小学奥数解题技巧大全100讲（可打印）

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1 第一讲 观察法 在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学 数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的 结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 *例 1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学 第二册，第 11 页中的一道思考题。书中除图 1-1 的图形外没有文字说明。这道题旨在引 导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过 20 以内的加减法，基于他 们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方 形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字 18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行 10+6+□=18 会想到， 18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入 2（图 1-2）。 从竖右列 7+2+□=18（图 1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入 9（图 1-3）。 从正方形对角线上的 9+6+□=18（图 1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方 格中应填入 3（图 1-4）。 从正方形对角线上的 7+6+□=18（图 1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方 格中应填入 5（图 1-4）。 2 从横上行 3+□+7=18（图 1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入 8（图 1-5）。 又从横下行 5+□+9=18（图 1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入 4 （图 1-5）。 图 1-5 是填完数字后的幻方。 例 2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度） 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。 解：观察 6、16、26 这三个数可发现，6、16、26 的排列规律是：16 比 6 大 10，26 比 16 大 10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大 10。 观察 9、18、27 这三个数可发现，9、18、27 的排列规律是：18 比 9 大 9，27 比 18 大 9， 即后面的每一个数都比它前面的那个数大 9。 观察 80、73、66 这三个数可发现，80、73、66 的排列规律是：73 比 80 小 7，66 比 73 小 7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小 7。 这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。 例 3 将 1～9 这九个数字填入图 1-6 的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年 级程度） 解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围 的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数 1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角 的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框 中的数是按顺时针方向排列越来越小。 3 所以，在左下角的那个方框中应填 9，在它右邻的方框中应填 2，在 2 右面的方框中填 3， 在 3 上面的方框中填 4，以后依次填 5、6、7、8。 图 1-7 是填完数字的图形。 例 4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度） 解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。” 我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？ （1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图 1-8）。 （2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图 1-9）。 （3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角， 剩下五个角（图 1-10）。 例 5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字 都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适 于三年级程度） 解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。 甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数 字中，只有 0、1、6、8、9 这五个数字正看、倒看都表示数。 这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是 000，也不能是 111 和 888，只可能是 666 或 999。 4 如果这个数是 666，当其中一个人看到的是 666 时，另一个人看到的一定是 999， 999-666=333，333 正好是 666 的一半。所以这个数是 666，也可以是 999。 *例 6 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少？（适于三年级程度） 解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大， 计算起来容易出错。 如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是 1966，第二个数比它大 10，第三个数比它大 20，第四个数比它大 30，第五个数比它大 40。因此，这道题可以用下面的方法计算： 1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×（1+2+3+4） =9830+100 =9930 这五个数还有另一个特点：中间的数是 1986，第一个数 1966 比中间的数 1986 小 20，最 后一个数 2006 比中间的数 1986 大 20，1966 和 2006 这两个数的平均数是 1986。1976 和 1996 的平均数也是 1986。这样，中间的数 1986 是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面 的方法计算： 1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930 例 7 你能从 400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16 中得到启发，很快算出（1） 600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25 的得数吗？（适于四年级 程度） 解：我们仔细观察一下算式： 400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16 不难看出，原来的被除数和除数都乘以 4，目的是将除数变成 1 后面带有 0 的整百数。这 样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。 进行这种变化的好处就是当除数变成了 1 后面带有 0 的整百数以后，就可以很快求出商。 按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。 （1）600÷25 （2）900÷25 =（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4） 5 =600×4÷100 =900×4÷100 =24 =36 （3）1400÷25 （4）1800÷25 =（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4） =1400×4÷100 =1800×4÷100 =56 =72 （5）7250÷25 =（7250×4）÷（25×4） =29000÷100 =290 *例 8 把 1～1000 的数字如图 1-11 那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数， 这六个数的和是 87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是 837， 这六个数都是多少？（适于五年级程度） 解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大 1，第三个数比第一个数大 2， 第四个数比第一个数大 7，第五个数比第一个数大 8，第六个数比第一个数大 9。 假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是 87，要求出这几 个数，就要先求出六个数中的第一个数： （87-1-2-7-8-9）÷6 ＝60÷6 =10 求出第一个数是 10，往下的各数也就不难求了。 因为用同样的方法框出的六个数之和是 837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第 一个数大 1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是： 6 （837-1-2-7-8-9）÷6 ＝810÷6 =135 第二个数是：135+1=136 第三个数是：135+2=137 第四个数是：135+7=142 第五个数是：135+8=143 第六个数是：135+9=144 答略。 （2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是 7；②方框中间坚行的 11 和 18，分 别是上横行与下横行三个数的中间数。 11=（10+11+12）÷3 18=（17+18+19）÷3 所以上横行与下横行两个中间数的和是： 87÷3＝29 由此可得，和是 837 的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是： 837÷3＝279 因为上、下两个数之差是 7，所以假定上面的数是 x，则下面的数是 x+7。 x+（x+7）=279 2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7 7 =143 因为上一横行中间的数是 136，所以，第一个数是：136-1=135 第三个数是：135+2=137 因为下一横行中间的数是 143，所以， 第四个数是：143-1=142 第六个数是：142+2=144 答略。 *例 9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度） 解：（1）锯去一个顶点（图 1-12），因为正方体原来有 8 个顶点，锯去一个顶点后，增 加了三个顶点，所以， 8-1+3=10 即锯去一个顶点后还有 10 个顶点。 （2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是 8-1+2=9（个）（图 1-13）。 （3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是 8-1+1=8（个）（图 1-14）。 （4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是 8-1=7（个）（图 1-15）。 例 10 将高都是 1 米，底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体（图 1-16），求这个物体的表面积 S。（适于六年级程度） 解：我们知道，底面半径为γ，高为 h 的圆柱体的表面积是 2πγ2+2πγh。 8 本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加 在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是 以一般的观察方法去解题。 如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面 的面积就像图 1-17 那样。这三个圆的面积，就是底面半径是 1.5 米的那个圆柱的底面积。所 以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 （2π×1.52+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1） =（4.5π+3π）+2π+π =7.5π+3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97（平方米） 答略。 *例 11 如图 1-18 所示，某铸件的横截面是扇形，半径是 15 厘米，圆心角是 72°，铸件 长 20 厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度） 解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧 面。图 1-18 表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。 求表面积的方法 1： 9 ＝3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×（90+120）+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米） 求表面积的方法 2： =3.14×210+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米） 铸件的体积： =3.14×225×4 =3.14×900 10 =2826（立方厘米） 答略。 第二讲 尝试法 解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做 尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。 一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰 当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提 高解题的效率。 例 1 把数字 3、4、6、7 填在图 2-1 的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于 14。 （适于一年级程度） 解：七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困 难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一格的数确定后，下面一格的 数便可由竖列三个数之和等于 14 来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。 中间一格应填什么数呢？ 先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第 23 页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第 七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第 23 页的地方翻，…… 这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。 这就是在用“尝试法”解决问题。 本题的试数范围是 3、4、6、7 四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中， 按“横行、竖列三个数相加都得 14”的要求来逐个尝试。 如果中间的格中填 3，则竖列下面的一格应填多少呢？因为 14-5-3=6，所以竖列下面的一 格中应填 6（图 2-2）。 11 下面就要把剩下的 4、7，分别填入横行左右的两个格中（图 2-3）。把横行格中的 4、3、 7 三个数加起来，得 14，合乎题目要求。 如果中间一格填 4、或填 6、7 都不合乎题目的要求。 所以本题的答案是图 2-3 或图 2-4。 例 2 把 1、2、3……11 各数填在图 2-5 的方格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等 于 18。（教科书第四册第 57 页的思考题，适于二年级程度） 解：图 2-5 中有 11 个格，正好每一格填写一个数。 图 2-6 中写有 A、B、C 的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算， 就是说这三个数都要被用两次。因此，确定 A、B、C 这三个数是解此题的关键。 因为 1～11 之中中间的三个数是 5、6、7，所以，我们以 A、B、C 分别为 5、 6、7 开始尝试（图 2-7）。 以 6 为中心尝试，看 6 上、下两个格中应填什么数。 因为 18-6=12，所以 6 上、下两格中数字的和应是 12。 考虑 6 已是 1～11 之中中间的数，那么 6 上、下两格中的数应是 1～11 之中两头的数。再 考虑 6 上面的数还要与 5 相加，6 下面的数还要与 7 相加，5 比 7 小，题中要求是三个数相加 都等于 18，所以在 6 上面的格中填 11，在 6 下面的格中填 1（图 2-8）。 12 6+11+1=18 看图 2-8。6 上面的数是 11，11 左邻的数是 5，18-11-5=2，所以 5 左邻的数是 2（图 2-9）。 再看图 2-8。6 下面的数是 1，1 右邻的数是 7，18-1-7=10，所以 7 右邻的数是 10（图 2-9）。 现在 1～11 之中只剩下 3、4、8、9 这四个数，图 2-9 中也只剩下四个空格。在 5 的上、 下，在 7 的上、下都应填什么数呢？ 因为 18-5=13，所以 5 上、下两格中数字的和应是 13，3、4、8、9 这四个数中，只有 4+9=13， 所以在 5 的上、下两格中应填 9 与 4（图 2-10）。 看图 2-10。因为 6 左邻的数是 4，18-4-6=8，所以 6 右邻的数是 8。 因为 18-7-8=3，并且 1-11 的数中，只剩下 3 没有填上，所以在 7 下面的格中应填上 3。 图 2-10 是填完数字的图形。 *例 3 在 9 只规格相同的手镯中混有 1 只较重的假手镯。在一架没有砝码的天平上，最多 只能称两次，你能把假手镯找出来吗？（适于三年级程度） 解：先把 9 只手镯分成 A、B、C 三组，每组 3 只。 ①把 A、B 两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的 1 只在 C 组里；若不平衡， 则哪组较重，假的就在哪组里。 ②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡，余下的 1 只是假 的；若不平衡，较重的那只是假的。 *例 4 在下面的 15 个 8 之间的任何位置上，添上+、-、×、÷符号，使得下面的算式成 立。（适于三年级程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986 解：先找一个接近 1986 的数，如：8888÷8+888=1999。 1999 比 1986 大 13。往下要用剩下的 7 个 8 经过怎样的运算得出一个等于 13 的算式呢？ 88÷8=11，11 与 13 接近，只差 2。 往下就要看用剩下的 4 个 8 经过怎样的运算等于 2。8÷8+8÷8=2。 把上面的思路组合在一起，得到下面的算式： 13 8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986 例 5 三个连续自然数的积是 120，求这三个数。（适于四年级程度） 解：假设这三个数是 2、3、4，则： 2×3×4=24 24＜120，这三个数不是 2、3、4； 假设这三个数是 3、4、5，则： 3×4×5＝60 60＜120，这三个数不是 3、4、5； 假设这三个数是 4、5、6，则： 4×5×6=120 4、5、6 的积正好是 120，这三个数是 4、5、6。例 6 在下面式子里的适当位置上加上括 号，使它们的得数分别是 47、75、23、35。（适于四年级程度） （1）7×9+12÷3-2＝47 （2）7×9+12÷3-2=75 （3）7×9+12÷3-2=23 （4）7×9+12÷3-2=35 解：本题按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘除法而后做加 减法，结果是： 7×9+12÷3-2 =63+4-2 =65 “加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是加小括号均未限 制，因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号想起，然后再考虑加写中 括号。如： （1）7×7=49，再减 2 就是 47。这里的第一个数 7 是原算式中的 7，要减去的 2 是原算式 等号前的数，所以下面应考虑能否把 9+12÷3 通过加括号后改成得 7 的算式。经过加括号， （9+12）÷3=7，因此： 14 7×[（9+12）÷3]-2=47 因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本题也可以写成： 7×（9+12）÷3-2=47 （2）7×11=77，再减 2 就得 75。这里的 7 是原算式中的第一个数，要减去的 2 是等号前 面的数。下面要看 9+12÷3 能不能改写成得 11 的算式。经尝试 9+12÷3 不能改写成得 11 的算 式，所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12 得 75，这里的 7、9、12 就是原式中的前三个数， 所以只要把 3-2 用小括号括起来，使 7×9+12 之和除以 1，问题就可解决。由此得到： （7×9+12）÷（3-2）=75 因为（3-2）的差是 1，所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个加数分别除以 这个数，然后把两个商相加”这一运算规则，上面的算式又可以写成： 7×9+12÷（3-2）=75 在上面的这个算式中，本应在 7×9 的后面写上“÷（3-2）”，因为任何数除以 1 等于这 个数本身，为了适应题目的要求，不在 7×9 的后写出“÷（3-2）”。 （3）25-2=23，这个算式中，只有 2 是原算式等号前的数，只要把 7×9+12÷3 改写成得 25 的算式，问题就可解决。又因为 7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把 7×9+12 用小括号括 起来，就得到题中所求了。 （7×9+12）÷3-2=23 （4）7×5=35， 7 是原算式中的第一个数，原算式中的 9+12÷3-2 能否改写成得 5 的算 式呢？因为 7-2=5，要是 9+12÷3 能改写成得 7 的算式就好了。经改写为（9+12）÷3=7，因 此问题得到解决。题中要求的算式是： 7×[（9+12）÷3-2]=35 *例 7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。王明每天剪 20 只羊的羊毛，李 平每天剪 12 只羊的羊毛。他俩共剪了 112 只羊的羊毛，两人平均每天剪 14 只羊的羊毛。李平 剪了几天羊毛？（适于四年级程度） 解：王明、李平合在一起，按平均每天剪 14 只羊的羊毛计算，一共剪的天数是： 112÷14=8（天） 因为王明每天剪 20 只，李平每天剪 12 只，一共剪了 112 只，两人合起来共剪了 8 天，并 且李平剪的天数多，所以假定李平剪了 5 天。则： 12×5+20×（8-5）=120（只） 120＞112，李平不是剪了 5 天，而是剪的天数多于 5 天。 15 假定李平剪了 6 天，则： 12×6+20×（8-6）=112（只） 所以按李平剪 6 天计算，正满足题中条件。 答：李平剪了 6 天。 *例 8 一名学生读一本书，用一天读 80 页的速度，需要 5 天读完，用一天读 90 页的速度， 需要 4 天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多少页？（适 于五年级程度） 解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的天数等于一本 书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可以解题了。 根据“用一天读 80 页的速度，需要 5 天读完”，是否能够认为总页数就是 80×5=400（页） 呢？不能。 因为 5 天不一定每天都读 80 页，所以只能理解为：每天读 80 页，读了 4 天还有余下的， 留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了 80×4=320（页），最多不会超过： 90×4=360（页） 根据以上分析，可知这本书的页数在 321～360 页之间。知道总页数在这个范围之内，往 下就不难想到什么数自身相乘，积在 321～360 之间。 因为 17×17=289，18×18=324，19×19=361，324 在 321～360 之间，所以只有每天读 18 页才符合题意，18 天看完，全书 324 页。 答：每天应该读 18 页。 *例 9 一个数是 5 个 2，3 个 3，2 个 5，1 个 7 的连乘积。这个数有许多约数是两位数。 这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度） 解：两位数按从大到小的顺序排列为： 99、98、97、96……11、10 以上两位数分解后，它的质因数只能是 2、3、5、7，并且在它的质因数分解中 2 的个数 不超过 5，3 的个数不超过 3，5 的个数不超过 2，7 的个数不超过 1。 经尝试，99 不符合要求，因为它有质因数 11；98 的分解式中有两个 7，也不符合要求； 质数 97 当然更不会符合要求。而， 96=2×2×2×2×2×3 所以在这些两位数的约数中，最大的是 96。 16 答略。 *例 10 从一个油罐里要称出 6 千克油来，但现在只有两个桶，一个能容 4 千克，另一个 能容 9 千克。求怎样才能称出这 6 千克油？（适于六年级程度） 解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。 已知大桶可装 9 千克油，要称出 6 千克油，先把能容 9 千克油的桶倒满，再设法倒出 9 千克油中的 3 千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有 1 千克油。 怎样才能使小桶里装 1 千克油呢？ （1）把能容 9 千克油的大桶倒满油。 （2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩 5 千克油，小桶里有 4 千克油。 （3）把小桶中的 4 千克油倒回油罐。 （4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下 1 千克油。 （5）把小桶中现存的 4 千克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有 1 千克油。 （6）把大桶中的 1 千克油倒入小桶。 （7）往大桶倒满油。 （8）从大桶里往有 1 千克油的小桶里倒油，倒满。 （9）大桶里剩下 6 千克油。 第三讲 列举法 解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分 析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也 叫枚举法或穷举法。 用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。 例 1 一本书共 100 页，在排页码时要用多少个数字是 6 的铅字？（适于三年级程度） 解：把个位是 6 和十位是 6 的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是 6 的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共 10 个。 十位是 6 的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共 10 个。 10+10=20（个） 17 答：在排页码时要用 20 个数字是 6 的铅字。 *例 2 从 A 市到 B 市有 3 条路，从 B 市到 C 市有两条路。从 A 市经过 B 市到 C 市有几种走 法？（适于三年级程度） 解：作图 3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从 A 市经过 B 市到 C 市共有 6 种走法。*例 3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在 长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级 程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎 样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于 100 的分数；如果在两个圆圈内 仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于 100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号， 也不能同时填“+”、“-”号。 要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端 得出 100。9×13-7=117-7=110，未凑出 100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就 会凑出 100 了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 18 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈 内填上“÷”号， 14÷2 得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是 2。 *例 4 印刷工人在排印一本书的页码时共用 1890 个数码，这本书有多少页？（适于 四年级程度） 解：（1）数码一共有 10 个：0、1、2……8、9。0 不能用于表示页码，所以页码是一位 数的页有 9 页，用数码 9 个。 （2）页码是两位数的从第 10 页到第 99 页。因为 99-9=90，所以，页码是两位数的页有 90 页，用数码： 2×90=180（个） （3）还剩下的数码： 1890-9-180=1701（个） （4）因为页码是三位数的页，每页用 3 个数码，100 页到 999 页，999-99=900，而剩下 的 1701 个数码除以 3 时，商不足 600，即商小于 900。所以页码最高是 3 位数，不必考虑是 4 位数了。往下要看 1701 个数码可以排多少页。 1701÷3=567（页） （5）这本书的页数： 9+90+567=666（页） 答略。 *例 5 用一根 80 厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是 5 的倍数。哪一种方法围 成的长方形面积最大？（适于四年级程度） 解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比 较。因为长方形的周长是 80 厘米，所以长与宽的和是 40 厘米。列表 3-1： 表 3-1 19 表 3-1 中，长、宽的数字都是 5 的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大， 第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。 前三种围法的长方形面积 分别是： 35×5=175（平方厘米） 30×10=300（平方厘米） 25×15=375（平方厘米） 答：当长方形的长是 25 厘米，宽是 15 厘米时，长方形的面积最大。 例 6 如图 3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字 1、2、3，从中抽出一张、两张、三 张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出 来。（适于五年级程度） 解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中 2 和 3 是质数； 任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、 23 和 31 是质数； 三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是 1+2+3=6，即它们都是 3 的倍数，所以都不是质数。 综上所说，所能得到的质数是 2、3、13、23、31，共五个。 *例 7 在一条笔直的公路上，每隔 10 千米建有一个粮站。一号粮站存有 10 吨粮食，2 号 粮站存有 20 吨粮食，3 号粮站存有 30 吨粮食，4 号粮站是空的，5 号粮站存有 40 吨粮食。现 在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨 1 千米的运费是 0.5 元，那么粮食集中到第几 号粮站所用的运费最少（图 3-3）？（适于五年级程度） 解：看图 3-3，可以断定粮食不能集中在 1 号和 2 号粮站。 下面将运到 3 号、4 号、5 号粮站时所用的运费一一列举，并比较。 （1）如果运到 3 号粮站，所用运费是： 20 0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10） =100+100+400 =600（元） （2）如果运到 4 号粮站，所用运费是： 0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10 =150+200+150+200 =700（元） （3）如果运到 5 号粮站，所用费用是： 0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10） =200+300+300 =800（元） 800＞700＞600 答：集中到第三号粮站所用运费最少。 *例 8 小明有 10 个 1 分硬币，5 个 2 分硬币，2 个 5 分硬币。要拿出 1 角钱买 1 支铅笔， 问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度） 解：（1）只拿出一种硬币的方法： ①全拿 1 分的： 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角） ②全拿 2 分的： 2+2+2+2+2=1（角） ③全拿 5 分的： 5+5=1（角） 只拿出一种硬币，有 3 种方法。 （2）只拿两种硬币的方法： ①拿 8 枚 1 分的，1 枚 2 分的： 21 1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角） ②拿 6 枚 1 分的，2 枚 2 分的： 1+1+1+1+1+1+2+2=1（角） ③拿 4 枚 1 分的，3 枚 2 分的： 1+1+1+1+2+2+2=1（角） ④拿 2 枚 1 分的，4 枚 2 分的： 1+1+2+2+2+2=1（角） ⑤拿 5 枚 1 分的，1 枚 5 分的： 1+1+1+1+1+5=1（角） 只拿出两种硬币，有 5 种方法。 （3）拿三种硬币的方法： ①拿 3 枚 1 分，1 枚 2 分，1 枚 5 分的： 1+1+1+2+5=1（角） ②拿 1 枚 1 分，2 枚 2 分，1 枚 5 分的： 1+2+2+5=1（角） 拿出三种硬币，有 2 种方法。 共有： 3+5+2=10（种） 答：共有 10 种拿法。 *例 9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止， 甲赛了 4 盘，乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁赛了 1 盘。问小强赛了几盘？（适于五年级程度） 解：作表 3-2。 表 3-2 22 甲已经赛了 4 盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交 的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙 与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√；丁 与甲赛的那一盘也打上√。 丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。 根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛， 共赛 2 盘。 答：小强赛了 2 盘。 *例 10 商店出售饼干，现存 10 箱 5 千克重的，4 箱 2 千克重的，8 箱 1 千克重的，一位 顾客要买 9 千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于五年级程 度） 解：作表 3-3 列举发货方式。 表 3-3 答：不开箱有 7 种发货方式。 *例 11 运输队有 30 辆汽车，按 1～30 的编号顺序横排停在院子里。第一次陆续开走的全 部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几次时汽车全部开走？ 最后开走的是第几号车？（适于五年级程度） 解：按题意画出表 3-4 列举各次哪些车开走。 23 表 3-4 从表 3-4 中看得出，第三次开走后剩下的是第 8 号、16 号、24 号车。按题意，第四次 8 号、24 号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第 16 号车。 答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第 16 号车。 *例 12 在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存 90 袋，乙仓存 50 袋，甲仓每次运出 12 袋， 乙仓每次运出 4 袋。运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？（适于五年级程度） 解：根据题意列表 3-5。 表 3-5 从表 3-5 可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差 40 袋；第一次运走后，两仓剩下的大 米相差 78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差 66-42=24（袋）；第三次运走 后，两仓剩下的大米相差 54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差 42-34=8（袋）； 第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。 40-32=8 32-24=8 24-16=8 24 …… 从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少 8 袋。由此可以看出， 两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相 等。 （90-50）÷（12-4）=5（次） 答：运出 5 次后两个仓库剩下大米的袋数相等。 *例 13 有三组小朋友共 72 人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组； 第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多 的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友？（适于五年级程 度） 解：三个小组共 72 人，第三次并入后三个小组人数相等，都是 72÷3=24（人）。在这以 前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是 24÷2=12（人），第三 组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为 24 人；在第二次第二组未把与第三组同样多的 人数并入第三组之前，第三组应为 36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一 组人数仍是 12 人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人 数应为 42÷2=21（人），第一组人数应为 12+21=33（人），第三组应为 18 人。 这 33 人、21 人、18 人分别为第一、二、三组原有的人数，列表 3-6。 表 3-6 答：第一、二、三组原有小朋友分别是 33 人、21 人、 18 人 第四讲 综合法 从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未 知数量的解题方法叫做综合法。 25 以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后 将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题……一直到 解出应用题所求解的未知数量。 运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐 步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应 用题。 例 1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300 米的水渠，4 天完成任务。甲队每天挖 40 米，乙队每天挖多少米？（适于三年级程度） 解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300 米的水渠”和“4 天完成任务”这两 个已知条件，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图 4-1）。 300÷4=75（米） 根据“甲、乙两队每天共挖水渠 75 米”和“甲队每天挖 40 米”这两个条件，可以求出乙 队每天挖多少米（图 4-1）。 75-40=35（米） 综合算式： 300÷4-40 =75-40 =35（米） 答：乙队每天挖 35 米。 例 2 两个工人排一本 39500 字的书稿。甲每小时排 3500 字，乙每小时排 3000 字，两人 合排 5 小时后，还有多少字没有排？（适于四年级程度） 解：根据甲每小时排 3500 字，乙每小时排 3000 字，可求出两人每小时排多少字（图 4-2）。 26 3500+3000=6500（字） 根据两个人每小时排 6500 字，两人合排 5 小时，可求出两人 5 小时已排多少字（图 4-2）。 6500×5=32500（字） 根据书稿是 39500 字，两人已排 32500 字，可求出还有多少字没有排（图 4-2）。 39500-32500=7000（字） 综合算式： 39500-（3500+3000）×5 =39500-6500×5 =39500-32500 =7000（字） 答略。 例 3 客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行。客车每小时行 60 千米，货车每小时 行 40 千米，5 小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。（适于四年级程度） 解：根据“客车每小时行 60 千米”和“货车每小时行 40 千米”这两个条件，可求出两车 一小时共行多少千米（图 4-3）。 60+40=100（千米） 27 根据“两车一小时共行 100 千米”和两车 5 小时后相遇，便可求出甲、乙两地间的路程是 多少千米（图 4-3）。 100×5=500（千米） 综合算式： （60+40）×5 =100×5 =500（千米） 答：甲、乙两地间的路程是 500 千米。 例 4 一个服装厂计划做 660 套衣服，已经做了 5 天，平均每天做 75 套。剩下的要 3 天做 完，问平均每天要做多少套？（适于四年级程度） 解：根据“已经做了 5 天，平均每天做 75 套”这两个条件可求出已做了多少套（图 4-4）。 75×5=375（套） 根据“计划做 660 套”和“已经做了 375 套”这两个条件，可以求出还剩下多少套（图 4 -4）。 660-375=285（套） 再根据“剩下 285 套”和“剩下的要 3 天做完”，便可求出平均每天要做多少套（图 4-4）。 285÷3=95（套） 综合算式： （660-75×5）÷3 =285÷3 =95（套） 28 答略。 例 5 某装配车间，甲班有 20 人，平均每人每天可做 72 个零件；乙班有 24 人，平均每人 每天可做 68 个零件。如果装一台机器需要 12 个零件，那么甲、乙两班每天生产的零件可以装 多少台机器？（适于四年级程度） 解：根据“甲班有 20 人，平均每人每天可做 72 个零件”这两个条件可求出甲班一天生产 多少个零件（图 4-5）。 72×20=1440（个） 根据“乙班有 24 人，平均每天每人可做 68 个零件”这两个条件可求出乙班一天生产多少 个零件（图 4-5）。 68×24=1632（个） 根据甲、乙两个班每天分别生产 1440 个、1632 个零件，可以求出甲、乙两个班一天共生 产多少个零件（图 4-5）。 1440+1632=3072（个） 再根据两个班一天共做零件 3072 个和装一台机器需要 12 个零件这两条件，可求出两个班 一天生产的零件可以装多少台机器。 3072÷12=256（台） 综合算式： （72×20+68×24）÷12 =（1440+1632）÷12 =3072÷12 =256（台） 答略。 29 例 6 一个服装厂计划加工 2480 套服装，每天加工 100 套，工作 20 天后，每天多加工 20 套。提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务？（适于四年级程度） 解：根据每天加工 100 套，加工 20 天，可求出已经加工多少套（图 4-6）。 100×20=2000（套） 根据计划加工 2480 套和加工了 2000 套，可求出还要加工多少套（图 4-6）。 2480-2000=480（套） 根据原来每天加工 100 套，现在每天多加工 20 套，可求出现在每天加工多少套（图 4-6）。 100+20=120（套） 根据还要加工 480 套，现在每天加工 120 套，可求出还要加工多少天（图 4-6）。 48O÷120=4（天） 综合算式： （2480-100×20）÷（100+20） =480÷120 =4（天） 答略。 刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思路图，当对综合法的解题方法已经很熟悉时， 就可以不再画思路图，而直接解答应用题了。 解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。 30 =49.5（千克） 答略。 解：此题先后出现两个标准量：“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱的重量”。 将题中已知条件的顺序变更一下：丙块地产高粱 450 千克，丙块地比乙 条件，可求出乙块地产高粱是： （这里乙块地的产量是标准量 1） 31 （这里甲块地的产量是标准量 1） 综合算式： =546（千克） 答略。 第五讲 分析法 从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题 方法叫分析法。 用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未知的，就 要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。 分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。 例 1 玩具厂计划每天生产 200 件玩具，已经生产了 6 天，共生产 1260 件。问平均每天超 过计划多少件？（适于三年级程度） 解：这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件，必须具备两个 条件（图 5-1）：①实际每天生产多少件；②计划每天生产多少件。 计划每天生产 200 件是已知条件。实际每天生产多少件，题中没有直接告诉，需要求出来。 32 要求实际每天生产多少件，必须具备两个条件（图 5-1）：①一共生产了多少件；②已经 生产了多少天。这两个条件都是已知的：①一共生产了 1260 件；②已经生产了 6 天。 分析到这里，问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是： （1）实际每天生产多少件？ 1260÷6=210（件） （2）平均每天超过计划多少件？ 210-200=10（件） 综合算式： 1260÷6-200 =210-200 =10（件）例 2 四月上旬，甲车间制造了 257 个机器零件，乙车间制造的机器零件是甲车 间的 2 倍。四月上旬两个车间共制造多少个机器零件？（适于三年级程度） 解：要求两个车间共制造多少个机器零件，必须具备两个条件（图 5-2）：①甲车间制造 多少个零件；②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造 257 个零件，乙车间制造多少个零件 未知。 下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个 条件。 这两个条件（图 5-2）是：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造的零件是甲车间的几 倍。这两个条件都是已知的：①甲车间制造 257 个，乙车间制造的零件数是甲车间的 2 倍。 分析到此，问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是： （1）乙车间制造零件多少个？ 33 257×2=514（个） （2）两个车间共制造零件多少个？ 257+514=771（个） 综合算式： 257+257×2 =257+514 =771（个） 答略。 例 3 某车间要生产 180 个机器零件，已经工作了 3 天，平均每天生产 20 个。剩下的如果 每天生产 30 个，还需要几天才能完成？（适于四年级程度） 解：要求还需要几天才能完成，必须具备两个条件（图 5-3）：①还剩下多少个零件；② 每天生产多少个零件。在这两个条件中，每天生产 30 个零件是已知条件，还剩多少个零件未 知。 先把“还剩多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出还剩下多少个零件，必须具备的两个条件（图 5-3）是：①要生产多少个零件；② 已经生产了多少个零件。要生产 180 个零件是已知条件，已经生产多少个零件未知。 然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出已生产多少个零件，必须知道的两个条件（图 5-3）是：①每天生产多少个零件； ②生产了几天。这两个条件题中都已经给出：每天生产 20 个零件，生产了 3 天。 分析到此，问题就得到解决。 上面的思考过程，分步列式计算就是： （1）已经生产了多少个零件？ 34 20×3=60（个） （2）剩下多少个零件？ 180-60=120（个） （3）还要几天才能完成？ 120÷30=4（天） 综合算式： （180-20×3）÷30 =（180-60）÷30 =120÷30 =4（天） 答略。 例 4 王明买了 24 本笔记本和 6 支铅笔，共花了 9.60 元钱。已知每支铅笔 0.08 元，每本 笔记本多少钱？（适于五年级程度） 解：要算出每本笔记本多少钱，必须具备两个条件（图 5-4）：①买笔记本用了多少钱； ②买了多少本笔记本。从题中已知买了 24 本笔记本，买笔记本用的钱数未知。 先把买笔记本用的钱数作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出买笔记本用多少钱，必须知道的两个条件（图 5-4）是：①买笔记本、铅笔共用多 少钱；②买铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用 9.60 元，买铅笔用去多少钱未知。 然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。 要算出买铅笔用多少钱，必须知道的两个条件（图 5-4）是：①买多少支铅笔；②每支铅 笔多少钱。这两个条件在题中都是已知的：买 6 支铅笔，每支 0.08 元。 35 分析到此，问题就得到解决。 此题分步列式计算就是： （1）买铅笔用去多少元？ 0.08×6=0.48（元） （2）买笔记本用去多少元？ 9.60-0.48=9.12（元） （3）每本笔记本多少元？ 9.12÷24=0.38（元） 列综合算式计算： （9.60-0.08×6）÷24 ＝（9.60-0.48）÷24 =9.12÷24 =0.38（元） 答：每本笔记本 0.38 元。 例 5 仓库里共有化肥 2520 袋，两辆车同时往外运，共运 30 次，每次甲车运 51 袋。每次 甲车比乙车多运多少袋？（适于五年级程度） 解：求每次甲车比乙车多运多少袋，必须具备两个条件（图 5-5）：①甲车每次运多少袋； ②乙车每次运多少袋。甲车每次运 51 袋已知，乙车每次运多少袋未知。 先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。 要算出乙车每次运多少袋，必须具备两个条件（图 5-5）：①两车一次共运多少袋；②甲 车一次运多少袋。甲车一次运 51 袋已知；两车一次共运多少袋是未知条件。 36 然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出两车一次共运多少袋，必须具备两个条件（图 5-5）：①一共有多少袋化肥；②两 车共运多少次。这两个条件都是已知的：共有 2520 袋化肥，两车共运 30 次。 分析到此，问题就得到解决。 此题分步列式计算就是： ①两车一次共运多少袋？ 2520÷30=84（袋） ②乙车每次运多少袋？ 84-51=33（袋） ③每次甲车比乙车多运多少袋？ 51-33=18（袋） 综合算式： 51-（2520÷30-51） =51-33 =18（袋） 答略。 *例 6 把 627.5 千克梨装在纸箱中，先装 7 箱，每箱装梨 20 千克，其余的梨每箱装 37.5 千克。这些梨共装多少箱？（适于五年级程度） 解：要算出共装多少箱，必须具备两个条件（图 5-6）：①先装多少箱。②后装多少箱。 先装 7 箱已知，后装多少箱未知。 先把“后装多少箱”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出后装多少箱，必须具备两个条件（图 5-6）：①后来一共要装多少千克；②后来每 箱装多少千克。后来每箱装 37.5 千克已知，后来一共装多少千克未知。 37 要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出，并找出回答这一问题所需要的两个条 件。要求后来一共要装多少千克，必须具备两个条件（图 5-6）：①梨的总重量；②先装了多 少千克。梨的总重量是 627.5 千克已知的；先装了多少千克是未知的，要把它作为一个问题提 出来，并找出回答这个问题所需要的两个条件。 这两个条件（图 5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。这两个条件都是 已知的：先装的每箱装梨 20 千克，装了 7 箱。 分析到此，问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是： ①先装多少千克？ 20×7=140（千克） ②后来共装多少千克？ 627.5-140=487.5（千克） ③后来装了多少箱？ 487.5÷37.5=13（箱） ④共装多少箱？ 7+13=20（箱） 综合算式： 7+（627.5-20×7）÷37.5 =7+（627.5-140）÷37.5 =7+487.5÷37.5 38 =7+13 =20（箱） 答略。 注意：开始学习用分析法解应用题时，一定要画思路图，当对分析法的解题方法已经很熟 悉时，可不再画思路图，而直接分析解答应用题了。 节约了 15％。问六月份比四月份少用煤多少吨？（适于六年级程度） 解：此题中出现两个标准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤 量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。 要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少吨。 要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六月份比五月份 节约多少。这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是： 3200×（1-15％）=2720（吨） 要算出四月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五月份比四月份 节约多少。这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是： 知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨。 3600-2720=880（吨） 综合算式： =3600-2720 =880（吨） 答略。 39 答略。 第六讲 分析-综合法 综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时，由于单纯用综 合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和 综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。 *例 1 运输队要把 600 吨化肥运到外地，计划每天运 22 吨。运了 15 天以后，剩下的化肥 要在 10 天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级程度） 解：解此题要运用分析法和综合法去思考。 先用综合法思考。根据“原计划每天运 22 吨”和“运了 15 天”这两个条件，可以求出已 经运出的吨数（图 6-1）。 根据要“运 600 吨”和已经运出的吨数，可以求出剩下化肥的吨数（图 6-1）。 接下去要用哪两个数量求出什么数量呢？不好思考了。所以用综合法分析到这儿，接着要 用分析法思考了。 要求“每天比原计划多运多少吨”，必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多 少吨”。“原计划每天运 22 吨”是已知条件，“后来每天运多少吨”不知道，这是此题的中 间问题（图 6-2）。 要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内运完”。这两 个条件中，第二个条件是已知的，“要在 10 天内运完”，“剩下多少吨”是未知的中间问题。 我们在前面用综合法分析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了。 40 所以本题分析到这里就可以解答了。 此题分步列式解答时，要从图 6-1 的上面往下看，接着从图 6-2 的下面往上看。 （1）已经运多少吨？ 22×15=330（吨） （2）剩下多少吨？ 600-330=270（吨） （3）后来每天运多少吨？ 270÷10=27 吨） （4）每天比原计划多运多少吨？ 27-22=5（吨） 综合算式： （600-22×15）÷10-22 =（600-330）÷10-22 =270÷10-22 =27-22 =5（吨） 答略。 *例 2 某鞋厂原计划 30 天做皮鞋 13500 双，实际上每天比原计划多做 50 双。问这个鞋厂 提前几天完成原计划的任务？（适于五年级程度） 解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。 先用分析法思考。要算出提前几天完成计划，必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数” （图 6-3）。“原计划天数”是 30 41 天，已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中间问题。 要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”（图 6-3）。 到此可以往下思考，要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件？但有的人觉得这 样思考时不顺当，思路会“卡壳”，这时就要换用综合法进行思考。 由“原计划 30 天做皮鞋 13500 双”，可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图 6-4）。 由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做 50 双”，可用加法算出“实际 每天做的皮鞋数”（图 6-4）。 分析到此，这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时，得从图 6-4 的上 面往下面推想，然后从图 6-3 的后面（下面）往前推想。 （1）看图 6-4 的思路图。通过把原计划做的 13500 双除以计划做的 30 天，可以得到原计 划每天做多少双皮鞋。 13500÷30=450（双） （2）在计划每天做的 450 双皮鞋上，加上实际每天多做的 50 双，得到实际每天做的皮鞋 数。 450+50=500（双） （3）接着看图 6-3 的思路图。从思路图的下面往上推想，皮鞋总数除以实际每天做的皮 鞋数 500 双，得到实际制做的天数。 13500÷500=27（天） 42 （4）接着往上看，从原计划做的 30 天，减去实际做的天数 27 天，就得到提前完成计划 的天数。 30-27=3（天） 把上面分步计算的算式综合为一个算式是： 30-13500÷（13500÷30+50） =30-13500÷500 =30-27 =3（天） 答略。 *例 3 甲、乙两队同时开凿一条 2160 米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿 20 米，乙队 从另一端起，每天比甲队多开凿 5 米。两队在离中点多远的地方会合？（适于五年级程度） 解：看图 6-5。要求两队在离中点多远的地方会合，需要知道隧道的中点及会合点离一端 的距离（分析法）。 每天 20 米每天比甲队多 5 米 隧道全长 2160 米，中点到一端的距离可以通过 2160÷2 求得（综合法）。 要求出会合点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开凿的米数。要 求甲队开凿的米数，就要知道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已知）和开凿的天数（分析法）。 甲队每天开凿 20 米已知，开凿的天数不知道。 要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米（分析法）。 已知甲队每天开凿 20 米，乙队每天比甲队多开凿 5 米，这样可以求出乙队每天开凿多少 米，从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。 分析到此，这道题的问题就得到解决了。 此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。 （1）乙队每天开凿多少米？ 20+5=25（米） 43 （2）甲乙两队一天共开凿多少米？ 20+25=45（米） （3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？ 2160÷45=48（天） （4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离） 20×48=960（米） （5）甲队到中点的距离是多少米？ 2160÷2=1080（米） （6）会合点与中点间的距离是多少米？ 1080-960=120（米） 综合算式： 2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）] =1080-20×48 =1080-960 =120（米） 答略。 *例 4 某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队 8 名队员共采集 11.6 千克，第二 小队 6 名队员比第一小队少采集 2.8 千克，第三小队 10 名 克？（适于五年级程度） 解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选择出与所求数 量有直接联系的数量关系。而用分析法分析，能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系， 找到解题所需要的数量后，再用综合法分析。 要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树种多少千克” 和“全体队员的人数”（图 6-6）。 44 要求“三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克；要 求“全体队员人数”必须知道各小队的人数（图 6-6）。 三个小队的人数都已经知道，第一小队采集 11.6 千克也已知，只是第二、三小队各采集 多少还不知道。 往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图 6-6）。 由“第一小队共采集 11.6 千克”和“第二小队比第一小队少采集 2.8 千克”，可求出第 二小队采集多少千克；由“第二小队采集的重量”和“第 往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多少千克；也可以由各小队 的人数之和求出“全体队员的人数”。 到此本题就可以解出来了。 本题分步列式解答的方法是： （1）第二小队采集多少千克？ 11.6-2.8=8.8（千克） （2）第三小队采集多少千克？ 45 （3）三个小队共采集多少千克？ 11.6+8.8+13.2=33.6（千克） （4）三个小队有多少队员？ 8+6+10=24（人） （5）平均每人采集多少千克？ 33.6÷24=1.4（千克） 综合算式： =33.6÷24 =1.4（千克） 答略。 *例 5 甲、乙两城之间的路程是 210 千米，慢车以每小时 40 千米的速度由甲城开往乙城， 行车 15 分钟后，快车由乙城开往甲城，经过 2 小时两车相遇。这时快车开到甲城还需要多少 小时？（适于六年级程度） 解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是： 先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”，必须知道两个条件（图 6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米。这两个条件题目中都没给出， 应把它们分别作为中间问题。 接着思考，要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小时行多少千米 必须具备哪两个条件？……如果思路不“卡壳”，就一直思考下去，直到解答出所求问题。如 果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。另画一个思路图（图 6-8）。 46 图 6-8 中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是： 快车已行的路程是： 210-90=120（千米） 快车每小时所行的路程是： 120÷2=60（千米） 到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需要的时间是： 90÷60=1.5（小时） 综合算式： 答略。 第七讲 归一法 先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数 量的解题方法叫做归一法。 归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。 用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方 法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。 （一）一次直进归一法 47 通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次直进归一 法。 1.解整数、小数应用题 例 1 某零件加工小组，5 天加工零件 1500 个。照这样计算，14 天加工零件多少个？（适 于三年级程度） 解：（1）一天加工零件多少个？ 1500÷5=300（个） （2）14 天加工零件多少个？ 300×14=4200（个） 综合算式： 1500÷5×14=4200（个） 答略。 此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型，下面的题都在此类型题的基础上有所扩 展。 例 2 用一台大型抽水机浇地，5 小时浇了 15 公顷。照这样计算，再浇 3 小时，这台抽水 机比原来多浇多少公顷地？（适于三年级程度） 解：（1）一小时浇地多少公顷？ 15÷5=3（公顷） （2）3 小时浇地多少公顷？ 3×3=9（公顷） 综合算式： 15÷5×3=9（公顷） 答略。例 3 一辆汽车 3 小时行驶了 123.6 千米。照这样的速度，再行驶 4 小时，这辆汽 车一共行驶了多少千米？（适于五年级程度） 解：（1）一小时行驶多少千米？ 123.6÷3=41.2（千米） （2）前后共行驶多少小时？ 48 3+4=7（小时） （3）一共行驶多少千米？ 41.2×7=288.4（千米） 综合算式： 123.6÷3×（3+4） =41.2×7 =288.4（千米） 答略。 2.解分数应用题 经行驶了 4 份，还剩下全路程的 7-4=3（份）。还可知，行驶 4 份用的时间是 8 小时。 （1）行驶 1 份用的时间是： 8÷4=2（小时） （2）行驶剩下的 3 份用的时间是： 2×3=6（小时） 答略。 数量是单位“1”。把六月份的伐木数量平均分成 6 份，五月份的伐木数量就相当于六月 份伐木数量的 5 份。 （1）一份木材是多少立方米？ 240÷5=48（立方米） 49 （2）因为六月份比五月份多伐一份，所以六月份的伐木数量是： 240+48=288（立方米） 答略。 兔，其余的是灰 兔。已知黑兔比白兔多 21 只。求灰免有多少只？（适于六年级程度） 12 份，白兔占 5 份，则灰兔占 20-12-5=3（份）。 （1）黑兔比白兔多 21 只，这 21 只所对应的份数是： 12-5=7（份） （2）每一份的只数是： 21÷7=3（只） （3）灰兔的只数是： 3×3=9（只） 答略。 程度） 运进一些红糖后，把两种糖的总重量平均分成 10 份，红糖占 3 份，白糖占 7 份。把上面 的数量用表 7-1 表示。 50 表 7-1 （1）白糖的重量是： 63O÷5×4=504（千克） （2）运来红糖后两种糖的总重量是： 504÷7×10=720（千克） （3）运来的红糖是： 720-630=90（千克） 答略。 （二）一次逆转归一法 通过一步计算求出单位数量，再求总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫做一次逆 转归一法。 例 1 一列火车 6 小时行驶 390 千米。照这样的速度，要行驶 1300 千米的路程，需要多少 小时？（适于三年级程度） 解：（1）一小时行驶多少千米？ 390÷6=65（千米） （2）行驶 1300 千米需要多少小时？ 1300÷65=20（小时） 综合算式： 1300÷（390÷6） =1300÷65 =20（小时） 答略。 51 此题是一次逆转归一的基本题，下面的题都在此题的基础上有所扩展。 例 2 某人骑自行车从甲地到乙地，2 小时行了 26 千米，剩下的路程是 52 千米。按照这样 的速度，此人从甲地到乙地要行几小时？（适于四年级程度） 解：（1）一小时行多少千米？ 26÷2=13（千米） （2）行驶 52 千米用几小时？ 52÷13=4（小时） （3）从甲地到乙地要行几小时？ 2+4=6（小时） 综合算式： 2+52÷（26÷2） =2+52÷13 =2+4 =6（小时） 答略。 例 3 学校买来 135 米塑料绳，先剪下 9 米做了 5 根跳绳。照这样计算，剩下的塑料绳可 以做多少根跳绳？（适于五年级程度） 解：（1）一根跳绳有多少米？ 9÷5=1.8（米） （2）剩下的塑料绳有多少米？ 135-9=126（米） （3）剩下的绳子可以做多少根跳绳？ 126÷1.8=70（根） 综合算式： （135-9）÷（9÷5） 52 =126÷1.8 =70（根） 答略。 （三）二次直进归一法 通过两步计算求出单位数量，再求若干个单位数量和的解题方法叫做二次直进归一法。 *例 1 4 辆同样的卡车 7 次运货物 224 吨。照这样计算，9 辆同样的卡车 10 次可以运货物 多少吨？（适于五年级程度） 解：摘录整理题中的条件，排列成表 7-2。 （1）4 辆卡车一次运货多少吨？ 224÷7=32（吨） （2）一辆卡车一次运货多少吨？ 32÷4=8（吨） （3）9 辆卡车一次运货多少吨？ 8×9=72（吨） 表 7-2 （4）9 辆卡车 10 次运货多少吨？ 72×10=720（吨） 综合算式： 224÷7÷4×9×10 =8×9×10 =720（吨） 答略。 53 此题是二次直进归一的基本题，下面的题在此基础上都有所变化。 *例 2 某水库上游有农田需抽水浇地，抽水站七月上旬用一台柴油机从 农田用水量要增加，这个抽水站准备同时用 4 台柴油机抽水。这个抽水站最少还应准备多 少千克柴油？（适于五年级程度） 解：摘录整理题中条件，排列成表 7-3。 分成 5 份中的 4 份，所以 5 份中的 1 份是： 200÷4=50（千克） 表 7-3 （2）一台柴油机一天用油多少千克？ 50÷10=5（千克） （3）4 台柴油机 21 天用油多少千克？ 5×4×21=420（千克） （4）还应准备柴油多少千克？ 420-200=220（千克） 综合算式： 200÷4÷10×4×21-200 =5×4×21-200 =420-200 =220（千克） 54 答略。 *例 3 冬天，有 12 头牛 3 天吃干草 720 千克。牵走 3 头牛后，有 720 千克干草要给剩下 的牛吃 4 天，干草是不是够用？（适于五年级程度） 解：摘录整理题中条件，排列成表 7-4。 （1）1 头牛 1 天吃干草多少千克？ 720÷12÷3=20（千克） （2）牵走 3 头牛后，剩下几头牛？ 12-3=9（头） 表 7-4 （3）9 头牛 4 天吃干草多少千克？ 20×9×4=720（千克） 综合算式： 720÷12÷3×（12-3）×4 =20×9×4 =720（千克） 答：720 千克干草正好够用。 *例 4 用手工剪羊毛，第一天 4 人 6 小时剪羊毛 120 千克。第二天增加了同样能干的 3 个 人，还是工作 6 小时。问两天一共剪羊毛多少千克？（适于五年级程度） 解：摘录整理题中条件，排列成表 7-5。 （1）1 人 1 小时剪羊毛多少千克？ 120÷4÷6=5（千克） （2）增加 3 个人后共有多少个人？ 55 4+3=7（人） 表 7-5 （3）7 个人 6 小时剪多少千克羊毛？ 5×7×6=210（千克） （4）两天一共剪多少千克羊毛？ 120+210=330（千克） 综合算式： 120+120÷4÷6×（4+3）×6 =120+5×7×6 =120+210 =330（千克） 答略。 （四）二次逆转归一法 通过两步计算，求出单位数量之后，再求出总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫 做二次逆转归一法。 *例 1 3 台拖拉机 8 小时耕地 4.8 公顷。照这样计算，9 公顷地，用 5 台拖拉机耕，需要 多少小时？（适于五年级程度） 解：摘录整理题中条件，排列成表 7-6。 （1）1 台拖拉机 1 小时耕地多少公顷？ 4.8÷3÷8=0.2（公顷） （2）5 台拖拉机耕 9 公顷土地用多少小时？ 表 7-6 56 9÷5÷0.2=9（小时） 综合算式： 9÷5÷（4.8÷3÷8） =9÷5÷0.2 =9（小时） 答略。 此题是适于用二次逆转归一法解的基本题，下面的题在此基础上都有所扩展。 *例 2 7 名工人 10 小时生产机器零件 420 个。在缺席 2 名工人的情况下，要生产 330 个 机器零件，要用多少小时？（适于五年级程度） 解：摘录整理题中条件，排列出表 7-7。 （1）1 名工人 1 小时生产多少个机器零件？ 表 7-7 420÷7÷10=6（个） （2）缺席 2 名工人，剩下多少名工人？ 7-2=5（名） （3）5 名工人生产 330 个机器零件要用多少小时？ 330÷5÷6=11（小时） 综合算式： 330÷（7-2）÷（420÷7÷10） 57 =330÷5÷6 =11（小时） 答略。 *例 3 有 900 立方米的土，需要 25 人 12 天挖完。如果增加 5 人，可以提前几天挖完？（适 于五年级程度） 解：摘录整理题中条件，排列成表 7-8。 设提前 x 天挖完，则实际完成的天数是（12-x）天。 表 7-8 （1）原来 1 人 1 天挖土多少立方米？ 900÷12÷25=3（立方米） （2）增加 5 人后共有多少人？ 25+5=30（人） （3）30 人多少天挖完？ 900÷30÷3=10（天） （4）可以提前几天挖完？ 12-10=2（天） 综合算式： 12-9000÷（25+5）÷（900÷25÷12） =12-900÷30÷3 =12-10 =2（天） 答略。 58 第八讲 归总法 已知单位数量和单位数量的个数，先求出总数量，再按另一个单位数量或单位数量的个数求未 知数量的解题方法叫做归总法。 解答这类问题的基本方法是： 总数量=单位数量×单位数量的个数； 另一单位数量（或个数）=总数量÷单位数量的个数（或单位数量）。 例 1 李明从学校步行回家，每小时走 4 千米，5 小时到家。如果他每小时走 5 千米，几 小时到家？（适于三年级程度） 解：要求每小时走 5 千米，几小时到家，要先求出学校到家有多远，再求几小时到家。因 此， 4×5÷5 =20÷5 =4（小时） 答：如果他每小时走 5 千米，4 小时到家。 例 2 王明看一本故事书，计划每天看 15 页，20 天看完。如果要在 12 天看完，平均每 天要看多少页？（适于三年级程度） 解：要求 12 天看完，平均每天看多少页，必须先求出这本故事书一共有多少页，再求平 均每天看多少页。因此， 15×20÷12 =300÷12 =25（页） 答：如果要在 12 天看完，平均每天要看 25 页。例 3 某工厂制造一批手扶拖拉机，原计 划每天制造 6 台，30 天完成。实际上只用了一半的时间就完成了任务。实际每天制造多少台？ （适于四年级程度） 解：原来时间的一半就是 30 天的一半。 6×30÷（30÷2） =180÷15 59 =12（台） 答：实际每天制造 12 台。 例 4 永丰化肥厂要生产一批化肥，计划每天生产 45 吨，24 天可以完成任务。由于改进 生产技术，提高了工作效率，平均每天比原计划多生产 15 吨。实际几天完成任务？（适于四 年级程度） 解：计划生产的这批化肥是： 45×24=1080（吨） 改进生产技术后每天生产： 45+15=60（吨） 实际完成任务的天数是： 1080÷60=18（天） 综合算式： 45×24÷（45+15） =45×24÷60 =1080÷60 =18（天） 答：实际 18 天完成任务。 例 5 有一批化肥，用每辆载重 6 吨的汽车 4 辆运送 25 次可以运完。如果改用每辆载重 8 吨的汽车 5 辆，几次能够运完这批化肥？（适于五年级程度） 解：这批化肥的重量是： 6×4×25=600（吨） 5 辆载重 8 吨的汽车一次运： 8×5=40（吨） 能够运完的次数是： 600÷40=15（次） 综合算式： 60 6×4×25÷（8×5） =600÷40 =15（次） 答：15 次能够运完。 例 6 一项工程，20 人每天工作 8 小时，30 天可以完成。现在改用 40 人，每天工作 10 小时，现在几天可以完成？（适于五年级程度） 解：完成这项工程共用工时： 8×20×30=4800（个） 现在每天完成工时： 10×40=400（个） 可以完成的天数是： 4800÷400=12（天） 综合算式： 8×20×30÷（10×40） =4800÷400 =12（天） 答略。 例 7 印一本书，原计划印 270 页，每页排 24 行，每行排 30 个字。因为要节约用纸，现 在改为每页排 30 行，每行排 36 个字。这本书要印多少页？（适于五年级程度） 解：原计划要印的总字数： 30×24×270=194400（个） 改排后每页排字： 36×30=1080（个） 这本书要印的页数是： 194400÷1080=180（页） 61 综合算式： 30×24×270÷（36×30） =194400÷1080 =180（页） 答：这本书要印 180 页。 *例 8 服装厂加工一批童装，原计划每天加工 210 套，7 天完成。实际 任务？（适于六年级程度） 解：实际上每天加工童装： 这批童装的总套数是： 210×7=1470（套） 实际需要天数是： 1470÷294=5（天） 综合算式： =1470÷294 =5（天） 答 略。 例 9 工厂有一批煤，原计划每天烧 6 吨，可以烧 70 天，技术革新后，每天节约 1.8 吨。 照这样计算，这批煤可以多烧多少天？（适于五年级程度） 62 解：这批煤的总吨数是： 6×70=420（吨） 现在每天烧的吨数是： 6-1.8=4.2（吨） 现在能烧的天数是： 420÷4.2=100（天） 可多烧的天数是： 100-70=30（天） 综合算式： 6×70÷（6-1.8）-70 =420÷4.2-70 =100-70 =30（天） 答略。 例 10 挖一条水渠，原计划每天挖土 135 立方米，20 天挖完。实际上每天多挖了 45 立 方米。这样可以提前几天完成任务？（适于五年级程度） 解：挖土的总任务是： 135×20=2700（立方米） 实际上每天的挖土量是： 135+45=180（立方米） 实际上只需要的天数是： 2700÷180=15（天） 提前完成任务的天数是： 20-15=5（天） 综合算式： 63 20-[135×20÷（135+45）] =20-[2700÷180] =20-15 =5（天） 答略。 *例 11 一堆煤，原计划每天运 75 吨，20 天可以运完。运了 2 天后， 程度） 解：这批煤总吨数是： 75×20=1500（吨） 运 2 天后，剩下的吨数是： 1500-75×2=1350（吨） 现在每天运的吨数是： 还需要运的天数是： 1350÷100=13.5（天） 提前完成任务的天数是： 20-2-13.5=4.5（天） 综合算式： =18-1350÷100 =18-13.5 =4.5（天） 64 答略。 第九讲 分解法 修理工人要掌握一台机器的构造和性能，有一个好办法：把机器拆开，对一个一个零件进行研 究，然后再装配起来。经过这样拆拆装装，就能够熟悉机器的构造和性能了，这是日常生活中 常见的现象。我们可以从中发现“由整体到部分，由部分到整体”的认识事物的规律。分析应 用题也要用到这种方法。 一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。在分析应用题时，可把一道复 杂的应用题先拆成几道基本应用题，从中找到解题的线索。我们把这种解题的思考方法称为分 解法。 例 1 工厂运来一批煤，原计划每天烧 5 吨，可以烧 12 天。现在改进烧煤技术后，每天比 原计划节约 1 吨。现在这批煤可以烧几天？（适于四年级程度） 解：这道题看上去很复杂，可以把它拆成三道一步计算的应用题。 （1）工厂运来一批煤，原计划每天烧 5 吨，可以烧 12 天，这批煤有多少吨？（60 吨） （2）原计划每天烧 5 吨，现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约 1 吨。现在每天烧煤 多少吨？（4 吨） （3）工厂运来一批煤重 60 吨，现在改进烧煤技术每天烧 4 吨，现在这批煤可以烧多少天？ 以上三道一步计算的应用题拼起来就是例 1。经过这样拆拆拼拼，这道复杂应用题的来龙 去脉就弄清楚了。根据这三道一步应用题的解题线索，问题便可得到解决。 分步列式计算： （1）这批煤的重量是： 5×12=60（吨） （2）现在每天烧煤的吨数是： 5-1=4（吨） （3）现在这批煤可以烧的天数是： 60÷4=15（天） 综合算式： 5×12÷（5-1） 65 =60÷4 =15（天） 答略。 例 2 胜利小学要挖一个长方形的沙坑，长 4 米、宽 2 米、深 0.45 米，按每人每小时挖 土 0.2 方计算，应组织多少人才能用 1 小时完成任务？（适于五年级程度） 解：这道题是由两道小题组成，一道是已知长、宽、深，求长方体沙坑的体积，一道是已 知总共要挖的土方和每人每小时可挖的土方，求人数。把它分解成两道题来算，就不难了。 要挖土方： 4×2×0.45=3.6（方） 所需人数： 3.6÷0.2=18（人） 综合算式： 4×2×0.45÷0.2 =3.6÷0.2 =18（人） 答：需要组织 18 人。 *例 3 东山村播种 1600 亩小麦，原计划用 5 台播种机，每台播种机每天播种 20 亩。实 际播种时调来 8 台播种机。这样比原计划提前几天完成？（适于五年级程度） 解：把此题拆成四道基本应用题。 （1）原计划每天每台播种 20 亩，5 台播种机一天播种多少亩？ 20×5=100（亩） （2）每天播种 100 亩，播种 1600 亩要多少天？ 1600÷100=16（天） （3）每天每台播种 20 亩，8 台播种机播种 1600 亩需要多少天？ 1600÷（20×8）=10（天） （4）比原计划提前几天完成？ 66 16-10=6（天） 综合算式： 1600÷（20×5）-16000÷（20×8） =1600÷100-1600÷160 =16-10 =6（天） 答略。 *例 4 一辆汽车从甲城经过乙城到达丙城，共用了 36 小时。已知甲城到乙城的路程是 640 千米，汽车以每小时 32 千米的速度行驶。其余路程汽车以每小时 27 千米的速度行驶。求甲城 到丙城的路程是多少千米？（适于五年级程度） 解：可以把这道题分解成四道基本应用题。 （1）甲城到乙城的路程是 640 千米，这辆汽车以每小时 32 千米的速度行驶，要行驶多 少小时？ 640÷32=20（小时） （2）从甲城经过乙城到达丙城行驶 36 小时，从甲城到乙城行驶 20 小时，乙城到丙城需 要行驶多少小时？ 36-20=16（小时） （3）从乙城到丙城以每小时 27 千米的速度行驶，用了 16 小时，所行的路程是多少千米？ 27×16=432（千米） （4）甲城到乙城的路程是 640 千米，乙城到丙城的路程是 432 千米，甲城到丙城的路程 有多少千米？ 640+432=1072（千米） 综合算式： 640+27×（36-640÷32） =640+27×16 =640+432 =1072（千米） 67 答略。 *例 5 16 人 3 天平整土地 67.2 亩。如果每人每天工作效率提高 25％，20 人平整 280 亩 土地需要多少天？（适于六年级程度） 解：（1）16 人 3 天平整土地 67.2 亩，每人每天平均平整土地多少亩？ 67.2÷16+3=1.4（亩） （2）每人每天平整土地 1.4 亩，工作效率提高 25％后，每人每天平整土地多少亩？ 1.4×（1+25％）=1.75（亩） （3）工作效率提高后，每人每天平整土地 1.75 亩，20 人每天平整土地多少亩？ 1.75×20=35（亩） （4）20 人每天平整土地 35 亩，280 亩土地需要平整多少天？ 280÷35=8（天） 综合算式： 280÷[67.2÷16÷3×（1+25％）×20）] =280÷[1.4×1.25×20] =280÷35 =8（天） 答略。 10 天完成。每天必须比以前多加工多少个零件？（适于六年级程度） 解：把这道题拆成下面的五道基本应用题： （2） 9 天加工了 450 个零件，平均每天加工多少个？ 450÷9=50（个） 68 （3）要加工 1200 个零件，已经加工了 450 个，还剩多少个？ 1200-450=750（个） （4）要在 10 天内加工剩下的 750 个零件，每天平均加工多少个？ 750÷10=75（个） （5）现在平均每天加工 75 个，以前平均每天加工 50 个，现在比以前平均每天多加工多 少个？ 75-50=25（个） 综合算式： =750÷10-450÷9 =75-50 =25（个） 答：现在比以前平均每天多加工 25 个。 *例 7 快、中、慢三辆车从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三 辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行驶 24 千米，中车每 小时行驶 20 千米。慢车每小时行驶多少千米？（适于六年级程度） 解：已知慢车 12 分钟追上骑车人，先求出三辆车出发时与骑车人的距离和骑车人的速度， 便可按追及问题来解题。因此，这个问题分解成下面的六道比较简单的应用题来解（图 9-1）。 （1）已知快车、中车每小时分别行驶 24 千米、20 千米，它们 6 分钟各行驶多少千米？ 快车行驶： 69 （2）快车在距出发点 2.4 千米的 B 处追上了骑车人，中车已行驶到了距出发点 2 千米的 A 处，这时中车与骑车人相距多少千米？ 2.4-2=0.4（千米） （3）中车 10 分钟追上骑车人，中车到 A 处已走了 6 分钟，还需几分钟才能追上骑车人？ 10-6=4（分钟） （4）中车与骑车人相距 0.4 千米，中车每小时行驶 20 千米，同时出发，中车 4 分钟追上 骑车人，骑车人每小时行多少千米？ 因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设骑车人的速度是每小时行 v 千米，则得： （5）快车与骑车人同时出发，快车与骑车人每小时分别行 24 千米、14 千米，骑车人在 前，快车在后，6 分钟快车追上骑车人，出发时快车与骑车人相距多少千米？ （6）慢车与骑车人相距 1 千米，它们同时出发，向同一个方向行驶，骑车人每小时行 14 千米，慢车 12 分钟追上骑车人，慢车每小时行驶多少千米？ 因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设慢车每小时行 v1 千米，则得， =5+14 70 =19（千米） （此题列综合算式很复杂，这里不再列出。） 答略。 第十讲 分组法 在日常生活和生产中，有些事物的数量是按照一定的规律，一组一组有秩序地出现的。只要能 看出哪些数量是同一组的，并计算出总数量中包含有多少个这样的同一组的数量，就便于计算 出这一组数量中的每一种物品各是多少个，从而解答出应用题。这种解答应用题的方法叫做分 组法。 例 1 某汽车制造厂，计划在本月装配 98 辆汽车。当第一车间每装配 5 辆吉普车时，第二 车间则装配 2 辆大卡车。求本月该厂装配吉普车、大卡车各多少辆？（适于五年级程度） 解：因为当第一车间每装配 5 辆吉普车时，第二车间装配 2 辆大卡车，所以在这同一时间 内两个车间一共装配汽车： 5+2=7（辆） 把 7 辆汽车看作一组，看 98 辆汽车要分成多少组： 98÷7=14（组） 因为在一组中有 5 辆吉普车、2 辆大卡车，所以本月装配吉普车： 5×14=70（辆） 本月装配大卡车： 2×14=28（辆） 答略。 例 2 80 名小学生正好做了 80 朵小红花，每名女学生做 3 朵小红花，每 3 名男学生做 1 朵小红花。求这 80 名小学生中有男、女生各多少名？（适于五年级程度） 解：因为每名女学生做 3 朵小红花，每 3 名男学生做 1 朵小红花，所以每名女学生和每 3 名男学生共做小红花： 3+1=4（朵） 把 4 朵小红花看作一组，看 80 朵小红花中有多少组： 71 80÷4=20（组） 因为做每一组花时有 1 名女生、3 名男生。所以女生人数是： 1×20=20（名） 男生人数是： 3×20=60（名） 答略。例 3 用 1000 个黑珠、白珠串成一串。珠子的排列顺序是：一个白珠、一个黑珠、 两个白珠。问这一串珠子中有多少个白珠？最后一个珠子是黑色的还是白色的？（适于五年级 程度） 解：这一串珠子的排列顺序是：一白、一黑、两白，不断出现，也就是“三个白珠”与“一 个黑珠”为一组。 