题,据此即对四个选项进行分析即可回答.‎ 解答:解:A、平面内任意三点确定一个圆是一个假命题,,如三点在一条直线上,不能构成圆,故本选项错误;‎ B、五边形的内角和为540,故本选项正确;‎ C、如果 则 ,如果c=0,结论不成立,故本选项错误;‎ D、如果两条直线被第三条直线所截,那么所得的同位角相等.没有平行线,故本选项错误;‎ ‎13. (2019贵州省毕节市,13,3分)下列命题是假命题的是( )‎ A.同弧或等弧所对的圆周角相等 B.平分弦的直径垂直于弦 C.两条平行线间的距离处处相等 D.正方形的两条对角线互相垂直平分 解析:分析是否为假命题,可以举出反例;也可以分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.‎ 解答:解:A、错误,同弧或等弧所对的圆周角相等或互补,是假命题;B、平分弦的直径垂直于弦是正确的,是真命题;C、两条平行线间的距离处处相等是正确的,是真命题;D、正方形的两条对角线互相垂直平分是正确的,是真命题.故选A.‎ ‎31. ( 2019年四川省巴中市,31,12)如图12,在平面直角坐标系中,点A、C分别在x轴、y轴上,四边形ABCO为矩形,AB=16,点D与点A关于y轴对称,tanACB=43 ,点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合),且CEF=ACB.‎ ‎(1)求AC的长和点D的坐标;‎ ‎(2)说明△AEF与△DCE相似;‎ ‎(3)当△EFC为等腰三角形时,求点E的坐标.‎ ‎【解析】①∵四边形ABCO为矩形,B=900‎ tanACB=43 ,在Rt△ACB中,设BC=3k,AB=4k,由勾 股定理,AC=5K,∵AB=4k=16,k=4,‎ AC=20,OA=BC==3k=12,‎ 点A的坐标为(-12,0),‎ 而点D与点A关于y轴对称,点D的坐标为(12,0)‎ ‎②由:CDE=EAF,AEF ‎=DCE,得出△AEF∽△DCE ‎③分类讨论:‎ 当CE=EF时,则△AEF∽△DCE,‎ AE=CD,即AO+OE=CD 设E(x,0),有12+x=20,x=8‎ 此时,点E的坐标为(8.0)‎ 当EF=FC时,FCE=FEC=ACB,‎ tanFCG =tanACB=43 ,‎ 作FGCE于G,在Rt△FCG中,设CE=6a,则CG=3a FG=4a,于是CF=5a,‎ ‎∵△AEF∽△DCE CE2=CFAC,即36a2=5a20,a=259‎ CE=259 6=503 .在Rt△CEO中,OE=CE2-OC2 =143 E(143 ,0)‎ 当CE=CF时,E与D重合与题目矛盾。‎ ‎【答案】①AC=20,D(12.0) ②由:CDE=EAF,AEF=DCE,得出△AEF∽△DCE ③ E(8.0)或E(143 ,0)‎ ‎【点评】本题难度比较大,综合考查了解直角三角形,勾股定理、相似三角形的条件、矩形又一次展现了数形结合思想的必要性。‎ ‎25.(本题满分12分)如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连结AB、AE、BE.‎ 已知tanCBE= ,A(3,0),D(-1,0),E(0,3).‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;‎ ‎(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;‎ ‎(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0‎ ‎21世纪 ‎【解析】 (1)解:由题意,设抛物线解析式为y=a(x-3)(x+1).‎ 将E(0,3)代入上式,解得:a=-1.‎ y=-x2+2x+3.‎ 则点B(1,4).2分 ‎(2)如图6,证明:过点B作BMy于点M,则M (0,4).‎ 在Rt△AOE中,OA=OE=3,‎ ‎2=45,AE= =3 .‎ 在Rt△EMB中,EM=OM-OE=1=BM,‎ MEB=MBE=45,BE= = .‎ BEA=1801-MEB=90.‎ AB是△ABE外接圆的直径.3分 在Rt△ABE中,tanBAE= = =tanCBE,‎ BAE=CBE.‎ 在Rt△ABE中,BAE+3=90,CBE+3=90.‎ CBA=90,即CBAB.‎ CB是△ABE外接圆的切线.5分 ‎(3)P1(0,0),P2(9,0),P3(0,- ).8分 ‎(4)解:设直线AB的解析式为y=kx+b.‎ 将A(3,0),B(1,4)代入,得 解得 y=-2x+6.‎ 过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,当y=3时,得x= , F( ,3).9分 情况一:如图7,当0‎ 则ON=AD=t,过点H作LKx轴于点K,交EF于点L.‎ 由△AHD∽△FHM,得 .即 .解得HK=2t.‎ S阴=S△MND-S△GNA-S△HAD= 33- (3-t)2- t2t=- t2+3t.11分 情况二:如图8,当 S阴=S△IQA-S△VQA= (3-t)2(3-t)- (3-t)2= (3-t)2= t2-3t+ .‎ 综上所述:s= 12分 ‎【答案】(1) y=-x2+2x+3, B(1,4);‎ ‎(2) 证明:如图,过点B作BMy于点M,则M (0,4).