这 1000 个珠子可以分为多少组： 1000÷（1+3）=250（组） 因为每一组中有 3 个白珠，所以白珠的总数是： 3×250=750（个） 因为每一组最后的那个珠子是白色的，所以第 250 组最后的一个，也就是第 1000 个珠子， 一定是白色的。 答略。 例 4 院子里有一群鸡和一群兔子，共有 100 条腿。已知兔子比鸡多一只，求有多少只鸡， 多少只兔子？（适于五年级程度） 解：因为兔子比鸡多一只，所以去掉这一只兔子后，鸡兔共有腿： 100-4=96（条） 因为去掉一只兔后，鸡兔的只数一样多，所以可以把一只鸡和一只兔作为一组，每一组鸡、 兔共有腿： 4+2=6（条） 一共有多少组鸡、兔，也就是有多少只鸡； 96÷6=16（组） 一共有兔： 72 16+1=17（只） 答：有 16 只鸡，17 只兔。 例 5 有一摞扑克牌共 60 张，都是按红桃 2 张、梅花 1 张、方片 3 张的次序摞起来的。 求这一摞扑克有红桃、梅花、方片各多少张？（适于五年级程度） 解：因为都是按红桃 2 张、梅花 1 张、方片 3 张的次序摞起的，所以可把 2 张红桃、1 张 梅花、3 张方片看作是一组，这一组共有扑克牌： 2+1+3=6（张） 60 张扑克可分为： 60÷6=10（组） 60 张牌中有红桃： 2×10=20（张） 有梅花： 1×10=10（张） 有方片： 3×10=30（张） 答略。 *例 6 某工厂召开职工代表大会，把会议室的桌凳组合起来使用。3 个人坐一条凳子，2 个人用 1 张桌子，132 名代表正好坐满。求有桌子多少张，凳子多少条？（适于五年级程度） 解：因为 3 个人坐一条凳子，2 个人用一张桌子，所以 2 条凳子、3 张桌子组合为一组比 较适当，这一组的人数是（图 10-1）： 3+3=6（人） 或 2×3=6（人） 132 名代表可分成多少组： 73 132÷6=22（组） 因为每一组中有 3 张桌子，所以 22 组共有桌子： 3×22=66（张） 因为每一组中有 2 条凳子，所以 22 组共有凳子： 2×22=44（条） 答略。 *例 7 蜘蛛、蝴蝶共有腿 506 条，蜘蛛的只数是蝴蝶只数的 2 倍。已知蜘蛛有 8 条腿，蝴 蝶有 6 条腿。求蜘蛛、蝴蝶各有多少只？（适于五年级程度） 解：一只蜘蛛有 8 条腿，2 只蜘蛛有腿： 8×2=16（条） 把 2 只蜘蛛和 1 只蝴蝶作为一组，它们共有腿： 16+6=22（条） 506 条腿可分成的组数： 506÷22=23（组） 因为每一组中有 2 只蜘蛛，所以 23 组中有蜘蛛： 2×23=46（只） 因为每一组中有一只蝴蝶，所以 23 组中有蝴蝶 23 只。 答略。 *例 8 三年级的小朋友用 90 张红、绿、黄三色的彩色纸做纸花。每 2 朵花用红纸 3 张， 每 3 朵花用绿纸 2 张，每 6 朵花用黄纸 5 张。最后，三色彩纸都用完。求 90 张纸中有红、绿、 黄纸各多少张？（适于六年级程度）解：一朵花用红纸： 一朵花用绿纸： 一朵花用黄纸： 74 一朵花共用红、绿、黄三色纸： 90 张纸可做多少朵花： 90÷3=30（朵） 30 朵花用红纸： 30 朵花用绿纸： 30 朵花用黄纸： 答：90 张纸中有红纸 45 张，绿纸 20 张，黄纸 25 张。 第十一讲 份数法 把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为 1 份数，然后先 求出这个 1 份数，再以 1 份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。 （一）以份数法解和倍应用题 已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。 例 1 某林厂有杨树和槐树共 320 棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的 3 倍。求杨树、槐树 各有多少棵？（适于四年级程度） 75 解：把槐树的棵数看作 1 份数，则杨树的棵数就是 3 份数，320 棵树就是（3+1）份数。 因此，得： 320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树 80×3=240（棵）…………………杨树 答略。 例 2 甲、乙两个煤场共存煤 490 吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的 4 倍少 10 吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度） 解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的 4 倍少 10 吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作 1 份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤 数量的 4 倍（份）数少 10 吨，两个煤场所存的煤 490 吨就是（1+4）份数少 10 吨，（490+10） 吨就正好是（1+4）份数。 所以乙场存煤： （490+10）÷（1+4） =500÷5 =100（吨） 甲场存煤： 490-100=390（吨） 答略。 例 3 妈妈给了李平 10.80 元钱，正好可买 4 瓶啤酒，3 瓶香槟酒。李平错买成 3 瓶啤酒， 4 瓶香槟酒，剩下 0.60 元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度） 解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下 0.60 元，这说明每瓶啤酒比 每瓶香槟酒贵 0.60 元。把每瓶香槟酒的价钱看作 1 份数，则 4 瓶啤酒、3 瓶香槟酒的 10.80 元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。 每瓶香槟酒的价钱是： （10.80-0.60×4）÷（4+3） =8.4÷7 =1.2（元） 每瓶啤酒的价钱是： 76 1.2+0.60=1.80（元） 答略。 （二）以份数法解差倍应用题 已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。 例 1 三湾村原有的水田比旱田多 230 亩，今年把 35 亩旱田改为水田，这样今年水田的亩 数正好是旱田的 3 倍。该村原有旱田多少亩？（适于五年级程度） 解：该村原有的水田比旱田多 230 亩（图 11-1），今年把 35 亩旱田改为水田，则今年水 田比旱田多出 230+35×2= 300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱田的 3 倍，以今年旱田 的亩数为 1 份数，则水田比旱田多出的 300 亩就正好是 2 份数（图 11-2）。 今年旱田的亩数是： （230+35×2）÷ 2 =300÷2 =150（亩） 原来旱田的亩数是： 150+35=185（亩） 综合算式： （230+35×2）÷2+35 =300÷2+35 =150+35 =185（亩） 77 答略。 *例 2 和平小学师生步行去春游。队伍走出 10.5 千米后，王东骑自行车去追赶，经过 1. 5 小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的 2.4 倍。王东和师生每小时各行多少 千米？（适于五年级程度） 解：根据“追及距离÷追及时间=速度差”，可求出王东骑自行车和师生步行的速度差是 10.5÷1.5=7（千米/小时）。已知骑自行车的速度是步行速度的 2.4 倍，可把步行速度看作是 1 份数，骑自行车的速度就是 2.4 份数，比步行速度多 2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份数 差，便可求出 1 份数。 10.5÷1.5÷（2.4-1） =7÷1.4 =5（千米/小时）…………………………步行的速度 5×2.4=12（千米/小时）………………………………骑自行车的速度 答略。 （三）以份数法解变倍应用题 已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做 变倍应用题。 变倍应用题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数 量的变化，从而计算出“ 1”份（倍）数是多少。 *例 1 大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的 3 倍。两车行 至乙站时，大卡车增加了 1400 千克货物，小卡车增加了 1300 千克货物，这时，大卡车的载货 量变成小卡车的 2 倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度） 解：出发时，大卡车载货量是小卡车的 3 倍；到乙站时，小卡车增加了 1300 千克货物， 要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的 3 倍，大卡车就应增加 1300×3 千克。 把小卡车增加 1300 千克货物后的重量看作 1 份数，大卡车增加 1300×3 千克货物后的重 量就是 3 份数。而大卡车增加了 1400 千克货物后的载货量是 2 份数，这说明 3 份数与 2 份数 之间相差（1300×3-1400）千克，这是 1 份数，即小卡车增加 1300 千克货物后的载货量。 1300×3-1400 =3900-1400 =2500（千克） 出发时，小卡车的载货量是： 78 2500-1300=1200（千克） 出发时，大卡车的载货量是： 1200×3=3600（千克） 答略。 *例 2 甲、乙两个班组织体育活动，选出 15 名女生参加跳绳比赛，男生人数是剩下女生 人数的 2 倍；又选出 45 名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的 5 倍。 这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度） 解：把最后剩下的男生人数看作 1 份数，根据“最后剩下的女生人数是男生人数的 5 倍” 可知，剩下的女生人数为 5 份数。 根据 45 名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的 2 倍”，而最后剩下的女 生人数是 5 份数，可以算出参加长跑前男生人数的份数： 5×2=10（份） 因为最后剩下的男生人数是 1 份数，所以参加长跑的 45 名男生是： 10-1=9（份） 每 1 份的人数是： 45÷9=5（人） 因为最后剩下的女生人数是 5 份数，所以最后剩下的女生人数是： 5×5=25（人） 原有女生的人数是： 25+15=40（人） 综合算式： 45÷（5×2-1）×5+15 =45÷9×5+15 =25+15 =40（人） 答略。 79 （四）以份数法解按比例分配的应用题 把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。 例 1 一个工程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是 24 人、21 人、18 人。现 在要挖 2331 米长的水渠，若按人数的比例把任务分配给三个组，每一组应挖多少米？（适于 六年级程度） 解：甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是 24 份数、21 份数、18 份数，求出 1 份数后，用 乘法便可求出各组应挖的任务。 2331÷（24+21+18）=37（米） 37×24=888（米）…………………甲组任务 37×21=777（米）…………………乙组任务 37×18=666（米）…………………丙组任务 答略。 例 2 生产同一种零件，甲要 8 分钟，乙要 6 分钟。甲乙两人在相同的时间内共同生产 53 9 个零件。每人各生产多少个零件？（适于六年级程度） 解：由题意可知，在相同的时间内，甲、乙生产零件的个数与他们生产一个零件所需时间 成反比例。 把甲生产零件的个数看作 1 份数，那么，乙生产零件的个数就是： 生产零件的总数 539 个就是： 甲生产的个数： 乙生产的个数： 答略。 80 （五）以份数法解正比例应用题 成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一种量的任意两个数值的比等于 另一种量的两个对应的数值的比。 含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做正比例 应用题。 这里是指以份数法解正比例应用题。 例 1 某化肥厂 4 天生产化肥 32 吨。照这样计算，生产 256 吨化肥要用多少天？（适于六 年级程度） 解：此题是工作效率一定的问题，工作量与工作时间成正比例。 以 4 天生产的 32 吨为 1 份数，256 吨里含有多少个 32 吨，就有多少个 4 天。 4×（256÷32） =4×8 =32（天） 答略。 例 2 每 400 粒大豆重 80 克，24000 粒大豆重多少克？（适于六年级程度） 解：每 400 粒大豆重 80 克，这一数量是一定的，因此大豆的粒数与重量成正比例。如把 400 粒大豆重 80 克看作 1 份数，则 24000 粒大豆中包含多少个 400 粒，24000 粒大豆中就有多 少个 80 克。 24000÷400=60（个） 24000 粒大豆的重量是： 80×60=4800（克） 综合算式： 80×（24000÷400）=4800（克） 答略。 （六）以份数法解反比例应用题 成反比例的量有这样的性质：如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值的比，等 于另一种量的两个对应数值的比的反比。 81 含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比例 应用题。 这里是指以份数法解反比例应用题。 例 1 有一批水果，每箱装 36 千克，可装 40 箱。如果每箱多装 4 千克，需要装多少箱？ （适于六年级程度） 解：题中水果的总重量不变，每箱装的多，则装的箱数就少，即每箱装的重量与装的箱数 成反比例。 如果把原来要装的 40 箱看做 1 份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的： 现在需要装的箱数是： 答略。 天的用煤量看做 1 份数，那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量的： 用煤天数与每天用煤量成反比例，原来要用 24 天的煤，现在可以用的天数是： 答略。 （七）以份数法解分数应用题 分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数是另一个 数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 82 例 1 长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少 1/3，求女职工人数比男职工人数多百分之 几？（适于六年级程度） 解：从题中条件可知，男职工人数相当于女职工人数的： 如果把女职工人数看作 3 份，那么男职工人数就相当于其中的 2 份。 所以，女职工人数比男职工人数多： （3-2）÷2=50％ 答略。 那么黄旗占： 如果把 21 面黄旗看作 1 份数，总数量“1”中包含有多少个 7/45，旗的总面数就是 21 的 多少倍。 答略。 棉花谷多少包？（适于六年级程度） 解：由题意可知，甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下 83 成 8 份时，甲仓库剩下的是 2 份；把乙仓库的棉花分成 5 份时，乙仓库剩下的也是 2 份。 但是，乙仓库剩下的 2 份比甲仓库剩下的 2 份多 130 包。可以看出，乙仓库的 1 份比甲仓 库的 1 份多出： 130÷2=65（包） 如果把乙仓库原有的棉花减少 5 个 65 包，再把剩下的棉花平均分成 5 份，这时乙仓库的 每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。 这样，从两仓库棉花的总数 2600 包中减去 5 个 65 包，再把剩下的棉花平均分成 13 份（其 中甲仓库 8 份，乙仓库 5 份），其中的 8 份就是甲仓库原有的包数。 （2600-65×5）÷（8+5）×8 =2275÷13×8 =1400（包）……………………………甲仓库原有的包数 2600-1400=1200（包）……………乙仓库原有的包数 答略。 （八）以份数法解工程问题 工程问题就是研究工作量、工作时间及工作效率之间相互关系的问题，这种问题的工作量 常用整体“1”表示。 例 1 一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经 12 小时相遇。相遇后，快车又 行 8 小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度） 解：由“相遇后快车又行 8 小时到达乙站”可知，慢车行 12 小时的路程快车只需行 8 小 时。 把快车行这段路程所需的 8 小时看作 1 份数，则慢车所需的份数是： 答略。 84 *例 2 加工一批零件，甲单独完成需要 30 天，乙单独完成的时间比甲少 解：由题意可知，甲单独完成需要 30 天，乙单独完成所需天数是： 如果把乙工作的 6 天看作 1 份数，那么甲完成相同的工作量所需时间就 答略。 （九）以份数法解几何题 *例 1 一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图 11-3）。每个小长方 形的周长都是 16 厘米。这个正方形的周长是多少？（适于五年级程度） 解：在每个长方形中，长都是宽的 3 倍。换句话说，如果宽是 1 份，则长为 3 份，每个长 方形的周长一共可分为： 3×2+1×2=8（份） 因为每个长方形的周长为 16 厘米，所以每份的长是： 16÷8=2（厘米） 长方形的长，也就是正方形的边长是： 2×3=6（厘米） 正方形的周长是： 85 6×4=24（厘米） 答略。 *例 2 长方形长宽的比是 7∶3。如果把长减少 12 厘米，把宽增加 16 厘米，那么这个长方 形就变成了一个正方形。求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度） 解：根据题意，假设原来长方形的长为 7 份，则宽就是 3 分，长与宽之间相差： 7-3=4（份） 由于长方形的长要减少 12 厘米，宽增加 16 厘米，长方形才能变成正方形，因此原长方形 长、宽之差为： 12+16=28（厘米） 看得出，4 份与 28 厘米是相对应的，每一份的长度是： 28÷4=7（厘米） 原来长方形的长是： 7×7=49（厘米） 原来长方形的宽是： 7×3=21（厘米） 原来长方形的面积是： 49×21=1029（平方厘米） 答略。 第十二讲 消元法 在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。 当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数， 使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关 系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的 解题方法叫做消元法。 （一）以同类数量相减的方法消元 例 买 1 张办公桌和 2 把椅子共用 336 元；买 1 张办公桌和 5 把椅子共用 540 元。求买 1 张办公桌和 1 把椅子各用多少钱？（适于四年级程度） 86 解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把数，另一类是钱数。先把题中的 数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表 12-1。这就是说，同一件事中的数量横向对 齐，单位名称相同的数量上下对齐。 表 12-1 从表 12-1 第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下有关 椅子的数量： 5-2=3（把） 3 把椅子的钱数是： 540-336=204（元） 买 1 把椅子用钱： 204÷3=68（元） 把买 1 把椅子用 68 元这个数量代入原题，就可以求出买 1 张办公桌用的钱数是： 336-68×2 =336-136 =200（元） 答略。（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元 解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消 元的目的。 1.以两个数的和代换某数 *例 甲、乙两个书架上共有 584 本书，甲书架上的书比乙书架上的书少 88 本。两个书架 上各有多少本书？（适于四年级程度） 解：题中的数量关系可用下面等式表示： 甲+乙=584 ① 甲+88=乙 ② 87 把②式代入①式（以甲与 88 的和代换乙），得： 甲+甲+88=584 甲×2+88=584 2 甲=584-88 =496 甲=496÷2 =248（本） 乙=248+88 =336（本） 答略。 2.以两个数的积代换某数 *例 3 双皮鞋和 7 双布鞋共值 242 元，一双皮鞋的钱数与 5 双布鞋的钱数相同。求每双皮 鞋、布鞋各值多少钱？（适于四年级程度） 解：因为 1 双皮鞋与 5 双布鞋的钱数相同，所以 3 双皮鞋的钱数与 5×3=15（双）布鞋的 钱数一样多。 这样可以认为 242 元可以买布鞋： 15+7=22（双） 每双布鞋的钱数是： 242÷22=11（元） 每双皮鞋的钱数是： 11×5=55（元） 答略。 3.以两个数的商代换某数 *例 5 支钢笔和 12 支圆珠笔共值 48 元，一支钢笔的钱数与 4 支圆珠笔的钱数一样多。每 支钢笔、圆珠笔各值多少钱？（适于五年级程度） 88 解：根据“一支钢笔的钱数与 4 支圆珠笔的钱数一样多”，可用 12÷4=3（支）的商把 12 支圆珠笔换为 3 支钢笔。 现在可以认为，用 48 元可以买钢笔： 5+3=8（支） 每支钢笔值钱： 48÷8=6（元） 每支圆珠笔值钱： 6÷4=1.5（元） 答略。 4.以两个数的差代换某数 *例 甲、乙、丙三个人共有 235 元钱，甲比乙多 80 元，比丙多 90 元。三个人各有多少 钱？（适于五年级程度） 解：题中三个人的钱数有下面关系： 甲+乙+丙=235 ① 甲-乙=80 ② 甲-丙=90 ③ 由②、③得： 乙=甲-80 ④ 丙=甲-90 ⑤ 用④、⑤分别代替①中的乙、丙，得： 甲+（甲-80）+（甲-90）=235 甲×3-170=235 甲×3=235+170 =405 甲=405÷3 89 =135（元） 乙=135-80 =55（元） 丙=135-90 =45（元） 答略。 （三）以较小数代换较大数的方法消元 在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。 *例 18 名男学生和 14 名女学生共采集松树籽 78 千克，每一名男学生比每一名女学生少 采集 1 千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度） 解：题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集 1 千克”，则 18 名男生比女生少采集 1×18=18（千克）。假设这 18 名男生也是女生（以小代大），就应在 78 千克上加上 18 名男 生少采集的 18 千克松树籽。 这样他们共采集松树籽： 78+18=96（千克） 因为已把 18 名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生： 14+18=32（名） 每一名女学生采集松树籽： 96÷32=3（千克） 每一名男学生采集松树籽： 3-1=2（千克） 答略。 （四）以较大数代换较小数的方法消元 在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。 *例 胜利小学买来 9 个同样的篮球和 5 个同样的足球，共付款 432 元。已知每个足球比 每个篮球贵 8 元，篮球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度） 90 解：假设把 5 个足球换为 5 个篮球，就可少用钱： 8×5=40（元） 这时可认为一共买来篮球： 9+5=14（个） 买 14 个篮球共用钱： 432-40=392（元） 篮球的单价是： 392÷14=28（元） 足球的单价是： 28+8=36（元） 答略。 （五）通过把某一组数乘以一个数消元 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个 数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。 *例 2 匹马、3 只羊每天共吃草 38 千克；8 匹马、9 只羊每天共吃草 134 千克。求一匹马 和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度） 解：把题中条件摘录下来，排列成表 12-2。 表 12-2 把第①组中的数量乘以 3 得表 12-3。 表 12-3 91 第③组的数量中，羊的只数是 9 只；第②组的数量中，羊的只数也是 9 只。这样便可以从 第②组的数量减去第③组的数量，从而消去羊的只数，得到 2 匹马吃草 20 千克。 一匹马吃草： 20÷2=10（千克） 一只羊吃草： （38-10×2）÷3 =18÷3 =6（千克） 答略。 （六）通过把两组数乘以两个不同的数消元 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以 一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数 量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消元。 *例 1 买 3 块橡皮和 6 支铅笔用 1.68 元钱，买 4 块橡皮和 7 支铅笔用 2 元钱。求一块橡 皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度） 解：把题中条件摘录下来排列成表 12-4。 表 12-4 要消去一个未知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数， 从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此，把第①组中的各数都乘以 4，把第②组 中的各数都乘以 3，得表 12-5。 表 12-5 92 ③-④得：3 支铅笔用钱 0.72 元，一支铅笔的价格是： 0.72÷3=0.24（元） 一块橡皮的价格是： （1.68-0.24×6）÷3 =（1.68-1.44）÷3 =0.24÷3 =0.08（元） 答略。 *例 2 有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往 5 个大杯和 3 个小杯里面放满砂糖， 共 420 克；又往 3 个大杯和 5 个小杯里面放满砂糖，共 380 克。求一个大杯和一个小杯分别可 以放入砂糖多少克？（适于五年级程度） 解：摘录题中条件排列成表 12-6。 表 12-6 把表 12-6 中①组各数都乘以 5，②组各数都乘以 3，得表 12-7。 表 12-7 ③-④得：16 大杯放砂糖 960 克，所以， 一个大杯里面可以放入砂糖： 960÷16=60（克） 一个小杯里面可以放入砂糖： 93 （420-60×5）÷3 =（420-300）÷3 =40（克） 答略。 第十三讲 比较法 通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生 联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。 在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。在条件不能直接 比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条 件比较。 （一）在同一道题内比较 在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他 题目。 1.直接比较 例 1 五年级甲班要种一些树。如果每人种 5 棵，则剩下 75 棵；如果每人种 7 棵，则缺 1 5 棵。问这个班有多少人？这批树苗有多少棵？（适于四年级程度） 解：将两种分配方案进行比较，就会发现，第二次比第一次每人多种： 7-5=2（棵） 第二次比第一次多种： 75+15=90（棵） 90 棵中含有多少个 2 棵就是全班的人数： 90÷2=45（人） 这批树苗的棵数是： 5×45+75=300（棵） 或 7×45-15=300（棵） 答略。 94 *例 2 四季茶庄购进两批茶叶，第一批有 35 箱绿茶和 15 箱红茶，共重 2925 千克。第二 批有 35 箱绿茶和 28 箱红茶，共重 3640 千克。两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程 度） 解：将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较，可发现，第二批红茶箱数比第 一批红茶箱数多： 28-15=13（箱） 第二批红茶比第一批红茶多： 3640-2925=715（千克） 因此，可得每一箱红茶重量： 715÷13=55（千克） 每一箱绿茶重量： （2925-55×15）÷35 =（2925-825）÷35 =2100÷35 =60（千克） 答略。 2.画图比较 有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系，可借助 画图作比较，就容易看出数量关系。 解：作图 13-1，比较已修过米数与未修过米数的关系。 95 可看出，这段公路一共分为（7+2）份。 答略。 3.列表比较 有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件 摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。这就是说，要尽量使同一件事情 的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。 例 赵明准备买 2 千克苹果和 3 千克梨，共带 6.8 元钱。到水果店后，他买了 3 千克苹果 和 2 千克梨，结果缺了 0.4 元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱？（适于五年级程度） 解：摘录已知条件排列成表 13-1。 表 13-1 比较①、②两组数量会看出：由于多买了 1 千克苹果，少买了 1 千克梨，才缺了 0.4 元。 可见 1 千克苹果比 1 千克梨贵 0.4 元。 从买 2 千克苹果、3 千克梨的 6.8 元中去掉买 2 千克苹果多用的钱，便可以把买 2 千克苹 果当成买 2 千克梨，则一共买梨（2+3）千克，用钱： 6.8-0.4×2=6（元） 每千克梨的价钱是： 6÷（2+3）=1.2（元） 每千克苹果的价钱是： 96 1.2+0.4=1.6（元） 答略。（二）和容易解的题比较 当一道应用题比较复杂时，可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题，回忆起来后， 可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。 1.与常见题比较 例 4 名骑兵轮流骑 3 匹马，行 8 千米远的路程，每人骑马行的路程相等。求每人骑马行 的路程是多少？（适于四年级程度） 小学生对这类题不易理解，如与下面的常见题作比较就容易理解了。 有 3 篮苹果，每篮 8 个，平均分给 4 人，每人得几个？ 把这两道题中的条件都摘录下来，一一对应地排列起来： 3 匹马………………………3 篮苹果 每匹马都行 8 千米…………每篮都装 8 个苹果 4 人骑马行的路程相等……4 人得到的苹果一样多 解答“苹果”这道题的方法是： 8×3÷4 通过这样的比较，自然会想出解题的方法。 解：8×3÷4=6（千米） 答：每人骑马行的路程是 6 千米。 2.与基本题比较 例 甲、乙两地相距 10.5 千米，某人从甲地到乙地每小时走 5 千米，从乙地到甲地每小 时走 3 千米。求他往返于甲、乙两地的平均速度。（适于五年级程度） 在解答此题时，有的同学可能这样解：（5+3）÷2=4（千米）。这是错误的。 把上题与下面的题作比较，就会发现问题。 甲、乙两地相距 12 千米，某人从甲地到乙地走了 4 小时，他每小时平均走多少千米？ 解此题的方法是：12÷4=3（千米）。这是总路程÷总的时间=平均速度。 前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式，所以是错误的。 97 解：本题的总路程是： 10.5×2 总时间是： 10.5÷5+10.5÷3 所以他往返的平均速度是： 10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=3.75（千米/小时） 答略。 3.把逆向题与顺向题比较 例 王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多 题，不易找出解题方法。 把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下，就可得出解题方法。 答略。 （三）创造条件比较 对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创造可以比 较的条件，再进行比较。 98 *例 1 学校食堂第一次买来 2 袋大米和 3 袋面粉，共 275 千克；第二次买来 5 袋大米和 4 袋面粉，共 600 千克。求 1 袋大米和 1 袋面粉各重多少千克？（适于五年级程度）解：摘录题 中条件，列成表 13-2。 表 13-2 从表 13-2 中的条件看，题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。 因为大米袋数 2 和 5 的最小公倍数是 10，所以把第一次买来的袋数 2 乘以 5（把面粉的袋 数 3，重量 275 也要乘以 5），把第二次买来的袋数乘以 2（把面粉的袋数 4，重量 600 也要乘 以 2），得表 13-3。 此时题中条件便可以比较了。 表 13-3 看表 13-3，把两次买来粮食的数量比较一下，大米的袋数相同，面粉第一次比第二次多 买： 15-8=7（袋） 因此，第一次买的粮食比第二次多： 1375-1200=175（千克） 每袋面粉重： 175÷7=25（千克） 每袋大米重： （275-25×3）÷2 =（275-75）÷2 =100（千克） 99 答略。 *例 2 1 支铅笔、2 块橡皮、3 把卷笔刀共值 2.35 元；2 支铅笔、3 块橡皮、4 把卷笔刀共 值 3.30 元；3 支铅笔、3 块橡皮、5 把卷笔刀共值 4.05 元。求 1 支铅笔、1 块橡皮、1 把卷笔 刀各值多少钱？（适于五年级程度） 解：摘录题中条件排列成表 13-4。 表 13-4 从表 13-4 看，题中条件不能直接比较。因此，要创造条件比较。 因为橡皮的块数 2、3、3 的最小公倍数是 6，所以①×3，②×2，③×2，得表 13-5。此 时题中条件便可以比较了。 表 13-5 ⑥-⑤，得： 2 支铅笔价钱+2 把卷笔刀价钱=1.5（元），即， 1 支铅笔价钱+1 把卷笔刀价钱=0.75（元）…………………………⑦ ⑥-④，得： 3 支铅笔价钱+1 把卷笔刀价钱=1.05（元）…………………………⑧ ⑧-⑦，得： 2 支铅笔价钱=0.30（元） 1 支铅笔价钱=0.15（元） 把 1 支铅笔价钱 0.15 元代入⑦，得出 1 把卷笔刀的价钱是： 100 0.75-0.15=0.60（元） 根据①可求出一块橡皮的价钱数： （2.35-0.15-0.6×3）÷2 =0.4÷2 =0.2（元） 答略。 *例 3 甲、乙两人共需做 140 个零件，甲做了自己任务的 80％，乙做了自己任务的 75％， 这时甲、乙共剩下 32 个零件未完成。求甲、乙两人各需做多少个零件？（适于六年级程度） 解：已知“甲做了自己任务的 80％，乙做了自己任务的 75％”后共剩下 32 个零件，甲、 乙两人所做零件个数不相等，因此，甲所做零件的 80％与乙所做零件的 75％不可直接比较。 此时就要创造条件比较了。 已知甲做自己任务的 80％，假设乙也做自己任务的 80％，那么甲乙就共剩下零件： 140×（1-80％）=28（个） 这比原来已知的“甲、乙共剩下 32 个零件”少： 32-28=4（个） 这 4 个所对应的分率是： 80％-75％=5％ 所以，乙需做的零件是： 4÷5％=80（个） 甲需做的零件是： 140-80=60（个） 答略。 第十四讲 演示法 101 对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题，利用身边现成的东西，如铅笔、橡皮、小 刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演 示法。 例 1 一根绳子正好围成一个边长为 5 分米的正方形。如果用它围成长是 8 分米的长方形， 问其宽应当是多少分米？（适于三年级程度） 解：对这道题一般同学都会用这样的方法解答： 5×4÷2-8=2（分米） 然而这并不是最简捷的解法，要用更简捷的解法，我们可以做下面的试验： （1）用一根细铁丝围成一个边长是 5 分米的正方形（图 14-1）。 （2）把正方形的细铁丝从 C 点断开。 这时 ABC 部分、CDA 部分都是正方形边长的 2 倍。 （3）把 ABC 那部分（或 CDA 部分）拉直，折出 8 分米长的一段与另一段成 90° 的角（图 14-2）。此时会看到 8 分米长的这一段是长方形的长，与 8 分米长的边成直角 的那一段是长方形的宽。 到此，很容易得出，求长方形的宽也可以用下面的方法： 5×2-8=2（分米） 答略。 *例 2 有一列火车，长 120 米，以每小时 18 千米的速度通过一座长 150 米的隧道。求从 火车头进隧道到火车尾部离开隧道共需要多长时间？（适于五年级程度） 解：求火车过隧道的时间，必须知道过隧道的速度和所行的路程。速度已知，因此，解此 题的关键是求出火车头从进隧道到火车尾部离开隧道所行的路程。 102 为弄清这个问题，我们做下面的演示。 用文具盒当隧道，用铅笔当火车。 用图 14-3 表示火车刚刚要进隧道时的情景，用图 14-4 表示火车车尾正好离开隧道时的情 景。 从图 14-4 可看出：火车从车头进隧道，到车尾离开隧 道，所行的路程等于隧道长与车身长之和。 到此，便可求出火车头从进隧道到车尾离开隧道所用的时间。 分步列式计算： （1）火车每秒行： 1000×18÷3600=5（米） （2）火车通过隧道共行的米数： 150+120=270（米） （3）火车通过隧道需时间是： 270÷5=54（秒） 综合算式： （150+120）÷（1000×18÷3600） =270÷5 =54（秒） 103 答略。 *例 3 兄弟二人早晨五点钟各推一车菜，同时从家里出发去集市。哥哥每分钟走 100 米， 弟弟每分钟走 60 米。哥哥到达集市后 5 分钟卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，这时是 5 点 55 分。问集市离他们家有多远？（适于五年级程度） 解：本题可用橡皮、瓶盖分别代表“家”与“集市”，放在桌面的两端，用两支铅笔代表 兄弟二人实际走一走。如（图 14-5）。 图 14-5 实线表示弟弟走的路程，虚线表示哥哥走的路程。从演示中可以看出兄弟二人共 走的路程是从家到集市路程的 2 倍。 因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。 [60×55+100×（55-5）]÷2 =[3300+5000]÷2 =4150（米） 答略。 *例 4 一个 5 分米高的圆柱体，它的侧面积是 62.8 平方分米，求圆柱体的体积。（适于 六年级程度） 解：要求圆柱体的体积就要知道圆柱底面圆的半径是多少。从表面看，题中没有告诉圆柱 底面圆的半径是多少，这可怎么办呢？做了下面的演示，问题就得到解决了。 用一张长方形的纸卷成一个圆柱形，再把圆柱形展开，展开后看到圆柱形的侧面是个长方 形。长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长就是圆柱底面圆的周长。知道了圆柱底面圆的周长， 就能算出圆柱体底面圆的半径。 （1）圆柱体底面圆的周长是： 62.8÷5=12.56（分米） （2）圆柱体底面圆的半径是： 12.56÷3.14÷2=2（分米） （3）圆柱体的体积是： 104 3.14×2×2×5=62.8（立方分米） 答略。 *例 5 从三点钟到四点钟之间，钟面上时针和分针什么时刻会重合？什么时刻成一直线？ （适于高年级程度） 解：此题很抽象，可用有活动指针的时钟教具做演示来理解题中的数量关系。 看图 14-6，因为钟的指针是顺时针方向转动的，所以在 3 点钟时，时针在分针前面。要 使两针重合，分针就要追上时针。 我们把分针转动一圈，即分针走 60 小格，时针才走 5 个小格，因此，在 分针要与时针成一条直线，分针不仅要追上时针 15 格的距离，还要超过 30 格的距离，总 计要“追”（15+30）格的距离。“追”（15+30）格的路程要用多长时间呢？ 时针成一条直线。 答略。 105 *例 6 一列快车全长 151 米，每秒钟行 15 米，一列慢车全长 254 米，每秒钟行 12 米。两 车相对而行，从相遇到离开要用几秒钟？（适于五年级程度） 解：要求两车从相遇到离开要用几秒钟，必须知道两车从相遇到离开走多长的路程。 为弄清这个问题，我们做下面的演示： 用一支铅笔作慢车，用另一支铅笔作快车。先让它们相遇（图 14-7），再让它们从相对 运行到正好离开（图 14-8）。 看图 14-8 会想到：两车共行的路程是两个车身长的和。 到此，可算出： （151+254）÷（15+12） =405÷27 =15（秒） 答：两车从相遇到离开需要 15 秒钟。 第十五讲 列表法 把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应 用题的方法叫做列表法。 在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同 一类的。排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。这就是说，要使同一件事中 直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位 上、下对齐。 这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别， 理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。 （一）通过列表突出题目的解法特点 有些应用题的解法具有一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表，则 表格会起到突出题目解法特点的作用。 106 例 1 桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗。3 只黄碗里放着 51 个玻璃球，5 只红碗 里放着 75 个玻璃球，2 只绿碗里放着 24 个玻璃球。要使每只碗里玻璃球的个数相同，每只碗 里应放多少个玻璃球？（适于四年级程度） 解：摘录题中条件，排列成表 15-1。 表 15-1 求每只碗里应放多少个球，要先求出一共有多少个碗，和在这些碗中一共放了多少个球。 由于表 15-1 中把碗的只数排列在前一竖行，把球的个数排列在另一竖行，所以只要看着表 15 -1 中竖着排列的碗的只数和球的个数，便可算出碗的总数和玻璃球的总数，从而使问题得以 解决。 （51+75+24）÷（3+5+2） =150÷10 =15（只） 答：平均每只碗里应放 15 个玻璃球。 例 2 荒地村砂场用 3 辆汽车往火车站运送砂子，5 天运了 180 吨。照这样计算，用 4 辆 同样的汽车 15 天可以运送多少吨砂子？（适于四年级程度） 解：摘录题中条件，排列成表 15-2。 表 15-2 解此题的要点是先求出单位数量。表 15-2 中，由于汽车的辆数、运送的天数和吨数这三 个直接相关联的数量排在同一横行，因此便于想到，180÷5 得到 3 辆车 1 天运多少吨，180÷ 5÷3 就得到一辆车一天运多少吨；接着便可想到求出 4 辆车 1 天运多少吨，15 天运多少吨。 求 4 辆车 15 天运送多少吨砂子的方法是： 180÷5÷3×4×15 107 =12×4×15 =720（吨） 答略。 例 3 甲校买 8 个排球，5 个篮球，共用 415 元，乙校买同样的 4 个排球、5 个篮球，共用 295 元。求买一个排球需要多少钱？（适于四年级程度） 解：摘录题中条件，排列成表 15-3。 表 15-3 从表 15-3 可以看出，甲、乙二校所买篮球的个数一样多，甲校比乙校多用钱： 415-295=120（元） 甲校比乙校多买排球数是： 8-4=4（个） 所以，每个排球的卖价是： 120÷4=30（元） 答略。 例 4 要把卖 5 角钱 500 克的红辣椒和卖 3 角 5 分钱 500 克的青辣椒混合起来，卖 4 角 1 分钱 500 克，应按怎样的比例混合，卖主和顾客才都不吃亏？（适于六年级程度） 解：摘录题中条件，排列成表 15-4（为便于计算，表中钱数都以“分”为单位）。 表 15-4 要使卖主与买主都不吃亏，就要使红辣椒损失的钱数与青辣椒多收入的钱数一样多。由表 15-4 可看出，当红辣椒损失 18 分，青辣椒多收入 18 分时，恰好达到要求。 108 因为每 500 克红辣椒与青辣椒混合时，红辣椒要少卖 9 分钱，当损失 18 分时，则有 500 ×2 克红辣椒；同理，青辣椒与红辣椒混合时，每 500 克青辣椒要多卖 6 分钱，要多卖 18 分 时，就要有 3 个 500 克才行，即 500×3 克青辣椒。 所以，红辣椒与青辣椒混合的比应是： 500×2∶500×3=2∶3 答略。 *例 5 甲种酒每 500 克卖 1 元 4 角 4 分，乙种酒每 500 克卖 1 元 2 角，丙种酒每 500 克卖 9 角 6 分。现在要把三种酒混合成每 500 克卖 1 元 1 角 4 分的酒，其中乙种酒与丙种酒的比是 3∶2。求混合酒中三种酒的重量比。（适于六年级程度） 解：设混合酒中甲种酒占的份数是 x，为便于计算题中钱数都以“分”为单位。摘录题中 条件，排列成表 15-5。 表 15-5 从表 15-5 可以看出，当三种酒的混合比是 x∶3∶2，混合酒的价钱是 114 分时，混合酒 中每 500 克甲种酒要损失（少卖）30 分钱，每 500 克乙种酒要损失 6 分钱，而每 500 克丙种 酒要收益（多卖）18 分钱。 当乙、丙两种酒的混合比是 3∶2 时，假设乙、丙两种酒分别是 1.5 千克、1 千克，则这 两种酒的混合液可以多卖钱： 18×2-6×3=18（分） 当三种酒按 x∶3∶2 的比例混合时，收益的 18 分钱应与甲种酒的损失抵消。因为三种酒 混合时，每 500 克甲种酒损失 30 分，所以 18 分是 30 分的几分之几，甲种酒在三种酒的混合 液中就占 500 克的几分之几： 109 答：混合酒中三种酒的重量比是 3∶15∶10。 （二）通过列表暴露题目的中间问题 解答复合应用题的关键，是找出解答最后问题所需要的中间问题（隐藏量），应用题的步 骤越多，需要找出的中间问题就越多，解答的过程就越复杂。 在用列表法解应用题时，由于题中数量是按“同事横对，同名竖对”的规律排列在表中， 所以便于思考求最后的问题需要哪些数量，这些数量中哪些是已知的、哪些是未知的中间问题。 同时也便于思考怎样求出中间问题，并在必要时把求中间问题的算式写在表中。这样，中间问 题便暴露于表格中，和已知数处于平等的地位，从而排除了思维道路上的障碍，减轻了解题的 难度。 *例 1 张老师买了 2 千克苹果，3 千克梨，共用 5 元钱。王老师买的苹果是张老师的 2 倍， 买的梨是张老师的 3 倍，比张老师多用 6.8 元。问每一千克苹果、每一千克梨的价钱各是多少 元？（适于五年级程度） 解：摘录题中条件，排列成表 15-6。 表 15-6 中，由于张老师买的苹果是 2 千克、梨是 3 千克，共用 5 元钱，都已写在表中， 因此很容易在表中写出王老师买的苹果是 2×2 千克，王老师买的苹果恰好是张老师的 2 倍， 也很容易写出王老师买的梨是 3×3 千克，王老师买的梨比张老师的 2 倍多 3×（3-2）千克， 即多 3 千克。 表 15-6 王老师共用钱（5+6.8）元，王老师买水果用的钱比张老师买水果用的钱的 2 倍多： （5+6.8）-5×2=1.8（元） 这 1.8 元就是买 3 千克梨用的钱，所以 1 千克梨的价钱是： 1.8÷3=0.6（元） 1 千克苹果的价钱是： （5-0.6×3）÷2 =（5-1.8）÷2 =1.6（元） 110 答略。 *例 2 有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中；再取出乙桶 油的一半，平均倒在甲、丙两桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中。这时 3 桶油正好都是 16 千克。问原来每桶中各有油多少千克？（适于高年级程度） 解：此题的中间量比较多，需要从题中最后的结果逐步往前推理，把推出的结果写在表中， 就能求出原来每桶各有多少千克油。看表 15-7。 表 15-7 （1）由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中，3 桶油正好都是 16 千克，因 此在表 15-7 中，横向写上甲、乙、丙三桶油都是 16 千克。而在丙桶未向甲、乙两桶倒油之前， 丙桶中有油： 16×2=32（千克） 丙桶油的一半是 16 千克，把这 16 千克平均倒在甲乙两桶中时，倒入每一桶的油是： 16÷2=8（千克） 所以，在丙桶未向甲、乙两桶倒油时，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中” 后，甲、乙两桶中分别有油 8 千克。 在表 15-7 中，乙倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油 8 千克、8 千克、3 2 千克。 （2）根据取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙两桶中后，乙桶中还剩 8 千克油，甲桶中有 油 8 千克，丙桶中有油 32 千克，可以推出原来乙桶中有油 16 千克，乙桶油的一半是： 16÷2=8（千克） 8 千克的一半是 4 千克。所以，在乙桶未向甲、丙两桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半， 平均倒在乙、丙两桶中”后，甲桶中有油： 8-4=4（千克） 丙桶中有油： 32-4=28（千克） 111 在表 15-7 中，甲倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油：4 千克、16 千克、 28 千克。 （3）由“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”之后，甲桶中还剩下 4 千克油， 可以推出甲桶原来有油： 4×2=8（千克） 8 千克的一半是 4 千克，4 千克的一半是 2 千克。由甲桶向乙、丙两桶倒完油后，乙、丙 两桶分别有油 16 千克，28 千克，由此可推出乙、丙两桶原来分别有油： 16-2=14（千克） 28-2=26（千克） 答略。 第十六讲 倍比法 解应用题时，先求出题中两个对应的同类数量的倍数，再通过“倍数”去求未知数，这种解题 的方法称为倍比法。 （一）用倍比法解归一问题 可以用倍比法解答的应用题一般都可以用归一法来解（除不尽时，可以用分数、小数来表 示），但用倍比法解答要比用归一法简便。实际上，倍比法是归一法的特殊形式。为计算方便， 在整数范围内，如果用归一法除不尽时，可以考虑用倍比法来解。反之，运用倍比法除不尽时， 也可以考虑改用归一法来解。要根据题目中的具体条件，选择最佳解法。 例 1 一台拖拉机 3 天耕地 175 亩。照这样计算，这台拖拉机 15 天可以耕地多少亩？（适 于三年级程度） 解：这道题实质上是归一问题。要求 15 天耕地多少亩，只要先求出每天耕地多少亩就行 了。但 175 不能被 3 整除，所以在整数范围内此题不便用归一法来解。因题目中的同一类数量 （两个天数）之间成倍数关系（15 天是 3 天的 5 倍），并且拖拉机的工作效率又相同，所以 另一类量（两个耕地亩数）之间也必然有相同的倍数关系（15 天耕地亩数也应是 3 天耕地亩 数的 5 倍）。 先求 15 天是 3 天的几倍： 15÷3=5（倍） 再求 175 亩的 5 倍是多少亩： 175×5=875（亩） 综合算式： 112 175×（15÷3） ＝175×5 ＝875（亩） 答：15 天可以耕地 875 亩。 例 2 3 台拖拉机一天耕地 40 亩。要把 160 亩地在一天内耕完，需要多少台同样的拖拉机？ （适于三年级程度） 解：先求出 160 亩是 40 亩的几倍： 160÷40=4（倍） 再求耕 160 亩地需要多少台同样的拖拉机： 3×4=12（台） 综合算式： 3×（160÷40） =3×4 =12（台）例 3 工厂运来 52 吨煤，先用其中的 13 吨炼出 9750 千克焦炭。照这样计算， 剩下的煤可以炼出多少千克焦炭？（适于四年级程度） 用归一法解：先求出每吨煤可炼出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以炼多少千克焦炭： 9750÷13×（52-13） =750×39 =29250（千克） 用倍比法解：先求出 52 吨里有几个 13 吨，然后去掉已炼的一个 13 吨，得： 9750×（52÷13-1） =29250（千克） 答略。 例 4 某粮食加工厂，3 台磨粉机 6 小时磨小麦 1620 千克。照这样计算，5 台磨粉机 8 小 时可以磨小麦多少千克？（适于五年级程度） 用归一法解： 113 1620÷3÷6×5×8 =540÷6×5×8 =90×5×8 =3600（千克） 用倍比法解：把一台磨粉机工作 1 小时看作一个新的量--1 台小时，3 台磨粉机工作 6 小 时，就是 3×6 台小时，5 台磨粉机工作 8 小时，就是 5×8 台小时。只要求出 5×8 台小时是 3×6 台小时的几倍，那么 5 台磨粉机 8 小时磨的小麦就是 1620 千克小麦的几倍。 答略。 例 5 甲、乙两辆车分别从东、西两城同时相对开出，4 小时后相遇，相遇后甲车再经过 2 小时到达西城。求乙车再经过几小时可以到达东城？（适于五年级程度） 解：用图 16-1 表示题中的数量关系。 看图 16-1 中两车相遇点右侧的路程，甲、乙所走的路程一样长。但走这段路，甲用了 2 小时，乙却用了 4 小时。就是说，走同样的路程时，乙用的时间是甲的 4÷2=2 倍。再看相遇 点左侧的路程，甲走这段路程用了 4 小时，因为走同样长的路程时乙用的时间是甲的 2 倍，所 以，乙由相遇点到达东城的时间是 4 小时的 2 倍。 4×（4÷2）=8（小时） 答：乙车再过 8 小时可以到达东城。 （二）用倍比法解工程问题 用倍比法解工程问题，不用设总工作量为“1”，学生较易理解，尤其是解某些较复杂的 工程问题，用倍比法解比较简捷。 例 1 一项工程，由甲工程队修建，需要 20 天完成；由乙工程队修建，需要 30 天完成。 两队合修需要多少天完成？（适于六年级程度） 解：因为甲工程队修建 20 天的工作量相当于乙工程队修建 30 天的工作 114 在把乙队 30 天的工作量看作总工作量时，乙队一天修的工作量是 1，则 =12（天） 答略。 例 2 一件工作单独由一个人完成，甲要用 8 小时，乙要用 12 小时。若甲先单独做 5 小时， 剩下的由乙单独做完，则乙需要做多少小时？（适于六年级程度） 解：因为甲 8 小时的工作量相当于乙 12 小时的工作量，所以，甲 1 小时 作量，剩下的便是乙单独做完这项工作所需要的时间： 在把甲 8 小时的工作量看作工作总量时，甲 1 小时的工作量是 1，则乙 115 答略。 例 3 某工程由甲、乙两队合做 12 天完成，现在两队合做 4 天后，余下的再由甲队单独做 10 天可以完成。问甲队单独完成这项工程需要多少天？（适于六年级程度） 解：甲、乙两队合做 4 天后，再共同完成剩下的工作量，需要的天数是 12-4=8（天）。 这 8 天的工作量是甲、乙需合做 8 天才能完成的工作量。 这 8 天的工作量，甲单独做 10 天完成，就是说，甲、乙合做 1 天的工作 （天），再加上后来甲单独工作的 10 天，便可得到甲队单独完成这项工程需要的天数： 答略。 例 4 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。现在先由乙队做若干天后， 甲再参加，4 天就做完了。那么乙先单独做了多少天？（适于六年级程度） 解：因为这项工程，甲单独做 10 天完成，而甲只做了 4 天，所以 10-4=6（天），这 6 天 的工作量是由乙做的。而乙 1 天的工作量是甲 1 天工作量的 116 去掉乙后来与甲合做的 4 天，便得到乙先头单独做的天数： 答略。 *例 5 甲、乙两人同做一件工作，甲做 4 天的工作量，等于乙做 3 天的工作量，若由甲单 独做这项工作需要 12 天完成。现在甲、乙两人合做 4 天后，剩下的工作由乙单独做需要几天 完成？（适于六年级程度） 把甲单独做 12 天完成的工作量看作工作总量，从工作总量中减去甲、乙合做的工作量， 剩下的就是乙单独做的工作量。 再把剩下的工作量除以乙 1 天的工作量，即得到剩下的工作由乙单独做需要几天完成。 答略。 答略。 117 第十七讲 逆推法 小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋友，反其 道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口返回时，途径 单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。 解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从 后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。 这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。 用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减 算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。 （一）从结果出发逐步逆推 例 1 一个数除以 4，再乘以 2，得 16，求这个数。（适于四年级程度） 解：由最后再乘以 2 得 16，可看出，在没乘以 2 之前的数是： 16÷2=8 在没除以 4 之前的数是： 8×4=32 答：这个数是 32。 *例 2 粮库存有一批大米，第一天运走 450 千克，第二天运进 720 千克，第三天又运走 6 10 千克，粮库现有大米 1500 千克。问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程度） 解：由现有大米 1500 千克，第三天运走 610 千克，可以看出，在没运走 610 千克之前， 粮库中有大米： 1500+610=2110（千克） 在没运进 720 千克之前，粮库里有大米： 2110-720=1390（千克） 在没运走 450 千克之前，粮库里有大米： 1390+450=1840（千克） 答：粮库里原来有大米 1840 千克。 118 *例 3 某数加上 9 后，再乘以 9，然后减去 9，最后再除以 9，得 9。问这个数原来是多少？ （适于四年级程度） 解：由最后除以 9，得 9，看得出在除以 9 之前的数是： 9×9=81 在减去 9 之前的数是： 81+9=90 在乘以 9 之前的数是： 90÷9=10 在加上 9 之前，原来的数是： 10-9=1 答：这个数原来是 1。 *例 4 解放军某部进行军事训练，计划行军 498 千米，头 4 天每天行 30 千米，以后每天 多行 12 千米。求还要行几天？（适于五年级程度） 解：从最后一个条件“以后每天多行 12 千米”可求出，以后每天行的路程是： 30+12=42（千米） 从头 4 天每天行 30 千米，可求出已行的路程是： 30×4=120（千米） 行完 4 天后剩下的路程是： 498-120=378（千米） 还要行的天数是： 378÷42=9（天） 综合算式： （498-30×4）÷（30+12） =378÷42 =9（天） 119 答略。 *例 5 仓库里原有化肥若干吨。第一次取出全部化肥的一半多 30 吨，第二次取出余下的 一半少 100 吨，第三次取出 150 吨，最后剩下 70 吨。这批化肥原来是多少吨？（适于五年级 程度） 解：从“第三次取出 150 吨，最后剩下 70 吨”可看出，在第三次取出之前仓库里有化肥： 70+150=220（吨） 假定第二次取出余下的一半，而不是少 100 吨，则第二次取出后，仓库剩下化肥： 220-100=120（吨） 第二次取出之前，仓库中有化肥： 120×2=240（吨） 假定第一次正好取出一半，而不是多 30 吨，则第一次取出一半后，仓库里剩下化肥： 240+30=270（吨） 仓库中原有化肥的吨数是： 270×2=540（吨） 综合算式： [（150+70-100）×2+30]×2 =[120×2+30]×2 =270×2 =540（吨） 答略。 共有多少本图书？有科普读物多少本？（适于六年级程度） 解：最后一个条件是“少儿读物是 630 本”，由于科普读物和文艺读物 120 所以，这个书架上共有书： 有科普读物： 答略。 （二）借助线段图逆推 *例 1 有一堆煤，第一次运走一半多 10 吨，第二次运走余下的一半少 3 吨，还剩下 25 吨。 问这堆煤原来是多少吨（适于五年级程度） 解：作图 17-1（见下页）。 从图 17-1 可看出，余下的一半是： 25-3=22 所以，余下的煤是： 22×2=44（吨） 全堆煤的一半是： 44+10=54（吨） 原来这堆煤是： 121 54×2=108（吨） 答略。 *例 2 服装厂第一车间的人数占全厂人数的 25％，第二车间的人数比第 个服装厂共有多少人？（适于六年级程度） 解：作图 17-2（见下页），用三条线段表示三个车间的人数。 第二车间人数是： 第一车间人数是： 全厂人数是： 122 150÷25％=600（人） 综合算式： （三）借助思路图逆推 例 1 某工程队原计划 12 天修公路 2880 米，由于改进了工作方法，8 天就完成了任务。 问实际比原计划每天多修多少米？（适于四年级程度） 解：作思路图（图 17-3）。 求实际比原计划每天多修多少米，必须知道实际每天修多少米和原计划每天修多少米。 求实际每天修多少米，就要知道公路的长和实际修完的天数。 实际每天修的米数是： 2880÷8=360（米） 求原计划每天修多少米，就要知道公路的长和原计划要修的天数。 原计划每天修的米数是： 2880÷12=240（米） 实际比原计划每天多修的米数是： 360-240=120（米） 答略。 *例 2 某机床厂去年每月生产机床 5 台，每月用去钢材 4000 千克；今年每月生产的机床 台数是去年的 4 倍，平均每台机床比去年少用钢材 200 千克。今年每月用的钢材是去年每月所 用钢材的几倍？（适于五年级程度） 123 解：作思路图（图 17-4）。 从图 17-4 的下边开始看，逐步往上推理。 （1）去年每台用钢材多少？ 4000÷5=800（千克） （2）今年每台用多少钢材？ 800-200=600（千克） （3）今年每月生产多少台？ 5×4=20（台） （4）今年每月用多少钢材？ 600×20=12000（千克） （5）今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍？ 12000÷4000=3（倍） 综合算式： （4000÷5-200）×（5×4）÷4000 =600×20÷4000 =3（倍） 答略。 124 （四）借助公式逆推 例 1 一个三角形的面积是 780 平方厘米，底是 52 厘米。问高是多少？（适于五年级程度） 解：计算三角形面积的公式是：面积=底×高÷2，逆推这个公式得： 高=面积×2÷底 所以，这个三角形的高是： 780×2÷52=30（厘米） 答略。 例 2 求图 17-5 平行四边形中 CD 边的长。（单位：厘米）（适于五年级 程度） 解：因为平行四边形的面积是： BC×AE=6×3=18 平行四边形的面积也是： CD×AF=5CD 所以，5CD=18 CD=18÷5 =3.6（厘米） 答略。 例 3 一个圆锥体的体积是 84.78 立方厘米，底面的直径是 6 厘米。求它的高是多少。（适 于六年级程度） 解：底面圆的直径是 6 厘米，则半径就是 3 厘米。 由 V=1/3πR2h 逆推得： h=V×3÷π÷R2 125 因此，它的高是： 84.78×3÷3.14÷32 =254.34÷3.14÷32 =9（厘米） 答略。 （五）借助假设法逆推 解：假设取出存款后没有买书橱，则 150 元是取出的钱的： 取出的钱是： 150×3=450（元） 老张原有的存款是： 450×4=1800（元） 答略。 例 2 供销社分配给甲、乙、丙三个乡若干吨化肥。甲乡分得总数的一半少 2 吨，乙乡分 得剩下的一半又多半吨，最后剩下的 8 吨分给丙乡。问原来共有化肥多少吨？（适于六年级程 度） 解：假设乙乡分得剩下一半，而不是又多半吨，则乙乡分走后剩下的化肥是： 乙乡分走前的化肥是： 假设甲乡分得总数的一半，而不是少 2 吨，则甲乡分走化肥： 126 17-2=15（吨） 这 15 吨正好是原有化肥吨数的一半，所以原来共有化肥： 15×2=30（吨） 综合算式： 答略。 （六）借助对应法逆推 所以，食堂原来有大米： 综合算式： 答略。 127 所以，第一天耕地后余下的亩数是： 25+3=28（亩） 28 亩所对应的分率是： 综合算式： 答略。 第十八讲 图解法 128 图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。 在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。图形可 起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。有时，作出了图形， 答案便在图形中。 （一）示意图 示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。 小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。 例 1 妈妈给兄弟二人每人 10 个苹果，哥哥吃了 8 个，弟弟吃了 5 个。谁剩下的苹果多？ 多几个？（适于四年级程度） 解：作图 18-1。 哥哥吃了 8 个后，剩下苹果： 10-8=2（个） 弟弟吃了 5 个后，剩下苹果： 10-5=5（个） 弟弟剩下的苹果比哥哥的多： 5-2=3（个） 答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多 3 个。 例 2 一桶煤油，倒出 40％，还剩 18 升。这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度） 解：作图 18-2。 129 从图中可看出，倒出 40％后，还剩： 1-40％=60％ 这 60％是 18 升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是： 18÷60％=30（升） 答略。 例 3 把 2 米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是 1.8 米，同时量得电线杆的影长是 5.4 米。这根电线杆地面以上部分高多少米？（适于六年级程度） 解：根据题意画出如图 18-3（见下页）的示意图。 同一时间，杆长和影长成正比例。设电线杆地面以上部分的高是 x 米，得： 1.8∶5.4=2∶x 答略。 （二）线段图 线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。在 小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。 例 1 王明有 15 块糖，李平的糖是王明的 3 倍。问李平的糖比王明的糖多多少块？（适于 三年级程度） 130 解：作图 18-4（见下页）。 从图 18-4 可看出，把王明的 15 块糖看作 1 份数，那么李平的糖就是 3 份数。 李平比王明多的份数是： 3-1=2（份） 李平的糖比王明的糖多： 15×2=30（块） 综合算式： 15×（3-1） =15×2 =30（块） 答略。 例 2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年 82 岁。他在 19 世纪中度过的时间比在 20 世纪中 度过的时间多 62 年。问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度） 解：作图 18-5。 从图 18-5 可看出，他在 20 世纪度过的时间是： （82-62）÷2 ＝20÷2 =10（年） 由此看出，他死于 1910 年。他出生的时间是： 131 1910-82=1828（年） 答略。 解：作图 18-6。 综合算式： 答略。 132 （三）思路图 小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。如果把思维的过程用文字图 形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。这 种表示思维过程的图形就是思路图。 例题参见前面的分析法和综合法。 （四）正方形图 借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量 之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。 例 1 农民张成良，把自己承包的土地的一半种了玉 承包了多少公顷土地？（适于四年级程度） 解：根据题意作图 18-7。 所以，他承包的土地是： 2×8=16（公顷） 答略。 例 2 有大小两个正方形，其中大正方形的边长比小正方形的边长多 4 厘米，面积比小正 方形的面积大 96 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？（适于六年级程度） 解：求大、小正方形的面积，应知道大、小正方形的边长，但题中没有说，也不好直接求 出来。借助画图形的方法可轻易解决这个问题。 根据题意作图 18-8。 133 图中大正方形 ABCD 的面积比小正方形的面积大 96 平方厘米。这 96 平方厘米的面积是由 两个长方形 a 及比长方形还小的正方形 c 构成。从 96 平方厘米减去正方形 c 的面积，再除以 2 就可求出长方形 a 的面积。 （96-4×4）÷2=40（平方厘米） 因为长方形 a 的宽是 4 厘米，所以长方形 a 的长是： 40÷4=10（厘米） 因为 10 厘米也是小正方形的边长，所以小正方形的面积是： 10×10=100（平方厘米） 大正方形的边长是： 4+10=14（厘米） 大正方形的面积是： 14×14=196（平方厘米） 答略。 （五）长方形图 借助长方形图解应用题，是以长方形的长表示一种数量，以长方形的宽表示另一种数量， 以长方形的面积表示这两种数量的积。它能把抽象的数量关系转化为具体形象的面积来计算问 题。 *例 1 甲、乙两名工人做机器零件，每天甲比乙多做 10 个。现在甲工作 15 天，乙工作 1 2 天，共做出 1500 个零件。问甲、乙两人每天各做多少个零件？（适于五年级程度） 解：根据题意作图 18-9（见下页）。 图 18-9 中，以左边长方形的长表示甲工作 15 天，以左边长方形的宽表示甲每天做多少个； 以右边长方形的长表示乙工作 12 天，以右边长方形的宽表示乙每天做多少个。 134 图中右上角那个长方形的宽表示甲每天比乙多做 10 个，所以，乙在 12 天中比甲少做零件： 10×12=120（个） 图中全部阴影部分的面积表示甲、乙共做的零件 1500 个。 从图 18-9 可以看出，整个大长方形面积所表示的零件的个数是： 1500+120=1620（个） 这个长方形的长表示甲、乙共同工作的天数： 15+12=27（天） 因为大长方形的宽表示甲每天做零件的个数，所以甲每天做零件的个数是： 1620÷27=60（个） 乙每天做零件的个数是： 60-10=50（个） 答略。 * 例 2 某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共 25 筐，其中鸭梨的筐数是桔子筐数的 2 倍。苹果 每筐卖 90 元，鸭梨每筐卖 72 元，桔子每筐卖 60 元，共卖得 1854 元。问卖出苹果、鸭梨和桔 子各多少筐？（适于六年级程度） 解：根据题意作图 18-10。 图 18-10 中阴影部分表示，如果 25 筐都是苹果，则所造成的差价是： 135 90×25-1854=396（元） 每卖出 1 筐桔子、2 筐鸭梨、3 筐苹果的差价是： （90-72）×2+（90-60） =36+30 =66（元） 因此，桔子的筐数是： 396÷66=6（筐） 鸭梨的筐数是： 6×2=12（筐） 苹果的筐数是： 25-6-12=7（筐） 答略。 （六）条形图 条形图是把长方形的长画得比较长，把长方形的宽画得比较短的一种图形。条形图一般以 长方形的长表示数量。条形图可以画成竖的，也可以画成横的。题中不同的数量可用不同的阴 影线或不同的颜色表示。题中的数量可写在长方形内，也可写在长方形外面。 条形图比线段图更直观一些，在用来解某些应用题时效果要比线段图好。 吨后，两场所剩煤的数量相等。甲、乙两个煤场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度） 解：作图 18-11。 136 从图中可看出，从 875 吨中减去 75 吨后，甲煤场的煤就相当于乙煤场煤的 3 倍，两个煤 场所存煤共分为 4 份。 其中一份是： （875-75）÷（3+1） ＝800÷4 =200（吨） 乙煤场原来的存煤吨数是： 200+75=275（吨） 甲煤场原来存煤的吨数是： 200×3=600（吨） 答略。 解：作图 18-12。 但是，实际上是运出 125 吨。这 140 吨比实际运出的多： 140-125=15（吨） 137 所以 15 吨所对应的分率是： 甲库原来的存粮吨数是： 420-180=240（吨） 答略。 *例 3 一组割草人要把大、小两块草地的草割掉，其中大块草地的面积是小块草地面积的 2 倍。全体组员用半天的时间割大块草地的草。下午一半的组员仍停留在大块草地上割，另一 半到小块草地上割。到傍晚时，大块草地的草全部割完，而小块草地还剩下一小块。这剩下的 一小块，第二天一个人用一天的时间就割完了。这组割草的一共有多少人？（适于六年级程度） 全体组员割一个上午后，一半的组员又割一个下午就把大块地的草割完，这就是说，要是 用一半的组员单独割大块草地的草，就要用 3 个半天，而在 这剩下的一小块是大块草地的： 138 这就是说，6 个人一天可以把大块草地割完，一个人一天割大块地的 答略。 （七）圆形图 借助圆形图解应用题，是以圆的面积或周长表示题中的数量，并在圆周内、外标上数字、 符号，从而达到便于分析数量关系的目的。 例 1 甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。甲每秒钟跑 8 米，乙 每秒钟跑 7 米，经过 20 秒钟两人相遇。求环形跑道的周长。（适于五年级程度） 解：作图 18-14。 从图中可看出，甲、乙两人跑的路程的总和就是圆的周长。根据“速度和×相遇时间=相 遇路程”，可求出环形跑道的周长： （7+8）×20=300（米） 答略。 139 问这块土地有多少公倾？（适于六年级程度） 解：作图 18-15。 从图中可看出，第二天耕完这块土地的： 例 3 有三堆棋子，这三堆棋子所含棋子的个数一样多，且都只有黑、白两色棋子。第一 堆里的黑子与第二堆的白子一样多，第 棋子的几分之几？（适于六年级程度） 解：作图 18-16。 140 从图中可看出，把第一堆里的黑子与第二堆里的白子交换，则第一堆全是白子，第二堆全 是黑子。 因为第一堆与第二堆的棋子数相同，所以第一堆的白子数与第二堆的黑 所以，白子占全部棋子的： *例 4 甲、乙两人同时从环形路的同一点出发，同向环行。甲每分钟走 70 米，乙每分钟 走 46 米。环形路的长是 300 米。他们出发后，在 1 小时 20 分里相会几次？到 1 小时 20 分时 两人的最近距离是多少米？（适于五年级程度） 解：作图 18-17。 甲、乙二人 1 分钟的速度差是： 70-46=24（米） 由二人出发到第一次相会所需的时间是： 141 300÷24=12.5（分） 1 小时 20 分钟即为 80 分钟。80 分钟内包含几个 12.5 分钟，二人即相会几次。80 分钟内 包括 6 个 12.5 分钟，还多 5 分钟，即二人相会 6 次。 由于第六次相会后还走 5 分钟，所以甲乙之间相隔： 24×5=120（米） 此时，甲、乙之间还有一个距离是： 300-120=180（米） 180＞120 米 答：在 1 小时 20 分钟里两人相会 6 次；到 1 小时 20 分钟时，两人的最近距离是 120 米。 （八）染色图 在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量，以利于解题的图形叫染色图。染色图 是解决数学题和智力题常用的一种图形。 *例 1 图 18-18 是某湖泊的平面图，图中的所有曲线都表示湖岸。某人从岸边 A 点到 B 点 至少要趟几次水？B 点是在水中还是在岸上？（适于高年级程度） 解：这个问题好像很难解答。但我们按“图中所有曲线都是表示湖岸”的已知条件，将湖 面染上色，湖岸部分就显示出来了，答案也就一目了然了（图 18-19）。 答：他至少要趟 3 次水才能达到 B 处，B 点在湖岸上。 * 例 2 如图 18-20，某展览馆有 36 个展室，每两个相邻展室之间均有门相通。问你能否 从图中入口进去，不重复地参观完每个展室后，再从出口处出来？（适于高年级程度） 142 解：作图 18-21。把图中 36 个方格相间地染上黑色。因入口处是白格，参观时若依顺序 将展室编号，那么进入第奇数号展室时，应是白格位置；进第偶数号展室应是黑格。即应按白 →黑→白→黑→……顺序交替参观。 参观者最后离开的是第 36 号展室，它是偶数，按上面的分析它应是黑格，但图中实际为 白色方格。这说明题中要求的参观方式是不可能实现的。 答略。 *例 3 将图 18-22 矩形 ABCD 的一边 AD 分成 6 小段，其中线段 1+线段 3+线段 5=线段 2+ 线段 4+线段 6。连结对角线 BD，用红（图中用横线表示）、蓝（图中用坚线表示）两色将图 形分别染色。问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积哪个大？（适于高年级程度） 解：此题利用三角形、梯形面积公式可算出结果，但较麻烦。用染色的方法解此题比较简 捷。 先将图中 BD 线左下面的空白处染上黑色，用 S 红、S 蓝、S 黑分别表示染红、蓝、黑三种颜色 图形的面积（图 18-23）。 143 从图 18-23 很容易看到： 另外，S 蓝+S 黑等于 3 个小矩形面积的和，而它恰好等于矩形 ABCD 面积的一半，即： 这就是说： S 红+S 黑=S 蓝+S 黑 从上面算式的两边同时减去 S 黑，得： S 红=S 蓝 答：图中染红色部分的面积与染蓝色部分的面积一样大。 *例 4 图 18-24 的图形是从 4×4 的正方形纸上剪去两个 1×1 的小方纸片后得到的。它们 的面积都是 14。若把它们剪成 1×2 的小矩形，最多能剪几个？为什么？（适于高年级程度） 解：图 18-24 的三个图形除了（1）可以剪出 7 个 1×2 的小矩形外，（2）、（3）不管 怎么剪，至多都只能剪出 6 个来。原因是： 144 分别用黑白两色对图形（1）、（2）、（3）相间地涂色（图 18-25）。从它们上面剪下 来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成，这两个小方格上涂有不同的颜色，如图 18-25 中 （4）。既然每个 1×2 的小矩形都由一个白色格和一个黑色格组成（因为三个图形的面积 都是 14 个方格，把它们剪成 1×2 的小矩形，照面积来算，似乎都应剪出 7 个来），要想剪出 7 个小矩形，当然得有 7 个白格和 7 个黑格，但在图 18-25 中，只有图形（1）是这样的，图 形（2）、（3）都有 8 个白格和 6 个黑格。故它们只能剪出 6 个小矩形。 答略。 =3.2（公顷） 答略。 第十九讲 对应法 解应用题时要找出题中数量间的对应关系。如解平均数应用题需找出“总数量”所对应的 “总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分 率的对应关系。因此，找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。 用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数量求未知数的解题方法，称 为对应法。 解答复杂的分数应用题，关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。 （一）解平均数应用题 在应用题里，已知几个不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平均数应用 题。 解平均数应用题，要找准总数量与总份数的对应关系，然后再按照公式 145 例 1 同学们参加麦收劳动。第一天收麦 16 亩，第二天上午收麦 8 亩，下午收麦 12 亩。 平均每天收麦多少亩？（适于三年级程度） 解：本题的总份数是 2 天（注意：总份数不是 3 天），2 天所对应的总数量是（16+8+12） 亩。 所以，平均每天收麦亩数是： （16+8+12）÷2 =36÷2 =18（亩） 答略。例 2 服装厂一、二月份共生产 13356 套服装，三月份生产 12030 套服装。第一季 度平均每月生产多少套服装？（适于三年级程度） 解：本题的总份数是 3 个月（注意：不是 2 个月），与 3 相对应的总数是（13356+12030） 套。 所以，平均每个月生产服装的套数是： （13356+12030）÷3 =25386÷3 =8462（套） 答略。 例 3 河南乡有两块稻谷实验田。第一块 8 亩，平均亩产稻谷 550 千克；第二块 6 亩，共 产稻谷 2880 千克。这两块试验田平均亩产稻谷多少千克？（适于四年级程度） 解：求平均亩产量，总份数就是总亩数（8+6）亩，和总份数对应的总数量就是总产量 （550×8+2880）千克。 所以，这两块试验田平均亩产稻谷的数量是： （550×8+2880）÷（8+6） =7280÷14 =520（千克） 答略。 例 4 甲、乙两地相距 10.5 千米。某人从甲地到乙地每小时走 5 千米，从乙地返回甲地 每小时走 3 千米。求他往返的平均速度。（适于五年级程度） 146 解：有的同学以（5+3）÷2=4（千米/小时）这种方法解答此题。这个算式里没有某人走 的总路程和与总路程所对应的时间，所以这种算法是错误的。 此题的总路程是 10.5×2 千米，与总路程相对应的总时间是（10.5÷5+10.5+3）小时。 所以他往返的平均速度是： 10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3） =21÷5.6 =3.75（千米/小时） 答略。 （二）解倍数应用题 已知两个数的倍数关系以及它们的和，求这两个数的应用题，称为和倍应用题；已知两个 数的倍数关系以及它们的差，求这两个数的应用题，称为差倍应用题。 总起来讲，已知各数量之间的倍数关系和其他条件，求各个数量大小的这类应用题，就叫 做倍数应用题。 在解倍数应用题时，要找准具体数量和倍数的对应关系。然后，利用下面的公式求出 1 倍数，使问题得到解决。 例 1 甲、乙两筐中有重量相同的苹果。由甲筐卖出 75 千克，由乙筐卖出 97 千克后，甲 筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的 3 倍。乙筐现在有苹果多少千克？（适于四年级程度） 解：根据“由甲筐卖出 75 千克，由乙筐卖出 97 千克后，甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下 苹果重量的 3 倍”，可看出： 由甲筐卖出的少，由乙筐卖出的多，甲筐剩下的多，乙筐剩下的少；乙筐剩下的苹果是 1 倍数，甲筐剩下的苹果是 3 倍数。 甲筐剩下的苹果比乙筐剩下的苹果多： 3-1=2（倍） 这 2 倍数所对应的数量是： 147 97-75=22（千克） 因为乙筐剩下的苹果是 1 倍数，所以乙筐现在有苹果： 22÷2=11（千克） 答略。 例 2 甲、乙两个粮库共存粮食 107 吨。甲库运出 23 吨粮食后，乙库所存粮是甲库的 3 倍。 甲粮库原来存粮多少吨？（适于五年级程度） 解：由题意“甲库运出 23 吨粮食后，乙库所存粮食是甲库的 3 倍”可看出，甲库运出 23 吨粮食后，甲、乙两库共剩粮食： 107-23=84（吨） 甲库存粮是 1 倍数，乙库存粮是 3 倍数，84 吨所对应的倍数是（1+3）倍。 所以，甲库现在存粮食： 84÷（1+3）=21（吨） 甲库原来存粮食： 21+23=44（吨） 答略。 例 3 春光农场两组工人收桔子。第一组收的桔子是第二组所收桔子的 3 倍少 50 千克，比 第二组多收 3150 千克。两组各收桔子多少千克？（适于五年级程度） 解：因为第一组收的桔子比第二组多 3150 千克，是第二组的 3 倍少 50 千克，所以，第二 组收的是 1 倍数。如果在 3150 千克之上增加 50 千克，则第一组收的就是第二组的 3 倍。 3150+50=3200（千克） 这 3200 千克所对应的倍数是： 3-1=2（倍） 第二组所收的桔子是： 3200÷2=1600（千克） 第一组所收的桔子是： 1600×3-50 148 =4800-50 =4750（千克） 答略。 （三）解行程应用题 在距离、速度、时间三个量中，已知其中两个量而求另一个量的应用题叫做行程应用题。 它可以分为一般行程应用题、相向运动应用题、同向运动应用题（追及应用题）三类。 在解行程应用题时，要找准速度、时间和距离之间的对应关系，然后再按照公式“速度× 时间=距离”、“速度和×相遇所需对间=原来相隔距离”、“速度差×追及所需时间=追及距 离”来计算。 =30（千米） 答略。 *例 2 一段路，客车行完要用 12 小时，货车行完要用 15 小时。现在两车同时从两地相向 而行，相遇时客车行了 150 千米。求货车行了多少千米。（适于六年级程度） 解：作图 19-1。 149 货车行的路程是： 270-150=120（千米） 答略。 （四）解分数应用题 用分数计算来解答的应用题，叫做分数应用题。 解：已知整袋的白糖重量是 25 千克，要求最后剩下的白糖的重量，就要求出最后剩下的 白糖所对应的分率。 150 所以最后剩下的白糖是： 答略。 所以，两天一共修的米数是： =135（米） 答略。 （五）解工程应用题 工程应用题，是叙述有关共同工作的问题。解答这类问题，是把全工程作为“1”。用工 作的时间去除全工程“1”，可求单位时间的工作量；用单位时间的工作量去除全工程“1”， 可求出完成工程所用的时间。 在解工程问题时，要找准工作效率、工作时间和工作量的对应关系，然后再按照公式“工 作效率×工作时间=工作量”及其变形公式计算。 例 1 甲、乙两人合做一批机器零件。甲单独做需要 10 小时完成，乙单独做需要 15 小时 完成。两人合做 5 小时后，这批零件还剩 30 只。这批零件一共是多少只？（适于六年级程度） 151 解：把这批零件的只数看作单位“1”。甲单独做需要 10 小时完成，甲 剩余的工作量是： 答略。 例 2 一项工程，甲队单独做 12 天可以完成，甲队做了 8 天后，剩余的工程由乙队做了 5 天完成。问乙队单独做每天可以完成这项工程的几分之几？（适于六年级程度） 剩余的工作量是： 答略。 第二十讲 集合法 我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如，所有自 然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是 英国数学家）。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。 152 例 1 五年级一班有 48 人。在午后自习时，做完语文作业的有 37 人，做完数学作业的有 42 人。语文、数学作业都做完的有多少人？（适于三年级程度） 解：由题意可知，做完语文作业的 37 人中有一部分只做完语文作业，另一部分既做完语 文作业又做完数学作业。做完数学作业的 42 人中也是有一部分只做完数学作业，另一部分既 做完数学作业又做完语文作业。 所以，如果我们用 A 圆圈表示做完语文作业的人数，用 B 圆圈表示做完数学作业的人数， 则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数（如图 20-1）。 从图中可以看出，语文、数学作业都做完的人数等于 A 圆圈的人数加上 B 圆圈的人数减去 全班的总人数。 37+42-48=31（人） 答：语文、数学作业都做完的有 31 人。 例 2 有 110 名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有 72 人，既参加书法比赛又参 加绘画比赛的有 24 人。参加绘画比赛的有多少人？（适于三年级程度） 解：可通过画如图 20-2 的韦恩图来分析题意。A 圆圈表示参加书法比赛的人数，B 圆圈表 示参加绘画比赛的人数，两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。 由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛 的人数等于 A 圆圈的人数减去相交阴影部分的人数。 只参加书法比赛的人数： 72-24=48（人） 参加绘画比赛的人数： 110-48=62（人） 153 答略。（适于六年级程度） 解：参加径赛的有： 根据题意作图 20-3 从图中可以看出，只参加田赛的人数是： 276-230=46（人） 两种活动都参加的人数是： 184-46=138（人） 答略。 *例 4 某班 45 名学生期末考试的成绩如下：语文 90 分以上的有 14 人，数学 90 分以上的 有 25 人，语文和数学都不足 90 分的有 17 人。求语文、数学都在 90 分以上的有多少人？（适 于五年级程度） 解：作图 20-4。由图可看出，语文、数学一门或两门在 90 分以上的人数是： 45-17=28（人） 只语文在 90 分以上的人数是： 154 28-25=3（人） 只数学在 90 分以上的人数是： 28-14=14（人） 语文、数学都在 90 分以上的人数是： 28-（14+3）=11（人） 答略。*例 5 学校气象小组有 50 名成员，其中负责观测的有 19 人，负责记录的有 15 人， 既负责观测又负责记录的有 7 人。问：（1）只负责记录，不负责观测的有多少人？（2）只负 责观测，不负责记录的有多少人？（3）气象小组有多少人负责其他工作？（适于高年级程度） 解：作图 20-5。用 A 圆圈表示负责观测的人数，用 B 圆圈表示负责记录的人数，则两圆 圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。 由图 20-5 可知，只负责记录，不负责观测的人数，等于负责记录的人数减去既负责观测 又负责记录的人数；只负责观测，不负责记录的人数，等于负责观测的人数减去既负责观测又 负责记录的人数；气象小组负责其他工作的人数，等于总人数减去负责观测和负责记录的人数， 再加上既负责观测又负责记录的人数。 （1）只负责记录，不负责观测的人数： 15-7=8（人） （2）只负责观测，不负责记录的人数为： 19-7=12（人） （3）负责其他工作的人数为： 50-19-15+7=23（人） 答略。 *例 6 某班有 45 名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有 26 人，喜爱 其中两项运动的分别有 13、14、15 人。三项运动都喜爱的有多少人？（适于高年级程度） 解：用 A 圆圈表示喜爱足球的人数，B 圆圈表示喜爱篮球的人数，C 圆圈表示喜爱排球的 人数。则 A、B 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数；B、C 两圆圈相交的部分 155 表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数；A、C 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人 数；A、B、C 三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数（图 20-6）。 由图 20-6 可知，三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球 的人数，再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。 45-26×3+（13+14+15） =45-78+42 =45+42-78 =87-78 =9（人） 答：三项运动都喜爱的有 9 人。 *例 7 55 名学生中，有 18 人参加合唱队，25 人参加美术组，17 人参加运动队，参加合 唱队与美术组的共有 36 人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有 5 人， 请回答： （1）既参加合唱队又参加美术组的有多少人？ （2）只参加合唱队的有多少人？ （3）只参加美术组的有多少人？ （4）只参加运动队的有多少人？ （5）既参加运动队又参加美术组的有多少人？（适于高年级程度） 解：作图 20-7。 因为参加合唱队与美术组的共有 36 人，所以：（1）既参加合唱队又参加美术组的人数是： 156 18+25-36=7（人） （2）只参加合唱队的人数是： 18-7=11（人） 现在还不能求出只参加美术组的人数，先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的 7 人，美 术组剩下的人数是： 25-7=18（人） 因为在 55 名学生中，参加美术组、运动队的总人数是 25+17=42（人），只参加合唱队的 有 11 人，什么组都没有参加的有 5 人，参加美术、体育两项活动的实际人数是： 55-5-11=39（人） 所以： （5）既参加运动队又参加美术组的人数是： 42-39=3（人） （4）只参加运动队的人数是： 17-3=14（人） （3）只参加美术组的人数是： 18-3=15（人） 答略。 