‎ 在Rt△AOE中,OA=OE=3,‎ ‎2=45,AE= =3 .‎ 在Rt△EMB中,EM=OM-OE=1=BM,‎ MEB=MBE=45,BE= = .‎ BEA=1801-MEB=90.‎ AB是△ABE外接圆的直径.3分 在Rt△ABE中,tanBAE= = =tanCBE,‎ BAE=CBE.‎ 在Rt△ABE中,BAE+3=90,CBE+3=90.‎ CBA=90,即CBAB.‎ CB是△ABE外接圆的切线.‎ ‎(3)P1(0,0),P2(9,0),P3(0,- ).‎ ‎(4) s=‎ ‎【点评】本题以平面直角坐标系为背景,综合考察了二次函数、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、三角形相似、勾股定理、待定系数法、分类讨论等知识,而且是中考的压轴题。知识点丰富全面,考查了学生综合运用知识、分类讨论思想来解决问题的能力。第1小题常规题,利用待定系数法求二次函数的解析式,难度较低;第2小题是利用勾股定理、锐角三角函数、90的圆周角所对的弦是直径、等量代换等证明圆的切线,综合性较强,难度中等;第3小题,考察了分类讨论思想,在坐标轴上找点,构造寻找相似三角形,难度中等;第4小题,利用分类讨论思想、二次函数、和差法计算阴影部分面积,是压轴题的最后一题,将中下层面的学生拒之题外,难度较大.‎ ‎23.(2019河南,23,11分)如图,在平面直角坐标系中,直线 与抛物线 交于A,B两点,点A在 轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不 与A,B重合),过点P作 轴的垂线交直线AB与点C,作PDAB于点D ‎(1)求 及 的值 ‎(2)设点P的横坐标为 ‎①用含 的代数式表示线段PD的长,‎ 并求出线段PD长的最大值;‎ ‎②连接PB,线段PC把△PBD分成 两个三角形,是否存在适合的 值,‎ 使这两个三角形的面积之比为9:10?‎ 若存在,直接写出 值;若不存在,说明理由.‎ ‎23.解析:(1)根据题意知,点A纵坐标为0,求出横坐标,点B纵坐标为3,也可求出横坐标,将A、B两点坐标代人求出 ,设直线 与 轴交于点 ,则 ,∵ ∥ 轴, .能求ACP的正弦;(2)①在Rt△PCD中,用m表示出PC,结合上面求出的 值,表示出PD的长;②分别过点D,B作DFPC,BGPC,垂足分别为F,G,利用△PCD与△PCB公共边PC,分别用m表示出它们的高DF,BG,在Rt△PDF中, 又 当 时.解得 当 时,解得 解:(1)由 ,得到 由 ,得到 ‎∵ 经过 两点,‎ 设直线 与 轴交于点 ,则 ‎∵ ∥ 轴, .‎ ‎(2)由(1)可知抛物线的解析式为 在Rt△PCD中,‎ ‎27.(2019江苏苏州,27,8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2‎ ‎(1)当x= 时,求弦PA、PB的长度;‎ ‎(2)当x为何值时,PDCD的值最大?最大值是多少?‎ 分析:‎ ‎ (1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形PCA与三角形PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在直角三角形PAB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长;‎ ‎(2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC﹣EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC﹣PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.‎ 解答: 解:(1)∵⊙O与直线l相切于点A,且AB为⊙O的直径,‎ ABl,又∵PCl,‎ AB∥PC,‎ CPA=PAB,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ APB=90,又PCl,‎ PCA=APB=90,‎ ‎△PCA∽△APB,‎ ‎= ,即PA2=PCAB,‎ ‎∵PC= ,AB=4,‎ PA= = ,‎ Rt△APB中,AB=4,PA= ,‎ 由勾股定理得:PB= = ;‎ ‎(2)过O作OEPD,垂足为E,‎ ‎∵PD是⊙O的弦,OEPD,‎ PE=ED,‎ 又CEO=ECA=OAC=90,‎ 四边形OACE为矩形,‎ CE=OA=2,又PC=x,‎ PE=ED=PC﹣CE=x﹣2,‎ CD=PC﹣PD=x﹣2(x﹣2)=4﹣x,‎ PDCD=2(x﹣2)(4﹣x)=﹣2x2+12x﹣16=﹣2(x﹣3)2+2,‎ ‎(2019哈尔滨,题号28分值 10) 28.(本题10分)‎ 已知:在△ABC中,ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MNAC于点N,PQAB于点Q,A0=MN.‎ ‎(1)如图l,求证:PC=AN;‎ ‎(2)如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,DKE=ABC,EFPM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC =3,CK:CF=2:3,求D Q的长.‎ ‎【解析】本题是对三角形全等、相似、勾股定理、三角函数的综合考查.‎ ‎(1)先证明△AQP≌△MNA,得AN=PQ,PA=AM,再利用等角的余角相等证ABP=CBP,结合角平分线性质说明PQ=PC,从而PQ=AN得证;‎ ‎(2)NP=2,PC=3,结合(1)中结论易知AN=3,AP=AM=5,由勾股定理可计算MN=AQ=5‎ 通过△PNM∽△PBC可得BC=6,则BP可求;‎ 设CK=2m,CF=3m,通过△PNE∽△PKC, NE、EM可用m表示,由sinPBC= sinEMH= ,可将EH、FH用m表示;‎ 作ER垂直BF于R,有tanBPC=tanEFR=2可求RF值,在RT△REP中勾股定理计算EF,可求m值,进而CK、BK可计算;‎ 计算tanPKC= tanBDK=1,tanABC= ,作KG垂直BA于G,设KG=4n,则BG=3n,BK=5n=3,n值可得解,BD=7n,DQ=AB-BD-AQ可解.‎ ‎【答案】证明:(1)∵MAAM,MNAP,BAM=ANM=90,PAQ+MAN=MAN+AMN=90,PAQ=AMN. ∵PQA=ANM=90,AQ=MN,△APQ≌△MNA,AN=PQ,AM=AP,AMN=APN,又因为APM=BPC,BPC+PBC=90,AMB+ABM=90。ABM=PBC,又PQAB,PCBC,PQ=PC,AN=PC;‎ ‎(2)∵NP=2,PC=5,由(1)知PA=NC=5,AC=8,AM=AP=5,AQ=MN=4.‎ 设CK=2m,CF=3m.∵MN∥BF,△PNM∽△PBC,△PNE∽△PKC,‎ ‎,BC=6,NE= ,BF=6+3m,ME=4- ,BP=3 ,‎ sinPBC= sinEMH= = ,∵EFPM,FH=BF sinPBC= (6+3m),EH=EM sinEMH= (4- ).‎ 作ER垂直BF于R,则ER=NC=5.‎ ‎∵RFE+REF=RFE+PBC=90,REF=PBC,tanBPC=tanEFR= =2,RF= ,EF= ,m= ,CK=3,BK=3.‎ ‎∵PKC+DKE=ABC+BDK,DKE=ABC,BDK=PKC.‎ ‎∵tanPKC=1,tanBDK=1,作KGBA于G,∵tanBDK=1,tanABC= ,‎ 设KG=4n,则BG=3n,GD=4n,BK=5n=3, n= ,BD=7n= .‎ ‎∵AB=10,AQ=4,BQ=6,DQ=BQ-BD= .‎ ‎【点评】本题第二问的难点在于如何巧妙添加辅助线、如何反复利用相似、同角(等角)的三角函数表示其他相关线段并列方程求解.‎ 由MN∥BF推到三角形相似、结合CK:CF=2:3设定参数表示其他线段是本题的突破口,同角(等角)的三角函数值相等、勾股定理是解答本题的重要工具.‎ 解答此类题目的宗旨是根据已知条件表示能表示的所有线段,寻找各线段之间的关系,建立起联系,逐步推进达到求解的目的.‎ ‎23.(2019四川达州,23,12分)(12分)如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(-2,0),过点B和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.‎ ‎(1)填空:点D的坐标为( ),点E的坐标为( ).‎ ‎(2)若抛物线 经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.?‎ ‎(3)若正方形和抛物线均以每秒 个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在 轴上时,正方形和抛物线均停止运动.‎ ‎①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为 ,求 关于平移时间 (秒)的函数关系式,并写出相应自变量 的取值范围.‎ ‎②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.??‎ 解析:对于(1),可知OC=1,过D作DF垂直y轴,则△OBC≌△FCD,则FC=OB=2,DF=OC=1,故点D坐标为(-1,3),同理可得E点坐标为(-3,2);对于(2),可用待定系数法,求出抛物线的解析式;对于(3),可考虑当点D、B、E运动到y轴上时是三种情况,在这三个时间段内分别讨论,能做到不混淆、不重、不漏;求抛物线的顶点坐标,可以先求出点E平移到y轴后的坐标,从而可确定抛物线是如何平移,即可求出抛物线平移后的顶点坐标。‎ 答案:(1)D(-1,3)、E(-3,2)(2分)‎ ‎?(2)抛物线经过(0,2)、(-1,3)、(-3,2),则 ‎?.(3分)?‎ 解得 ‎? .(4分)‎ ‎?(3)①当点D运动到y轴上时,t= .‎ ‎?当0‎ ‎?设DC交y轴于点F ‎?∵?tanBCO= =2,又∵BCO=FCC ‎??tanFCC=2, 即 =2‎ ‎?∵CC= t,FC=2 t.?‎ S△CCF?= CCFC= t t=5 t2(5分)‎ ‎?当点B运动到点C时,t=1.?当 ‎?设DE交y轴于点G,过G作GHBC于H.‎ ‎?在Rt△BOC中,BC=‎ ‎?GH= ,CH= GH=‎ ‎?∵CC= t,HC= t- ,GD= t-‎ ‎?S梯形CCDG?