第二十一讲 守恒法 应用题中的数量有的是变化的，有的是始终不变的。解应用题时，抓住始终不变的数量， 分析不变的数量与其他数量的关系，从而找到解题的突破口，把应用题解答出来的解题方法， 叫做守恒法，也叫抓不变量法。 （一）总数量守恒 有些应用题中不变的数量是总数量，用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。 157 例 1 晶晶要看一本书，计划每天看 15 页，24 天看完。如果要 12 天看完，每天要看多少 页？如果改为每天看 18 页，几天可以看完？（适于三年级程度） 解：无论每天看多少页，总是看这一本书，只要抓住这本书的“总页数不变”这个关键， 问题就好办了。 这本书的总页数是： 15×24=360（页） 如果要 12 天看完，每天要看的页数是： 360÷12=30（页） 如果改为每天看 18 页，看完这本书的天数是： 360÷18=20（天） 答略。 此题由于第一步是用乘法求出总数，因此也叫做“归总”应用题。 *例 2 用一根铁丝围成一个长 26 厘米，宽 16 厘米的长方形。用同样长的铁丝围成一个正 方形，正方形所围成的面积是多少？（适于三年级程度） 解：这根铁丝的长是不变的量，铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相同。即： 26×2+16×2 =52+32 =84（厘米） 正方形的边长是： 84÷4=21（厘米） 正方形所围成的面积是： 21×21=441（平方厘米） 答略。 158 解：书架上书总的本数是不变的数量，设它为单位 1。从“上层书的本 书总的本数分成 5 份，上层的书占总本数的 因此，书总的本数是： 原来书架的上层有书： 原来书架的下层有书： 90-18=72（本） （二）部分数量守恒 当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时，要抓住这个不变的部分数量解题。 例 1 一辆汽车，从甲站到乙站，要经过 20 千米的平路，45 千米的上坡路，15 千米的下 坡路。如果这辆汽车在平路上每小时行 40 千米，在上坡路上每小时行 30 千米，在下坡路上每 小时行 45 千米。照这样的速度行驶，这辆汽车在甲、乙两站间往返一次需要多少时间？（适 于五年级程度） 解：无论汽车行驶在平路上、上坡路上，还是在下坡路上，每一段路上的速度是不变的。 这辆汽车往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45） 千米这辆汽车往返一次需要的时间是： 159 答略。 例 2 有含盐 15％的盐水 20 千克，要使盐水含盐 10％，需要加水多少千克？（适于六年 级程度）解：题中盐的重量是不变的数量，盐的重量是： 20×15％=3（千克） 在盐水含盐 10％时，盐的对应分率是 10％，因此盐水的重量是： 3÷10％=30（千克） 加入的水的重量是： 30-20=10（千克） 答略。 解：文艺书的本数是不变的数量。文艺书有： =720（本） 160 从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数，得到买进科技书的本数： 720-630=90（本） 综合算式： =720-630 =90（本） 答略。 （三）差数守恒 当应用题中两个数量的差是不变的数量时，要抓住这个差，分析数量关系解题。 例 1 父亲今年 35 岁，儿子 5 岁。多少年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍？（适于四年级 程度） 解：父子年龄的差是个不变的数量，始终是 35-5=30（岁） 在父亲年龄是儿子年龄的 3 倍时，父子年龄的差恰好是儿子年龄的 2 倍。 因此，这时儿子的年龄是： 30÷2=15（岁） 15-5=10（年） 答：10 年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍。 *例 2 小明有 200 个枣，大平有 120 个枣。两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大 平剩下枣的 5 倍。问两个人一共吃掉多少个枣。（适于四年级程度） 解：两个人相差的枣的个数是不变的数量： 200-120=80（个） 两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的 5 倍。这就是说大平剩下的枣是 1 份数，小明剩下的枣比大平剩下的枣多 4 份数。因为两人吃掉的枣的个数相同，所以相差数 还是 80 个。这 80 个是 4 份数。 因此，大平剩下的枣是其中的一份数： 80÷4=20（个） 161 大平吃掉的枣是： 120-20=100（个） 因为两个人吃掉的枣一样多，所以一共吃掉枣： 100×2=200（个） 答略。 *例 3 有甲、乙两个车间，如果从甲车间调出 18 人给乙车间，甲车间就比乙车间少 3 人； 如果从两个车间各调出 18 人，乙车间剩下人数就是甲车间 解：由“从甲车间调出 18 人给乙车间，甲车间就比乙车间少 3 人”可看出，甲车间比乙 车间多 2 个 18 人又少 3 人，即甲车间比乙车间多： 18×2-3=33（人） 由“从两个车间各调出 18 人，乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的 甲车间原有的人数是： 88+18=106（人） 乙车间原有的人数是： 106-33=73（人） 答略。 *例 4 甲种布的长是乙种布长的 3 倍。两种布各用去 8 米时，甲种布剩下的长是乙种布剩 下长度的 4 倍。两种布原来各长多少米？（适于六年级程度） 解：甲、乙两种布的长度差是不变的数量，解题时要以这个不变的数量作为标准量。 原来乙种布的长是标准量的： 162 乙种布先后两个分率的差是： 乙种布的长是： 甲种布的长是： 48+24=72（米） 答略。 第二十二讲 两差法 解应用题时，首先确定一个标准数（即 1 倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出 1 倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解 答差倍问题。 差倍问题的数量关系是： 两数差÷倍数差=1 倍数 1 倍数×倍数=几倍数 较小数+两数差=较大数 例 1 某厂女职工人数是男职工人数的 6 倍，男职工比女职工少 65 人。这个厂男女职工共 有多少人？（适于四年级程度） 解：根据“人数差÷倍数差=1 倍数”，有： 163 65÷（6-1）=13（人） 那么，这个厂男女职工共有的人数是： 13×（6+1）=91（人） 答略。 例 2 小李买 3 本日记本，小华买同样的 8 本日记本，比小李多用 2.75 元。小李、小华两 人分别用去多少钱？（适于五年级程度） 解：小华比小李多用 2.75 元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日 记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。 小李用的钱数是： 0.55×3=1.65（元） 小华的钱数是： 0.55×8=4.40（元） 答略。例 3 甲、乙两数的差是 28，甲数是乙数的 3 倍。问甲乙两数各是多少？（适于四 年级程度） 解：甲-乙=28，甲是乙的 3 倍，那么乙就是 1 倍数，28 所对应的倍数是 3-1=2（倍），则 乙数可以求出。解法是： 28÷（3-1）=14……………………………乙数 14×3=42…………………………………甲数 答：甲数是 42，乙数是 14。 例 4 一个植树小组植树。如果每人栽 5 棵，还剩 14 棵；如果每人栽 7 棵，就缺 4 棵。这 个植树小组有多少人？一共有多少棵树苗？（适于五年级程度） 解：把题中的条件简要摘录如下： 每人 5 棵 剩 14 棵 每人 7 棵 缺 4 棵 164 比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4） 棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有 树苗的棵数。 （14+4）÷（7-5）=9（人）……………………人数 5×9+14=59（棵）……………………………棵数 答略。 例 5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进 3 杯水，连瓶共重 440 克；如果倒进 5 杯 水，连瓶共重 600 克。一杯水和一个空瓶各重多少克？（适于五年级程度） 解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。 这道题的“暗差”有两个：一个是 5-3=2（杯），另一个是 600-440=160（克）。这里两 个暗差的等量关系是：2 杯水的重量=160 克。 这样就能很容易求出一杯水的重量： 160÷2=80（克） 一个空瓶的重量： 440-80×3=200（克） 答略。 *例 6 甲从西村到东村，每小时步行 4 千米。3.5 小时后，乙因有急事，从西村出发骑自 行车去追甲，每小时行 9 千米。问乙需要几小时才能追上甲？（适于高年级程度） 解：乙出发时，甲已经行了（4×3.5）千米，乙每行 1 小时便可比甲每小时多行（9-4） 千米，那么（4×3.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以： 答：乙需 2.8 小时才能追上甲。 例 6 是典型的“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。 *例 7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产 120 台电风扇，实际每天比原计划多 生产 30 台，结果提前 12 天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台？（适于高年级程度） 解：在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：（120+30） ×12。因为实际每天比原计划多生产 30 台，因此： 165 计划完成任务的天数是 60 天，那么这批电风扇的生产任务就是： 120×60=7200（台） 答略。 *例 8 甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米，两人同走一段路，甲比乙少用了 3 小时。 问这段路长多少千米？（适于五年级程度） 解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲 比乙少用了 3 小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。 为什么会“甲比乙少用了 3 小时”？因为甲比乙的速度快。 （1）在 3 个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？在 3 小时里甲比乙正好多走： 4×3=12（千米） （2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？ 5-4=1（千米） （3）走完这 12 千米的差数甲要走几小时呢？ 12÷1=12（小时） （4）这段路长多少千米？ 5×12=60（千米） 综合算式： 5×[4×3÷（5-4）] =5×[12÷1] =5×12 =60（千米） 答略。 166 解：此题是“差倍”问题的变形。 答略。 两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度） 解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把 运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运 知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。 167 本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。 然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走 180 吨，与方才算得的 162 吨相 差 180-162=18（吨），为什么会产生这 18 吨的差异呢？ 270-120=150（吨）……………………甲堆 答略。 *例 11 祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥 1100 日元，给了弟弟 550 日元， 这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为 7∶5。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？（适 于六年级程度） 解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得 到的所有零花钱钱数之差。 1100-550=550（日元） 由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为 7∶5 可知，把哥哥的钱看成是 7 份的话，弟弟的 钱数就是 5 份，它们相差： 7-5=2（份） 所以，每一份的钱数是： 550÷2=275（日元） 哥哥有零花钱： 168 275×7=1925（日元） 其中祖父给的是： 1925-1100=825（日元） 答：祖父给兄弟二人的钱都是 825 日元。 *例 12 一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？” 牧羊人说：“山羊的只数加上 99 只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上 99 只就是山羊的 3 倍， 你去算吧。”请你帮助小明算一算。（适于五年级程度） 解：由“山羊的只数加上 99 只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多 99 只。由“绵羊的 只数加上 99 只就是山羊的 3 倍”知道，绵羊的只数加上 99 只后，绵羊的只数比山羊多（99+99） 只。此时，如果把山羊只数看作 1 倍，绵羊只数就是 3 倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍 正好是（99+99）只（图 22-1）。用除法可以求出 1 倍数（山羊只数），再用加法就可以求出 绵羊只数。 （99+99）÷（3-1） =198÷2 =99（只）…………………山羊只数 99+99=198（只）…………绵羊只数 答略。 *例 13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调 10 人到大车间，则大车间的人数是小 车间的 3 倍；如果从大车间调 30 人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各 有多少人？（适于高年级程度） 解：根据“如果从大车间调 30 人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小 车间多 30×2 人；根据“如果从小车间调 10 人到大车间，则大车间的人数是小车间的 3 倍” 知道，这样调动后，大车间比小车间多（30×2+10×2）人。把调动后小车间的人数看作 1 倍 数，则大车间的人数就是 3 倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是 （30×2+10×2）人。用除法可以求出 1 倍数（调动后，小车间人数），加上 10 就得小车间原 有人数。 （30×2+10×2）÷（3-1）+10 =80÷24+10 169 =50（人）………………（小车间原有人数） 50+30×2=110（人）…（大车间原有人数） 答略。 在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、 计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄， 相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用 差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。 *例 14 今年哥哥 18 岁，弟弟 8 岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的 3 倍？（适于高年级程 度） 解：作图 22-2。 哥哥和弟弟年龄之差（18-8）岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作 1 倍数，哥哥的年龄 就是 3 倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。用除法可以求出 1 倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的 3 倍。 8-（18-8）÷（3-1）=3（年） 答略。 *例 15 今年父亲 40 岁，儿子 4 岁。问几年后父亲的年龄是儿子的 4 倍？（适于高年级程 度） 解：作图 22-3。 父子年龄之差（40-4）岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作 1 倍数，父亲的年龄就是 4 倍数，比儿子多（4-1）=3 倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。用除法可求出 1 倍 数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的 4 倍。 （40-4）÷（4-1）-4 =36÷3-4 170 =8（年） 答略。 第二十三讲 比例法 比和比例是传统算术的重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比例的知识来解 答的。近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内 容之一，是升入中学继续学习的必要基础。 用比例法解应用题，实际上就是用解比例的方法解应用题。有许多应用题，用比例法解简 单、方便，容易理解。 用比例法解答应用题的关键是：正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例， 然后列成比例式或方程来解答。 （一）正比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 如果用字母 x、y 表示两种相关联的量，用 k 表示比值（一定），正比例的数量关系可以 用下面的式子表示： 例 1 一个化肥厂 4 天生产氮肥 32 吨。照这样计算，这个化肥厂 4 月份生产氮肥多少吨？ （适于六年级程度） 解：因为日产氮肥的吨数一定，所以生产氮肥的吨数与天数成正比例。 设四月份 30 天生产氮肥 x 吨，则： 答略。 例 2 某工厂要加工 1320 个零件，前 8 天加工了 320 个。照这样计算，其余的零件还要加 工几天？（适于六年级程度） 解：因为每一天加工的数量一定，所以加工的数量与天数成正比例。 171 还需要加工的数量是： 1320-320=1000（个） 设还需要加工 x 天，则： 例 3 一列火车从上海开往天津，行了全程的 60％，距离天津还有 538 千米。这列火车已 行了多少千米？（适于六年级程度） 解：火车已行的路程∶剩下的路程=60％∶（1-60％）=3∶2。 设火车已行的路程为 x 千米。 答略。 米。这时这段公路余下的长度与已修好长度的比是 2∶3。这段公路长多少米？（适于六 年级程度） 解：余下的长度与已修好长度的比是 2∶3，就是说，余下的长度是已 这段公路的长度是： 172 答略。 （二）反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积 一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 如果用字母 x、y 表示两种相关联的量，用 k 表示积（一定），反比例的数量关系可以用 下面的式子表达： x×y=k（一定） 例 1 某印刷厂装订一批作业本，每天装订 2500 本，14 天可以完成。如果每天装订 2800 本，多少天可以完成？（适于六年级程度） 解：由于要装订的本数一定，因此，每天装订的本数与可以装订的天数成反比例。 设 x 天可以完成，则： 答略。 例 2 一项工程，原来计划 30 人做，18 天完成。现在减少了 3 人，需要多少天完成？（适 于六年级程度） 解：工作总量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人数与天数成反比例。 现在减少 3 人，现在的人数就是： 30-3=27（人） 设需要 x 天完成，则： 答略。 例 3 有一项搬运砖的任务，25 个人去做，6 小时可以完成任务；如果相同工效的人数增 加到 30 人，搬运完这批砖要减少几小时？（适于六年级程度） 173 解：题中的总任务和每人的工作效率一定，所以搬运砖的人数与所需要的时间成反比例。 设增加到 30 人以后，需要 x 小时完成，则： 6-5=1（小时） 答：增加到 30 人后，搬运完这批砖要减少 1 小时。 例 4 某地有驻军 3600 人，储备着吃一年的粮食。经过 4 个月后，复员若干人。如果余下 的粮食可以用 10 个月，求复员了多少人？（适于六年级程度） 解：按原计划，4 个月后余下的粮食可以用： 12-4=8（个月） 因为复员一部分人后，人数少了，所以原来可以用 8 个月的粮食，现在就可以用 10 个月。 粮食的数量一定，人数与用粮的时间成反比例。 设余下的粮食供 x 人吃 10 个月，则： 答：复员了 720 人。 （三）按比例分配 按比例分配的应用题可用归一法解，也可用解分数应用题的方法来解。 用归一法解按比例分配应用题的核心是：先求出一份是多少，再求几份是多少。这种方法 比解分数应用题的方法容易一些。用解分数应用题的方法解按比例分配问题的关键是：把两个 （或几个）部分量之比转化为部分量占总量的（几个部分量之和）几分之几。这种转化稍微难 一些。然而学会这种转化对解答某些较难的比例应用题和分数应用题是有益的。 究竟用哪种方法解，要根据题目的不同，灵活采用不同的方法。 有些应用题叙述的数量关系不是以比或比例的形式出现的，如果我们用按比例分配的方法 解这样的题，要先把有关数量关系转化为比或比例的关系。 174 1.按正比例分配 甲、乙、丙三个数的连比是： 4+5+8=17 答略。 例 2 有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多 12.5％，乙堆比丙堆少 解：因为甲堆比乙堆多 12.5％，所以要把乙堆看作“1”，这样甲堆就是（1+12.5％）。 甲∶乙=（1+12.5％）∶1=9∶8 甲∶乙∶丙=9∶8∶10 已知甲堆比丙堆少 6 吨，这 6 吨所对应的份数是 1，所以，甲堆煤的吨数是： 6×9=54（吨） 乙堆煤的吨数是： 175 6×8=48（吨） 丙堆煤的吨数是： 6×10=60（吨） 答略。 2.按反比例分配 *例 1 某人骑自行车往返于甲、乙两地用了 10 小时，去时每小时行 12 千米，返回时每小 时行 8 千米。求甲、乙两地相距多少千米？（适于六年级程度） 解：此人往返的速度比是： 12∶8=3∶2 因为在距离一定的情况下，时间与速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是 3∶2， 可推出此人往返所用的时间比是 2∶3。 去时用的时间是： 两地之间的距离： 12×4=48（千米） 答略。 *例 2 一个文艺演出队去少数民族地区慰问演出，路上共用了 110 个小 这也是骑马、乘轮船、坐火车的时间比。 176 将 110 小时按 8∶2∶1 的比例分配。 骑马的时间是： 坐火车的时间是： 答略。 3.按混合比例分配 把价格不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价（或总价 和总数量），求混合量的应用题叫做混合比例应用题。混合比例应用题在实际生活中有广泛的 应用。 *例 1 红辣椒每 500 克 3 角钱，青辣椒每 500 克 2 角 1 分钱。现将红辣椒与青辣椒混合， 每 500 克 2 角 5 分钱。问应按怎样的比例混合，菜店和顾客才都不会吃亏？（适于六年级程度） 解：列出表 23-1。 表 23-1 表中，价格一栏是根据题意填的，其他栏目是在分析题的过程中填的。 混合后的辣椒是每 500 克卖 2 角 5 分钱，而混合辣椒中红、青两种辣椒的比不能是 1∶1， 因为在混合后的辣椒中每有 500 克红辣椒，红辣椒就要少卖 5 分钱，所以应算是每 500 克红辣 椒损失了 5 分钱，在“损”一栏中，横对红辣椒和 3 角，填上 5 分；又因为在混合后的辣椒中 每有 500 克青辣椒，青辣椒就要多卖 4 分钱，所以应算是每 500 克青辣椒多卖了（益）4 分钱， 在“益”一栏中，横对青辣椒和 2 角 1 分，填上 4 分。 5 与 4 的最小公倍数是 20。 20÷5＝4，20÷4＝5， 177 只有在混合的辣椒中，有 4 份的红辣椒，5 份的青辣椒，500 克混合后的辣椒正好卖 2 角 5 分钱。 4 份的红辣椒是 4 个 500 克，它的价钱是， 0.3×4=1.2（元） 5 份的青辣椒是 5 个 500 克，它的价钱是， 0.21×5=1.05（元） 4 份红辣椒与 5 份青辣椒的总价是， 1.2+1.05=2.25（元） 而 9 个 500 克的混合辣椒的总价是， 0.25×9=2.25（元） 9 份（9 个 500 克）红辣椒和青辣椒的总价正好与 9 个 500 克混合辣椒的总价相等。 所以在混合的辣椒中，红辣椒与青辣椒的比应是 4∶5。这个比正好是益损两数比的反比。 答略。 *例 2 王老师买甲、乙两种铅笔共 20 支，共用 4 元 5 角钱。甲种铅笔每支 3 角，乙种铅 笔每支 2 角。两种铅笔各买多少支？（适于六年级程度） 解：20 支铅笔的平均价格是： 4.5÷20=0.225（元）=2.25（角） 列出表 23-2。 表 23-2 因为甲种铅笔每支 3 角，而平均价格是每支 2.25 角，所以每支甲种铅笔损失了 0.75 角钱。 在表中“损”一栏横对“甲”填上 0.75 角/支；因为乙种铅笔每支 2 角，而平均价格是每支 2.25 角，所以每支乙种铅笔是增加（益）了 0.25 角。在表中“益”一栏横对“乙”填上 0.25 角/支。 178 两种铅笔的混合比，正好是损、益两数比的反比，所以在混合比一栏中，横对甲填 0.25， 而横对乙填 0.75。把 0.25 和 0.75 化简后得 1 和 3。 现在可以认为两种铅笔的总份数是： 1+3=4（份） 甲种铅笔的支数是： 乙种铅笔的支数是： 答略。 （四）连比 如果甲数量与乙数量的比是 a∶b，乙数量与丙数量的比是 b∶c，那么表示甲、乙、丙三 个数量的比可以写作 a∶b∶c，a∶b∶c 就叫做甲、乙、丙三个数量的连比。 注意：“比”中的比号相当于除号，也相当于分数线，而“连比”中的比号却不是相当于 除号、分数线。 *例 1 已知甲数和乙数的比是 5∶6，丙数和乙数的比是 7∶8，求这三个数的连比。（适 于六年级程度） 解：已知甲、乙两数的比是 5∶6，丙数与乙数之比为 7∶8，即乙数与丙数之比为 8∶7。 第一个比的后项是 6，第二个比的前项为 8，这说明甲、丙两个数不是以相同标准划分的，甲、 乙、丙三个数不能直接写成连比。 用下面的方法可以统一甲、丙的标准，把甲、乙、丙三个数写成连比。把 5 扩大 8 倍，得 40；把 6 扩大 8 倍，得 48。把 6 扩大 8 倍得 48，也就是把 8 扩大 6 倍，得 48，所以也要把 7 扩大 6 倍得 42。 甲、乙、丙三个数的连比是：4O∶ 48∶42=20∶24∶21。 179 答略。 *例 2 甲、乙、丙三堆煤共重 1480 吨，已知甲堆煤重量的 又根据，甲∶乙=3∶2，乙∶丙=5∶6，可求出甲、乙、丙三个数的连比是： 甲∶乙∶丙=15∶10∶12 把 1480 吨煤按 15∶10∶12 的比例分配。 甲堆煤重： 乙堆煤重： 答略。 答略。 第二十四讲 转换法 解答应用题时，通过转换（即转化）题中的情节，分析问题的角度、数据……从而较快找 到解题思路，或简化解题过程的解题方法叫做转换法。 180 （一）转换题中的情节 转换题中的情节是运用联想改变原题的某个情节，使题目变得易于解答。 14+6=20（吨） 30 吨所对应的分率是： 答略。 例 2 一项工程，甲、乙两队合做要用 12 天完成。如果甲队先独做 16 天，余下的再由乙 队独做 6 天完成。如果全部工程由甲队独做，要用几天完成？（适于六年级程度） 解：求甲队独做要用几天完成全部工程，得先求出甲队的工作效率。可是题中已知的是甲、 乙合做要用的时间，和甲、乙一前一后独做的时间，很难求出甲的工作效率。如果将“一前一 后独做”这一情节变换为“先合做，后独做”就便于解题了。可这样设想，从甲队的工作量中划出 6 天的工作量与乙队 6 天的工作量合并起来，也就是假定两队曾经合做了 6 天。情节这样变动 后，原题就变换成： 一项工程，甲、乙两队合做要用 12 天完成，这项工程先由甲乙两队合做 6 天后，余下的 工程由甲队单独做 10 天完成。如果全部工程由甲队独做要用几天完成？ 这样就很容易求出甲队的工作效率是： 181 甲队独做完成的时间是： 答略。 （二）转换看问题的角度 解应用题时，如果看问题的角度不适当就很难解出题。如果转换看问题的角度，把原来从 正面看问题转换为从侧面看或从反面看，把这一数量转换为另一数量进行分析，就可能找到解 题思路。 解：一般都沿着女工占总人数的分率去寻找与之相对应的具体人数，但这样往往会误入歧 途，难以找到正确答案。不如根据女工所占分率，换一个角度，想一想男工的情况。 男工人数便占总人数的： 后来女工的总人数是： 182 =560-480 =80（人） 答略。 *例 2 求图 24-1 中阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度） 解：如果直接计算图中阴影部分的面积，几乎是不可能的。如果把角度转换为，从大扇形 面积减去右面空白处的面积，就容易求出阴影部分的面积了。 =200.96-81.5 =119.46（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 119.46 平方厘米。 （三）转换题中的数据 转换题中的数据就是将题中已知的数据进行等价变换，从而协调各个数据之间的关系。 例 1 两辆汽车同时从相距 465 千米的两地相对开出，4.5 小时后两车还相距 120 千米。 一辆汽车每小时行 37 千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度） 解：如果两地的距离减少 120 千米，两车经过 4.5 小时正好相遇，两车 4.5 小时行的路程 是： 465-120=345（千米） 两车的速度之和是： 183 综合算式： （465-120）÷4.5-37 =345÷4.5-37 解：如果从分数角度分析，不易找出数量间的关系。如果把分数转换为比来分析，就会得 出，第一天与第二天种的棵数的比是 3∶5，第二天与第三天种的棵数比是 5∶6。 所以，第一、二、三天种的棵数的比是 3∶5∶6。 第一天种： 第三天种： 答略。 （四）转换为统一标准 184 当题中两个或几个数量的单位“1”不统一，不便于解答时，如把某个数量作为标准单位“1”， 把其他数量转化为以它为标准的分率，就会突破障碍，顺利解题。 例 1 甲、乙、丙、丁四人合买一批化肥。甲付的钱是其他人所付钱数之 解：把甲、乙、丙、丁所付钱数统一为以总数量作为标准量的分率。由 答略。 色电视机的台数没有发生变 化，我们以彩色电视机的台数作为单位 彩色电视机的台数是： 185 黑白电视机的台数是： 答略。 （五）转换隐蔽条件为明显条件 有些应用题的解题条件十分隐蔽。认真体会题中字、词、句的含义，看清这些字、词、句 实质上说的是什么，必要时借助图形分析，或适当改变题中的条件，就可能把原来题中隐蔽的 条件转换为明显条件，从而较快解题。 *例 1 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，在离 B 点 18 千米的地方相遇。 相遇后二人继续往前行，甲到 B 地和乙到 A 地立即返回，在离 A 地 8 千米的地方又相遇。求 A、B 两地相距多少千米？（适于高年级程度） 解：解答此题的条件十分隐蔽。借助图 24-2 分析问题，可将隐蔽条件转换为明显条件。 （1）从开始出发到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一个全程的路程，其中乙走了 18 千米。这就是说甲、乙二人共同走完一个全程的路程时乙走 18 千米，若共同走完三个全程， 那么乙就走 18×3 千米的路程。 （2）甲、乙第二次相遇时，二人走了三个全程的路程，而乙走了一个全程加 8 千米。 （3）乙走的一个全程加 8 千米应等于 18×3 千米，所以，A、B 两地的距离是： 18×3-8=46（千米） 答：甲乙两地相距 46 千米。 186 220-100=120（千克）…………………甲袋米重 答略。 （六）转换叙述方式 对数量关系复杂、不易理出头绪、不易分析解答的应用题，经过逐字、逐句地分析，弄清 每一句话的意思，然后转换原题的叙述方式，就可化繁为简，化难为易，使原题变得易于解答。 *例 1 李老师带领学生植 100 棵树。李老师先植一棵，然后对同学们说：“男同学每人植两 棵，女同学每两人合植一棵。”这样正好把余下的树苗植完。问李老师带领的学生中有多少名 男生，多少名女生？（适于高年级程度） 解：逐层分析每一句话的意思。李老师植一棵，那么学生就是植了 99 棵；男同学每人植 两棵，女同学每两人合植一棵，可以看作一名男生和两名女生组成一组，植树 3 棵。 99÷3=33（组） 这样就可以认为学生正好分成 33 组。 根据上面的分析，上面的题就可以这样叙述： 有 33 组学生去植树，每一组学生中有一名男生、两名女生。求去植树的学生中有多少名 男生、女生？ 1×33=33（名）………………………………………男生人数 2×33=66（名）………………………………………女生人数 答：有男生 33 名，有女生 66 名。 187 *例 2 一位天文爱好者说：“土星直径比地球直径的 9 倍还多 4800 千米，土星直径除以 24 等于水星直径，水星直径加上 2000 千米等于火星直径，火星直径的一半减去 500 千米等 于月亮直径，月亮直径是 3000 千米。求地球直径是多少千米？（适于高年级程度） 解：把原题倒过来叙述：月亮直径是 3000 千米，月亮直径加上 500 千米后的 2 倍等于火 星直径，火星直径减去 2000 千米等于水星直径，水星直径的 24 倍等于土星直径，土星直径 减去 4800 千米是地球直径的 9 倍。 水星直径： （3000+500）×2-2000=5000（千米） 土星直径： 5000×24=120000（千米） 地球直径： （120000-4800）÷9=12800（千米） 答略。 （七）转换解题的方法 当题目用通常方法很难解答或不能解答时，应转换解题方法，使问题得到解决。 例 1 汽车 7 小时行 300 千米，照这样计算，行驶 7500 千米需要多少小时？（适于三年 级程度） 解：此题如果这样考虑，求行 7500 千米需要多少小时，要先求出汽车每小时行多少千米， 然后 7500 千米再除以汽车每小时的速度，即：7500÷（300÷7） 这样列式计算时，小括号内的 300÷7 是除不尽的，三年级的学生还没学过计算小数的近 似值。本题用上面的方法列式解答看来不行，应换一种解题方法。 如果求出 7500 千米中含有多少个 300 千米，就可求出这辆汽车行多少个 7 小时。这时可 这样列式解答： 7×（7500÷300） =7×25 =175（小时） 答：行驶 7500 千米需要 175 小时。 *例 2 一个长方体，表面积是 66.16 平方分米，底面积是 19 平方分米，底面周长是 17.6 分米。这个长方体的高是多少分米？（适于五年级程度） 188 解：以一般方法解此题，求长方形的高，需要用底面积去除体积。可是已知条件中没有体 积，而且不容易求出，这就需要转换解题方法。 题中已知长方体的表面积。因为长方体共有 6 个面，每一对相对面的面积相等，所以可 以把表面积转化为三个不同面积之和： 66.16÷2=33.08（平方分米） 又因为底面积已知，所以可求出另外两个面的面积之和： 33.08-19=14.08（平方分米） 14.08 平方分米这个面积是由“长×高+宽×高=（长+宽）×高”得到的。 14.08 平方分米这个面积的长（即长与宽的和）是： 17.6÷2=8.8（分米） 所以，这个长方体的高是： 14.08÷8.8=1.6（分米） 答略。 例 3 一辆快车和一辆慢车同时分别从 A、B 两站相对开出，经过 4 小时后两车相遇。相 遇后快车继续行驶 3 小时到达乙地。已知慢车每小时比快车少行 15 千米。求 A、B 两站相距 多少千米？（适于六年级程度） 解：此题要是依靠具体的数量进行分析，解题就会遇到困难。如果转换解题思路，用解工 程问题的方法可化难为易。 慢车每小时行全程的： A、B 两地的距离是： 189 答略。 第二十五讲 假设法 当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个 数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系 就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解题方法就叫做假设法。 用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于计算的条件。 有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。 （一）假设情节变化 解：假设篮球没有借出，足球借出一个，那么，可以把现有篮球的个数看作是 3 份数，把现有足球的 个数看作 2 份数，两种球的总份数是： 3+2=5（份） 原来篮球的个数是： 原来足球的个数是： 21-12=9（个） 答略。 例 2 甲乙两个煤场共存煤 92 吨，从甲场运出 28 吨后，乙场的存煤比甲场的 4 倍少 6 吨。 两场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度） 190 解：假设从甲场运出的不是 28 吨，而是比 28 吨少 6 吨的 22 吨，那么，乙场的存煤数就正好 是甲场的 4 倍，甲场的存煤是 1 份数，乙场的存煤是 4 甲场原来存煤： 92-50=42（吨） 答略。（二）假设两个（或几个）数量相等 例 1 有两块地，平均亩产粮食 185 千克。其中第一块地 5 亩，平均亩产粮食 203 千克。如 果第二块地平均亩产粮食 170 千克，第二块地有多少亩？（适于五年级程度） 解：假设两块地平均亩产粮食都是 170 千克，则第一块地的平均亩产量比两块地的平均亩产多： 203-170=33（千克） 5 亩地要多产： 33×5=165（千克） 两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多： 185-170=15（千克） 因为 165 千克中含有多少个 15 千克，两块地就一共有多少亩，所以两块地的亩数一共是： 165÷15=11（亩） 第二块地的亩数是： 11-5=6（亩） 答略。 解：此题可以有三种答案。 191 答：剩下的两根绳子一样长。 答：甲绳剩下的部分比乙绳剩下的部分长。 （3）假设两根绳子都比 1 米长。任意假定为 1.5 米，则甲绳剪去 答：乙绳剩下的部分比甲绳剩下的部分长。 例 3 一项工作，甲、乙两队单独做各需要 10 天完成，丙队单独做需要 7.5 天完成。在三 队合做的过程中，甲队外出 1 天，丙队外出半天。问三队合做完成这项工作实际用了几天？（适 于六年级程度） 解：假设甲没有外出，丙也未外出，也就是说，甲、乙、丙三个队的工作天数一样多，则三队合做的工作 量可达到： 三队合做这项工作，实际用的天数是： 192 答略。 *例 4 一项工程，甲、乙两队合做 80 天完成。如果先由甲队单独做 72 天，再由乙队单独做 90 天，可以完 成全部工程。甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天？（适于六年级程度） 解：假设甲队做 72 天后，乙队也做 72 天，则剩下的工程是： 乙队还需要做的时间是： 90-72=18（天） 乙队单独完成全部工程的时间是： 甲队单独完成全部工程的时间是： 答略。 （三）假设两个分率（或两个倍数）相同 *例 1 某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的 3 倍，每天平均卖出黑墨水 45 瓶，蓝墨水 120 瓶。过 了一段时间，黑墨水卖完了，蓝墨水还剩 300 瓶。这个商店上月购进蓝墨水和黑墨水各多少瓶？（适于高年级程 度） 解：根据购进的蓝墨水是黑墨水的 3 倍，假设每天卖出的蓝墨水也是黑墨水的 3 倍，则每天卖 出蓝墨水： 45×3=135（瓶） 这样，过些日子当黑墨水卖完时蓝墨水也会卖完。实际上，蓝墨水剩下 300 瓶，这是因为实际比假设 每天卖出的瓶数少： 135-120=15（瓶） 193 卖的天数： 300÷15=20（天） 购进黑墨水： 45×20=900（瓶） 购进蓝墨水： 900×3=2700（瓶） 答略。 *例 2 甲、乙两个机床厂今年一月份都超额完成了生产计划，甲厂完成计划的 112％，乙厂完成计划的 110％。 两厂共生产机床 400 台，比原计划超产 40 台。两厂原计划各生产多少台机床？（适于六年级程度） 解：假设两个厂一月份都完成计划的 110％，则两个厂一月份共生产机床： （400-40）×110％=396（台） 甲厂计划生产： （400-396）÷（112％-110％） =4÷2％ =200（台） 乙厂计划生产： 400-40-200=160（台） 答略。 （四）假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少 例 1 某校三、四年级学生去植树。三年级去 150 人，四年级去的人数比三年级人数的 2 倍少 20 人。两个年级一共去了多少人？（适于三年级程度） 解：假设四年级去的人数正好是三年级的 2 倍，而不是比三年级的 2 倍少 20 人，则两个年级去 的人数正好是三年级人数的 3 倍。 两个年级去的人数是： 150×3=450（人） 因为实际上，四年级去的人数比三年级 2 倍少 20 人，所以两个年级去的实际人数是： 194 450-20=430（人） 答略。 *例 2 甲、乙、丙三个乡都拿出同样多的钱买一批化肥。买好后，甲、丙两个乡都比乙乡多 18 吨，因此甲 乡和丙乡各给乙乡 1800 元。问每吨化肥的价格是多少元？（适于高年级程度） 解：假设甲、丙两个乡买的化肥不比乙乡多 18 吨，而是与乙乡买的同样多，则应把多出来的 2 个 18 吨平均分。平均分时每个乡多得： 18×2÷3=12（吨） 因为甲、丙两个乡都比乙乡多得 18 吨，而平均分时每个乡得 12 吨，所以乙乡实际比甲、丙两 个乡都少： 18-12=6（吨） 每吨化肥的价格： 1800÷6=300（元） 答略。 （五）假设某个数量增加了或减少了 6-4=2（人） 全班人数是： 女生人数是： 195 答略。 *例 2 学校运来红砖和青砖共 9750 块。红砖用去 20％，青砖用去 1650 块后，剩下的红砖和青砖的块数正 好相等。学校运来红砖、青砖各多少块？（适于六年级程度） 解：假设少运来 1650 块青砖，则一共运来砖： 9750-1650=8100（块） 以运来的红砖的块数为标准量 1，则剩下的红砖的分率是： 1-20％=80％ 因为剩下的红砖的块数与青砖的块数正好相等，所以青砖的分率也是 80％。 因为 8100 块中包括全部红砖和红砖的（1-20％）（青砖），所以 8100 块的对应分率是 （1+1-20％）。运来的红砖是： （9750-1650）÷（1+1-20％） =8100÷1.8 =4500（块） 运来的青砖是： 9750-4500=5250（块） 答：运来红砖 4500 块，运来青砖 5250 块。 （六）假设某个数量扩大了或缩小了 例 1 把鸡和兔放在一起共有 48 个头、114 只爪和脚。鸡和兔各有多少只？（适于四年级 程度） 解：假设把鸡爪和兔子脚的只数都缩小 2 倍，则鸡爪数和鸡的头数一样多，兔的脚数是兔头数 的 2 倍。 这样就可以认为，114÷2 所得商中含有全部鸡的头数，也含有兔子头数 2 倍的数，而 48 中 包含全部鸡的头数和兔子头数 1 倍的数。 所以兔的只数是： 114÷2-48=9（只） 鸡的只数是： 48-9=39（只） 196 答略。 解：假设把从甲、乙两堆煤里取出的煤的数量扩大 4 倍，则从两堆煤取出的总数量比原来的两堆 煤多： 708×4-2268 =2832-2268 =564（千克） 甲堆煤的重量是： 乙堆煤的重量是： 2268-940=1328（千克） 答略。 第二十六讲 设数法 197 当应用题中没有解题必需的具体的数量，并且已有数量间的关系很抽象时，如果假设题中有个 具体的数量，或假设题中某个未知数的数量是单位 1，题中数量之间的关系就会变得清晰明确， 从而便于找到解答问题的方法，我们把这种解答应用题的方法叫做设数法。 实际上设数法是假设法中的一种方法，因为它的应用比较多，所以我们把它单列为一种解 题方法。 在用设数法解答应用题设具体数量时，要注意两点：一是所设数量要尽量小一些；二是所 设的数量要便于分析数量关系和计算。 （一）设具体数量 例 1 一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行驶 30 千米；返回时逆水，每小时行 驶 20 千米。求这艘轮船往返的平均速度。（适于五年级程度） 解：甲、乙两港之间的路程没有给，要求往返的平均速度就比较困难。我们可以设甲、乙 两港之间的路程为 60 千米（60 是轮船往返速度 30 和 20 的最小公倍数）。 这样去时用的时间是： 60÷30=2（小时） 返回时用的时间是： 60÷20=3（小时） 往返一共用的时间是： 3+2=5（小时） 往返的平均速度是： 60×2÷5=24（千米/小时） 综合算式： 60×2÷（60÷30+60÷20） =120÷（2+3） =120÷5 =24（千米/小时） 答略。 *例 2 光华小学中、高年级共有学生 600 名，如果中年级派出本年级人数 198 位“1”。假设高年级增加 20 名学生，这样中、高年级人数从原来的 600 名增加到： 600+20=620（名） 中年级人数是： 高年级的人数是： 600-320=280（人） 答略。例 3 某人骑一辆自行车从甲地去乙地，每小时行 15 千米；从乙地回到甲地，每小 时行 10 千米。求此人骑自行车往返甲、乙两地的平均速度。（适于六年级程度） 解：题中缺少“甲、乙两地的距离”的具体数量。我们可以任意设一个数为甲、乙两地的 路程。 如设 30 千米为甲、乙两地路程，这辆自行车往返甲、乙两地的平均速度是： 答略。 此题如设 20 千米为甲、乙两地的路程，那么，可列式为 20×2÷ 199 辆自行车往返甲、乙两地的平均速度都是 12 千米/小时。 例 4 用甲、乙两台收割机分别收割一块地的小麦时，甲用 6 小时可以收割完，乙用 4 小 时可以收割完。用这两台收割机同时收割这块地，多少小时可以收割完？（适于五年级程度） 解：因为这块地的亩数是个未知的数量，所以对没学过用“解工程问题”的方法解应用题 的学生是一道难题。如果假设出这块地的亩数是个已知的数量，此题就容易解了。 假设这块地是 12 亩（也可假设为 6 和 4 的其他公倍数，如 24 亩、36 亩、48 亩、60 亩等。 这里假设为 12 亩，是因为 12 是 6 和 4 的最小公倍数，这样便于计算）。则由题意得： 12÷（12÷6+12÷4） =12÷（2+3） =2.4（小时） 答：两台同时收割 2.4 小时可以收割完。 *例 5 有一堆苹果，如果平均分给大、小两个班的小朋友，每人可得 6 个；如果只分给大 班，每人可得 10 个。如果只分给小班，每人可得几个？（适于五年级程度） 解法（1）：假设有 120 个苹果，则大、小两个班共有小朋友： 120÷6=20（人） 大班有： 120÷10=12（人） 小班有： 20-12=8（人） 小班每人可分得苹果： 120÷8=15（个） 综合算式： 120÷（120÷6-120÷10） =120÷8 =15（个） 200 答：只分给小班，每人可得 15 个。 解法（2）：假设两个班的总人数是 30 人，则苹果的总个数是： 6×30=180（个） 大班人数是： 180÷10=18（人） 小班人数是： 30-18=12（人） 小班每人可分得苹果： 180÷12=15（个） 综合算式： 6×30÷（30-6×30÷10） =180÷（30-18） =15（个） 答略。 （二）设单位“1” 例 1 某食堂改造炉灶后，每天节约用煤 60 千克，这样原来计划用 32 天的煤，现在可以 用 48 天。这堆煤共有多少千克？（适于六年级程度） 答略。 201 例 2 有一个正方体和一个长方体，长方体的长等于正方体的棱长，长方 解：设正方体的棱长为 1，那么正方体的体积是： 1×1×1=1 长方体的体积是： 答略。 设甲的钱数为单位 1，这时因为甲的钱数是 1，所以上面的关系式便成为： 202 乙有人民币： 答略。 例 4 在一次 407 人参加的歌手大赛中，没有获奖的女歌手占女歌手总数 解：设女歌手的总人数为 1。 从男女歌手总人数 407 人中，去掉没获奖的男歌手 16 人之后，（407- =207（人） 男歌手的人数是： 407-207=200（人） 答略。 第二十七讲 代数法 解应用题时，用字母代表题中的未知数，使它和其他已知数同样参加列式、计算，从而求得未 知数的解题方法，叫做代数法。代数法也就是列方程解应用题的方法。 学习用代数法解应用题，要以学过算术法解应用题为基础。我们知道用算术法解应用题时， 未知数始终处于被追求的地位，除了要进行顺向思考，必要时还要进行逆向思考，所以有些应 用题用算术法解答很困难，而用代数法解应用题，由于是用字母代表题中的未知数，因此只要 把代表未知数的字母看作已知数来考虑问题，正确找出题中数量间的等量关系，就可以用代表 未知数的字母和已知数共同组成一个等式（即方程），然后计算出未知数的值。这种解题思路 直接、简单，可化难为易，特别是在解答比较复杂的应用题时用代数法就更容易。 203 小学生在开始学习用代数法解应用题时，可能不大习惯，会受到算术法解题思路的干扰， 在解题过程中可能出现一些错误。为顺利地学好用代数法解应用题，应注意以下几个问题： 1.切实理解题意。通过读题，要明白题中讲的是什么意思，有哪些已知条件，未知条件是 什么，已知条件与未知条件之间是什么关系。 2.在切实理解题意的基础上，用字母代表题中（设）未知数。通常用字母 x 代表未知数， 题目问什么就用 x 代表什么。小学数学教材中，求列方程解答的应用题绝大多数都是这样的。 有些练习题在用代数法解答时，不能题中问什么都用 x 表示。x 只表示题中另一个合适的 未知数，这样才能顺利列出方程，求出所设的未知数。然后通过计算，求出题目要求的那个未 知量。如果一道题要求两个或两个以上的未知数，这就要根据题目的具体情况，从思考容易、 计算方便着眼，灵活选择一个用 x 表示，其他未知数用含有 x 的代数式表示。 3.根据等量关系列方程。要根据应用题中数量之间的等量关系列出方程。列方程要同时符 合三个条件：（1）等号两边的式子表示的意义相同；（2）等号两边数量的单位相同；（3） 等号两边的数量相等。如果一道应用题的数量有几个相等的关系，并且每一个都可以作为列方 程的依据，这时要选择最简便、最明确的等量关系列出方程。 列方程时，如果未知数 x 只出现在等式的一端，要注意把含有未知数 x 的式子放在等式左 边，这样解方程时比较方便。但不能在列方程时，只把表示未知数的一个字母 x 单独写在等号 左端，因为这种列式的方法不是代数法，而仍然是算术法。 4.解方程。解方程是根据四则运算中各部分数之间的关系进行推算。计算要有理有据，书 写格式要正确。 解出 x 的数值后，不必注单位名称。 5.先检验，后写答案。求出 x 的值以后，不要忙于写出答案，而是要先把 x 的值代入原方 程进行检验，检验方程左右两边的得数是不是相等。如果方程左右两边的得数相等，则未知数 的值是原方程的解；如果方程左右两边的数值不相等，那么所求出的未知数的值就不是原方程 的解。这时就要重新检查：未知数设得对不对？方程列得对不对？计算过程有没有问题？…… 一直到找出问题的根源。值得注意的是：即使求出的未知数的值是原方程的解，也应仔细考虑 一下，得出的这个值是否符合题意，是否有道理。当证明最后得数确实正确后再写出答案。 列方程解应用题的关键是找准等量关系，根据等量关系列出方程。找等量关系没有固定方 法，考虑的角度不同，得出的等量关系式就不同。 （一）根据数量关系式找等量关系，列方程解题 例 1 一名工人每小时可以制作 27 个机器零件。要制作 351 个机器零件，要用多少小时？ （适于五年级程度） 解：设制做 351 个机器零件，要用 x 小时。 根据“工作效率×时间=工作总量”这个数量关系，列方程得： 204 27x=351 x=351÷27 x=13 答：这名工人制作 351 个机器零件要用 13 个小时。 例 2 A、B 两地相距 510 千米，甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，6 小时后相遇。已 知甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行多少千米？（适于五年级程度） 解：设乙车每小时行 x 千米。根据“部分数+部分数=总数”，列方程得： 45×6+6x=510 6x=510-45×6 6x=510-27O 6x=240 x=240÷6 x=40 答略。 （二）抓住关键词语找等量关系，列方程解题 例 1 长江的长度为 6300 千米，比京杭大运河（北京-杭州）全长的 3 倍还多 918 千米。 求京杭大运河的全长是多少千米？（适于五年级程度） 解：根据“长江的长度为 6300 千米，比京杭大运河全长的 3 倍还多 918 千米”，可找出 长江的全长与京杭大运河全长的等量关系：京杭大运河全长×3+918=长江全长。 设京杭大运河全长为 x 千米，列方程得： 3x+918=6300 3x=6300-918 3x=5382 x=1794 答略。 205 例 2 9 头蓝鲸的最长寿命之和比 6 只乌龟的最长寿命之和多 114 年。乌龟的最长寿命是 1 16 年。求蓝鲸的最长寿命是多少年？（适于五年级程度） 解：根据“9 头蓝鲸的最长寿命之和比 6 只乌龟的最长寿命之和多 114 年”，可以看出 9 头蓝鲸寿命之和与 6 只乌龟寿命之和的等量关系是： 蓝鲸的最长寿命×9-114=116×6。 设蓝鲸的最长寿命是 x 年，列方程得： 9x-114=116×6 9x=116×6+114 9x=810 x=90 答略。 （三）画图形找等量关系，列方程解题 例 1 某农场收割 4000 亩小麦，前 3 天每天收割 700 亩。剩下的要 2 天收完，每天要收割 多少亩？（适于五年级程度） 解：根据题意作图 27-1。 由图 27-1 可以看出题中的等量关系是：“前 3 天收割的亩数+后 2 天收割的亩数=4000 亩”。 设后 2 天每天收割 x 亩，列方程得： 700×3+2x=4000 2x=4000-700×3 2x=4000-2100 2x=1900 x=950 206 答略。 例 2 甲、乙两列火车同时从相距 360 千米的两个车站相向开出，3 小时后相遇。已知甲 车每小时行 55 千米，乙车每小时行多少千米？（适于五年级程度） 解：根据题意作图 27-2。 从图 27-2 可以看出，甲、乙两列火车 3 小时共行 36O 千米，甲车行的路程+乙车行的路程 =360 千米。 设乙车每小时行 x 千米，列方程得： 55×3+3X=360 3x=360-165 3x=195 x=65 答略。 *例 3 甲、乙两地相距 60 千米，自行车和摩托车同时从甲地驶往乙地，摩托车比自行车 早到 4 小时，摩托车的速度是自行车速度的 3 倍。求摩托车和自行车的速度。（适于高年级程 度） 解：作图 27-3。用图中纵向线段表示时间，用横向线段表示速度。 图 27-3 中线段 AB 表示自行车的速度，AC 表示摩托车的速度；AG 表示自行车用的时间，A F 表示摩托车用的时间。矩形 ABHG 和 ACDF 的面积都是表示甲、乙两地的距离 60 千米。 设 AB 为 x 千米，则 AC 为 3x 千米。 207 4x+20=60 4x=60-20 x=10 3x=30 答：自行车每小时行 10 千米，摩托车每小时行 30 千米。 （四）列表找等量关系，列方程解题 例 1 甲、乙两名车工共车了 390 个零件，车工甲每小时车 30 个，车工乙每小时车 35 个。 他们共同工作多少小时才车完这批零件？（适于五年级程度） 解：设两人共同车了 x 小时。根据题意，列表 27-1。 表 27-1 从表 27-1 可以看出，车工甲在 x 小时里共车 30x 个零件，车工乙在 x 小时里共车 35x 个 零件。 根据题意，列方程： 30x+35x=390 65x=390 x=390÷65 x=6 答略。 208 *例 2 31 名学生去划船，分乘 3 只大船和 4 只小船，每只大船坐 5 名学生，每只小船坐 几名学生？（适于高年级程度） 解：设每只小船坐 x 名学生。根据题意列出表 27-2。 表 27-2 从表 27-2 看出，大船上坐的人数+小船上坐的人数=31 人。大船上的人数是 5×3 名，小 船上的人数是 4x 名。 列方程： 5×3+4x=31 4x=31-15 4x=16 x=4 答略。 （五）根据公式找等量关系，列方程解题 例 1 一个三角形的面积是 100 平方厘米，它的底是 25 厘米，高是多少厘米？（适于五年 级程度） 解：设三角形的高是 x 厘米。 根据三角形的面积公式“底×高÷2=三角形面积”，列方程： 25x÷2=100 25x=100×2 x=100×2÷25 x=8 答略。 209 例 2 图 27-4 梯形的面积是 1050 平方厘米，下底长 18 厘米，高 30 厘米。上底长是多少 厘米？（适于五年级程度） 解：设梯形的上底为 x 厘米。 根据梯形的面积公式“（上底+下底）×高÷2=梯形面积”，列方程： （x+18）×30÷2=1050 （x+18）=1050×2÷30 x=70-18 x=52 答略。 第二十八讲 联想法 我们把由某事物而想起其他相关的事物，由某概念而想起其他相关的概念，由某种解题方法而 想起其他解题方法，从而使问题得到解决的解题方法叫做联想法。 通过联想，可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、对立的，或有一定因果关系 的事物建立某种联系，从而沟通知识之间的逻辑关系，促进知识之间、方法之间的迁移和同化， 有利于认识新事物、产生新的设想。 （一）纵向联想 这是把问题的前后条件联系起来思考的方法。 进红皮球 20 只，这时红皮球正好占皮球总数的 60％。现在有红皮球和白皮球各多少只？ （适于六年级程度） 210 4 份。后来又买进红皮球 20 只，这时红皮球正好占皮球总数的 60％，由此联想到：现在 皮球的总只数中，红皮球占 6 份，白皮球占 4 份。 可见，白皮球占的份数没有起变化，红皮球的份数增加了 6-5=1（份）。因为增加了 20 只红皮球是增加了 1 份。所以 1 份就是 20 只皮球。 红皮球这时占 6 份，红皮球的只数是： 20×6=120（只） 白皮球占 4 份，白皮球的只数是： 20×4=80（只） 答略。 （二）横向联想 这是指从一个问题想到另一个问题的思考方法。 例 东风小学五、六年级的同学共植树 330 棵。已知五年级植树的棵数 六年级植树： 或 330-180=150（棵） 由分数解法联想到按比例分配的解法。 211 六年级植树： 答略。 （三）多角度联想 这是指对一个问题从几个不同的角度进行思考的方法。 例 图 28-1 半圆空白部分的面积是 7.85 平方厘米，求阴影部分的面积？（适于六年级程 度） 解： （1）用归一法解。先求出右边扇形圆心角为 1°时的面积，再求出阴影部分扇形圆心角 度数，然后求出阴影部分面积。 7.85÷100=0.0785（平方厘米） 180°-100°=80° 0.0785×80=6.28（平方厘米） （2）由归一法解联想到用倍比法来解。求出图中阴影扇形圆心角度数是空白扇形圆心角 度数的倍数，再根据空白部分的面积 7.85 平方厘米是阴影部分面积的倍数，然后求出阴影部 分的面积。 （3）由倍比法解又联想到用解分数应用题的方法来解。先求出右边空白扇形圆心角度数 是所在半圆圆心角度数的几分之几，再求出半圆面积，然后从半圆面积中减去空白部分的面积， 就得到阴影面积。 212 设图中阴影部分面积为 x 平方厘米 答略。 （四）由具体到抽象的联想 例 车站有货物 45 吨，用甲汽车 10 小时可以运完，用乙汽车 15 小时可以运完。用两辆 汽车同时运，多少小时可以运完？（适于六年级程度） 解：根据具体的工作量、工作效率和工作时间之间的关系有： （1）甲汽车每小时的工作量（工作效率）： 45÷10=4.5（吨） （2）乙汽车每小时的工作量（工作效率）： 45÷15=3（吨） （3）甲乙两汽车每小时的工作量（工作效率）的和： 4.5+3=7.5（吨） （4）两辆汽车同时运所需时间： 45÷7.5=6（小时） 由具体的工作总量、工作效率和工作时间之间的关系，联想到抽象的工作总量、工作效率 和工作时间之间的关系。 答略。 （五）由部分到整体的联想 213 例 图 28-2 是一个机器零件图，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级 程度） 解：图 28-2 中阴影部分的面积由四个部分组成，分别求出它们的面积，再求几个部分面 积的和是比较麻烦的。如果把这个图形经过旋转和翻折转化成图 28-3，那么，只要计算出一 个边长是 4÷2=2（厘米）的正方形的面积就可以了。 答略。 （六）由一般到特殊的联想 例 前进机器厂，计划生产 2400 个机器零件，实际上在前 3 小时就完成了计划的 40％， 照这样计算，几小时可以完成任务？（适于六年级程度） 解：一般解法是先求出前 3 小时生产多少个机器零件，再求出平均每小时生产多少个机器 零件，然后求出生产 2400 个机器零件需要的时间。 2400÷（2400×40％÷3） =2400÷320 =7.5（小时） 由一般解法联想到特殊解法。 把计划生产 2400 个机器零件需要的时间看作 1，由“实际上在前 3 小时就完成了计划的 40％”可知“3 小时”与 “40％”正好是对应关系。因此，可直接列出算式： 3÷40％=7.5（小时） 答略。 （七）由一种方法联想到另一种方法 这是指解决某个问题时，由一种方法想到另一些方法的思考方法。 214 例 1 木材公司运进一批木材，垛成如图 28-4 的形状。已知最底层是 102 根，以上每层少 1 根，共有 32 层，求这些木材共有多少根？（适于六年级程度） 解：解这个题，当然可以把 32 层的 32 个数加起来，但是太麻烦，应该想一个能反映规律 的办法。 观察它的截面，很容易同等腰梯形发生联想，梯形有上底、下底和高，于是联想到借用梯 形的面积公式，或者说仿照梯形面积公式找出一个反映规律的公式，问题就可以解决了。 （102+71）×32÷2 答略。 例 2 某工人原计划用 42 天的时间完成一批零件的加工任务，实际前 12 天就完成了任务 的 40％，剩下的零件比已完成的多 21600 个。照这样的工作效率，可以提前几天完成任务？ （适于六年级程度） 解：先用一般解法。求出总任务的个数： 21600÷（1-40％-40％） =21600÷20％ =108000（个） 再求提前完成天数： 42-12-[108000×（1-40％）÷（108000×40％÷12）] =30-[64800÷3600] =30-18 =12（天） 如果运用联想转化来解题，就不难发现，在工作效率一定的情况下，工作时间和工作量成 正比例关系。也就是说前 12 天的工作量与总工作量的比率同前 12 天的工作时间与实际完成的 工作时间的比率是一样的。因此可以由“实际前 12 天占实际完成任务所需时间的 40％”，从 而立即求出实际完成任务的天数是： 215 12÷40％=30（天） 提前完成任务的天数是： 42-30=12（天） 答略。 剩下的数量正好相等。两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度） 解：先用一般方法解。先求甲堆煤的吨数。 因为两堆煤剩下的数量正好相等，所以把两堆煤剩下的数量分别看作 1，则甲堆煤原来的 数量是： 甲堆煤的吨数是： 270÷（5+4）×5 =270÷9×5 =150（吨） 乙堆煤的吨数是： 270-150=120（吨） 此题如果运用联想法，可获得简捷的解题思路。 两堆煤运走后剩下的数量相等，可见甲堆的 1 份等于乙堆的 1 份。 又已知两堆煤有 270 吨，共有（5+4）份，联想到整数归一应用题，便可轻而易举地求出 甲堆煤原来的吨数： 216 270÷（5+4）×5 =270÷9×5 =30×5 =150（吨） 乙堆煤原有吨数： 270÷（5+4）×4 =270÷9×4 =30×4 =120（吨） 答略。 （八）情境联想 这是指回到问题的情境中去思考问题的方法。 例 有一个运动场（如图 28-5），两头是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多 少？面积是多少？（适于六年级程度） 解：有的同学对图中的两个“72 米”，要不要作为周长来计算拿不定主意。我们可以联 想在操场或运动场赛跑时的情境，就知道两个“72 米”在赛跑时是不要跑的，因此跑道的长 度是： 87×2+3.14×72÷2×2 =174+226.08 =400.08（米） 运动场的面积，也可联想实际情况而正确地算出： 217 答略。 （九）因果联想 *例 如图 28-6，△ABC 是等腰直角三角形，斜边 BC=6cm，求阴影部分的面积（适于六年 级程度） 解：我们从条件与问题所涉及的角和边展开联想： （1）因为△ABC 是等腰直角三角形，所以联想到， ∠1=∠2=45° （2）因为 AD 是斜边上的高，所以联想到， （5）因为阴影部分的面积，等于等腰直角三角形面积减去两个扇形面积，所以得出： 218 9-7.065=1.935（平方厘米） 答略。 第二十九讲 直接法 解应用题时，不用经过严密的逻辑推理，而是凭借已有的知识经验，迅速地解题，就是在运用 直接法。 以直接法解题的思维过程是快速缩小问题所涉及的范围，接触事物的本质，打开解题的突 破口。有些用一般方法解答要用四五步，甚至更多步计算才能求出结果的应用题，用直接法解 答时，只用一两步计算就可以求出结果。 学习以直接法解题，可促进思维的灵活性、敏捷性和创造性。 （一）凭借数目的特点 数进行计算时，一般通过心算就能得出结果。 解应用题时，凭借这些数的这种特点，发现题目的本质，就可用简捷的方法解出复杂的问 题。 一般解法： 6×3=18（天） 答略。 219 一般解法： =1（千克） 所以瓶里原来有油： 例 3 某校买来一批图书，放在两个书橱中。放在第一个书橱中的书占这批书的 60％。如 果从第一个书橱中取出 16 本放入第二个书橱，则两个书橱中的书一样多。问学校买来的这批 图书是多少本？（适于六年级程度） 一般解法： 16×2÷[60％-（1-60％）] =32÷[60％-40％] =32÷20％ =160（本） 直接法：16 本的对应分率是 60％-50％=10％。学校买来的这批图书是： 16÷10％=160（本） 答略。 （二）凭借量、率对应的关系 220 有些应用题，可凭借直接看出题中哪个数量与哪个分率（“分率”就是不带单位名称的分 数，是表示它所对应的数量占单位 1 的几分之几。）是相对应的一对数，而用简捷的方法解答 出来。 例 1 一项工程，由甲队单独做 12 天可以完成。甲队做 3 天后另有任务调走，余下的工程 由乙队做 15 天才完成。乙队单独完成这项工程要用多少天？（适于六年级程度） 一般解法： =20（天） 答略。 例 2 织布厂第一、二车间共同织了一批布。第一车间织的布比这批布的 60％少 400 米， 第二车间织了这批布的 44％。求这批布的长度。（适于六年级程度） 一般解法： 400÷[60％-（1-44％）] =400÷4％ =10000（米） 直接法：从“第一车间织的布比这批布的 60％少 400 米，第二车间织了这批布的 44％” 可以看出，这批布的 4％是 400 米。所以，这批布的长是： 400÷4％=10000（米） 答略。 例 3 某工厂一月份生产了一批零件。上旬生产了全部零件的 30％，中 221 这个工厂一月份生产多少个零件？（适于六年级程度） 一般解法： =8000（个） ％，下旬生产了 50％。还可以看出下旬比中旬多生产 30％，这 30％正好是 2400 个。所 以，一月份生产的零件个数是： 2400÷30％=8000（个） 答略。 （三）凭借份数的多少 有些应用题，可以凭借直接看出题中某个数量的一份或几份是多少，而用简捷的方法解答 出来。 *例 1 某服装厂做同样大小的衣服，上午做了 60 件，下午做了 90 件，上午比下午少用布 75 米。一天用布多少米？（适于四年级程度） 一般解法： 75÷（90-60）×（90+60） =75÷30×150 =375（米） 直接法：从上午比下午少做 30 件，“上午比下午少用布 75 米”可以看出，每做 30 件衣 服要用布 75 米。因为上午做 2 个 30 件，下午做 3 个 30 件，所以一天用布米数是： 75×（2+3）=375（米） 222 答略。 一般解法： =720（吨） 直接法：把总运输量平均分成 3 份，已运走 2 份，还剩下 1 份，剩下的吨数是： 1440÷2=720（吨） 答略。 一般解法： 综合算式： 223 所以公路的全长是： 答略。 （四）凭借倍数的多少 有些应用题，可凭借直接看出这一数量是另一数量的几倍或某个数量倍数的变化，而用简 捷的方法解答。 例 1 同时开动 3 台功率相同的碾米机，4.5 小时碾米 4860 千克。如果同时开动同样台数、 同样规格的碾米机，9 小时可以碾米多少千克？（适于四年级程度） 一般解法： 4860÷4.5÷3×9×3 =1080÷3×9×3 =360×9×3 =9720（千克） 直接法：因为碾米机是同时开动，并且效率相同、台数相同，9 小时是 4.5 小时的 2 倍， 所以 9 小时碾米的数量是 4860 千克的 2 倍。 4860×（9÷4.5）=9720（千克） 答略。 例 2 某车间原计划每天生产 225 个零件，24 天完成任务。实际上只用了原计划时间的一 半就完成了任务。实际比原计划每天多生产多少个零件？（适于四年级程度） 一般解法： 225×24÷（24÷2）-225 =5400÷12-225 =450-225 224 =225（个） 直接法：零件总数未变，实际生产的天数缩小 2 倍，每天生产的零件个数是原计划每天生 产个数的 2 倍，所以，实际每天比原计划多生产 1 倍，即 225 个。 答略。 例 3 一项工程，原计划 30 天完成，做了 3 天后，效率提高到原计划的 2 倍。问还需要多 少天才能完成这项工程？（适于六年级程度） 一般解法：设工作总量为 1。 直接法：因为做了 3 天后，剩下的工作量用原来的工作效率去做，还需 30-3=27（天）， 现在工作效率提高到原来的 2 倍，时间就比原来少一半，所以，还需要的天数是： （30-3）÷2=13.5（天） 答略。 （五）凭借包含多少个的道理 有些应用题，可凭借直接看出这一数量中包含多少个另一个数量，而用简捷的方法解答。 例 1 用长 42 米、宽 1.2 米的白布做直角三角巾，三角巾两条直角边的长都是 1.2 米。这 块布可以做多少块三角巾？（适于五年级程度） 一般解法： 42×1.2÷（1.2×1.2÷2）=70（块） 直接法：因为布宽 1.2 米，要做的三角巾的两条直角边都长 1.2 米，所以可把布都叠成边 长是 1.2 米的正方形，42÷1.2 得到正方形的个数。因为边长是 1.2 米的一个正方形中，包含 两个两条直角边长都是1.2米的三角形，所以把正方形的个数乘以2得到可以做多少块三角巾。 42÷1.2×2=70（块） 例 2 一本故事书，小明原计划每天读 25 页，30 天读完。实际每天读的页数是原计划的 1.2 倍。照这样计算，这本书可以用多少天读完？（适于五年级程度） 一般解法： 25×30÷（25×1.2）=25（天） 225 直接法：把原计划每天读的页数看作 1，30 天读的页数就是 30；实际每天读的页数是原 计划的 1.2 倍，则实际每天读的页数就是 1.2。30 中包含多少个 1.2，就是实际用多少天读完。 30÷1.2=25（天） 答略。 例 3 某工程队计划修一条长 1600 米的公路，前 5 天修了全长的 20％。照这样计算，修 完这条公路还需要多少天？（适于六年级程度） 一般解法： 1600×（1-20％）÷（1600×20％÷5） =1600×80％÷64 =1280÷64 =20（天） 直接法：前 5 天修了全长的 20％，剩下全长的 80％，80％中包含 4 个 20％，自然还需要 4 个 5 天。 5×4=20（天） 答略。 （六）凭借平均分的原理 解应用题时灵活运用平均分的原理，通过题中某一部分数量，或者通过把已经平均分出去 的数量收回来的方法来解题，常常会使问题得到简捷的解决。 例 1 王师傅要加工一批零件。如果每小时加工 21 个，8 小时可以完成，由于改进加工技 术，提前 1 小时完成任务。实际比原计划每小时多加工多少个零件？（适于四年级程度） 一般解法： 21×8÷（8-1）-21 =24-21 =3（个） 直接法：提前 1 小时完成，就是要用 8-1=7（小时）完成加工任务。把按计划 1 小时应加 工的 21 个零件平均分配在 7 小时内，就得到实际比原计划每小时多加工多少个零件。 21÷7=3（个） 226 答略。 例 2 用一辆汽车运粮食。原计划每次运 50 袋，6 次运完，而实际 5 次就运完了。问实际 每次比原计划每次多运多少袋？（适于四年级程度） 一般解法： 50×6÷5-50 =60-50 =10（袋） 直接法：因为 5 次完成 6 次的任务，比原计划少运 1 次，这 1 次运 50 袋的任务自然要平 均分到 5 次完成。所以实际每次比原计划每次多运的袋数是： 50÷5=10（袋） 答略。 例 3 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 65 千米，要行 4 小时才能到达乙地。这辆汽车 从乙地返回甲地比去时多用了 1 小时。这辆汽车从乙地返回甲地比从甲地去乙地每小时少行多 少千米？（适于五年级程度） 一般解法： 65-65×4÷（4+1） =65-260÷5 =65-52 =13（千米） 直接法：假设汽车用 4 小时从甲地开到乙地后，再往前开 1 小时，则汽车在 5 小时中要比 从乙地回到甲地多行 65 千米，也就是说，在 5 小时中，汽车从甲地去乙地比从乙地返回甲地 多行 65 千米。这辆汽车从乙地返回甲地比从甲地去乙地每小时少行的距离是： 65÷5=13（千米） 答略。 （七）凭借图形 当我们读过一道应用题后，有时头脑中立刻闪现出表示题中数量关系的图形，凭借这个图 形我们会想到解答此题的方法，而不必仔细分析推理；有时刚刚画出表示题中数量关系的图形 时，我们就领悟到解题方法。在这些情况下，得的解题方法往往比较简捷。 227 例 1 在校运动会上，某班除 4 人没参加任何项目外，有 26 人参加了田赛，有 30 人参加 了径赛，有 12 人既参加了田赛，又参加了径赛。这个班有学生多少人？（适于高年级程度） 一般解法： （26-12）+（30-12）+12+4=48（人） 直接法：从图 29-1 可看出，12 包含在 26 内，也包含在 30 内。从 26 与 30 的和中减去 12， 再加上 4，就得到全班学生人数：（26+30-12）+4=48（人） 答略。 例 2 一个圆柱体的侧面积是 188.4 平方厘米，底面半径是 3 厘米，求这个圆柱体的体积。 （适于六年级程度） 一般解法： 直接法：按照图 29-2 把圆柱体的底面分成若干个相等的扇形来切割圆柱体，然后把切开 的圆柱体拼成近似长方体的形状。这个长方体的底面积是圆柱体侧面积的一半，高等于圆柱体 底面的半径。所以这个圆柱体的体积是： 188.4÷2×3=282.6（立方厘米） 答略。 228 这批水泥一共是多少吨？（适于六年级程度） 一般解法： 直接法：从图 29-3 中可以看出，全部需要运来的水泥被分为 5 份，剩下 所以，这批水泥一共是： 15×10=150（吨） 答略。 （八）凭借从整体上考虑 229 有些应用题，如果把问题分成许多细节，一步一步地分析、推理，有时要走弯路，陷入困 境。如果不把问题分成许多部分去研究，而是从整体上、从全局考虑，往往会迅速发现问题的 实质，很快解决问题。 *例 1 由 1024 名运动员参加的乒乓球个人冠军赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰制。共 需安排多少场比赛？（适于高年级程度） ……最后一场是冠军赛，共应进行： 512+256+128+64+32+16+8+4+2+1 =1023（场） 直接法：从整体上考虑，每场淘汰 1 名运动员，要决出冠军，就要淘汰 1023 名运动员， 所以共需进行 1023 场比赛。 答略。 *例 2 走一段路，甲用 40 分钟，乙用 30 分钟。如果甲出发 5 分钟后乙再出发，乙经过多 长时间才能追上甲？（适于高年级程度） 一般解法： 直接法：走这段路，甲、乙分别用 40 分钟和 30 分钟，则甲、乙走到这段路中点用的时间 分别是 20 分钟、15 分钟。因为甲提前 5 分钟出发，所以当甲用 20 分钟走到这段路的中点时， 乙用 15 分钟也走到这段路的中点，也就是说乙追上了甲。乙追上甲用的时间是乙走这段路所 用时间的一半。 30÷2=15（分钟） 答略。 *例 3 在同一条公路上，有两辆汽车向同一个方向行驶。开始时，甲车在乙车前面 4 千米， 甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 60 千米。乙车在追上甲车前 1 分钟，两车相距多远？（适 于六年级程度） 一般解法： 直接法：乙车追上甲车前一分钟两车相距的路程等于，乙车每 1 分钟追上甲车的路程： 230 答略。 *例 4 东、西两地相距 100 千米。甲、乙二人从东、西两地同时出发，相向而行。甲每小 时走 6 千米，乙每小时走 4 千米。甲带的一只狗与甲同时同向出发，狗以每小时 12 千米的速 度向乙奔去，遇到乙立即回头向甲跑来，遇到甲再回头向乙奔去，直到甲、乙二人相遇时狗才 停住。求在这段时间里狗一共跑了多少千米。（适于高年级程度） 解：此题因无法求出在全程中，狗与乙到底相遇多少次，以及每次相遇时狗跑了多少千米 或用了多长时间，所以很难用逻辑分析的方法解答出来。 如果从整体上考虑问题，抓住问题的实质，即不管狗与乙相遇几次，总之在全程过程中， 狗跑的时间等于甲、乙二人相遇时所用的时间，所以可用下面的方法计算出狗一共跑了多少千 米： 12×[100÷（6+4）]=120（千米） 答略。 答略。 第三十讲 四方阵法 四方阵是著名教育家赵宋光《新体制数学》中解应用题的一种方法。 通过画四方阵可以找准整数乘除题中数量间的对应关系，也可以找准分数（百分数）题中 的标准量、比较量和分率，从而明确题中数量间的关系，很快解答出应用题。 画四方阵图要遵守“同名竖对、同事横对”的规则；四方阵图中，“四个方位的数交叉相 乘，两个积必定相等”是四方阵的性质；在计算时，x 斜对方位的数必当除数。 解：设九月份生产玻璃 x 箱。 （1）画一个大“十”字。在“十”字横线左端点外的上、下方位分别写上九月、十月（图 30-1）。 231 （2）在大“十”字中心点的左上方、左下方，横对九月、十月分别写上 x、20000，并在 它们中间的横线上写出 x 与 20000 的单位名称“箱”（图 30-2）。 从摘录、整理完条件与问题的四方阵图 30-4 中，可清楚地看到 x 的对应 根据题中的数量关系，也根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，可以列出方程解答此 题。 232 答：九月份生产玻璃 15000 箱解：设今年有水田 x 亩。 按题意画出图 30-5 的四方阵图。 根据题中的数量关系，再根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，可得： 答略。 解：设还剩 x 块砖。 根据题意，画出图 30-6 的四方阵图。 图 30-6 中 35000 块与 x 块的单位名称相同，所以 35000 与 x 竖对，在它 233 答：还剩 14000 块砖。 例 4 前进造纸厂四月份用煤 540 吨，比三月份节约 20％。三月份用煤多少吨？（适于六 年级程度） 解：设三月份用煤 x 吨。 根据题意，画出图 30-7 的四方阵图。 根据四方阵的性质“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”可得： （1-200％）x=540 x=540÷（1-20％） x=540÷0.8 x=675 答略。 例 5 用“1059”农药和水配合成药水，可防治棉花害虫。农药和水的重量比是 1∶2000。 要配制 2500 千克药水，需要“1059”多少千克？（精确到 0.01 千克）（适于六年级程度） 解：设需要农药 x 千克。 根据题意画出图 30-8 的四方阵图。 阵中1与2000坚对，1与x横对；要配制2500千克药水，农药占x千克，水的重量是（2500-x） 千克。x 与（2500-x）坚对。 234 根据四方阵“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”的性质得： 2000x=2500-x 2001x=2500 x=2500÷2001 x≈1.24 答略。 少公顷土地？（适于六年级程度） 解：设这个农场共有 x 公顷土地。 根据题意画出图 30-9 的四方阵图。 根据四方阵“交叉相乘，两积相等”的性质，可得： 235 答略。 解：设图上的长是 x 厘米，宽是 y 厘米。 150 米=15000 厘米 30 米=3000 厘米 根据题意画出四方阵图 30-10 和 30-11。 根据四方阵的性质可得： 2000x=15000 x=15000÷2000 x=7.5 根据四方阵的性质可得： 2000y=3000 y=3000÷2000 y=1.5 答：图上的长是 7.5 厘米，宽是 1.5 厘米。 236 例 8 五年级学生去年种了 4800 棵蓖麻，平均每一棵收蓖麻子 0.15 千克。蓖麻子的出油 率是 45％，这些蓖麻能出油多少千克？（适于六年级程度） 解：设共收蓖麻子 x 千克，出油 y 千克。 根据题意画出四方阵图 30-12 和图 30-13。 根据四方阵的性质可得： x=4800×0.15 x=720 根据四方阵的性质可得： y=720×45％ y=324 答：能出油 324 千克。 例 9 某学校改制了一台饮水锅炉后，每天烧煤 25 千克，是原来每天用煤量的 25％。现 在每月（按 30 天计算）比原来节煤多少千克？（适于六年级程度） 解：设现在每天节约煤 x 千克，一个月节煤 y 千克。 根据题意画出四方阵图 30-14 和图 30-15。 根据四方阵的性质可得： 25％x=25×（1-25％） x=25×（1-25％）÷25％ 237 根据四方阵的性质可得： 答：现在每月比原来节煤 2250 千克。 例 10 同学们搞野营活动。一个同学到负责后勤的老师那里去领碗。老师问他领多少，他 说领 55 个。又问“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗，两个人一个菜碗，三个人一个汤 碗。”这个同学给多少人领碗？（适于六年级程度） 解：这道题，教师不容易讲清，学生也不容易理解。 按四方阵的格式摘录整理条件和问题，就容易列式解答了。 设给 x 个人领碗。 画出四方阵图 30-16。 因为 x 个人领 55 个碗，所以 x 与 55 横对；因为 1 个人得到 1 个饭碗， 根据阵中呈现的数量关系，也根据“交叉相乘，积相等”的性质，可以列出方程解答此题。 238 答略。 例 11 一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经过 12 小时相遇，相遇后快车 又行了 8 小时到达乙站。求慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度） 解：先用一般方法解。这道题很抽象，不少学生不能理解。 慢车行了全程的： 用四方阵法解。用这种方法解题很简单。 设慢车还要行 x 小时才能到达甲站。 快车在相遇前行 12 小时，相遇后行 8 小时，慢车相遇前行 12 小时，相遇后行 x 小时。画 出图 30-17 的四方阵后，就可根据四方阵的性质列出方程： 8x=12×12 x=12×12÷8 x=18（小时） 239 答略。 要注意的是，按四方阵的格式摘录、整理反比例应用题的条件和问题时，要使阵中的“同 事斜对”。 例 12 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 32 千米，5 小时到达，如果要 4 小时到达， 每小时行驶多少千米？（适于六年级程度） 解：设每小时行驶 x 千米。 按“同事横对，同名竖对”的摆阵规则，这道题应摆成图 30-18 的形式，这样根据“交叉 相乘，积相等”的性质，得： 行驶的时间少了，速度增加才对，可这样速度却减少了，显然这样摆阵是错误的。 这道题是反比例应用题，正确的摆阵方式是图 30-19 的形式，即“同事斜对”。32 与 5 斜对，x 与 4 斜对。 根据题意，也根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，以及 x 的斜对方必当除数的规律， 可得： 4x=32×5 x=32×5÷4 x=40（千米） 答略。 240 “交叉相乘积相等”是四方阵的重要性质，它帮助解题，帮助验算，还可以验证阵式摆得 是否正确。例如，把上面各例题中算出的 x 的数值代入四方阵中，把四个方位的数交叉相乘， 得到的两个积相等，说明摆阵、运算都正确；要是两个积不相等，或虽然相等但不合理，那就 要认真查找出现问题的原因了。 第三十一讲 分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、 解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益 于开辟解题思路，启迪创造性思维。 例 1 一块正方体木块，体积是 1331 立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适 于六年级程度） 解：把 1331 分解质因数： 1331=11×11×11 答：这块正方体木块的棱长是 11 厘米。 例 2 一个数的平方等于 324，求这个数。（适于六年级程度） 解：把 324 分解质因数： 324= 2×2×3×3×3×3 =（2×3×3）×（2×3×3） 241 =18×18 答：这个数是 18。例 3 相邻两个自然数的最小公倍数是 462，求这两个数。（适于六年 级程度） 解：把 462 分解质因数： 462=2×3×7×11 =（3×7）×（2×11） =21×22 答：这两个数是 21 和 22。 *例 4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D 代表不同的数字，ABC 是一个三位 数。求 ABC 代表什么数？（适于六年级程度） 解：因为 ABC×D=1673，ABC 是一个三位数，所以可把 1673 分解质因数，然后把质因数组 合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是 ABC 所代表的数。 1673=239×7 答：ABC 代表 239。 例 5 一块正方形田地，面积是 2304 平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程 度） 解：先把 2304 分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质 因数的积就是正方形的边长。 2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3 =（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3） =48×48 正方形的边长是 48 米。 这块田地的周长是： 48×4=192（米） 242 答略。 *例 6 有 3250 个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下 10 个。已知每一名小朋友分 得的桔子数接近 40 个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度） 解：3250-10=3240（个） 把 3240 分解质因数： 3240=23×34×5 接近 40 的数有 36、37、38、39 这些数中 36=22×32，所以只有 36 是 3240 的约数。 23×34×5÷（22×32） =2×32×5 =90 答：这个幼儿园有 90 名小朋友。 *例 7 105 的约数共有几个？（适于六年级程度） 解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两 个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。 因为，105=3×5×7， 所以，含有一个质数的约数有 1、3、5、7 共 4 个； 含有两个质数的乘积的约数有 3×5、3×7、5×7 共 3 个； 含有三个质数的乘积的约数有 3×5×7 共 1 个。 所以，105 的约数共有 4+3+1=8 个。 答略。 *例 8 把 15、22、30、35、39、44、52、77、91 这九个数平均分成三组，使每组三个数 的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度） 解：将这九个数分别分解质因数： 15=3×5 22=2×11 243 30=2×3×5 35=5×7 39=3×13 44=2×2×11 52=2×2×13 77=7×11 91=7×13 观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个 2，三个 3，三个 5， 三个 7，三个 11，三个 13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个 2，一个 3，一个 5，一 个 7，一个 11 和一个 13。 由以上观察分析可得这三组数分别是： 15、52 和 77； 22、30 和 91； 35、39 和 44。 答略。 *例 9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是 5040。 四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度） 解：把 5040 分解质因数： 5040=2×2×2×2×3×3×5×7 由于四个学生的年龄一个比一个大 1 岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个 质因数表示四个连续自然数是： 7，2×2×2，3×3，2×5 即四个学生的年龄分别是 7 岁、8 岁、9 岁、10 岁。 答略。 *例 10 在等式 35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162 的两个括号中，填 上适当的最小的数。（适于六年级程度） 解：将已知等式的两边分解质因数，得： 244 5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ） 把上面的等式化简，得： 15×（ ）=4×（ ） 所以，在左边的括号内填 4，在右边的括号内填 15。 15×（4）=4×（15） 答略。 *例 11 把 84 名学生分成人数相等的小组（每组最少 2 人），一共有几种分法？（适于六 年级程度） 解：把 84 分解质因数： 84=2×2×3×7 除了 1 和 84 外，84 的约数有： 2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。 下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14 （组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3 （组），84÷42=2（组）。 因此每组 2 人分 42 组；每组 3 人分 28 组；每组 4 人分 21 组；每组 6 人分 14 组；每组 7 人分 12 组；每组 12 人分 7 组；每组 14 人分 6 组；每组 21 人分 4 组；每组 28 人分 3 组；每 组 42 人分 2 组。一共有 10 种分法。 答略。 *例 12 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953 这八个数分成两组，每组四个数，要 使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度） 解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因 数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。 14=2×7 143=11×13 30=2×3×5 169=13×13 33=3×11 4445=5×7×127 75=3×5×5 4953=3×13×127 在上面的质因式中，质因数 2、7、11、127 各有 2 个，质因数 3、5、13 各有 4 个。 245 在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数 2、7、11、127 各有 1 个，质因数 3、5、13 各有 2 个。 按这个要求每一组四个数的积应是： 2×7×11×127×3×3×5×5×13×13 因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根 据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是 14、75、143、4953， 另一组的四个数是：30、33、169、4445。 答略。 *例 13 一个长方形的面积是 315 平方厘米，长比宽多 6 厘米。求这个长方形的长和宽。 （适于五年级程度） 解：设长方形的宽为 x 厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得： x（x+6）= 315 x（x+6）=3×3×5×7 =（3×5）×（3×7） x（x+6）=15×21 x（x+6）=15×（15+6） x=15 x+6=21 答：这个长方形的长是 21 厘米，宽是 15 厘米。 *例 14 已知三个连续自然数的积为 210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度） 解：设这三个连续自然数分别是 x-1，x，x+1，根据题意列方程，得： （x-1）×x×（x+1） =210 =21×10 =3×7×2×5 =5×6×7 246 比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。 