= ( t- + t) =5t- (7分)‎ ‎?当点E运动到y轴上时,t= .‎ ‎?当1‎ ‎?设DE、EB分别交y轴于点M、N ‎?∵CC= t,BC= ,‎ CB= t- ,?BN=2CB= t-‎ ‎∵BE= ,EN=BE-BN= - t ‎?EM= EN= ( - t)‎ ‎?S△MNE?= ( - t) ( - t)=5t2-15t+‎ ‎?S五边形BCDMN?=S正方形BCDE?-S△MNE?= (5t2-15t+ )=-5t2+15t-‎ ‎?综上所述,S与x的函数关系式为:‎ 当0‎ 当 当1‎ ‎②当点E运动到点E时,运动停止.如下图所示 ‎?∵CBE=BOC=90,BCO=BCE ‎?△BOC∽△EBC ‎?∵OB=2,BE=BC=‎ ‎?CE=‎ ‎?OE=OC+CE=1+ =‎ ‎?E(0, )..(10分)‎ ‎?由点E(-3,2)运动到点E(0, ),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了 个单位.‎ 原抛物线顶点坐标为( , )(11分)‎ ‎28.(2019江苏苏州,28,12分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合,在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG,GH的长分别为4cm,3cm,设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中02.5.‎ ‎(1)试求出y关于x的函数关系式,并求当y=3时相应x的值;‎ ‎(2)记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1﹣S2是常数;‎ ‎(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.‎ 分析: (1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由△GCD∽△APG,利用对应边成比例可解出x的值.‎ ‎(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可.‎ ‎(3)延长PD交AC于点Q,然后判断△DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中,解直角三角形可得出PD的长度.‎ 解答: 解:(1)∵CG∥AP,‎ ‎△GCD∽△APG,‎ ‎∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,‎ GD=3﹣x,AG=4﹣x,‎ ‎= ,即y= ,‎ y关于x的函数关系式为y= ,‎ 当y=3时, =3,解得x=2.5,‎ 经检验的x=2.5是分式方程的根.‎ 故x的值为2.5;‎ ‎(2)∵S1= GPGD= (3﹣x)= ,‎ S2= GDCD= (3﹣x)1= ,‎ S1﹣S2= ﹣ = 即为常数;‎ ‎(3)延长PD交AC于点Q.‎ ‎∵正方形ABCD中,AC为对角线,‎ CAD=45,‎ ‎∵PQAC,‎ ADQ=45,‎ GDP=ADQ=45.‎ ‎△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP,‎ ‎3﹣x= ,‎ 化简得:x2﹣5x+5=0.‎ 解得:x= ,‎ ‎23(2019深圳市 23 ,19分)如图9①,平在面直角从标系中,直线 的位置随 的不同取值而变化。‎ ‎(1)已知⊙M的圆心坐标为(4,2),半径为2‎ 当 时,直线 经过圆心M;‎ 当 时,直线 与 ⊙M相切;‎ ‎(2)若把⊙M换成矩形 ,如图9②,其三个顶点的坐标分别为: 。设直线 扫过矩形 的面积为 ,当 由小到大变化时,请求出 与 的函数关系式。‎ ‎【解析】:(1)若直线经过圆心,则点M在直线 上,将M(4,2)代入直线解析式中,即可求出 ‎ 的值;(2)当直线与⊙M相切时,构造直角三角形,得用相似或解直角三角形的方法,可求 的值,注意分类。(3)直线在运动中,扫过知形之前,扫过的面积为0,直线扫过矩形时,扫过的图形分别为三角形,直角梯形,五边形、矩形,故可分5种情况,求出 与 的函数关系式,是典型的分段函数。‎ ‎【解答】:(1) ;‎ 如图93,易求 ,则 ,又 ∥‎ 则 ,‎ 由于 ,‎ 则 ,‎ 设 则 ,有 ,‎ ‎, 故 ,‎ 代入 ,求得 ,类似可求 ‎(2)如图94 ①当 时,直线不扫过知形,此时 ‎② 时,直线扫过矩形的面积为三角形的面积,由于直线与 轴的交点为意 ,故 ‎③ 当 时,直线扫过矩形的面积为 直角梯形的面积,此时与DC交点为 ‎④ 当 时,直线扫地矩形的面积为五边形,‎ 此时直线与DC的交点为 则 ‎⑤ 当 时,直线扫过矩形的面积即为矩形的面积,故 综上,‎ ‎【点评】:本题主要考查分段函数和分类计论思想。分类时要做到不重不漏,各种情况要仔细分析,计算量大。各种情况根据图形的特点,用面积公式求解。‎ ‎23.(2019广东汕头,23,12分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于点G;E、F分别是CD和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D处,点D恰好与点A重合.