答：这三个连续自然数分别是 5、6、7。 *例 15 将 37 分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为 1440，并且甲、乙 两数的积比丙数的 3 倍多 12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度） 解：把 1440 分解质因数： 1440= 12×12×10 =2×2×3×2×2×3×2×5 =（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5） =8×9×20 如果甲、乙二数分别是 8、9，丙数是 20，则： 8×9=72， 20×3+12=72 正符合题中条件。 答：甲、乙、丙三个数分别是 8、9、20。 *例 16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄 等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您 儿子人数的立方乘以 1000 加上您儿子人数的平方乘以 10。”从这次谈话中，你能否确定母亲 在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度） 解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于： 33×1000+32×10=27090 把 27090 分解质因数： 27090=43×7×5×32×2 根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得： 43×14×9×5 这个质因式中 14 就是 9 与 5 之和。 所以母亲 43 岁，大儿子 14 岁，二儿子 9 岁，小儿子 5 岁。 247 43-9=34（岁） 答：母亲在 34 岁时生下第二个儿子。 第三十二讲 最大公约数法 通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。 例 1 甲班有 42 名学生，乙班有 48 名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小 组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度） 解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出 4 2 和 48 的最大公约数： 2×3=6 42 和 48 的最大公约数是 6。 答：每个小组最多能有 6 名学生。 例 2 有一张长 150 厘米、宽 60 厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已 面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程度） 解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是 150 和 60 的最大公约数。 求出 150 和 60 的最大公约数： 2×3×5=30 150 和 60 的最大公约数是 30，即正方形的边长是 30 厘米。 248 看上面的短除式中，150、60 除以 2 之后，再除以 3、5，最后的商是 5 和 2。这说明，当 正方形的边长是 30 厘米时，长方形的长 150 厘米中含有 5 个 30 厘米，宽 60 厘米中含有 2 个 30 厘米。 所以，这个长方形能分割成正方形： 5×2=10（个） 答：能分割成 10 个正方形。 例 3 有一个长方体的方木，长是 3.25 米，宽是 1.75 米，厚是 0.75 米。如果将这块方木 截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以 截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度） 解：3.25 米=325 厘米，1.75 米=175 厘米，0.75 米=75 厘米，此题实际是求 325、175 和 75 的最大公约数。 5×5=25 325、175 和 75 的最大公约数是 25，即小正方体木块的棱长是 25 厘米。 因为 75、175、325 除以 5 得商 15、35、65，15、35、65 再除以 5，最后的商是 3、7、13， 而小正方体木块的棱长是 25 厘米，所以，在 75 厘米中包含 3 个 25 厘米，在 175 厘米中包含 7 个 25 厘米，在 325 厘米中包含 13 个 25 厘米。 可以截成棱长是 25 厘米的小木块： 3×7×13=273（块） 答：小正方体木块的棱长是 25 厘米，可以截成这样大的正方体 273 块。 例 4 有三根绳子，第一根长 45 米，第二根长 60 米，第三根长 75 米。现在要把三根长绳 截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度） 解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。 3×5=15 249 45、60 和 75 的最大公约数是 15，即每一小段绳子最长 15 米。 因为短除式中最后的商是 3、4、5，所以在把绳子截成 15 米这么长时，45 米长的绳子可 以截成 3 段，60 米长的绳子可以截成 4 段，75 米长的绳子可以截成 5 段。所以有： 3+4+5=12（段） 答：每段最长 15 米，一共可以截成 12 段。 例 5 某校有男生 234 人，女生 146 人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、 女生各剩 3 人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度） 解：因为男、女生各剩 3 人，所以进入各组的男、女生的人数分别是： 234-3=231（人）…………………男 146-3=143（人）…………………女 要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是 231 人和 143 人的最 大公约数。 231、143 的最大公约数是 11，即每一组是 11 人。 因为 231、143 除以 11 时，商是 21 和 13，所以男生可以分为 21 组，女生可以分为 13 组。 21+13=34（组） 答：每一组应是 11 人，能分成 34 组。 例 6 把 330 个红玻璃球和 360 个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的 个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度） 解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中， 且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是 330 和 360 的最大公约数。 2×3×5=30 330 和 360 的最大公约数是 30，即每盒装 30 个球。 250 330÷30=11（盒）……………红球装 11 盒 360÷30=12（盒）……………绿球装 12 盒 11+12=23（盒）……………共装 23 盒 答略。 例 7 一个数除 40 不足 2，除 68 也不足 2。这个数最大是多少？（适于六年级程度） 解：“一个数除 40 不足 2，除 68 也不足 2”的意思是：40 被这个数除，不能整除，要是 在 40 之上加上 2，才能被这个数整除；68 被这个数除，也不能整除，要是在 68 之上加上 2， 才能被这个数整除。 看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是 42 和 70 的公约数，而且是 最大的公约数。 2×7=14 答：这个数最大是 14。 例 8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了 1.04 元，第二筐 卖了 1.95 元，第三筐卖了 2.34 元。每 1 千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问 三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？（适于六年级程度） 解：三筐白菜的钱数分别是 104 分、195 分、234 分，每千克白菜的价钱一定是这三个数 的公约数。 把 104、195、234 分别分解质因数： 104=23×13 195=3×5×13 234=2×32×13 104、195、234 最大的公有的质因数是 13，所以 104、195、234 的最大公约数是 13，即 每千克白菜的价钱是 0.13 元。 1.04÷0.13=8（千克）………第一筐 1.95÷0.13=15（千克）………第二筐 251 2.34÷0.13=18（千克）………第三筐 8+15+18=41（千克） 答：第一、二、三筐白菜的重量分别是 8 千克、15 千克、18 千克，李明一共卖了 41 千克 白菜。 例 9 一个两位数除 472，余数是 17。这个两位数是多少？（适于六年级程度） 解：因为这个“两位数除 472，余数是 17”，所以，472-17=455，455 一定能被这个两位 数整除。 455 的约数有 1、5、7、13、35、65、91 和 455，这些约数中 35、65 和 91 大于 17，并且 是两位数，所以这个两位数可以是 35 或 65，也可以是 91。 答略。 例 10 把图 32-1 的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个 焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）（适于六年级程度） 解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点 间距离就应是 42 厘米、24 厘米、18 厘米、36 厘米的最大公约数。 2×3=6 它们的最大公约数是 6，即焊点间距离为 6 厘米。焊点数为： 7+4+3+6=20（个） 按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从 20 个焊点中减 4 个焊点。 20-4=16（个） 答略。 252 第三十三讲 最小公倍数法 通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。 例 1 用长 36 厘米，宽 24 厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？ （适于六年级程度） 解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是 36、24 的 最小公倍数。 2×2×3×3×2=72 36、24 的最小公倍数是 72，即正方形的边长是 72 厘米。 72÷36=2 72÷24=3 2×3=6（块） 答：最少需要 6 块瓷砖。 *例 2 王光用长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正 方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？（适于六年级程度） 解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是 6、4 和 3 的最小公倍数。 2×3×2=12 6、4 和 3 的最小公倍数是 12，即正方体模型的棱长是 12 厘米。 正方体模型的体积为： 12×12×12=1728（立方厘米） 253 长方体木块的块数是： 1728÷（6×4×3） =1728÷72 =24（块） 答略。例 3 有一个不足 50 人的班级，每 12 人分为一组余 1 人，每 16 人分为一组也余 1 人。这个班级有多少人？（适于六年级程度） 解：这个班的学生每 12 人分为一组余 1 人，每 16 人分为一组也余 1 人，这说明这个班的 人数比 12 与 16 的公倍数（50 以内）多 1 人。所以先求 12 与 16 的最小公倍数。 2×2×3×4=48 12 与 16 的最小公倍数是 48。 48+1=49（人） 49<50，正好符合题中全班不足 50 人的要求。 答：这个班有 49 人。 例 4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔 8 分钟发一次车；第二 条线路每隔 10 分钟发一次车；第三条线路每隔 12 分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间 发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度） 解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就 是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即 8、10、12 的最小公倍数。 2×2×2×5×3=120 答：至少经过 120 分钟又在同一时间发车。 例 5 有一筐鸡蛋，4 个 4 个地数余 2 个，5 个 5 个地数余 3 个，6 个 6 个地数余 4 个。这 筐鸡蛋最少有多少个？（适于六年级程度） 254 解：从题中的已知条件可以看出.不论是 4 个 4 个地数，还是 5 个 5 个地数、6 个 6 个地 数，筐中的鸡蛋数都是只差 2 个就正好是能被 4、5、6 整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多 少个，所以求出 4、5、6 的最小公倍数后再减去 2，就得到鸡蛋的个数。 2×2×5×3=60 4、5、6 的最小公倍数是 60。 60-2=58（个） 答：这筐鸡蛋最少有 58 个。 *例 6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每 15 人有 3 个人得一等 奖，每 8 人有 2 个人得二等奖，每 12 人有 4 个人得三等奖。参加这次竞赛的共有 94 人得奖。 求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度） 解：15、8 和 12 的最小公倍数是 120，参加这次竞赛的人数是 120 人。 得一等奖的人数是： 3×（120÷15）=24（人） 得二等奖的人数是： 2×（120÷8）=30（人） 得三等奖的人数是： 4×（120÷12）=40（人） 答略。 *例 7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走 9 分钟亮一次灯。中午 12 点整时，电子 钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？（适于六年级程度） 解：每到整点响一次铃，就是每到 60 分钟响一次铃。求间隔多长时间后，电子钟既响铃 又亮灯，就是求 60 与 9 的最小公倍数。 60 与 9 的最小公倍数是 180。 180÷60=3（小时） 由于是中午 12 点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午 3 点钟。 255 答略。 *例 8 一个植树小组原计划在 96 米长的一段土地上每隔 4 米栽一棵树，并且已经挖好坑。 后来改为每隔 6 米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（适于六年级程度） 解：这一段地全长 96 米，从一端每隔 4 米挖一个坑，一共要挖树坑： 96÷4+1=25（个） 后来，改为每隔 6 米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在 6 米一棵的坑位上，可不重新挖。 由于 4 和 6 的最小公倍数是 12，所以从第一个坑开始，每隔 12 米的那个坑不必挖。 96÷12+1=9（个） 96 米中有 8 个 12 米，有 8 个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有 9 个坑不 必重新挖。 答略。 例 9 一项工程，甲队单独做需要 18 天，乙队单独做需要 24 天。两队合作 8 天后，余下 的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？（适于六年级程度） 解：由 18、24 的最小公倍数是 72，可把全工程分为 72 等份。 72÷18=4（份）…………是甲一天做的份数 72÷24=3（份）…………是乙一天做的份数 （4+3）×8=56 份）………两队 8 天合作的份数 72-56=16（份）…………余下工程的份数 16÷4=4（天）……………甲还要做的天数 答略。 *例 10 甲、乙两个码头之间的水路长 234 千米，某船从甲码头到乙码头需要 9 小时，从 乙码头返回甲码头需要 13 小时。求此船在静水中的速度？（适于高年级程度） 解：9、13 的最小公倍数是 117，可以把两码头之间的水路 234 千米分成 117 等份。 每一份是： 234÷117=2（千米） 静水中船的速度占总份数的： （13+9）÷2=11（份） 256 船在静水中每小时行： 2×11=22（千米） 答略。 *例 11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时 3 千米，下山的 速度为每小时 5 千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？（适于六年级程度） 解：设山脚到山顶的距离为 3 与 5 的最小公倍数。 3×5=15（千米） 上山用： 15÷3=5（小时） 下山用： 15÷5=3（小时） 总距离÷总时间=平均速度 （15×2）÷（5+3）=3.75（千米） 答：他上、下山的平均速度是每小时 3.75 千米。 *例 12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做 50 个；第 二道工序每个工人每小时做 30 个；第三道工序每个工人每小时做 25 个。在要求均衡生产的条 件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？（适于六年级程度） 解：50、30、25 三个数的最小公倍数是 150。 第一道工序至少应分配： 150÷50=3（人） 第二道工序至少应分配： 150÷30=5（人） 第三道工序至少应分配： 150÷25=6（人） 答略。 257 第三十四讲 解平均数问题的方法 已知几个不相等的数及它们的份数，求总平均值的问题，叫做平均数问题。 解答平均数问题时，要先求出总数量和总份数。总数量是几个数的和，总份数是这几个数 的份数的和。解答这类问题的公式是； 总数量÷总份数=平均数 例 1 气象小组在一天的 2 点、8 点、14 点、20 点测得某地的温度分别是 13 摄氏度、16 摄氏度、25 摄氏度、18 摄氏度。算出这一天的平均温度。（适于四年级程度） 解：本题可运用求平均数的解题规律“总数量÷总份数=平均数”进行计算。这里的总数 量是指测得的四个温度的和，即 13 摄氏度、16 摄氏度、25 摄氏度、18 摄氏度的和；这里的 总份数是指测量气温的次数，一天测量四次气温，所以总份数为 4。 （13+16+25+18）÷4 =72÷4 =18（摄氏度） 答：这一天的平均气温为 18 摄氏度。 例 2 王师傅加工一批零件，前 3 天加工了 148 个，后 4 天加工了 167 个。王师傅平均每 天加工多少个零件？（适于四年级程度） 解：此题的总数量是指前 3 天和后 4 天一共加工的零件数，总份数是指前、后加工零件的 天数之和。用总数量除以总份数，便求出平均数。 前、后共加工的零件数： 148+167=315（个） 前、后加工零件共用的天数： 3+4=7（天） 平均每天加工的零件数： 315÷7=45（个） 综合算式： （148+167）÷（3+4） ＝315÷7 258 =45（个） 答：平均每天加工 45 个零件。 例 3 某工程队铺一段自来水管道。前 3 天每天铺 150 米，后 2 天每天铺 200 米，正好铺 完。这个工程队平均每天铺多少米？（适于四年级程度） 解：本题的总数量是指工程队前 3 天、后 2 天一共铺自来水管道的米数。总份数是指铺自 来水管道的总天数。用铺自来水管道的总米数除以铺自来水管道的总天数，就可以求出平均每 天铺的米数。 前 3 天铺的自来水管道米数： 150×3=450（米） 后 2 天铺的自来水管道米数： 200×2=400（米） 一共铺的自来水管道米数： 450+400=850（米） 一共铺的天数： 3+2=5（天） 平均每天铺的米数： 850÷5=170（米） 综合算式： （150×3+200×2）÷（3+2） ＝（450+400）÷5 ＝850÷5 ＝170（米） 答略。 例 4 有两块实验田，第一块有地 3.5 亩，平均亩产小麦 480 千克；第二块有地 1.5 亩， 共产小麦 750 千克。这两块地平均亩产小麦多少千克？（适于四年级程度） 解：本题的总数量是指两块地小麦的总产量，总份数是指两块地的总亩数，用两块地的总 产量除以两块地的总亩数，可求出两块地平均亩产小麦多少千克。 259 3.5 亩共产小麦： 480×3.5=1680（千克） 两块地总产量： 1680+750=2430（千克） 两块地的总亩数： 3.5+1.5=5（亩） 两块地平均亩产小麦： 2430÷5=486（千克） 综合算式： （480×3.5+750）÷（3.5+1.5） ＝（1680+750）÷5 ＝2430÷5 =486（千克） 答略。 例 5 东风机器厂，五月份上半月的产值是 125.2 万元，比下半月的产值少 70 万元。这个 厂五月份平均每天的产值是多少万元？（适于四年级程度） 解：本题的总数量是指五月份的总产值。五月份上半月的产值是 125.2 万元，比下半月的 产值少 70 万元，也就是下半月比上半月多 70 万元，所以下半月产值为 125.2+70=195.2（万 元）。把上半月的产值和下半月的产值相加，求出五月份的总产值。 本题的总份数是指五月份的实际天数。五月份为大月，共有 31 天。用五月份的总产值除 以五月份的实际天数，可求出五月份平均每天的产值是多少万元。 下半月产值： 125.2+70=195.2（万元） 五月份的总产值： 125.2+195.2=320.4（万元） 五月份平均每天的产值： 260 320.4÷31≈10.3（万元） 综合算式： （125.2+125.2+70）÷31 =320.4÷31 ≈10.3（万元） 答略。 例 6 崇光轴承厂六月上旬平均每天生产轴承 527 只，中旬生产 5580 只，下旬生产 5890 只。这个月平均每天生产轴承多少只？（适于四年级程度） 解：本题的总数量是指六月份生产轴承的总只数，总份数是指六月份生产轴承的总天数。 用六月份生产轴承的总只数除以六月份的总天数，可求出六月份平均每天生产轴承数。 六月上旬生产轴承的只数： 527×10=5270（只） 六月中、下旬共生产轴承： 5580+5890=11470(只） 六月份共生产轴承： 5270+11470=16740（只） 六月份平均每天生产轴承： 16740÷30=558（只） 综合算式： （527×10+5580+5890）÷30 =（5270+5580+5890）÷30 =16740÷30 =558（只） 答略。 例 7 糖果店配混合糖，用每千克 4.8 元的奶糖 5 千克，每千克 3.6 元的软糖 10 千克，每 千克 2.4 元的硬糖 10 千克。这样配成的混合糖，每千克应卖多少元？（适于四年级程度） 261 解：本题中的总数量是指三种糖的总钱数；总份数是指三种糖的总重量。总钱数除以总重 量，可求出每千克混合糖应卖多少钱。 三种糖总的钱数： 4.8×5+3.6×10+2.4×10 =24+36+24 =84（元） 三种糖的总的重量： 5+10+10=25（千克） 每千克混合糖应卖的价钱： 84÷25=3.36（元） 综合算式： （4.8×5+3.6×10+2.4×10）÷(5+10+10） ＝84÷25 ＝3.36（元） 答略。 例 8 一辆汽车从甲地开往乙地，在平地上行驶了 2.5 小时，每小时行驶 42 千米；在上坡 路行驶了 1.5 小时，每小时行驶 30 千米；在下坡路行驶了 2 小时，每小时行驶 45 千米，就正 好到达乙地。求这辆汽车从甲地到乙地的平均速度。（适于四年级程度） 解：本题中的总数量是由甲地到乙地的总路程： 42×2.5+30×1.5+45×2 =105+45+90 =240（千米） 本题中的总份数是由甲地到乙地所用的时间： 2.5+1.5+2=6（小时） 这辆汽车从甲地到乙地的平均速度是： 240÷6=40（千米/小时） 262 综合算式： （42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+1.5+2） ＝240÷6 ＝40（千米/小时） 答略。 *例 9 学校发动学生积肥支援农业，三年级 85 人积肥 3640 千克，四年级 92 人比三年级 多积肥 475 千克，五年级的人数比四年级多 3 人，积肥数比三年级多 845 千克。三个年级的学 生平均每人积肥多少千克？（适于四年级程度） 解：本题中的总数量是三个年级积肥的总重量。已知三年级积肥 3640 千克。 四年级积肥： 3640+475=4115（千克） 五年级积肥： 3640+845=4485（千克） 三个年级共积肥： 3640+4115+4485=12240（千克） 本题中的总份数就是三个年级学生的总人数。三年级学生人数是 85 人已知，四年级学生 人数是 92 人已知，五年级学生人数是： 92+3=95（人） 三个年级学生的总人数是： 85+92+95=272（人） 三个年级的学生平均每人积肥： 12240÷272=45（千克） 综合算式： （3640×3+475+845）÷（85+92×2+3） =12240÷272 =45（千克） 263 答略。 例 10 山上某镇离山下县城有 60 千米的路程。一人骑自行车从该镇出发去县城，每小时 行 20 千米。从县城返回该镇时，由于是上坡路，每小时只行了 15 千米。问此人往返一次平均 每小时行了多少千米？（适于四年级程度） 解：本题中的总数量是从某镇到县城往返一次的总路程： 60×2=120（千米） 总份数是往返一次用的时间： 60÷20+6O÷15 =3+4 =7（小时） 此人往返一次平均每小时行的路程是： 120÷7≈17.14（千米） 综合算式： 60×2÷（60÷20+60÷15） ＝120÷(3+4） ＝120÷7 ≈17.14（千米） 答略。 *例 11 有两块棉田，平均亩产皮棉 91.5 千克。已知一块田是 3 亩，平均亩产皮棉 104 千 克。另一块田是 5 亩，求这块田平均亩产皮棉多少千克？（适于四年级程度） 解：两块棉田皮棉的总产量是： 91.5×（3+5）=732（千克） 3 亩的那块棉田皮棉的产量是： 104×3=312（千克） 另一块棉田皮棉的平均亩产量是： （732-312）÷5 264 ＝420÷5 ＝84（千克） 综合算式： [91.5×（3+5）-104×3］÷5 ＝[732-312]÷5 ＝420÷5 ＝84（千克） 答略。 *例 12 王伯伯钓鱼，前 4 天共钓了 36 条，后 6 天平均每天比前 4 天多钓了 5 条。问王伯 伯平均每天钓鱼多少条？（适于四年级程度） 解（1）：题中前 4 天共钓 36 条已知，后 6 天共钓鱼： （36÷4+5）×6 =14×6 =84（条） 一共钓鱼的天数是： 4+6=10（天） 10 天共钓鱼： 36+84=120（条） 平均每天钓鱼： 120÷10=12（条） 综合算式： [36+（36÷4+5）×6]÷（4+6） =[36+84]÷10 =120÷10 =12（条） 265 答略。 解（2）：这道题除用一般方法解之外，还可将后 6 天多钓的鱼按 10 天平均后，再加上原 来 4 天的平均钓鱼数。 （5×6）÷（4+6）+36÷4 =3+9 =12（条） 答：王伯伯平均每天钓鱼 12 条。 例 13 一个小朋友爬山，上山速度为每小时 2 千米，到达山顶后立即按原路下山，下山速 度为每小时 6 千米。这个小朋友上、下山的平均速度是多少？（适于四年级程度） 解：本题的总数量是上山、下山的总路程，题中没有说总路程是多少。假设上山的路程是 1 千米，那么下山的路程也是 1 千米，上山、下山的总路程是 2 千米。 本题的总份数是上山、下山总共用的时间。 上山、下山总共用的时间是： 所以，上山、下山的平均速度是： 答略。 例 14 某厂一、二月份的平均产值是 1.2 万元，三月份的产值比第一季度的平均月产值还 多 0.4 万元。这个工厂三月份的产值是多少万元？（适于四年级程度） 解：此题数量关系比较隐蔽，用“总数量÷总份数”的方法做不出来。作图（34-1）。从 图 34-1 可以看出，一、二月份的平均产值都是 1.2 万元。题中说“三月份的产值比第一季度 的平均月产值还多 0.4 万元”，那么三月份的产值一定比一、二月份的平均产值要高，所以图 34-1 中表示三月份产值的线段比表示一、二月份平均产值的线段长。 266 第一季度的平均产值是多少万元呢？ 我们用“移多补少”的方法，把图 34-1 中三月份的 0.4 万元平均分成 2 份，分别加到一、 二月份的产值上，这样就得到第一季度的平均产值了。 1.2+0.4÷2=1.4（万元） 因为三月份的产值比第一季度的平均月产值还多 0.4 万元，所以三月份的产值是： 1.4+0.4=1.8（万元） 综合算式： 1.2+0.4÷2+0.4 =1.4+0.4 =1.8（万元） 答略。 *例 15 苹果 2 千克卖 2 元钱，梨 3 千克卖 2 元钱。把每一筐 15 千克的梨、苹果各一筐掺 到一起，按 2 元钱 2.5 千克来卖，是挣钱，还是赔钱？按照前面的标准价计算差了多少元？（适 于四年级程度） 解：苹果的单价是每 1 千克 1 元钱，梨的单价是每 1 千克 2/3 元，混合后每 1 千克混合水 果的价钱应当是： 因为是把每一筐 15 千克的梨、苹果各一筐掺合到一起，所以混合的水果一共是 30 千克， 这 30 千克水果要少卖钱： 267 答：混合后是赔钱，照标准价差了 1 元钱。 *例 16 三块小麦实验田的平均亩产量是 267.5 千克。已知第一块地是 3 亩，平均亩产量 是 275 千克；第二块是 5 亩，平均亩产量是 285 千克；而第三块地的平均亩产量只有 240 千克。 第三块地是多少亩？（适于四年级程度） 解：第三块地的亩产量比总平均亩产量低： 267.5-240=27.5（千克） 每亩低 27.5 千克，需要第一、二两块地可拿出多少千克来填补呢？ （275-267.5）×3+（285-267.5）×5 =7.5×3+17.5×5 =22.5+87.5 =110（千克） 110 千克中含有多少个 27.5 千克，第三块地就是多少亩。 110÷27.5=4（亩） 综合算式： [（275-267.5）×3+（285-267.5）×5]÷（267.5-240） =[22.5+87.5]÷27.5 =110÷27.5 =4（亩） 答：第三块地是 4 亩。 第三十五讲 解行程问题的方法 已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。 解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行 计算。 行程问题的基本数量关系是： 268 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运 动问题）。 （一）相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相 遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。 它们的基本关系式如下： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 1.求路程 （1）求两地间的距离 例 1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行 56 千米，另一辆汽车每小 时行 63 千米，经过 4 小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？（适于五年级程度） 解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行 4 小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就 是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶 路程之和，就是两地距离。 56×4=224（千米） 63×4=252（千米） 224+252=476（千米） 综合算式： 56×4+63×4 =224+252 269 =476（千米） 答略。 例 2 两列火车同时从相距 480 千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶 40 千米， 乙车每小时行驶 42 千米。5 小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度） 解：此题的答案不能直接求出，先求出两车 5 小时共行多远后，从两地的距离 480 千米中， 减去两车 5 小时共行的路程，所得就是两车的距离。 480-（40+42）×5 =480-82×5 =480-410 =70（千米） 答：5 小时后两列火车相距 70 千米。 例 3 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时相向而行，甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米。 二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达 B、A 两地后又立即按原速度返回。从开始走到第 二次相遇，共用了 6 小时。A、B 两地相距多少千米？（适于五年级程度） 解：从开始走到第一次相遇，两人走的路程是一个 AB 之长；而到第二次相遇，两人走的路程 总共就是 3 个 AB 之长（图 35-1），这三个 AB 之长是： （5+4）×6=54（千米） 所以，A、B 两地相距的路程是： 54÷3=18（千米） 答略。 例 4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶 60 千米，第二列 火车每小时行驶 55 千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了 20 千米。求甲、乙两 地间的距离。（适于五年级程度） 解：两车相遇时，两车的路程差是 20 千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同， 第一列火车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出 甲、乙两地间的距离。 （60+55）×[20÷（60-55）] 270 =115×[20÷5] =460（千米） 答略。 *例 5 甲、乙二人同时从 A、B 两地相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 5 千米， 两个人在距离中点 1.5 千米的地方相遇。求 A、B 两地之间的距离。（适于五年级程度） 解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了 1.5×2 千米（图 35-2），甲比乙每小时 多行（6-5）千米。由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出 A、B 两地之间的距离。 （6+5）×[1.5×2÷（6-5）] =11×[1.5×2÷1] =11×3 =33（千米） 答略。 由两车“在离中点 2 千米处相遇”可知，甲车比乙车少行： 2×2=4（千米） 所以，乙车行的路程是： 271 甲车行的路程是： A、B 两站间的距离是： 24+20=44（千米） 答略。 同普通客车相遇。甲、乙两城间相距多少千米？（适于六年级程度） 快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。已知普通客车每小时行 60 千米，快车每小 时行 80 千米，可以求出两车速度之和。又已知两车相遇时间，可以按“速度之和×相遇时间”， 求出两车相对而行的总行程。普通客车已行驶 普通客车与快车速度之和是： 60+80=140（千米/小时） 两车相对而行的总路程是： 140×4=560（千米） 两车所行的总路程占全程的比率是： 甲、乙两城之间相距为： 272 综合算式： 答略。 2）求各行多少 例 1 两地相距 37.5 千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走 3.5 千米， 乙每小时走 4 千米。相遇时甲、乙二人各走了多少千米？（适于五年级程度） 解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是： 37.5÷（3.5+4）=5（小时） 甲行的路程是： 3.5×5=17.5（千米） 乙行的路程是： 4×5=20（千米） 答略。 例 2 甲、乙二人从相距 40 千米的两地同时相对走来，甲每小时走 4 千米，乙每小时走 6 千米。相遇后他们又都走了 1 小时。两人各走了多少千米？（适于五年级程度） 解：到甲、乙二人相遇所用的时间是： 40÷（4+6）=4（小时） 由于他们又都走了 1 小时，因此两人都走了： 4+1=5（小时） 甲走的路程是： 4×5=20（千米） 273 乙走的路程是： 6×5=30（千米） 答略。 例 3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行 48.65 千米，第 二列火车每小时行 47.35 千米。在相遇时第一列火车比第二列火车多行了 5.2 千米。到相遇时 两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度） 解：两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相 遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。 从出发到相遇所用时间是： 5.2÷（48.65-47.35） =5.2÷1.3 =4（小时） 第一列火车行驶的路程是： 48.65×4=194.6（千米） 第二列火车行驶的路程是： 47.35×4=189.4（千米） 答略。 *例 4 东、西两车站相距 564 千米，两列火车同时从两站相对开出，经 6 小时相遇。第一 列火车比第二列火车每小时快 2 千米。相遇时这两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度） 解：两列火车的速度和是： 564÷6=94（千米/小时） 第一列火车每小时行： （94+2）÷2=48（千米） 第二列火车每小时行： 48-2=46（千米） 相遇时，第一列火车行： 274 48×6=288（千米） 第二列火车行： 46×6=276（千米） 答略。 2.求相遇时间 例 1 两个城市之间的路程是 500 千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出， 客车的平均速度是每小时 55 千米，货车的平均速度是每小时 45 千米。两车开了几小时以后相 遇？（适于五年级程度） 解：已知两个城市之间的路程是 500 千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之 和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。 500÷（55+45） =500÷100 =5（小时） 答略。 例 2 两地之间的路程是 420 千米，一列客车和一列货车同时从两个城市 答略。 例 3 在一次战役中，敌我双方原来相距 62.75 千米。据侦察员报告，敌人已向我处前进 了 11 千米。我军随即出发迎击，每小时前进 6.5 千米，敌人每小时前进 5 千米。我军出发几 小时后与敌人相遇？（适于五年级程度） 275 解：此题已给出总距离是 62.75 千米，由“敌人已向我处前进了 11 千米”可知实际的总 距离减少到（62.75-11）千米。 （62.75-11）÷（6.5+5） =51.75÷11.5 =4.5（小时） 答：我军出发 4.5 小时后与敌人相遇。 例 4 甲、乙两地相距 200 千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶 5 小时；一列客车由乙 地开往甲地需要行驶 4 小时。如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇？（得 数保留一位小数）（适于五年级程度） 解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时 间=路程÷速度”的关系，即可求出相遇时间。 200÷（200÷5+200÷4） =200÷（40+50） =200÷90 ≈2.2（小时） 答：两车大约经过 2.2 小时相遇。 例 5 在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是 180 米， 速度为每秒钟 9 米；慢车车身长 210 米，车速为每秒钟 6 米。从两车头相遇到两车的尾部离开， 需要几秒钟？（适于五年级程度） 解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以 两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。 （180+210）÷（9+6） =390÷15 =26（秒） 答略。 3.求速度 例 1 甲、乙两个车站相距 550 千米，两列火车同时由两站相向开出，5 小时相遇。快车 每小时行 60 千米。慢车每小时行多少千米？（适于五年级程度） 276 解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行： 550÷5-60 =110-60 =50（千米） 答略。 例 2 A、B 两个城市相距 380 千米。客车和货车从两个城市同时相对开出，经过 4 小时相 遇。货车比客车每小时快 5 千米。这两列车每小时各行多少千米？（适于五年级程度） 解：客车每小时行： （380÷4-5）÷2 =（95-5）÷2 =45（千米） 货车每小时行： 45+5=50（千米） 答略。 例 3 甲、乙两个城市相距 980 千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过 10 小时相遇。 快车每小时行 50 千米，比慢车每小时多行多少千米？（适于五年级程度） 解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车 的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。 50-（980÷10-50） =50-（98-50） =50-48 =2（千米） 答略。 例 4 甲、乙两地相距 486 千米，快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过 6 小时相 遇。已知快车与慢车的速度比是 5∶4。求快车和慢车每小时各行多少千米？（适于六年级程 度） 277 两车的速度和是： 486÷6=81（千米/小时） 快车每小时行： 慢车每小时行： 答略。 例 5 两辆汽车同时从相距 465 千米的两地相对开出，4.5 小时后两车还相距 120 千米。 一辆汽车每小时行 37 千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度） 解：如果两地间的距离减少 120 千米，4.5 小时两车正好相遇。也就是两车 4.5 小时行 465-120=345 千米，345 千米除以 4.5 小时，可以求出两车速度之和。从速度之和减去一辆车 的速度，得到另一辆车的速度。 答略。 例 6 甲、乙两人从相距 40 千米的两地相向而行。甲步行，每小时走 5 千米，先出发 0.8 小时。乙骑自行车，骑 2 小时后，两人在某地相遇。乙骑自行车每小时行多少千米？（适于五 年级程度） 解：两人相遇时，甲共走： 0.8+2=2.8（小时） 甲走的路程是： 5×2.8=14（千米） 278 乙在 2 小时内行的路程是： 40-14=26（千米） 所以，乙每小时行： 26÷2=13（千米） 综合算式： [40-5×（0.8+2）]÷2 =[40-5×2.8]÷2 =[40-14]÷2 =26÷2 =13（千米） 答略。 例 7 甲、乙二人从相距 50 千米的两地相对而行。甲先出发，每小时步行 5 千米。1 小时 后乙骑自行车出发，骑了 2 小时，两人相距 11 千米。乙每小时行驶多少千米？（适于五年级 程度） 解：从相距的 50 千米中，去掉甲在 1 小时内先走的 5 千米，又去掉相隔的 11 千米，便得 到： 50-5-11=34（千米） 这时，原题就改变成“两地相隔 34 千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。甲步行， 乙骑自行车，甲每小时走 5 千米。经过 2 小时两人相遇。乙每小时行多少千米？” 由此可知，二人的速度和是： 34÷2=17（千米/小时） 乙每小时行驶的路程是： 17-5=12（千米） 综合算式： （50-5-11）÷2-5 =34÷2-5 279 =17-5 =12（千米） 答略。 （二）追及问题 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同 的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间 速度差=快速-慢速 解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者， 然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 *例 1 甲、乙二人在同一条路上前后相距 9 千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前， 以每小时 5 千米的速度步行；乙在后，以每小时 10 千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙 能追上甲？（适于高年级程度） 解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是： 10-5=5（千米） 再看，相差的路程 9 千米中含有多少个 5 千米，即得到乙几小时追上甲。 9÷5=1.8（小时） 综合算式： 9÷（10-5） =9÷5 =1.8（小时） 答略。 *例 2 甲、乙二人在相距 6 千米的两地，同时同向出发。乙在前，每小时行 5 千米；甲在 后，每小时的速度是乙的 1.2 倍。甲几小时才能追上乙？（适于高年级程度） 280 解：甲每小时行： 5×1.2=6（千米） 甲每小时能追上乙： 6-5=1（千米） 相差的路程 6 千米中，含有多少个 1 千米，甲就用几小时追上乙。 6÷1=6（小时） 答：甲 6 小时才能追上乙。 *例 3 甲、乙二人围绕一条长 400 米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑 350 米，乙每分钟 跑 250 米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？（适于高年级程度） 解：此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所 说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的 400 米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的时 间是： 400÷（350-250） =400÷100 =4（分钟） 答略。 *例 4 在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面 6 千米的某地，正以每小时 5.5 千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时 8.5 千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用 半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？（适于高年级程度） 解：敌我两军行进的速度差是： 8.5-5.5=3（千米/小时） 我军追上敌军用的时间是： 6÷3=2（小时） 从开始追击到全歼敌军，共用的时间是： 2+0.5=2.5（小时） 综合算式： 60÷（8.5-5.5）+0.5 281 =6÷3+0.5 =2.5（小时） 答略。 *例 5 一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行 5 千米。离开驻地 3 千米时，排长命 令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时 10 千米的速度回到驻地，取了地图立即返 回。通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？（适于高年级程度） 解：通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地 3 千米。通讯员的速度等于队伍的 2 倍（10÷5=2）， 通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（3÷2）千米。这样，通讯员需追及的距离是（3+3÷2） 千米，而速度差是（10-5）千米/小时。 根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。 （3+3÷2）÷（10-5） =4.5÷5 =0.9（小时） 答略。 （三）相离问题 相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。 解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之 间的距离”。 例 1 哥哥由家向东到工厂去上班，每分钟走 85 米，弟弟同时由家往西到学校去上学，每 分钟走 75 米。几分钟后二人相距 960 米？（适于四年级程度） 解：二人同时、同地相背而行，只要求出速度和，由“时间=距离÷速度和”即可求出所 行时间。因此，得： 960÷（85+75） =960÷160 =6（分钟） 答略。 例 2 甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发，相背而行。甲每小时行 6 千米，乙每小时 行 7 千米。8 小时后，甲、乙二人相距多少千米？（适于四年级程度） 282 解：先求出二人速度之和，再乘以时间就得到二人之间的距离。 （6+7）×8 =13×8 =104（千米） 答略。 *例 3 东、西两镇相距 69 千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6 小时后 二人分别到达东、西两镇。已知张每小时比王多行 1.5 千米。二人每小时各行多少千米？出发 地距东镇有多少千米？（适于高年级程度） 解：由二人 6 小时共行 69 千米，可求出他们的速度和是（69÷6）千米/小时。张每小时 比王多行 1.5 千米，这是他们的速度差。从而可以分别求出二人的速度。 张每小时行： （69÷6+1.5）÷2 =（11.5+1.5）÷2 =13÷2 =6.5（千米） 王每小时行： 6.5-1.5=5（千米） 出发地距东镇的距离是： 6.5×6=39（千米） 答：张每小时行 6.5 千米，王每小时行 5 千米；出发地到东镇的距离是 39 千米。 第三十六讲 解工程问题的方法 工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是： 工作效率×工作时间=工作量 工作量÷工作时间=工作效率 283 工作量÷工作效率=工作时间 根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。 由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数 工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算 就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时， 也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。 （一）工作总量是具体数量的工程问题 例 1 建筑工地需要 1200 吨水泥，用甲车队运需要 15 天，用乙车队运需要 10 天。两队 合运需要多少天？（适于四年级程度） 解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量 1200 吨，还给出了甲、 乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队 的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”， 求出两队合运需用多少天。 甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率） 1200÷15=80（吨） 乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率） 1200÷10=120（吨） 两个车队一天共运的吨数： 80+120=200（吨） 两个车队合运需用的天数： 1200÷200=6（天） 综合算式： 1200÷（1200÷15+1200÷10） =1200÷（80+120） =1200÷200 =6（天） 答略。 284 *例 2 生产 350 个零件，李师傅 14 小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度） 解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。 李师傅 1 小时可完成： 350÷14=25（个） 由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小 时完成： 350÷10=35（个） 小王单独工作一小时可完成： 35-25=10（个） 小王单独做这批零件需要： 350÷10=35（小时） 综合算式： 350÷（350÷10-350÷14） =350÷（35-25 =350÷10 =35（小时） 答略。 *例 3 把生产 2191 打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾 128 打，乙 组每小时生产毛巾 160 打。乙组生产 2 小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产 1 打。 乙组生产了多长时间？（适于四年级程度） 解：两组共同生产的总任务是： 2191-160×2+1=1872（打） 两组共同生产的时间是： 1872÷（160+128）=6.5（小时） 乙组生产的时间是： 285 6.5+2=8.5（小时） 综合算式： （2191-160×2+1）÷（160+128）+2 =1872÷288+2 =6.5+2 =8.5（小时） 答略。 一同生产用了多少小时？（适于六年级程度） 解：两台机器一同生产的个数是： 108-45=63（个） 第一台机器每小时生产： 第二台机器每小时生产： 两台机器一同生产用的时间是： 63÷（4+5）=7（小时） 综合算式： 答略。 286 （二）工作总量不是具体数量的工程问题 例 1 一项工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 16 天完成。甲、乙两队合做，多少 天可以完成？（适于六年级程度） 解：把这项工程的工作总量看作 1。甲队单独做 24 天完成，做 1 天完成 答略。 例 2 一项工程，由甲工程队修建需要 20 天，由乙工程队修建需要 30 解：把这项工程的工作总量看作 1，由甲工程队修建需要 20 天，知甲工 答略。 例 3 一项工程，甲、乙合做 5 天可以完成，甲单独做 15 天可以完成。乙单独做多少天可 以完成？（适于六年级程度） 287 解：把这项工程的工作量看作 1。甲、乙合做 5 天可以完成，甲、乙合 需要多长的时间。 =7.5（天） 答：乙单独做 7.5 天可以完成。 例 4 有一个水箱，用甲水管注水 10 分钟可以注满，用乙水管注水 8 分钟可以注满。甲、 乙两管同时开放 2 分钟后，注入水箱中的水占水箱容量的几分之几？（适于六年级程度） 解：把水箱的容量看作 1。用甲水管注水 10 分钟可以注满，则甲水管 1 的： 答略。 例 5 一项工程，由甲、乙、丙三人各自单独做分别要用 6 天、3 天、2 天完成任务。如果 三人合作需要几天完成任务？（适于六年级程度） 解：甲、乙、丙三人各自单独做分别要用 6 天、3 天、2 天完成任务， 288 =1（天） 答略。 所以，乙单独做可以完成的时间是： 综合算式： =6（天） 答略。 以完成？（适于六年级程度） 解：甲队独做 3 天，乙队独做 5 天所完成的工作量，相当于甲乙两队合做 3 天，乙队再 独做 2 天所完成的工作量。这时完成了全工程的： 289 乙队单独做完成的时间是： 答略。 *例 8 加工一批零件，甲独做需要 3 天完成，乙独做需要 4 天完成。两人同时加工完成任 务时，甲比乙多做 24 个。这批零件有多少个？（适于六年级程度） 解：解这道题的关键是，求出 24 个零件相当于零件总数的几分之几。 完成任务时甲比乙多做： 290 综合算式： 答略。 *例 9 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。甲、乙合做了数天后，乙因 事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了 14 天。乙请假几天？（适于六年级程度） 解：根据“甲单独做 20 天完成”和“从开工到完成任务共用了 14 天”，可知甲做了全工程的： 乙做了全工程的： 乙请假的天数是： 14-9=5（天） 综合算式： 291 答略。 *例 10 一项工程，乙队单独做需要 15 天完成。甲、乙两队合做，比乙队单独做可提前 6 天完成。如果甲、乙两队合做 5 天后，再由甲队单独做，甲队还需要多少天才能完成？（适 于六年级程度） 解：设这项工程为 1，则乙队每天做： 两队合做时每天做： 甲队每天做： 两队合做 5 天后剩下的工作量是： 甲队做剩的工作还需要的时间是： 综合算式： 答略。 292 （三）用解工程问题的方法解其他类型的应用题 例 1 甲、乙两地相距 487 千米。李华驾驶摩托车从甲地到乙地，需要 1 小时；王明骑自 行车从乙地到甲地需要 3 小时。照这样的速度，两人分别从两地同时相向出发，经过几小时 在途中相遇？ 一般解法：（适于四年级程度） 用解工程问题的方法解：（适于六年级程度） 把全程看作 1。李华驾驶摩托车从甲地到乙地需要 1 小时，李华的速度就是 1；王明骑自 行车从乙地到甲地需要 3 小时，王明每 1 小时要行全程的 例 2 某学校食堂购进一车煤，原计划烧 60 天。由于改进了炉灶的构造，实际每天比原来 少烧 10 千克，这样这车煤烧了 70 天。这车煤重多少千克？ *一般解法：（适于四年级程度） 10×60÷（70-60）×70 =4200（千克） 答：这车煤重 4200 千克。 用解工程问题的方法解：（适于六年级程度） 293 答略。 一般解法：（适于六年级程度） 答略。 用解工程问题的方法解：（适于六年级程度） 如果把这批零件的总数作为一项“工程”，以 1 表示，则这个工厂计划 因此，实际需要的天数是： 294 答略。 （四）用份数法解工程问题 例 1 一项工程，甲队单独做 9 天完成，乙队单独做 18 天完成。甲、乙两队合做 4 天后， 剩下的任务由乙队单独做。乙队还需要几天才能完成？（适于六年级程度） 解：把整个工程的工作量平均分成 9×18=162（份） 甲队每天可以完成： 162÷9=18（份） 乙队每天可以完成： 162÷18=9（份） 甲、乙两队合做每天共完成： 18+9=27（份） 两队 4 天共完成： 27×4=108（份） 两队合做 4 天后，剩下的工程是： 162-108=54（份） 剩下的任务由乙队单独做，需要的天数是： 54÷9=6（天） 综合算式： [9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4]÷9 =[162-108]÷9 =6（天） 答略。 例 2 一项工程，甲队单独做 16 天完成，乙队单独做 20 天完成。甲队先做 7 天，然后由 甲、乙两队合做。甲、乙两队合做还要多少天才能完成？（适于六年级程度） 解：把这项工程的总工作量看做 16×20 份，则甲队每天做 20 份，乙队每天做 16 份。 295 甲队先做 7 天，完成的工作量是： 20×7=140（份） 甲队做 7 天后，剩下的工作量是： 16×20-140=180（份） 甲、乙两队合做，一天可以完成： 20+16=36（份） 甲、乙两队合做还需要的天数是： 180÷36=5（天） 答略。 例 3 一个水池装有进、出水管各一个。单开进水管 10 分钟可将空池注满，单开出水管 1 2 分钟可将满池水放完。若两管齐开多少分钟可将空池注满？（适于六年级程度） 解：把注满全池水所用的时间看作 10×12 份，当进水管进 12 份的水量时，出水管可放出 10 份的水量，进出水相差的水量是： 12-10=2（份） 甲、乙两管齐开注满水池所用的时间是： 10×12÷2=60（分钟） 答：若两管齐开 60 分钟可将空池注满。 （五）根据时间差解工程问题 例 1 师、徒二人共同加工一批零件，需要 4 小时完成。师傅单独加工这批零件需要 5 小 时完成。师、徒二人共同加工完这批零件时，徒弟加工了 30 个。这批零件有多少个？（适于 六年级程度） 解：从时间差考虑，师、徒共同加工完的时间与师傅单独加工完的时间相差 5-4=1（小时）。 这说明师傅 1 小时加工的零件数等于徒弟 4 小时加工的零件数。 所以，师傅 5 小时加工的零件就是这批零件的总数： 30×5=150（个） 答略。 296 例 2 一份稿件需要打字，甲、乙两人合打 10 天可以完成。甲单独打 15 天可以完成。乙 单独打需要几天完成？（适于六年级程度） 解：从时间差考虑，甲、乙两人合打完成与甲单独打完，两者的时间差是 15-10=5（天）， 这说明甲 5 天的工作量相当于乙 10 天的工作量。 那么，甲 15 天的工作量，乙要工作： 10÷5×15=30（天） 答：乙单独打需要 30 天完成。 例 3 一辆快车和慢车同时分别从 A、B 两站相对开出，经过 12 小时相遇。已知快车行完 全程需要 20 小时。求两车相遇后慢车还要行多少小时才能到达 A 站？（适于六年级程度） 解：从时间差考虑，两车相遇与快车行完全程的时间差是 20-12=8（小时）。这说明快车 8 小时行的路程相当于慢车 12 小时行的路程。那么快车行 12 小时的路程，慢车要行多长时 间？也就是两车相遇后慢车还要行驶而到达 A 点的时间。 12÷8×12=18（小时） 答略。 第三十七讲、解流水问题的方法 流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题 目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。 流水问题有如下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速 （1） 逆水速度=船速-水速 （2） 这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就 是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。 公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为 顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前 进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。 公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。 根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得： 水速=顺水速度-船速 （3） 297 船速=顺水速度-水速 （4） 由公式（2）可得： 水速=船速-逆水速度 （5） 船速=逆水速度+水速 （6） 这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就 可以求出第三个。 另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速 与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 （7） 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 （8） *例 1 一只渔船顺水行 25 千米，用了 5 小时，水流的速度是每小时 1 千米。此船在静水 中的速度是多少？（适于高年级程度） 解：此船的顺水速度是： 25÷5=5（千米/小时） 因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。 5-1=4（千米/小时） 综合算式： 25÷5-1=4（千米/小时） 答：此船在静水中每小时行 4 千米。 例 2 一只渔船在静水中每小时航行 4 千米，逆水 4 小时航行 12 千米。水流的速度是每小 时多少千米？（适于高年级程度） 解：此船在逆水中的速度是： 12÷4=3（千米/小时） 因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即： 4-3=1（千米/小时） 答：水流速度是每小时 1 千米。 298 *例 3 一只船，顺水每小时行 20 千米，逆水每小时行 12 千米。这只船在静水中的速度和 水流的速度各是多少？（适于高年级程度） 解：因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度 是： （20+12）÷2=16（千米/小时） 因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是： （20-12）÷2=4（千米/小时） 答略。 *例 4 某船在静水中每小时行 18 千米，水流速度是每小时 2 千米。此船从甲地逆水航行 到乙地需要 15 小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？ （适于高年级程度） 解：此船逆水航行的速度是： 18-2=16（千米/小时） 甲乙两地的路程是： 16×15=240（千米） 此船顺水航行的速度是： 18+2=20（千米/小时） 此船从乙地回到甲地需要的时间是： 240÷20=12（小时） 答略。 *例 5 某船在静水中的速度是每小时 15 千米，它从上游甲港开往乙港共用 8 小时。已知 水速为每小时 3 千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？（适于高年级程度） 解：此船顺水的速度是： 15+3=18（千米/小时） 甲乙两港之间的路程是： 18×8=144（千米） 此船逆水航行的速度是： 299 15-3=12（千米/小时） 此船从乙港返回甲港需要的时间是： 144÷12=12（小时） 综合算式： （15+3）×8÷（15-3） =144÷12 =12（小时） 答略。 *例 6 甲、乙两个码头相距 144 千米，一艘汽艇在静水中每小时行 20 千米，水流速度是 每小时 4 千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多 少小时？（适于高年级程度） 解：顺水而行的时间是： 144÷（20+4）=6（小时） 逆水而行的时间是： 144÷（20-4）=9（小时） 答略。 *例 7 一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时 8 千米，沿岸边的水流速度是每 小时 6 千米。一只船在河中间顺流而下，6.5 小时行驶 260 千米。求这只船沿岸边返回原地需 要多少小时？（适于高年级程度） 解：此船顺流而下的速度是： 260÷6.5=40（千米/小时） 此船在静水中的速度是： 40-8=32（千米/小时） 此船沿岸边逆水而行的速度是： 32-6=26（千米/小时） 此船沿岸边返回原地需要的时间是： 300 260÷26=10（小时） 综合算式： 260÷（260÷6.5-8-6） =260÷（40-8-6） =260÷26 =10（小时） 答略。 *例 8 一只船在水流速度是 2500 米/小时的水中航行，逆水行 120 千米用 24 小时。顺水 行 150 千米需要多少小时？（适于高年级程度） 解：此船逆水航行的速度是： 120000÷24=5000（米/小时） 此船在静水中航行的速度是： 5000+2500=7500（米/小时） 此船顺水航行的速度是： 7500+2500=10000（米/小时） 顺水航行 150 千米需要的时间是： 150000÷10000=15（小时） 综合算式： 150000÷（120000÷24+2500×2） =150000÷（5000+5000） =150000÷10000 =15（小时） 答略。 *例 9 一只轮船在 208 千米长的水路中航行。顺水用 8 小时，逆水用 13 小时。求船在静 水中的速度及水流的速度。（适于高年级程度） 301 解：此船顺水航行的速度是： 208÷8=26（千米/小时） 此船逆水航行的速度是： 208÷13=16（千米/小时） 由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是： （26+16）÷2=21（千米/小时） 由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是： （26-16）÷2=5（千米/小时） 答略。 *例 10 A、B 两个码头相距 180 千米。甲船逆水行全程用 18 小时，乙船逆水行全程用 15 小时。甲船顺水行全程用 10 小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级程度） 解：甲船逆水航行的速度是： 180÷18=10（千米/小时） 甲船顺水航行的速度是： 180÷10=18（千米/小时） 根据水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度： （18-10）÷2=4（千米/小时） 乙船逆水航行的速度是： 180÷15=12（千米/小时） 乙船顺水航行的速度是： 12+4×2=20（千米/小时） 乙船顺水行全程要用的时间是： 180÷20=9（小时） 综合算式： 180÷[180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3] 302 =180÷[12+（18-10）÷2×2] =180÷[12+8] =180÷20 =9（小时） 答略。 第三十八讲 解植树问题的方法 植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。植树应用题 基本分为两类：沿路旁植树；沿周长植树。 沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分成的段数多 1；沿周长植树， 因为首尾两端重合在一起，所以，植树的棵数和所分成的段数相等。 解答植树问题的基本方法是： （1）沿路旁植树 棵数=全长÷间隔+1 间隔=全长÷（棵数-1） 全长=间隔×（棵数-1） （2）沿周长植树 棵数=全长÷间隔 间隔=全长÷棵数 全长=间隔×棵数 （一）沿路旁植树 例 1 有一段路长 720 米，在路的一边每间隔 3 米种 1 棵树。问这样可以种多少棵树？（适 于三年级程度） 解：根据棵数=全长÷间隔+1 的关系，可得： 720÷3+1 =240+1 303 =241（棵） 答：可以种 241 棵树。 例 2 在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有 14 个车站，每两个车站间的平均 距离是 1200 米。这条马路有多长？（适于三年级程度） 解：根据全长=间隔×（棵数-1）的关系，可得： 1200×（14-1） =1200×13 =15600（米） 答：这条马路长 15600 米。例 3 要在 612 米长的水渠的一岸植树 154 棵。每相邻两棵树 间的距离是多少米？（适于三年级程度） 解：根据“间隔=全长÷（棵数-1）”的关系，可得： 612÷（154-1） =612÷153 =4（米） 答：每相邻两棵树间的距离是 4 米。 例 4 两座楼房之间相距 60 米，现要在两座楼房之间栽树 9 棵。每两棵树的间隔是多少米？ （适于三年级程度） 解：因为在 60 米的两端是两座楼房，不能紧挨着楼房的墙根栽树，所以，把 60 米平均分 成的段数要比树的棵数多 1。由距离和段数便可求出两棵树之间的距离： 60÷（9+1） =60÷10 =6（米） 答：每两棵树的间隔是 6 米。 *例 5 原计划沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻两根间的距离 50 米。实际上在公路一 旁只埋了 201 根电线杆。求实际上每两根电线杆之间的距离。（适于四年级程度） 解：题中所埋电线杆的根数比段数多 1，因此在计算段数时，要从根数减去 1，才得段数。 50×（301-1）÷（201-1） 304 =50×300÷200 =75（米） 答：实际上每两根电线杆之间的距离是 75 米。 （二）沿周长植树 例 1 在周长是 480 米的圆形养鱼池周围，每隔 12 米栽一棵树。一共可以栽多少棵树？（适 于三年级程度） 解：根据棵数=全长÷间隔，可求出一共栽树的棵数： 480÷12=40（棵） 答：一共可以栽 40 棵树。 例 2 一个圆形湖的周长是 945 米，沿着湖的周长栽了 270 棵树。求相邻两棵树间的距离 是多少米？（适于三年级程度） 解： 945÷270=3.5（米） 答：相邻两棵树间的距离是 3.5 米。 例 3 一块长方形场地，长 300 米，宽比长少 50 米。从这个长方形的一个角开始，沿长方 形的周长栽树，每隔 10 米栽一棵。这块场地周围可以栽树多少棵？（适于四年级程度） 解：先求出长方形场地的周长，再求可栽树多少棵。 （300+300-50）×2÷10 =550×2÷10 =1100÷10 =110（棵） 答：可以栽树 110 棵。 *例 4 有一个圆形花坛，绕它走一圈是 120 米。如果在花坛周围每隔 6 米栽一株丁香花， 再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少 株？每 2 株紧相邻的月季花相距多少米？（适于四年级程度） 解：根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数： 120÷6=20（株） 305 由于是在每相邻的 2 株丁香花之间栽 2 株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相 等，因此，可栽月季花： 2×20=40（株） 由于 2 株丁香花之间的 2 株月季花是紧相邻的，而 2 株丁香花之间的距离被 2 株月季花分 为 3 等份，因此紧相邻 2 株月季花之间距离为： 6÷3=2（米） 答：可栽丁香花 20 株，可栽月季花 40 株，2 株紧相邻月季花之间相距 2 米。 例 5 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为 3 米的圆周上，按弧长计算，每隔 2 米 植一棵树，共植了 314 棵。水池的周长是多少米？（适于六年级程度） 解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是： 2×314=628（米） 这个圆的直径是： 628÷3.14=200（米） 由于树是植在距离岸边均为 3 米的圆周上，所以圆形水池的直径是： 200-3×2=194（米） 圆形水池的周长是： 194×3.14=609.16（米） 综合算式： （2×314÷3.14-3×2）×3.14 =（200-6）×3.14 =194×3.14 =609.16（米） 答略。 第三十九讲 解时钟问题的方法 研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。 306 钟表的分针每小时走 60 个小格，而时针每小时只走 5 个小格；分针每分 出题中所要求的时间。 解题规律： （1）求两针成直线所需要的时间，有： （3）求两针重合所需要的时间，有： 求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各种不同位置的时刻。 （一）求两针成直线所需要的时间 *例 1 在 7 点钟到 8 点钟之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度） 解：在 7 点钟的时候，分针在时针后面（图 39-1）： 5×7=35（格） 当分针与时针成直线时，两针的间隔是 30 格。因此，只需要分针追上时针： 35-30=5（格） 307 综合算式： *例 2 在 4 点与 5 点之间，分针与时针什么时候 成直线？（适于高年级程度） 解：4 点钟时，分针在时针的后面（图 39-2）： 5×4=20（格） 当分针与时针成直线时，分针不仅要追上已落后的 20 格，还要超过时针 30 格，所以一共 要追上： 20+30=50（格） 308 综合算式： （二）求两针成直角所需要的时间 *例 1 在 6 点到 7 点之间，时针与分针什么时候成直角？（适于高年级程度） 解：分针与时针成直角时，分针在时针前面 15 格或时针后面 15 格，因此，本题有两个答 案。 （1）6 点钟时，分针在时针后面（图 39-3）： 5×6=30（格） 因为两针成直角时，分针在时针后面 15 格，所以分针追上时针的格数是： 30-15=15（格） 309 综合算式： （2）以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时，分针在时针前面 15 格， 所以分针不仅追上时针，而且要超过时针： 5×6+15=45（格） 综合算式： *例 2 在 1 点到 2 点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度） 解：1 点钟时，分针在时针后面： 310 5×1=5（格） 当分针与时针成直角时，两针间隔是 15 格，因此，分针不仅要追上时针 5 格，而且要超 过时针 15 格，分针实际追上时针的格数是： 5+15=20（格） 综合算式： 当分针走到时针前面 45 格（也就是走到时针后面 15 格）时，两针也成直角。因此，所需 时间是： *例 3 在 11 点与 12 点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度） 解：在 11 点钟时，分针在时针后面： 5×11=55（格） 311 第一次两针成直角时，分针是在时针后面 45 格，因此，分针需要追上时针的格数是： 55-45=10（格） 综合算式： （三）求两针重合所需要的时间 在 11 点到 1 点之间，两针除在 12 点整重合外，其他每一点钟之间都有一次重合。 *例 1 3 点钟到 4 点钟之间，分针与时针在什么时候重合？（适于高年级程度） 解：在 3 点钟时，分针在时针后面： 5×3=15（格） 312 *例 2 在 4 点与 5 点之间，两针什么时候重合？（适于高年级程度） 解：在 4 点钟时，分针在时针后面 5×4 格，分针只要追上时针 4×5 格，两针就重。 “时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离 不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟 表，如果没有钟表，生活就乱套了。 时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面 的一周分为 60 格，分针每走 60 格，时针正好走 5 格，所以时针的速度是 分针速度 313 垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不 同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。 例 1 现在是 2 点，什么时候时针与分针第一次重合？ 分析：如右图所示，2 点分针指向 12，时针指向 2，分针在时针后面 例 2 在 7 点与 8 点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？ 分析与解：7 点时分针指向 12，时针指向 7（见右图），分针在时针 后 面 5×7＝35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差 15 格，在 7 点与 8 点之间，有下图所示的两种情况： 314 （1）顺时针方向看，分针在时针后面 15 格。从 7 点开始，分针要比 时针多走 35-15=20（格），需 （2）顺时针方向看，分针在时针前面 15 格。从 7 点开始，分针要比 时针多走 35＋15＝50（格），需 例 3 在 3 点与 4 点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？ 分析与解：3 点时分针指向 12，时针指向 3（见右图），分针在时针 后 面 5×3＝15（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重 合、时针与分针成 180°角两种情况（见下图）： （1）时针与分针重合。从 3 点开始，分针要比时针多走 15 格，需 15 ÷ （2）时针与分针成 180°角。从 3 点开始，分针要比时针多走 15＋30 315 例 4 晚上 7 点到 8 点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针 正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？ 分析与解：这道题可以利用例 3 的方法，先求出开始的时刻和结束的 时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针 成 180°，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走 30 格，所以播 出时间为 例 1～例 4 都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程 差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。但是，有些时钟问题不 太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变 为相遇问题，那么有时反而更容易。 例 5 3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3” 的两边？ 分析与解：假设 3 点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇 的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是 15 个格。 316 例 6 小明做作业的时间不足 1 时，他发现结束时手表上时针、分针的 位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时 间？ 分析与解：从左上图我们可以看出，时针从 A 走到 B，分针从 B 走到 A， 两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从 B 出 发，反向而行，它们在 A 点相遇。两针所行的 时间是： 第四十讲 几何变换法 利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。 在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形 出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对 图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。 （一）添辅助线法 有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的 辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。 317 *例 1 求图 40-1 阴影部分的面积。（单位：平方米）（适于三年级程度） 解：图 40-1 中，右边两个部分的面积分别是 20 平方米和 30 平方米，所以可如图 40-2 那样添上三条辅助线，把整个长方形分成 5 等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。 同时，左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是： 25÷2=12.5（平方米） 所以，阴影部分的面积是： 12.5×3=37.5（平方米） 答略。 *例 2 如图 40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是 10 平方厘米，高是 5 厘米。求 EC 的长。（单位：厘米）（适于五年级程度） 解：如图 40-4，过 E 点作 AB 的平行线 EF，则△AEF 与△ABE 是等底等高的三角形。 所以，△AEF 的面积与△ABE 的面积相等。 小平行四边形 EFDC 的面积就是 10 平方厘米。 因为它的高是 5 厘米，所以， EC=10÷5=2（厘米） 答：EC 长 2 厘米。 *例 3 如图 40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。 （单位：厘米）（适于五年级程度） 解：这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。 如图 40-6，把 AD 和 BC 两条线段分别延长，使它们相交于 E 点。这样，四边形 ABCD 的面积就可以转化为△ABE 的面积与△DCE 的面积之差。 318 在△ABE 中，∠A 是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE 是等腰直角三角形。所以 AB=AE=7（厘米），则△ABE 的面积是： 7×7÷2=24.5（平方厘米） 在△DCE 中，∠DCE 是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE 是等腰直角三 角形。所以，CD=CE=3 厘米，则△DCE 的面积是： 3×3÷2=4.5（平方厘米） 所以，四边形 ABCD 的面积是： 24.5-4.5=20（平方厘米） 答略。 （二）分割法 分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过 的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。 例 1 计算图 40-7 的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度） 解：如图 40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计 算出它们的面积，再把两个面积相加。 ［2+（8-4）］×（6-4）÷2+4×8 =6+32 =38（平方厘米） 319 答：图形的面积是 38 平方厘米。 例 2 图 40-9 中，ABCD 是长方形，AB=40 厘米，BC=60 厘米，E、F、G、H 是各边的 中点。求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度） 解：如图 40-10，在图中添加辅助线 EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。 先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以 2。 三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。 60×（40÷2）÷2×2 =60×20 =1200（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 1200 平方厘米。 *例 3 求图 40-11 中各组合体的体积。（单位：厘米）（适于六年级程度） 解：如图 40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积， 再用加法、减法算出各组合体的体积。 320 （三）割补法 在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹 陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割 补法。 例 1 求图 40-13 阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度） 成了一个梯形如图 40-14，这个梯形的面积就是图 40-13 中的阴影部分的面积。 答：阴影部分的面积是 45 平方厘米。 *例 2 求图 40-15 中阴影部分的面积。（单位：米）（适于六年级程度） 321 16×16×2=512（平方米） 答：阴影部分的面积是 512 平方米。 *例 3 图 40-17 中，ABCD 是正方形，ED=DA=AF=2 厘米。求图中阴影部分的面积。（适 于六年级程度） 解：经割补，把图 40-17 组合成图 40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白 扇形的面积，便得到阴影部分的面积。 322 答：图中阴影部分的面积是 2.43 平方厘米。 （四）平移法 在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的 距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移 法。 例 1 计算图 40-19 中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于六年级程度） 解：把图 40-19 中右边正方形中的阴影部分向左平移 5 厘米，图 40-19 中的阴影部分便 转化为图 40-20 中的正方形。图 40-20 中阴影正方形的面积就是图 40-19 阴影部分的面积。 5×5=25（平方厘米） 答略。 *例 2 求图 40-21 中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于三年级程度） 解：按图 40-22 箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图 40-23 箭头指 示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图 40-21 阴影部分的周长便转化为求图 40-24 的周长和两条竖线长之和的问题了。 （5+4）×2+2×2 =9×2+4 323 =22（厘米） 答略。 *例 3 求图 40-25S 形水泥弯路面的面积。（单位：米）（适于三年级程度） 解：把图 40-25 中水泥弯路面左边的甲部分向右平移 2 米，使 S 形水泥路面的两条边重 合，图 40-25 便转化为图 40-26，S 形水泥路面的面积转化为图 40-26 中的阴影部分的面积。 S 形水泥路的面积是： 30×2=60（平方米） 答略。 （五）旋转法 将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看 出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。 *例 1 计算图 40-27 阴影部分的面积。（单位：分米）（适于六年级程度） 图 40-27 便转化为图 40-28。图 40-28 中梯形的面积就是图 40-27 中的阴影面积。 答略。 324 例 2 图 40-29 中，小圆的半径是 10 厘米，中圆的半径是 20 厘米，大圆的半径是 30 厘 米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度） 解：把图 40-29 中的小圆向逆时针方向旋转 90 度，把中环向顺时针方向旋转 90 度，图 40-29 便转化为图 40-30。 很明显，图 40-29 阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。 答略。 *例 3 计算图 40-31 的阴影面积。（单位：厘米）（适于六年级程度） 解：把图 40-31 右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转 180 度，与左 边的半圆组成一个圆（图 40-32）。 325 此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的 直径 10 厘米，高等于圆的半径 5 厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分 的面积了。 答略。 （六）扩倍法 扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面积 或体积。 *例 1 求图 40-33 的面积。（单位：厘米）（适于三年级程度） 解：此题用分割法计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。