‎ ‎(1)求证:△ABG≌△C ‎(2)求tanABG的值;‎ ‎(3)求EF的长.‎ 分析: (1)根据翻折变换的性质可知BAG=90,CD=AB=CD,AGB=DGC,故可得出结论;‎ ‎(2)由(1)可知GD=GB,故AG+ GB=AD,设AG=x,则GB=8﹣x,在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长,进而得出tanABG的值;‎ ‎(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD= AD=4,再根据tanABG即可得 出EH的长,同理可得HF是△ABD的中位线,故可得出HF的长,由EF=EH+HF即可得出结论.‎ 解答: (1)证明:∵△BDC由△BDC翻折而成,‎ BAG=90,CD=AB=CD,AGB=DGC,‎ ABG=ADE,‎ 在:△ABG≌△CDG中,‎ ‎△ABG≌△C ‎(2)解:∵由(1)可知△ABG≌△CDG,‎ GD=GB,‎ AG+GB=AD,设AG=x,则GB=8﹣x,‎ 在Rt△ABG中,‎ ‎∵AB2+AG2=BG2,即62+x2=(8﹣x)2,解得x= ,‎ tanABG= = = ;‎ ‎(3)解:∵△AEF是△DEF翻折而成,‎ EF垂直平分AD,‎ HD= AD=4,‎ tanABG=tanADE= ,‎ EH=HD =4 = ,‎ ‎∵EF垂直平分AD,ABAD,‎ HF是△ABD的中位线,‎ ‎25.(2019山西,25,12分)问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中ACB=90,CA=CB,FDE=90,O是AB的中点,点D与点O重合,DFAC于点M,DEBC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由.‎ 探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:‎ 解:OM=ON,证明如下:‎ 连接CO,则CO是AB边上中线,‎ ‎∵CA=CB,CO是ACB的角平分线.(依据1)‎ ‎∵OMAC,ONBC,OM=ON.(依据2)‎ 反思交流:‎ ‎(1)上述证明过程中的依据1和依据2分别是指:‎ 依据1:‎ 依据2:‎ ‎(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.‎ 拓展延伸:‎ ‎(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM、ON,试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.‎ ‎【解析】(1)解:故答案为:等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合),角平分线上的点到角的两边距离相等.‎ ‎(2)证明:∵CA=CB,‎ B,‎ ‎∵O是AB的中点,‎ OA=OB.‎ ‎∵DFAC,DEBC,‎ AMO=BNO=90,‎ ‎∵在△OMA和△ONB中 ‎△OMA≌△ONB(AAS),‎ OM=ON.‎ ‎(3)解:OM=ON,OMON.理由如下:‎ 连接CO,则CO是AB边上的中线.‎ ‎∵ACB=90,‎ OC= AB=OB,‎ 又∵CA=CB,‎ CAB=B=45,2=45,AOC=BOC=90,‎ B,‎ ‎∵BNDE,‎ BND=90,‎ 又∵B=45,‎ ‎3=45,‎ B,‎ DN=NB.‎ ‎∵ACB=90,NCM=90.又∵BNDE,DNC=90‎ 四边形DMCN是矩形,‎ DN=MC,‎ MC=NB,‎ ‎△MOC≌△NOB(SAS),‎ OM=ON,MOC=NOB,‎ MOC﹣CON=NOB﹣CON,‎ 即MON=BOC=90,‎ OMON.‎ ‎【答案】(1)解:故答案为:等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合),角平分线上的点到角的两边距离相等.‎ ‎(2)证明过程省略.‎ ‎(3)解:OM=ON,OMON.理由见解析.‎ ‎【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等初数中常见的几何知识点.对考生的综合能力有一定的要求,故是选拔考生较好的能力题.难度较大.‎ ‎23.(本题满分10分)‎ ‎(2019山东东营,23,10分)(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;‎ ‎(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果GCE=45,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.‎ ‎(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BCAD),B=90,AB=BC,E是AB上一点,且DCE=45,BE=4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积.