如图 40-34 那样把图 40-33 扩大为原来的 2 倍，就会看出图 40-33 的面积是： （30+40）×30÷2=1050（平方厘米） 答略。 例 2 计算图 40-35 木块的体积。（单位：分米）（适于五年级程度） 解：在图 40-35 的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图 40-36。图 40-35 木块的体 积就是图 40-36 长方体木块体积的一半儿。 3×10×（3+2）÷2 326 =150÷2 =75（立方分米） 答略。 （七）缩倍法 缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大 为原来那么大。 例 1 图 40-37 中，每个小正方形的面积都是 2 平方厘米，求图中阴影部分的面积。（适 于五年级程度） 解：将图 40-37 中小正方形的面积先缩小 2 倍，则每个小正方形的面积都是 1 平方厘米， 边长都是 1 厘米。 从大长方形面积减去三个空白三角形的面积（即①、②、③三个部分的面积），得阴影部 分面积。 3×5-3×3÷2-2×1÷2-5×2÷2 =15-4.5-1-5 =4.5（平方厘米） 把 4.5 平方厘米扩大 2 倍，得阴影部分的实际面积。 4.5×2=9（平方厘米） 答略。 例 2 图 40-38 正方形的面积是 18 平方厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度） 327 解：先将正方形面积缩小 2 倍，18 平方厘米被转化为 9 平方厘米，则正方形的边长是 3 厘米。 先算出已经缩小的正方形中的阴影面积，然后再把它扩大 2 倍，就得到题中所求。 答略。 （八）剪拼法 有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解答。如果把这类图形剪成若 干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。 *例 1 计算图 40-39、图 40-40、图 40-41 的阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六 年级程度） 解：沿各图中的虚线，把各图剪成上、下两部分，再把下半部分翻过来，以它的背面与上 半部分的正面拼接，图 40-39、图 40-40、图 40-41 便转化为图 40-42、图 40-43、图 40-44 的形状。 很容易看出，图 40-39 的阴影面积等于大圆面积的一半。 图 40-40 的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。 328 图 40-41 的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积，加上小圆的面积。 答略。 *例 2 图 40-45 中每个大正方形的边长都是 2 厘米，求（1）～（10）各图阴影部分的面 积。（适于六年级程度） 解：作图 40-46，并把图 40-46 中的（1）画在一张透明纸上剪成（2）那样的 4 个小正 方形。如果画出两个（1），就可以剪出 8 个（2）那样的小正方形。 用（2）的 4 个小正方形，可以组合、拼接出图 40-45 中（1）～（5）中的任何一个图形。 这时可清楚地看出，图 40-45 中（1）～（5）每个图形的阴影部分的面积都与图 40-46 中（1）的阴影部分的面积相等，它们的面积都是： 329 2×2-3.14×1×1=0.86（平方厘米） 同理，用 8 个图 40-46 中（2）的小正方形可以组合、拼接出图 40-45 中（6）～（10） 的任何一个图形。 图 40-45 中（6）～（10）每个图形的阴影面积都是图 40-46 中（1）的阴影面积的 2 倍： （2×2-3.14×12）×2=1.72（平方厘米） 答略。 330 1、最值问题 【最小值问题】 例 1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的 中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相 邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距 5000 米，乙丙相距 8000 米，丙丁相距 4000 米，那么至少要增加______位民警。 （《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题） 讲析：如图 5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共 有 7 位民警。他们将上面的线段分为了 2 个 2500 米，2 个 4000 米，2 个 2000 米。现要在他们 各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将 2500、4000、2000 分成尽可能长的同样长的小路。 由于 2500、4000、2000 的最大公约数是 500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000 ＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。 例 2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在 A、B、C 的位置上，如图 5.92 所示，它们 爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？ （湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题） 讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达， 即各自行的路程相等。 我们可将正方体表面展开，如图 5.93，则 A、B、C 三点在同一平面上。这样，便将问题 转化为在同一平面内找出一点 O，使 O 到这三点的距离相等且最短。 331 所以，连接 A 和 C，它与正方体的一条棱交于 O；再连接 OB，不难得出 AO=OC=OB。 故，O 点即为三只蚂蚁会面之处。 【最大值问题】 例 1 有三条线段 a、b、c，并且 a＜b＜c。判断：图 5.94 的三个梯形中，第几个图形面 积最大？ （全国第二届“华杯赛”初赛试题） 讲析：三个图的面积分别是： 三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问 题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积 最大原理可知，（a＋b）×c 这组数的值最接近。 故图（3）的面积最大。 例 2 某商店有一天，估计将进货单价为 90 元的某商品按 100 元售出后，能卖出 500 个。 已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应 定为每个______元。 （台北市数学竞赛试题） 讲析：因为按每个 100 元出售，能卖出 500 个，每个涨价 1 元，其销量减少 10 个，所以， 这种商品按单价 90 元进货，共进了 600 个。 现把 600 个商品按每份 10 个，可分成 60 份。因每个涨价 1 元，销量就减少 1 份（即 10 个）；相反，每个减价 1 元，销量就增加 1 份。 332 所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为 60），根据等周长长方形面积最 大原理可知，当把 60 分为两个 30 时，即每个涨价 30 元，卖出 30 份，此时有最大的利润。 因此，每个售价应定为 90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。 2、最值规律 【积最大的规律】 （1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用 字母表示，就是 如果 a1+a2+…+an=b（b 为一常数）， 那么，当 a1=a2=…=an 时，a1×a2×…×an 有最大值。 例如，a1+a2=10， …………→…………； 1+9=10→1×9=9； 2+8=10→2×8=16； 3+7=10→3×7=21； 4+6=10→4×6=24； 4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75； 5+5=10→5×5=25； 5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75； …………→…………； 9+1=10→9×1=9； …………→………… 由上可见，当 a1、a2 两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为 0，即 a1=a2 时，它们的积就会变得最大。 333 三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。 由“积最大规律”，可以推出以下的结论： 结论 1 所有周长相等的 n 边形，以正 n 边形（各角相等，各边也相等的 n 边形）的面积 为最大。 例如，当 n=4 时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。 例题：用长为 24 厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？ 解 设长为 a 厘米，宽为 b 厘米，依题意得 （a+b）×2=24 即 a+b=12 由积最大规律，得 a=b=6（厘米）时，面积最大为 6×6=36（平方厘米）。 （注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。） 结论 2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。 例题：用 12 米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？ 解 设长方体的长为 a 米，宽为 b 米，高为 c 米，依题意得 （a+b+c）×4=12 即 a+b+c=3 由积最大规律，得 a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为 1×1×1=1（立方米）。 （2）将给定的自然数 N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是 2 或 3，并且 2 至多为两个时，这些自然数的积最大。 例如，将自然数 8 拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？ 我们可将各种拆法详述如下： 分拆成 8 个数，则只能是 8 个“1”，其积为 1。 分拆成 7 个数，则只能是 6 个“1”，1 个“2”，其积为 2。 334 分拆成 6 个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积 分别是 3 和 4。 分拆成 5 个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2， 2）。它们的积分别为 4，6，8。 分拆成 4 个数，可得 5 组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1， 2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为 5，8，9，12，16。 分拆成 3 个数，可得 5 组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）； （2，3，3）。它们的积分别为 6，10，12，16，18。 分拆成 2 个数，可得 4 组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别 为 7，12，15，16。 分拆成一个数，就是这个 8。 从上面可以看出，积最大的是 18=3×3×2。 可见，它符合上面所述规律。 用同样的方法，将 6、7、14、25 分拆成若干个自然数的和，可发现 6=3+3 时，其积 3×3=9 为最大； 7=3+2+2 时，其积 3×2×2=12 为最大； 14=3+3+3+3+2 时，其积 3×3×3×3×2=162 为最大； 由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。 【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达， 就是如果 a1×a2×…×an=c（c 为常数）， 那么，当 a1=a2=…=an 时，a1+a2+…+an 有最小值。 例如，a1×a2=9， …………→………… 335 1×9=9→1+9=10； 3×3=9→3+3=6； …………→………… 由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为 0 时，它们的和为最 小。 例题：用铁丝围成一个面积为 16 平方分米的长方形，如何下料，材料最省？ 解 设长方形长为 a 分米，宽为 b 分米，依题意得 a×b=16。 要使材料最省，则长方形周长应最小，即 a+b 要最小。根据“和最小规律”，取 a=b=4（分米） 时，即用 16 分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。 推论 由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。 例如，面积均为 4 平方分米的正方形和圆，正方形的周长为 8 分米；而 的周长小于正方形的周长。 【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。 为 0.433×6=2.598（平方分米）。 336 方形的面积。 推论 由这一面积变化规律，可以推出下面的结论： 在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。 例如，周长为 4 分米的正方形面积为 1 平方分米；而周长为 4 分米的圆， 于和它周长相等的正方形面积。 【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正 n 边形，各面角和各二面角相等 的多面体）中，面数越多，体积越大。 例如，表面积为 8 平方厘米的正四面体 S—ABC（如图 1.30），它每一个面均为正三角形， 每个三角形面积为 2 平方厘米，它的体积约是 1.1697 立方厘米。而表面积为 8 平方厘米 长约为 1.1546 厘米，体积约为 1.539 立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。 推论 由这一体积变化规律，可推出如下结论： 在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。 例如，表面积为 8 平方厘米的正四面体，体积约为 1.1697 立方米；表面积为 8 平方厘米 的正六面体（正方体），体积约为 1.539 立方厘米；而表面积是 8 平方厘米的球，体积却约有 2.128 立方厘米。可见上面的结论是正确的。 【排序不等式】 对于两个有序数组： a1≤a2≤…≤an 及 b1≤b2≤…≤bn， 则 a1b1+a2b2+……+anb 抇 n（同序） T≥a1b 抇 1+a2b 抇 2+……+anb 抇 n（乱序）≥a1b 337 n+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中 b 抇 1、b 抇 2、……、b 抇 n 为 b1、b2、……、bn 的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当 a1=a2=…=an，或 b1=b2=…=bn 时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有 10 个人各拿一只水桶， 同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要 1、2、3、……、 9、10 分钟。问：如何安排这 10 个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这 个总费时至少是多少分钟？ 解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。 打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成 1，2，3，……，9，10。 根据排序不等式，最小积的和为倒序，即 1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1 =（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2 =（10+18+24+28+30）×2 =220（分钟） 其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。 338 3、最优方案与最佳策略 【最优方案】 例 1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在 A、B、C、D 四台不同设备上加工 2、1、4、0 小时；每件乙产品需分别在 A、B、C、D 四台不同设备上加工 2、2、0、4 小时。已知 A、B、C、D 四台设备，每天最多能转动的时间分别是 12、8、16、12 小时。生产一件甲产品该厂得利润 200 元，生产一件乙产品得利润 300 元。问：每天如何安排 生产，才能得到最大利润？ （中国台北第一届小学数学竞赛试题） 讲析：设每天生产甲产品 a 件，乙产品 b 件。由于设备 A 的转动时间每天最多为 12 小时， 则有：（2a＋2b）不超过 12。 又（a＋2b）不超过 8， 4a 不超过 16， 4b 不超过 12。 由以上四个条件知， 339 当 b 取 1 时，a 可取 1、2、3、4； 当 b 取 2 时，a 可取 1、2、3、4； 当 b 取 3 时，a 可取 1、2。 这样，就是在以上情况下，求利润 200a＋300b 的最大值。可列表如下： 所以，每天安排生产 4 件甲产品，2 件乙产品时，能得到最大利润 1400 元。 例 2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备 都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月 联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______ 套。 （1989 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 的时间生产上 衣。所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。 如果甲厂全月生产裤子，则可生产 如果乙厂全月生产上衣，则可生产 把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成 2100 套成衣，这时甲厂生产 150 条裤子的时间 可用来生产成套的成衣 340 故现在比过去每月可以多生产 60 套。 【最佳策略】 例 1 A、B 二人从 A 开始，轮流在 1、2、3、……、1990 这 1990 个数中划去一个数，直到 最后剩下两个数互质，那么 B 胜，否则 A 胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？ （《中华电力杯》少年数学竞赛试题） 讲析：将这 1990 个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、 1990）。 当 A 任意在括号中划去一个时，B 就在同一个括号中划去另一个数。这样 B 就一定能获胜。 例 2 桌上放有 1992 根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为 1 根或 2 根，规定 取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？ （1992 年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题） 讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取 3 根。谁要抢到第 1992 根，谁就必须抢 到第 1989 根，进而抢到第 1986、1983、1980、…、6、3 根。 谁抢到第 3 根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。 后者获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴梗时，他紧接着取一次，每次取的根数与先 取的加起来的和等于 3。 例 3 有分别装球 73 个和 118 个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最 后一球者为胜。问：若要先取者为获胜，应如何取？ （上海市数学竞赛试题） 讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之 后，使两箱球保持相等。这样，先取者一定获胜。 341 4、直接思路 “直接思路”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解 题的途径。 【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决 的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的 问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的 方法叫“综合法”。 例 1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟 200 米，弟弟出发 5 分钟后，哥 哥带一条狗出发，以每分钟 250 米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟 300 米的速度向弟弟追去， 追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少 千米？ 342 分析（按顺向综合思路探索）： （1）根据弟弟速度为每分钟 200 米，出发 5 分钟的条件，可以求什么？ 可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。 （2）根据弟弟速度为每分钟 200 米，哥哥速度为每分钟 250 米，可以求什么？ 可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。 （3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为 1000 米，每分钟可追上的距离为 50 米， 根据这两个条件，可以求什么？ 可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。 （4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁 用的时间是一样的？ 狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。 （5）已知狗以每分钟 300 米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为 止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？ 可以求出这时狗总共跑了多少距离？ 这个分析思路可以用下图（图 2.1）表示。 例 2 下面图形（图 2.2）中有多少条线段？ 分析（仍可用综合思路考虑）： 343 我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基 本线段，那么就可以这样来计数。 （1）左端点是 A 的线段有哪些？ 有 AB AC AD AE AF AG 共 6 条。 （2）左端点是 B 的线段有哪些？ 有 BC、BD、BE、BF、BG 共 5 条。 （3）左端点是 C 的线段有哪些？ 有 CD、CE、CF、CG 共 4 条。 （4）左端点是 D 的线段有哪些？ 有 DE、DF、DG 共 3 条。 （5）左端点是 E 的线段有哪些？ 有 EF、EG 共 2 条。 （6）左端点是 F 的线段有哪些？ 有 FG 共 1 条。 然后把这些线段加起来就是所要求的线段。 【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条 件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个） 问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思 路，运用这种思路解题的方法叫分析法。 例 1 两只船分别从上游的 A 地和下游的 B 地同时相向而行，水的流速为每分钟 30 米，两 船在静水中的速度都是每分钟 600 米，有一天，两船又分别从 A、B 两地同时相向而行，但这 次水流速度为平时的 2 倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差 60 米，求 A、B 两地间的距 离。 分析（用分析思路考虑）： （1）要求 A、B 两地间的距离，根据题意需要什么条件？ 需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。 （2）要求两船的速度和，必要什么条件？ 344 两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟 600 米，那么不论其水速 是否改变，其速度和均为（600+600）米，这是因为顺水船速为：船速+水速，逆水船速为：船 速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2 个船速（实为船在静水中 的速度） （3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？ 两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的 速度第二次比第一次每分钟增加了 30 米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离 原相遇点 60 米，由此可知两船相遇的时间为 60÷30=2（小时）。 此分析思路可以用下图（图 2.3）表示： 例 2 五环图由内径为 4，外径为 5 的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影 部分）的面积都相等（如图 2.4），已知五个圆环盖住的总面积是 122.5，求每个小曲边四边 形的面积（圆周率π取 3.14） 分析（仍用逆向分析思路探索）： （1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？ 曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道 8 个小曲边四边形的总面积，则只要用 8 个曲边四边形总面积除以 8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了。 （2）要求 8 个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？ 8 个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面 积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。 （3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？ 345 求出一个圆环的面积，然后乘以 5，就是五个圆环的总面积。 （4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？ 已知圆环的内径（4）和外径（5），然后按圆环面积公式求就是了。 圆环面积公式为： S 圆环=π（R2-r2） =π（R＋r）（R－r） 其思路可用下图（图 2.5）表示： 【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时， 两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中 间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路简明实用。 例 1 一只桶装满 10 千克水，另外有可装 3 千克和 7 千克水的两只空桶，利用这三只桶， 怎样才能把 10 千克水分为 5 千克的两份？ 分析（用一步倒推思路考虑）： （1）逆推第一步：把 10 千克水平分为 5 千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？ 因为有一只可装 3 千克水的桶，只要在另一只桶里剩 2 千克水，利用 3＋2=5，就可以把 水分成 5 千克一桶，所以关键是要先倒出一个 2 千克水。 （2）按条件顺推。第一次：10 千克水倒入 7 千克桶，10 千克水桶剩 3 千克水，7 千克水 倒入 3 千克桶，7 千克水桶剩 4 千克水，3 千克水桶里有水 3 千克；第二次：3 千克桶的水倒 入 10 千克水桶，这时 10 千克水桶里有水 6 千克，把 7 千克桶里的 4 千克水倒入 3 千克水桶里， 这时 7 千克水桶里剩水 1 千克，3 千克水桶里有水 3 千克；第三次：3 千克桶里的水倒入 10 346 千克桶里，这时 10 千克桶里有水 9 千克，7 千克桶里的 1 千克水倒入 3 千克桶里，这时 7 千 克桶里无水，3 千克桶里有水 1 千克；第四次：10 千克桶里的 9 千克水倒入 7 千克桶里，10 千克水桶里剩下 2 千克水，7 千克桶里的水倒入 3 千克桶里（原有 1 千克水），只倒出 2 千克 水，7 千克桶里剩水 5 千克，3 千克桶里有水 3 千克，然后把 3 千克桶里的 3 千克水倒 10 千克 桶里，因为原有 2 千克水，这时也正好是 5 千克水了。 其思路可用下图（图 2.6 和图 2.7）表示： 问题： 例 2 今有长度分别为 1、2、3……9 厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选 用若干条线段组成正方形？ 分析（仍可用一步倒推思路来考虑）： （1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条 件是什么？ 根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种 组成方法。 347 （2）从条件顺推。 ①因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要 7 条，最多用了 9 条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+…… ②当边长为 7 厘米时，各边分别由 1+6、2+5、3+4 及 7 组成，只有一种组成方法。 ③当边长为 8 厘米时，各边分别由 1+7、2+6、3+5 及 8 组成，也只有一种组成方法。 ④当边长为 9 厘米时，各边分别由 1+8、2+7、3+6 及 9；1＋8、2＋7、4+5 及 9；2＋7、3 ＋6、4+5 及 9；1＋8、3＋6、4＋5 及 9；1＋8、2+7、3＋6 及 4＋5 共 5 种组成方法。 ⑤当边长为 10 厘米时，各边分别由 1+9、2＋8、3＋7 及 4＋6 组成，也只有一种组成方法。 ⑤当边长为 11 厘米时，各边分别由 2+9、 3＋8、4＋7 及 5+6 组成，也只有一种组成方法。 ⑥将上述各种组成法相加，就是所求问题了。 此题的思路图如下（图 2.8）： 问题： 【还原思路】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问 题，这种解题思路叫还原思路。解这类问题，从最后结果往回算，原来加的用减、原来减的用 加，原来乘的用除，原来除的用乘。运用还原思路解题的方法叫“还原法”。 例 1 一个数加上 2，减去 3，乘以 4，除以 5 等于 12，你猜这个数是多少？ 348 分析（用还原思路考虑）： 从运算结果 12 逐步逆推，这个数没除以 5 时应等于多少？没乘以 4 时应等于多少？不减 去3时应等于多少？不加上2时又是多少？这里分别利用了加与减，乘与除之间的逆运算关系， 一步步倒推还原，直找到答案。 其思路图如下（图 2.9）： 条件： 例 2 李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。 试问酒壶中，原有多少酒？ 分析（用还原思路探索）： 李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题。题意是：李白提 壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添 1 倍，而每次见到香花，便饮酒作诗， 喝酒 1 斗。这样他遇店、见花经过 3 次，便把所有的酒全喝光了。问：李白的酒壶中原有酒多 少？ 下面我们运用还原思路，从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算。 见花前——有 1 斗酒。 第三次：见花后——壶中酒全喝光。 第三次：遇店前——壶中有酒半斗。 第一次：见花前——壶中有酒为第二次遇店前的再加 1 斗。 遇店前——壶中有酒为第一次见花前的一半。 其思路图如下 349 【假设思路】在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提 出假设、猜想，然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解题中，也离不开假设思 路，尤其是在解比较复杂的题目时，如能用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方 便。我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路，叫假设思路。 例 1 中山百货商店，委托运输队包运 1000 只花瓶，议定每只花瓶运费 0.4 元，如果损坏 一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失 5.1 元。结果运输队获得运费 382.5 元。问：损坏了 花瓶多少只？ 分析（用假设思路考虑）： （1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？ 0.4×1000=400（元）。 （2）而实际只有 383.5 元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不 给运费，而且还要赔偿损失 5.1 元，这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多 少元？ 0.4＋5.1=5.5（元） （3）总差额中含有一个 5.5 元，就损坏了一只花瓶，含有几个 5.5 元，就是损坏了几只 花瓶。由此便可求得本题的答案。 例 2 有 100 名学生在车站准备乘车去离车站 600 米的烈士纪念馆搞活动，等最后一人到 达纪念馆 45 分钟以后，再去离纪念馆 900 米的公园搞活动。现在有中巴和大巴各一辆，它们 的速度分别是每分钟 300 米和 150 米，而中巴和大巴分别可乘坐 10 人和 25 人，问最后一批学 生到达公园最少需要多少时间？ 分析（用假设思路思索）； 假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（600＋900）米。把在最后 1 人到达纪念 馆后停留 45 分钟，假设为在公园停留 45 分钟，则问题将大大简化。 （1）从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时间？ 中巴：（600+900）÷300×2=10（分钟） 350 大巴：（600+900）÷150×2=20（分钟） （2）中巴和大巴在 20 分钟内共可运多少人？ 中巴每次可坐 10 人，往返一次要 10 分钟，故 20 分钟可运 20 人。 大巴每次可坐 25 人，往返一次要 20 分钟，故 20 分钟可运 25 人。 所以在 20 分钟内中巴、大巴共运 45 人。 （3）中巴和大巴 20 分钟可运 45 人，那么 40 分钟就可运 45×2=90（人），100 人运走 90 人还剩下 10 人，还需中巴再花 10 分钟运一次就够了。 （4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运 90 人所需的时间，运 10 人所需的 时间，和在纪念馆停留的时间相加即可。 【消去思路】对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未 知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去 思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的。 例 1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了 6 小时，师傅做了 8 小时，一共做了 312 个零件， 徒弟 5 小时的工作量等于师傅 2 小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？ 分析（用消去思路考虑）： 这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为 1 份，把师 傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅 8 小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显， 师傅 2 小时的工作量相当于徒弟 5 小时的工作量，那么 8 小时里有几个 2 小时就是几个 5 小时 工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数； 然后再看 312 个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个。求出了 徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了。 例 2 小明买 2 本练习本、2 枝铅笔、2 块橡皮，共用 0.36 元，小军买 4 本练习本、3 枝铅 笔、2 块橡皮，共用去 0.60 元，小庆买 5 本练习本、4 枝铅笔、2 块橡皮，共用去 0.75 元， 问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？ 分析（用消去法思考）： 这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知 数是有困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了。 如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通 过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、 小庆所购买的物品排列如下： 小明 2 本 2 枝 2 块 0.36 元 小军 4 本 3 枝 2 块 0.60 元 351 小庆 5 本 4 枝 2 块 0.75 元 现在把小明的各数分别除以 2，可得到 1 本练习本、1 枝铅笔、1 块橡皮共 0.18 元。 接着用小庆的各数减去小军的各数，得 1 本练习本、1 枝铅笔为 0.15 元。 再把小明各数除以 2 所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到 1 块橡皮 0.03 元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。 【转化思路】解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考， 或改变思考的角度，或转化为另外一种问题，这就是转化思路。运用转化思路解题就叫转化法。 各养兔多少只？ 分析（用转化思路思索）： 题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系， 只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：100-16 ×3=52（只） 分析（用转化思路分析）： 本题求和，题中每个分数的分子都是 1，分母是几个连续自然数的和，好像不能把每个分 数分成两个分数相减，然后相加抵消一些数。但是只要我们按等差数列求和公式，求出分母就 会发现，可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式。 352 所以例题可以转化为： 然后再相加，抵消中间的各个分数即可。 【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式 想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法， 也是解题的一种重要思路。 例 1 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲 6 下，5 秒钟敲完；钟敲 12 下，几秒敲完？ 分析（用类比思路探讨）： 有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为 10 秒钟敲完，那就完全错了。其实此题只要运 用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包 括两个端点，共需植（n-1）棵树，如果包括两个端点，共需植树（n＋1）棵，把钟点指数看 作是一棵棵的树，把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了。 例 2 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。 分析（用类比思路讨论）： 353 本题可以与行程问题进行类比。如图 2.11，如果用时针 1 小时所走的一格作为路程单位， 那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距 4 格，分 如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及 问题相似了。4 为距离差，速度差为，重合的时间，就是追上的时间。 【分类思路】把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使 问题得到解决，这就是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。 例 1 如图 2.12，共有多少个三角形？ 分析（用分类思路考虑）： 这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。怎么办？ 可以把图中所有三角形按大小分成几类，然后分类去数，再相加就是总数了。本题根据条件， 可以分为五类（如图 2.13）。 354 例 2 如图 2.14，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处，这小卒有 多少种不同的走法？ 分析（运用分类思路分析）： 小卒过河后，首先到达 A 点，因此，题目实际上是问：从 A 点出发，沿最短路径有多少种 走法可以到达“将”处，所谓最短，是指不走回头路。 因为“将”直接相通的是 P 点和 K 点，所以要求从 A 点到“将”处有多少种走法，就必须 是求出从 A 到 P 和从 A 到 K 各有多少种走法。 分类。一种走法：A 到 B、C、D、E、F、G 都是各有一种走法。 二种走法：从 A 到 H 有两种走法。 三种走法：从 A 到 M 及从 A 到 I 各有三种走法。 其他各类的走法：因为从 A 到 M、到 I 各有 3 种走法，所以从 A 到 N 就有 3＋3＝6 种走法 了，因为从 A 到 I 有 3 种走法，从 A 到 D 有 1 种走法，所以从 A 到 J 就有 3＋1=4 种走法了；P 与 N、J 相邻，而 A 到 N 有 6 种走法，A 到 J 有 4 种走法，所以从 A 到 P 就有 6+4=10 种走法了； 同理 K 与 J、E 相邻，而 A 到 J 有 4 种走法，到 E 有 1 种走法，所以 A 到 K 就有 4+1=5 种走法。 再求从 A 到“将”处共有多少种走法就非常容易了。 355 【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出数量 之间的内在联系，求出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知 条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化，促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思 路。 例 1 如图 2.15 的正方形边长是 6 厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积 比甲三角形大 6 平方厘米，求 CE 长多少厘米？ 分析（用等量代换思路思考）： 按一般思路，要求 CE 的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个条件都不知道，似 乎无法入手。用等量代换思路，我们可以求出三角形 ABE 的面积，从而求出 CE 的长，怎样求 这个三角形的面积呢？设梯形为丙： 已知 乙=甲+6 丙+甲=6×6=36 用甲+6 代换乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42 即三角形 ABE 的面积等于 42 平方厘米，这样，再来求 CE 的长就简单了。 例 2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一 这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？ 分析（用等量代换的思路来探讨）： 这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这 个问题就简单多了。出现了下面这个等式。 第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子） =第三堆（白子+黑子） （这里指的棋子数） 356 份，则第二堆（全部黑子）为 3 份，这样就出现了每堆棋子为 3 份，3 堆棋子的总份数自然就 出来了。而第三堆黑子占了 2 份，白子自然就只有 3—2=1 份了。第一堆换成了全部白子，所 以白子总共是几份也可求出。最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。 【对应思路】分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就是一个数量 相当于单位“1”的几分之几，这种关系叫做对应关系。找对应关系的思路，我们把它叫做对 应思路。 例 1 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是 91 公亩，麦地的 一半和菜地的三分之一放在一起是 84 公亩，那么，菜地是几公亩？ 分析（用对应思路分析）： 这是一道复杂的分数应用题，我们不妨用对应思路去思索。如能找出 91 公亩、84 公亩的 对应分率，此题就比较容易解决了。但题中有对应分率两个，究竟相当于总公亩数的几分之几 呢？这是解题的关键。而我们一时还弄不清楚，现将条件排列起来寻找。 可求出总公亩数是 求出总公亩数后，我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几，故还不能直接求出菜 地或麦地的公亩数。但我们把条件稍作组合，就可以求出 357 分析到这一步，那么再去求菜地有多少公亩，则就变成了一道很简单的分数应用题了。 例 2 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时，要排完一池水，单开乙管 顺序，循环各开水管，每次每管开一小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 分析（用对应思路考虑）： 本题数量关系复杂，但仍属分数应用题，所以仍可用对应思路寻找解题途径。 首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几，乙、丁两管每小时排水相当 于一池水的几分之几，然后才能计算。 一池水→“1” 通过转化找到了对应分率就容易计算了。假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各开 1 小时， 共开 4 小时，池内灌进的水是全池的： 加上池内原有的水，池内有水： 也就是 20 小时以后，池内有水 358 水池了，因此 20 小时后，只需再灌水 所以这时甲管不要开 1 小时，只要开 总共是多少时间后水开始溢出水池不就一目了然了吗？ 5、整数的拆分 【不连续加数拆分】 例 1 将一根长 144 厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做 法？其中面积最大的是哪一种长方形？ （1992 年“我爱数学”邀请赛试题） 讲析：做成的长方形，长与宽的和是 144÷2=72（厘米）。 因为 72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36， 所以，一共有 36 种不同的做法。 比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是 36 厘米时，面积最大。 例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。 （1992 年武汉市小学数学竞赛试题） 讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于 4 的数，则把大于 4 的这个数再分成一 个 2 与另一个大于 2 的自然数之和，则这个 2 与大于 2 的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆 分的数中含有 1，则与“乘积最大”不符。 359 所以，要使加数之积最大，加数只能是 2 和 3。 但是，若加数中含有 3 个 2，则不如将它分成 2 个 3。因为 2×2×2=8，而 3×3=9。 所以，拆分出的自然数中，至多含有两个 2，而其余都是 3。 而 1992÷3=664。故，这些自然数是 664 个 3。 例 3 把 50 分成 4 个自然数，使得第一个数乘以 2 等于第二个数除以 2；第三个数加上 2 等于第四个数减去 2，最多有______种分法。 （1990 年《小学生报》小学数学竞赛试题） 讲析：设 50 分成的 4 个自然数分别是 a、b、c、d。 因为 a×2=b÷2，则 b=4a。所以 a、b 之和必是 5 的倍数。 那么，a 与 b 的和是 5、10、15、20、25、30、35、40、45。 又因为 c＋2=d-2，即 d=c＋4。所以 c、d 之和加上 4 之后，必是 2 的倍数。 则 c、d 可取的数组有： （40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。 由于 40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7， 得出符合条件的 a、b、c、d 一组为（8、32、3、7）。 同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。 所以，最多有 4 种分法。 【连续加数拆分】 例 1 把 945 写成连续自然数相加的形式，有多少种？ （第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为 945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。 所以，945 共能分拆成 16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。 例 2 几个连续自然数相加，和能等于 1991 吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答 案；如果不能，说明理由。 （全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题） 360 讲析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。 所以，1991 可以分成几个连续自然数相加，并且有 3 种答案。 由 1991=1×1991 得： 1991=995＋996。 由 1991=11×181 得： …+（80+101） =80＋81＋……＋100＋101。 6、整除及数字整除特征 【数字整除特征】 例 1 42□28□是 99 的倍数，这个数除以 99 所得的商是__。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：能被 99 整除的数，一定能被 9 和 11 整除。 设千位上和个位上分别填上数字 a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数 能被 9 整除，必须使[16+（a+b）]是 9 的倍数，即（a+b）之和只能取 2 或 11。 又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被 11 整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是 11 的倍数。经验证，（b-a-8）是 11 的倍数不合。 所以 a-b=3。 又 a+b=2 或 11，可求得 a=7，b=4。 从而很容易求出商为 427284÷99=4316。 361 例 2 某个七位数 1993□□□能同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么它的最后三位 数字依次是__。 （1993 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：因为 2、3、4、5、6、7、8、9 的最小公倍数是 2520。 而 1993000÷2520=790 余 2200。 于是再加上（2520-2200）=320 时，就可以了。所以最后三位数字依次是 3、2、0。 例 3 七位数 175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是 0 到 9 中的哪一个数字，这 个七位数都不是 11 的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：设千位上和个位上的数字分别是 a 和 b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之 和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。 要使原数是 11 的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是 11 的倍数。 则有 b-a=8，或者 a-b=3。 ①当 b-a=8 时，b 可取 9、8； ②当 a-b=3 时，b 可取 6、5、4、3、2、1、0。 所以，当这个七位数的末位数字取 7 时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是 11 的 倍数。 例 4 下面这个四十一位数 55……5□99……9 （其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是__。 （1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：注意到 111111÷7=15873，所以 555555 与 999999 也能被 7 整除。则 18 个 5 或 18 个 9 组成的数，也能被 7 整除。 要使原四十一位数能被 7 整除，只需 55□99 这个五位数是 7 的倍数。 容易得出，中间方格内的数字是 6。 【整除】 例 1 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，适合这些条件的最小数是______。 362 （天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题） 讲析：所求这个数分别除以 3 和 7 时，余数相同。 3 和 7 的最小公倍数为 21。所以这个数是 23。经检验，23 除以 5 商 4 余 3，23 是本题的 答案。 例 2 一个整数在 3600 到 3700 之间，它被 3 除余 2，被 5 除余 1，被 7 除余 3。这个整数 是__。 （《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：所求整数分别除以 3、5、7 以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数 加上 4 以后，它就能同时被 3、5、7 整除了。 因为 3、5 和 7 的最小公倍数是 105。 3600÷105=34 余 30，105-30=75， 所以，当 3600 加上 75 时，就能被 3、5 和 7 整除了。即所求这个整数是 3675。 例 3 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如 52 中间插入 4 后变成 542。 有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的 9 倍。这样的两位数共有__个。 （中南地区小学数学竞赛试题） 讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的 9 倍，且个位数字相同。则原两 位数的个位数字一定是 0 或 5。 又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的 9 倍了。因此原 二位数的个位不能为 0，而一定是 5。 结合被 9 整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有 45、35、25 和 15 共 4 个。 例 4 a 是一个自然数，已知 a 与 a+1 的各位数字之和都能被 7 整除，那么这样的自然数 a 最小是__。（1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题） 讲析：a 与 a+1 的各位数字之和都是 7 的倍数。则 a 的个位数字一定是 9。因为如果个位 上不是 9 时，若 a 的各位数字之和是 7 的倍数，则 a+1 的各位数字之和除以 7 以后，肯定余 1。 只有当 a 的个位上是 9 时，a+1 之后，个位上满十后向前一位进一，a+1 的个位数字和才 有可能是 7 的倍数。 联想到 69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数 a 是 69999。 例 5 一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，再把第二次所得的商被 8 除后余 7， 最后得到的一个商是 a[见图 5.43（1）]，又知这个自然数被 17 除余 4，所得的商被 17 除余 15，最后得到一个商是 2a[见图 5.43（2）]，求这个自然数。 363 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：可从最后的商步步向前推算。 由图 5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是 8×（8a+7）+1=64a+57；所求的 自然数是 8×（64a+57）+1=512a+457 由图 5.43（2）得，所求的自然数是 578a+259 所以，512a+457=578a+259。 解得 a=3。 故，这个自然数是 512×3+457=1993。 例 6 某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是 1、2、3、……、12。他们的电话号码 依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电 话号码的首位数字都小于 6，并且门牌号是 9 的这一家的电话号码也能被 13 整除。问这一家 的电话号码是什么数？ （1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题） 讲析：设这十二家住户的电话号码依次是 a+1、a+2、a+3、……，a+12。 因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数 a 能同时被 1、2、3、……、12 整除。 而 1、2、3、……、12 的最小公倍数是 27720，所以六位数中，能同时被 1、2、3、…… 12 整除的最小自然数是 27720×4=110880 现在考虑第九户人家的电话号码能被 13 整除问题。 因为 110880÷13，余数是 12；27720÷13，余数是 4。 也就是在 110889 的基础上，再加上 n 个 27720 之后的和，能被 13 整除的数，就是所求的 数。 即 12+4n，是 13 的倍数。 显然，当 n=10 时，12+4n 是 13 的倍数。 所以，门牌号码是 9 的这家电话号码是： 364 110889+27720×10=388089。 7、运用图形间的等量关系 【应用弦图解题】 我国古代有种图形叫做“弦图”（如图 4.56 所示），有的数学家应 用它成功地证明了“勾股定理”。 365 我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题： 有一块长方形田，面积为 864 平方步（“步”是古代长度单位，1 里=300 步，1 步=5 尺）， 已知长比宽少 12 步，问：它的长、宽共是多少步？ 杨辉在该书上出示了一个弦图（如图 4.57），他是用四个面积为 864 共是 60 步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！ 有些竞赛题也可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来 解答的题目。尤其是那一道决赛题： 平方米。锯下的木条面积是多少平方米？” 仿杨辉的解法，可假定剩下 4 块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”，如图 4.58。 于是可知，大正方形的面积为 366 【解纵横交错的复杂题】 把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要 根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。例如 如图 4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽 12 厘米，求阴影部分的总面积。 由图可知，5 个纸片的长=3 个纸片的长+3 个纸片的宽，所以 2 个纸片长=3 个纸片宽 1 个纸片长=12×3÷2 =18（厘米） 进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为 18-12=6（厘米） 阴影部分的总面积便是 6×6×3=108（平方厘米） 又如，“有 9 个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图 4.60） 的面积是 45 平方厘米，求大长方形的周长。” 解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由 5 个小长方形的宽等于 形重新分割为 5 个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图 4.61）。所以，5 个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之和，即 5 个小正方形面积为 45÷9×4=20（平方厘米） 每个小正方形的面积为 367 20÷5=4（平方厘米） 显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为 2 厘米，小长方形的长便是 进而便可求得大长方形的周长为 ［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。 此外，题目还可这样解答： 因为小长方形宽的 5 倍等于长的 4 倍，所以，可用（4 与 5 的最小公倍数）20 个小长方形 拼成一个大的正方形（如图 4.62）。大正方形面积是 它的边长便是 10 厘米，则小正方形的长为 10÷4=2.5（厘米） 小正方形的宽为 10÷5=2（厘米） 于是，原来的大长方形的周长就是 （2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。 【用面积线段比的关系解题】 利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题 简单化。例如 368 为什么成立？ 由图中可以看出，△PBC 和△ABC 是同底的两个三角形，所以 又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目： “如图 4.64，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是 20 公亩、 25 公亩和 30 公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？” 图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左 边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。 设阴影部分面积为 x 公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以 369 即另一个（阴影部分）长方形面积为 37.5 公亩。 370 8、运算法则或方法 【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本， 此处略。 【四则运算顺序】见小学数学课本，略。 【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。 （1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化 简繁分数。 （2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。这是因为繁分数实际上是分数除法的另一 种表示形式的缘故。例如 【求连分数的值的方法】由数列 a0，a1，……及 b1，b2，……所组成的表达式 称为“连分数”。它可简记为 371 为连分数的值。 连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。例如， 求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。一般 是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。例如上面的这个有限连分数： 求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。当层次愈多时，就愈接近它 的值。 注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。 分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成： 的任意两个约数 a1，a2； （2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2）， （3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来 372 （4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。 注意：（1）因大于 1 的自然数的约数有时不止 2 个，有多个，从中任取两个约数的取法 也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和 的结果也各不相同。 例如，15 的约数有 1，3，5，15 四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1， 15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3， 15）是成比例 （2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘 以分母的任何一个约数的 2 倍或乘以 2 即可。 拆成 n 个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分 时，分子、分母同乘以分母 A 的 n 个约数的和（a1+a2+…+an）。 解∵15=3×5 373 ∴15 的约数有 1，3，5，15。 有限个分数的和的形式。 【近似数的加减法】在一般情况下，近似数相加减，和或差精确到哪一位，与已知数中精 确度最低的一个相同。计算法则有以下三条： （1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计算 的结果就精确到这个数位）； （2）把已知数中超过这一最低精确度这个数位的数字，四舍五入到这个数位的下一位； （3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。 例如，求近似数 25.4、0.456、8.738 和 56 的和。 25.4+0.456+8.738+56≈91 又如，求近似数 0.095 减 0.002153 的差。 解： 374 0.095-0.002153≈0.093 【近似数的乘除法】在一般情况下，近似数相乘除，积或者商取几个有效数字，与已知数 中有效数字最少的相同。具体法则有以下三条： （1）确定结果有多少个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样多 个有效数字）； （2）把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中有效数字的个数多一个； （3）进行计算（除法要比结果多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数 字的个数。 例如，（1）求近似数 26.79 与 0.26 的积。（2）求近似数 9.7 除以近似数 25.78 的商。 因 24 只有两个有效数字，故可把各数分别四舍五入到三个有效数字以后去计算；得出中 间结果仍保留三个有效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果，再四舍五入到两 个有效数字。 再如，量得一个圆的周长约是 3.73 厘米，求这个圆的直径。 375 题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算。其中 3.73 是近似数，有三个有效数字； π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字： 解 3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米） 答：这个圆的直径约是 1.19 厘米。 【近似数混合运算方法】近似数的混合运算，要分步来做。运算的中间步骤的计算结果， 所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。例如，作近似数的混合计算： 57.71÷5.14+3.18×1.16-4.6307×1.6。 解原式=11.23+3.689-7.41 ≈7.5 说明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中间结果 11.23，3.689， 7.41，都比法则规定应当取的有效数字多取了一个。 （2）11.23+3.689-7.41 是加减法，各数中精确度最低的是 7.41，这个数实际上只有两个 有效数字，就是只精确到十分位。因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得 7.5。 又如，“有一块梯形土地，量得上底约为 68.73 米，下底约为 104.20 米，高约为 9.57 米。求这块土地的面积。 ≈86.47×9.57 ≈828（平方米）（答略） 说明：（1）68.73+104.20，所得的中间结果 172.93，精确到 0.01，没有多取的数位。 果四舍五入到三个有效数字，得 828。 【预定精确度的计算法则】已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的精 确度，通常称其为“预定精确度的计算”。 预定精确度的计算法则，一般有： 376 （1）预定结果的精确度用有效数字给出的问题。 如果预定结果有 n 个有效数字，那么原始数据一般取到 n+1 个有效数字。 例如，圆形面积大约是 140 平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径 r 应达到怎样的精确度？π应取几个有效数字的近似值？ 解：为了使面积 S 具有两个有效数字，π和 r 就都要有三个有效数字。因为 r 应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到 0.01 米。 π应该取三个有效数字的近似值--3.14。 （2）对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定结 果的精确度用有效数字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。 例如，梯形上底 a 约 50 米，下底 b 约 60 米，高 h 约 40 米。测量时，应达到怎样的精确 度，才能使算出的面积 S 有两个有效数字？ 要使 S 有两个有效数字，则（a+b）与 h 都应该有三个有效数字。所以，测量 h 应精确到 0.1 米，而测量上底和下底，只需要精确到 1 米（因 a+b 有三个整数数位。） 在实际测量时，a、b、h 都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用相同的精确度。 【一般验算方法】 （1）加减法的验算方法。 加法的验算方法有二：一是利用加法交换律，把加数位置交换后再相加，所得的结果必须 与原计算的结果相同，说明计算才是正确的。二是利用加法和减法的逆运算关系，把所得的和 减去一个加数，所得的差必须等于另一个加数，计算才是正确的。 减法的验算也有两种方法：一是利用加减互逆的关系进行验算，把所得的差与减数相加， 所得的和必须等于被减数，计算才是正确的。二是利用被减数、减数、差三者之间的关系进行 验算，用被减数减去差，所得的结果必须等于减数，计算才是正确的。 （2）乘除法的验算方法。 乘法有两种验算方法：①利用乘法交换律进行验算，把因数位置交换后再相乘，所得的结 果必须和原来的计算结果相同，计算才是正确的。②利用乘除互逆关系，把所得的积除以一个 因数，结果必须等于另一个因数，计算才是正确的。 377 除法也有两种验算方法：①利用乘除互逆关系，把除数和商相乘（如有余数，还要加上余 数），所得的结果必须等于被除数，计算才是正确的。②利用被除数、除数、商、余数之间的 关系，把被除数减去余数所得的差（没有余数的不必去减），除以商，所得的结果必须等于除 数，计算才是正确的。 （3）四则混合运算式题的验算。 四则混合运算式题的验算，虽然可采用上述加、减、乘、除法的验算方法去验算，但非常 麻烦，不如采用重算的办法。由于计算中最易错的是运算顺序、分小数互化等，所以重算可 分三步走：①检查运算顺序；②检查分小数互化情况；③检查每步计算结果是否正确。 （4）解方程、解比例的验算方法。 解方程、解比例的验算，可将求得的解代入原方程或原比例，看等号两边的数值是否相等。 （5）应用题的验算方法。 应用题的验算可以采用下面三种方法： ①用“一题多解”验算。有多种解法的应用题，可用不同的解法去再解一遍。若解得的结 果一致，说明解法是正确的。 ②用“还原法”验算。将计算结果作为题目中的已知条件，根据其数量关系，若算得其他 已知条件和数据都是成立的（即能“还原”），则表明题目的解法是正确的。 ③用分析、估算方法验算。根据生活经验等，可知：求总数，结果不应小于部分数；求人 数、植树棵树等，得数通常为整数；计算出油率、合格率等，得数不会大于 100％；计算各种 速度、农作物单位面积产量，得数应基本符合实际情况；……否则，题目的解答便可能是错误 的。 不过，分析、估算办法只能检验出大致的情况，大致情况检验出来后，还得用其他方法验 算。 【弃九验算法】利用被 9 除所得余数的性质，对四则运算进行检验的一种方法，称为“弃 九验算法”，简称“弃九法”。 用“弃九法”验算，首先要找出一个数的“去九数”（或称“弃九数”）。把一个数各位 数字相加，如果和大于 9，又再将和的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是 9 的要减去 9 得 0），这个数我们便称它为原数的“去九数”。例如 8693：8+6+9+3=26-→2+6=8（去九数是 8）； 721：7+2+1=10-→1+0=1（去九数是 1）。 去九数也可以这样得到：把一个数中的数字 9，或者相加得 9 的几个数字都划去，将剩下 来的数字相加，得到一个小于 9 的数，这个数就是原数的去九数。 例如： 378 “弃九验算法”也可以说，是利用“去（弃）九数”去进行验算的一种验算方法。例如， 验算下面的加减法，可先求出等号左右每个数的去九数，然后将等号左边的去九数相加减，若 去九数的和（或差），与等号右边和（或差）的去九数不相等，则可以肯定，原来的计算是错 误的。例如 （如果两个加数的去九数之和大于 9，则应减去 9） 所以，可以肯定，原式的计算是错误的。的确，正确的答案是 70168。 假如最后的两个去九数之和或差，与等号右边和（或差）的去九数相等，那么在一般情况 下，可以认为原来的计算大致没有错误。例如 所以，可以认为原来的计算大致没有错误。 减法的验算如 所以，可以肯定，原计算是错误的。事实上，原式的差应该是 146410。 用弃九法验算乘法如下面的两个例子： （1） 379 可以肯定，原来的计算是错误的。确实，正确的答案应该是 716478。 （2） 可以认为，这道题大致没有错误。 用弃九法验算除法，可利用下面的关系式来进行： 除数×商=被除数； 除数×商+余数=被除数。 例如： （1） 可以认为，这道题的计算大致没有错误。 （2） 380 可以认为，这道题的计算，大致没有错误。 不难发现，弃九验算法是既方便，又有趣的。但当弃九数的等式相等时，为什么要说“在 一般情况下”，“可以认为”原式的计算”大致没有错误”呢？请看下面几个数的去九数： 这就是说，当几个数的数字相同，仅仅是 0 的个数不同；或者是数字顺序颠倒；或者小数 点的位置不同时，它的去九数却是相同的。这样就会导致用弃九法验算，不能查出去九数虽相 同，而数的实际大小却并不相同的情况。这一点，在使用弃九法验算时，我们必须特别注意。 尽管有以上这种情况，但一般说来，弃九验算法还是一个有特色、有趣味的和比较好的验 算方法。 【速算方法】（见第一部分“（五）数学公式”中的“速算公式”及第四部分中的“速算 技巧”。） 【名数化、聚方法】 （1）名数的化法。把高级单位的单名数或复名数，化成低级单位的单名数的方法，叫做 “名数的化法”。计算时，用进率乘以高级单位的数，再加上低级单位的数。 例如，把 6 米 32 厘米化成以厘米为单位的数： 因为厘米和米之间的进率是 100，所以，解法是 100×6+32=632（厘米）， 即 6 米 32 厘米=632 厘米。 （2）名数的聚法。把低级单位的单名数聚成高级单位的单名数或复名数的方法，叫做“名 数的聚法”。计算时，用低级单位的数除以进率，所得的商就是高级单位的数，余数就是低级 单位的数。 例如，把 5700 千克聚成以吨和千克为单位的复名数。 因为吨和千克之间的进率是 1000，所以解法是 5700÷1000=5……700 ∴5700 千克=5 吨 700 千克。 381 9、约数与倍数 【约数问题】 例 1 用 1155 个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第 五届小学数学竞赛试题） 讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是 1155。 而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将 1155 分成两个整数的积，看看有多少种方 法。一般来说，约数都是成对地出现。 1155 的约数共有 16 个。 16÷2=8（对）。 所以，有 8 种不同的拼法。 例 2 说明：360 这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：将 360 分解质因数，得 382 360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。 所以，360 的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个） 这 24 个约数的和是： 例 3 一个数是 5 个 2，3 个 3，2 个 5，1 个 7 的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数， 这些两位的约数中，最大的是几？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：这个数是 2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。 把两位数从 99、98、……开始，逐一进行分解： 99=3×3×11； 98=2×7×7； 97 是质数； 96=2×2×2×2×2×3。 发现，96 是上面数的约数。 所以，两位数的约数中，最大的是 96。 例 4 有 8 个不同约数的自然数中，最小的一个是______。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个自然数 N，当分解质因数为： 因为 8=1×8=2×4=2×2×2， 所以，所求自然数分解质因数，可能为： 27，或 23×3，或 2×3×5，…… 不难得出，最小的一个是 24。 【倍数问题】 383 例 1 6 枚 1 分硬币叠在一起与 5 枚 2 分硬币一样高，6 枚 2 分硬币叠在一起与 5 枚 5 分硬 币一样高，如果分别用 1 分、2 分、5 分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为 4 元 4 角 2 分，那么这三种硬币总共有______枚。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：因为 6 枚 1 分的硬币与 5 枚 2 分的一样高，所以 36 枚 1 分的硬币与 30 枚 2 分的一 样高。 6 枚 2 分的硬币与 5 枚 5 分的一样高，所以 30 枚 2 分的硬币与 25 枚 5 分的一样高。 因此，36 枚 1 分的硬币高度等于 30 枚 2 分的高度，也等于 25 枚 5 分的高度。它们共有： 1×36+2×30+5×25=221（分）。 4 元 4 角 2 分=442（分），442÷221=2。 所以，1 分的硬币共 36×2=72（枚），2 分的硬币共 30×2=60（枚），5 分的硬币共 25 ×2=50（枚），即总共有 182 枚。 例 2 从 1、2、……、11、12 中至多能选出______个数，使得在选出的数中，每一个数都 不是另一个数的 2 倍。 （1990 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：1、3、5、7、9、11 是奇数，不可能是任何整数的 2 倍。剩下的数有 2、4、6、8、 10、12 六个数，且 6 是 3 的 2 倍，10 是 5 的 2 倍。如取 2，则 4、8、12 就都不能取；如取 4， 则 2、8 不能取，故只可取 12；如取 8，则 2、4 不能取，故只可取 8。所以至多能选取 8 个数。 例 3 小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1、2、3、……13。如 果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积， 那么，其中能被 6 整除的乘积共有______个。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为 6=2×3，所以能被 6 整除的因数中，至少含有一个 2 和一个 3。 当一边取 6，另一边取 1、2、……、13 时均成立，有 13 个积； 当一边取 7、8、9、10、11、12、13，另一边取 12 时，有 7 个积； 当一边取 10，另一边取 9 时，有 1 个积。 所以，不相等的乘积中，被 6 整除的共有： 13+7+1=21（个）。 384 例 4 设 a 与 b 是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是 72，那么 a 与 b 之和可 以有______种不同的值。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为 72=23×32，它共有约数 （3+1）×（2+1）=12（个） 这 12 个约数，每个约数与 72 的最小公倍数都是 72，a、b 之和有 12 种不同的值； 当 a=22×32=36 时，b 可取 23=8 或 23×3=24，a、b 之和有 2 种不同的值； 当 a=23×3=24 时，b 可取 32=9 或 2×32=18，a、b 之和有 2 种不同的值。 当 a=2×32=18 时；b 可取 23=8，a、b 之和有 1 种不同的值。 所以，满足条件的 a 与 b 之和共有 17 种不同的值。 10、余数问题 【求余数】 （1990 年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题） 一组，就可得到 331 组，尚余 4 个 6。 而 6666÷7=952……2。所以，原式的余数是 2。 385 例 2 9437569 与 8057127 的乘积被 9 除，余数是__。 （《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：一个数被 9 除的余数与这个数各位数字之和被 9 除的余数是一样的。 9437569 各位数字之和除以 9 余 7；8057127 各位数字之和除以 9 余 3。 7×3=21，21÷9=2……3。 所以，9437569 与 8057127 的乘积被 9 除，余数是 3。 例 3 在 1、2、3、4、……、1993、1994 这 1994 个数中，选出一些数，使得这些数中的 每两个数的和都能被 26 整除，那么这样的数最多能选出_______个。 （1994 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：可将 1、2、3、……、1994 这 1994 个数，分别除以 26。然后，按所得的余数分类。 要使两个数的和是 26 的倍数，则必须使这两个数分别除以 26 以后，所得的余数之和等于 26。 但本题要求的是任意两个数的和都是 26 的倍数，故 26 的倍数符合要求。这样的数有 1994 ÷26=76（个）……余 18（个）。但被 26 除余 13 的数，每两个数的和也能被 26 整除，而余 数为 13 的数共有 77 个。 所以，最多能选出 77 个。 【同余问题】 例 1 一个整数，除 300、262、205，得到相同的余数（余数不为 0）。这个整数是_____。 （全国第一届“华杯赛”初赛试题） 讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两 个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。 不难求出它们的最大公约数为 19，即这个整数是 19。 例 2 小张在计算有余数的除法时，把被除数 113 错写成 131，结果商比原来多 3，但余数 恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989 年上海市小学数学竞赛试题） 讲析：被除数增加了 131-113=18，余数相同，但结果的商是 3，所以，除数应该是 18÷ 3=6。又因为 113÷6 的余数是 5，所以该题的余数也是 5。 例 3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里， 一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去 386 睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的 一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有______个桃子。 （哈尔滨市小学数学竞赛试题） 讲析：因为第一只猴子把桃 5 等分后，还余 1 个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴 子剩下的 4 等份再分成 5 等份，且每次余 1 个桃子。于是，我们可设想，如果另加进 4 个桃子， 则连续五次可以分成 5 等份了。 加进 4 个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需 5 等份后，拿走一份。 因为 4 与 5 互质，每次的 4 份能分成 5 等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分 成 5 等份。这样，这堆桃子就能连续五次被 5 整除了。所以，这堆桃子至少有 5×5×5×5× 5-4=3121（个）。 例 4 在 1、2、3、……、30 这 30 个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数 中，任意两个不同的数的和都不是 7 的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：我们可将 1 到 30 这 30 个自然数分别除以 7，然后按余数分类。 余数是 0：7、14、21、28 余数是 1：1、8、15、22、29 余数是 2：2、9、16、23、30 余数是 3：3、10、17、24 余数是 4：4、11、18、25 余数是 5：5、12、19、26 余数是 6：6、13、20、27 要使两数之和不是 7 的倍数，必须使这两个数分别除以 7 所得的余数之和不等于 7。 所以，可以取余数是 1、2、3 的数，不取余数是 4、5、6 的数。而余数为 0 的数只取一个。 故最多可以取 15 个数。 387 11、有关数的法则或方法 【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法， 见小学数学课本，此处略。） “成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八 折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去 表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。 388 “千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“‰”来写 千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‰”，读作“千分之七”。 【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以 10 的整数次幂来表示一个数的方法，叫做 “科学记数法”。 利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n（1≤a≤10， n 是整数）”的形式。例如： 25700，把小数点向左移动四位，得 1＜2.57＜10，但 2.57 比 25700 小了 10000 倍，所以 25700=2.57×104。 0.00867，把小数点向右移动三位，得 1＜8.67＜10，但 8.67 比 0.00867 大了 1000 倍， 所以 【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。 四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的 最高位上的数是 4，或者是比 4 小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是 5，或者是比 5 大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四 舍五入法”。 