‎ ‎【解析】(1)利用已知条件,可证出△BCE≌△DCF(SAS),即CE=CF.(2)延长AD至F,使DF=BE.连接CF.借助(1)的全等得出BCE=DCF,GCF=BCE+DCG=90GCE=45,即GCF=GCE,又因为CE=CF,CG=CG,△ECG≌△FCG,EG=GF,GE=DF+GD=BE+GD.(3)过C作CGAD,交AD延长线于G,先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).再设AB=x,利用(1)、(2)的结论,在Rt△AED中利用勾股定理可求出x.‎ ‎【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,∵BC=CD,CDF,BE=DF,‎ ‎△CBE≌△CDF.CE=CF.‎ ‎(2)证明: 如图2,延长AD至F,使DF=BE.连接CF.‎ 由(1)知△CBE≌△CDF,BCE=DCF.‎ BCE+ECD=DCF+ECD,即ECF=BCD=90,‎ 又GCE=45,GCF=GCE=45.‎ ‎∵CE=CF,GCE=GCF,GC=GC,‎ ‎△ECG≌△FCG.GE=GF,GE=DF+GD=BE+GD.‎ ‎(3)如图3,过C作CGAD,交AD延长线于G.在直角梯形ABCD中,∵AD∥BC,B=90,又CGA=90,AB=BC,‎ 四边形ABCD 为正方形.AG=BC.已知DCE=45,‎ 根据(1)(2)可知,ED=BE+DG.‎ 所以10=4+DG,即DG=6.设AB=x,则AE=x-4,AD=x-6,在Rt△AED中,∵ ,即 ‎ .解这个方程,得:x=12,或x=-2(舍去).AB=12.所以梯形ABCD的面积为S=‎ ‎【点评】本题是一道几何综合题,内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用,重点考查学生的数学学习能力.本题的设计由浅入深,循序渐进,考虑到学生的个体差异.‎ 专项八 几何综合型问题(42)‎ ‎23.(湖南株洲市8,23题)(本题满分8分)如图,在△ABC中,C=90,BC=5米,AC=12米。M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒。运动时间为t秒。‎ ‎(1)、当t 为何值时,AMN=ANM ?‎ ‎(2)、当t 为何 值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值。‎ ‎【解析】(1)当两角相等可知,AM=AN,列出方程求出t的值,(2)面积的最值问题是利用二次函数的最值问题,根据题意写出三角形的面积与t的函数关系式,根据自变量的取值及二次函数的性质求出最值.‎ ‎【解】(1)、依题意有 1分 ‎2分 解得:t=4 秒,即为所求。 3分 ‎(2)、‎ 解法一:如图作 4分 ‎6分 ‎8分21世纪 解法二:‎ ‎4分 ‎6分 ‎8分 ‎【点评】求最大面积、最大利润等问题,一定要考虑到函数关系式的应用,特别是二次函数的应用。‎ ‎19. (2019四川省南充市,19,8分) 矩形ABCD中,AB=2AD,E为AD的中点,EFEC交AB于点F,连接FC.‎ ‎(1)求证:△AEF∽△DCE;‎ ‎(2)求tanECF的值.‎ 解析:(1)由四边形ABCD是矩形,EFEC,易得D=90,AFE=DEC,由有两组角对应相等的两个三角形相似,即可判定△AEF∽△DCE;‎ ‎(2)由△AEF∽△DCE,根据相似三角形的对应边成比例,可得 ,又由矩形ABCD中,AB=2AD,E为AD的中点,tanECF= ,即可求得答案.‎ 答案:解:(1)在矩形ABCD中,D=900.‎ ‎∵EFEC,FEC =900.FEA+CED=900.‎ ‎∵FEA+EAF=900.EAF=CED.‎ ‎⊿AEF∽⊿DCE.‎ ‎(2)∵AB=2AD,E为AD的中点,‎ ‎24. (2019浙江省嘉兴市,24,14分)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线y= 上的动点(点P在笫一象限内).连结OP,过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连结PQ,交y轴于点M.作PAx轴于点A,QBx轴于点B.设点P的横坐标为m.‎ ‎(1)如图①,当m= 时,‎ ‎①求线段OP的长和tanPOM的值;‎ ‎②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;‎ ‎(2)如图②,连结AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E。‎ ‎①用含m的代数式表示点Q的坐标;‎ ‎②求证:四边形ODME是矩形。‎ ‎【解析】(1)①欲求线段OP的长,需要先求得点P的坐标,把P点的横坐标m代入 ,可得;由PAx轴, 得PA∥MO, tanPOM=tanOPA= .‎ ‎②欲求点C的坐标, 需要先求得点Q的坐标.设Q(n, ),由题意可得 ,进而得 Q( , ),OQ= .以OQ为腰, 分别讨论当OQ=OC和OQ=CQ时,点C的坐标即可.‎ ‎(2)①由P点的横坐标为m,利用相似三角形的性质可推得点Q( ,‎ ‎ ).②先利用待定系数法求得直线PQ的函数解析式,进而得点M的坐标.利用相似三角形的判定证得△QBO∽△MOA,进而证得Q0∥ MA. 同理可证:EM∥ OD. 又∵EOD=90 .所以四边形ODME是矩形。‎ ‎【答案】 (1)①把m= 代入 , y=2.P( ,2), OP= .‎ ‎∵PAx轴,PA∥MO.‎ tanPOM=tanOPA= = .‎ ‎②设Q(n, ),∵tanQOB=tanPON, .‎ ‎,Q( , ),OQ= .‎ 当OQ=OC时,则 , ;‎ 当OQ=CQ时,则 .‎ 综上所述,所求点C的坐标为: , , .‎ ‎(2)①∵P(m , ),设Q(n, ). ∵△APO∽△BOQ, . ,得 Q( , ).‎ ‎②设直线PO的廨析式为:y=kx+b,把P(m , )、Q( , )代入得:‎ 解得b=1, M(0,1)‎ ‎∵ ,QBO=MOA=90, ,△QBO∽△MOA.‎ MAO=QOB, QO∥ MA.‎ 同理可证:EM∥ OD.‎ 又∵EOD=90, 四边形ODME是矩形。‎ ‎【点评】本题是一道几何代数综合题,主要考查了一次函数,二次函数, 勾股定理, 相似三角形的性质与判定,矩形的判定及方程思想,分类讨论,特殊到一般的数学思想等的综合应用.‎ 解题的关键:灵活应用所学,求出关键点P、Q、M点的坐标.‎ ‎(1)中,①运用了勾股定理,平行线的性质,锐角三角函数的意义; ②运用了方程思想,分类讨论的思想. (2)中相似三角形的性质与判定,,矩形的判定.‎ ‎26.(2019湖北襄阳,26,13分)如图12,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处,分别以OC、OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点.‎ ‎(1)求AD的长及抛物线的解析式;‎ ‎(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P,Q,C为顶点的三角形与△ADE相似?‎ ‎(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)根据折叠前后的相等线段,先在Rt△OEC中求出OE长,再在Rt△ADE中运用勾股定理构建方程求AD.然后将O,D,C三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c求出a,b,c即可.(2)分别用含t的代数式表示CQ和CP的长,再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程,解之即得.(3)从两定点C,E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解.‎ ‎【答案】解:(1)∵四边形ABCO为矩形,‎ OAB=AOC=B=90,AB=CO=8,AO=BC=10.‎ 由题意得,△BDC≌△EDC.‎ DEC=90,EC=BC=10,ED=BD.‎ 由勾股定理易得EO=6.‎ AE=10-6=4.‎ 设AD=x,则BD=DE=8-x,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2.‎ 解之得,x=3,AD=3.‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点O(0,0),c=0.‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3,10),C(8,0),‎ 解之得 抛物线的解析式为:y=- x2+ x.‎ ‎(2)∵DEA+OEC=90,OCE+OEC=90,‎ DEA=OCE.‎ 由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.‎ 而CQ=t,EP=2t,PC=10-2t.‎ 当PQC=DAE=90时,△ADE∽△QPC,‎ ‎= ,即 = ,解得t= .‎ 当QPC=DAE=90时,△ADE∽△PQC,‎ ‎= ,即 = ,解得t= .‎ 当t= 或 时,以P,Q,C为顶点的三角形与△ADE相似.‎ ‎(3)存在.M1(-4,-32),N1(4,-38).‎ M2(12,-32),N2(4,-26).‎ M3(4, ),N3(4,- ).‎ ‎【点评】本题是一道直线形坐标几何问题,综合考查轴对称,全等三角形,矩形的性质,相似三角形,勾股定理与方程,平行四边形等方面的知识.重点考查学生综合运用数学知识解决综合问题的能力,以及运用方程思想,数形结合思想和分类讨论的思想解决问题的能力.本题入口较宽,第(1)问就是教材习题,能保证大部分考生得分,具有公平性;第(2)问属于动态探究问题,根据相似三角形产生的相似比建立含t的方程是求解关键.第(3)问情况有三种,所要求的点有六个,如何条理清晰的进行分类得出点的位置是解题先决条件.这类问题通常是以两定点形成的边为突破口,把它当作边和对角线分别思 ‎23.(2019四川攀枝花,23,12分)(12分)如图9,在平面直角坐标系 中,四边形ABCD是菱形,顶点A、C、D均在坐标轴上,且AB=5,sinB=‎ ‎(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)记直线AB的解析式为 ,(1)中抛物线的解析式为 ‎ ,求当 时,自变量 的取值范围;‎ ‎(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值。