例如，把 8，654，000 四舍五入到万位，约等于 865 万；把 7.6239 四舍五入保留两位小 数约等于 7.62；把 2，873，000，000 四舍五入到亿位，约等于 29 亿；把 32.99506 四舍五入 精确到百分位约等于 33.00。 去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾 法”。 进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位 进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。 389 显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法” 和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。 值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把 1.5972 四舍五入，保留两位小数得 1.60，即 1.5972≈1.60，最后的“0”不可去掉，否则， 它只精确到十分位了。 【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。 （1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是 质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。 （2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。 例如，要判定 161 和 197 是不是质数，可以把这两个数依次用 2、3、5、7、11、13、17、 19……等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若 161 或 197 不能被 这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去试除就可 以了。 由 161÷7=23，可知 161 的约数除了 1 和它本身外，至少还有 7 和 23。所以，161 是合数， 而不是质数。 由 197 依次不能被 2、3、5、7、11、13 整除，而 197÷17=11……10，这时的除数 17 已 大于不完全商 11，于是可以肯定：197 是质数，而不是合数。因为 197 除了它本身以外，不可 能有比 17 大的约数。假定有，商也一定比 11 小。这就是说，197 同时还要有比 11 小的约数。 但经过试除，比 11 小的质数都不能整除 197，这说明比 11 小的约数是不存在的，所以 197 是 质数，不是合数。 【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。 （1）分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是 所求的最大公约数。例如，求 2940、756 和 168 的最大公约数： ∵ 2940=22×3×5×72， 756=22×33×7， 168=23×3×7； ∴（2940，756，168）=22×3×7=84。 注：“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756 和 168 的最大公约数是 84”。 （2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种 一般的求法，此处略。 390 （3）辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数， 如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。这时，相等的 数就是这两个数的最大公约数。 例如，求 792 和 594 的最大公约数。 ∵（792，594）=（792-594，594） =（198，594）=（594-198，198） =（198，396）=（198，396-198） =（198，198）=198， ∴（792，594）=198。 用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求 n 个数的最大公约数，具体做法是： 可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样逐次做下去，直到所得的差 全部相等为止。这个相等的差，就是这些数的最大公约数。 例如，求 1260、1134、882 和 1008 的最大公约数。 ∵（1260，1134，882，1008） =（1260-1134，882，1008-882，1134-882） =（126，126，882，252） =（126，126，882-126×6，252-126） =（126，126，126，126）=126， ∴（1260，1134，882，1008）=126。 （4）辗转相除法（欧几里得算法）。 用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下： 光用较小数去除较大的数，得到第一个余数； 再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数； 又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数； 这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止。这时，余数“0”前面的那 个余数，便是这两个数的最大公约数。 391 求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗 转相除法”去求，就简便、快速得多了。 例如，求 437 和 551 的最大公约数。具体做法是：先将 437 和 551 并排写好，再用三条竖 线把它们分开。然后依下述步骤去做： （1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外， 并求得余数为 114。 （2）用余数 114 去除 437，把商数“3”写在比 114 大的数（437）的线外，并求得余数 为 95。 （3）用余数 95 去除 114，把商数“1”写在 114 右边的直线外，并求得余数为 19。 （4）用余数 19 去除 95，把商数“5”写在 95 左边的直线外面，并求得余数为 0。 （5）当余数为 0 时，就可断定余数 0 前面的那一个余数 19，就是 437 和 551 的最大公约 数。 又如，求 67 和 54 的最大公约数，求法可以是 由余数可知，67 和 54 的最大公约数是 1。也就是说，67 和 54 是互质数。 392 辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。早在我国古 代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。一般认为， “辗转相除法”即源于此。这比西方人欧几里得等人的发现要早 600 年以上。 辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约数， 可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这 样依次下去，直到最后一个数为止。最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约 数。 【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一组分数的最大 公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。 求一组分数的最大公约数的方法是： （1）先将各个分数中的带分数化成假分数； （2）再求出各个分数分母的最小公倍数 a； （3）然后求出各个分数分子的最大公约数 b； 再求出三个分母的最小公倍数，得 72； 然后求出三个分子 35、21 和 56 的最大公约数，得 7； 【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。 （1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最 大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。 例如，求 120、330 和 525 的最小公倍数。 ∵120=23×3×5， 393 330=2×3×5×11， 525=3×52×7； ∴[120，330，525]=23×3×52×7×11=46200 注：“[120，330，525]=46200”表示“120、330 和 525 三个数的最小公倍数是 46200”。 （2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小 学数学课本上介绍的一般方法，此处略。 （3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数 的乘积”，即 a·b=（a，b）·[a，b] 所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即 例如，求[42，105]。 若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个 最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，……， 如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数 的最小公倍数。 例如，求[300，540，160，720] 394 ∴[300，540，160，720]=21600 【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一组分数的最小 公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。 求一组分数的最小公倍数，方法是： （1）先将各个分数中的带分数化成假分数； （2）再求出各个分数分子的最小公倍数 a； （3）然后求出各个分数分母的最大公约数 b； 再求各分数分子的最小公倍数，得 [35，21，56]=840； 然后求各分数分母的最大公约数，得 （6，8，9）=1 395 【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分 数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处 略。 化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如 由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下： （1）纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个循环节的数字 所组成的数；分母的各位数字都是 9，“9”的个数同循环节的位数相同。 （2）混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数点后面第一个 数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头 几个数字是 9，末几位数字是 0，“9”字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循 环部分的位数相同。 【分数化有限小数判断法】 若进一步研究，它又有以下的三种情况： 396 5（即与 10 互质），或者除 2 和 5 以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化成 有限小数，而只能化成无限循环小数。 这里，又有以下的两种情况： 和 5 时，这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数列 9，99，999，9999，…… 各项中，能被分母 b 整除的最小的数所含“9”字的个数相同。 397 分母 37 去除 9，99，999，9999，……，能整除的 最小的数是 999，即 99937（即“999 能被 37 整除”，“”是整除符号；亦可逆读为“37 能整除 999”） 也可以表示为 37｜999（即“37 能整除 999”，“｜”也是整除符号；亦可逆读为“999 能被 37 整除”。） 这里“999”，含有 3 个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是 3 个： =0.513 以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，跟 2 和 5 在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列 9，99，999，9999，…… 各项中，能被分母内 2 和 5 以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数相 同。 质因数 11，所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是 3 个（最高乘方 23 的 指数为 3），循环部分的循环节数字是两个（11｜99，“9”的个数为 2 个）： 概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种： （1）若分母只含质因数 2，5，则化得的小数是有限小数； （2）若分母不含质因数 2，5，则化得的小数是纯循环小数； 398 （3）若分母既含质因数 2，5，又含 2 和 5 以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。 注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。 【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的百 分比浓度。求法是 例如，用白糖（溶质）1 千克，开水（溶剂）4 千克混合以后，所得的糖水（溶液）的百 分比浓度是 用对称关系找约数 【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用约数的对称 关系去找，就能解决这一问题。方法是： （1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数； 再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。例 如，找出 36 的全部约数： 因为 36=62，6 是所有约数的“中心数”。比中心数 6 小的约数很容易找到，它们是 1、2、 3、4 四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是 36（与 1 对应）、18（与 2 对应）、12（与 3 对应）和 9（与 4 对应）。如下图（图 4.7）： （2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。例如，找出 102 的全部约数： 因为 102＜102＜112，所以可选 10 或 11 为“近似中心数”。然后找出比这个近似中心数 小的所有约数——1、2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数——102、51、34、17。如 下图（图 4.8）： 399 （注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。） 【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。例如 求 24 和 36 的最小公倍数。如图 4.9： 24 和 36 的最小公倍数是 24×3=72，或 36×2=72。 这样做的道理很简单。因为 所以，用 24 乘以 36 独有的质因数 3，或者用 36 乘以 24 独有的质因数 2，都能得到 24 与 36 的最小公倍数 72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“×”， 把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们的最小公倍数。 又如，求 20、12 和 18 三个数的最小公倍数。如图 4.10： ∵20 和 12 的最小公倍数是 20×3=60， 60 和 18 的最小公倍数是 60×3=180， ∴20、12 和 18 三个数的最小公倍数便是 180。 如果先求 20 和 18 的最小公倍数，再用这个最小公倍数与 12 去求三个数的最小公倍数； 或者先求 12 和 18 的最小公倍数，再用这个最小公倍数与 20 去求三个数的最小公倍数，也是 可以的。 12、用补充数速算 末尾是一个或几个 0 的数，运算起来比较简便。若数末尾不是 0，而是 98、51 等，我们 可以用（100—2）、（50＋1）等来代替，这也可能使运算变得比较简便、快速。一般地我们 把 100 叫做 98 的“大约强数”，2 叫做 98 的“补充数”；50 叫做 51 的“大约弱数”，1 叫 400 做 51 的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行 运算，这种方法叫做“运用补充数法”。例如 （1）387＋99=387＋（100—1） =387＋100—1 =486 1680—89=1680-（100—11） =1680—100+11 =1580+11 =1591 4365-997=4365-（1000-3） =4365-1000＋3 =3368 69×9=69×（10-1） =690-69 =621 69×99=69×（100-1） =6900-69 =6831 87×98=87×（100-2） =8700-87×2 =8700-200+26 =8526 13、一般应用题 401 【和差的问题】 例 1 六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班，其余三个 班的总人数是 134 人。乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人。四个班的总人数是 _____。 （1990 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多 1 人。则乙、丙两班总人数的 3 倍就 等于（131+134-l）=264 人。所以，乙、丙两班共有 246÷3=88（人）。然后可求出甲、乙两 班总人数为 88+1=89（人），进而可求出四个班的总人数为 88+89=177（人）。 例 2 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五 年级的。现知道五、六年级共有 25 幅画，因此，其它年级的画共有____幅。 （1988 年北京市小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：由“16 幅画不是六年级的，15 幅画不是五年级的”可得出，五年级比六年级多 1 幅画。所以六年级共有 12 幅画。然后可求出其它年级的画共有（15-12）幅，即 3 幅。 例 3 甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中有 100 个故事。每人都认某一个故事开始按 顺序往后读。已知甲读了 75 个故事，乙读了 60 个故事，丙读了 52 个故事。那么甲、乙、丙 三人共同读过的故事至少有_____个。 （1991 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。 乙、丙两人最少共同读故事 60+52-100=12（个）。因为每人都从某一故事按顺序往后读, 所以甲读了 75 个故事。他无论从哪一故事开始读，都至少重读了上面 12 个故事。故答案是 12 个。 例 4 某工厂 11 月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相 同人数的工人到分厂工作。直到月底，总厂还剩工人 240 人。如果月底统计总厂工人的工作量 是 8070 个工作日（ 1 人 1 天为 1 个工作日），且无 1 人缺勤。那么，这月由总厂派到分厂工 作的工人共____人。 (北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题。） 讲析：到月底总厂剩下 240 名工人，这 240 名工人一个月的工作日为 240×30=7200（个）。 而 8070-7200=870（个）。 可知这 870 个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。 设每天派 a 人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是；a 人做 29 天，a 人做 28 天， a 人做 27 天，……a 人做 1 天。 402 所以，（1+29）×a×29÷2=870，可解得 a=2。 故，共派到分厂的工人为 2 × 30= 60（人）。 【积商的问题】 例 1 王师傅加工 1500 个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的 2.5 倍，后来再加 工 1500 个零件时，比改进技术前少用了 18 小时。改进技术前后每小时加工多少个零件？ （1989 年《小学生数学报》小学数学竞赛决赛试题） 讲析：改进技术后的工效提高到原来的 2.5 倍，后来加工 1500 个零件时，比改进技术前 少用 18 小时，则改进技术后加工 1500 个零件的时间是 18÷（2.5-1）=12（小时）。 原来加工 1500 个零件的时间是 12+18=30（小时） 于是，改进前每小时加工的便是 1500÷30=50（个）， 改进后每小时加工的便是 1500÷12=125（个）。 例 2 现有 2 分硬币、5 分硬币各若干个，其中 2 分的比 5 分的多 24 个，如果把 2 分硬币 等价换成 5 分硬币，所得的 5 分硬币要比原有的 5 分硬币少 6 个。原来两种硬币各有多少个？ （1993 年“光远杯”小学数学竞赛试题） 讲析：我们用方程来解，设原来有 x 个 5 分的硬币；则 2 分硬币共有（x+24）个。 由题意得：2（x+24）÷5=x-6。 解得：x=26，即 5 分币有 26 个。 于是，2 分币便有 26+24=50（个） 循环小数 【循环小数化分数】 小学数学竞赛试 题） 讲析：纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与 403 数推出？ （长沙地区小学数学竞赛预赛试题） 讲析： 循环节有 6 位数 字。 而（89-3）÷6=14 余 2。即小数点后第 89 位以后的数是 230769 循环。 【循环小数的计算】 （哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题） 讲析：可把小数都化成分数后，再计算，得 例 2 图 5.3 列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位 ________。 （1989 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 404 讲析：要想这个数最大，整数部分必须选 9。它有四种：9.291892915，9.189291592， 9.291592918，9.159291892。无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。所以， 以上四数中最大的是 9.291892915。再考 14、旋转变换 【旋转成定角】例如下面的题目： “在图 4.23 中，半径为 8 厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上， 圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？” 按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形 围绕圆心旋转 45°，使原图变成图 4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。 所以，大正方形面积比小正方形的面积大 （8×2）×（8×2）÷2 =16×16÷2 =128（平方厘米） 又如，如图 4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米） 405 表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分 别按顺时针和逆时针方向旋转 90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图 4.26），于 是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略） 【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个 定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图 4.27 的阴 影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法， 计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的 扇形打开，顺时针方向旋转 90°，得到图 4.28；再继续旋转，得到图 4.29。在图 4.29 中， 阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影部分面积是 42×3.14÷2-（4+4）×4×2 =25.12-16 =9.12（平方厘米） 又如，求图 4.30 阴影部分的面积（单位：厘米）。 将这个图从中间剪开，以 o 为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变 成了图 4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为 2 厘米的一个空白等腰 直角三角形面积的差。即 （4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2 =6.28-2 =4.28（平方厘米） 406 15、小数和分数 【小数问题】 例 1 某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大 25.65，原数是_______。 （1993 年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题） 讲析：小数点向右移动一位以后，数值扩大了 10 倍，新数比原数就多 9 倍。所以，原数 为 25.65÷9=2.85。 例 2 甲、乙两个数之和是 171.6，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是________。 （1993 年广州市小学数学竞赛试题） 讲析：由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的 10 倍。所以，乙 数是 171.66÷（10+1）=15.6，甲数是 15.6。 例 3 用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数点，使它变成小 数，差就增加 154.44，这个整数是________。 （1990 年《小学生报》小学数学竞赛试题） 讲析：因为差增加 154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了 100 倍，即这个整数比原 数增加了 99 倍，由 154.44÷99=1.56 可知，这个整数是 156。 【分数问题】 （1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题） 407 讲析： 20×11+2=222，15×11=165。 （1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 7 至 64 这 58 个连续自然数中，去掉 13 的倍数 13、26、39、52 四个数，用余下的 54 个 数作分子，可得到 54 个最简分数。 c，则三个分数的和为 6。求这三个真分数。 （第三届《从小爱数学》邀请赛试题） 因为三个分数为最简真分数，所以 a 只能是 1、2，b 只能取 1、3，C 只能取 1、5。 经检验，a=2，b=3，c=5 符合要求。故三个真分数分别是 例 4 地同时满足下列条件的分数共有多少个？ 408 （2）分子和分母都是质数； （3）分母是两位数。 请列举出所有满足条件的分数。 （1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题） 讲析：100 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、 即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法，来搜寻分母。 所以，符合条件的分数有 12 个： 409 16、特殊解题方法 【穷举法】 解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复 不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。 例 1 从甲地到乙地有 A、B、C 三条路线，从乙地到丙地有 D、E、F、G 四条路线。问从 甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图 3．28） 分析：从甲地到乙地有 3 条路线，从乙地到丙地有 4 条路线。从甲地经过乙地到达丙地共 有下列不同的路线。 解：3×4＝12 答：共有 12 条路线。 410 例 2 如果一整数，与 1、2、3 这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式， 能使结果等于 24，那么这个整数就称为可用的。在 4、5、6、7、8、9、10、11、12 这九个数 中，可用的有_______个。（1992 年小学数学奥林匹克初赛试题） 分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。 4×（1＋2＋3）＝24 （5＋1＋2）×3＝24 6×（3＋2－l）＝24 7×3 十豆十 2—24 8×3×（2－1）＝24 9×3—1—2—24 10×2＋l＋3＝24 11×2＋3－l＝24 12×（3＋1－2）＝24 通过计算可知，题中所给的 9 个数与 1、2、3 都能够组成结果是 24 的算式。 答：可用的数有 9 个。 例 3 从 0、3、5、7 中选出三个数字能排成_______个三位数，其中能被 5 整除的三位数 有_________个。（1993 年全国小学数学竞赛预赛试题） 分析：根据题中所给的数字可知： 三位数的百位数只能有三种选择： 十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有 3 种选择； 个位数在余下的两个数字中取一个数字，有 2 种选择。 解:把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被 5 整除的。 305， 307， 350， 357， 370， 375； 503， 507， 530， 537， 570， 573； 703， 705， 730， 735， 750， 753 答：能排成 18 个三位数，其中能被 5 整除的有 10 个数。 411 例 4 数一数图 3．30 中有多少个大小不同的三角形？ 分析：为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形，可以把三角形分成 A、 B、C、D 四类。 A 类：是基本的小三角形，在图中有这样的三角形 16 个； B 类：是由四个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形 7 个。6 个尖朝上，一个 尖朝下。 C 类：是由九个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形 3 个，尖都朝上。 D 类：是最大的三角形，图中只有 1 个。 解：16＋7＋3＋1＝27（个） 答：图中有大小不同的三角形共 27 个。 【设数法】 有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两 个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂， 凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设 一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设 数法是假设法的一种特例。 给哪一个未知量设数，要便于快速解题。为了使计算简便，数字尽可能小一点。在分数应 用题中，所设的数以能被分母整除为好。若单位“ 1”未知，就给单位“1”设具体数值。 例 1 判断下列各题。（对的打√，错的打×） （1）除 1 以外，所有自然数的倒数都小于 1。（ ） 412 （2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（ ） 以上各数的倒数都小于 1，就能猜测此题的说法是正确的。 第（2）小题，给正方体的棱长设数，分析棱长的变化与其体积变化的规律。 由上表看出，正方体的棱长扩大 2 倍，体积扩大 8 倍；棱长扩大 4 倍，体积扩大 64 倍…… 这不符合正比例的含义，就能断定此题的说法是错误的。 几分之几？ 分析：先把女生人数看作单位“1”，假定女生人数为 60 人。男生人数则为 女生人数比男生人数少几分之几，则为 解：通过设数分析，理清了数量关系，找到了解题线索，便能顺利地列出综合算式。 。 413 分析：这道题似乎条件不够，不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系，给从 A 地去 B 地的速度设一个具体数值试一试。 假设去时每小时走 20 千米，那么 A、B 两地的路程就是： 沿原路回家的速度则为： 回家时所需的时间则为： 解：把全路程看作单位“1”。 例 4 已知甲校学生数是乙校学生数的 40％，甲校女生数是甲校学生数的 30％，乙校男生 数是乙校学生数的 42％，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是____。 （1993 年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛 B 卷） 分析：题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。我们不妨把乙校人 数看作单位“ 1”，给乙校学生人数假定一个具体数值，这样就化难为易了。若假定乙校学生 为 500 人，则甲校学生为： 500×40％= 200（人） 由甲校女生数是甲校学生数的 30％，则甲校女生数为： 200×30％=60（人） 由乙校男生数是乙校学生数的 42％，则乙校女生数为： 414 500×（1-42％）=290（人） 两校学生总数为： 500＋200=700（人） 两校女生总数为： 60＋290=350（人） 则两校女生总数占两校学生总数的百分比为： 350÷700=50％ 解：[500×40％×30％＋500×（1-42％）]÷（500＋200） =[60+290] ÷700 =350÷700 =50％ 或[40％×30％+（1-42％）]÷（1＋40％）=50％ 答：两校女生总数是两校学生总数的 50％。 例 7 如图 3.32，正方形面积为 20 平方厘米，求阴影部分的面积。 分析：一般的解法是先求正方形的边长和圆的半径，再求圆面积，然后用正方形的面积减 去圆面积，即得阴影部分的面积。这样算就要用到开平方的知识。如果假设正方形的边长为 1， 运用小学的知识便能解决这个问题。我们可以先求阴影部分的面积占正方形面积的百分之几， 再计算阴影部分的面积。 设正方形的边长为 1，正方形的面积则为： 12=1 圆的半径则为： 415 圆面积占正方形面积的百分比为： 阴影部分的面积占正方形面积的百分比为 1-78.5％=21.5％ 由此可知阴影部分的面积为 20×21.5％=4.3（平方厘米） 解：设正方形的边长为 1，则阴影部分的面积为 =20×21.5％ =4.3（平方厘米） 答：阴影部分的面积为 4.3 平方厘米。 注意：如果把正方形的边长设为其它数，计算的结果都是相同的。 【类比法】类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。类比推理是根据两个对象有一 部分属性相类似，从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。类比推理是 富于创造性的一种思维方法，在小学数学中有着广泛的应用。例如，分数和比都含有相除的意 义，我们根据除法的商不变性质，类推出分数的基本性质和比的基本性质。在解答数学题时， 遇到问题 A 和问题 B 有许多类似的属性，见到问题 B 时就会联想到问题 A，于是可以用解决 问题 A 的办法去解决问题 B，或者用解决问题 B 的办法去解决问题 A。 例 1 从时针指向 3 点整开始，经过多少分钟，分针正好与时针重合？ 分析：此题与追及问题相类似。如果把钟面上 1 分钟的距离作为 1 格，则 1 小时分针走 60 格，时针走 5 格。那么分针走 1 格， 经过多少时间分针与时针重合，实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题。 416 例 2 A、B、C、D、E、F、G7 个站，每两站间都是相隔 600 米。问从 A 站到 G 站的路 程是多少米？ 分析：不能简单回答从 A 站到 G 站的路程是 600×7=4200（米）。此题与在不是封闭的 线路上要求两端都要植树的问题相类似，把 7 个站看成 7 棵树，根据段数比棵树少 1 的道理解 答此题。 解：600×（7-1）=3600（米） 答：从 A 站到 G 站的路程是 3600 米。 例 3 王老师为学校购买音乐器材。他带去的钱可以买 10 台手风琴或 50 把提琴，如果他 买了 6 台手风琴后，把剩下的钱全部买提琴，可以买多少把提琴？ 分析：题中没有给出王老师带了多少钱，以及提琴和手风琴的单价等条件，怎么能算出剩 下的钱可以买多少把提琴呢？可是仔细一想，便可发现此题与工程问题相似。如果把王老师一 共带的钱数看作“ 1”，则每台手风琴 =20（把） 答：可以买 20 把提琴。 此题还可用解正比例应用题的方法来解答，把题意转化为：“买 10 台手风琴的钱与买 50 把提琴的钱相等，买 4 台手风琴的钱可以买多少把提琴？” 解：设可以买 x 把提琴 10∶（10-6）=50∶x 417 答：可以买 20 把提琴。 【尝试法】解答某些数学题，可以先根据题意对题目的答案进行猜测，然后把猜测的答 案试一试，看这个答案是否符合题意。如果符合，则问题就得到解决。如果不符合，就得对答 案进行调整，或者重新猜测，直到找出正确的答案为止。这种解题方法就是尝试法，或者叫做 试验法。 例 1 把 0、4、6、、7、8、9 这六个数字，分别填入下面算式的方框内，每个方框只许填 一个数字，使每个等式都成立。 分析：比较两个等式，先填第二个等式有利于快速解题。根据所给出的数字来分析，能使 第二个等式成立的情况有两种： 6×9=54 7×8=56 如果把 6×9=54 填入第二个等式，那么还剩下 0、7、8 三个数字，经过多次试验，这三 个数字不可能使第一个等式成立。说明应重新调整。 把 7×8=56 填入第二个等式，那么还剩下 0、4、9 三个数字，把这三个数字填入第一个 等式，能使第一个等式成立，问题便得到解决。 例 2 有一类小于 200 的自然数，每一个数的各位数字之和为奇数，而且都是两个两位数 的乘积（例如 144=12×12）。那么这一类自然数中，第三大的数是_____。（1992 年小学数 学奥林匹克初赛试题） 根据条件，可以猜测这些两位数的十位数只可能是 1，而且两位数中不能出现 11，因为 11×11=121，11×12=132，11×13=143……乘积的每位数字之和均为偶数，不合题意，应予 排除。经过分析，猜测有了一定的范围，于是进行尝试，边尝试边筛选，以求得正确的解答。 10×10=100 10×12=120 10×13=130（不合题意） 10×14=140 10×15=150（不合题意） 10×16=160 下面把不符合题意的情况，不再列举出来。 12×12=144，12×14=168， 12×15=180，13×14=182， 418 13×15=195。 把以上符合题意的乘积按从大到小的顺序排列：195、182、180、168、160、144、120、 100。第三大的数是 180。 答：满足题设条件的自然数中，第三大的数是 180。 分析：为了统一单位“1”，把条件进行转化 ↓转化 ↓转化 因为人的个数是自然数，根据条件可以知道一队的人数一定是 4 和 5 的公倍数。在 100 以内的数中 4 和 5 的公倍数有 20、40、60…… 凭直觉，认为一队人数是 20 人。如果认定这个猜测是正确的，那么二队 100-20-15-16=49（人） 如果对这个答案有怀疑，不妨再试。若一队人数为 40 人，则二队人数为 30 人，三队人数 为 32 人，这样四个队的人数就超过了 100，显然不合题意。因此，第一次尝试的答案是正确 的。 解：通过转化条件和尝试求出一队人数为 20 人。 419 答：四队有 49 人。 【探索法】当我们要解决某一个较复杂的问题时，可以从这个问题的部分特殊的情况入 手，通过观察、分析、推理，从而探索出普遍的规律，运用这个规律，求得问题的解答。这就 是探索法。 例 1 在下面的数表中，第 1994 行左边第一个数是____。 分析：先看数表中各数排列的情况，表中排列的数是 2、3、4、5……等自然数，每行三 个数，单行自左往右，双行自右往左。左边每行第一个数按 7、13、19……排，这是一列公差 为 6 的等差数列。通过仔细观察，就会发现一个规律，就是数表左边第一个数等于它所在的行 数乘以 3 加 1，即 左边第一个数=行数×3+1 运用这个规律，便能十分迅速地求出第 1994 行左边第一个数是： 1994×3＋1=5983 这个答案是否正确，可以通过计算验证。 7＋6×（1994÷2－1）=5983 由此证明原答案是正确的。 答：数表中第 1994 行左边第一个数是 5983。 例 2 先找出下面数列的排列规律，然后在括号里填上适当的数。 （1） 2，8，32，128，( ) （2） 1，4，5，2，8，10，4，( )，( )。 分析：观察（1）题，发现相邻两个数后一个总是前一个数的 4 倍，因此括号里应填 512。 再看第（2）题，可以把每三个数分为一组，比较组与组之间数字排列的规律，如图 3.33。 420 通过比较，发现后一组数中每一个数都分别是前一组数中相对应位置的那个数的 2 倍，因 此括号里应填 16，20。 解：（1）2，8，32，128，（512）。 （2）1，4，5，2，8，10，4，（16），（20）。 分析：我们不必计算到小数点后第 1998 位，可以从研究部分情况入手，发现规律，进行 推理，而求得问题的解答。 可求得小数点后第 1998 位数是几？ 解：（1998-1）÷6=332……5 由上式可知 1998 位数字在循环节重复出现 332 次后的第五位上，因此这个数字是 5。 答：小数点后面第 1998 位数字是 5。 例 4 数一数右图（图 3.34）中有多少个三角形。 分析：要知道图 3.34 有多少个三角形，不妨先分析图 3.35 这个简单图形。三角形 A’B’ C’的 B’C’边上有 5 个点，线段总数为： 4+3+2+1=10 数一数这个图形中正好一共有 10 个三角形。于是可以知道底边上有多少条线段，便有多 少个三角形。 421 用以上规律来研究三角形 ABC 中一共有多少个三角形。这个三角形共分为三层，线段 AB，DE，FG 上都有 5 个点，从图上可知一层有三角形的个数是 4＋3＋2＋1=10（个） 那么三角形 ABC 中共有三角形 10×3=30（个） 解：（4＋3＋2＋1）×3=30（个） 答：三角形 ABC 中共有三角形 30 个。 例 5 先观察后计算 13+23=9 （1+2）2=9 13+23+33=36 （1+2+3）2=36 13＋23＋33＋43=100 （1+2＋3＋4）2=100 13＋23＋33+43＋53=225 （1＋2＋3＋4＋5）2=225 …… …… 计算：13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83=？ 分析：通过观察，发现了这样的规律，即从 1 开始的连续自然数立方之和与这些连续自然 数之和的平方。根据这个规律可以巧算出 13＋23+33＋………＋83=（1+2＋3＋……+8）2 =362 =1296 【染色法】有许多数学问题，可以用不同的颜色来区分事物的不同类别。通过着色把各 种条件和问题，形象、直观地显示出来，使分析和处理问题，变得具体和明朗起来，从而使我 们能找到一条解决问题的捷径。 422 例 1 图 3.36 由 18 块 1×1 的正方形拼成，你能否用 9 块 2×1 的长方形将图形盖住。 分析与解：我们将图形中的小方格黑白相间涂色（如图 3.37），那么有 8 块白格和 10 块 黑格。每一块 2×1 的长方形能够且只能盖住一块白格和一块黑格。用 8 块 2×1 的长方形覆盖 后，余下两块黑格，而余下的那块 2×1 的长方形是无法盖住 2 块黑格的。 所以 9 块 2×1 的长方形无法将题设的图形盖住。 例 2 右图（图 3.38）为某展览会展室的布局，相邻两室之间有门相通，参观的人能否从 入口进入 A 室依次而入，又不重复地看过各室的展览后，从 B 室进入出口处？ 分析与解：为了说清楚问题，如图（3.39）将各展室黑白相间涂上颜色。不管人们选择什 么路线，总是出了白室进黑室，出了黑室进白室。共有 16 个展室，要经过 15 道门。从 A 出 发过第 1 道门进入黑室。过第 2 道门进入白室，过第 3 道门进入黑室……，过第 15 道门进入 黑室，而 B 室是白室。所以想从白室依次而入，不重复地看过各室从 B 室进入出口是不可能 的。 例 3 17 名科学家每两名都通信讨论问题，在他们的通信中仅讨论三个问题，任何一对科 学家只讨论一个问题，那么至少有三个科学家互相通信讨论同一个问题。你能说明这个理由 吗？ 423 分析与解：将三个不同问题，用红、黄、蓝三种颜色表示，17 名科学家看作 17 个点，两 点之间用或红、或黄或蓝的线段相连接表示讨论某个不同的问题。每一点都要发出 16 条线段。 由抽屉原理，至少有 6 条线段同色。如图 3.40 表示从点 A 发出的 6 条同色线段 AA1、AA2、 AA3、AA4、AA5、AA6，不妨设这 6 条线段是红色。 下面考虑 A1、A2、A3、A4、A5、A6 之间连线的着色情况 （1）若这 6 点所连线段至少有一条红色，例如 A1A2，那么三角形 AA1A2 三边是红色，表 示这三个科学家互相讨论同一个问题。 （2）若这 6 点间所连线段没有一条红色。那么只能是黄色和蓝色。这 6 点每一点可发出 5 条线段。由抽屉原理，至少有三条同色，不妨设为黄色。如图假设 A1A2，A1A3，A1A4 为黄 色。再考虑 A2、A3、A4 间所连线段的着色情况。 ①若 A2、A3、A4 间的连线至少有一条黄色，不妨设 A2A3 为黄色，那么得三角形 A1A2A3 是三边黄色的三角形，表示这三个科学家讨论同一问题。 ②若 A2、A3，A4 间的连线没有一条黄色，那么就得一个三边为蓝色的三角形 A2A3A4，表 示这三个科学家讨论同一问题。 由以上讨论可知，无论怎样，至少有三个科学家互相通信讨论同一个问题。 424 17、算式谜 【添运算符号】 例 1 能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立？ 1□2□3□4□5□6□7□8□9=10 （全国第三届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：在只有加减法运算的算式中，如果只改变“＋”、“-”符号，不会改变结果的奇 偶性。 而 1＋2+……＋9=45，是奇数。所以无论在□中，怎样填“＋”、“-”符号，都不能使 结果为偶数。 例 2 在下列□中分别填上适当的运算符号，使等式成立。 12□34□5□6□7□8=1990 （1990 年广州市小学数学邀请赛试题） 讲析：首先凑足与 1990 接近的数。12×34×5=2040，然后调整为：12×34×5-6×7-8=1990。 例 3 在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立 （中南地区小学数学竞赛试题） 讲析：可先凑足与 1993 接近的数。 1122＋334＋455+66+7+7=1991。 然后，用后面的二个 8 和二个 9，凑成 2，得 1122+334+455+66+7+7-8-8+9+9=1993。 425 【横式填数】 例 1 如果 10+9-8×7÷□+6-5×4=3，那么，“□”中所表示的数是______。 （上海市小学数学竞赛试题） 讲析：等式左边能计算的，可先计算出来，得 5—56÷□=3，∴□=28。 例 2 在两个□中分别填上两个不同的自然数，使等式成立。 （全国第四届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析： 时，等式都能成立。 所以，A=1994；B=1993×1994=3974042。 （1993 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析： A+B=3。 例 4 在下面的○、□和△中分别填上不同的自然数，使等式成立。 （1987 年北大友好数学邀请赛试题） 讲析： 426 最大为： 所以，○、□和△应填的数分别是 2、3、9。 例 5 在下面的□中，分别填上 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中的一个数字（每个式子中 的数字不能重复），使带分数算式： （第一届《从小爱数学》邀请赛试题） 讲析：可从整数部分和小数部分分开考虑。要使减法式的值最大，必须使被减数最大而 减数最小，从而可得 要使加法式的值最小，首先必须使每个加数中的整数部分尽可能小。从 【数字谜】 例 1 图 5.8 的算式里，每个□代表一个数字。问：这 6 个□中的数字总和是多少？ （全国第三届“华杯赛”初赛试题） 427 讲析：任意两个数字之和最多为 18，且最多只向前一位进一，所以百位上的两个数字和 十位上的两个数字都是 9，而个位上的两位数可能为：（2，9），（3，8），（4，7），（5， 6）之一种，故 6 个□内的数字总和为 9×4＋11=47。 例 2 已知两个四位数的差是 8921（图 5.9），那么这两个四位数的和最大是______。 （1993 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：要使这两个四位数的和最大，必须使被减数尽量大。故被减数为 9999。进而可求 出减数为 1078，两数和为 9999＋1078=11077。 例 3 如图 5.10 的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求 使算式成立的汉字所表示的数字（数+学+喜）×爱=______。 （北京市第八届“迎春杯”小学数学邀请赛试题） 讲析：可从个位上开始思考。（学+学+学+学）的个位为 2，则“学”只能是 3 或 8。当 “学”=8 时，“数”=2。这时十位上的数相加之后，没有向百位上进一，从而使（“爱”＋ “爱”）不可能个位上是 9。 所以，“学’不等于 8。 当“学”=3 时，容易推出“数”=6，“爱”=4，“喜”=1。所以，（数+学+喜）×爱=（6 ＋3＋1）×4=40。 例 4 如图 5.11，竖式中四个□是被盖住的四个数字，这四个数字的和是多少？ 428 （哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题） 讲析：1992=2×2×2×3×83。从分解质因数情况看，要把 1992 分成两个两位数之积， 两个两位数只能是 24 和 83，故这四个数字之和为 2＋4+8＋3=17 例 5 在图 5.12 的算式中，只写出了 3 个数字 1，其余的数字都不是 1。那么这个算式的 乘积是______。 （1994 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：可用字母来代替各数字（如图 5.13）。显然，F=K，E=O。又， 只有 27×4 或 17×6。 C≠3。 于是得 B=3，C=7。 又因 AB×D=10F，可推出 A=5，D=2，从而容易求出算式的答案为 53×72=3816 例 6 在图 5.14 的式子中，不同的汉字代表不同的数字，□代表一位自然数。要使算式成 立，“盼”字代表数字______。 （1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题） 429 讲析：经观察发现，积是由相同的数字组成的 9 位数，则积中一定含有因数 3 和 9。而当 □为 3 时，式中的积除以 3 所得的商，一定含有相同的数字。这与题意矛盾。所以□为 9。 经检验，“盼”字代表“7”。被乘数是 86419753。 18、速算公式 【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是 a，个位上的数分别为 b 和 c，且 b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为 （10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc =102a2+10a（b+c）+bc =100a2+100a+bc ＝a（a+1）×100+bc。 根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大 1 的数的 积的 100 倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。 例如，72×78=（7×8）×100+2×8 =5616 45×45=（4×5）×100+5×5 =2025 首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如 256×254 430 可取 a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得 256×254=[25×（25+1）]×100+6×4 =[25×26]×100+24 =65024 又如，155×155=（15×16）×100+5×5 =24025 【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是 a 和 b，且 a+b=10， 个位上的数字都是 c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为 （10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2 ＝100ab+10c（a+b）+c2 =100ab+100c+c2 =（ab+c）×100+c2。 根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一 个末位数，再乘 100 然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。 例如，34×74=（3×7+4）×100+42 =25×100+16 =2516 【两个末位是 1 的两位数相乘公式】设两个末位都是 1 的两位数，十位上的数字分别是 a 和 b，则它们的积是 （10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+12 ＝10a×10b+（a+b）×10+1 由这一公式可知，两个末位是 1 的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得 的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的 10 倍，最后在后面添上 1。 例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1 =3500+12091 =3621。 431 这样的题目，口算的方法可以是： 【两个首位是 1 的两位数相乘公式】设两个首位为 1 的两位数，个位上的数字分别是 a 和 b，则它们的积是： （10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab =（10+a+b）×10+ab。 由这一公式可知，两个首位是 1 的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所 得的结果乘以 10 以后，再加上两个末位数的乘积。 例如，17×16=（17+6）×10+7×6 =230+42 =272。 【接近 100 的两个数相乘公式】接近 100 的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算 方法。 （1）两个超过 100 的数相乘。 设两个超过 100 的数分别为 a 和 b，它们与 100 的差分别为 h 和 k，则 a=100+h，b=100+k。 它们的积是 a·b＝（100+h）（100+k） =（100+h）×100+100k-hk =（100+h+k）×100+hk =（a+k）×100+hk。 由这一公式可知，两个超过 100 的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与 100 的差，然 后将所得的结果乘以 100 以后，再加上两个因数分别与 100 的差（补充数）的乘积。 例如，108×112=（108+12）×100+8×12 =12000+96 =12096。 432 快速口算的思考方法可以是： 又如，103×102=（103+2）×100+3×2 =10500+6 =10506 快速口算的思考方法可以是 （2）两个不足 100 的数相乘。 设两个不足 100 的数一个为 a=100-h，另一个为 b=100-k，则它们的积是 a· b=（100－h）（100－k） =（100-h）×100-100k+hk =（100-h-k）×100+hk =（a-k）×100+hk。 由这个公式可知，两个不足 100 的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另一个因数与 100 的差，然后将所得结果乘以 100 以后，再加上两个因数分别与 100 的差（两个补充数）的 乘积。 例如，89×97=（89-3）×100+11×3 =8600+33 =8633 快速口算的思考方法可以是 433 又如，89×88=（89-12）×100+11×12 =7700+132 =7832。 快速口算的思考方法可以是 （3）一个超过 100，一个不足 100 的两个数相乘。 设一个因数 a 比 100 大 h，即 a=100+h；另一个因数 b 比 100 小 k，即 b=100-k，则它们的 积是 a·b=（100+h）（100-k） =（100+h）×100-100k+hk =（100+h-k）×100+hk ＝（a-k）×100-hk。 由这个公式可知，一个超过 100、一个不足 100 的两个数相乘，可以先从大于 100 的因数 中，减去另一个因数与 100 的差，然后将所得的结果乘上 100 以后，再减去两个因数分别与 100 之差（两个补充数）的乘积。 例如，104×97=（104-3）×100-4×3 =10100-12 =10088 快速口算思考方法可以是 【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。平方差公式用 字母表达就是： （a+b）（a-b）=a2-b2 434 运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。例如 362-262=（36+26）×（36-26） =62×10=620 672-522=（67+52）×（67-52） =119×15 =1190+595=1785 872-762=（87+76）×（87-76） =163×11 =1630+163 =1793 这个公式反过来，也可以运用于两数相乘的速算。但其前提是：两个因数必须能化成同样 的两个数的和与差。例如 17×23=（20-3）×（20+3） =（20+3）×（20-3） =202-32 =400-9 =391 94×86=（90+4）×（90-4） =902-42 =8100-16 =8084 以上两例的特点是：首位相差 1，末位数字之和是 10。这样两个数相乘，可用较大数的十 位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后运用平方差公式进行速算。 【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘，可先将一个乘数的个位 数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积。即 （10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）×10a+bc 435 例如，43×46=（43+6）×40+3×6 =1978 84×87=（84+7）×80+4×7 =7308 【一因数两数字和是 10，另一因数为 11 的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为 a 和 b，且 a+b=10，另一个因数为 11 的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的 十位数字加 1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以 100，然后加上两个个位数之积。即 （10a+b）（10c+c）=（a+1）c×100+bc。 例如，73×44＝（7+1）×4×100+3×4 =3212。 【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两个十位数字相 乘，再乘以 100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数。 即 （10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c。 例如，42×32=4×3×100+（42+30）×2=1344。 【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘以十几的个位数 数字，再加上几十几的 10 倍，然后加上两个个位数字之积。即 （10a+b）（10+c）=10a×c+（10a+b）×10+bc。 例如，65×17=60×7+650+5×7 =1105。 【末两位为 25 的三位数自乘公式】末两位为 25 的三位数自乘时，可以用首位数字的 10 倍与 5 的和，去乘以首位数字的 1000 倍，然后加上 625。即 （100a+25）2=（10a+5）×1000a+625。 例如，7252=（70+5）×7000+625 =525625 如果直接写答案，可以是 7252=525 625 436 ↑ ↑ 75×7 252 又如，3252=105 625 ↑ ↑ 35×3 252 【末两位为 75 的三位数自乘公式】 末两位为 75 的三位数自乘时，可用首位数字的 10 倍与 5 的和，去乘以首位数字与 1 的和的积的 1000 倍，再加上 625。即 （100a+75）2=（10a+5）×（a+1）×1000+625。 例如，8752=（80+5）×（8+1）×1000+625 =765625 如果直接写答案，可以是 8752=765 625 ↑ 85×9 又如，3752=140 625 ↑ 35×4 19、四则运算性质 【加法运算性质】加法的运算性质主要有以下三条： （1）一个数加上几个数的和，可以把这个数加和里的第一个加数，再加第二、三……个 加数。 用字母来表达，可以是： a+（b+c+d）=a+b+c+d。 437 例如，85+（15+57+43）=85+15+57+43 =100+57+43 =157+43 =200 （2）几个数的和加上一个数，可以把这个加数加到和里的任意一个加数上去，再加和里 的其他加数。 用字母来表达，可以是： （a+b+c）+d=（a+d）+b+c =a+（b+d）+c =a+b+（c+d）。 （3）几个数的和加上几个数的和，可以把两个和里的所有加数依次相加。 用字母来表达，可以是: （a1+a2+a3+……+an）+（b1+b2+b3+……+bn） =a1+a2+a3+……+an+b1+b2+b3+……+bn 例如，（800+70+6）+（1200+500+60+7） =800+70+6+1200+500+60+7 =2643 【加减混合运算性质】“加减混合运算性质”也可称为“和与差的性质”。这些性质有以 下几条： 438 （1）第一个数加上（或减去）第二个数，再减去第三个数，可以把第一个数先减去第三 个数，再加上（或减去）第二个数。这就是说，在加减混合运算中，改变运算的顺序，得数不 变。这常被称之为加减混合运算的“交换性质”。 用字母来表达这一性质，可以是： a+b-c=a-c+b； 或 a-b-c=a-c-b。 例如 3458+6789-2458=3458-2458+6789 =1000+6789 =7789 4087-1198-2087=4087-2087-1198 =2000-1198 =802 （2）一个数加上两个数的差，等于这个数加上差里的被减数，再减去差里的减数。这可 以称之为加减混合运算的“结合性质”。 用字母表示这一性质，可以是： a+（b-c）＝a+b-c 例如，1364+ （8636-2835）= 1364+ 8636-2835 =10000-2835 =7165 （3）一个数减去几个数的和，等于这个数依次减去和里的每一个加数。这也可称之为“结 合性质”。 用字母表示这一性质，可以是： a-（b+c+d+e）=a-b-c-d-e。 例如，8675-（605+1070+287） =8675-605-1070-287 =8070-1070-287 439 =7000-287 =6713 （4）一个数减去两个数的差，等于这个数先加上差里的减数，再减去差里的被减数。这 也是加减混合运算的“结合性质”。 用字母表示这一性质，可以是： a－（b－c）＝a+c－b。 例如，754-（600-246）=754+246-600 =1000-600 =400 （5）几个数的和减去一个数，可以用和里的等于或大于这个数的一个加数，先减去这个 数，然后再加和里的其他加数。这也是“结合性质”。 用字母表示这一性质，可以是： （a+b+c+d）-e=（a-e）+b+c+d（a、b、d 、d≥e） =a+（b-e）+c+d =a+b+（c-e）+d =a+b+c+（d-e）。 例如，（421+368+468）-368=421+（368-368）+468 =421+468 =889 （6）几个数的和减去几个数的和，可以用第一个和里的各个加数，分别减去第二个和里 不比它大的各个加数，然后相加。这也可称为“结合性质”。 用字母表示这一性质，可以是： （a+b+c+d）-（e+f+g+h） =（a-e）+（b-f）+（c-g）+（d-h） （a≥e，b≥f，c≥g，d≥h） 例如，（865+721+543+697）-（765+621+343+697） 440 =（865-765）+（721-621）+（543-343）+（697-697） =100+100+200+0 =400 【乘除混合运算性质】“乘除混合运算性质”也可称之为“积与商的性质”。它们的性质 可分为三类： 第一类是“交换性质”： 在乘除混合运算或连除的算式中，变更它们的运算顺序，得数的大小不变。 用字母表示这一性质，可以是： a·b÷c=a÷c·b（c≠0） a÷b·c=a·c÷b（b≠0） a÷b÷c=a÷c÷b（b≠0，c≠0） 例如 2460×376÷246=2460÷246×376 =10×376 =3760 6900÷25÷69=6900÷69÷25 ＝100÷25 =4 第二类是“结合性质”。结合性质有以下几条： （1）一个数乘以两个数的商，等于这个数先乘以商里的被除数，再用积除以商里的除数。 用字母表达这一性质，可以是： a·（b÷c）＝a·b÷c（c≠0） 例如 7×（400÷28）=7×400÷28 =2800÷28 =100 441 （2）一个数除以两个（或若干个）因数的积，等于这个数除以积里的一个因数，再依次 除以其他的因数。 用字母表达这一性质，可以是： a÷（b·c）=a÷b÷c（b、c≠0） a÷（b·c……·m）=a÷b÷c÷……÷m（b，c……m≠0） 例如，1050÷（2×3×5×7）=1050÷2÷3÷5÷7 ＝525÷3÷5÷7 =175÷5÷7 ＝35÷7 =5 （3）一个数除以两个数的商，等于这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数。 用字母表示这一性质，可以是： a÷（b÷c）＝a÷b×c（b≠0，c≠0） 例如，3600÷（360÷40）=3600÷360×40 =10×40 ＝400 第三类是“分配性质”。分配性质有以下几条： （1）两个数的差与一个数相乘，可以用被减数与减数分别与这个数相乘，然后再相减。 用字母表达这一性质，可以是： （a-b）c＝ac－bc a（b-c）=ab-ac 例如，（100-3）×21=100×21-3×21 =2100-63 =2037 78×（100-1）=78×100-78×1 442 =7800-78 =7722 （2）几个数的和除以一个数，可以用和里的每个加数分别除以这个数，再把所得的商相 加。 用字母表达这一性质，可以是: （a+b+c）÷d=a÷d+b÷d+c÷d。（d≠0） 例如，（3700+1110+37）÷37 =3700÷37+1110÷37+37÷37 =100+30+1 =131 注意：此性质不适用于“一个数除以几个数的和”，即 a÷（b+c+d）≠a÷b+a÷c+a÷d。 比方， 6850÷（100+37）≠6850÷100+6850÷37。 （3）两个数的差除以一个数，可以把被减数和减数分别除以这个数，再把所得的商相减。 用字母表达这一性质，可以是： （a-b）÷m=a÷m-b÷m（m≠0） 例如，（3400-68）÷34=3400÷34-68÷34 =100-2 =98 注意：此性质也不适用于“一个数除以两个数的差”。即 m÷（a-b）≠m÷a-m÷b。 比方 3400÷（68-34）≠3400÷68-3400÷34。 （4）几个数的积除以一个数，可以把积里的任何一个因数除以这个数，然后再与其他因 数相乘。 用字母表达这一性质，可以是： （a·b·c）÷m=（a÷m）·b·c＝a·（b÷m）·c=a·b·（c÷m）（m≠0） 443 例如，（20×48×5）÷8=20×（48÷8）×5 =20×6×5 =600 （5）几个数的积除以几个数的积，可以把第一个积里的各个因数，分别除以第二个积里 的各个因数，然后把所得的商相乘。 用字母表达这一性质，可以是： （a·b·c·d）÷（e·f·g）＝（a÷e）·（b÷f）·（c÷g）·d。（e·f·g≠0） 例如，（21×15×48）÷（7×3×16）=（21÷7）×（15÷3）×（48÷16）=3×5×3=45 444 20、四则计算 【基本题】 例 1 计算 7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7 （1991 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：本题的两个除数和乘数依次是 3.7，2.7，1.7，0.7。从数字上分析，不能运用简 便运算。所以，只能从左至右依次计算。结果是 850.85。 （1990 年江西省“八一杯”小学数学竞赛试题） 成假分数之后，分子都含有 22 的约数，于是可采用分配律计算。 （1994 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：两个分数的分母都是 3，所以，可把小数化成分数计算。 【巧算题】 （全国第三届“华杯赛”初赛试题） 445 讲析：括号中的三个数如果直接通分，则比较繁琐。经观察，可将三个分母分解质因数， 求出公分母；在求公分母的过程中，不必急于求出具体的数，而可边算边约分，能使计算简便 一些。 （1993 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：当把两个带分数化成假分数时，分子都是 65。于是，第一个括号中可提出一个 65， 第二个括号中可提出一个 5，能使计算变得比较简便。 例 3 计算： （全国第四届“华杯赛”复赛试题） 讲析：经观察发现，可将整数部分与分数部分分开计算。这时，每个带分数的分数部分， 都可以拆分成两个单位分数之差，然后互相抵消。计算就很简便了 例 4 计算： 446 （1990 年《小学生数学报》小学数学竞赛试题） 除以两数之积，就等于分别除以这两个数。然后可将它们重新组合计算为 法分配律计算。于是可将 10.375 分开，然后重新组合。 （1990 年小学数学奥林匹克初赛试题） 用字母代替去计算。 447 （长沙市小学数学奥林匹克集训队选拔赛试题） 26.3 乘以 2.5。这样计算，可较为简便。 原式=2.5×24.7＋29×2.5＋26.3×2.5 =2.5×（24.7+29＋26.3）=200。 例 8 已知 11×13×17×19=46189 计算：3.8×8.5×11×39 （广州市小学数学竞赛试题） 讲析：根据已知条件来计算另一个算式的结果，应尽量将计算式化成与已知条件式相同 或相似的式子。所以，可计算为： 原式=（2×1.9）×8.5×11×（13×3）=0.3×（11×13×17×19） =0.3×46189=13856．7 例 9 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+……+1990。 （福建省首届“小火炬杯”小学数学竞赛试题） 讲析：观察发现，形于“2-3-4+5”的结果为 0，于是可分组计算为 原式=1＋（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+……+（1986-1987-1988＋1989）＋1990 =1+1990 =1991 例 10 计算 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+……+0.99 （北京市 1988 年小学数学奥林匹克邀请赛试题） 讲析：可分组进行计算。注意到每相邻两数的差，可计算为 原式=（0.1+0.3+……+0.9）+（0.11+0.13+0.15+……+0.99） 448 =27.25 （1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：将前面几个括号中的结果计算出来以后，会发现分组计算较好，故算式可以是： 449 21、数字和与最大最小问题 【数字求和】 例 1 100 个连续自然数的和是 8450，取其中第 1 个，第 3 个，第 5 个，………，第 99 个 （所有第奇数个），再把这 50 个数相加，和是______。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：第 50、51 两个数的平均数是 8450÷ 100= 84. 5，所以，第 50 个数是 84。则 100 个连续自然数是： 35，36，37，………，133，134。 上面的一列数分别取第 1、3、5、……、99 个数得： 35，37，39，……131，133。 则这 50 个数的和是： 例 2 把 1 至 100 的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是_____。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析；可把 1 至 100 这一百个自然数分组，得 （1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……29），……， （90、91、92、……99），（100）。 容易发现前面 10 组中，每组的个位数字之和为 45。而第一组十位上是 0，第二组十位上 是 1，第三组十位上是 2，……第十组十位上是 9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+…… +9）×10=450。故所有数码的和是 45×10+450+l=901。 450 续若干个数字之和是 1992，那么 a=____。 （北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 又，1992÷27=73 余 21，而 21=8+5+7+1，所以 a=6。 例 4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种 方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106。那么，原来四个数的平均数是 （1993 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中 原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。 【最大数与最小数】 例 1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于 20 的合数，要使这三个分数 的和尽可能大,这三个分数是 （全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。 讲析： 20 以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19 要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真 例 2 将 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数分成三组，分别计算各组数的和。已知这三个 和互不相等，且最大的和是最小和的 2 倍。问：最小的和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛口试试题） 451 讲析；因为 1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的 例 3 把 20 以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）： 使 A 是整数。A 最大是多少？ （第五届《从小爱数学》邀请赛试题） 讲析：要使 A 最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。 分母分别取 2、3、5 时，A 都不能为整数。当分母取 7 时， 例 4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是 1，最大的数是 25。除 1 之外、这组数中 的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数 之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理 由。 （全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题） 析：观察自然数 1、2、3、4、5、……、25 这 25 个数，发现它们除 1 之外，每个数都能 用其中某一个数的 2 倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是 1+2+3+…… +25=325。 下面考虑数组中各数之和的最小值。 1 和 25 是必取的，25 不能表示成一个数的 2 倍，而表示成两个数之和的形式，共有 12 种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取 1、5、 20、25 时，还需取 2、3、10 三个；当取 1、10、15、25 时，还需取 2、3、5。经比较这两组 数，可知当取 1、2、3、4、5、10、15、25 时，和最小是 61。 452 22、数字串问题 【找规律填数】 例 1 找规律填数 （杭州市上城区小学数学竞赛试题） （1992 年武汉市小学数学竞赛试题） 讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。 第（1）小题各数的排列规律是:第 1、3、5、……（奇数）个数分别 别是 4 和 2。 第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数 453 得到了 例 2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合 适的数。 （1994 年天津市小学数学竞赛试题） 讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数， 是由前两数相乘再加上 1 得来的。所以空格中应填 33。 【数列的有关问题】 数是几分之几？ （第一届《从小爱数学》邀请赛试题） 讲析：经观察发现，分母是 1、2、3、4、5……的分数个数，分别是 1、3、5、7、9……。 所以，分母分别为 1、2、3……9 的分数共 454 例 2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…这个数列的第 1993 个数是______ （首届《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是 1，第二、三个数是从 1993 开始，依次减 1 排列。 而 1993÷3=664 余 1，可知第 1993 个数是 1。 例 3 已知小数 0.12345678910111213……9899 的小数点后面的数字，是由自然数 1—99 依次排列而成的。则小数点后面第 88 位上的数字是______。 （1988 年上海市小学数学竞赛试题） 讲析：将原小数的小数部分分成 A、B 两组： A 中有 9 个数字，B 中有 180 个数字，从 10 到 49 共有 80 个数字。所以，第 88 位上是 4。 例 4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）； 几行，自左向右的第几列。（全国第三届“华杯赛”决赛试题） 455 讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为 2，第二行每个分数的分子与分母之和为 3， 第三行每个分数的分子与分母之和为 4，……即每行各数的分子与分母之和等于行数加 1。 例 5 如图 5.4，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平 均数，那么第 100 行各数之和是_______。 （广州市小学数学竞赛试题） 讲析：可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和分别是 6、8、 10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的 2 倍加 4。故第 100 行各数之和为 100×2＋4=204. 例 6 伸出你的左手，从大拇指开始，如图 5.5 所示的那样数数：l、2、3……。问：数到 1991 时，会落在哪个手指上？ （全国第三届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：除 1 之外，从 2 开始每 8 个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。 ∵（1991—1）÷8=248 余 6，∴剩下最后 6 个数又从食指开始数，会到中指结束。 例 7 如图 5.6，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个弯，在“3”处 拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数？ 456 （全国第一届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），（10，13）， （17，21），（26，31），……。将会发现，每组数中依次相差 1、2、3、4、5、……。每组 的第二个数与后一组的第二个数依次相差 2、3、4、5、……。从而可推出，拐第二十个弯处 的数是 111。 例 8 自然数按图 5.7 顺次 排列。数字 3 排在第二行第一列。问：1993 排在第几行第几列？ （全国第四届“华杯赛”复赛试题） 讲析：观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。 每一斜行数的个数分别是 1、2、3、4、5、……，奇数斜行中的数由下向上排列，偶数斜 行中的数由上向下排列。 斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第 63 行第 1 列是 1954。 由于从 1954 开始，每增加 1 时，行数就减少 1，而列数就增加 1。所以 1993 的列数、行 数分别是： 1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行） 457 23、数阵图 【方阵】 例 1 将自然数 1 至 9，分别填在图 5.17 的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的 三个数之和都相等。 458 （长沙地区小学数学竞赛试题） 讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了 4 次，所以可先填中间一格的数。 （l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为 15。显然，中间一数填“5”。 再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图 5.18），便得解答如下。 例 2 从 1 至 13 这十三个数中挑出十二个数，填到图 5.19 的小方格中，使每一横行四个 数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。 （“新苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3 整除，又能被 4 整除，（三行四列）。 所以，能被 12 整除。十三个数之和为 91，91 除以 12，商 7 余 7，因此，应去掉 7。每列为（91 —7）÷4=21 而 1 至 13 中，除 7 之外，共有六个奇数，它们的分布如图 5.20 所示。 三个奇数和为 21 的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。经检验，三个奇数为 3、5、13 的不合 要求，故不难得出答案，如图 5.21 所示。 例 3 十个连续自然数中，9 是第三大的数，把这十个数填到图 5.22 的十个方格中，每格 填一个，要求图中三个 2×2 的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是______。 （1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 459 讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是 65。在三个 2 ×2 的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。 设中间两个小正方形分别填上 a 和 b，则（65＋a＋b）之和必须是 3 的倍数。所以，（a ＋b）之和至少是 7。 故，和数的最小值是 24。 【其他数阵】 例 1 如图 5.23，横、竖各 12 个方格，每个方格都有一个数。 已知横行上任意三个相邻数之和为 20，竖列上任意三个相邻数之和为 21。图中已填入 3、 5、8 和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。 （1994 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：可先看竖格。因为每相邻三格数字和为 21，所以每隔两格必出现重复数字。从而 容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。 同理可推导出横格各数，其中“×”=5。 例 2 如图 5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填 上数字 10、6，请在另外七个区域里分别填进 2、3、4、5、6、7、9 七个数字，使每个圆内的 数之和都是 15。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 460 讲析：可把图中要填的数，分别用 a、b、c、d、e、f、g 代替。（如图 5.25） 显然 a=5，g=9。 则有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。经适当试验，可得 b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。 例 3 如图 5.26，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是 20，而且每个小三角形三 个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是______。 （全国第一届“华杯赛”决赛试题） 讲析：最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶 点上三数之和相等。所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。 同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。 20÷2=10，10＝2+3+5。 所以，六个质数积为 2×2×3×3×5×5=900。 例 4 在图 5.27 的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两 边两个数的平均数。现已填好两个数，那么 X=_______。 （1992 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 461 讲析：如图 5.28，可将圆圈内所填各数分别用 a、b、c、d 代替。 则 d=15。 由 15+c+a=17+c+b，得：a 比 b 多 2。 所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=19。 例 5 图 5.29 中 8 个顶点处标注的数字： a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点 （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得 462 即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0 24、数的组成 463 【数字组数】 例 1 用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并 且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。 （1990 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：自然数 1 至 9 这九个数字中，2、3、5、7 本身就是质数。于是只剩下 1、4、6、8、 9 五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：41 和 689。所以，最多能组成六个质 数。 例 2 用 0、1、2、……9 这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和 是一个奇数，并且尽可能的大。那么，这五个两位数的和是______。 （1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。所以它们的十 位上分别 是 9、8、7、6、5，个位上分别是 0、1、2、3、4。但要求五个两位数和为奇数， 而 1+2+3+4=10 为偶数，所以应将 4 与 5 交换，使和为： （9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。 351 即本题答案。 例 3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么 就称它被另一个三位数“吃掉”。例如，241 被 342 吃掉，123 被 123 吃掉（任何数都可以被 与它相同的数吃掉），但 240 和 223 互不被吃掉。现请你设计出 6 个三位数，它们当中任何一 个数不被其它 5 个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取 1、2；十位上数字只允许取 1、2、 3；个位上数字只允许取 1、2、3、4。 这 6 个三位数是_______。 （第五届《从小爱数学》邀请赛试题） 讲析：六个三位数中，任取两个数 a 和 b，则同数位上的数字中，a 中至少有一个数字大 于 b，而 b 中至少有一个数字大于 a。 当百位上为 1 时，十位上可从 1 开始依次增加 1，而个位上从 4 开始依次减少 1。即：114， 123，132。当百位上为 2 时，十位上从 1 开始依次增加 1 而个位上只能从 3 开始依次减少 1。 即：213，222，231。经检验，这六个数符合要求。 例 4 将 1、1、2、2、3、3、4、4 这八个数字排成一个八位数，使得两个 1 之间有一个数 字；两个 2 之间有两个数字；两个 3 之间有三个数字；两个 4 之间有四个数字。那么这样的八 位数中的一个是______。 （1991 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 464 讲析：两个 4 之间有四个数字，则在两个 4 之间必有一个数字重复，而又要求两个 1 之 间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是 1，即 412134 或 421314。然后可添上另一个 2 和 3。 经调试，得 23421314，此数即为所答。 【条件数字问题】 例 1 某商品的编号是一个三位数，现有五个三位数：874，765，123，364，925。其中每 一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是_______ （1993 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较，可发现：百位上五个数字都不 同；十位上有两个 2 和两个 6；个位上有两个 4 和两个 5。故所求的数的个位数字一定是 4 或 5，百位上一定是 2 或 6。经观察比较，可知 724 符合要求。 例 2 给一本书编页码，共用了 1500 个数字，其中数字“3”共用了_______个 （首届《现代小学数学）》邀请赛试题） 讲析：可先求出 1500 个数字可编多少页。 从第一页到第 9 页，共用去 9 个数字；从第 10 页到第 99 页，共用去 2×90=180（个）数 字；余下的数字可编（1500-189）÷3=437（页） 所以，这本书共有 536 页。 l 至 99 页，共用 20 个“3”，从 100 至 199 页共用 20 个“3”，从 200 至 299 页共用 20 个“3”，从 300 至 399 页共用去 120 个“3”，从 400 至 499 页共用去 20 个“3”，从 500 到 536 页共用去 11 个“3”。所以，共用去 211 个数字 3。 例 3 在三位数中，数字和是 5 的倍数的数共有_______个。 （全国第四届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：可把三位数 100 至 999 共 900 个数，从 100 起，每 10 个数分为一组，得 （100，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、999） 共分成了 90 组，而每组中有且只有两个数的数字和是 5 的倍数，所以一共有 2×90=180 （个）。 例 4 有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和。这六个和中最小的四个数是 83、87、92、94，原因数中最小的是______。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 465 讲析：设原四个数从小到大为 a、b、c、d，则有 a+b=83，a+c=87，所以 c 比 b 大 4。而 对于和为 92 和 94 时，或者是 b+c=92，或者是 b+c=94。 当 b+c=92 时，因 c 比 b 大 4，可得 b=45，进而可求得 a=38。 当 b+c=94 时，因 c 比 b 大 4，可得 b=44，进而可求得 a=39。 所以，原四数中最小的数是 38 或 39。 abcd=______ （广州市小学数学竞赛试题） 讲析：原四位数增加 8 倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以 9，得新四位数（如图 5.29）。从而可知，a 一定为 1，否则积不能得四位数。则 例 6 有两个两位数，它们的个位数字相同，十位数字之和是 11。这两个数的积的十位数 字肯定不会是哪两个数字？ （1990 年《小学生报》小学数学竞赛试题） 讲析：由题意可知，两个数的十位上为（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而 个上则可以是 0 至 9 的任意一个数字。如果分别去求这两个数的积，那是很麻烦的。 设这两个数的个位数字是 c，十位数字分别为 a、b，则 a+b=11，两数分别为（10a+c)， （10b+c）。 字。 466 能是 6、8。 例 7 期的记法是用 6 个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月份，后两个数 字表示日（如 1976 年 4 月 5 日记为 760405）。 第二届小学“祖杯赛”的竞赛日期记为 921129。这个数恰好左右对称。因此这样的日期 是“吉祥日”。问：从 87 年 9 月 1 日到 93 年 6 月 30 日，共有_______个吉祥日。（第二届“祖 冲之杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，只有 11 月份。 而且“年份”的个位数字只能是 0、1、2。 所以是共有 3 个吉祥日：901109、911119、921129。 467 25、数的整除性规律 【能被 2 或 5 整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略） 【能被 3 或 9 整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被 3 和 9 整除时，这个数便能被 3 或 9 整除。 例如，1248621 各位上的数字之和是 1+2+4+8+6+2+1=24 3｜24，则 3｜1248621。 又如，372681 各位上的数字之和是 3+7+2+6+8+1=27 9｜27，则 9｜372681。 【能被 4 或 25 整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被 4 或 25 整除时，这 个数便能被 4 或 25 整除。 例如，173824 的末两位数为 24，4｜24，则 4｜173824。 43586775 的末两位数为 75，25｜75，则 25｜ 43586775。 【能被 8 或 125 整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为 0，或者末三位数能被 8 或 125 整除时，这个数便能被 8 或 125 整除。 例如，32178000 的末三位数字为 0，则这个数能被 8 整除，也能够被 125 整除。 3569824 的末三位数为 824，8｜824，则 8｜3569824。 214813750 的末三位数为 750，125｜750，则 125｜214813750。 468 【能被 7、11、13 整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三 位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被 7、11、13 整除时，这个数就能被 7、11、 13 整除。 例如，75523 的末三位数为 523，末三位以前的数字所表示的数是 75，523-75=448，448 ÷7=64，即 7｜448，则 7｜75523。 又如，1095874 的末三位数为 874，末三位以前的数字所表示的数是 1095，1095-874=221， 221÷13=17，即 13｜221，则 13｜1095874。 再如，868967 的末三位数为 967，末三位以前的数字所表示的数是 868，967-868=99，99 ÷11=9，即 11｜99，则 11｜868967。 此外，能被 11 整除的数的特征，还可以这样叙述： 一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被 11 整除时，则这个数便能被 11 整除。 例如，4239235 的奇数位上的数字之和为 4+3+2+5=14， 偶数位上数字之和为 2+9+3=14， 二者之差为 14-14=0，0÷11=0， 即 11｜0，则 11｜4239235。 469 26、数的公理、定理或性质 【小数性质】小数的性质有以下两条： （1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。 （2）把小数点向右移动 n 位，小数就扩大 10n 倍；把小数点向左移动 n 位，小数就缩小 10n 倍。 【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，分数的大小 不变。即 【去九数的性质】用 9 去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去九数”，或者 叫做“9 余数”。求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把该数的各位数字加起来，再 减去 9 的倍数，就得到该数的“去九数”。（求法见本书第一部分“（四）法则、方法”“2．运 算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。）去九数有两条重要的性质： （1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。 （2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。 这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。 【自然数平方的性质】 （1）奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被 8 除余 1。 470 为什么有这一性质呢？这是因为奇数都可以表示为 2k+1 的形式，k 为整数。而 （2k+1）2=4k2+4k+1 =4k（k+1）+1 k 与 k+1 又是连续整数，其中必有一个是偶数，故 4k（k+1）是 8 的倍数，能被 8 整除， 所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）2 能被 8 除余 1，也就是任何一个奇数的平方被 8 除余 1。 例如，272=729 729÷8=91……1 （2）偶数平方的性质。任何一个偶数的平方，都是 4 的倍数。 这是因为偶数可以用 2k（k 为整数）表示，而（2k）2＝4k2 显然，4k2 是 4 的倍数，即偶数的平方为 4 的倍数。 例如，2162=46656 46656÷4=11664 即 4|46656 【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条： （1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。 （2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。 （3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。 （4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。 由第（4）条性质，还可以推广到: 若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。 【偶数运算性质】偶数运算性质有： （1）若干个偶数的和或者差是偶数。 （2）若干个偶数的积是偶数。 例如，四个偶数 38、126、672 和 1174 的和，是偶数 2010；用偶数相减的算式 3756-128-294-1350 的差，也是偶数 1984。 471 【奇数运算性质】奇数运算性质有： （1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。 （2）若干个奇数的积是奇数。 27、数的大小概念 【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢。采用下述办法，往往可 大大提高解题的速度。 （1）交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后 2×5＝10， 3×3=9， 3×8=24， 5×5=25， 472 之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积。这时，分数的大小就只取 决于分子的大小了。 （2）用“1”比较。当两个分数都接近 1，又不容易确定它们的大小 473 （4）化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时 序排列起来： （5）两分数相除。用两个分数相除，看它们的商是大于 1 还是小于 1，往往能快速地找 出它们的大小关系。由于这样做，省略了通分的过程，所以 显然，将它们反过来相除，也是可以的： 【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出，比较它们的大小，有一定难度。这时， 可按下面的办法去做： （1）先看分子是 1 的情况。例如下题： 474 第一种方法是直观比较。先画线段图（图 4.4）： 由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数。 数。 可知 （2）再看分子不是 1 的情况。例如下题： 它同样也可以用四种方法比较大小。比方 475 用直观比较方法，可画线段图如下（图 4.5）： 由图可知，甲数大于乙数。 用统一分子的方法，也可比较它们的大小。因为 用图表示就是图 4.6： 这就是说，把甲数分为 9 份，乙数分为 8 份，它们的 6 份相等。所以，它们每一份也相等。 而甲数有 9 份，乙数只有 8 份，故甲数大于乙数。 去，即可知道甲数大于乙数。 如果用转化关系式比较。由题意可知 根据一个因数等于积除以另一个因数，可得 476 28、数的大小比较 【分数、小数大小比较】 （全国第二届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：这两个分数如果按通分的方法比较大小，计算将非常复杂。于是可采用比较其倒 数的办法去解答。倒数大的数反而较小。 477 个数是______。 （1992 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：将给出的六个数分别写成小数，并且都写出小数点后面前四位数，则把这六个数 按从大到小排列是： 【算式值的大小比较】 例 1 设 A=9876543×3456789； B=9876544×3456788。 试比较 A 与 B 的大小。 （1990 年《小学生数学报》小学数学竞赛试题） 讲析：可将 A、B 两式中的第一个因数和第二个因数分别进行比较。这时，只要把两式中 某一部分变成相同的数，再比较不同的数的大小，这两个算式的大小便能较容易地看出来了。 于是可得 A =9876543×（3456788＋1） =9876543×3456788＋9876543； B =（9876543＋1）×3456788 =9876543×3456788＋3456788； 所以，A＞B。 例 2 在下面四个算式中，最大的得数是算式______。 （1992 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 478 讲析：如果直接把四个算式的值计算出来，显然是很麻烦的，我们不妨运用化简繁分数 的方法，比较每式中相同位置上的数的大小。 比较上面四个算式的结果，可得出最大的得数是算式（3）。 例 3 图 5.1 中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形，它们的面积 问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？ （全国第四届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析： 方形放入大正方形中去的办法，来比较它们的大小（如图 5.2）。 479 所以，两个蓝色正方形的面积比两个红色正方形的面积大。 29、实践与实际操作 【最短路线】 例 1 一只蚂蚁要从 A 处出发，经粘合在一块木板上的正方体（如图 5.74）的表面爬到 B 处。 请你在图上画出最短的路线（看得见的画实线，看不见的画虚线），有几条就画几条。 480 （1990 年“新苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：可将正方体的几个面，按正视位置的前面—上面展开，前面—右面展开，左面—后 面展开，左边—上面展开，其展开图都是由两个正方形面组成的长方形（如图 5.75 所示）。 根据两点之间直线段最短的原理，故最短路线为每个长方形对角线，它们共有四条，如图 5.76 所示。 例 2 请你在图 5.77（3）、（4）、（5）上画出三种与图（2）不一样的设计图，使它们 折起来后，都成为图（1）所示的长方形盒子（粗线和各棱交于棱的中点）。 （第四届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：解题的关键，是要分清实线与虚线，然后思 考它们是按什么方式展开的。 不难想象，其答案如图（3）、（4）、（5）所示。 【切分图形】 例 1 请将图 5.78 分成面积相等，形状相同，且每一块中都含有“数学竞赛”字样的四块 图形。 481 （“新苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：从条件看，所分成的每一块图中，必须有四个小正方形，且只有五种（如图 5.79）。 根据图中汉字的具体位置，可发现图 5.79 中图（1）、图（2）明显不合，图（3）、图（4） 也不能分成。于是只剩下图（5）。 进一步搜索，便可得到答案。答案如图 5.80 所示。 例 2 在一张正方形纸上画两个三角形，最多可以把这个正方形分成________块，画三个 三角形，最多可以把这个正方形分成________块；画四个三角形，最多可以把这个正方形分成 _________块。 （1990 年无锡市小学数学竞赛试题） 讲析：可先找出规律。 在正方形纸上，画一个三角形，依次画三条边时，增加了（1＋1＋1）块，最多可把它分 成 4 块；画二个三角形，依次画三条边时，增加了（3＋3＋3）块，共 13 块；画三个三角形， 依次画三条边时，增加了（5＋5＋5）块，共 28 块，如图 5.81 所示。 由此推得，画四个三角形，可增加（7＋7＋7）块，最多，共 49 块。 【拼合图形】 482 例 1 图 5.82 是由图 5.83 中的六块图形拼合而成的，其中图①放在中间一列的某一格。请 在图 5.82 中找出这六个图形，并画出来。 （1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛试题） 讲析：可先确定图①的位置。因为图①在中间的一列的某一格，当图①放在 A、B、C 处 时，经试验，与其它五图不能拼成图 5.82。 当图①放在 D 处时，这六幅图可以拼成图 5.82。拼法如图 5.84 所示。 例 2 7 块正方体积木堆在桌上。 从东、南、西、北四个方向看去，所看到的一面都只有 5 个正方形，而且看到的图案是一 样的。（如图 5.85）。那么从上面看下去，看到的图形可能是什么 样的？请在图 5.86 中正确的图形下面打 “√”，错误的图形下面打“×”。（《从小爱数学》邀请赛第五届试题） 483 讲析：上面的七幅图都是俯视图。在看每幅图是否正确时，关键是想象出将另两块积木， 放在这五块中哪两块的上面，然后分别从东西南北四个方向去看，得出的图形是否与图 5.85 相吻合。 经试验，得出的答案如图 5.86 所示，即按从左往右，从上至下的位置，依次为√、√、 ×、√、×、√、√。 省工省时问题 例 1 某车队有 4 辆汽车，担负 A、B、C、D、E、F 六个分厂的运输任) N/ ?+ O# T- ~5 U5 ^+ s5 w （图 5.97 所标出的数是各分厂所需装卸工人数）。若各分厂自派装卸工，则共需 33 人。 若让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的分厂再配备一个或几个装卸工，那么如 何安排才能既保证各分厂所需工人数，又使装卸工人数最少？ （1990 年《小学生报》小学数学竞赛试题） 484 讲析：可从需要工人数最少的 E 分厂着手。假定每辆车上配备 3 人，则需在 D、C、 B、A、F 五处分别派 1、5、2、3、4 人，共需 27 人。* Z3 d, m7 Q6 s. H/ [ 若每车配备 4 人，则需在 C、B、A、F 四处分别派 4、1、2、3 人，共需 26 人。# u; t% t' S4 n) d, Y1 `* d 若每车配备 5 人，则需在 C、A、F 三处分别派 3、1、2 人，共需 26 人。 所以，上面的第二、三种方案均可，人数为 26 人。& W D4 p4 u. a) }4 k" E) w" e3 c 例 2 少先队员在植树中，每人植树 2 棵。如果一个人挖一个树坑需要 25 分钟，运树 苗一趟（最多可运 4 棵）需要 20 分钟，提一桶水（可浇 4 棵树）需要 10 分钟，栽好一棵 树需要 10 分钟，现在以两个人为一个小组进行合作，那么，完成植树任务所需的最短时 间是______分钟。 （福州市鼓楼区小学数学竞赛试题） 讲析：可将甲、乙两人同时开始劳动的整个过程安排，用图 5.98 来表示出来。5 g1 d; d) y1 x- ?- o, O6 J 由图可知，完成任务所需的最短时间，是 85 分钟。0 h2 Q* h0 ` D4 A, g1 I$ A 例 3 若干箱同样的货物总重 19.5 吨，只知每箱重量不超过 353 千克。今有载重量为 1.5 吨的汽车，至少需要______辆，才能保证把这些货物一次全部运走。（箱子不能拆开） / x- |$ m+ ~! p% p （北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：关键是要理解“至少几辆车，才能保证一次运走”的含义。也就是说，在最大浪 费车位的情况下，最少要几辆车。 ∵这堆货物箱数至少有：2 v% - b' {6 B" s: A) e 485 19500÷353≈55.2≈56（箱）；; l- ^8 b: z8 V7 ` 一辆汽车每次最多能装的箱数： 1500÷353≈4.2≈4（箱）。 ∴一次全部运走所有货物，至少需要汽车 56÷4=14（辆）。8 u' ~3 l+ b q Z4 o 例 4 如图 5.99，一条公路（粗线）两侧有 7 个工厂（01、02、……、07），通过小路 （细线）分别与公路相连于 A、B、C、D、E、F 点。现在要设置一个车站，使各工厂（沿 小路和公路走）的距离总和越小越好。这个车站应设在一______点。 （1992 年福州市小学数学竞赛试题）7 E6 x u* ~. C" E* a/ ]6 x 讲析：从各工厂到车站，总是先走小路，小路的总长不变，所以问题可转化为：“在 一条公路上的 A、B、C、D、E、F 处各有一个工厂，D 处有两个工厂。要在公路上设一 个站，使各厂到车站的距离总和最小（如图 5.100）。; D& Q6 |9 Y; d# ?# m 显然，车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。 如果车站设在 D 处，则各厂到 D 总长是：6 K5 j7 X- P4 W; e （DA＋DF）＋（DB＋DE）＋DC=AF＋BE＋DC； 如果车站设在 C 处，则各厂到 C 总长是 （CA＋CF）＋（BC＋CE）＋2·DC＝AF＋BE＋2·DC。9 k 6 h1 z4 k! f2 G k 486 比较上面两个式子得：当车站设在 D 处时，七厂到车站的距离总和最小。8 S. E2 z0 ~2 `+ P0 o. P; _# @ 【费用最少问题】 例 1 在一条公路上每隔 100 千米有一个仓库（如图 5.101），共有五个仓库。一号仓库 存有 10 吨货物，二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空 的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要 0.5 元的 运费，那么最少要花多少运费才行？$ I/ }5 S% x8 H: a.^% e- p8 B （全国第一届“华杯赛”复赛试题） 讲析：这类问题思考时，要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。处理的方法是： “小往大处靠”。/ K* m9 ?- G2 R6 E 因为第五个仓库有 40 吨，比第一、二仓库货物的总和还多。所以，尽量把第五个仓 库的货不动或者动得最近。 当存放站设在第四仓库时，一、二、五仓库货物运输的吨千米数为： 10×300＋20×200＋40×100=11000； 当存放站设在第五仓库时，一、二仓库货物运输的吨千米数为： 10×400+20×300=10000。 所以，存放点应设在第五号仓库，运费最少。运费是 0.5×10000=5000（元）。 例 2 有十个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如图（5.102，单位：千米），要安 装水管，从县城送自来水到各村，可用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管 只能供一个村用水，粗管每千米要用 8 千元，细管每千米要用 2 千元。把粗管细管适当搭 487 配，互相连接，可降低工程总费用。按最节省的办法，费用应是多少？7 ?& Z5 D/ i4 i8 S6 ] （全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）$ J y; M+ Q' I, ~* Y5 b1 { 讲析：因为粗管每千米的费用是细管的 4 倍，所以应该在需要安装四根或四根以上水 管的地段，都应安装粗管。因此，只有到最后三个村安装细管，费用才最省。 不难求出，最少费用为 414000 元。" S# k0 f `: Z4 X. n1 o- N% [ 488 30、容斥原理问题 例 1 在 1 至 1000 的自然数中，不能被 5 或 7 整除的数有______个。 （莫斯科市第四届小学数学竞赛试题） 讲析：能被 5 整除的数共有 1000÷5=200（个）； 能被 7 整除的数共有 1000÷7=142（个）……6（个）； 同时能被 5 和 7 整除的数共有 1000÷35=28（个）……20（个）。 所以，能被 5 或 7 整除的数一共有（即重复了的共有）： 200＋142—28=314（个）； 不能被 5 或 7 整除的数一共有 1000—314=686（个）。 例 2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有 4 名学生在这三个项 目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人 数如下表： 求这个班的学生人数。 （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 讲析：如图 5.90，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数。 只有篮球一项达到优秀的有 489 15—6—5+2=6（人）； 只有游泳一项达到优秀的有 18—6—6+2=8（人）； 只有短跑一项达到优秀的有 17—6—5＋2=8（人）。 获得两项或者三项优秀的有 6＋6+5—2×2=13（人）。 另有 4 人一项都没获优秀。 所以，这个班学生人数是 13＋6＋8＋8＋4=39（人）。 490 31、奇数偶数与奇偶性分析 【奇数和偶数】 例 1 用 l、2、3、4、5 这五个数两两相乘，可以得到 10 个不同的乘积。问乘积中是偶数 多还是奇数多？ （全国第二届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中，只有三 个奇数，两两相乘可以得到 3 个不同的奇数积。而偶数积共有 7 个。所以，乘积中是偶数的多。 例 2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲 组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。 （《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：甲组有 12 个奇数，乙组有 12 个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加 的和，必为奇数，其中最大是 47，最小是 3。 从 3 到 47 不同的奇数共有 23 个。 所以，能得到 23 个不同的和。 本题中，我们不能认为 12 个奇数与 12 个偶数任意搭配相加，会得到 12×12=144（个） 不同的和。因为其中有很多是相同的。 【奇偶性分析】 例 1 某班同学参加学校的数学竞赛。试题共 50 道。评分标准是：答对一道给 3 分，不答 给 1 分，答错倒扣 1 分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。 （全国第三届《从小爱数学》邀请赛试题） 讲析：如果 50 道题都答对，共可得 150 分，是一个偶数。每答错一道题，就要相差 4 分， 不管答错多少道题，4 的倍数总是偶数。150 减偶数，差仍然是一个偶数。 同理，每不答一道题，就相差 2 分，不管有多少道题不答，2 的倍数总是偶数，偶数加偶 数之和为偶数。 491 所以，全班每个同学的分数都是偶数。则全班同学的得分之和也一定是个偶数。 例 2 5 只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转 4 只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝 下？ （美国小学数学奥林匹克通讯赛试题） 讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。要想 5 只杯口全都朝上 的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。 现在每次只翻转 4 只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。 所以，不能使杯口全部朝下。 例 3 某班共有 25 个同学。坐成 5 行 5 列的方阵。我们想让每个同学都坐到与他相邻的座 位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？ （广州市小学数学竞赛预赛试题） 讲析：如图 5.44，为了方便，我们将每一格用 A 或 B 表示，也就是与 A 相邻的用 B 表示， 与 B 相邻的用 A 表示。 要想使每位同学都坐到相邻座位上去，也就是说坐 A 座位的同学都要坐到 B 座位上去，而 坐 B 座位上的同学都要坐到 A 座位上去。 但是，A 座位共 13 个，而 B 座位共 12 个，所以，不管怎样坐，要想坐 A 座位的同学都坐 到 B 座位上去，是办不到的。 例 4 线段 AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。在线段中间插入 1991 个分点， 每个分点随意标上红色或蓝色。这样分得 1992 条不重叠的小线段，如果把两端点颜色不同的 小线段叫做标准线段，那么标准线段的条数是奇数还是偶数？ （1992 年长沙市小学数学竞赛预选赛试题） 讲析：每插入一个点，无论其颜色怎样，其非标准线段的条数增加 0 条或 2 条，所以插入 1991 个点后，非标准线段增加总数是一个偶数。又原非标准线段条数为 1，是一个奇数，故最 后得到的非标准线段必为奇数。 非标准线段条数+标准线段条数=1992 条。 492 所以，标准线段的条数是奇数。 32、其他定理或性质 【算术基本定理】任意一个大于 1 的整数，都能表示成若干个质数的乘积，如果不计质因 数的顺序，则这个分解式是唯一的。即任意一个大于 1 的整数 a=[p1×p2×p3×……×pn（p1≤p2≤p3≤……≤pn）其中 p1、p2、p3、…、np 都质数；并且若 a=q1×q2×q3×…qm（q1≤q2≤q3≤…≤qm） 其中 q1、q2、q3、…、qm 都是质数。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，…，n） 当这个整数是质数时是符合定理的特例。 上述定理，叫做“算术基本定理”。 【方程同解变形定理】方程的同解变形，有下列两个基本定理： 定理一 方程两边同时加上（或同时减去）同一个数或整式，所得的方程与原方程同解。 根据这一同解定理，可把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。这种变形 叫做移项。 例如，解方程 3x=2x+5。 解 移项，得 3x-2x=5 合并同类项，得 493 x=5。 定理二 方程两边同时乘以（或除以）同一个不是零的数，所得的方程与原方程同解。 是同解的。 【一笔画的性质】为掌握“一笔画”的性质，先介绍“一笔画”的有关概念。 图──用若干条线（不一定是直线段）把一些点连接起来的图形，如图 1.7。这些点叫图 的顶点，如 A、B、C、D；这些线叫图的边，如 AB、AC、AD 等。 点的次--每个点上所连接的线的条数，叫做这个点的“次”。如图 1.7 中，A 点有五条线 与它相连，B 点有三条线与它相连，则 A 点的次为 5；B 点有三条线与它相连，则 B 点的次为 3。 奇点--点的次数为奇数，则这个点为“奇点”。如图 1.7 中的 A、B、C、D 点，全部都是 奇点。 偶点--点的次数为偶数，则这个点叫做“偶点”。 如图 1.8 中的 B 点（4 次）、D 点（2 次），都是偶点。一笔画问题--在图 1.8 中，能否 从 A 点（或其他点）出发，不重复任一边（点可随便经过若干次）而一笔画出全图的问题，叫 做“一笔画问题”（也称“七桥问题”，见本书第九部分“七桥问题”词条）。 能一笔画的图形，具有下面两条性质： （1）若一个图形中，奇点的个数不大于 2，则这个图形必能一笔画成，否则就不能画成。 例如图 1.7 中，奇点有 A、B、C、D 四个，它无论从哪一点出发，都是不可能一笔画成的。 而图 1.8 中，奇点只有 A、C 两个，它是可以一笔画成的。其画法可如图 1.9 所示：从 A 点出 发，经 1 到 C，经 2 到 D，经 3 到 B，经 4 到 A，又经 5 到 B，再经 6 到 A，然后经 7 到 C，完 成全图。显然，此图的画法并不止于这一种，这只是多种画法中的一种画法。 494 （2）若一个图中没有奇点，那么始点和终点必须重合；若一个图中有两个奇点，则这两 个奇点必是起点和终点。 例如图 1.10 中，点 A、B、C 均为偶点，没有奇点。若从 A 点出发，按图外箭头所指的方 向，经①、②、③、④、⑤，便又回到了 A 点。这样，A 点便既是始点又是终点。而图 1.8 中 有 A、C 两个奇点，按性质（1）中的画法，可从 A 点出发，到 C 点结束，A 是始点，C 是终点。 图 1.9（也可以从 C 点出发，到 A 点结束，C 为始点，A 为终点。） 平移变换 【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得 到正确的解答。 例如，下面的两个图形（图 4.17 和图 4.18）的周长是否相等？ 单凭眼睛观察，似乎图 4.18 的周长比图 4.17 的要长一些。但把有关线段平移以后，图 4.18 就变成了图 4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。 于是，不难发现两图周长是相等的。 495 【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分 或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。例如，计算图 4.20 中阴影 部分的面积。 圆面积”，然后相加，得整个阴影部分的面积。这显然是很费时费力的。但认真观察一下就会 发现，图 4.20 左半左上部的空白部分，与右半左上部的阴影部分大小一样，只需将右半左上 部的阴影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成一个正方形了（如图 4.21）。所以，阴影部分的面积很快就可求得为 5×5=25。 又如，一块长 30 米，宽 24 米的草地，中间有两条宽 2 米的走道，把草地分为四块，求草 地的面积（如图 4.22）。 这只要把丙向甲平移靠拢，把丁向乙平移靠拢，题目也就很快能解答出来了。（具体解法 略） 496 33、平面图形的计算 【周长的计算】 例 1 有 9 个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图 5.54）的面积是 45 厘米 2， 求这个大长方形的周长。 （第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题） 讲析：设每个小长方形的长是 a 厘米，宽是 b 厘米。于是有 a×b=45÷9＝5； 又有：4a=5b。 可求得 b=2，a=2.5。 所以大长方形的周长为 6a＋7b=29（厘米）。 例 2 图 5.55 中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方 形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽 多 6 厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？（全国第四届“华 杯赛”决赛试题） 497 讲析：图 5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图 5.55（2）中画斜 线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差 2·AB。 从图 5.55（2）的竖直方向看，AB＝a－CD 图 5.55（2）中大长方形的长是 a＋2b，宽是 2b＋CD， 所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米） 故：图 5.55（1）中画斜线区域的周长比图 5.55（2）中画斜线区域的周长大，大 12 厘米。 【面积的计算】 例 1 如图 5.56，长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4，那么三角形 ABC 的面积是______。 （北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：连结 AE（如图 5.57），则三角形 AEC 的面积是 16÷2-4=4。因为△ACF 与△AEC 等 高，且面积相等。所以，CF=CE。 同理，△ABE 的面积是 16÷2-3=5，则 BD∶BE=3∶5。即 BE= 498 从而，△ABC 的面积是 16-（3＋4+2.5）=6.5。 例 2 如图 5．58，在等边三角形 ABC 中，AF=3FB，FH 垂直于 BC，已知阴影部分的面积为 1 平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？ （1992 年武汉市小学数学竞赛试题） 讲析：如图 5.59，连接△ABC 各边中点，则△ABC 被分成了大小相等的四个小三角形。 在△DBG 中，再连接各边中点，得出将△DBG 又分成了四个很小的三角形。 经观察，容易得出△ABC 的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。 例 3 三条边长分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形如图 5.60（1），将它的短 直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图 5.60（2）。那么，图 5.60（2）中阴影部分（即未 被盖住部分）的面积是______平方厘米。 （1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题） 讲析：如图 5.60（2），设 EC 等于 a 厘米，那么 DE 也为 a 厘米。 △ABC 的面积等于△ABE 的面积加上△AEC 的面积。 499 例 4 如图 5.61，ABCD 是一个梯形，已知三角形 ABD 的面积是 12 平方厘米，三角形 AOD 的面积比三角形 BOC 的面积少 12 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是______平方厘米。 （广州市小学数学竞赛试题） 讲析：可设△AOD 的面积为 S1。 则，△BOC 的面积为 S1＋12。 于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1， S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12） =24（平方厘米）。 所以，梯形 ABCD 的面积是 24+12=36（平方厘米）。 例 5 梯形 ABCD 被两条对角线分成了四个三角形 S1、S2、S3、S4。已知 S1=2 厘米 2，S2=6 厘 米 2。求梯形 ABCD 的面积。 （小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题） 讲析：三角形 S1 和 S2 都是等高三角形，它们的面积比为 2∶6=1∶3； 则：DO∶OB=1∶3。 △ADB 和△ADC 是同底等高三角形， 所以，S1=S3=2 厘米 2。 500 三角形 S4 和 S3 也是等高三角形，其底边之比为 1∶3，所以 S4∶S3=1∶ 所以，梯形 ABCD 的面积为 例 6 正方形边长为 20 厘米（如图 5.63），已知 DD′=EE′，CE=6 厘米。则阴影部分三角 形的面积最大值是______平方厘米。 （海口市小学数学竞赛试题） 讲析：E′点在 BE 段滑动，D′点在 DC 段滑动。 设 DD′长 a 厘米。 D′C=20-a，E′C=a＋6。 又因为 D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。 运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于 26），要把这个和分成两个 数，使这两个数的积最大，则当 20-a=a＋6=13 时，即 a=7 =84.5（平方厘米）。 例 7 图 5.64 是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平 方厘米？ 501 （全国第四届“华杯赛”决赛试题） 讲析：如图 5.65，连接 AC，所分成的四个小三角形分别用 S1、S2、S3、S4 表示。 容易看出 S2 和 S3 是关于 OC 为对称轴的对称图形。 所以 S2=S3。 从而不难得出 S1、S2、S3、S4 四个小三角形面积相等，即每个小三角 例 8 一个正方形（如图 5.66），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出（单位：平 方米）。图中阴影部分是一个正方形。那么，它的面积是______。 （1992 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：可将四个长方形分别用 A、B、C、D 表示（如图 5.67），阴影部分是 B 中的一部分。 大正方形的面积为 1 平方米，所以它的边长为 1 米。 因为长方形 C 和 D 的宽相等，所以它们长的比等于面积比。于是得 C 的 502 米。 例 9 把大的正三角形每边 8 等分，组成图 5.68 所示的三角形网。如果每个小三角形面积 是 1，那么图中粗线围成的三角形面积是______。 （1988 年北京市奥林匹克邀请赛试题） 讲析：一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式： 这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积，也就是小三角形面积的 2 倍。 题中，格子面积为 1×2=2，内部格点数为 12，边上格点数为 4。 所以，粗线围成的面积是 34、判断题的解答 【用筛去（消倍）法判断】一个数能否被 3 整除，本来是不太难的问题。但当一个数比 较大时，用各数位上的数相加，速度很慢，而且容易出现口算错误。若用“筛去（消倍）法” 来判断，情况就大不一样了。例如 （1）判断 76935 能否被 3 整除。先直接筛去能被 3 整除的 6、9、3，剩下的 7 与 5，和为 3 的倍数，所以 3|76935（3 能整除 76935，或 76935 能被 3 整除）。 （2）判断 3165493 能否被 3 整除。先直接筛去 3 的倍数 3、6、9、 503 能整除 3165493，或 3165493 不能被 3 整除。） 【能否被 7 整除】一个数能否被 7 整除，只要把这个数的末位数字截去，再从余下的数 中，减去这个末位数字的 2 倍，如果这时能看出所得的差能被 7 整除，则原来的数就能被 7 整除，否则就不能被 7 整除；若是仍看不出来，就要继续上述过程，直到能清楚作出判断为止。 例如，判断 133 能否被 7 整除： 因为差数 7 能被 7 整除，所以 7|133。 这是什么原因呢？请看下面的算式： 133×2＝（13×10＋3）×2 ＝13×20＋3×2 =13×（21-1）+3×2 =13×21－13＋3×2 =13×7×3-（13-3×2） 显然，13×7×3 中有约数 7，它能被 7 整除，故只要检验后面的（13-3×2）能否被 7 整 除就可以了。（原理可见第一部分的整除性定理） 如果要判断的数的位数很多，那么，将这种做法一直进行下去就是。例如，判断 62433 能否被 7 整除： ∵7|42，∴7|62433 这样的判定方法可称作“割尾法”。一个数能否被 11、13、17 和 19 整除，也可用割尾法 去判断。 【能否被 11 整除】判断一个数能否被 11 整除，可以采用割尾法、奇偶位差法及分节求 和法。 504 （1）割尾法。一个数能否被 11 整除，只要把它的末尾数字截去，从余下的数里减去这个 末位数，看所得的差能否被 11 整除。差能整除的，原来的数就能整除；差不能整除的，原来 的数就不能整除。如一次所得的差还看不出能否被 11 整除，就继续上述过程，直到能作出判 断为止。例如，判断 2629 能否被 11 整除： 因为 11｜22，所以 11｜2629。 之所以能这么判断，原因在于 2629=2620+9 =262×10+9 =262×（11-1）+9 =262×11-262+9 =262×11-（262-9） 在 262×11 中有因数 11，所以只要看（262-9）的差能否被 11 整除，就可判断原来的 2629 能否被 11 整除。 而（262-9）的差是 253， 253=250+3 =25×10+3 =25×（11-1）+3 =25×11-25+3 =25×11-（25-3） 同样，只要看（25-3）能否被 11 整除，就会知道 253 能否被 11 整除。进而便可知 2629 能否被 11 整除了。 （2）奇偶位差法。判断一个数能否被 11 整除，可先分别求出此数的奇位数字之和及偶位 数字之和，再求这两个和的差数，若这个差能被 11 整除，则原来的那个数就能被 11 整除；否 则，原来的数就不能被 11 整除。例如，判断 823724 能否被 11 整除： 505 ∵它的奇位数字之和为 4+7+2=13（数位数，从右边个位开始往左数）， 它的偶位数字的和为 2+3+8=13 两个和的差数是 13-13=0（两数不等时用大数减小数） 而 11｜0 ∴11｜823724 之所以能这样判断，是因为 823，724 =8×100，000+2×10，000+3×1，000+7×100+2×10+4 =8×（100，001-1）+2×（9，999+1）+3×（1，001-1）+7×（99+1）+2×（11-1）+4 =8×100，001+2×9，999+3×1，001+7×99+2×11+[（2+7+4）-（8+3+2）] 显然，在前几项中，因数 100，001、9，999、1，001、99、11 都是 11 的倍数，故只需检 验[（2+7+4）-（8+3+2）] 能否被 11 整除，就可以作出判断了。 （3）分节求和法。把一个自然数从右向左每两位截为一节，然后把这些节加起来。若所 得的和能被 11 整除，那么这个数就能被 11 整除；否则，这个数就不能被 11 整除。在这一情 况下，如果仍不能作出判断，那就继续上述过程，直到清楚地作出判断为止。例如，判断 762421 能否被 11 整除： 这一判断方法的理由，可见下面的算式： 762421=76×10000+24×100+21 =76×（9999+1）+24×（99+1）+21 =76×9999+76+24×99+24+21 =76×9999+24×99+（76+24+21） 在前两项中，因数 9999 和 9 都能被 11 整除，所以只需要检验后面的（76+24+21）能否被 11 整除了。能整除的原数就能被 11 整除；不能整除的原数，就不能被 11 整除。 【能否被 13 整除】一个数能否被 13 整除，可采用“割尾法”判断：截去末位数字，余 下的数加上末位数的 4 倍。所得的和是 13 的倍数，则这个数就能被 13 整除，否则，就不能被 506 13 整除。要是割尾一次仍不能作出判断，那就继续割尾，直到能作出判断为止。例如，判断 364 能否被 13 整除： ∵13｜52，∴13｜364。 这一判断的理由，可由下式看出： 364×4=（36×10+4）×4 =36×40+4×4 =36×（39+1）+4×4 =36×39+36+4×4 =36×13×3+（36+4×4） 前面的 36×13×3 中，有约数 13，所以作出判断时，只需要检验（36+4×4）是否能被 13 整除了。 【能否被 17 整除】一个数能否被 17 整除，同样可用“割尾法”作巧妙而快速地判断。 不过，具体地做法有所不同。例如，判断 731 能否被 17 整除，判断方法如下： ∵17｜68，∴17｜731。 这样做的理由，可见下面的算式推导： 731×5=（73×10+1）×5 =73×50+1×5 =73×（51-1）+1×5 =73×51-73+1×5 =73×17×3-（73-1×5） 507 由于前面的 73×17×3 有约数 17，故只需检验（73-1×5）能否被 17 整除，就知道“731 ×5”能否被 17 整除。知道“731×5”能否被 17 整除，也就是知道 731 能否被 17 整除了（根 据整除性定理）。 若是“割尾”一次仍不能作出判断，那就依法继续割尾下去，直到能作出判断为止。例如， 判断 279191 能否被 17 整除， 可以作如下割尾判断： ∵17｜17，∴17｜279191 【能否被 19 整除】一个数能否被 19 整除，也是可用“割尾法”作巧妙判断的，具体做 法如 判断 475 能否被 19 整除： ∵19｜57，∴19｜475。 其中的道理，可见下面的算式推导： 475×2=（47×10+5）×2 =47×20+5×2 =47×（19+1）+5×2 =47×19+（47+5×2） 最后算式中的 47×19 有约数 19，故只需要检验（47+5×2）能否被 19 整除，就知道“475 ×2”及“475”能否被 19 整除了。 如果一次“割尾”仍不能作出判断，那就继续“割尾”下去，直至能作出判断为止。例如， 判断 14785 能否被 19 整除： 508 排列与组合 【有条件排列组合】 例 1 用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字能够组成______个没有重复数字的三 位数。 （哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题） 讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为 0，故共有 9 种不 同的取法。 因为百位上已取走一个数字，所以十位上只剩下 9 个数字了，故十位上有 9 种取法。 同理，百位上和个位上各取走一个数字，所以还剩下 8 个数字，供个位上取。 所以，组成没有重复数字的三位数共有 9×9×8=648（个）。 例 2 甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙 不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有 ______种。 （1994 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：因每个人都不排在原来的位置上，所以，当乙排在第一位时，其他几人的排法共有 3 种；同理，当丙、丁排在第一位时，其他几人的排法也各有 3 种。 因此，一共有 9 种排法。 例 3 有一种用六位数表示日期的方法，如 890817 表示 1989 年 8 月 17 日，也就是从左到 右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示 1991 年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有______天。 （1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：第一、二位数字显然只能取 9 和 1，于是第三位只能取 0。 509 第五位数字只能取 0、1、2 或 3，而 0 和 1 已取走，当取 3 时，第六位上只能取 0 和 1， 显然不行。因此，第五位上只能取 2。 于是，第四位上只能取 3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取 3、4、5、6、7、8，且第 四、六位上数字不能取同。 所以，一共有 6×5=30（种）。 【环形排列】 例 1 编号为 1、2、3、4 的四把椅子，摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规 定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？ （长沙市奥林匹克代表队集训试题） 讲析：如图 5.87，四把椅子排成一个圆圈。 当甲坐在①号位时，乙只能坐在②或④ 号位上，则共有 4 种排法；同理，当甲分别坐在②、③、④号位上时，各有 4 种排法。 所以，一共有 16 种排列法。 例 2 从 1 至 9 这九个数字中挑出六个不同的数填在图 5.88 的六个圆圈中，使任意相邻两 个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出______种不同的挑法来。（挑出的数字相同，而 排列次序不同的都只算一种） （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：在 1 至 9 这九个自然数中，奇数有 1、3、5、7、9 五个，偶数有 2、4、6、8 四个。 要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必须奇数与偶数间隔排列，也就是每次取 3 个奇数和 3 个偶数。 从五个奇数中，取 3 个数共有 10 种方法； 510 从四个偶数中，取 3 个数共有 4 种方法。 但并不是每一种 3 个奇数和 3 个偶数都可以排成符合要求的排列。经检验，共有 26 种排 法。 511 35、逻辑思路 “逻辑思路”，主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。 【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容 是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定 性。这是逻辑推理的一条重要思维规律。运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。 例 1 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下： 甲：丙第二个进去，乙第三个进去。 乙：甲第三个进去，丙第一个进去。 丙：甲第一个进去，乙第三个进去。 三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？ 分析（用同一律思路推理）； 这一类问题具有非此即彼的特点。比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能：是或非。 我们用 1 表示“是”，0 表示“非”，则可把口供列表处理。 （1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾； （2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口 供仅对一半”相符。 从而可以判定，丙最先进入办公室。 这个问题也可以不列表而用同一律推理。 甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二， 这个结论与丙说的话“半对半错”不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去， 512 丙不是第二个，自然是第一个。这个结论与乙的话“半对半错”相符：甲不是第三，丙是第一。 并且这个结论与丙的话“半对半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。 在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定 的条件为止。 例 2 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族， 他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：“请问你是哪个 民族的人？” “匹兹乌图。”那个人回答。 外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意思？” 第二个人回答：“他说他是宝宝族的。” 第三个人回答：“他说他是毛毛族的。” 请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？ 分析（用同一律思路思考）： 如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的”。如果这个人是毛 毛族的，他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。这就是说，第一个人不管是什么民族的， 那句话的意思都是：“我是宝宝族的”。 根据这一推理，那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的，而从条件可知， 说真话的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族人。 不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个 人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是 毛毛族人。 我们在分析本题时，始终保持了思维前后的一致性，这就是同一律思路的具体运用。 【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是：同一对象，在 同一时间内和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推理的又一重要规律，运 用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。 例 1 有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天， 一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说“讲 真话的。”他又问中间的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的。”他最后问右 边的和尚：“你旁边是哪一位？”答：“讲假话的。”根据他们的回答，智者马上分清了他们， 你能分清吗？ 分析（运用不矛盾律思路探讨）： 513 两件相互矛盾对立的事情，如果一件是不正确的，另一件就是正确的，这就是不矛盾律的 基本思路。我们先假设左边和尚讲的是真的，那么中间的和尚是讲真话的，但这与他的回答： “我是半真半假的”矛盾，所以左边和尚讲真话这一假设不对。从而左边和尚讲的是假话，他 一定不是讲真话的和尚。中间那个和尚也一定不是讲真话的，所以右边的和尚是讲真话的和尚。 根据他的话，中间是讲假话的和尚，剩下左边的和尚自然就是半真半假的。 例 2 一次学校举行田径运动会，A、B、C、D、E 五个班取得了团体前五名，发奖后有人问 他们的名次，回答是： A 班代表说：“B 是第三名，C 是第五名。” B 班代表说：“D 是第二名，E 是第四名。” C 班代表说：“A 是第一名，E 是第四名。” D 班代表说：“C 是第一名，B 是第二名。” E 班代表说：“D 是第二名，A 是第三名。” 最后，他们都补充说：“我的话是半真半假的。”请你判断一下，他们各个班的名次。 分析（用不矛盾律思路分析）： 先简化一下记法，比如 B 班是第三名，则写成 B-3，其它类似，这样五个班代表的讲话可 简记为： （1）B-3，C-5。 （2）D-2，E-4。 （3）A-1，E-4。 （4）B-2，C-1。 （5）A-3，D-2。 假设（1）的前半句是真的，即 B-3，那么由（4）有 C-1，由（3）知 A-1 不对，有 E-4； 再由（2）知 D-2 不对，从（5）知 A-3，这与假设矛盾，所以（1）中正确的应是 C-5，于是由 （4）知 C-1 不对，应该是 B-2，进而知（2）D-2 不对，有 E-4，并知（5）D-2 不对，有 A-3， 最后只剩下 D 及第一名，所以知道 D 应为第一名。 最后排出名次自然就非常简单了。 上述叙述虽然简化了记号，但文字表述仍然觉得累赘，所以还可以借助图表表达上述推理 过程。 514 如图 2.21，假设 B-3，在 B 上画一个圆圈（左图），表示推理的起点，找到另一个 B，则 应是不对的，画一个“×”，再找与这个 B 同行的“C”，它应是对的，画一个“√”，找与 C 同列的“A”，它不对，画一个“×”，等等。最后 A-3 被画了一个“√”，这与 B-3 相矛 盾，故 B-3 是错的。在这个“B”上画一个“×”，重新开始推理（右图）。 从（1）的 C 开始，因 B-3 是错的，则 C-5 记“√”，则（4）中 C-1 画“×”，B-2 记“√”， 由此推出（5）D-2 记“×”，（2）D-2 记“×”，……从表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5， 那么谁是第一，表中虽然未表达，但明眼人一看就知道了。 【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的基本内容是：同一对 象在同一时间内和同一关系下，或者是具有某种性质。或者是不具有某种性质，二者必居其一， 不能有第三种情况。它是处理肯定判断与否定判断之间的关系的一个规律。运用这一规律来推 理的思路，我们把它叫排中律思路。 排中律和不矛盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也有区别：一是适 用范围不同，不矛盾律的适用范围宽，既适用于互相反对的判断，也适用于互相矛盾的判断， 排中律的作用范围窄些，只适用于互相矛盾的判断，不适用互相反对的判断；二是要求不同， 不矛盾律要求对互相反对的和互相矛盾的判断，不能同时断定其中每一个都是真的，因为其中 至少有一个是假的。排中律则要求：对于互相矛盾的判断，必须肯定其中一个是真，因为其中 必有一真，不能都假。如果我们确定了某一个是正确的，根据不矛盾律，就可以得出另一个是 错误的。反过来。如果我们确定了某一个是错误的，根据排中律，就可以得出另一个是正确的。 从这方面来看，如果说不矛盾律提供我们逻辑否定的基础，那么排中律则主要提供我们逻辑肯 定的基础；三是逻辑错误性质不同，不矛盾律要求的逻辑错误是“自相矛盾”，排中律要求的 逻辑错误是“模棱两不可”。 例 1 老师有一黑两白三顶帽子，给两个学生看后，让他们闭上眼睛，从中取出两顶给他 们戴上，然后让他们睁开眼睛，互相看清对方戴的帽子，并立即说出自己头上戴的帽子是什么 颜色，两位同学都不能立即说出，请问你知道这两位学生戴的各是什么颜色的帽子吗？ 515 分析（运用排中律思路思索）： 假设你是这两个学生中的一个，因为你知道只有一顶黑帽子，当你看到对方戴的是黑帽子 时，你能判断自己戴的帽子颜色吗？可以的，根据排中律：“非此即彼”，你一定会推断出自 己戴的是白帽子。 现在两个学生都不能利用排中律很快地说出自己戴的是白帽子，说明他们两人都没有看见 黑帽子，由此断定，老师给两位学生戴的是两顶白帽子。 例 2 曾实、张晓、毛梓青在一起，一位是工程师、一位是医师、一位是教师。现在只知 道： （1）毛梓青比教师年龄大； （2）曾实和医师不同岁； （3）医师比张晓年龄小。 你能确定谁是工程师？谁是医师？谁是教师吗？ 分析（沿着排中律思路探索）： 根据排中律的要求，如果我们能确定某个是错误的，就可以得出另一个是正确的。现在已 知（1）曾实和医师不同岁，（2）医师比张晓年龄小，就可以判定曾实和张晓都不是医师，因 此只有毛梓青是医师； 若张晓是教师，则根据（1）毛梓青比教师年龄大，即毛梓青比张晓年龄大，与（3）医师 比张晓年龄小，即毛梓青比张晓年龄小，这两个结论是互相矛盾的，因此张晓不可能是教师。 张晓既不是医师（因为毛梓青是医师），又不是教师，所以张晓应该是工程师了。因为三个人、 三个职业，已经确定了毛梓青是医师，张晓是工程师，剩下的曾实只能是教师了。 该题的思路还可以用下表表示： 【充足理由律思路】充足理由律的形式是：“所以有甲，是因为有乙”。它的意思是说， 任何正确的思想，一定有它的充足理由；任何思想，只有当它具有充足的理由时，这种思想才 能被认为是正确的。在数学中，如果由条 正确的，A 就是 B 的正确性的充分理由。因此 B 的正确性要以 A 的正确性为基础，而要使 A 的正确性得到确认，又得为它提出充足的理由，照此类推。这样，当我们要论证某一思想是 正确的时候，常常要引证一系列的理由。以此连锁引证下去，直到最后的理由——它的正确性 516 已经确定，并且得到普遍承认的。具体说来有下列三种：（1）明显的事实，它可以为人们所 直接感知的；（2）公理；（3）科学的规律。当然在实际进行论证时，并不是总要引证到最后 的理由，数学中已经证明过的定理、定律、公式、法则等，都可以作为论证所根据的理由。 充足理由律是进行推理的基础。运用充足理由律来思考数学问题，我们把它叫做充足理由 律思路。 例 1 200 米赛跑，张强比李军快 0.2 秒，王明的成绩是 39.4 秒，赵刚的成绩比王明慢 0.9 秒，但比张强快 0.1 秒，林林比张强慢 3 秒，请你给这五人排出名次来。 分析（运用充足理由律思路思索）： 题中有两种概念。一是成绩好坏，需要进行量的计算；二是快慢关系推理，先用计算量进 行比较推理。 抓住“各人跑 200 米需要的时间”为比较量。并设字母 A、B、C、D、E 来分别表示张强、 李军、王明、赵刚、林林的时间。 ∵王明的成绩是 39.4 秒，赵刚的成绩比王明慢 0.9 秒（即 C=39.4 秒，D=C＋0.9） ∴D=39.4+0.9=40.3（秒） 又∵ 赵刚比张强快 0.1 秒（即 D＋0.1＝A） ∴A=40.3＋0.1=40.4（秒）（传递性） 又∵张强比李军快 0.2 秒（即 A=B-0. 2） ∴B=A＋0.2=40.4＋0.2=40.6（秒） 又∵林林比张强慢 3 秒（即 A=E-0.3） ∴E=A＋3=40.4＋3=43.4（秒） 由 43.4＞40.6＞40.4＞40.3＞39.4 即 E＞B＞A＞D＞C 谁是第一、谁是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了吗？ 本题还可以单纯用快慢关系来进行判断。 ∵ A＜B，D＞C， D＜A， E＞A， 可得 B、E 均＞A＞D＞C， ∴一、二、三名分别应是 C、D、A。 517 但第四、五名仍需计算。 由 E=A＋3 秒，B=A＋0.2 秒， 可知 E＞B， 故 B 是第四，E 是第五名。 例 2 填数使下列竖式成立： 分析（运用充足理由律思路来探讨这两个式题）： 第（1）题。抓住乘、除法法则和乘除的互逆关系去思考。 ∵( )( )×5=33( ) ∴只要求得 33( )÷5=( )( )，就可以得出竖式被乘数了，现可知 33( )÷5 商的十位得 6，故被乘数的十位应是 6，个位是几呢？ 再往下看：乘数 35 的十位数字是 3，3 与被乘数个位相乘的积的末尾数字要是 8，显然只 有 3 与 6 相乘末尾数字才能是 8，所以被乘数是 66。 找到了被乘数是 66 以后，其他数字自然就容易找到了。 第（2）题仍抓住除法算式特征和乘除的互逆关系去找理由。 由除法竖式特征第二次余数为 0，只好把被除数十位数和个位数同时移下，故可得 y=0。 ∴x＞8。 518 又∵1≤x≤9，∴x=9， 则商数为 9807。 ∴ab≥12。 故 ab=12。 此题确定了商和除数，其他数字自然就容易找了。 36、连续数求和的速算 苦干个连续整数求和的问题，可以分为“连续自然数求和”、“连续奇数求和”与“连续 偶数求和”三类。 【连续自然数求和】几个连续的自然数相加，可以把它们的首项和末项相加，把所得的 结果除以 2 以后，再乘以项数，得到的便是这几个连续自然数的和。 例如，13＋14＋15＋16+17+18＋19＋20＋21＋22 =（13+22）÷2×10 =17.5×10 =175 如果加数的个数（项数）是奇数（单数），也可以直接用排列在正中间的数（中间项）乘 以项数，去求它们的和。例如 =15×9 （中间项） =135 【连续奇数求和】连续奇数的求和，也可以用上面介绍的“连续自然数求和的速算”方 法去速算。例如 3+5＋7+ 9＋11＋13+ 15＋17＋19 ＝（3＋19）÷2×9 =11×9 519 =99 =11（中间项）×9（项数） =99 如果是从 1 开始的几个连续奇数求和，则可以用这些奇数的个数自乘，便得到这几个连续 奇数的和。例如 1＋3＋5+ 7＋9＋11=6×6=36（奇数个数是 6） 1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21 =11×11 =121。（奇数个数是 11） 【连续偶数求和】 连续偶数的求和，同样可以用“连续自然数求和的速算”方法速算。 例如 8＋10＋12＋14＋16＋18+20+22＋24 ＝（8＋24）÷2×9 =144 如果连续偶数是从 2 开始的，即求从 2 开始的连续偶数之和，则可以用这些偶数的个数乘 以个数加 1 之和，就得到这几个连续偶数的和。例如 2＋4＋6＋8＋10=5×（5+1）（偶数个数是 5） =30 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＋22＋24＋26 =13×（13＋1）（偶数个数是 13） =182 520 37、利用间接条件 【利用隐含的间接条件】 发现和利用隐含的间接条件来解答题目，往往能克服所学知识 不够所造成的困难，大大减少计算的时间。例如 如图 4.65，已知正方形面积为 18 平方厘米，求阴影部分的面积。 一般解法是用正方形面积，减去圆的面积。但在小学阶段，大家还不会求圆的半径或直径 怎么办呢？ 因为圆面积公式是 刃而解。至于能否求出 r 或 d 这样的直接条件，是并不重要的。所以，可以用下面的方法来解 答： 521 便是 18-14.3=3.87（平方厘米） 阴影部分的面积便是 18-14.13=3.87（平方厘米） （3）若把正方形面积扩大 2 倍，则面积为 36 平方厘米，新正方形的边长就是 6 厘米，即 随之也扩大了 2 倍的新圆的直径为 6 厘米，半径为 3 厘米。所以随之而扩大了 2 倍的阴影部分 的面积是 =7.74（平方厘米） 原来的阴影部分的面积便是 7.74÷2=3.87（平方厘米） 又如，如图 4.66，ABCD 为矩形，里面有一个最大的半圆，OC=10 厘米，求阴影部分的面 积。 解题时，可将矩形分割为两个小正方形，并连结 O、D。因为△DOC 是等腰三角形，OC=OD=10 厘米，所以 522 故阴影部分的面积便是 100-3.14×50÷2＝100-78.5 =21.5（平方厘米） 【利用定比】 利用题目中不变的“定比”来解题，有时也能使题目得到较快地解答。这 也是利用间接条件去解答题目。 我们仍以上面的第一个例子（图 4.65）为例。按照扩、缩图形的思路，可将它一分为四， 得到图 4.67。 小正方形的面积和阴影部分的面积也会改变。不过，变化中有个不变的因素，即阴影部分面积 和小正方形面积之比是不变的。实际上，这也是题目中的一个间接条件。 设小正方形边长为 a，则阴影部分面积占小正方形面积的 所以，原图阴影部分的面积是 18÷4×21.5％×4=4.5×21.5％×4 =0.9675×4 523 =3.87（平方厘米） 或者是 18×21.5％=3.87（平方厘米） 显然，只要是由这样的基本图形拼合的图形，如以下四图（图 4.68），都可用“21.5％” （即 21.5∶100）这一定比，去求图中的阴影部分的面积。（解略） 38、立体图形的计算 【表面积的计算】 例 1 一个正方体木块，棱长 1 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每条 又锯成 5 小块，共得到大小不等的长方体 60 块（如图 5.69）。那么，这 60 块长方体的表面 积的和是平方米。 （1988 年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题） 讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯 2 次一共增加了 4 个正方形面；前后竖直方 向锯 3 次共增加了 6 个正方形面；左右竖直方向锯 4 次共增加了 8 个正方形面。原来大正方体 有 6 个正方形面，所以一共有 24 个正方形面。 524 所以，60 块长方体的表面积之和是 （1×1）×24＝24（平方米）。 例 2 图 5.70 是由 19 个边长都是 2 厘米的正方体重叠而成的。求这个立体图形的外表面 积。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻 烦。于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。 俯视，看到 9 个小正方形面；正视，看到 10 个小正方形面；侧视，看到 8 个小正方形面。 所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。 【体积的计算】 例 1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体，如图 5.71，纸 盒的容积有多大？（π取 3.14） （全国第四届“华杯赛”复赛试题） 讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。故可设正方 525 即：正方体纸盒的容积是 800 立方厘米。 例 2 在一个棱长 4 厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长 1 厘米的正方形小孔（如图 5. 72 所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。 （北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。 讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个 1×1×1 的空心小正方体。 三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。 所以，打孔后剩下部分的体积是 4×4×4—10=54（立方厘米）。 例 3 一个长、宽、高分别是 21 厘米、15 厘米、12 厘米的长方体，从它的上面尽可能大 地切下一个正方体，然后从剩余部分中再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余部 分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ （北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：解本题的关键，是要想到每次以哪个边长作棱长去切下正方体。实际上，我们可以 将三个数轮换相减，即，在三个数 21、 15、12 中，第一次取最小数 12 为棱长切下一个正方 体；第二次取大数与 小数的差 21—12=9 为棱长切下一个正方体；第三次取 15 与 9 的差为棱长切下一个正方体（如 图 5.73） 所以，剩下的体积是 526 21×15×12-（123+93+63)=107（立方厘米）。 39、解应用题的公式 【和差问题公式】 （和+差）÷2=较大数； （和-差）÷2=较小数。 【和倍问题公式】 和÷（倍数+1）=一倍数； 一倍数×倍数=另一数， 或 和-一倍数=另一数。 【差倍问题公式】 差÷（倍数-1）=较小数； 527 较小数×倍数=较大数， 或 较小数+差=较大数。 【平均数问题公式】 总数量÷总份数=平均数。 【一般行程问题公式】 平均速度×时间=路程； 路程÷时间=平均速度； 路程÷平均速度=时间。 【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行） 和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答： （速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程； 相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间； 相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。 【同向行程问题公式】 追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间； 追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差； （速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。 【列车过桥问题公式】 （桥长+列车长）÷速度=过桥时间； （桥长+列车长）÷过桥时间=速度； 速度×过桥时间=桥、车长度之和。 【行船问题公式】 （1）一般公式： 静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度； 船速-水速=逆水速度； 528 （顺水速度+逆水速度）÷2=船速； （顺水速度-逆水速度）÷2=水速。 （2）两船相向航行的公式： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 （3）两船同向航行的公式： 后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。 （求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。 【工程问题公式】 （1）一般公式： 工效×工时=工作总量； 工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时。 （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。 （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为 2、3、4、5……。特别是假定工作 总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计 算将变得比较简便。） 【盈亏问题公式】 （1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式： （盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“小朋友分桃子，每人 10 个少 9 个，每人 8 个多 7 个。问：有多少个小朋友和多 少个桃子？” 解（7+9）÷（10-8）=16÷2 =8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 529 或 8×8+7=64+7=71（个）（答略） （2）两次都有余（盈），可用公式： （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背 45 发，多 680 发；若每人背 50 发，则还多 200 发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 解（680-200）÷（50-45）=480÷5 =96（人） 45×96+680=5000（发） 或 50×96+200=5000（发）（答略） （3）两次都不够（亏），可用公式： （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“将一批本子发给学生，每人发 10 本，差 90 本；若每人发 8 本，则仍差 8 本。有 多少学生和多少本本子？” 解（90-8）÷（10-8）=82÷2 =41（人） 10×41-90=320（本）（答略） （4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式： 亏÷（两次每人分配数的差）=人数。 （例略） （5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式： 盈÷（两次每人分配数的差）=人数。 （例略） 【鸡兔问题公式】 （1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少： （总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 530 总头数-兔数=鸡数。 或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。 例如，“有鸡、兔共 36 只，它们共有脚 100 只，鸡、兔各是多少只？” 解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔； 36-14=22（只）……………………………鸡。 解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡； 36-22=14（只）…………………………兔。 （答 略） （2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 （每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。 （每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。 或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式： （1 只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分 数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每 只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4 分，每生 产一个不合格品不仅不记分，还要扣除 15 分。某工人生产了 1000 只灯泡，共得 3525 分，问 其中有多少个灯泡不合格？” 531 解一 （4×1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个） 解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15） ＝1000-18525÷19 =1000-975=25（个）（答略） （“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不 仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。） （5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下 面的公式： 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之 差）〕÷2=鸡数； 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数 之差）〕÷2=兔数。 例如，“有一些鸡和兔，共有脚 44 只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚 52 只。鸡兔各是 多少只？” 解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2 =20÷2=10（只）……………………………鸡 〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2 =12÷2=6（只）…………………………兔（答略） 【植树问题公式】 （1）不封闭线路的植树问题： 间隔数+1=棵数；（两端植树） 路长÷间隔长+1=棵数。 或 间隔数-1=棵数；（两端不植） 路长÷间隔长-1=棵数； 路长÷间隔数=每个间隔长； 每个间隔长×间隔数=路长。 532 （2）封闭线路的植树问题： 路长÷间隔数=棵数； 路长÷间隔数=路长÷棵数 =每个间隔长； 每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。 （3）平面植树问题： 占地总面积÷每棵占地面积=棵数 【求分率、百分率问题的公式】 比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率； 增长数÷标准数=增长率； 减少数÷标准数=减少率。 或者是 两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）； 两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）。 【增减分（百分）率互求公式】 增长率÷（1+增长率）=减少率； 减少率÷（1-减少率）=增长率。 比甲丘面积少几分之几？” 解 这是根据增长率求减少率的应用题。按公式，可解答为 百分之几？” 533 解 这是由减少率求增长率的应用题，依据公式，可解答为 【求比较数应用题公式】 标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数； 标准数×增长率=增长数； 标准数×减少率=减少数； 标准数×（两分率之和）=两个数之和； 标准数×（两分率之差）=两个数之差。 【求标准数应用题公式】 比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数； 增长数÷增长率=标准数； 减少数÷减少率=标准数； 两数和÷两率和=标准数； 两数差÷两率差=标准数； 【方阵问题公式】 （1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。 （2）空心方阵： （最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。 或者是 （最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。 总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。 例如，有一个 3 层的中空方阵，最外层有 10 人，问全阵有多少人？ 解一 先看作实心方阵，则总人数有 10×10=100（人） 534 再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少 2，则进到第四层，每边人 数是 10-2×3=4（人） 所以，空心部分方阵人数有 4×4=16（人） 故这个空心方阵的人数是 100-16=84（人） 解二 直接运用公式。根据空心方阵总人数公式得 （10-3）×3×4=84（人） 【利率问题公式】利率问题的类型较多，现就常见的单利、复利问题，介绍其计算公式如 下。 （1）单利问题： 本金×利率×时期=利息； 本金×（1+利率×时期）=本利和； 本利和÷（1+利率×时期）=本金。 年利率÷12=月利率； 月利率×12=年利率。 （2）复利问题： 本金×（1+利率）存期期数=本利和。 例如，“某人存款 2400 元，存期 3 年，月利率为 10．2‰（即月利 1 分零 2 毫），三年 到期后，本利和共是多少元？” 解 （1）用月利率求。 3 年=12 月×3=36 个月 2400×（1+10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元） 535 （2）用年利率求。 先把月利率变成年利率： 10．2‰×12=12．24％ 再求本利和： 2400×（1+12．24％×3） =2400×1．3672 =3281．28（元）（答略） （复利率问题例略） 536 40、解一般题用得较多的技巧 【巧换角度】 从多种角度去思考、分析复合应用题，不仅可找到多种解题方法，而且还 可找到比较巧妙的解法。例如： “挖一段 56 米长的水沟，每天挖 7 米，已经挖了 5 天。照这样计算，剩下的还要挖几天？” 按一般思考角度，可先求剩下的长度，再求要挖的天数。如果能换一个角度，先求共要挖 的天数，再求还要挖的天数，那么解答起来就既简便，又巧妙了： 56÷7-5=8-5 =3（天） 了多少名女队员？” 如按一般的思考角度，应抓住“女队员人数”去寻找解法和答案。可是这在小学的知识范 围内，显然有一定困难，题目似乎是无法可解的。但是，只要转换一个角度，从“男队员人数” 方面去思考、分析，前景就“柳暗花明了”： 所以男队员人数是 在有的男女队员总数便是 537 于是，转进来的女队员人数便是 250-240=10（名） 【巧妙替换】 有些应用题，已给的条件常出现两种或更多种不同属性的量，并且在不同 量之间存在有换算关系。这时，暂用其中的一种量去替换另一种量，有时候往往会给题目的解 答，带来不少方便。例如 “工地用 5 辆大车和 4 辆小车一次共运来水泥 42.5 吨，已知每辆大车比每辆小车多运 4 吨，每辆大车和每辆小车各运来水泥多少吨？” 题目中有两个未知数，解答起来有一定困难。但运用替换方法，把 4 辆小车换成大车，题 目的解答就变得比较容易： 设每辆小车都多运 4 吨，那么小车运的吨数就和大车同样多了（也就是将小车都转换为大 车了）。这时，4 辆小车就会共增加运量 4×4=16（吨） 总共运的吨数就会增加到 42.5＋16=58.5（吨）。 这 58.5 吨便是（5＋4）辆大车运的水泥数，所以，每辆大车运来的水泥便是 58.5÷（5＋4）=58.5÷9 =6.5（吨） 每辆小车运来的水泥便是 6.5-4＝2.5（吨） 显然，将大车转换为小车（即将小车去替换大车解题），也是可以的。 又如，“买 3 千克奶糖的钱与买 4.8 千克水果糖的价钱相等。买 4 千克巧克力的钱与买 6 千克奶糖的钱相等。那么，买 9 千克巧克力的钱可买水果糖多少千克？” 题目的条件中没有具体的钱数，可用替换方法去解。但巧克力与水果糖不能直接替换，需 要通过奶糖这一中间的“媒介”去进行替换。 538 解题方法可以是： （1）6 千克奶糖是 3 千克奶糖的多少倍？ 6÷3=2（倍） （2）6 千克奶糖可换多少水果糖？ 4.8×2=9.6（千克） （3）1 千克巧克力的钱可买多少水果糖？ 9.6÷4=2.4（千克） （4）9 千克巧克力的钱可以买多少水果糖？ 2.4×9=21.6（千克） 列成综合算式便是 4.8×（6÷3）÷4×9=4.8×2÷4×9 =9.6÷4×9 =21.6（千克）（答略） 【巧用等量关系】 有些应用题已知条件间的关系比较复杂。但是，如果能从这些复杂的 关系中，找到一种合适的等量关系，则常常可使问题较简捷地解答出来。这是一种力求寻找和 巧用最佳等量关系的解题方法。例如 “甲乙二人需要做同样多的零件数，甲比乙每天多做 5 个，乙因病中途休息了 3 天，所以 8 天后甲做的零件数刚好是乙做的零件数的 2 倍。求这时甲乙二人各做的零件个数。” 由题中的条件，可以得到两组等量关系： 甲每天做的个数-乙每天做的个数=5………① 甲 8 在做的个数=乙 8 天后做的个数×2………② 设甲每天做 x 个，则乙每天做（x-5）个； 设乙每天做 x 个，则甲每天做（x+5）个。 设元列方程以后，若使用等量关系①，很明显，方程的解答是比较繁琐的，因为分数需要 通分。于是，我们便选择等量关系②来列方程解题： 设乙每天做零件 x 个，则甲每天做零件（x＋5）个。于是，有方程 539 （x+5）×8=2×（8-3）x 进而可知，甲每天做的是 20+5=25（个） 8 天后甲做的是 25×8=200（个）， 8 天后乙做的是 20×（8-3）=100（个） （答略） 36 名学生到乙校学习，则甲乙两校学生人数相等。甲乙两校原来各有学生多少？” 在题目中，可以找到三组等量关系： 甲校原来人数-乙校后来人数=36…………① 甲校原来人数-36=乙校原来人数+36…………② 经过比较，利用等量关系①列方程解题，显然比较简便： 设两校共有 x 人，可得方程为 乙校原有 720-396=324（人） （答略） 在利用等量关系解题时，有时候通过“单位 1”，可以找到最巧妙的解法。比方下面的这 一道工程问题： 540 “一项工程，甲独做 24 天完成，丙独做 40 天完成，甲、乙、丙三人合做，10 天可以完 成。这项工程如果由乙来独做，多少天可以完成？” 在题目条件中，我们可以得到下面的两组等量关系： 乙工效=三人工效和-（甲+乙）的工效…………① 乙工效×工时=工作总量…………………………② 然后，通过巧用“单位 1”，还可找到更好的办法： 设乙独做，x 天可以完成。若把整个工程看作“单位 1”，那么乙每天 所以，其解答就比较简便、快速而巧妙了： 设乙单独做，x 天可以完成，则有 即乙独做 30 天可以完成。