‎ ‎【解析】菱形的性质,求抛物线解析式,‎ 三角形函数,三角形的面积的求法 ‎【答案】解:‎ ‎(1)∵四边形ABCD是菱形 AB=CD=5,ADC OC:CD=sinADC 即OC=4‎ 在Rt△OCD中,OD=3‎ OA=ADOD=2‎ D(3,0),A(2,0),C(0,4),B(5,4)‎ 设抛物线解析式为y=a(x3)(x+2)‎ 将C(0,4)代入,得a=‎ y= (x3)(x+2)= x2+ x+4‎ ‎(2)把A(2,0)和B(5,4)代入 解得 解得x1=5,x2= 2,‎ ‎2‎ ‎(3)作AF∥y轴,EF∥x轴,连结PF xB=5,yB= E(5, ) A(2,0)‎ 设P(m, m2+ m+4)‎ AF= ,EF=7,‎ S△PAE=S△AFP+S△EFPS△AFE= AF(xPxA)+ EF(yPyE) AFEF 当m= ,即P( , )时△PAE有最大值为 。‎ ‎【点评】(1)本题重点考查了菱形的性质,以及利用三角函数求线段长度和点的坐标。利用坐标求抛物线解析式。‎ ‎(2)求出直线与抛物线的两交点坐标,并结合图像解答问题。‎ ‎(3)求三角形面积的方法有很多种,此种方法利用割补法求出三角形面积关于m的函数关系式,并求最大值。‎ ‎24.(2019四川攀枝花,24,12分)(12分)如图10所示,在 形状和大小不确定的△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于 D,Q在CE上且BQ平分CBP,设BP= ,PE= .‎ ‎(1)当 时,求 的值;‎ ‎(2)当CQ= CE时,求 与 之间的函数关系式;‎ ‎(3)①当CQ= CE时,求 与 之间的函数关系式;‎ ‎②当CQ= CE( 为不小于2的常数)时,求直接 与 之间的函数关系式。‎ ‎【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例 ‎【答案】‎ 解:‎ ‎(1)∵E、F是AB、AC中点 EF∥BC,EF=0.5BC=3‎ EP= =1‎ ‎∵EF∥BC ‎△DPE∽△DBC EP:BC=1:6‎ ‎=1:36‎ ‎(2)延长BQ交射线EF于点G ‎∵EF∥BC GBC 又∵GBC=GBP GBP PG=BP=y 即EG=x+y ‎∵EF∥BC ‎△QEG∽△QCB EQ:QC=EG:BC=1‎ x+y=6‎ y= x+6‎ ‎(3)‎ ‎①同(2)中 ‎△QEG∽△QCB EQ:QC=EG:BC=2‎ x+y=26‎ y= x+12‎ ‎②y= x+6(n1)‎ ‎【点评】本题考查了角平分线和平行所形成的等腰三角形,以及平行有相似,利用相似三角形对应边成比例求解。‎ 专项八 几何综合型问题(42)‎ ‎19. (2019四川省南充市,19,8分) 矩形ABCD中,AB=2AD,E为AD的中点,EFEC交AB于点F,连接FC.‎ ‎(1)求证:△AEF∽△DCE;‎ ‎(2)求tanECF的值.‎ 解析:(1)由四边形ABCD是矩形,EFEC,易得D=90,AFE=DEC,由有两组角对应相等的两个三角形相似,即可判定△AEF∽△DCE;‎ ‎(2)由△AEF∽△DCE,根据相似三角形的对应边成比例,可得 ,又由矩形ABCD中,AB=2AD,E为AD的中点,tanECF= ,即可求得答案.‎ 答案:解:(1)在矩形ABCD中,D=900.‎ ‎∵EFEC,FEC =900.FEA+CED=900.‎ ‎∵FEA+EAF=900.EAF=CED.‎ ‎“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼,从最初的门馆、私塾到晚清的学堂,“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书,最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也?”;《论语》中的“有酒食,先生馔”;《国策》中的“先生坐,何至于此?”等等,均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者,有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意,倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来,“先生”之本源含义在于礼貌和尊称,并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载,首见于《礼记?曲礼》,有“从于先生,不越礼而与人言”,其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”,与教师、老师之意基本一致。‎ ‎⊿AEF∽⊿DCE.‎ 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。(2)∵AB=2AD,E为AD的中点,‎ 查字典数学网 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。‎
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