（答略） 541 【巧用直觉思维】 有些题目的条件和结构比较特殊，常常不需要把全部条件用于计算解题， 而只要根据其特殊性，经过一次或两次计算，就能将题目解答出来。这是“巧用直觉思维”的 解法。例如 “从同一个地点步行到火车站，甲要 40 分钟，乙要 30 分钟。甲比乙先走 5 分钟，乙出发 后，要走多少分钟才能追上甲？” 若巧用直觉思维解答，可以这样去思考、解答： 甲先走 5 分钟，他比乙会晚到火车站 5 分钟。那么，追及时，应是乙在路程的中心点追上， 故可直接用 30÷2=15（分钟），求得题目的答案。（答略） 又如，“工厂运来一批煤，计划每天烧 3 吨，可以烧 12 天。实际上每天比原计划节约 0.6 吨，实际上比原计划可多烧多少天？” 巧用直觉思维，可以这样思考：实际每天节约煤 0.6 吨，相当于实际每 再如，“有一只底面半径为 30 厘米的圆柱形水桶，桶中有一段半径为 10 厘米的圆柱形钢 材浸没在水中。当钢材从水桶中取出时，桶里的水下降了 5 厘米。这段钢材有多长？” 按一般方法解，必须先求钢材的体积（即下降的水的体积），再求钢材底面积，然后求钢 材的长。这是很麻烦、很费时的。若用直觉思维思考、解答，可以设想一下钢材底面积同水面 积的关系，再找出钢材长与水面下降部分的关系，便可不用求积，而直接求出钢材的长度： 根据水面半径 30 厘米和钢材底面半径 10 厘米，可知它们的关系是：钢 542 妙的解答方法： 5×9=45（厘米） （答略） 【巧妙放缩】 有些应用题，由于条件和问题的特殊情况，从直接给出的已知条件中不容易找 到简捷的解题途径。这时，我们不妨把某一个已知条件扩大或缩小一定的倍数，促使其他条件 相应地发生变化，由此往往能找到简单的解法。例如 “5 千克大米的价钱相当于 0.8 千克食油的价钱，如果 2 元钱可买 2.5 千克大米，那么 8 元钱可买多少千克食油？” 按一般方法解答，需要先求出 5 千克大米的价钱是多少，再求出 0.8 千克食油的价钱，然 后求出每千克食油的价钱，进而才可求出 8 元钱可买的食油的数量。 若采用“放缩方法”，可把其中一个条件放大几倍来思考：将 2 元钱买 2.5 千克大米这一 条件放大 4 倍，可知 8 元钱可买 10 千克大米。因为 5 千克大米的价钱相当于 0.8 千克食油的 价钱，所以，10 千克大米的价钱可买食油 0.8×2=1.6（千克），即 8 元钱可买食油 1.6 千克。 （答略） 有些典型应用题，也可以用“放缩方法”去解答，从而较快、较巧妙地找出它的答案。例 如 “鸡兔同笼，共头 48 个，共足 114 只。问：鸡兔各有多少只？” 如果把鸡和兔的足数缩小 2 倍，则鸡的足数和头数相等，兔的足数为头数的 2 倍。这时， 鸡和兔的总足数与总头数（总只数）的差数，就是兔子的只数，故可这样解答： 114÷2-48=9（只）……………兔数 48-9=39（只）…………………鸡数 （答略） 上面两例，是单纯用放大，或单纯用缩小的办法解答的。但有些较复杂的应用题，就既要 用“放大法”，又需用“缩小法”，才能使问题正确而快速地解答出来。 例如 “甲乙两个商店去年平均每月的利润，甲店比乙店多 5 万元。已知甲店 元？” 543 根据这一新条件解题，还难很快发现其数量关系，这时不妨把这个条件再缩小 2 倍，于是 得到 这样得到的新条件中，就可以清楚地看出，甲店比乙店每月多的 5 万元，也就是甲店比乙 店多的那个 于是，甲店每月的利润数便是 乙店每月的利润数便是 6.25-5=1.25（万元） （答略） 还有比这更复杂一些的问题，可结合其他解法来运用“放缩方法”，使问题得到解答。例 如下面的这道英国名题——“第三牧场的牛数问题（实际上也是个牛顿问题）”： “有三个牧场，场上的牧草长得同样的茂盛和同样的快，它的面积分别 二牧场饲养 21 头牛，可维持 9 个星期。假若第三牧场饲养的牛，在该场要维持 18 个星期， 那么，这牧场应养牛多少头？”（注：草料是边吃边生长的。） 按照“牛顿问题”的解法来死套，是很难找到解法的。不过，当我们运用“放缩法”，假 定三个牧场面积同样大，这一道在三个牧场牧牛群的复杂题目，就会变成在同一牧场牧牛群的 简单题目了。这是因为题目中已交代：三牧场牧草同样的茂盛，并且长得同样的快。 544 倍数），则 第一牧场可以有牛 第二牧场可以有牛 21×（120÷10）=252（头）（仍是 9 个星期可以吃完） 那么，第三牧场是多少头牛 18 个星期可以吃完呢？ 这一道用放大了的假定数据编成的题目，还可以改编成一道与它同解的应用题： “有一个牧场，养牛 432 头，4 个星期可以吃完全部草料。若养牛 252 头，则 9 个星期可 以吃完全部草料。如果要在 18 个星期内吃完这牧场里的全部草料，那么，它应该养牛多少头 呢？（草料是边吃边生长的）” 这是一道简单点的“牛顿问题”，可用“牛顿问题”的解法解答如下： 因为 432 头牛 4 星期吃的草料，等于 432×4=1728（头牛一星期吃的草料） 252 头牛 9 星期吃的草料，等于 252×9=2268（头牛一星期吃的草料） 而 4 星期吃完与 9 星期吃完，要相差 2268-1728=540（头牛一星期吃的草料） 显然，这多出的草料，是 9-4=5（个星期） 之内新长出的草料。所以，牧场一个星期长出的草料是 540÷5=108（头牛一星期吃的草料） 因此，这牧场最初有的草料是 （432-108）×4=1296（头牛吃一星期的草料） 现在，这 1296 头牛吃一星期的草料，要求能维持 18 个月，则能饲养的牛数就只能是 1296÷18=72（头） 545 但这牧场的草料是不断生长的，还必须用 108 头牛来吃掉每个星期新长出的草料，所以， 能饲养的牛数总共是 72＋108=180（头） 不过，这还只是假定这牧场为 120 英亩所得的结果。实际上第三牧场面积只有 24 英亩， 比假定数缩小了 120÷24=5（倍） 故第三牧场饲养的牛数，也应比这 180 头缩小 5 倍。于是可知，第三牧场饲养的牛数便是 180÷5=36（头） （答略） 这道题的解答，显然是得益于“放缩方法”，将复杂题转化为基本题以后，才找到其解答 的。 41、简单方程的解法 【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般 步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数 x 的系数。 解 去分母，两边同乘以 6，得 3（x-9）-2（11-x）=12 去括号，得 3x-27-22+2x=12 移项，得 3x+2x=12+27+22 合并同类项，得 5x=61 546 【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方 法）是： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原 方程的增根，必须舍去。 解 方程两边都乘以 x（x-2），约去分母，得 5（x-2）=7x 解这个整式方程，得 x=-5， 检验：当 x=-5 时， x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0， 所以，-5 是原方程的根。 解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得 （x－2）2-16＝（x+2）2 解这个整式方程，得 x=-2。 检验：当 x=-2 时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2 是增根，原方程无解。 547 42、加法运算定律 【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”， 简称“加法交换律”。 加法交换律用字母表达，可以是 a+b=b+a。 例如：864+1，236=1，236+864=2，100 【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相 加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。 548 加法结合律用字母表达，可以是 （a+b）+c=a+（b+c）。 例如：（48928+2735）+7265 =48928+（2735+7265） =48928+10000 = 58928 43、几何图形旋转 【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几 何体是“圆柱”。 如图 1.37，将矩形 ABCD 绕 AB 旋转一周，得圆柱 AB。其中 AB 为圆柱的轴，也是圆柱的高。 BC 或 AC 是圆柱底面圆的半径，CD 叫做圆柱的母线。 549 【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体 是“圆锥”。 例如图 1.38，将直角三角形 ABC，绕直角边 AC 旋转一周，便形成了圆锥 AC。其中 AC 是 圆锥的轴，也是圆锥的高；CB 是圆锥底面的半径；AB 叫做圆锥的母线。 【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆 台”。 例如图 1.39，将直角梯形 ABCD 绕着它的直角腰 AB 旋转一周。便形成了圆台 AB。其中， AB 是圆台的轴，也是圆台的高，上下底 AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰 DC， 是圆台的母线。 【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。 例如图 1.40，半圆绕着它的直径 AB 旋转一周，便形成了球 O。原来的半圆圆心 O 是球心； 原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。 550 44、几何图形的计数 【点与线的计数】 551 例 1 如图 5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数 多还是圆点的个数多？ （全国第二届“华杯赛”决赛试题） 讲析：可用“分组对应法”来计数。 将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有 1 个，其下行线有 2 点； 第二排三角形有 3 个，其下行线有 3 点； 第三排三角形有 5 个，其下行线有 4 点； 以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。 所以是小三角形个数多。 例 2 直线 m 上有 4 个点，直线 n 上有 5 个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？ （如图 5.46） （哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题） 讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。 直线 n 上有 5 个点，这 5 点共可以组成 4＋3+2＋1=10（条）线段。以这些线段分别为底 边，m 上的点为顶点，共可以组成 4×10=40（个）三角形。 同理，m 上 4 个点可以组成 6 条线段。以它们为底边，以 n 上的点为顶点可以组成 6×5=30 （个）三角形。 所以，一共可以组成 70 个三角形。 552 【长方形与三角形的计数】 例 1 图 5.47 中的正方形被分成 9 个相同的小正方形，它们一共有 16 个顶点，以其中不在 一条直线上的 3 点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积 的有多少个？ （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 为 3 的三角形，或者 高为 2，底为 3 的三角形，都符合要求。 ①底边长为 2，高为 3 的三角形有 2×4×4=32（个）； ②高为 2，底边长为 3 的三角形有 8×2=16（个）。 所以，包括图中阴影部分三角形共有 48 个。 例 2 图 5.48 中共有______个三角形。 （《现代小学数学》）邀请赛试题） 讲析：以 AB 边上的线段为底边，以 C 为顶点共有三角形 6 个； 以 AB 边上的线段为底边，分别以 G、H、F 为顶点共有三角形 3 个； 以 BD 边上的线段为底边，以 C 为顶点的三角形共有 6 个。 所以，一共有 15 个三角形。 例 3 图 5.49 中共有______个正方形。 553 （《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：可先来看看图 5.50 的两个图中，各含有多少个正方形。 图 5.50（1）中，正方形个数是 6×3＋5×2＋4×1=32（个）； 图 5.50（2）中，正方形个数是 4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个） 如果把图 5.49 中的图形，分成 5×6 和 4×11 两个长方形，则： 5×6 的长方形中共有正方形 5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）； 4×11 的长方形中共有正方形 4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。 两个长方形相交部分 4×5 的长方形中含有正方形 4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。 所以，原图中共有正方形 70＋100-40=130（个）。 例 4 平面上有 16 个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图 5.51 （1）]，每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方 形。 （《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题） 554 讲析：能围成图 5.51（2）的正方形共 14（个）； 能围成图 5.51（3）的正方形共 2（个）； 能围成图 5.51（4）的正方形共 4（个）。 所以，一共可围成正方形 20 个。 【立体图形的计数】 例 1 用 125 块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图 5.52）。 那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_______。 （1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：本题要注意不能重复计数。 八个顶点上各有一个黑色正方体，共 8 个； 每条棱的中间有一个黑色正方体，共 12 个； 除上面两种情况之外，每个面有 5 个黑色正方体，共 5×6=30（个）。 所以，总共有 50 个黑色正方体露在表面上。 例 2 把 1 个棱长为 3 厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是 整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小正方体。 （北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题） 555 讲析：若分成｜×××｜的小正方体，则共可分成 27 个。 但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开 始的时候，可分出一个 2×2×2 的正方体（如图 5.53），余下的都只能分成 1×1×1 的正方 体了。 所以，最少可分成 20 个小正方体。 556 45、几何体侧面展开 【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱 的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长； 矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。 例如图 1.41，将正六棱柱 ABCDEF—A 払扖扗扙扚捈霸仓鵒 O 挼牟嗝嬲箍 谕 黄矫 嫔希 愠闪司匦蜛 1A 抇 1A 抇 2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩 形，只是中间没有那些虚线。% 【正棱锥侧面展开】正 n 棱锥（底面为正 n 边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的 棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的 n 个全等的等腰三角形。 例如图 1.42，将正三棱锥 S—ABC 的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的 等腰三角形 SAB、SBC 和 SCA 捪嗔 耐夹巍 【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇形的弧长 是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。 例如图 1.43，将圆锥 SO 的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形 557 径 SA、SA 挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲 式中 r 是圆锥底面圆半径，l 是圆锥母线的长。 【正棱台侧面展开】正 n 棱台（用一平行于正 n 棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面 间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是 n 个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。 例如图 1.44，将正三棱台 ABC—A 払扖挼牟嗝嬲箍 谕 黄矫嫔希 阈纬闪烁猛加冶 叩耐夹瘟恕 【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇 环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分 别是圆台上、下底面圆的周长。 例如图 1.45，将圆台 O1O2 的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了 558 46、几何公式 【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。 【立体图形计算公式】 559 (1)柱体公式。 （2）锥体公式。 正 n 棱锥（如图 1．13）的公式： 圆锥的公式（圆锥如图 1．14 所示）： 560 （3）棱台、圆台公式。 正 n 棱台（如图 1．15）的公式： 圆台（如图 1．16）的公式： （4）球的计算公式。 球的图形如图 1．17 所示。 561 S 表=4πr2； 附录：其他常用公式 【整数约数个数公式】一个大于 1 的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质 因数的个数（指数）加 1 的连乘积。 例如，求 4500 的约数个数。 解 ∵4500=22×32×53 ∴4500 的约数个数是 （2+1）×（2+1）×（3+1）=36（个）。 【约数之和的公式】一个大于 1 的自然数 N，将它分解质因数为 为自然数，则 N 的所有约数的和为 S（N），可用下列公式计算： 例如 求 1992 的所有约数的和。 解 S（1992）=S（23×31×831） =5040． 【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式： 562 （1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。 即 （2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数 的积的倒数的差的一半。即 （3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数， （4）一般分数拆项公式。当 n、d 都是自然数时，有 【堆垛计算公式】 563 （1）三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数 S 时，可将底边个数”乘以（n+1）再乘以 （n+2），然后除以 6。用式子表示就是 例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边 4 个，顶尖 1 个（如图 1．18）。桔子总数 是多少个？” 解 依据三角形堆垛公式，得 =20（个）。 （2）正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数 S 时，可将底边个数 n 乘以底边 数加 0．5 的和，再乘以底边个数加 1 的和，最后将乘积除以 3。用式子表示，就是 例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图 1．19），底层每边放 4 个，顶尖放一个。苹果 总数是多少个？” 解 依据公式，得 564 （3）长方形堆垛。计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图 1．20。）的堆垛物 体的总个数 S 时，可将底层宽边的个数 n1，长边的个数 n2，按照下面的公式计算： 例如，“有一盘馒头，底边宽 5 个，长边上放 8 个，如图 1．20 所示，这盘馒头共有多少 个？” 解 此题中，n1=5，n2=8。依据长方形堆垛公式，得 =45+55=100（个） 或者是 （4）梯形堆垛。计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数 S 时，可将最上层总 数 S1，加上最下层总数 S2 后，乘以层数 n，再除以 2。（梯形堆垛如图 1．21 所示。）用式 子表示就是 例如，“一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图 1．21），最上层为 32 只，最下层为 45 只，共 堆有 14 层（每层差 1 只）。酒坛的总数是多少只？” 565 解 依计算公式，得 【数线段条数的公式】若线段 AB 上共有 n 个分点（不包括 A、B 端点），则 AB 线段上共 有的线段条数 S，计算的公式是： S=（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1 例如，求下图（图 1．22）中所有线段的条数。 解 在线段 AB 上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得 S=（5+1）+5+4+3+2+1 注意：这一公式，还可以用来数形如图 1．23 的三角形个数。 在这个图形中，因为底边 BC 上有 4 个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的 个数为 566 【数长方形个数的公式】若长方形的一边有 m 个小格，另一边有 n 个小格，那么这个图形 中长方形的总个数 S 为 S=（m+m-1+m-2+……+3+2+1）×（n+n-1+n-2+……+3+2+1） 例如，请数出下图 1．24 中共有多少个不同的长方形。 解 长方形 ABCD 长边上有 6 个小格，宽边上有 4 个小格。根据数长方形总数的公式，可得 =21×10=210（个）。（答略） 注意：这一公式，还可以用来数形如图 1．25 中的梯形的个数。 显然，这个图形中除了△ADE 以外，其余均为大大小小的梯形。 最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有 4 个小格。利用数长方形个数的计算公式，可得 梯形的总个数 S 为 567 =15×10=150（个）。（答略） 【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了 m 等份，宽被分成了 n（n＜m）等份 （长和宽上的每一份长度是相等的），那么这个长方形中的正方形总数 S 为： S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+……+（m-n+1）×1 特殊的，当一个正方形的边长被分成 n 等分时，则这个图形中正方形的总个数 S 为： 例 1 求下图中正方形的总个数（如图 1．26）。 解 图中 AB 边上有 7 个等分，AD 边上有 3 个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式， 可得： S＝7×3+6×2+5×1 =21+12+5 =38（个）。（答略） 例 2 求下图（图 1．27）中的正方形有多少个。 解 图形中正方形每边上有 4 等分。根据数正方形个数的计算公式，得 （答略） 568 【平面内 n 条直线最多分平面部 分数的公式】平面内有 n 条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相 交，且不交同一点。那么，这几条直线将平面划分的部分数 S 为 例 平面内有 8 条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这 8 条直线能把平面划分 出多少个部分？ 解 根据平面内 n 条直线，最多分平面部分数的计算公式，得 S=2+2+3+4+5+6+7+8 【n 个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有 n 个圆，每个圆都与其他圆相交，且 不交于同一点，那么这个圆将平面划分的最多的部分数 S 为 S=2+1×2+2×2+…+（n-1）×2 =n2-n+2 例 在一个平面上有 20 个圆，这 20 个圆最多可将平面划分为多少个部分？ 解 根据平面内 n 个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得 S=2+1×2+2×2+…+19×2 =202-20+2 =400-20+2 =382（块）（答略） 【格点面积公式】 每个小方格的面积都是 1 个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”， 这样的方格纸，叫做“格点平面”。 在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算： 图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点数÷2-1。 569 例 如图 1．28，求格点平面内 A、B 两个图形的面积。 解 A 图内部无格点，B 图内部有 9 个格点； A 图周界上有 9 个格点，B 图周界上有 7 个格点。 根据格点面积公式，得： A 图面积=9÷2-1=3.5（面积单位） B 图面积=（9+7）÷2-1=11．5（面积单位）（答略） 如果格点是由形如“∴”或“∵”构成（如图 1．29），且每相邻的三点所形成的三角形 面积为 1 的等边三角形，则计算多边形面积公式为 多边形面积=2×图形内部格点数+图形周界上格点数-2。 47、几何公理、定理或性质 【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 570 【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质： 两条直线相交，只有一个交点。 【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。） 【垂线性质】 （1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。 （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成： 垂线段最短。） 【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。 【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。 【有关平行线的定理】 （1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 （2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。 【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这 一特性，所以在实践中它有广泛的应用。 【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有： （1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。 （2）三角形三内角之和等于 180°。 由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质： ①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图 1.1，∠4=∠1+∠2。 ②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图 1.1， ∠4＞∠1，∠4＞∠2。 【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 用字母表达就是 a2+b2=c2。（a、b 表直角边长，c 表斜边长。） 571 我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫 做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。 勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较 早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。 【平行四边形的性质】 （1）平行四边形的对边相等。 （2）平行四边形的对角相等。 （3）平行四边形邻角的和是 180°。如图 1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。 （4）平行四边形的对角线互相平分。如图 1.2，AO=CO，BO=DO。 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 【长方形的性质】 长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质： （1）长方形四个角都是直角。 （2）长方形对角线相等。 长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。 【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质： （1）菱形的四条边都相等。 （2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图 1.3，AC⊥ BD，AO=CO，BO=DO，AC 平分∠A 和∠C，BD 平分∠B 和∠D。 572 菱形是中心对称图 形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。 【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 【多边形内角和定理】n 边形的内角的和，等于（n-2）·180°。（又称“求多边形内角 和”的公式。） 例如三角形（三边形）的内角和是 （3-2）×180°=180°； 四边形的内角和是 （4-2）×180°=360°。 【多边形内角和定理的推论】 （1）任意多边形的外角和等于 360°。 这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为 180°，所以，n 边 形 n 个外角的和等于 n·180°-（n-2）·180°=360°。 （2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 例如图 1.4，∠1 的两边分别垂直于∠A 的两边，则∠1+∠A=180°，即∠1 与∠A 互补。 又∠2、∠3、∠4 的两边也分别垂直于∠A 的两边，则∠3 和∠A 也互补，而∠2=∠A，∠ 4=∠A。 【圆的一些性质或定理】 （1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。 （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距 相等。 573 （5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质： （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。 例如图 1.5，图中的 AA′对称点连结线段，被对称轴 L 垂直且平分，即 L⊥AA′，AP=PA′。 （2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对 称轴上。 例如图 1.5 中，BA 与 B′A′的延长线相交，交点 M 在对称轴 L 上。 （3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。 例如，图 1.5 中△ABC 与△A′B′C′全等。 【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转 180°后，它和另一个图形重合， 那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。 中心对称图形具有以下性质： （1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 例如，图 1.6 中对称点 A 与 A′，B 与 B′，C 与 C′，它们的连线都经过 O（对称中心）， 并且 OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。 （2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 574 48、和差积商的变化规律 【和的变化规律】 （1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或 减少）同一个数。用字母表达就是 如果 a+b=c，那么（a+d）+b=c+d； （a-d）+b=c-d。 （2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母 表达就是 如果 a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。 【差的变化规律】 （1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少） 同一个数。用字母表达，就是 如果 a-b=c，那么（a+d）-b=c+d， （a-d）-b=c-d。 （a＞d+b） （2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加） 同一个数。用字母表达，就是 如果 a-b=c，那么 a-（b+d）=c-d（a＞b+d）， a-（b-d）=c+d。 （3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表 达，就是 如果 a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c， （a-d）-（b-d）=c。 575 【积的变化规律】 （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或 缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果 a×b=c，那么（a×n）×b=c×n， （a÷n）×b=c÷n。 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字 母表达，就是 如果 a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c， 或（a÷n）×（b×n）=c。 【商或余数的变化规律】 （1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同 样的倍数。用字母表达，就是 如果 a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n， （a÷n）÷b=q÷n。 （2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大） 同样的倍数。用字母表达，就是 如果 a÷b=q，那么 a÷（b×n）=q÷n， a÷（b÷n）=q×n。 （3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达， 就是 如果 a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q， （a÷n）÷（b÷n）=q。 （4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商 虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。 这一变化规律用字母表示，就是 如果 a÷b=q（余 r）， 那么（a×n）÷（b×n）=q（余 r×n）， 576 （a÷n）÷（b÷n）=q（余 r÷n）。 例如，84÷9=9……3， 而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2）， （84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。 49、估值计算 【精确度计算】 例 1 计算 12345678910111213÷3l21l10l98765432l，它小数点后面的前三位数字是 ______。 （1991 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：被除数和除数都有 17 位数，直接去除是极麻烦的。我们不妨将被除数和除数作适 当的放缩，再去进行解答： 原式的值＞1234÷3121=0.3953…… 原式的值＜1235÷3122=0.3955…… 所以，答案是 3、9、5。 例 2 以下四个数中有一个是 304×18.73 的近似值，请你估算一下，找出这个数。 （1）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。 （1989 年日本小学数学总体评价测验题） 讲析：在做近似数的乘除法时，先要估算结果的粗略值。 18.73 接近 20，304 接近 300，300×20=6000，可知，乘积在 6000 左右。所以，答案是 5697。 【整数部分的估算】 （1990 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 577 讲析： 所以，整数部分是 517。 （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 讲析：将分母运用扩缩法进行估算，可得 X，那么，与 X 最接近的整数是______。 （1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：可将整数部分与分数部分分开计算，得 答案是 25。 例 4 已知 问 a 的整数部分是多少？ 578 （全国第二届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：本题计算较繁。可先将分子变成两大部分，其中一部分与分母相同，另一部分不 同。 所以，a 的整数部分是 101。 果取每个数的整数部分，并将这些整数相加，那么， 这些整数之和是_______。 （1990 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：解题的关键是要找出从哪一个数开始，整数部分是 2。 本身），整数部分都是 1。在此以后的数，整数部分都是 2。故答案是 49。 大于 3，至少要选______个数。 （1989 年全国小学数学奥林匹克复赛试题） 讲析：要使选的个数尽量少，所选的数必须尽量大。由此可得 579 50、根据和、差、积、商变化规律速算 【根据和的变化规律速算】和的变化规律有以下两条。 （1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或 减少）同一个数。 利用这一规律，可以使计算简便、快速。例如 645+203=645+200+3 =845＋3 =848 397＋468=400＋468-3 =868-3 （2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。 利用这一规律，也可以使计算简便、快速。例如 657＋309=（657+9）＋（309-9） =666+300 580 =966 154＋286=（154—4）+（286＋4） =150＋290 =（150-10）＋（290＋10） =140＋300 =440 【根据差的变化规律速算】差的变化规律有如下三条。 （1）如果被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。 运用这一规律的速算，如 804—355=800—355＋4 =445＋4 ＝449 593—264=600—264—7 =336—7 =329 （2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加） 同一个数。 运用这一规律的速算，如 675—298=675—300＋2 =375＋2 =377 458—209=458—200—9 =258—9 =249 （3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么它们的差不变。 581 运用这一规律的速算，如 3520—984=（3520＋16）-（984＋16） =3536—1000 =2526 803—345=（803—3）-（345—3） =800—342 =458 【根据积的变化规律速算】积的变化规律有如下两条。 （1）如果一个因数扩大（或者缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或 者缩小）同样的倍数。 运用这一规律的速算，如 175×4=（25×7）×4 =[（25×7）÷25]×4×25 =7×4×25 =7×（4×25） =700 68×25＝68×100÷4 =6800÷4 =1700 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。 运用这一规律速算，如 240×25=（240÷4）×（250×4） =60×1000 =60000 45×14=（45×2）×（14÷2） 582 =90×2 =180 【根据商的变化规律速算】商的变化规律，有如下三条： （1）如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小） 同样的倍数。 运用这一规律速算，如 5400÷9=（5400÷100）÷9×100 =54÷9×100 =6×100 =600 （2）如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而会缩小，（或 者扩大）同样的倍数。 运用这一规律速算，如 3600÷25＝3600÷（25×4）×4 =3600÷100×4 =36×4 =144 （3）被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，它们的商不变。 运用这一规律速算，如 690000÷23000=（690000÷1000）÷（23000÷1000） =690÷23 =30 12000÷25=（12000×4）÷（25×4） =48000÷100 =480 583 注意：在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，不完全 商虽然不会变化，但余数会跟着扩大（或者缩小）同样的倍数。要使余数不变，所得的余数必 须缩小（或者扩大）同样的倍数。 51、割补、拼接、截割 【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图 形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。 例如，在图 4.38 中，三个圆的面积都是 12.56 平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都 是圆心，求三块阴影部分的面积。 从表面上看，题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法， 题目可作如下的解答： 584 如图 4.39，将图形 1 翻折到图形 2 的位置；再将图形 3 和 4 割下来，合并在一起，补到图 形 5 的位置上。于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。所以，三块阴影部分的面积是 12.56÷2=6.28（平方厘米） 【拼接，截割】 （1）平面图形的拼接、截割。 拼接和截割，是两个相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起； 平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。 平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律： ①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的 面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总长度为 a，那么拼接后减少 的周长就是 2a。 ②把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后 各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。若所有截割部分长度为 a，那么截割后 增加的长度就是 2a。 依据这一规律，可快速地解答一些几何问题。例如，如图 4.40，正方形被均分为大小、形 状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是 48 厘米，求正方形的周长。 解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都 是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形（大正方形）的周长，比原 来的三个小长方形的周长之和，要减少 4 个“边长”，而这 4 个“边长”正好相当于大正方形 的周长。这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长。所以，正 方形的周长是 48×3÷2 =144÷2 585 =72（厘米） （2）立体图形的拼接、截割。立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化， 有以下规律： ①两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体 体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。如果重叠部分为 S，那 么减少的面积就是 2S。 ②把一个几何体截割以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后的表面积之和， 却大于原几何体的表面积。如果其中的截割面积为 S，那么，增加的表而积就是 2S。 依据这一规律，可以较快地解答出某些题目。例如，如图 4.41，把一个棱长为 5 厘米的 正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（不计损耗），表面积会增加多少平方厘米？ 因为正方体木块的截割面积为 5×5=25（平方厘米），依据上面的规律可知，表面积会增 加 25×2=50（平方厘米） 又如，把长 10 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方 体，表面会增加多少平方厘米？ 由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目。 ①如图 4.42 左图的截法，表面积会增加。 5×6×2=30×2=60（平方厘米） ②如图 4.42 中图的截法，表面积会增加。 586 10×6×2=60×2=12（平方厘米） ③如图 4.42 右图的截法，表面积会增加 10×5×2=50×2=100（平方厘米） 52、改变运算种类 在四则运算中，改变原题的运算种类，如以乘代加、以加代减、以加代乘、以减代除……， 往往可使一些题目的计算变得比较简便、快速。 【以乘代加】几个加数虽然不同，但数字大小比较接近的时候，可以选择一个数作“基 准数”，采用“以乘代加”的方法速算。例如 （1）17＋18＋16＋17＋14+19＋13+14 解题时，可以选择 17 为基准数，以乘代加解答如下。 587 17＋18+16＋17＋14+19+13＋14 =17×8＋1-1-3＋2-4-3 =17×8-8 =128 （2） 325＋324＋318＋327＋323＋320 解题时，可以选取 323 作为基准数，然后解答。 325+324＋318+327＋323＋320 =323×6+2＋1-5+4-3 = 323×6+（2＋1＋4）-（5＋3） =323×6＋7-8 =323×6-1 =1937 运用基准数以乘代加速算，对于一些随报随记而且数字又很接近的连加运算，是极为方便、 快速的，它的算法可以是： 选定一个数作基准数，把比基准数多的记“十”，比基准数少的记“一”，随报随算它的 累计数。当要加的数报完后，结果也就计算出来了。 例如，某组 10 个同学某次数学考试分数如下： 72；71；70；68；74；69；73；67；70；73。 计算时，可选择 70 分作基准数。计算过程可如下表所示（实际计算时只需要算出累计数 就行了）： 所以，这组同学这次考试成绩的总分数是 70×10＋7=707（分） 【以加代减】为说明问题，先看一个实际问题： 588 “某人去商店购物，需要付款 4.65 元。他交给售货员 10 元，应找回多少钱？” 很明显，这是个减法算题，应该用 10—4.65=5.35（元）去求答案。可是在找钱的时候， 售货员一般不做减法，而是采用“前位凑九，末位凑十”的加法运算，得 5.35 与 4.65 能凑 成 10，从而得出要找的钱数是 5.35 元。这是为什么呢？ 因为做减法会产生连续退位的问题，而用加法凑整，可以通过“前位九，末位十”的办法 口算。达到正确、快速、简便地求差的目的。 凡是整百、整千、整万……减去一个数，都可以用“以加代减”的方法——“前位凑九， 末位凑十”，去迅速地求差。请看下面的两个例子，特别是看一看列出的竖式： （1） 1000—675=325 (2)50000-3672=46328 【添 0 折半】一个数乘以 5，可以看成是先乘以 10 再除以 2。一个数乘以 10 非常简便， 只要在这个数的末尾添个 0；再除以 2，也很容易口算。这种添 0 后再除以 2 的方法，叫做“添 0 折半法”。它也改变了原题的运算种类。例如 （1）486×5 ＝4860÷2 =2430 （2）4.37×5 =43.7÷2 =21.85 【添 0 退减原数】一个数乘以 9，就是乘以 10—1。根据一个数乘以两数之差的分配性质， 一个数乘以 9，可以在这个数的末尾添一个 0，再退一位减去原数，所得的就是所要求的积。 这种方法，可称为“添 0 退减原数法”。例如 589 396×9 =3960-396 =3564 （退减原数可看式口算。看式口算不熟练时，可从低位减起，熟练之后可从高位减起，一 下子就可直接写出得数。） 【添 0 折半加原数】一个数乘以 6，可以看成是乘以（5＋1）。运用乘法分配律，可以用 这个数分别乘以 5 和 1，再求两个积之和。一个数乘以 5，可以用“添 0 折半法”，加上这个 数与 1 的积，就是加上原数。所以这种速算方法可称之为“添 0 折半加原数法”。例如 6489×6 =64890÷2+6489 =32445＋6489 =38934 这种方法还可以推广到一个数乘以 7 中去。不过，乘以 7 就必须是“添 0 折半加原数的 2 倍”了。 例如 2436×7 =24360÷2＋4872 =12180+4872 =17052 234.2×7 =2342÷2+468.4 =1171＋468.4 =1639.4 【以加代乘】“以加代乘”又可以称之为“添 0 加原数”。例如 720×11 =7200＋720 590 =7920 67203×11 ＝672030＋67203 =739233 这种方法还可以推广到一个数乘以 12 的计算中去。不过，一个数乘以 12，需要添 0 加原 数的 2 倍。例如： 623×12 =6230+1246 =7476 【原数加半，加半定积】如果一个数乘以 1.5，也就是乘以（1＋0.5），那么根据乘法分 配律，只要把这个数加上它的一半就可以了。这时，原来的乘法也可以改用加法来代替。例如 48×1.5 =48×（1＋0.5） =48+24（48 的一半） =72 显然，“原数加半”的方法速算乘法，也是“以加代乘”的一种方法。 这种“原数加半”方法还可推广到一个数乘以 15、150、1500……以及 0.15、0.015、 0.0015……中去。因为 15=1.5×10 0.15=1.5×0.1 150=1.5×100 0.015=1.5×0.01 1500=1.5×1000 0.0015=1.5×0.001 …… …… 所以，一个数乘以这些数，只要把这个数加上它的一半以后，再移动小数点的位置就可以 了。比方 6.4×150 =6.4×1.5×100 591 =（6.4＋3.2）×100 =9.6×100 =960 4600×0.0015 =（4600＋2300）×0.001 =6900×0.001 =6.9 这样的方法，可以称作“加半定积法”。在我国农村，还经常将它用于将平方米数换算成 亩数的计算。因为 1 平方米=0.0015 亩，所以 2800 平方米=（0.0015×2800）亩 =[（2800＋1400）×0.001]亩 =4.2 亩 在民间，人们一般称这样的快速简算方法，叫做“加半向左移三法”。 【以减代除】除法实际上是同数连减的简算方法，而同数连减又可以用乘法代替。所以， “以减代除”可以达到简算和速算的目的。 例如，550÷25，先用 550 减去 20 个 25，得 50，50 再减去 2 个 25，便得 0。所以，550 ÷25=22。由口算便迅速得出了此题的得数。 【以乘代除，以除代乘】在乘法运算里，如果一个因数是 5”，则可将它化为“10n÷2n”， 从而将“乘以 5n”转化为“除以 2n”进行计算。同样，在除法运算里，如果除数是 5n，那么， 也可以将它转化为“乘以 2n”去进行计算。显然，除以或乘以 2n，要比乘以或除以 5n 方便、 快速得多。例如 （1）12000÷125 =12000÷53 =12000÷（103+23） =12000÷103×23 =12×23 =96 592 因为 12×23=12×2×2×2，所以口算得数时，只要把 12 连续翻倍三次即可。即 12—→24—→48—→96。 （2） 480×125=480×53 =480×（103÷23） =480×103÷23 ＝480÷23×103 =60×103 =60000 因为 480÷23=480÷2÷2÷2，所以口算得数时，只要把 480 连续折半三次即可。即 480—→240—→120—→60。 593 53、复杂分数应用题 【复杂的一般分数问题】 例 1 已知甲校学生数是乙校学生数的 40％，甲校女生数是甲校学生数的 30％，乙校男生 数是乙校学生数的 42％。那么，两校女生总数占两校学生总数的百分之几？ （全国“幼苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：关键是要求出甲、乙两校学生数，分别占两校总人数的几分之几。 因为甲校学生数是乙校学生数的 40％，所以，甲、乙两校学生数之比为 所以，两校女生占两校学生总数的 例 2 有一堆糖果，其中奶糖占 45％，再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占 25％。那么， 这堆糖中有奶糖____块。 （1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 16 块水果糖之后，其它糖就是奶糖的（1-25％）÷25％=3（倍）。 例 3 某商店经销一种商品，由于进货价降低了 8％，使得利润率提高了 10％。那么这个 商店原来经销这种商品所得利润率是百分之几？ （长沙市奥林匹克代表队集训试题） 讲析：“利润”是出售价与进价的差；“利润率”是利润与进货价的比率。 594 设这种商品原进价为每件 a 元，出售后每件获利润 b 元。那么 现进价为每件 （1-8％） ×a=92％a（元）， 例 4 学校早晨 6：00 开校门，晚上 6：40 关校门。下午有一同学问老 （1992 年小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：本题的关键是要注意“时间”和“时刻”这两个概念的区别。 从早晨 6 点到中午 12 点共有 6 小时，从中午 12 点到下午 6 点 40 分共有 设从中午 12 点到“现在”共 a 小时，可列方程为 解得 a=4。 所以，现在的时间是下午 4 点钟。 【工程问题】 例 1 一件工作，甲做 5 小时后，再由乙做 3 小时可以完成；若乙先做 9 小时后，再由甲 做 3 小时也可以完成。那么甲做 1 小时以后，由乙做____小时可以完成？ （1987 年北大附中友好数学邀请赛试题） 讲析：因为“甲做 5 小时，乙做 3 小时可以完成”；或者“甲做 3 小时，乙做 9 小时也可 以完成”。由此得，甲做 5-3=2（小时）的工作量，就相当于乙做 9-3=6（小时）的工作量。 即：甲做 1 小时，相当于乙做 3 小时。 595 由“甲做 5 小时，乙再做 3 小时完成”，可得：甲少做 4 小时，就需乙多做 3×4=12（小 时）。 所以，甲做 1 小时之后，还需要乙再做 3+12=15（小时）才能完成。 例 2 如果用甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水，1 小时可以灌满；如果用甲、 乙两根水管，1 小时 20 分可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1 小时 15 分可以灌满。那么， 用乙管单独灌水，要灌满一池水需要____小时。 （1993 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：关键是求出乙的工作效率。 例 3 一项挖土方工程，如果甲队单独做，16 天可以完成；乙队单独做 时，突然遇到地下水，影响施工进度，使得每天少挖了 47.25 方土，结果共用了 10 天完成工 程。问整个工程要挖多少方土？ （1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题） 讲析：甲、乙两队合做，则工效可提高 20％，所以每天可以完成 596 例 4 某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9 小时可以完成一项生产 任务，如果交换工人 A 和 B 的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前 1 小时完成这项生 产任务；如果交换工人 C 和 D 的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前 1 小时完成 这项生产任务。问：如果同时交换 A 与 B，C 与 D 的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可 以提前几分钟完成这项生产任务。 （全国第四届“华杯赛”决赛试题） 所以，同样交换 A 与 B，C 与 D 之后，全组每小时可以完成： 例 5 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作。甲工地的工作量是乙工 已做完，乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天。那么，这批工人有____人。 （1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：把甲、乙两地全部工作量作单位“1”，由“甲工地的工作量是 把工人总数作单位“1”，由“上午去甲工地人数是去乙工地人数的 3 597 所以，一天中去甲、乙工地人数之比为： 例 6 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时。要排光一池水，单开乙管需要 丁的顺序循环开各水管，每次每管开 1 小时，问多少时间后水开始溢出水池？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题） 有当开到甲水管时，水才会溢出。 溢出。 598 的思路是在假设要打开水管若干个循环之后， 水才开始 开始溢出。所以，这样解的思路是错误的。 599 54、分数与繁分数化简 【分数化简】 讲析：容易看出，分子中含有因数 37，分母中含有因数 71。所以可得 （长沙地区小学数学奥林匹克选拔赛试题） 讲析：注意到，4×6=24，2＋4=6，由此产生的一连串算式： 16×4=64 166×4=664 1666×4=6664 …… 600 （全国“育苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：容易看出分子中含有因数 3。把 48531 分解为 48531=3×16177，然后可试着用 16177 去除分母： 【繁分数化简】 （1990 年马鞍山市小学数学竞赛试题） 讲析：如果分别计算出分子与分母的值，则难度较大。观察式子，可发现分子中含有 326 ×274，分母中含有 275×326。于是可想办法化成相同的数： （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 讲析：可把小数化成分数，把带分数都化成假分数，并注意将分子分母同乘以一个数， 以消除各自中的分母。于是可得 例 3 化简 601 （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 讲析：由于分子与分母部分都比较复杂，所以只能分别计算。计算时，哪一步中能简算 的，就采用简算的办法去计算。 所以，原繁分数等于 1。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：连分数化简，通常要从最下层的分母开始，自下而上逐步化简。依此法计算，题 目的得数是 2。（计算过程略） 602 55、对称变换 【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从 A 地出发 到河边饮马，再到 B 地（如图 4.32 所示），走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？ 海伦的方法是这样的：如图 4.33，设 L 为河，作 AO⊥L 交 L 于 O 点，延长 AO 至 A＇，使 A＇O=AO。连结 A＇B，交 L 于 C，则 C 点就是所要求的饮马地点。再连结 AC，则路程（AC+CB） 为最短的路程。 为什么呢？因为 A＇是 A 点关于 L 的对称点，AC 与 A＇C 是相等的。而 A＇B 是一条线段， 所以 A＇B 是连结 A＇、B 这两点间的所有线中，最短的一条，所以 AC+CB=A＇C+CB=A＇B 也是 最短的一条路了。这就是海伦运用对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。运用这种办法， 可以巧妙地解决许多几何问题。 【划线均分】通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原图形均分成 两个大小、形状完全相同的图形。利用这一性质，可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。 例如 603 （1）把图形（图 4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部分。 解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组合图形，而矩形既是轴对 称图形，也是中心对称图形， 所以只要找出两个对称中心（对角线交点），利用中心对称图 形的上述性质，通过两个对称中心作一条直线，就能把它的面积分成相等的两个部分了。如前 页的三种分法都行（如图 4.35 所示）。 （2）如图 4.36，长方形 ABCD 内有一个以 O 点为圆心的圆，请画一条直线，同时将长方 形和圆分为面积相等的两个部分。 大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。长方形的对称中心是对角 线的交点，圆的对称中心是它的圆心。 根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心 O 点和 P 点（如图 4.37），再过 O、 P 作直线 L，此直线 L 即是所画的那根直线。 604 56、典型应用题 【平均数问题】 例 1 小强骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时 15 千米的速度前进，回时以每小时 30 千米的速度返回。小强往返过程中的平均速度是每小时多少千米？ （江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛试题） 讲析：我们不能用（15+30）÷2 来计算平均速度，因为往返的时间不相等。只能用“总 路程除以往返总时间”的方法求平均速度。 605 所以，往返的平均速度是每小时 例 2 动物园的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如 果只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒。那么平均 分给三群猴子，每只猴子可得____粒。 （北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：设花生总粒数为单位“ 1”，由题意可知，第一、二、三群猴子 于是可知,把所有花生分给这三群猴子，平均每只可得花生 例 3 某班在一次数学考试中，平均成绩是 78 分，男、女生各自的平均成绩是 75.5 分和 81 分。问：这个班男、女生人数的比是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第二试试题） 讲析：因男生平均比全班平均少 2.5 分，而女生平均比全班平均的多 3 分，故可知 2.5×男生数=3×女生数。 2.5∶3=女生数：男生数 即 男生数：女生数=6:5。 例 4 某次数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人，现在将一等奖中最后 4 人调整为二 等奖，这样，得二等奖的学生平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分提高了 3 分。那么， 原来一等奖平均分比二等奖平均分多____分。 （1994 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：设原来一等奖每人平均是 a 分。二等奖每人平均是 b 分。则有： 10a+20b=6×（a+3）+24×（b+1） 即：a-b=10. 5。 也就是一等奖平均分比二等奖平均分多 10.5 分。 606 【行程问题】 例 1 甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲乙两人从 A 地，丙一人 从 B 地同时相向出发，丙遇到乙后 2 分钟又遇到甲，A、B 两地相柜______米。 （ 1990 年《小学生报》小学数学竞赛试题） 讲析：如图 5.30，当乙丙在 D 点相遇时，甲已行至 C 点。可先求出乙、两相遇的时间， 也就是乙行距离 AD 的时间。 乙每分钟比甲多走 10 米，多少分钟就多走了 CD 呢？而 CD 的距离，就是甲、丙 2 分钟共 行的距离：（70+50）×2=240(米）。 于是可知，乙行 AD 的时间是 240÷10=24（分钟）。 所以，AB 两地相距米数是（70+60）×24=3120（米） 例 2 在一条公路上，甲、乙两个地点相距 600 米，张明每小时行走 4 千米，李强每小时 行走 5 千米。8 点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1 分钟后他们都调头反向而 行，再过 3 分钟，他们又调头相向而行，依次按照 1、3、5、7……（连续奇数）分钟数调头 行走。那么，张、李两个人相遇时是 8 点_____分。 （1992 年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题） （千米）=150（米） 他俩相向走（1+5）分钟，反向走（3+7）分钟后两人相距：600+150×〔（3+7）-（1+5）〕 =1200（米） 所以，只要再相向行走 1200÷150=8（分钟），就可以相遇了。从而可知，相遇所需要的 时间共是 1+3+5+7+7+8=24（分钟） 也就是相遇时是 8 点 24 分。 例 3 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三 辆车分别用 6 分钟，10 分钟、12 分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小 时走 20 千米，那么，慢车每小时走多少千米？ （全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题） 607 讲析：如图 5.31 所示，A 点是三车的出发点，三车出发时骑车人在 B 点，A1、A2、A3 分别 为三车追上骑车人的地点。 快车走完 2.4 千米追上了他。由此可见三辆车出发时，骑车人已走的路程是 AB=2.4-1.4=1（千米）。 所以，慢车的速度是： 例 4 一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高 20％，可以比原定时间提前一小时到达； 如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25％。则可提前 40 分钟到达。那么，甲、乙两地 相距______千米。 （1992 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：首先必须考虑车速与时间的关系。 因为车速与时间成反比，当车速提高 20％时，所用时间缩短为原来的 608 例 5 游船顺流而下每小时行 8 千米，逆流而上每小时行 7 千米，两船同时从同地出发， 甲船顺流而下，然后返回。乙船逆流而上，然后返回，经过 2 小时同时回到出发点，在这 2 小时中，有______小时甲、乙两船的航行方向相同。 （上海市第五届小学数学竞赛初赛试题） 讲析：关键是要理解上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之几。 因为两船 2 小时同时返回，则两船航程相等。又上行船速是每小时行 7 例 6 甲、乙两车分别从 A、B 两城同时相向而行，第一次在离 A 城 30 千米处相遇。相遇 后两车又继续前行，分别到达对方城市后，又立即返回，在离 A 城 42 千米处第二次相遇。求 A、B 两城的距离。 （《小学生科普报》小学数学竞赛预选赛试题） 讲析：如图 5.32 所示。两车第一次在 C 地相遇，第二次在 D 地相遇。 甲、乙两车从开始到第一次 C 点相遇时，合起来行了一个全程。此时甲行了 30 千米，从 第一次相遇到第二次 D 点相遇时，两车合起来行了两个全程。在这两个全程中，乙共行（30+42） 千米，所以在合行一个全程中，乙行（30＋42）÷2=36（千米），即 A、B 两城的距离是 30＋ 36=66（千米）。 609 例 8 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是 每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同 一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米。那么 A、B 两地的距离等于____ 千米。 （1993 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：根据甲、乙两车的速度比为 3∶7，我们可将 A、B 两地平均分成 10 份（如图 5.33）。 因为甲、乙两车速度之比为 3∶7，所以甲每走 3 份，乙就走了 7 份。于是它们第一次在 a3 处相遇。甲再走 4.5 份，乙走 10.5 份，在 a7 与 a8 之中点处甲被乙追上，这是第二次相遇； 甲再又走 1.5 份，乙走 3.5 份，在 a9 点第三次两车相遇；甲走 6 份，乙走 14 份在 a5 点第四次 两车相遇。 （千米）。 例 9 在 400 米环形跑道上， A、B 两点相距 100 米（如图 5.34）。甲、乙两人分别从 A、 B 两点同时按逆时针方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟，那么，甲追上乙需要____秒钟。 （1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：各跑 100 米，甲比乙少用的时间是 100÷4-100÷5=5（秒钟），现在甲要比乙多跑 100 米，需 20 秒钟。由 20÷5=4（个百米），可知，乙跑 400 米以后，甲就比乙多跑 100 米。 这样便刚好追上乙。 甲跑完（400+100）米时，中途停了 4 次，共停 40 秒钟。故 20×5+40=140（秒）。 当乙跑完 400 米以后，停了 10 秒，甲刚好到达同一地点。所以，甲追上乙需要 140 秒钟。 例 10 甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方 向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二 第一次相遇点 190 米，问这条环形跑道长多少米？ 610 （全国第四届“华杯赛”复赛试题） 讲析：图为甲、乙两人每跑到原出发点时，就返回头跑。于是，从出发点切开，然后将环 形跑道拉直，这样，他俩就可以看作在 AB 线段上的往返跑步（如图 5.35）。跑第一圈时，乙 的速度与甲的速度的比是 3∶2。当甲从 原速跑到 A 点。 （个）全程，即刚好到达 D 点。 所以，在 AD 段中，甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行。不难求得 例 11 图 5.36，大圈是 400 米跑道，由 A 到 B 的跑道长是 200 米，直线距离是 50 米。父 子俩同时从 A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到 B 点便沿直线 跑，父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几 圈时，第一次与父亲再相遇？ （全国第二届“华杯赛”复赛试题） 讲析：容易计算出，父亲经过 150 秒刚好跑完 3 小圈到达 A 点，儿子经过 152 秒刚好跑完 2 圈到达 A 点，儿子比父亲慢 2 秒钟，所以儿子将沿跑道追赶父亲。 因为 A 到 B 弯道长 200 米，儿子每跑 100 米比父亲快一秒，可知恰好在 B 点追上父亲。 即，儿子在跑第三圈时，会第一次与父亲相遇。 611 例 12 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。甲班步行的速度是每小时 4 千米，乙班 步行的速度是每小时 3 千米。学校有一辆大客车，它的速度是每小时 48 千米。这辆车恰好能 坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距 离之比是____。 （1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：要使两个班在最短时间内到达，只有让两个班都同时运行且同时到达。 设甲班先步行后乘车。甲班、乙班和客车的行进路线如图 5.37 所示。AB、CD 分别表示甲 班和乙班步行距离。 当甲班从 A 地行至 B 地时，汽车共行了：AB+2·BC。 又汽车速度是甲班的 12 倍，所以 同理，当乙班从 C 地行至 D 地时，汽车共行了 CD+2·BC。 又，汽车速度是乙班的 16 倍，所以 AB∶CD=15∶11。 即甲班与乙班需要步行的距离之比为 15∶11。 例 13 王经理总是上午 8 点钟乘公司的汽车去上班。有一天，他 6 点 40 分就步行上班， 而汽车仍按以前的时间从公司出发，去接经理，结果在路途中接到了他。因此，王经理这天比 平时提前 16 分钟到达公司。那么汽车的速度是王经理步行速度的____倍。 （《小学生科普报》小学数学奥林匹克通讯赛试题） 讲析：如图 5.38，A 点表示王经理家，B 点表示公司，C 点表示汽车接王经理之处。 612 王经理比平时提前 16 分钟到达公司，而这 16 分钟实际上是汽车少走了 2·AC 而剩下的时 间，则汽车行 AC 路程需要 8 分钟，所以汽车到达 C 点接到王经理的时间是 7 点 52 分钟。 王经理步行时间是从 6 点 40 分到 7 点 52 分，共行 72 分钟。 因此，汽车速度是王经理步行速度的 72÷8=9（倍）。 【倍数问题】 例 1 仓库里有两个货位，第一货位上有 78 箱货物，第二货位上有 42 箱货物，两个货位 上各运走了相同的箱数之后，第一货位上的箱数还比第二货位上的箱数多 2 倍。两个货位上各 运走了多少箱货物？ （1994 年天津市小学数学竞赛试题） 讲析：因为两堆货物各运走相同数量的货物之后，第一堆比第二堆货物多 2 倍。即此时第 一堆货物是第二堆货物的 3 倍。 所以，42 的 3 倍的积与 78 的差，就是两堆中各运走货物的箱数的 2 倍。故两个货位各运 走的货物箱数是（42×3-78）÷2=24（箱）。 例 2 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的 2 倍， 每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的 2 倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的 奖金是 308 元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？ （全国第二届“华杯赛”复赛试题） 讲析：我们可将二等奖和三等奖都换成一等奖。 如果评 1 个一等奖，2 个二等奖，3 个三等奖时，每个一等奖的奖金为：0 例 3 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到 20 粒。如果甲给乙一定数量的糖后， 甲的糖就是乙的糖粒数的 2 倍。如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 3 倍。 那么，甲、乙两个小朋友共有糖____粒。 （1994 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）。 613 讲析：甲给乙一定数量的糖之后，甲是乙的 2 倍。这说明甲乙两个糖数之和是 3 的倍数； 同理，乙给甲一定数量的糖后，甲是乙的 3 倍，这说明甲乙两个糖数之和又是 4 的倍数。 所以，甲、乙两人糖粒总数一定是 12 的倍数。 又，每袋糖都不到 20 粒，所以甲乙两个糖数之和应为 12、24、36 中的一个数。 经检验，当总糖数是 24 时，即甲为 17 粒、乙为 7 粒时，符合要求。即两个小明友共有糖 24 粒。 例 4 一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场。一小用的汽 车，每车坐 15 人，二小用的汽车，每车坐 13 人，结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校 各增加一个人参赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一人参加竞赛， 二小又要比一小多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛？ （全国第一届“华杯赛”决赛试题） 讲析：原来二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多。由此可见，一小增 一人就要增加一辆车，所以原来汽车恰好全部坐满，即原来一小人数是 15 的倍数。 后来又增加 1 人，这时二小又要多派一辆车，所以在第二次增加人数之前，二小的车也恰 好坐满。即人数是 13 的倍数。 因此，原来每校参加的人数都是 15 的倍数。而加 1 之后，是 13 的倍数。 即求 15 的某个倍数恰等于 13 的倍数减 1。 因为 15×6=90，13×7=91，所以，两校各有 92 人参加竞赛。 从而可知，两校共有 184 人参加竞赛。 【年龄问题】 例 1 小明今年 5 岁，爸爸的年龄是小明的 7 倍，再过多少年爸爸的年龄是小明年龄的 3 倍？ （1993 年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题） 讲析：可先求出当爸爸年龄是小明年龄的 3 倍时，小明的年龄是多少岁： （5×7-5）÷（3-1）=15（岁）。 故，再过 10 年，爸爸的年龄是小明年龄的 3 倍。 例 2 今年祖父的年龄是小明年龄的 6 倍。几年后，祖父年龄是小明年龄的 5 倍。又过几 年后，祖父年龄是小明年龄的 4 倍。问：祖父今年多少岁？ （全国第二届“华杯赛”少年数学竞赛试题） 614 讲析：因为今年祖父年龄是小明年龄的 6 倍。所以，年龄差是小明年龄的 5 倍，即一定是 5 的倍数。 同理，又过几年后，祖父的年龄分别是小明年龄的 5 倍和 4 倍，可知年龄差也是 4 和 3 的倍数。而年龄差是不变的。 由 3、4、5 的公倍数是 60、120、……可知，60 是比较合理的。所以， 小明今年的年龄是 60÷（6-1）=12（岁）； 祖父今年的年龄是 12×6=72（岁）。 例 3 1994 年姐妹两人年龄之和是 55 岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时， 妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。姐姐是哪一年出生的？ （长沙地区数学竞赛预选赛试题） 讲析：设若干年前，妹妹的年龄为 x 岁，则现在妹妹为 2x 岁；姐姐在“若干年前”那一 年的年龄也为 2x 岁，则姐姐现在的年龄为 3x 岁。 由 2x+3x=55，可知，x=11。 所以，今年姐姐的年龄是 3×11=33（岁）。 故姐姐是 1960 年出生的。 【时钟问题】 例 1 把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转 16 圈，秒针转 36 圈。 开始时三针重合。问：在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次？（不计起始和终止的位置） （全国第三届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：如图 5.39，设时针和分针第一次在 B 点重合。从开始到重合，时针走了 AB，而分 针走了一圈后再又走 AB。 615 例 2 7 点____分的时候，分针落后于时针 100°。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：7 点整时，分针落后于时针 210°，时针每分钟走 0.5°，分针每分钟走 6°，依照 追及问题有： （210-100）÷（6-0.5）=20（分钟）。 故，在 7 点 20 分钟的时候，分针落后时针 100°。 【其他问题】 例 1 如图 5.40 是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成 某个正方阵时，尚多余 12 枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵， 则差 9 枚棋子才能摆满。 问：这堆棋子原有多少枚？ （全国第四届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析：把这堆棋子摆成正方形实心方阵，还多余 12 枚，若把这个正方阵每边各加一枚棋 子时，其贴边加上的棋子为 12+9=21（枚）。 所以，新方阵每边棋子数为（21+1）÷2=11（枚）。从而可知，原来这堆棋子共有 11× 11-9=112（枚）。 例 2 小玲从家去学校，如果每分钟走 80 米，结果比上课时间提前 6 分钟到校；如果每分 钟走 50 米，则要迟到 3 分钟，小玲的家到学校的路程有多远？ （西南地区小学数学竞赛试题） 616 讲析：本题属于盈亏问题，提前 6 分钟和迟到 3 分钟，所相差的距离，是由于每分钟相差 30 米而造成的。 ∴（80×6+50×3）÷（80-50）=21（分钟）； 80×（21-6）=1200（米） 即小玲家到学校有 1200 米。 617 57、等积规律 【三角形等积的基本规律】如果两个三角形的底相等，高也相等，那么，这两个三角形 的面积相等。 例如，在图 1.32 中，D 是 BC 的中点（即 BD=DC），则△ABD 与△ACD 的面积相等。（等底 同高） 【三角形等积规律推论】由三角形等积这一基本规律，可以推出下面几个结论。 结论 1 如果两个三角形有公共的底边，且这底边所对的顶点所在直线，与这底边平行， 则这两个三角形面积相等。 例如，在图 1.33 中， A1A2 的连线与 BC 平行，则△A1BC 与△A2BC 的面积相等。 结论 2 在两个三角形中，若相等的底在同一直线上，底所对的顶点在与底平行的另一同 一直线上，则这两个三角形的面积相等。 例如图 1.34 中的△A1B1C1 与△A2B2C2，它们的底 B1C1=B2C2，并且底同在直线 B1C2 上，顶点 A1、 A2 的连线 A1A2，与 B1C2 平行，那么△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积便是相等的。 618 结论 3 如果一个三角形的一边被分成了 n 等分，并把这些等分点与顶点连结，那么这个 三角形就被分成了 n+1 个等积的三角形。 例如图 1.35 中，BC 被点 D1、D2、D3、D4、D5 分成了六等分，则△ABC 的面积也就被 AD1、AD2、 AD3、AD4、AD5 也分 成了六等分。即△ABD1、△AD1D2、△AD2D3、△AD3D4、△AD4D5、△ 结论 4 如果两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么 这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例如，在图 1.36 中，△ABC 的高 AD，和△A 払扖挼母逜扗捪嗟龋珺 C=3B 扖挘 敲础鰽 BC 的面积，便是△A 払扖挼拿婊— 3 倍。 619 58、等分图形 【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。 例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角 形的边上）。已知左图（图 4.11）中正方形面积为 72 平方厘米，求右图（4.12）中正方形的 面积。 由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别 与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。等分后的情况见图 4.13 和图 4.14。 积是 图 4.12 的正方形面积是 620 【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它 的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。 例如图 4.15，在正方形 ABCD 中，画有甲、乙、丙三个小正方形。问：乙、丙面积之和与 甲相比，哪一个大些？ 大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。如 图 4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC 面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF 的一 半，正方形乙的面积等于梯形 ACFE 面积的一半。这样，一个大正方形 ABCD，就划分成了三个 局部：等腰直角△ABC；等腰梯形 ACFE；等腰直角△EDF。其中甲、乙、丙的面积分别为各自 所在图形的一半，而△EDF 的面积加梯形 ACFE 的面积等于△ADC 的面积，即等于△ABC 的面积。 所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。 621 59、抽屉原理问题 例 1 袋子里有红、黄、黑、白珠子各 15 粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的五粒珠子，至 少要摸出______粒珠子，才能保证达到目的。 （1992 年福州市小学数学竞赛试题） 讲析：从最好的情况着手，则摸 5 粒刚好是同色的，但是不能保证做到。要保证 5 粒同色， 必然从最坏情况着手。 最坏情况是摸了 16 粒，这 16 粒珠子中没有一种是 5 粒同色，也就是说有 4 粒红色、4 粒 黄色、4 粒黑色和 4 粒白色的。现在再去摸一粒，这一粒只能是四色之一。 所以，至少要摸 17 粒。 例 2 在一个 3×9 的方格里，将每一格随意涂上黑色或白色，试说明不管怎样涂，至少有 两列的着色是完全相同的。 （“新苗杯”小学数学邀请赛试题） 讲析：可用两种颜色涂每一列的三格，它共有 8 种情况，如图 5.89 所示。 622 那么，剩下的一列不管怎样涂色，一定是上面 8 种中的一种。所以它至少有两列的着色是 完全相同的。 例 3 把 1、2、3、……、10 这十个自然数以任意顺序排成一圈，试说明一定有相邻三个 数之和不小于 17。 （乌鲁木齐市小学数学竞赛试题） 讲析：因为 1＋2＋3＋……＋10=55。这十个数不管怎样排列，按每相邻三个数相加，共 分成了 10 组，每个数都加了 3 次。 10 组之和是 165，平均每组为 16，还余 5。然后把 5 分成几个数再加到其中一组或几组中， 则肯定有一组相邻三个数之和不小于 17。 60、扩缩图形 【扩图】 解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。 例如，图 4.43 是一个圆心角为 45°的扇形，其中的直角三角形 BOC 的直角边为 6 厘米， 求阴影部分的面积。 本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。但是同学们暂时 还未学求扇形半径 R 的方法，怎么办呢？ 623 由扇形的圆心角为 45°，我们不妨将其扩大一倍，如图 4.44 所示。由此图可以求出三角 形 DOB 的面积为 可知 扩大后的阴影部分面积为 56.52-72÷25=6.52-36 =20.52（平方厘米） 所以，原图所求的阴影部分的面积为 20.52÷2=10.26（平方厘米） 这是个将图形整体扩大的例子。可否只将图形的某一个局部扩大，来求得问题的解答呢？ 回答是肯定的。例如： 624 如图 4.45，图中的扇形半径为 8 厘米，圆心角为 45°，求阴影部分的面积。 当然，这道题也可以将整个图形扩大一倍，去寻找答案。不过，解题的关键是求出空白部 分（三角形）的面积，我们不妨以 8 厘米为边长，作一个正方形，这正方形面积便是空白三角 形面积的 4 倍（即只将局部三角形面积扩大 4 倍）。于是空白的三角形面积便是 8×8÷4=16（平方厘米） 所要求的阴影部分的面积便是 【缩小研究对象】 有些图形从整体上研究，由于图形较为复杂，难以一下子解决问题， 若根据图形特点，缩小研究范围，往往能较快地找到答案。 例如，图 4.46 是一块黑白格子布，白色大正方形边长 10 厘米，白色小正方形边长 4 厘米。 这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几？ 625 图形令人眼花缭乱，增大了解题时的难度。不过，仔细一看，就可发现它由 9 块形状大小 相同的图形组成，我们只要研究其中一个小图形（如图 4.47）的白色图形占整个图形的百分 之几，就足以解决问题了，所以，题目的解答可以是 （10×10＋4×4）÷［（10＋4）×（10＋4）］ =116÷196 ≈0.592=59.2％。 又如，图 4.48 是一个对称图形。 问：图中的黑色部分与阴影部分比较，是黑色部分的面积大，还是阴影部分的面积大？ 因它是个对称图形，可如图中虚线那样画两条直线，将它平分为四个部分。解题时，我们 不必研究整个图形，只要研究它的四分之一就行了。 角扇形的面积。再由对称关系可知，图形中两个空白部分的大小是相等的，故用图中的上半部 分减黑色部分所得的空白部分，等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。在 这一等式中，既然被减数和差都相等，那么减数（黑色部分和叶形阴影部分）也必定是相等的。 于是可推出，整个图形的黑色部分和阴影部分的面积，也必定是相等的。